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Universidade Federal de Santa Catarina Departamento de Engenharia Mecânica Grupo de Análise e Projeto Mecânico
CURSO DE PROJETO ESTRUTURAL COM MATERIAIS COMPOSTOS
Prof. José Carlos Pereira
Florianópolis, agosto de 2003
SUMÁRIO 1 – ASPECTOS GERAIS DOS MATERIAIS COMPOSTOS ______________________ 1 1.1– Definição _________________________________________________________ 1 1.2– Componentes constituintes de um material composto ______________________ 1 1.2.1 – Fibras ________________________________________________________ 1 1.2.2 – Matrizes ______________________________________________________ 1 1.3 – Interesse dos materiais compostos_____________________________________ 3 1.4 – Aplicações dos materiais compostos ___________________________________ 3 1.5 – Propriedades físicas principais ________________________________________ 7 1.6 – Características da mistura reforço-matriz ________________________________ 9 1.7 – Processos de fabricação ____________________________________________ 11 1.7.1 – Moldagem sem pressão_________________________________________ 12 1.7.2 – Moldagem por projeção simultânea ________________________________ 13 1.7.3 – Moldagem a vácuo_____________________________________________ 14 1.7.4 – Moldagem por compressão a frio _________________________________ 14 1.7.5 – Moldagem por injeção __________________________________________ 14 1.7.6 – Moldagem em contínuo _________________________________________ 15 1.7.7 – Moldagem por centrifugação _____________________________________ 16 1.7.8 – Bobinamento circunferencial _____________________________________ 17 1.7.9 – Bobinamento helicoidal _________________________________________ 18 1.7.10 – Bobinamento polar ____________________________________________ 19 1.8 – Arquitetura dos materiais compostos __________________________________ 20 1.8.1 – Laminados ___________________________________________________ 20 1.8.2 – Sanduíche ___________________________________________________ 21 1.9 – Determinação experimental das constantes elásticas de uma lâmina _________ 22 2 – CONSTANTES ELÁSTICAS DOS MATERIAIS COMPOSTOS _______________ 25 2.1 – Equações constitutivas para materiais compostos ________________________ 25 2.2 – Efeito da temperatura ______________________________________________ 29 3 – CONSTANTES ELÁSTICAS DOS MATERIAIS COMPOSTOS NUMA DIREÇÃO QUALQUER __________________________________________________________ 31
3.1 – Equações constitutivas dos materiais compostos numa direção qualquer ______ 31 3.2 - Efeito da temperatura ______________________________________________ 37 4 – COMPORTAMENTO MECÂNICO DE PLACAS LAMINADAS ________________ 38 4.1 – Teoria clássica de laminados ________________________________________ 38 4.1.1 – Comportamento em membrana ___________________________________ 38 4.1.2 – Comportamento em flexão_______________________________________ 45 4.1.3 – Efeito da temperatura __________________________________________ 54 5 – CRITÉRIOS DE RUPTURA ___________________________________________ 58 5.1 – Critério de tensão máxima __________________________________________ 58 5.2 – Critério de deformação máxima ______________________________________ 59 5.3 – Comparação entre os critérios de tensão máxima e de deformação máxima ___ 60 5.4 – Critérios interativos ________________________________________________ 62 5.4.1 – Revisão do critério de von Mises __________________________________ 62 5.4.2 – Critério de Hill ________________________________________________ 66 5.4.3 – Critério de Tsai-Hill ____________________________________________ 67 5.4.4 – Critério de Hoffman ____________________________________________ 68 5.4.5 – Critério de Tsai-Wu ____________________________________________ 69 5.4 – Método de degradação _____________________________________________ 78 6
–
MÉTODO
DOS
ELEMENTOS
FINITOS
APLICADO
AOS
MATERIAIS
COMPOSTOS ________________________________________________________ 88 6.1 – Campo de deslocamentos __________________________________________ 88 6.2 – Energia de deformação elementar ____________________________________ 92 6.3 – Energia cinética elementar __________________________________________ 95 6.4 – Trabalho realizado pelas forças externas _______________________________ 97 6.5 – Problema estático – princípio dos trabalhos virtuais _______________________ 98 6.5.1 – Determinação das tensões ______________________________________ 98 6.6 – Problema dinâmico – equações de lagrange ___________________________ 103 6.6.1 – Freqüências naturais e modos de vibração _________________________ 103 6.6.2 – Resposta no tempo ___________________________________________ 104 6.7 – Exemplos de aplicação ____________________________________________ 104 6.7.1 – Chassi de kart _______________________________________________ 104
6.7.2 – Chassi de side-car ____________________________________________ 105 6.7.3 – Quadro de bicicleta (a)_________________________________________ 106 6.7.4 – Raquete de tênis _____________________________________________ 106 6.7.5 – Carroceria de caminhão baú ____________________________________ 107 6.7.6 – Casco de catamaran __________________________________________ 107 6.7.7 – Quadro de bicicleta (b)_________________________________________ 108 6.7.8 – Chassi de um caminhão leve ____________________________________ 108 7 – FLAMBAGEM DE PLACAS LAMINADAS _______________________________ 109 7.1 – Equações diferencias de placas _____________________________________ 109 7.2 – Equações de placa considerando a flambagem _________________________ 111 7.3 – Método da perturbação aplicado à flambagem __________________________ 114 REFERÊNCIAS ______________________________________________________ 122
Curso de projeto estrutural com materiais compostos
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1 – ASPECTOS GERAIS DOS MATERIAIS COMPOSTOS
1.1– Definição Um material composto é formado pela união de dois materiais de naturezas diferentes, resultando em um material de performance superior àquela de seus componentes tomados separadamente. O material resultante é um arranjo de fibras, contínuas ou não, de um material resistente (reforço) que são impregnados em uma matriz de resistência mecânica inferior as fibras.
1.2– Componentes constituintes de um material composto
1.2.1 – Fibras A(s) fibra(s) é o elemento constituinte que confere ao material composto suas características mecânicas: rigidez, resistência à ruptura, etc. As fibras podem ser curtas de alguns centímetros que são injetadas no momento da moldagem da peça, ou longas e que são cortadas após a fabricação da peça. Os tipos mais comuns de fibras são: de vidro, de aramida (kevlar), carbono, boro, etc. As fibras podem ser definidas como sendo unidirecionais, quando orientadas segundo uma mesma direção; bidimensionais, com as fibras orientadas segundo duas direções ortogonais (tecidos), Figura 1.1 e Figura 1.2, ou com as fibras orientadas aleatoriamente (esteiras), Figura 1.3; e tridimensionais, quando as fibras são orientadas no espaço tridimensional (tecidos multidimensionais).
1.2.2 – Matrizes As matrizes têm como função principal, transferir as solicitações mecânicas as fibras e protegê-las do ambiente externo. As matrizes podem ser resinosas (poliéster, epóxi, etc), minerais (carbono) e metálicas (ligas de alumínio).
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Aspectos gerais dos materiais compostos
Figura 1.1 – Tecido - padrão 1
Figura 1.2 – Tecido - padrão 2
Figura 1.3 – Esteira (fibras contínuas ou cortadas)
Curso de projeto estrutural com materiais compostos
3
A escolha entre um tipo de fibra e uma matriz depende fundamentalmente da aplicação ao qual será dado o material composto: características mecânicas elevadas, resistência a alta temperatura, resistência a corrosão, etc. O custo em muitos casos pode também ser um fator de escolha entre um ou outro componente. Deve ser observada também a compatibilidade entre as fibras e as matrizes.
1.3 – Interesse dos materiais compostos O interesse dos materiais compostos está ligado a dois fatores: econômico e performance. O fator econômico vem do fato do material composto ser muito mais leve que os materiais metálicos, o que implica numa economia de combustível e conseqüentemente, num aumento de carga útil (aeronáutica e aeroespacial). A redução na massa total do produto pode chegar a 30 % ou mais, em função da aplicação dada ao material composto. O custo de fabricação de algumas peças em material composto pode ser também sensivelmente menor se comparado com os materiais metálicos. O fator performance está ligado a procura por um melhor desempenho de componentes estruturais, sobretudo no que diz respeito às características mecânicas (resistência a ruptura, resistência à ambientes agressivos, etc.). O caráter anisotrópico dos materiais compostos é o fator primordial para a obtenção das propriedades mecânicas requeridas pelo componente. A leveza juntamente com as excelentes características mecânicas faz com que os materiais compostos sejam cada vez mais utilizados dentro de atividades esportivas.
1.4 – Aplicações dos materiais compostos A aplicação dos materiais compostos surgiu inicialmente na área aeronáutica devido a necessidade de diminuição de peso, preservando a robustez dos componentes estruturais. Atualmente uma grande variedade de peças em materiais compostos podem ser encontradas nos aviões em substituição aos materiais metálicos: fuselagem, spoilers, portas de trem de aterrissagem, portas internas, etc., Figura 1.4. Em muitos destes componentes, sua concepção foge da definição dada
4
Aspectos gerais dos materiais compostos
inicialmente para materiais compostos, pois nestes casos os componentes são fabricados normalmente em placas de baixa densidade, contra-placadas por placas finas de alta resistência. Esta configuração normalmente é dita sanduíche. De uma forma mais ampla, estas configurações são também consideradas “materiais compostos”, pois combinam diferentes materiais.
Figura 1.4 – Componentes em material composto em aviões-caça Dentro da área aeronáutica, os helicópteros possuem também vários componentes em material composto: pás da hélice principal, hélice traseira, árvore de transmissão, fuselagem, etc, Figura 1.5.
Figura 1.5 – Componentes em material composto em helicópteros
Curso de projeto estrutural com materiais compostos
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A utilização dos materiais compostos dentro da industria automobilística é bem mais recente do que na área aeronáutica. Inicialmente, eram produzidos somente párachoques e tetos de automóveis. Atualmente, o material composto é utilizado para a fabricação de capôs, carters de óleo, colunas de direção, árvores de transmissão, molas laminadas, painéis, etc., Figura 1.6. Uma das grandes vantagens trazidas para o meio automobilístico pelos materiais compostos é, além da redução do peso, a facilidade em confeccionar peças com superfícies complexas.
Figura 1.6 – Componentes em material composto em automóveis Uma atividade esportiva notória que emprega material composto é a Fórmula 1, que pode ser considerada como um laboratório para as inovações tecnológicas. Em muitos casos, o que se emprega dentro dos carros de Fórmula 1, será utilizado futuramente nos carros de passeio. Neste caso, o aumento da relação potência/peso é fundamental para um bom desempenho do carro nas pistas. A configuração mais freqüentemente utilizada nestes carros é do tipo sanduíche que é utilizada para a confecção da carroceria. Em praticamente todas as atividades esportivas, a redução do peso está diretamente ligada a redução do tempo de execução de uma prova esportiva. Como exemplo disto, podemos citar: barcos a vela, skis, bicicletas, etc. Em alguns casos, o que se procura é a agilidade, e a perfeição de alguns golpes, como no tênis, com suas raquetes; no golfe, com seus tacos; e no surf, com suas pranchas.
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Aspectos gerais dos materiais compostos
Figura 1.7 – Barcos a vela
Figura 1.8 – Ski
Uma aplicação bem recente dos materiais compostos na área aeroespacial são os painéis solares de satélites, confeccionados em uma configuração sanduíche, Figura 1.9, e os motores de último estágio dos lançadores de satélites, confeccionados a partir do bobinamento das fibras sobre um mandril, Figura 1.10.
