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ASSOCIAÇÃO EDUCACIONAL NOVE DE JULHO – UNINOVE CAMPUS MEMORIAL AMÉRICA LATINA CURSO: ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: MECÂNICA DOS SÓLIDOS II PROFESSOR: JOAQUIM G. A. JUNIOR 1º SEMESTRE / 2010 PRA – LISTA DE EXERCÍCIOS
Torção 01. Um cilindro vazado de diâmetro externo (d1) igual a 100 mm e diâmetro interno (d2) igual a 80 mm é feito em aço (G = 27 GPa) e possui um comprimento total de 2,5 m, conforme ilustra a figura. Para este cilindro, pede-se: A) Determinar o valor do torque T necessário para provocar um ângulo de torção de 2,0°. B) Determinar o ângulo de torção, caso seja aplicado o mesmo torque T a um eixo maciço de mesma área de seção transversal.
02. Um eixo é feito de liga de aço com tensão de cisalhamento admissível de
τ adm = 12 ksi. Supondo
que o diâmetro do eixo seja de 1,5 pol, determinar o torque máximo T que pode ser transmitido. Qual seria o torque máximo T’ se fosse feito um furo de 1,0 pol de diâmetro ao longo do eixo?
03. O eixo maciço de 30 mm de diâmetro é usado para transmitir os torques aplicados às engrenagens. Determinar a tensão de cisalhamento desenvolvida nos pontos C e D do eixo. Indicar a tensão de cisalhamento nos elementos de volume localizados nesses pontos.
04. Os dois eixos são feitos de aço A-36. Cada um tem diâmetro de 1 pol, e eles estão apoiados por mancais em A, B e C, o que permite rotação livre. Supondo que o apoio D seja fixo, determinar o ângulo de torção da extremidade A quando os torques são aplicados ao conjunto como mostrado.
05. A viga de 4,0 m de comprimento apresentada na figura é feita em aço, tipo W310×60, possui Tensão admissível igual a 40 MPa e Módulo de Elasticidade Transversal igual a 77 GPa e está submetida a um momento torçor de valor desconhecido ‘T’. Desprezando-se o efeito da concentração de tensões, determinar o maior torque ‘T’ que pode ser aplicado e o correspondente ângulo de torção. Se necessário, utilize a tabela de coeficientes de torção para seções retangulares, fornecida logo abaixo.
a/b 1,0 1,2 1,5 2,0 2,5 3,0 4,0 5,0 10,0 ∞
C1 0,208 0,219 0,231 0,246 0,258 0,267 0,282 0,291 0,312 0,333
C2 0,1406 0,1661 0,1958 0,229 0,249 0,263 0,281 0,291 0,312 0,333
Flexão 01. Calcular as máximas tensões normais da viga abaixo.
02. Os três semáforos têm, cada um, massa de 10 kg e o tubo em balanço AB tem massa de 1,5 kg/m. Desenhar os diagramas de força cortante e momento fletor para o tubo. Desprezar a massa da placa.
03. O encontro de concreto armado é usado para apoiar as longarinas da plataforma de uma ponte. Desenhar seus diagramas de força cortante e momento fletor quando ele é submetido às cargas da longarina mostrada. Supor que as colunas A e B exercem apenas reações verticais sobre o encontro.
04. Desenhar os diagramas de força cortante e momento fletor da viga de madeira ilustrada na figura.
05. Para a viga e o carregamento aplicado, mostrados na figura, construa os diagramas de esforço cortante e momento fletor e determine a tensão normal máxima devido à flexão.
06. Uma viga simplesmente apoiada deve suportar o carregamento indicado na figura. O material utilizado possui tensão admissível de 160 MPa e estão disponíveis no mercado 5 perfis de abas largas, cujas dimensões e Módulo de Resistência estão indicados na tabela abaixo, conforme os dados fornecidos pelo fabricante. Selecione o perfil que deverá ser utilizado nesta viga. Perfil
W (mm³)
W410×38.8
637
W360×32.9
474
W310×38.7
549
W250×44.8
535
W200×46.1
448
07. A viga apresentada na figura possui transversal constante e dimensões (em centímetros) indicadas na figura ao lado. O material utilizado nesta viga possui tensões admissíveis de 140 MPa à tração e 84 MPa à compressão. Determine a maior carga q que pode ser aplicada sobre essa viga sem que ocorra a ruptura ou deformações excessivas.
