Material Teórico Ele I E Ii - Parte 4 - Cap10 - Ex6

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Exerc´ıcio 1. Para criar regi˜oes com campos magn´eticos constantes em laborat´orio, empregam-se as bobinas de Helmholtz, esquematizadas na Figura 1.Calcule o valor do campo ao longo do eixo das bobinas e o ponto no qual o campo ´e magn´etico ´e maximo. Figura 1: Bobinas de Helmholtz 1 Resolu¸c˜ao. O campo gerado por uma espira circular ´e: µ0 Ia2 ~ (z) = B 3 2 (a2 + z 2 ) /2 kˆ Ent˜ao, usando o princ´ıpio da superposi¸ca˜o para as duas espiras, o campo ao longo do eixo ´e:  2 ~ (z) = µ0 Ia  B  2  1 3 (a2 + z 2 ) /2 + 1 ˆ k 3
/2 2 a2 + (2b − z) Para calcular o ponto no qual o campo magn´etico apresenta valor m´aximo, basta encontrarmos o valor de z tal que a derivada da fun¸ca˜o acima se anula:  ~ (z) dB µ0 Ia2  3 = − dz 2 2  2z 5 (a2 + z 2 ) /2 − 3 2 2 (2b − z) (−1)  ˆ k
5/2 2 a2 + (2b − z) Vemos que: ~ (z) dB =0⇒z=b dz Agora veremos a condi¸c˜ao para que o campo nesse ponto seja aproximadamente constante. Derivando mais uma vez a fun¸ca˜o do campo magn´etico: ~ (z) d2 B dz 2 = 0 ⇒ a2 − 4b2 = 0 ⇒ 2b = a z=b A condi¸ca˜o ´e que a separa¸ca˜o das bobinas seja igual ao raio. Fazendo a expans˜ao em s´eries de Taylor, ´e poss´ıvel calcular o qu˜ao pr´oximo esse campo est´a de um campo constante: Sabendo que B 00 (a/2) = B 000 (a/2) = 0, a expans˜ao fica: 2  4 ∂ 4 B 1 a ~ (z) ≈ B B + z− + ... 2 24 2 ∂z 4 z= a 2# "  a a/ 4 z − 144 2 ~ (z) = B 1− B 2 125 a a A partir desse resultado, ´e poss´ıvel inferir que, para |z − a/2| < a/10 ⇒ B (z) 6= B (a/2), o campo varia em menos de uma parte e meia em dez mil. 3