Figura 1.9 – Painéis solares de satélite
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Curso de projeto estrutural com materiais compostos
Figura 1.10 – Propulsor de último estágio de lançador de satélite
1.5 – Propriedades físicas principais
Temperatura
limite de utilização
Coeficiente de
dilatação térmica
1
Alongamento à
ruptura (%)
Tensão de ruptura
à tração (MPa)
205000 79000
Coeficiente de
G
poisson
Módulo de
E
cisalhamento
ligas de
7800
Módulo de
aços
elasticidade
Massa
volumétrica
3
Metais
ρ
ν
σ
ε
α
Tmax
0,3
400 a
1,8 a
1,3.10-5
800
1600
10
2800
75000
29000
0,3
450
10
2,2.10-5
350
4400
105000 40300
0,3
1200
14
0,8.10-5
700
8800
125000 48000
0,3
200 a
1,7.10-5
650
alumínio ligas de titânio Cobre
500
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Aspectos gerais dos materiais compostos
4
0,3.10-5
700
12
30000
0,25
2500
3,5
0,5.10-5
700
2,8
1450
130000 12000
0,4
2900
2,3
-0,2.10-5
1750
230000 50000
0,3
3200
1,3
0,02.10-5 >1500
Módulo de
Massa
2600
74000
Preço/kg 1985
3200
86000
Temperatura
Coeficiente de dilatação térmica (°C-1)
limite de utilização
Alongamento à ruptura (%)
Tensão de ruptura
0,2
2500
à tração (MPa)
$US
G
Coeficiente de poisson
Tmax
Módulo de
α
E
cisalhamento
ε
elasticidade
σ
volumétrica
3
Fibras Vidro
ν
ρ “R” Vidro “E” Kevlar
70
49 Grafite “HR”
70 a 140
Grafite
1800
390000 20000
0,35
2500
0,6
0,08.10-5 >1500
“HM”
70 a 140
400000
0,4.10
ε
α
500
500
G
ν
σ
1600
0,4
130
2 a 6 11.10-5 90 a 200
70
-5
Tmax
Preço/kg 1985
0,8
Temperatura limite de utilização (°C)
Tensão de ruptura à tração (MPa)
Coeficiente de poisson
Módulo de elasticidade (MPa) E
Módulo de cisalhamento (MPa)
Massa volumétrica (kg/m3)
Matrizes
ρ
3400
Coeficiente de dilatação térmica (°C-1)
2600
Alongamento à ruptura (%)
Boro
-5
$US
TERMORESISTENTES Epóxi Fenólica
1200 1300
4500 3000
1100
0,4
2,5
1.10
6 a 20
120 a 200
Poliéster
1200
4000
1400
0,4
80
2,5
8.10-5
60 a 200
2,4
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Curso de projeto estrutural com materiais compostos
Poli
1200
2400
60
1200
30
6.10-5
120
9.10-5
70 a 140
8.10-5
170
carbonato Termoplásticas Poli
900
propileno Poliamida
20 a 400
1100
4000
70
200
6
1.6 – Características da mistura reforço-matriz As propriedades da lâmina (reforço+matriz) são obtidas em função das percentagens de cada componente na mistura. a) Percentagem em massa do reforço. massa de reforço massa total
Mf =
b) Percentagem em massa da matriz. Mm =
massa da matriz ou Mm = 1 - Mf massa total
c) Percentagem em volume do reforço. Vf =
volume de reforço volume total
d) Percentagem em volume da matriz. Vm =
volume da matriz ou Vm = 1 - Vf volume total
e) Massa volumétrica da lâmina. ρ=
massa total volume total
ou: ρ=
massa do reforço massa da matriz + volume total volume total
ρ=
volume do reforço volume da matriz ρf + ρm volume total volume total
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Aspectos gerais dos materiais compostos
ρ = ρf . Vf + ρm . Vm onde ρf e ρm são as massas volumétricas do reforço e da matriz, respectivamente. f) Módulo de elasticidade longitudinal El ou E1 (propriedades estimadas). E1 = Ef . Vf + Em . Vm ou: E1 = Ef . Vf + Em . (1 – Vf) g) Módulo de elasticidade transversal Et ou E2.
1 E2 = Em (1 − V ) + Em V f f Eft onde Eft representa o módulo de elasticidade do reforço na direção transversal. h) Módulo de cisalhamento Glt ou G12.
G12
1 = Gm (1 − V ) + Gm V f f Gft
onde Gft representa o módulo de cisalhamento do reforço. i) Coeficiente de poisson νlt ou ν12. ν12 = νf . Vf + νm . Vm j) Resistência a ruptura da lâmina.
E σ1ruptura = σf ruptura Vf + (1 − Vf ) m Ef ou: σ1ruptura = σf ruptura .Vf k) Propriedades mecânicas de algumas misturas mais comumente utilizadas. As propriedades na tabela abaixo correspondem a uma mistura de fibras unidirecionais+resina epóxi com 60 % do volume em fibras.
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Curso de projeto estrutural com materiais compostos
vidro
kevlar
carbono
Massa volumétrica (kg/m )
2080
1350
1530
σruptura em tração na direção 1 (Xt) (MPa)
1250
1410
1270
σruptura em compressão na direção 1 (Xc) (MPa)
600
280
1130
σruptura em tração na direção 2 (Yt) (MPa)
35
28
42
σruptura em compressão na direção 2 (Yc) (MPa)
141
141
141
τ12 ruptura em cisalhamento (S12) (MPa)
63
45
63
τruptura em cisalhamento interlaminar (MPa)
80
60
90
módulo de elasticidade longitudinal E1 (MPa)
45000
85000
134000
módulo de elasticidade transversal E2 (MPa)
12000
5600
7000
módulo de cisalhamento G12 (MPa)
4500
2100
4200
coeficiente de poisson ν12
0,3
0,34
0,25
Coef. de dilatação térmica longitudinal α1 (°C-1)
0,4
3
a -0,4.10-5
5
0,7.10-5 Coef. de dilatação térmica transversal α2 (°C-1)
1,6 a
-0,12.10-
5,8.10-5
3,4.10-5
2.10-5 1.7 – Processos de fabricação
Muitas peças ou estruturas em material composto são geralmente produzidas por uma composição de lâminas sucessivas, chamadas de estruturas estratificadas. Os processos de fabricação são inúmeros e devem ser selecionadas segundo requisitos como: dimensões, forma, qualidade, produtividade (capacidade de produção), etc. As operações básicas para a obtenção da peça final têm a seguinte seqüência:
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Aspectos gerais dos materiais compostos
Fibras
Resina
Impregnação (mistura)
Colocação da mistura sobre o molde/mandril
Polimerização (estufa)
Desmoldagem
Acabamento
1.7.1 – Moldagem sem pressão O molde é primeiramente revestido de um desmoldante e posteriormente de uma resina colorida. A seguir as fibras são depositadas sobre o molde e em seguida impregnadas com resina e compactadas com um rolo. O processo se segue para as lâminas sucessivas, Figura 1.11. A polimerização (solidificação) ou cura da resina pode ser feita com ou sem o molde, isto em função da geometria da peça. A cura da resina pode ser feita em temperatura ambiente ou ser acelerada se colocada em uma estufa a uma temperatura entre 80° C e 120° C. Após a cura da resina e a desmoldagem, a peça é finalizada: retirada de rebarbas, pintura, etc.
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Curso de projeto estrutural com materiais compostos
resina fibras molde rolo
Figura 1.11 – Moldagem sem pressão
1.7.2 – Moldagem por projeção simultânea Este
processo
consiste
em
projetar
simultaneamente
fibras
cortadas
impregnadas em resina sobre o molde. A lâmina de fibras impregnadas é em seguida compactada por um rolo e novas lâminas podem ser sucessivamente depositadas, Figura 1.12. Um contra-molde pode eventualmente ser utilizado para a obtenção de faces lisas e para proporcionar uma melhor compactação entre as lâminas. A vantagem deste processo com relação ao anterior é permitir uma produção em série das peças, no entanto, as características mecânicas das peças são médias devido ao fato das fibras serem cortadas. resina
pistola
fibra
fibra cortada e resina
Figura 1.12 – Moldagem por projeção simultânea
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Aspectos gerais dos materiais compostos
1.7.3 – Moldagem a vácuo Neste processo as fibras podem ser colocadas manualmente como na moldagem sem pressão, ou automaticamente por projeção simultânea. Neste caso um contramolde e uma bomba a vácuo são utilizados para permitir uma melhor compactação e evitar a formação de bolhas, Figura 1.13.
fibras
contra molde
resina
Bomba a vácuo
Figura 1.13 – Moldagem a vácuo 1.7.4 – Moldagem por compressão a frio Neste processo a resina é injetada sob pressão no espaço entre o molde e o contra-molde. A cura pode ser feita a temperatura ambiente ou em uma estufa. Há casos onde o molde e o contra-molde são aquecidos, sendo este processo chamado de compressão a quente. Neste caso a cura da resina é feita no próprio molde, Figura 1.14. 1.7.5 – Moldagem por injeção O processo por injeção consiste em injetar as fibras impregnadas a partir de um parafuso sem fim no molde aquecido, Figura 1.15.
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Curso de projeto estrutural com materiais compostos
contra-molde molde resina
Figura 1.14 – Moldagem por compressão a frio
Fibra pré-impregnada aquecida
molde
Contra-molde
aquecido
aquecido
Figura 1.15 – Moldagem por injeção
1.7.6 – Moldagem em contínuo Este processo permite produzir placas e painéis de grande comprimento. As fibras (unidirecionais, tecidos ou esteira) juntamente com a resina são depositadas entre dois filmes desmoldantes. A forma da placa e a cura da resina são dadas dentro da estufa, Figura 1.16 e Figura 1.17.
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Aspectos gerais dos materiais compostos
fibras filme desmoldante
resina
estufa faca
filme desmoldante
rolos
Figura 1.16 – Moldagem de placas contínuas
resina
fibras cortadas
filme desmoldante
estufa
faca
rolos filme desmoldante
Figura 1.17 – Moldagem de placas onduladas contínuas
1.7.7 – Moldagem por centrifugação Este processo é utilizado na produção de peças de revolução. Dentro do molde em movimento de rotação é injetado as fibras cortadas juntamente com a resina. A impregnação da resina nas fibras e a compactação é feita pelo efeito de centrifugação. A cura da resina pode ser feita a temperatura ambiente ou em uma estufa. Este processo é utilizado em casos onde não se exige homogeneidade das propriedades mecânicas da peça.
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Curso de projeto estrutural com materiais compostos
molde
fibra
Figura 1.18 – Moldagem por centrifugação Outros processos de fabricação de peças de revolução podem ser empregados quando se exige homogeneidade das propriedades mecânicas da peça. Nestes processos fibras são enroladas (bobinadas) sobre um mandril que dará a forma final da peça. Este processo permite a fabricação industrial de tubos de diversos diâmetros e grandes comprimentos de alta performance. Para atender a estas necessidades de projeto, o bobinamento das fibras pode ser feito da seguinte maneira: bobinamento circunferencial, bobinamento helicoidal e o bobinamento polar.
1.7.8 – Bobinamento circunferencial No bobinamento circunferencial, as fibras são depositadas em um mandril rotativo, com um ângulo de deposição de 90° em relação ao eixo de rotação, Figura 1.19. Este tipo de bobinamento resiste aos esforços circunferenciais.
18
Aspectos gerais dos materiais compostos
Figura 1.19 - Bobinamento circunferencial
1.7.9 – Bobinamento helicoidal No bobinamento helicoidal, as fibras são depositadas em um mandril rotativo com um ângulo de deposição α em relação ao eixo de rotação, Figura 1.20. Este tipo de bobinamento resiste aos esforços circunferenciais e longitudinais.
mandril fibras
guia resina
Figura 1.20 - Bobinamento helicoidal
Curso de projeto estrutural com materiais compostos
fibras
19
estufa
fibras impregnadas
mandril
Figura 1.21 - Bobinamento helicoidal contínuo
1.7.10 – Bobinamento polar No bobinamento polar, o reforço é depositado no mandril de forma a tangenciar as duas aberturas dos domos, traseiro e dianteiro, Figura 1.22. O ângulo de deposição varia de αo, constante na região cilíndrica, até 90° nas duas aberturas dos domos. O bobinamento polar resiste preferencialmente aos esforços longitudinais. A fabricação de vasos de pressão bobinados consiste de dois tipos de bobinamento, como é o caso da Figura 1.10. Nos domos traseiro e dianteiro, o bobinamento é do tipo polar [(±θ], enquanto que na região cilíndrica, os bobinamentos circunferencial e polar se intercalam [(90º/±θ].
20
Aspectos gerais dos materiais compostos
Figura 1.22 - Bobinamento polar
1.8 – Arquitetura dos materiais compostos
1.8.1 – Laminados Os laminados, ou estruturas laminadas, são constituidos de sucessivas lâminas de fibras impregnadas em resina segundo uma orientação, Figura 1.23. A designação dos laminados é efetuada segundo a disposição das lâminas e a orientação da lâmina com relação ao eixo de referência, Figura 1.24.
21
Curso de projeto estrutural com materiais compostos
Figura 1.23 – Constituição de um laminado
45°
30°
90° 90° 45°
0°
45°
0° 45° 90° 90° 30°
[45/0/45/902/30
Figura 1.24 – Designação de um laminado
1.8.2 – Sanduíche O princípio da técnica de estruturas do tipo sanduíche consiste em colocar um material leve (geralmente com boas propriedades em compressão) entre duas contraplacas com alta rigidez. Este princípio concilia leveza e rigidez a estrutura final.