08. Uma peça feita em alumínio de uma máquina industrial está sujeita a um momento fletor de 75 N⋅m, conforme indica a figura. Determine a tensão normal de flexão nos pontos B e C da seção transversal dessa peça decorrente da ação desse momento fletor.
Cisalhamento 01. Determinar a tensão de cisalhamento máxima no eixo com seção transversal circular de raio r e sujeito à força cortante V. Expressar a resposta em termos da área A da seção transversal.
02. Determinar as maiores forças P nas extremidades que o elemento pode suportar, supondo que a tensão de cisalhamento admissível seja τ adm = 10 ksi. Os apoios em A e B exercem apenas reações verticais sobre a viga.
03. Os apoios em A e B exercem reações verticais sobre a viga de madeira. Supondo que a tensão de cisalhamento admissível seja τ adm = 400 psi, determinar a intensidade da maior carga distribuída w que pode ser aplicada sobre a viga.
04. Uma viga de aço em forma de perfil T está submetida a uma força atuante em seu plano de simetria, conforme ilustra a figura. Para esta viga, pede-se determinar: A) A máxima tensão de compressão na seção A-A’. B) A máxima tensão de cisalhamento.
Análise de Tensões 01. Para os estados de tensão esquematizados abaixo, pede-se: a) Esboçar o círculo de Mohr; b) Determinar as tensões normais principais; c) Determinar a máxima tensão tangencial; d) Posicionar as direções principais do ponto; e) Posicionar a direção da máxima tensão tangencial.
02. O Círculo de Mohr dado refere-se ao ponto A ao lado. Pede-se: a) Colocar as tensões no plano y e no plano x adequadamente; b) Determinar as tensões normais principais e a máxima tensão cisalhante; c) Determinar a tensão normal e a tensão cisalhante num plano a 30° anti-horário do plano y.
03. Uma força de 19.5 kN é aplicada no ponto D da barra de ferro fundido mostrado. Sabendo-se que a barra tem um diâmetro de 60 mm, determinar as tensões principais e a máxima tensão de cisalhamento nos pontos H e K.
04. Calcular as tensões principais e a de cisalhamento máxima para os pontos “a” e “c” da estrutura abaixo.
05. Sabe-se que o tubo da figura tem paredes de espessura constante de 6 mm. Determinar as tensões principais e de cisalhamento máxima: a) No ponto H; b) No ponto K.
Flambagem 01. Para as colunas mostradas na figura abaixo, pede-se determinar: a) A carga crítica para a coluna quadrada; b) O raio da coluna redonda, para que ambas as colunas tenham a mesma carga crítica; c) Expressar a área da seção transversal da coluna quadrada como uma porcentagem da área da seção transversal da coluna redonda. Usar E = 200 Gpa.
02. A barra AB tem seção transversal de 16 x 30 mm, e é feita de alumínio. Ela é presa aos apoios por meio de pinos. Cada extremidade da barra pode girar livremente em torno do eixo vertical pelas chapas de ligação. Adotando E = 70 GPa, determinar o comprimento L para o qual a carga crítica da barra é Pcr = 10 kN.
03. Uma coluna de 3 metros de comprimento efetivo será feita pregando-se juntas tábuas de 24 X 100 mm de seção transversal. Sabendo-se que E = 11 GPa e a tensão admissível à compressão, paralela às fibras, é de 9 MPa, determinar o número de tábuas que devem ser usadas para suportar a carga centrada mostrada, quando: a) P = 30 kN; b) P = 40 kN.
04. Um tubo estrutural retangular tem a seção transversal mostrada e é usado como uma coluna de 5 m de comprimento efetivo. Sabendo-se que σ = 250 MPa e E = 200 GPa, determinar a maior carga centrada que pode ser aplicada na coluna.
06. Duas cantoneiras de aço L 102 x 76 x 9,5 são soldadas juntas para formar a coluna AB. Uma carga axial P, de intensidade 60 kN, é aplicada no ponto D. usando o método de interação, determinar o maior comprimento admissível L. E = 200 GPa; σy = 250 MPa; (σadm)flexão = 150 MPa.
Respostas Torção 01. A) T = 2,19 kN·m; B) φ = 9,13° 02. T = 7952,16 lbf.pol e T’ = 6381,36 lbf.pol. 03. Ponto C: τ max = 37,7 MPa; Ponto D: τ max = 75,5 MPa. 04. φ A = 1,78º. 05. T = 7952,16 lbf.pol e T’ = 6381,36 lbf.pol. Flexão 01.