22
Aspectos gerais dos materiais compostos
Placas rígidas (aço, placas laminadas, etc) alma de baixo peso (espuma, resina, etc)
Alma de madeira Sentido das fibras da madeira
Placas rígidas (aço, placas laminadas, etc)
Figura 1.25 – Sanduíche de alma plena
colméia
alma ondulada
Figura 1.26 – Sanduíche de alma “oca”
1.9 – Determinação experimental das constantes elásticas de uma lâmina
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Curso de projeto estrutural com materiais compostos
Para a determinação das constantes elásticas de placas unidirecionais em fibra/resina, é necessário cortar dois corpos de prova padronizados, sobre os quais são colados dois extensômetros dispostos ortogonalmente como mostrado abaixo.
y
σx
x y
σx
20°
x
Os corpos de prova são ensaiados numa máquina de tração e as deformações são medidas pelos extensômetros. Como exemplo, se for aplicado uma tensão de tração σx = 20 MPa, as deformações medidas pelos extensômetros no primeiro corpo de prova são: ε1x = 143e6 e ε1y = - 36e-6. Assim: ε1x =
σx σx = E x E1
, E1 =
σx 20 = ε1x 143e − 6
ε1y = −ν xy ε1x = −ν12 ε1x , ν12 = −
ε1y ε1x
, E1 = 139860 MPa
, ν12 =
36e − 6 , ν12 = 0,25 143e − 6
Analogamente, se for aplicado uma tensão de tração σx = 20 MPa, as deformações medidas pelos extensômetros no segundo corpo de prova, no qual as fibras formam um ângulo de 20° com o eixo x, são: ε2x = 660e-6 e ε2y = - 250e-6. Assim de [1], pag. 332:
24
Aspectos gerais dos materiais compostos
ε2x =
σx Ex
(1)
1 1 c 4 s4 ν = + + c 2 s2 − 2 12 E x E1 E2 E1 G12
(2)
4 1 ν s4 c ε2x = + + c 2 s2 − 2 12 σ x E1 G12 E1 E2
(3)
ε2y = −ν xy
σx Ex
(4)
onde c = cos 20° e s = sen 20°. Como
−
ν xy Ex
=−
ν yx ν xy ν 21 ν12 = e = : E2 E1 Ey Ex
1 ν 21 4 1 1 c + s 4 + c 2 s2 + − E2 E1 E2 G12
(
)
(5)
Substituindo (5) em (4): 1 1 1 ν ε2y = − 12 c 4 + s4 − c 2s2 + − σx E1 E1 E2 G12
(
)
De (3) e (6) temos:
1 0,1325 + = 2,69e − 4 G12 E2
,
1 1 − = 1,144e − 4 G12 E2
A solução é: E2 = 7320 MPa
, G12 = 3980 MPa e ν21 = 0,013
(6)
25
Curso de projeto estrutural com materiais compostos
2 – CONSTANTES ELÁSTICAS DOS MATERIAIS COMPOSTOS
2.1 – Equações constitutivas para materiais compostos
A anisotropia dos materiais compostos é mais facilmente trabalhada do que nos casos mais gerais de materiais anisotrópicos, como por exemplo a madeira. Para os materiais compostos, pode-se definir um sistema de eixos ortogonais, dentro do qual as propriedades mecânicas são identificadas. Um eixo designado 1 (ou l) é colocado longitudinalmente as fibras, um outro designado 2 (ou t) é colocado transversalmente as fibras e um outro designado 3 (ou t’) é colocado ortogonalmente aos dois anteriores, Figura 2.1.
3
2
1 Figura 2.1 – Sistema de eixos de ortotropia A lei de comportamento do material composto que relaciona deformação/tensão pela matriz de flexibilidade, dentro do sistema de eixos de ortotropia (1, 2, 3), contêm 9 constantes elásticas independentes, e é da seguinte maneira:
26
Constantes elásticas dos materiais compostos
−ν31
−ν 21 1 E1 E2 1 ε1 −ν12 E1 E2 ε 2 −ν −ν 23 13 ε3 E E2 1 = γ 23 0 0 γ13 0 γ12 0 0 0
0
0
0
0
1 E3
0
0
0
1 G23
0
0
0
1 G13
0
0
0
−ν32
E3 E3
0 0 σ1 σ 2 0 σ3 τ 0 23 τ13 0 τ12 1 G12
(2.1)
onde: εii = deformações normais na direção i γij = deformações angulares no plano ij σii = tensões normais na direção i τij = tensões de cisalhamento no plano ij νij = coeficiente de poisson (deformação causada na direção j devida uma solicitação na direção i). Ei = módulo de elasticidade na direção i Gij = módulo de cisalhamento no plano ij Como a matriz de comportamento é simétrica tem-se que: ν 21 ν12 = E2 E1
,
ν 31 ν13 = E3 E1
,
ν 32 ν 23 = E3 E2
(2.2)
Para a demonstração da simetria da matriz de comportamento, considere uma placa unidirecional de dimensões a, b e espessura e: 2
a 1 b
Curso de projeto estrutural com materiais compostos
27
Deformações devido a σ1 (na direção longitudinal):
( ε1 )l =
∆bl σ1 = b E1
, ( ε2 )l =
∆al σ = −ν12 ( ε1 )l = −ν12 1 a E1
(2.3)
Deformações devido a σ2 (na direção transversal):
( ε 2 )2 =
∆a2 σ2 = a E2
, ( ε1 )2 =
∆b2 σ = −ν 21 ( ε2 )2 = −ν 21 2 b E2
(2.4)
Considerando a energia acumulada devida ao carregamento σ1 e depois a σ2, mantendo σ1: W=
1 1 (σ1 a e) ∆b1 + (σ2 b e) ∆a2 + (σ1 a e) ∆b2 2 2
(2.5)
Considerando agora a energia acumulada devida ao carregamento σ2 e depois a σ1, mantendo σ2: W' =
1 1 (σ2 b e) ∆a2 + (σ1 a e) ∆b1 + (σ2 b e) ∆a1 2 2
(2.6)
Sendo a energia final a mesma, W = W’: (σ1 a e) ∆b2 = (σ2 b e) ∆a1 ,
σ σ σ1 a e −ν 21 2 b = σ2 b e −ν12 1 a E2 E1
ν 21 ν12 = E2 E1
(2.7) (2.8)
Em alguns casos, é possível considerar que as propriedades mecânicas nas direções 2 e 3 são idênticas, já que, como mostrado pela Figura 2.1, estas direções são direções perpendiculares a direção 1. Para este caso de materiais, ditos isotrópicos transversos, a matriz de comportamento se simplifica, necessitando somente de 5 constantes elásticas independentes:
28
Constantes elásticas dos materiais compostos
−ν 21 1 E1 E2 1 ε1 −ν12 E1 E2 ε 2 −ν12 −ν 2 ε3 E E2 1 = γ 23 0 0 γ13 0 γ12 0 0 0
−ν 21 −ν 2
E2
E2
1 E2
0
0
0
0
0
0
2(1 + ν 2 )
0
E2
0
0
0
1 G12
0
0
0
0 0 σ1 σ2 0 σ 3 τ23 0 τ13 0 τ12 1 G12
(2.9)
onde: ν2 = coeficiente de poisson no plano de isotropia transversa Nota-se que, devido a isotropia transversa,
1 2(1 + ν 2 ) = . G23 E2
A relação tensão/deformação é dada pela matriz constitutiva do material, inversa da matriz de flexibilidade dada na eq. (2.1): σ1 Q11 σ Q 2 21 σ3 Q31 = τ23 Q41 τ13 Q51 τ12 Q61
Q12 Q22
Q13 Q23
Q14 Q24
Q15 Q25
Q32 Q42
Q33 Q43
Q34 Q44
Q35 Q45
Q52
Q53
Q54
Q55
Q62
Q63
Q64
Q65
Q15 Q26 Q36 Q46 Q56 Q66
ε1 ε 2 ε3 γ 23 γ13 γ12
(2.10)
onde os termos não nulos são:
Q11 =
ν + ν31ν 23 1 + ν 23 ν32 Q12 = 21 Q44 = G23 E 2 E3 ∆ E 2 E3 ∆
Q22 =
ν + ν 21ν32 1 + ν13 ν 31 Q13 = 31 Q55 = G31 E1 E3 ∆ E 2 E3 ∆
Q33 =
ν + ν12ν 31 1 + ν12ν 21 Q23 = 32 Q66 = G12 E1 E2 ∆ E1 E3 ∆
(2.11)
29
Curso de projeto estrutural com materiais compostos
com ∆ =
1 + ν12ν 21 − ν 23 ν 32 − ν13ν 31 − 2 ν 21ν 32ν13 E1 E2 E3
Considerado somente o estado plano de tensão (placas laminadas com σ33 = 0, τ23 = 0 e τ13 = 0), a matriz de rigidez do material composto pode ser freqüentemente encontrada da seguinte forma: σ1 Q11 Q12 σ2 = Q12 Q22 τ 0 0 12
0 ε1 0 ε2 Q66 γ12
(2.12)
onde:
Q11 = E1
(1 − ν12ν 21 )
Q22 = E2 Q12 =
(1 − ν12ν 21 )
ν 21E1
(2.13)
(1 − ν12ν 21 )
Q66 = G12
2.2 – Efeito da temperatura
Quando se deseja levar em consideração os efeitos de variação de temperatura em estruturas compostas, na lei de comportamento do material deve ser considerada as deformações devido a este efeito:
−ν 21 1 E1 E2 1 ε1 −ν12 E1 E2 ε 2 −ν −ν 23 ε3 13 E E2 1 = γ 23 0 0 γ13 0 γ12 0 0 0
−ν31
0
0
0
0
1 E3
0
0
0
1 G23
0
0
0
1 G13
0
0
0
−ν 32
E3 E3
0 α1 0 σ1 α σ 2 2 0 σ3 α3 + ∆T τ 0 0 23 0 τ13 0 τ12 0 1 G12
(2.14)
30
Constantes elásticas dos materiais compostos
onde α1 é o coeficiente de dilatação térmica das fibras, α2 é o coeficiente de dilatação térmica da resina e α3 é o coeficiente de dilatação térmica da resina. A forma inversa da relação anterior colocada de maneira compacta é:
{σ } = [C ] {ε 1
1
1
− ε1t
}
onde ε1t é a deformação térmica.
(2.15)
31
Curso de projeto estrutural com materiais compostos
3 – CONSTANTES ELÁSTICAS DOS MATERIAIS COMPOSTOS NUMA DIREÇÃO QUALQUER
3.1 – Equações constitutivas dos materiais compostos numa direção qualquer
Para a análise do comportamento mecânico de placas laminadas é necessário definir um sistema de eixos de referência (x, y, z) para o conjunto de lâminas e expressar as constantes elásticas de cada lâmina neste sistema de referência. Para isto é considerada uma lâmina sobre a qual estão definidos os eixos de ortotropia (1, 2, 3). O sistema de eixos de referência é girado em torno do eixo 3 do ângulo θ, Figura 3.1. 3, z
y 2
θ 1
x
Figura 3.1 – Sistema de eixos de ortotropia e de referência Uma das maneiras de determinar a matriz de transformação, que relaciona as tensões dadas no sistema de eixos de referência com as tensões no sistema de eixos de ortotropia, é através do balanço de forças nas direções x e y sobre um elemento plano, conforme mostrado na Figura 3.2.
32
Constantes elásticas dos materiais compostos numa direção qualquer
2
y
σ2 τ21 τ12
B θ
+θ
σ1 C
x
A +θ
1
y
y
x
σx
τxy
θ
σ1 dA
τ12
τxy dA
σx dA
σ1 dA cosθ
x
θ
τ12 dA cosθ
τ21
τ21 dA senθ σ2
σ2 dA senθ
Figura 3.2 – Transformação de tensão no plano x-y Aplicando as equações de equilíbrio estático: →
∑Fx = 0 ,
σ x dA − σ1 dA cos θ cos θ − τ12 dA cos θ sen θ − σ2 dA sen θ sen θ − τ12 dA sen θ cos θ = 0
σ x = σ1 cos2 θ + σ2 sen2 θ + 2 τ12 cos θ sen θ ↑
∑Fy = 0 ,
(3.1) (3.2)
33
Curso de projeto estrutural com materiais compostos
τxy dA + σ1 dA cos θ sen θ − τ12 dA cos θ cos θ −
(3.3)
σ2 dA sen θ cos θ + τ12 dA sen θ sen θ = 0 τxy = − σ1 cos θ sen θ + σ2 sen θ cos θ + τ12 (cos2 θ − sen2 θ)
(3.4)
A tensão normal σy é obtida fazendo θ = θ + 90° na equação para σx. σ y = σ1 sen2 θ + σ2 cos2 θ − 2 τ12 cos θ sen θ
(3.5)
Considerando o elemento conforme apresentado pela Figura 3.3, pode-se determinar a tensão σxz: dA
x
z
y
θ
1
τxz
τ13 τ23
Figura 3.3 – Transformação de tensões transversas ↑
∑Fz = 0 ,
τ xz dA − τ13 dA cos θ −τ23 dA sen θ = 0
(3.6)
τ xz = τ23 sen θ + τ13 cos θ
(3.7)
A tensão σyz é obtida fazendo θ = θ + 90° na equação para σxz. σ yz = σ23 cos θ −σ13 sen θ
(3.8)
34
Constantes elásticas dos materiais compostos numa direção qualquer
A matriz de transformação [T], pode então ser escrita da forma:
σ x c 2 s2 σ 2 c2 y s 0 σ z 0 = 0 τ yz 0 τ xz 0 0 τ xy − sc sc
0 0 0 0 1 0 0 c 0 s 0 0
2sc σ1 0 − 2sc σ 2 0 0 σ 3 0 τ 23 −s c 0 τ13 0 c 2 − s 2 τ12 0
{σ } = [T ] {σ } x
ou
σ
1
(3.9)
O tensor de deformações medido no sistema de referência tem a mesma forma que o tensor de tensões dado no sistema de referência (x, y, z), ou seja: εx c2 s2 2 c2 εy s ε z 0 0 = 0 γ yz 0 γ 0 0 xz γ xy −2sc 2sc onde [Tε ] =
( [T ] ) σ
−1 t
0
0
0
0
0
0
1 0
0 c
0 s
−sc 0 0 0 c 2 − s2 sc
0 −s c 0
0
0
ou [Tε ]
−1
ε1 ε 2 ε3 x 1 ou ε = [ Tε ] ε γ 23 γ13 γ12
{ }
{ }
(3.10)
= [Tσ ] t
Considerando o comportamento elástico linear, a lei de comportamento do material composto expressa no sistema de eixos de referência (x, y, z) é da seguinte forma:
{σ } = [T ] {σ } = [T ] [C ] {ε } = [T ] [C ] [T ] {ε } = [T ] [C ] [T ] {ε } x
σ
1
σ
1
1
σ
1
ε
−1
x
σ
1
σ
t
x
(3.11)
Logo, a matriz de rigidez ou matriz constitutiva [Cx], dada no sistema de eixos de referência (x, y, z) é:
[C ] = [T ] [C ] [T ] x
σ
1
σ
t
(3.12)
35
Curso de projeto estrutural com materiais compostos
Considerado somente o estado plano de tensão (placas laminadas com σ33 = 0, τ23 = 0 e τ13 = 0), a matriz de rigidez do material composto obtida no sistema de eixos de referência é freqüentemente encontrada da seguinte forma: σ Q Q12 x 11 σ y = Q21 Q22 Q Q62 τ xy 63
ε x εy γ xy
Q16 Q26 Q66
(3.13)
com: Q11 = c 4Q11 + s4Q22 + 2c 2s2 (Q12 + 2Q66 ) Q22 = s4Q11 + c 4Q22 + 2c 2s2 (Q12 + 2Q66 )
( ) + (c
)Q = c s ( Q + Q − 4Q + s )Q = −cs c Q − s Q − ( c − s ) ( Q + 2Q = −cs s Q − c Q + ( c − s ) ( Q + 2Q
Q66 = c 2s2 ( Q11 + Q22 − 2Q12 ) + c 2 − s2 Q12 Q16 Q26
2 2
11
2
2
22
66
2
11
22
2
11
22
4
2
2
2
2
66
4
(3.14)
12
12
66
)
12
66
)
onde Q11, Q22, Q12 e Q66 são dados da eq. (2.13). A matriz de flexibilidade [S], que relaciona deformação/tensão, dada no sistema de eixos de referência (x, y, z) é:
{ε } = [T ] {ε } = [T ] [S ] {σ } = [T ] [S ] [T ] {σ }= [T ] [S ] [T ] {σ } x
ε
1
1
ε
1
ε
1
σ
−1
x
ε
1
ε
t
x
(3.15)
ou:
{S }= [T ] [S ] [T ] x
ε
1
ε
t
(3.16)
Após a multiplicação de matrizes, a matriz de flexibilidade pode ser expressa da seguinte maneira [1]:
36
Constantes elásticas dos materiais compostos numa direção qualquer
1 Ex −ν ε x xy Ex ε y − ν xz ε z Ex = γ yz 0 γ xz 0 γ xy ηx Ex
− ν yx
Ey
1 Ey − ν yz Ey
− ν zx − ν zy
Ez Ez
1 Ez
0
0
1
0
0
ξ yz
µy
Ex
ςz
Ez
0
0
0
0
0
0
G yz G yz 0
ξ xz 1
G xz
G xz 0
η xy
G xy µ xy σ G xy x σ y ς xy G xy σ z 0 τ yz τ xz 0 τ xy 1 G xy
(3.17)
Observa-se que surgem termos de acoplamento que relacionam tensões de cisalhamento com deformações normais: ηxy/Gxy, µxy/Gxy e ζx/Gxy; e termos de acoplamento que relacionam tensões normais com deformações angulares ηx/Ex, µy/Ex, e ζz/Ez. Estes termos surgem quando, por exemplo, aplicando uma tensão normal, a lâmina se deforma da seguinte maneira, Figura 3.4:
Material isotrópico σx
σx
Material ortotrópico σx
σx
Figura 3.4 – Deformação de materiais isotrópico e ortotrópico devido à carga normal
Curso de projeto estrutural com materiais compostos
37
3.2 - Efeito da temperatura O efeito da temperatura sobre os materiais compostos considerado em uma direção qualquer é dado da forma:
{ε } = [T ] {ε } x t
1
ε
(3.18)
ou seja: εx t c 2 s2 εy t s2 c2 0 εz t 0 = 0 γ yz t 0 γ 0 0 xz t γ xy t −2sc 2sc
0
0
0
0
0
0
1 0 0 0 c s 0 −s c 0
0
0
−sc 0 0 0 c 2 − s2 sc
∆T α1 ∆T α 2 ∆T α3 0 0 0
(3.19)
A relação tensão/deformação considerando o efeito da temperatura, dada no sistema de eixos de referência (x, y, z) pode ser obtida pela eq. (2.19) e utilizando a matriz de transformação dada pelas eqs. (3.9) ou (3.10):
[Tσ ] {σ1} = [Tσ ] [C1 ] {ε1 − ε1t} = [Tσ ] [C1 ] [Tε ]−1 {ε x − ε tx } = [Tσ ] [C1 ] [Tσ ] t {ε x − ε tx }
ou seja:
{σ }= [C ] {ε x
x
x
− ε tx
}
(3.20)
(3.21)
A relação tensão/deformação considerando somente o estado plano de tensão é do tipo: σ x Q11 Q12 σ y = Q12 Q22 Q Q26 τxy 16
Q16 Q26 Q66
εx − εx t εy − εy t γ xy − γ xy t
(3.22)
38
Comportamento mecânico de placas laminadas
4 – COMPORTAMENTO MECÂNICO DE PLACAS LAMINADAS Os materiais compostos são na maioria dos casos utilizados na forma de laminados, onde as lâminas são coladas umas sobre as outras com orientações e espessura das fibras podendo ser diferentes uma das outras. No caso de placas, uma dimensão é muito pequena com relação as outras duas. Em conseqüência disto, a tensão normal na direção da espessura da placa é considerada desprezível (σz = 0). As deformações são determinadas em função do campo de deslocamentos definido para o laminado. Na teoria clássica de laminados, na definição do campo de deslocamentos, o cisalhamento transverso é considerado nulo (σxz = σyz = 0). Na teoria de primeira ordem, na definição do campo de deslocamentos, o cisalhamento transverso é considerado não nulo (σxz ≠ 0, σyz ≠ 0), porém constante ao longo da espessura da placa.
4.1 – Teoria clássica de laminados
Da definição do campo de deslocamento na teoria clássica de laminados, o cisalhamento transverso é considerado nulo, o que resulta num estado plano de tensão, onde as únicas tensões não nulas são: σx, σy e σxy.
4.1.1 – Comportamento em membrana No estudo do comportamento em membrana dos materiais compostos, é considerado um laminado de espessura total h com n lâminas de espessura hk cada uma. As solicitações no plano do laminado são denotadas Nx, Ny (forças normais por unidade de comprimento transversal); Nxy e Nyx (forças cortantes por unidade de comprimento transversal). Os eixos x, y, e z são eixos de referência, conforme visto no item 3. Os esforços Nx, Ny, Nxy e Nyx são determinados da seguinte maneira:
39
Curso de projeto estrutural com materiais compostos
N x .1 = N y .1 =
h/2
n
−h / 2
k =1
h/2
n
−h / 2
k =1
k ∫ σ x (dz .1) = ∑ σ x hk k ∫ σ y (dz .1) = ∑ σ y hk
(4.1)
h/2
n
−h / 2
k =1
N yx .1 = N xy .1 =
k ∫ τ xy (dz .1) = ∑ τ xy hk
z dy y dx Ny dx Nyx dx
Nxy dy
x Nx dy
z
z
h
hk
tensões deformações
Considerando que os deslocamentos na direção x e y são u e v, respectivamente, as deformações normais e angulares correspondentes à estas solicitações são:
40
Comportamento mecânico de placas laminadas
∂u ∂x ∂v εy = ∂y εx =
(4.2)
∂u ∂v + ∂y ∂x
γ yx =
As tensões σx, σy e σxy são obtidas no sistema de eixos de referência x, y, e z, e estão relacionadas com as deformações pela matriz de rigidez, eq. (3.13). Considerando somente os esforços de membrana, os esforços Nx, Ny, e Nxy são determinados em função das constantes elásticas de cada lâmina: n
{
}
k k k N x = ∑ Q11 ε x + Q12 ε y + Q16 γ xy hk k =1
(4.3)
que de maneira mais compacta pode escrito:
Nx = A11 ε x + A12 ε y + A16 γ xy
(4.4)
onde: n
k A 11 = ∑ Q11 hk k =1 n
k A 12 = ∑ Q12 hk
(4.5)
k =1 n
k A 16 = ∑ Q16 hk k =1
De maneira análoga: Ny = A 21 ε x + A 22 ε y + A 26 γ xy
(4.6)
com: n
A 2 j = ∑ Q2k j hk k =1
(4.7)
41
Curso de projeto estrutural com materiais compostos
N xy = A 61 ε x + A 62 ε y + A 66 γ xy
(4.8)
com: n
A 6 j = ∑ Q6k j hk
(4.9)
k =1
Exprimindo os esforços Nx, Ny, e Nxy em forma matricial, temos:
N x A 11 N y = A 21 N A xy 61
A 12 A 22 A 62
A 16 ε x A 26 ε y A 66 γ xy
(4.10)
com: n
A ij = ∑ Qijk hk
(4.11)
k =1
Observações: As expressões acima são independentes da ordem de empilhamento das lâminas. Os termos de acoplamento A16, A26, A61 e A62 se anulam quando o laminado é simétrico e equilibrado (mesmo número de lâminas de mesma espessura na direção +θ e -θ) ou anti-simétrico. A partir dos esforços Nx, Ny, e Nxy, pode-se determinar as tensões globais (fictícias), considerando o laminado como sendo homogêneo:
σx = σy = τ xy =
Nx h Ny h N xy h
(4.12)
42
Comportamento mecânico de placas laminadas
A lei de comportamento em membrana do laminado “homogêneo” é da seguinte forma: σx A 11 1 σ y = A 21 τ h A 61 xy
A 12 A 22 A 62
A 16 ε x A 26 ε y A 66 γ xy
(4.13)
Os componentes da matriz de comportamento acima podem também ser apresentados em termos de porcentagem de lâminas numa mesma orientação em relação a espessura total. n h 1 A ij = ∑ Qijk k h h k =1
(4.14)
Da inversão da matriz de comportamento acima, obtêm-se as constantes elásticas aparentes ou homogeneizadas do laminado: 1 Ex εx − ν xy εy = Ex γ xy ηx Ex
− ν yx 1
µy
Ey
Ey Ex
Gxy σ x µ xy σ Gxy y τ xy 1 Gxy ηxy
(4.15)
A partir destas constantes elásticas, conhecido o carregamento do laminado (Nx, Ny e Nxy), é possível determinar as deformações. Exemplo 4.1 – Considere o laminado simétrico e balanceado (+45°/-45°/-45°/+45°) em vidro/epóxi. Determine as constantes elásticas do laminado se cada lâmina tem espessura 0,5 mm. Considere: E1 = 45,0 GPa, E2 = 12,0 GPa, G12 = 4,5 GPa, ν12 = 0,30. A matriz constitutiva das lâminas no sistema de ortotropia (1, 2, 3), eq. (2.12), é da seguinte forma:
0 46,1 3,7 [Q] = 3,7 12,3 0 10 3 MPa 0 0 4,5
(4.16)
43
Curso de projeto estrutural com materiais compostos
Para as lâminas orientadas à +45°, a matriz constitutiva das lâminas no sistema de referência (x, y, z), eq. (3.13), é da forma:
[Q ]
+ 450