σ x ,min = −42,8
MPa e
σ x ,max = 69,2
MPa.
02. Diagrama de Esforço Cortante (N):
Diagrama de Momento Fletor (N.m):
03. Diagrama de Esforço Cortante (N):
Diagrama de Momento Fletor (N.m):
04. Diagrama de Esforço Cortante (lbf):
Diagrama de Momento Fletor (lbf.pé):
05.
σ x ,max = 60,0
MPa
Diagrama de esforços cortantes (kN):
Diagrama de Momentos Fletores (kN⋅m):
06. W360×32.9. 07. q = 21,3 kN/m. 08.
σ B = 3,612 MPa e σ C = 1,548
MPa.
Cisalhamento 01.
τ max
= 4 V/3 A.
02. Pmax = 80,1 kip. 03. wmax = 5,69 kip/pés. 04. A) σ max = 219,3 MPa;
B)
τ max = 16,45 MPa.
Análise de Tensões 01. 02. 03. Ponto H:
σ I = 73,5 MPa; σ II = -9,5 MPa ; τ max = 41,5 MPa. Ponto K: σ I = 10 MPa ; σ II = -140 MPa ; τ max = 75 MPa. 04. Ponto a: σ I = 38,36 MPa; σ II = 0 ; τ max = 19,18 MPa. Ponto c: σ I = 11,5 MPa; σ II = -30 MPa; τ max = 20,5 MPa. 05. Ponto H: σ I = 87 MPa; σ II = -4 MPa; τ max = 45,5 MPa. Ponto K: σ I = 54 MPa; σ II = -54 MPa; τ max = 54 MPa.
Flambagem 01. a) 64,2 KN; b) 14,3 mm; c) Aquad = 97,3% Ared. 02. L = 1,57 m. 03. a) n = 4. b) n = 5. 04. 422 KN. 05. L = 6,62 m.
ASSOCIAÇÃO EDUCACIONAL NOVE DE JULHO – UNINOVE CAMPUS MEMORIAL AMÉRICA LATINA CURSO: ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: MECÂNICA DOS SÓLIDOS II PROFESSOR: JOAQUIM G. A. JUNIOR 1º SEMESTRE / 2010 PRA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Torção 01. Um cilindro vazado de diâmetro externo (d1) igual a 100 mm e diâmetro interno (d2) igual a 80 mm é feito em aço (G = 27 GPa) e possui um comprimento total de 2,5 m, conforme ilustra a figura. Para este cilindro, pede-se: A) Determinar o valor do torque T necessário para provocar um ângulo de torção de 2,0°. B) Determinar o ângulo de torção, caso seja aplicado o mesmo torque T a um eixo maciço de mesma área de seção transversal.
Solução: A) Momento polar de inércia: J = (π/2)⋅[R4 – r4] = 5,8⋅10-6 m4 Torque: T = φ⋅J⋅G/L = 2186,5 N⋅m = 2,19 kN⋅m B) Área da seção transversal do eixo vazado: A = π⋅(R² - r²) = 0,0028 m² Raio do eixo maciço da seção transversal equivalente: A = π⋅Req2 Req2 = A/π = 0,030 m = 30,0 mm Momento polar de inércia: J = (π/2)⋅[Req4] = 1,27⋅10-6 m4 Ângulo de torção: φ = T⋅L/J⋅G = 0,159 rad = 9,13º Respostas: A) T = 2,19 kN⋅⋅m B) φ = 9,13º
02. Um eixo é feito de liga de aço com tensão de cisalhamento admissível de τ adm = 12 ksi. Supondo que o diâmetro do eixo seja de 1,5 pol, determinar o torque máximo T que pode ser transmitido. Qual seria o torque máximo T’ se fosse feito um furo de 1,0 pol de diâmetro ao longo do eixo?
03. O eixo maciço de 30 mm de diâmetro é usado para transmitir os torques aplicados às engrenagens. Determinar a tensão de cisalhamento desenvolvida nos pontos C e D do eixo. Indicar a tensão de cisalhamento nos elementos de volume localizados nesses pontos.
04. Os dois eixos são feitos de aço A-36. Cada um tem diâmetro de 1 pol, e eles estão apoiados por mancais em A, B e C, o que permite rotação livre. Supondo que o apoio D seja fixo, determinar o ângulo de torção da extremidade A quando os torques são aplicados ao conjunto como mostrado.