20,9 11,9 8,46 = 11,9 21,0 8,46 10 3 MPa 8,46 8,46 12,8
(4.17)
Para as lâminas orientadas à -45°, a matriz constitutiva das lâminas no sistema de referência (x, y, z), eq. (3.13), é da forma:
[Q ]
− 450
11,9 − 8,46 20,9 = 11,9 21,0 − 8,46 10 3 MPa − 8,46 − 8,46 12,8
(4.18)
A matriz [A] que representa a rigidez em membrana do laminado, eq. (4.10) é: 0 41,87 23,89 [A ] = 23,89 41,91 0 10 3 N mm 0 0 25,51
(4.19)
A lei de comportamento em membrana do laminado considerado “homogêneo”, eq. (4.13) é da seguinte forma: σx 0 εx 41,87 23,89 1 0 ε y σ y = 23,89 41,91 τ 2 0 0 25,51 γ xy xy
(4.20)
Logo, invertendo o sistema dado pela eq. (4.20), as constantes elásticas podem ser encontradas: Ex = 14,13 103 MPa, Ey = 14,14 103 MPa, νxy = 0,5701, νyx = 0,5705, Gxy =12,76 103 MPa e os termos de acoplamento são: ηxy = 0.0, µxy = 0.0, ηx = 0.0, µy = 0.0
44
Comportamento mecânico de placas laminadas
Exemplo 4.2 – Considere o laminado anti-simétrico e balanceado (+45°/-45°/+45°/-45°) em vidro/epóxi. Determine as constantes elásticas do laminado se cada lâmina tem espessura 0,5 mm. Considere: E1 = 45,0 GPa, E2 = 12,0 GPa, G12 = 4,5 GPa, ν12 = 0,30. As matrizes constitutivas no sistema de eixos de ortotropia e de referência são idênticas às apresentadas no exemplo 4.1. A matriz [A] e a lei de comportamento em membrana do laminado considerado “homogêneo”, também são idênticas, logo as constantes elásticas são também idênticas e são: Ex = 14,13 103 MPa, Ey = 14,14 103 MPa, νxy = 0,5701, νyx = 0,5705, Gxy =12,76 103 MPa e os termos de acoplamento são: ηxy = 0,0, µxy = 0,0, ηx = 0,0, µy = 0,0 Observe que nestes dois exemplos anteriores, o laminado pode ser considerado quase isotrópico. Exemplo 4.3 – Considere um laminado com seqüência de empilhamento aleatória (+30°/-45°/-60°/45°) em vidro/epóxi. Determine as constantes elásticas do laminado se cada lâmina tem espessura 0,5 mm. Considere: E1 = 45,0 GPa, E2 = 12,0 GPa, G12 = 4,5 GPa, ν12 = 0,30. A matriz constitutiva no sistema de eixos de ortotropia é a mesma dada pela eq. (4.16). Para as lâminas orientadas à +45° e -45°, as matrizes constitutivas das lâminas no sistema de referência (x, y, z) são dadas pelas eqs. (4.17) e (4.18), respectivamente. Para as lâminas orientadas à +30° e -60°, as matrizes constitutivas das lâminas no sistema de referência (x, y, z) são respectivamente:
[Q ]
31,5 9,88 10,9 = 9,88 14,6 3,75 10 3 MPa 10,9 3,75 10,7
(4.21)
[Q ]
9,88 − 3,74 14,6 = 9,88 14,6 − 10,9 10 3 MPa − 3,74 − 10,9 10,7
(4.22)
+ 30 0
− 60 0
Curso de projeto estrutural com materiais compostos
45
A lei de comportamento em membrana do laminado considerado “homogêneo”, é da seguinte forma: σx 43,94 21,82 3,58 ε x 1 3 σ y = 21,82 35,51 − 3,57 ε y 10 MPa τ 2 3,58 − 3,57 23,45 γ xy xy
(4.23)
Logo, as constantes elásticas encontradas são: Ex = 15,19 103 MPa, Ey = 15,31 103 MPa, νxy = 0,5131, νyx = 0,5170, Gxy =10,94 103 MPa e os termos de acoplamento são: ηxy = -0,1603, µxy = 0,1788, ηx = -0,2225, µy = 0,2502
4.1.2 – Comportamento em flexão No estudo do comportamento em flexão dos materiais compostos é considerado um laminado de espessura total h com n lâminas de espessura hk cada uma. As solicitações no laminado são denotadas Mx, My (momentos fletores por unidade de comprimento em torno dos eixos y e x respectivamente); Mxy e Myx (momentos torçores por unidade de comprimento), Figura 4.1. Os eixos x, y, e z são novamente eixos de referência. Os esforços Mx, My, Mxy e Myx são determinados da seguinte maneira: h/2
Mx =
∫ σ x (dz .1) z
−h / 2
h/2
My =
∫ σ y (dz .1) z
−h / 2
h/2
M yx = M xy =
∫ τ xy (dz .1) z
−h / 2
(4.24)
46
Comportamento mecânico de placas laminadas
z dy y dx
My
Myx
Mxy
Mx
x
∂w 0 ∂x
∂w 0 ∂x
z
zk h
wo
zk-1 uo com carregamento sem carregamento
Figura 4.1 – Hipóteses de deslocamento pela Teoria Clássica de Laminados (T.C.L.) Os deslocamentos nas direções x, y e z da superfície neutra são uo, vo e wo e são definidos como segue (ver Figura 4.1): ∂w o ∂x ∂w o v = vo − z ∂y
u = uo − z
w = wo e as deformações normais e angulares são:
(4.25)
47
Curso de projeto estrutural com materiais compostos
ε x = ε 0x − z ε y = ε 0y − z
∂2wo ∂x 2 ∂2wo ∂y 2
γ xy = γ 0xy − z 2
∂2wo ∂x∂y
(4.26)
γ xz = 0 γ yz = 0 As deformações ε0x, ε0y e γ0xy são deformações normais e angular da superfície
∂2wo ∂2 wo = κy , = κx , − neutra. As curvaturas são normalmente escritas da forma: − ∂y 2 ∂x 2 −2
∂2wo = κ xy , logo as deformações podem ser redefinidas como segue: ∂x∂y
ε x = ε 0x + z κ x ε y = ε 0y + z κ y
(4.27)
γ xy = γ 0xy + z κ xy
Considerando a matriz de comportamento de cada lâmina no sistema de eixos de referência, os momentos são da forma: zk k k k Mx = ∑ ∫ Q11 ε x + Q12 ε y + Q16 γ xy k =1 z k −1 n
(
)
z dz
(4.28)
que, levando em conta as deformações, dadas pela eq. (4.26): n zk k k k M x = ∑ ∫ Q11 z ε 0x + z 2 κ x + Q12 z ε 0y + z 2 κ y + Q16 z γ 0xy + z 2 κ xy dz k =1 z k −1
[ (
)
(
)
(
)]
(4.29)
zk
Se considerarmos que o laminado é simétrico, as integrais do tipo
∫ Q1j z dz , se
z k −1
k
48
Comportamento mecânico de placas laminadas − z k −1
anulam com as integrais
∫ Q1j z dz , k
consideradas para as lâminas simétricas com
− zk
relação a superfície neutra, logo:
(
)
(
)
(
)
3 3 3 3 3 3 n k z k − z k −1 k z k − z k −1 k z k − z k −1 M x = ∑ Q11 κ x + Q12 κ y + Q16 κ xy 3 3 3 k =1
(4.30)
que, de forma mais compacta, pode ser colocado: Mx = D11κ x + D12 κ y + D16 κ xy
(4.31)
com: n
D1j = ∑
k =1
Q1jk
(z
3 k
− zk3−1
)
3
(4.32)
Os momentos My e Mxy podem ser também obtidos de forma análoga. Assim, colocados em forma matricial, as expressões de momentos são:
Mx D11 D12 D16 κ x My = D21 D22 D26 κ y D D62 D66 κ xy Mxy 61
(4.33)
com: n
Dij = ∑
k =1
Qijk
(z
3 k
− zk3−1
)
3
(4.34)
Observações: As expressões acima dependem da ordem de empilhamento das lâminas. Os coeficientes D16 e D26 são termos de acoplamento que torçem o laminado quando aplicados somente momentos de flexão e os coeficientes D61 e D62 são termos de acoplamento que extendem o laminado quando aplicados somente momentos de torção.
49
Curso de projeto estrutural com materiais compostos
Questão: É possível um laminado flexionar devido a um carregamento do tipo membrana. Considere o campo de deformações do laminado em flexão devido aos esforços de membrana: zk k k k Nx = ∑ ∫ Q11 ε x + Q12 ε y + Q16 γ xy k =1 z k −1 n
(
)
dz
(4.35)
n zk k k k ε0x + z κ x + Q12 ε0y + z κ y + Q16 γ 0xy + z κ xy dz Nx = ∑ ∫ Q11 k =1 zk −1
(
)
(
)
(
)
(4.36)
Como anteriormente, se considerarmos que o laminado é simétrico, as integrais zk
k ∫ Q1j z dz , se anulam com as integrais
do tipo
z k −1
− z k −1
∫ Q1j z dz , k
consideradas para as
− zk
lâminas simétricas com relação a superfície neutra, logo: n
{
}
k k k N x = ∑ Q11 ε 0x + Q12 ε 0y + Q16 γ 0xy hk k =1
(4.37)
Portanto, para laminados simétricos, esforços do tipo membrana não causam deformações de flexão. zk
De uma forma geral, para laminados não simétricos, as integrais
∫ Q1j z dz k
não
z k −1 − z k −1
se anulam com as integrais
∫ Q1j z dz , k
assim, o comportamento global de um
− zk
laminado é da forma: Nx N y N xy = Mx My M xy
[A ] [B]
[B] [D]
0 ε x ε0 y γ 0xy κ x κ y κ xy
(4.38)
50
Comportamento mecânico de placas laminadas
onde os coeficientes da matriz [B] são da forma: n
B ij = ∑ Qijk k =1
(z
2 k
− z k2−1 2
)
(4.39)
Exemplo 4.4 – Considere um laminado simétrico e balanceado (+30°/-30°/-30°/+30°) em vidro/epóxi submetido a uma força Nx = 1000 N/mm. Determine as deformações e as curvaturas do laminado se cada lâmina tem espessura 0,5 mm. Considere: E1 = 45,0 GPa, E2 = 12,0 GPa, G12 = 4,5 GPa, ν12 = 0,30. A matriz constitutiva no sistema de eixos de ortotropia é a mesma dada pela eq. (4.16). Para as lâminas orientadas à +30° e -30°, as matrizes constitutivas das lâminas no sistema de referência (x, y, z) são as mesmas dadas pelas eqs. (4.21) e (4.22): A matriz de comportamento para este laminado simétrico, dada pela eq. (4.38) é da forma: N x = 1000 62,91 19,77 0 0 0 0 ε 0x N =0 0 0 0 0 ε 0y y 19,77 29,12 N xy = 0 0 0 21,39 0 0 0 γ 0xy 3 = 10 M 0 = 0 0 0 20 , 97 6 , 59 5 , 45 x κ x My = 0 0 0 0 6,59 9,71 1,87 κ y 0 0 5,45 1,87 7,13 κ xy M xy = 0 0
(4.40)
As deformações e as curvaturas podem então ser determinadas resolvendo o sistema dado pela eq. (4.40): ε0x = 0,202e-01, ε0y = -0,137E-01, γ0xy = 0,0, κx = 0,0, κy = 0,0, κxy = 0,0 Exemplo 4.5 – Considere um laminado anti-simétrico e balanceado (+30°/-30°/+30°/30°) em vidro/epóxi submetido a uma força Nx = 1000 N/mm. Determine as deformações e as curvaturas do laminado se cada lâmina tem espessura 0,5 mm. Considere: E1 = 45,0 GPa, E2 = 12,0 GPa, G12 = 4,5 GPa, ν12 = 0,30. A matriz de comportamento para este laminado anti-simétrico, é da forma:
51
Curso de projeto estrutural com materiais compostos
N x = 1000 62,91 19,77 0 0 N =0 0 0 y 19,77 29,12 N xy = 0 0 0 21,39 5,45 = 0 5,45 20,97 Mx = 0 0 My = 0 0 0 1,87 6,59 0 5,45 M xy = 0 5,45 1,87
5,45 ε 0x 0 1,87 ε 0y 1,87 0 γ 0xy 3 10 6,59 5,45 κ x 9,71 1,87 κ y 1,87 7,13 κ xy 0
(4.41)
Resolvendo o sistema dado pela eq. (4. ), as deformações e as curvaturas são: ε0x = 0,213e-01, ε0y = -0,136e-01, γ0xy = 0,0, κx = 0,0, κy = 0,0, κxy = -0,127e-01 Exemplo 4.6 – Considere um laminado com seqüência de empilhamento aleatória (+30°/-45°/-30°/45°) em vidro/epóxi submetido a uma força Nx = 1000 N/mm. Determine as deformações e as curvaturas do laminado se cada Lâmina tem espessura 0,5 mm. Considere: E1 = 45,0 GPa, E2 = 12,0 GPa, G12 = 4,5 GPa, ν12 = 0,30. A matriz de comportamento para este laminado com empilhamento aleatório é da forma: N x = 1000 52,39 21,83 0 2,63 − 0.52 1,22 ε 0x N =0 ε0 21 , 83 35 , 51 0 0 , 52 1 , 60 2 , 35 − − − y y N xy = 0 0 0 21,39 1,22 − 2,35 − 0,52 γ 0xy 3 10 = 4,84 κ x M x = 0 2,63 − 0,52 1,22 17,46 7,28 M y = 0 − 0,52 − 1,60 − 2,35 7,28 11,84 3,05 κ y 3,05 7,82 κ xy M xy = 0 1,22 − 2,35 − 0,52 4,84
(4.42)
Resolvendo a eq. (4.42), as deformações e as curvaturas determinadas são: ε0x =
0,265e-01, ε0y = -0,167e-01, γ0xy = 0,337e-03, κx = -0,360e-02, κy = 0,329e-02,
κxy = -0,821e-02 Conclusão: Em um laminado não simétrico com uma solicitação do tipo membrana, as curvaturas não são nulas. Logo, o laminado pode fletir devido à uma força Nx (κx ≠ 0, κy ≠ 0, κxy ≠ 0).