05.
06.
07.
08.
09.
Flexão 01. Calcular as máximas tensões normais da viga abaixo.
Solução: Utilizando as equações de equilíbrio na viga, temos: Σ FY = 0: VA + VB = 100 kN Σ MA = 0: 8⋅ VB – qL²/2 = 0 VA = 37,5 kN; VB = 62,5 kN A partir das reações de apoio pode-se traçar o diagrama de momentos fletores:
Cálculo da posição do Centro de Gravidade: Seção transversal Retângulo superior Retângulo médio Retângulo inferior
Y (cm) 30,0 15,0 2,5
Área (cm²) 100,00 40,00 30,00 Σ
Y⋅⋅Área (cm³) 3000,00 600,00 75,00 3675,00
YCG = ΣY⋅Área/ΣÁrea = 3675/170 = 21,61765 cm Cálculo do momento de inércia: I = Σ(b⋅h³/12 + A⋅d²) = 0,000219718 m4 Cálculo da tensões: σmáx = M⋅c/I = 70312,5⋅0,216176/0,000219718 = 69,179 MPa σmin = M⋅c/I = 70312,5⋅(-0,133824)/0,000219718 = -42,825 Mpa Resposta: σ x ,min = −42,8 MPa e σ x ,max = 69,2 MPa.
02. Os três semáforos têm, cada um, massa de 10 kg e o tubo em balanço AB tem massa de 1,5 kg/m. Desenhar os diagramas de força cortante e momento fletor para o tubo. Desprezar a massa da placa.
03. O encontro de concreto armado é usado para apoiar as longarinas da plataforma de uma ponte. Desenhar seus diagramas de força cortante e momento fletor quando ele é submetido às cargas da longarina mostrada. Supor que as colunas A e B exercem apenas reações verticais sobre o encontro.
04. Desenhar os diagramas de força cortante e momento fletor da viga de madeira ilustrada na figura.
05.
06.
Cisalhamento 01. Determinar a tensão de cisalhamento máxima no eixo com seção transversal circular de raio r e sujeito à força cortante V. Expressar a resposta em termos da área A da seção transversal.
02. Determinar as maiores forças P nas extremidades que o elemento pode suportar, supondo que a tensão de cisalhamento admissível seja τ adm = 10 ksi. Os apoios em A e B exercem apenas reações verticais sobre a viga.
03. Os apoios em A e B exercem reações verticais sobre a viga de madeira. Supondo que a tensão de cisalhamento admissível seja τ adm = 400 psi, determinar a intensidade da maior carga distribuída w que pode ser aplicada sobre a viga.
04. Uma viga de aço em forma de perfil T está submetida a uma força atuante em seu plano de simetria, conforme ilustra a figura. Para esta viga, pede-se determinar: A) A máxima tensão de compressão na seção A-A’. B) A máxima tensão de cisalhamento.
Solução: A) Utilizando as equações de equilíbrio na viga, temos: Σ FY = 0: VA = 6,7 kN Σ MA = 0: – 6,7⋅38,0 + MA = 0 MA = 254,6 kN⋅cm A partir das reações de apoio pode-se traçar o diagrama de momentos fletores:
Notar que na seção A-A’ o momento máximo vale M = 201,0 kN⋅cm Cálculo da posição do Centro de Gravidade: Seção transversal Retângulo superior Retângulo inferior
Y (mm) 55,0 25,0
Área (mm²) 1000,00 500,00 Σ
YCG = ΣY⋅Área/ΣÁrea = 67500/1500 = 45,0 mm Cálculo do momento de inércia: I = Σ(b⋅h³/12 + A⋅d²) = 4,125⋅10-7 m4 Cálculo da tensões: σmáx = M⋅c/I = 2010⋅0,045/(4,125⋅10-7) = 219,27 MPa
Y⋅⋅Área (mm³) 55000,00 12500,00 67500,00
B) O valor do cortante na seção A-A’ é dado pelo diagrama de esforço cortante.
Q = (100⋅10)⋅(55-45) = mm³ τmáx = VQ/Ib Resposta: A) σ max = 219,3 MPa;
B) τ max = 16,45 MPa.
Análise de tensões 01.
02.
03.
04.
05.
06.
Flambagem 01.
02.