52
Comportamento mecânico de placas laminadas
Exemplo 4.7 – Considere o laminado simétrico e balanceado (+30°/-30°/-30°/+30°) em vidro/epóxi submetido a um momento Mx = 1000 N. Determine as deformações e as curvaturas do laminado se cada lâmina tem espessura 0,5 mm. Considere: E1 = 45,0 GPa, E2 = 12,0 GPa, G12 = 4,5 GPa, ν12 = 0,30. A matriz de comportamento para este laminado simétrico é a mesma dada pela eq. (4.40). N x = 0 62,91 19,77 0 0 0 0 ε 0x N =0 0 0 0 0 ε 0y y 19,77 29,12 0 21,39 0 0 0 γ 0xy 3 N xy = 0 0 = 10 0 0 20,97 6,59 5,45 κ x M x = 1000 0 My = 0 0 0 0 6,59 9,71 1,87 κ y 0 0 5,45 1,87 7,13 κ xy M xy = 0 0
(4.43)
Assim, as deformações e as curvaturas podem então ser determinadas resolvendo o sistema dado pela eq. (4.43): ε0x = 0,0 , ε0y = 0,0 , γ0xy = 0.0, κx = 0,718e-01, κy = -0,402e-01, κxy = -0,443e-01 Exemplo 4.8 – Considere o laminado anti-simétrico e balanceado (+30°/-30°/+30°/-30°) em vidro/epóxi submetido a um momento Mx = 1000 N. Determine as deformações e as curvaturas do laminado se cada lâmina tem espessura 0,5 mm. Considere: E1 = 45,0 GPa, E2 = 12,0 GPa, G12 = 4,5 GPa, ν12 = 0,30. A matriz de comportamento para este laminado anti-simétrico, é a mesma dada pela eq. (4.41): N x = 0 62,91 19,77 0 0 N =0 0 0 y 19,77 29,12 N xy = 0 0 0 21,39 5,45 = 0 5,45 20,97 M x = 1000 0 My = 0 0 0 1,87 6,59 0 5,45 M xy = 0 5,45 1,87
5,45 ε 0x 0 1,87 ε 0y 1,87 0 γ 0xy 3 10 6,59 5,45 κ x 9,71 1,87 κ y 1,87 7,13 κ xy 0
(4.44)
53
Curso de projeto estrutural com materiais compostos
Resolvendo o sistema de equações dado pela eq. (4.44), as deformações e as curvaturas são: ε0x = 0,0, ε0x = 0,0, γ0xy =-0,127e-01, κx = 0,638e-01, κy = -0,409e-01 , κxy = 0,0 Exemplo 4.9 – Considere um laminado com seqüência de empilhamento aleatória (+30°/-45°/-30°/45°) em vidro/epóxi submetido à um momento Mx = 1000 Nmmm/mm. Determine as deformações e as curvaturas do laminado se cada lâmina tem espessura 0,5 mm. Considere: E1 = 45,0 GPa, E2 = 12,0 GPa, G12 = 4,5 GPa, ν12 = 0,30. A matriz de comportamento para este laminado com empilhamento aleatório é a mesma dada pela eq. (4.42): N x = 0 52,39 21,83 0 2,63 − 0.52 1,22 ε 0x N =0 0 − 0,52 − 1,60 − 2,35 ε 0y y 21,83 35,51 N xy = 0 0 0 21,39 1,22 − 2,35 − 0,52 γ 0xy 3 10 = 4,84 κ x M x = 1000 2,63 − 0,52 1,22 17,46 7,28 M y = 0 − 0,52 − 1,60 − 2,35 7,28 11,84 3,05 κ y 3,05 7,82 κ xy M xy = 0 1,22 − 2,35 − 0,52 4,84
(4.45)
Resolvendo o sistema de equações da eq. (4.45), as deformações e as curvaturas determinadas são: ε0x = -0,360e-02, ε0y = -0,106e-02, γ0xy = -0,101e-01, κx = 0,883e-01, κy = -0,471e-01, κxy = -0,366e-01 Conclusão: No comportamento em flexão do laminado, mesmo sendo este simétrico, os termos de acoplamento não são nulos (D16 ≠ 0 e D26 ≠ 0). A deformação do laminado devido à um momento Mx pode ser portanto como apresentado pela Figura 4.2:
54
Comportamento mecânico de placas laminadas
placa isotrópica
placa laminada
Figura 4.2 – Placas isotrópica e laminada submetidas à um momento fletor
4.1.3 – Efeito da temperatura O comportamento de estruturas laminadas pode ser estudado incluindo o efeito da temperatura. Considerando o comportamento em membrana e em flexão, as tensões nas lâminas podem ser definidas da seguinte maneira:
σ x Q11 σ y = Q21 τ Q xy 61
Q12 Q22 Q62
Q16 ε 0x + z κ x Q11 Q26 ε 0y + z κ y − Q21 Q66 γ 0xy + z κ xy Q61
Q12 Q22 Q62
Q16 ε x t Q26 ε y t Q66 γ xy t
(4.46)
Os esforços de membrana e de flexão do laminado, eqs, (4,1) e (4.24) respectivamente, podem então ser obtidos como sendo: Nx N y N xy = Mx My M xy
onde:
[A ] [B]
[B] [D]
0 ε x Nx t ε0 N y yt γ 0xy N xy t − κ x Mx t κ y My t κ xy M xy t
(4.47)
Curso de projeto estrutural com materiais compostos n
{
}
k k k N x t = ∑ Q11 ε x t + Q12 ε y t + Q16 γ xy t hk k =1
55
(4.48)
e: n zk k k k Mx t = ∑ ∫ Q11 ε x t + Q12 ε y t + Q16 γ xy t k =1 zk −1
(
)
z dz
(4.49)
Os esforços Ny t, Nxy t, My t e Mxy t são obtidos por analogia. Exemplo. 4.10 – Considere um laminado simétrico (+45°/-30°/-30°/+45°) em kevlar/epóxi com espessura de 0,5 mm para cada lâmina. Determine as deformações e as curvaturas se o laminado é submetido a uma variação de temperatura de -90°C oriunda do processo de cura da resina. Considere: E1 = 76,0 GPa, E2 = 5,5 GPa, G12 = 2,0 GPa, ν12 = 0,35, α1 = -0,4 x 10-5 °C-1, α2 = 5,8 x 10-5 °C-1. A matriz constitutiva das lâminas em kevlar/epóxi no sistema de ortotropia (1, 2, 3), eq. (2.12), é da seguinte forma: 76,7 1,94 0 [Q] = 1,94 5,55 0 10 3 MPa 0 0 2,0
(4.50)
Para as lâminas orientadas à +45°, a matriz constitutiva no sistema de referência (x, y, z), eq. (3.13), é da forma:
[Q ]
+ 45 0
23,5 19,5 17,8 = 19,5 23,5 17,8 10 3 MPa 17,8 17,8 19,6
(4.51)
Para as lâminas orientadas à -30°, a matriz constitutiva no sistema de referência (x, y, z), eq. (3.13), é da forma:
[Q ]
−300
15,1 − 23,0 45,7 10,1 − 7,79 10 3 MPa = 15,1 − 23,0 − 7,79 15,2
(4.52)
56
Comportamento mecânico de placas laminadas
A matriz de comportamento e o vetor relativo ao carregamento térmico, dados pela eq. (4.47), são da forma: 0 Nx = 0 69,20 34,67 −5,24 0 0 0 εx −0,42 N = 0 0 −0,30 ε y 0 0 0 y 34,67 33,69 10,00 Nxy = 0 −5,24 10,00 34,78 0 0 0 γ 0xy 3 −0,07 3 10 (4.53) = 10 − 0 0 17,52 12,65 8,45 κ 0 Mx = 0 0 x 0 My = 0 0 0 0 12,65 14,58 9,73 κ y 0 0 8,45 9,73 12,69 κ 0 Mxy = 0 0 xy Resolvendo o sistema de equações dado pela eq. (4.53), as deformações e as curvaturas obtidas são: ε0x = -0,409e-02, ε0y = -0,416e-02, γ0xy = -0,139e-02, κx = 0,0, κy = 0,0,κxy = 0,0. Ex. 4.11: Considere um laminado com seqüência de empilhamento aleatória (+30°/45°/-30°/45°) em kevlar/epóxi com espessura de 0,5 mm para cada lâmina. Determine as deformações e as curvaturas se o laminado é submetido a uma variação de temperatura de -90°C oriunda do processo de cura da resina. Considere: E1 = 76,0 GPa, E2 = 5,5 GPa, G12 = 2,0 GPa, ν12 = 0,35, α1 = -0,4 x 10-5 °C-1, α2 = 5,8 x 10-5 °C-1. A matriz constitutiva das lâminas em kevlar/epóxi no sistema de ortotropia (1, 2, 3) é dada pela eq. (4.50). Para as lâminas orientadas à +45°, a matriz constitutiva no sistema de referência (x, y, z) é dada pela eq. (4.51), e para as lâminas orientadas à 45°, a matriz constitutiva no sistema de referência é da forma:
[Q ]
− 45 0
19,5 − 17,8 23,5 = 19,5 23,5 − 17,8 10 3 MPa − 17,8 − 17,8 19,6
(4.54)
Para as lâminas orientadas à -30°, a matriz constitutiva no sistema de referência (x, y, z) é dada pela eq. (4.52), e para as lâminas orientadas à +30°, a matriz constitutiva no sistema de referência é da forma:
57
Curso de projeto estrutural com materiais compostos
[Q ]
+ 30 0
45,7 15,1 23,0 = 15,1 10,1 7,79 10 3 MPa 23,0 7,79 15,2
(4.55)
A matriz de comportamento e o vetor relativo ao carregamento térmico, dados pela eq. (4.47), são da forma: 0 Nx = 0 69,20 34,67 0 5,55 −1,10 2,62 ε x −0,42 N =0 0 −0,30 ε −1,10 −3,35 −5,00 y 0 y 34,67 33,69 Nxy = 0 0 0 34,78 2,62 −5,00 −1,10 γ 0xy 3 0,00 3 10 = 10 − − 0,003 M 0 5,55 1,10 2,62 23,07 11,56 10,20 = − x κ x 0,028 My = 0 −1,10 3,35 −5,00 11,56 11,23 6,40 κ y 1,59 2,62 5,00 1,10 10,20 6,40 1 − − κ M 0 = 0,034 xy xy
(4.56)
Resolvendo o sistema de equações dado pela eq. (4.53), as deformações e as curvaturas obtidas são: ε0x = -0,390e-02, ε0y = -0,445e-02, γ0xy = 0,931e-04, κx = -0,416e-03 , κy = -0,857e-04, κxy = 0,235e-02. Conclusão: O processo de cura da resina pode provocar flexão em um laminado não simétrico.
58
Critérios de ruptura
5 – CRITÉRIOS DE RUPTURA Os critérios de ruptura têm por objetivo permitir ao projetista avaliar a resistência mecânica de estruturas laminadas. A ruptura de estruturas laminadas em material composto pode se dar por diferentes mecanismos: ruptura das fibras, ruptura da matriz, decoesão fibra/matriz, delaminação (descolamento das lâminas), etc. Os critérios de ruptura podem ser classificados da seguinte maneira: critério de tensão máxima, critério de deformação máxima, critérios interativos ou critérios energéticos.
5.1 – Critério de tensão máxima
O critério de tensão máxima estipula que a resistência mecânica da lâmina analisada é atingida quando umas das três tensões as quais a lâmina está sendo submetida atingir o valor da tensão de ruptura correspondente. Desta forma, o critério pode ser escrito da seguinte maneira: X c < σ1 < X t Yc < σ 2 < Yt
(5.1)
− S < τ12 < S onde: σ1, σ2 e τ12 representam as tensões longitudinal, transversal e de cisalhamento no plano da lâmina. Xc e Xt representam as resistências mecânicas na direção longitudinal em compressão e em tração, Yc e Yt representam as resistências mecânicas na direção transversal em compressão e em tração e S representa a resistência mecânica ao cisalhamento. Se as inequações acima são verificadas, a lâmina não se romperá devido ao estado de tensão σ1, σ2 e τ12. Como normalmente as lâminas estão orientadas segundo o sistema de eixos de referência (x, y, z), girado de θ com relação ao sistema de eixos de ortotropia (1, 2, 3), a matriz de transformação dada pela eq. (3.9) deve ser utilizada:
59
Curso de projeto estrutural com materiais compostos
σ x c 2 s2 2sc σ1 2 2 − 2sc σ 2 c σy = s τ − sc sc c 2 − s 2 τ xy 12
ou
{σ } = [T ] {σ } x
σ
1
(5.2)
A inversa da matriz de transformação fornece a relação das tensões medidas no sistema de eixos (x, y, z) com as tensões nos eixos de ortotropia (1, 2, 3) utilizadas no critério de tensão máxima:
{σ } = [T ] {σ } 1
σ
−1
x
(5.3)
5.2 – Critério de deformação máxima
O critério de deformação máxima estipula que a resistência mecânica da lâmina analisada é atingida quando umas das três deformações as quais a lâmina está sendo submetida atingir o valor da deformação de ruptura correspondente. Desta forma, o critério pode ser escrito da seguinte maneira: X εc < ε 1 < X εt Yεc < ε 2 < Yεt
(5.4)
− S ε < γ 12 < S ε onde: ε1, ε2 e
γ12 representam as deformações longitudinal, transversal e de
cisalhamento no plano da lâmina. Xεc e Xεt representam as deformações máximas na direção longitudinal em compressão e em tração, Yεc e Yεt representam as deformações máximas na direção transversal em compressão e em tração e Sεc representa a deformação máxima em cisalhamento. Se as inequações acima são verificadas, a lâmina não se romperá devido as deformações ε11, ε22 e γ12. Como normalmente as lâminas estão orientadas segundo os eixos ortogonais x e y, girados de θ com relação aos eixos de ortotropia, a matriz de transformação, eq. (3.9), deve ser utilizada:
60
Critérios de ruptura
εx c2 s2 sc ε1 2 2 − sc ε 2 c εy = s γ − 2sc 2sc c 2 − s 2 γ xy 12
ou
{ε } = [T ] {ε } x
ε
1
(5.5)
A inversa da matriz de transformação fornece a relação das deformações medidas no sistema de eixos (x, y, z) com as deformações nos eixos de ortotropia (1, 2, 3) utilizadas no critério de deformação máxima:
{ε } = [T ] {ε } 1
ε
−1
x
(5.6)
5.3 – Comparação entre os critérios de tensão máxima e de deformação máxima
Considere uma lâmina solicitada com as tensões como representadas abaixo: 2 σ2 σ1= 12 σ2
σ1
1 σ2 Suponhamos que as propriedades da lâmina sejam as seguintes: Xt = 1400 MPa, Yt = 35 MPa, S = 70 MPa E1 = 46 GPa, E2 = 10 GPa, G12 = 4,6 GPa, ν12 = 0,31 Procura-se valores de σ1 e σ2 para as quais a ruptura acontece. Utilizando o critério de tensão máxima, temos: σ1 < Xt e σ2 < Yt ou seja:
Curso de projeto estrutural com materiais compostos
12 σ2 < Xt, σ 2 <
61
Xt = 117 MPa 12
e σ2 < Yt = 35 MPa A ruptura se dará no menor valor de tensão, 35 MPa, e será na direção transversal. O estado de tensão neste caso é σ1 = 12 x 35 = 420 MPa e σ2 = 35 MPa. Utilizando o critério de deformação máxima e admitindo que o material se comporta linearmente até a ruptura, temos: X εt <
Xt Y e Yεt < t E1 E2 As deformações nas direções longitudinal e transversal são definidas da forma:
ε1 =
σ1 σ − ν 21 2 E1 E2
ε2 =
σ2 σ − ν 12 1 E2 E1
Como
ν12 ν 21 = , temos: E1 E2
ε1 =
σ1 σ 1 − ν 12 2 = (σ1 − ν12 σ 2 ) < X t E1 E1 E1 E1
ε2 =
σ2 σ 1 (σ 2 − ν 21 σ1 ) < Yt − ν 21 1 = E2 E2 E2 E2
ou seja: σ1 − ν12 σ 2 < X t σ 2 − ν 21 σ1 < Yt Como σ1 = 12 σ2.
62
Critérios de ruptura
σ2 <
Xt = 120 MPa 12 − ν 12
σ2 <
Yt = 183 MPa 1 − 12ν 21 A ruptura se dará no menor valor de tensão, 120 MPa, e será na direção
longitudinal. O estado de tensão neste caso é σ1 = 12 x 120 = 1440 MPa e σ2 = 120 MPa. Os valores encontrados utilizando o critério de tensão máxima σ1 = 420 MPa e σ2 = 35 MPa e aqueles encontrados utilizando o critério de deformação máxima σ1 = 1440 MPa e σ2 = 120 MPa são contraditórios em valores e em modo de ruptura: ruptura transversal no primeiro e longitudinal no segundo. Isto vem do fato de estabelecer a relação entre tensão máxima e deformação máxima como anteriormente, mas que devem ser mais complexas.
5.4 – Critérios interativos Nos critérios de tensão máxima e deformação máxima, assume-se que os mecanismos de ruptura longitudinal, transversal e de cisalhamento se produzem de forma independente. De maneira a levar em consideração todos estes mecanismos simultaneamente como no critério de von Mises para materiais isotrópicos, foram desenvolvidos os critérios interativos ou energéticos.
5.4.1 – Revisão do critério de von Mises Considere a energia de deformação total por unidade de volume em um material isotrópico (densidade de energia de deformação) para um estado multiaxial de tensões:
U total =
(
)
(
1 ν 1 2 2 2 σx + σy + σz − σxσy + σyσz + σzσx + τ 2 xz + τ 2 yz + τ 2 xz 2E E 2G
(
)
)
Esta energia de deformação total, medida nos eixos principais é da forma:
(5.7)
63
Curso de projeto estrutural com materiais compostos
U total =
(
)
1 ν 2 2 2 σ1 + σ 2 + σ 3 − (σ1σ 2 + σ 2 σ 3 + σ 3 σ1 ) 2E E
(5.8)
A energia de deformação total acima, é dividida em duas partes: uma causando dilatação do material (mudanças volumétricas), e outra causando distorções de cisalhamento, Figura 5.2. É interessante lembrar que em um material dúctil, admite-se que o escoamento do material depende apenas da máxima tensão de cisalhamento. σ2
σ2 − σ
σ
=
σ1 σ3
σ
σ1 − σ
σ3 − σ
σ Energia de dilatação
Energia de deformação elástica total
+
Energia de distorção
Figura 5.2 – Energias de deformação de dilatação e de distorção A fim de facilitar a compreensão, somente o estado de tensão uniaxial será considerado. A passagem para um estado de tensão multiaxial é automática. Desta forma, para um estado de tensão uniaxial, as energias de dilatação e de distorção são representadas da seguinte forma: σ1/3
σ1
σ1
=
σ1/3
σ1/3
σ1/3 Energia de deformação elástica total
Energia de dilatação
+
σ1/3
σ1/3
+ σ1/3
Energia de distorção
Figura 5.3 – Energias de dilatação e de distorção num elemento solicitado axialmente
64
Critérios de ruptura Os círculos de tensão de Mohr para os estados de tensão com somente energia
de distorção são, Figura 5.4.
τ
τ
τmax = σ1/3
τmax = σ1/3
0
σ1/3
σ σ1/3
Plano 1-2
σ
0
σ1/3
σ1/3
Plano 1-3
Figura 5.4 – Círculos de tensão de Mohr para o cisalhamento puro No tensor correspondente a energia de dilatação, os componentes são definidos como sendo a tensão “hidrostática” média: σ=
σ1 + σ 2 + σ 3 3
(5.9)
onde σ1 = σ2 = σ3 = p = σ . A energia de dilatação é determinada substituindo σ1 = σ2 = σ3 = p na expressão de energia de deformação total e em seguida substituindo p = σ = Udilatação =
1 − 2ν (σ1 + σ 2 + σ 3 )2 6E
σ1 + σ 2 + σ 3 : 3 (5.10)
A energia de distorção é obtida subtraindo da energia de deformação total a energia de dilatação:
65
Curso de projeto estrutural com materiais compostos
Udistorção =
[
1 (σ1 − σ 2 )2 + (σ 2 − σ 3 )2 + (σ 3 − σ1 )2 12 G
]
(5.11)
A energia de distorção em um ensaio de tração simples, onde neste caso σ1 =
σesc e σ2 = σ3 = 0 é da forma: Udistorção =
2 σ 2esc 12 G
(5.12)
Igualando a energia de distorção de cisalhamento com a energia no ponto de escoamento à tração simples, estabelece-se o critério de escoamento para tensão combinada.
(σ1 − σ 2 )2 + (σ 2 − σ 3 )2 + (σ 3 − σ1 )2 = 2 σ 2esc
(5.13)
Freqüentemente a eq. (5.13) pode ser rearranjada, sendo a expressão resultante chamada de tensão equivalente. 1 2 2 2 σ1 − σ 2 ) + ( σ 2 − σ3 ) + ( σ3 − σ1 ) ( 2
σequ =
(5.14)
A eq. (5.13) pode também ser apresentada da forma:
σ1 σ esc
2
σ2 + σ esc
2
σ3 + σ esc
2
σ1 σ 2 − σ esc σ esc
σ2 σ3 − σ esc σ esc
σ 3 σ1 − σ esc σ esc
= 1
(5.15)
A equação acima é conhecida como sendo o critério de von Mises para um estado multiaxial de tensões para materiais isotrópicos. Para um estado plano de tensão, σ3 = 0, tem-se:
σ1 σ esc
2
σ1 σ 2 − σ esc σ esc
σ2 + σ esc
2
= 1
(5.16)
66
Critérios de ruptura
5.4.2 – Critério de Hill A energia de distorção para um material ortotrópico onde as tensões de cisalhamento τ12, τ23 e τ31 são diferentes de zero, é obtida de maneira análoga à obtida por um material isotrópico. Igualando a energia de distorção de cisalhamento com a energia no ponto de ruptura, estabelece-se o critério de ruptura para tensão combinada para materiais compostos. 2 2 F (σ1 − σ 2 ) + G (σ 2 − σ 3 ) + H (σ 3 − σ1 ) + 2L τ12 + 2M τ 223 + 2N τ 31 =1 2
2
2
(5.17)
As constantes F, G, H, L, M e N são parâmetros da lâmina analisada e estão ligadas as tensões de ruptura do material. Colocando a equação acima sob uma outra forma, tem-se:
(F + H) σ12 + (F + G) σ 22 + (G + H) σ 32 − 2F σ1σ 2 − 2H σ1σ 3 " 2 2 " − 2G σ 2 σ 3 + 2L τ12 + 2M τ 223 + 2N τ 31 =1
(5.18)
Para um ensaio em tração (ou compressão) na direção longitudinal (1), o critério se reduz:
(F + H) X 2 = 1,
(F + H) =
1 X2
(5.19)
onde X é a tensão de ruptura em tração (ou compressão) na direção longitudinal. Da mesma forma, para um ensaio em tração (ou compressão) nas direções transversais (2 e 3), o critério se reduz:
(F + G) Y 2 = 1,
(F + G) =
(G + H) Z 2 = 1,
(G + H) =
1 Y2 1 Z2
(5.20)
(5.21)
onde Y e Z são as tensões de ruptura em tração (ou compressão) nas direções transversais.
67
Curso de projeto estrutural com materiais compostos
Para um ensaio de cisalhamento no plano (1,2), o critério se reduz: 2L =
1
(5.22)
2 S12
onde S12 é a tensão de ruptura no cisalhamento no plano (1,2). Analogamente: 2M = 2N =
1
(5.23)
S 223 1
(5.24)
2 S 31
Substituindo os parâmetros F, G, H, L, M e N na equação do critério de ruptura para tensão combinada para os materiais compostos, eq. (5.18), tem-se: 2
2
2
1 1 1 1 σ1 σ 2 σ 3 1 1 − 2 + 2 − 2 σ1σ 2 − 2 + 2 − 2 σ 2 σ 3 " + + Y Z Z X Y X Y Z X
τ 1 1 1 " − 2 + 2 − 2 σ 3 σ1 + 12 X Y Z S12
2
τ 23 + S 23
2
2
τ 31 + = 1 S 31
(5.25)
Para um estado plano de tensão, onde σ3 = τ23 = τ31 = 0: 2
2
2
τ 1 1 σ1 σ 2 1 + − 2 + 2 − 2 σ1σ 2 + 12 = 1 Y Z X Y X S12
(5.26)
5.4.3 – Critério de Tsai-Hill No critério de Tsai-Hill, o critério de Hill analisado para o estado plano de tensão é simplificado fazendo-se Z = Y. 2
2
σ1 σ 2 σ1σ 2 τ12 + − 2 + X Y X S12
2
= 1
(5.27)
68
Critérios de ruptura
5.4.4 – Critério de Hoffman No critério de Hoffman é levado em consideração a diferença do comportamento em tração e em compressão. Este critério admite que a ruptura acontece quando a igualdade é verificada: C1 (σ1 − σ 2 ) + C 2 (σ 2 − σ 3 ) + C 3 (σ 3 − σ1 ) + C 4 σ1 " 2
2
2
2 2 " + C 5 σ 2 + C 6 σ 3 + C 7 τ12 + C 8 τ 223 + C 9 τ 31 =1
(5.28)
Observe que a diferença do critério de Hoffman para o critério de Hill está na adição dos termos relativos aos parâmetros C4, C5, C6. As constantes Ci são determinadas a partir de ensaios experimentais para a obtenção das tensões de ruptura em tração e em compressão. C1 =
1 1 1 1 + − 2 Yt Yc Z t Z c X t X c
C2 =
1 1 1 1 + − 2 Z t Z c X t X c Yt Yc
C3 =
1 1 1 1 + − 2 X t X c Yt Yc Z t Z c
C4 =
1 1 − X t Xc
C5 =
1 1 − Yt Yc
C6 =
1 1 − Z t Zc
C7 = C8 = C9 =
1 2 S12
1 S 223 1
(5.29)
2 S 31
Considerando somente o estado plano de tensão, o critério de Hoffman se põe da seguinte maneira:
69
Curso de projeto estrutural com materiais compostos 2
τ X − Xt Y − Yt σ12 σ2 σσ + 2 − 1 2 + c σ1 + c σ 2 + 12 = 1 X t X c Yt Yc X t X c X t Xc Yt Yc S12
(5.30)
5.4.5 – Critério de Tsai-Wu O critério de Tsai-Wu foi desenvolvido de maneira a melhorar a correlação entre os resultados experimentais e teóricos a partir da introdução de parâmetros adicionais. Considerando somente o estado plano de tensão, o critério de Tsai-Wu se põe da seguinte forma:
1 σ12 σ2 σσ 1 + 2 + 2F12 1 2 + − X t X c Yt Yc X t Xc X t Xc
1 1 σ1 + − Yt Yc
τ σ 2 + 12 S12
2
= 1
(5.31)
onde F12 é um coeficiente de acoplamento expresso da forma: F12 =
X t Xc X t X c 2 1 σ ( ) − − + − σ + + 1 X X Y Y 1 c t c t Yt Yc Y Y 2σ 2 t c
(5.32)
ou: F12 =
σ 45 X t Xc XX XX 2 1 + t c + t c ( ) − − + − + 1 X X Y Y c t c t Yt Yc Yt Yc S12 c σ 245 2
σ 245 2
(5.33)
onde σ e σ45 são as tensões de ruptura determinadas respectivamente em ensaios biaxial (σ) e de tração à 45° (σ45). O coeficiente de acoplamento F12 é normalmente utilizado para ajustar aos resultados obtidos experimentalmente e pode variar de –1< F12<1. Fazendo F12 = –1/2, o critério de Tsai-Wu se transforma no critério de Hoffman. Se, além disso fizermos Xt = Xc = X e Yt = Yc = Y, o critério se transforma no critério de Tsai-Hill. Exemplo 5.1 – Considere um laminado simétrico (0°/+45°/-45°)S em kevlar/epóxi submetido a um carregamento do tipo membrana Nx = 1000 N/mm. Verifique, utilizando o critérios da máxima tensão e de Tsai-Hill, se haverá ruptura em qualquer das lâminas
70
Critérios de ruptura
de espessura 0,5 mm. Considere: E1 = 76,0 GPa, E2 = 5,5 GPa, G12 = 2,0 GPa, ν12 = 0,35, Xt = 1380 MPa, Xc = – 280 MPa, Yt = 28 MPa, Yc = – 140 MPa e S12 = 55 MPa. z
Lâmina à 0° Lâmina à +45°
Z = 1,5 mm Z = 1,0 mm
Lâmina à -45°
Z = 0,5 mm
Lâmina à -45°
Z = – 0,5 mm
Lâmina à +45° Lâmina à 0°
x
Z = –1,0 mm Z = –1,5 mm
A matriz constitutiva das lâminas em kevlar/epóxi no sistema de ortotropia (1, 2, 3) é dada pela eq. (4.50). Para a lâmina à 0°, a matriz constitutiva no sistema de referência (x, y, z) é a mesma dada pela eq. (4.50). Para as lâminas orientadas à +45° e -45°, as matrizes constitutivas no sistema de referência são dadas pelas eqs. (4.51) e (4.54) respectivamente. A matriz de comportamento para este laminado é da forma:
N x = 1000 123,7 41,00 0 0 0 0 ε 0x N =0 0 0 0 0 ε 0x y 41,00 52,64 0 41,17 0 0 0 γ 0xy 3 N xy = 0 0 = 10 0 0 137,1 16,09 8,89 κ x Mx = 0 0 My = 0 0 0 0 16,09 24,48 8,90 κ y 0 0 8,89 8,90 16,22 κ xy M xy = 0 0
(5.34)
Resolvendo o sistema de equações da eq. (5.34), as deformações e as curvaturas determinadas são:
ε0x = 0,109e-01, ε0y = -0,849e-02 , γ0xy = 0,0, κx = 0,0, κy = 0,0, κxy = 0,0 O estado de tensões medido no sistema de coordenadas de referência (x, y, z) em cada ponto de uma lâmina distante z da superfície neutra é obtido usando a eq.
71
Curso de projeto estrutural com materiais compostos
(3.23). Para o ponto à z = 1,5 mm e z = 1,0 mm, ou para o ponto à z = -1,5 mm e z = 1,0 mm na lâmina à 0°, o estado de tensão é o mesmo, já que as curvaturas são nulas:
σx σy = τ xy
0,109e − 01 + 1,5 x 0,0 76,7 1,94 0 1,94 5,55 0 10 3 − 0,849e − 02 + 1,5 x 0,0 0 0 2,0 0,0 + 1,5 x 00
(5.35)
Logo:
σ x σ1 819,56 σ y = σ 2 = − 25,65 MPa τ τ 0 xy 12
(5.36)
Pelo critério de máxima tensão, temos: σ1 819,56 = = 0,59 < 1 Xt 1380
OK
σ 2 − 25,65 = = 0,18 < 1 Yc − 140
OK
Pelo critério de Tsai-Hill, temos: 2
2
2
819,56 − 25,65 819,56.( −25,65) 0 + − + = 0,40 < 1 1380 2 1380 − 140 55
OK
Para o ponto à z = 1,0 mm e para z = 0,5 mm, ou para o ponto à z = -1,5 mm e para z = - 0,5 mm na lâmina à + 45°, o estado de tensão também é o mesmo, já que as curvaturas são nulas: σx σy = τ xy
23,5 19,5 17,8 0,109e − 01 + 1,0 x 0,0 19,5 23,5 17,8 10 3 − 0,849e − 02 + 1,0 x 0,0 17,8 17,8 19,6 0,0 + 1,0 x 0,0
O que resulta:
(5.37)
72
Critérios de ruptura
σ x 90,595 σ y = 13,035 MPa τ 42,898 xy
(5.38)
Fazendo a transformação de eixos utilizando a eq. (3.9), e sabendo que cos 45 =
2 2 e sen 45 = , temos: 2 2
90,595 2 2 4 σ1 1 13,035 = 2 2 − 4 σ 2 42,898 4 − 2 2 0 τ 12
(5.39)
Logo: σ1 1 1 − 2 90,595 8,917 1 2 13,035 = 94,713 MPa σ 2 = 1 1 τ 2 1 − 1 0 42,898 38,78 12
(5.40)
Pelo critério de máxima tensão, temos: σ1 8,917 = = 0,006 < 1 X t 1380
OK
σ 2 94,713 = = 3,38 > 1 Yc 28
FALHA
S12 38,78 = = 0,71 < 1 S 55
OK
Pelo critério de Tsai-Hill, temos: 2
2
2
8,917.94,713 38,78 94,713 8,917 = 11,94 > 1 + − + 1380 2 55 28 1380
FALHA
Para o ponto à z = 0,5 mm ou para o ponto à z = - 0,5 mm na lâmina à - 45°, o estado de tensão também é o mesmo:
Curso de projeto estrutural com materiais compostos
σx σy = τ xy
19,5 − 17,8 23,5 0,109e − 01 + 1,0 x 0,0 19,5 3 23,5 − 17,8 10 − 0,849e − 02 + 1,0 x 0,0 − 17,8 − 17,8 19,6 0,0 + 1,0 x 0,0
73
(5.41)
O que resulta: σ x 90,595 σ y = 13,035 MPa τ − 42,898 xy
(5.42)
Fazendo a transformação de eixos utilizando a eq. (3.9), e sabendo que cos( −45) =
2 2 e sen( −45) = − , temos: 2 2
90,595 2 2 − 4 σ 1 1 4 σ 2 13,035 = 2 2 − 42,898 4 2 − 2 0 τ 12
(5.43)
Logo: 1 1 2 90,595 8,917 σ1 1 σ 2 = 1 1 − 2 13,035 = 94,713 MPa 2 τ − 1 1 0 − 42,898 − 38,78 12 Pelo critério de máxima tensão, temos: σ1 8,917 = = 0,006 < 1 X t 1380
OK
σ 2 94,713 = = 3,38 > 1 Yc 28
FALHA
S12 − 38,78 = = 0,71 < 1 S − 55
OK
Pelo critério de Tsai-Hill, temos:
(5.44)
74
Critérios de ruptura 2
2
2
8,917 94,713 8,917.94,713 − 38,78 = 11,94 > 1 + − + 1380 2 1380 28 − 55
FALHA
Exemplo 5.2 – Considere o laminado simétrico (0°/+45°/-45°)S em kevlar/epóxi submetido à um momento Mx = - 500 Nmm/mm. Utilize os critérios de Tsai-Hill, Hoffman e Tsai-Wu para verificar se haverá ruptura em alguma das lâminas de espessura 0,5 mm. Considere: E1 = 76,0 GPa, E2 = 5,5 GPa, G12 = 2,0 GPa, ν12 = 0,35, Xt = 1380 MPa, Xc = -280 MPa, Yt = 28 MPa, Yc = -140 MPa e S12 = 55 MPa. A matriz de comportamento para este laminado é da forma: N x = 0 123,7 41,00 0 0 0 0 ε 0x N =0 0 0 0 0 ε 0x y 41,00 52,64 N xy = 0 0 0 41,17 0 0 0 γ 0xy 3 = 10 0 0 137,1 16,09 8,89 κ x M x = 500 0 My = 0 0 0 0 16,09 24,48 8,90 κ y 0 0 8,89 8,90 16,22 κ xy M xy = 0 0
(5.45)
Resolvendo o sistema de equações da eq. (5.45), as deformações e as curvaturas determinadas são: ε0x = 0,0, ε0y = 0,0 , γ0xy = 0,0, κx = -0,397e-02, κy = 0,227e-02, κxy = 0,930e-03 O estado de tensões medido no sistema de coordenadas de referência (x, y, z) em cada ponto de uma lâmina distante z da superfície neutra é obtido usando a eq. (3.22). Pelo fato do carregamento ser do tipo flexão, basta apenas aplicar um critério de ruptura no ponto mais distante da superfície neutra na lâmina. Neste exemplo, os critérios de ruptura serão aplicados somente nos pontos acima da superfície neutra, devendo o mesmo ser feito nos pontos abaixo da superfície neutra. Para o ponto à z = 1,5 mm na lâmina à 0°, o estado de tensão é da forma: σx σy = τ xy
0,0 + 1,5 x − 0,397e − 2 76,7 1,94 0 1,94 5,55 0 10 3 0,0 + 1,5 x 0,227e − 2 0 0 2,0 0,0 + 1,5 x 0,930e − 3
(5.46)
75
Curso de projeto estrutural com materiais compostos
Logo: σ x σ1 − 450,14 σ y = σ 2 = 7,35 MPa τ τ 2,79 xy 12
(5.47)
Pelo critério de Tsai-Hill: 2
2
2
− 450,14.7,35 2,79 − 450,14 7,35 − + = 0,18 < 1 + 1380 2 55 1380 28
OK
Pelo critério de Hoffman:
( −450,14) 2 7,35 2 ( −450,14).7,35 − 280 − 1380 + − + ( −450,14) + 1380.( −280 ) 28.( −140 ) 1380.( −280 ) 1380.( −280 ) 2
− 140 − 28 2,79 7,35 + = −2,16 > −1 28.( −140 ) 55
FALHA
Pelo critério de Tsai-Wu, com F12 = 1, temos: ( −450,14) 2 7,35 2 ( −450,14).7,35 − 280 − 1380 + −2 + ( −450,14) + 1380.( −280 ) 28.( −140 ) 1380.( −280 ) 1380.( −280 ) 2
− 140 − 28 2,79 7,35 + = −2,17 > −1 28.( −140 ) 55
FALHA
Para o ponto à z = 1,0 mm na lâmina à + 45°, o estado de tensão é: σx σy = τ xy
23,5 19,5 17,8 0,0 + 1,0 x − 0,397e − 2 19,5 23,5 17,8 10 3 0,0 + 1,0 x 0,227e − 2 17,8 17,8 19,6 0,0 + 1,0 x 0,930e − 3
O que resulta:
(5.48)
76
Critérios de ruptura
σ x − 32,476 σ y = − 7,516 MPa τ − 12,032 xy
(5.49)
Fazendo a transformação de eixos utilizando a eq. (3.9), e sabendo que cos 45 =
2 2 e sen 45 = , temos: 2 2
− 32,476 2 2 4 σ1 1 − 7,516 = 2 2 − 4 σ 2 − 12,032 4 − 2 2 0 τ 12
(5.50)
Logo: σ1 1 1 − 2 − 32,476 − 7,964 1 2 − 7,516 = − 32,028 MPa σ 2 = 1 1 τ 2 1 − 1 0 − 12,032 − 12,48 12
(5.51)
Pelo critério de Tsai-Hill, temos: 2
2
2
− 7,964.( −32,028 ) − 12,48 − 32,028 − 7,964 = 0,10 < 1 + − + 280 2 − 55 − 140 − 280
OK
Pelo critério de Hoffman: ( −7,964 ) 2 ( −32,028 ) 2 7,964.32,028 − 280 − 1380 + − + 7,964 + 1380.( −280 ) 28.( −140 ) 1380.( −280 ) 1380.( −280 ) 2
− 140 − 28 12,48 32,028 + = 1,20 > 1 28.( −140 ) 55 Pelo critério de Tsai-Wu, com F12 = 1, temos:
FALHA
77
Curso de projeto estrutural com materiais compostos
7,964 2 32,028 2 7,964.32,028 − 280 − 1380 + − + 7,964 + 1380.( −280 ) 28.( −140 ) 1380.( −280 ) 1380.( −280 ) 2
− 140 − 28 12,48 32,028 + = 1,20 > 1 28.( −140 ) 55
FALHA
Para o ponto à z = 0,5 mm na lâmina à - 45°, o estado de tensão é: σx σy = τ xy
19,5 − 17,8 0,0 + 0,5 x − 0,397e − 2 23,5 19,5 3 23,5 − 17,8 10 0,0 + 0,5 x 0,227e − 2 0,0 + 0,5 x 0,930e − 3 − 17,8 − 17,8 19,6
(5.52)
O que resulta: σ x − 32,792 σ y = − 20,312 MPa τ 24,244 xy
(5.53)
Fazendo a transformação de eixos utilizando a eq. (3.9), e sabendo que cos( −45) =
2 2 e sen( −45) = − , temos: 2 2
− 32,792 2 2 − 4 σ 1 1 4 σ 2 − 20,312 = 2 2 24,244 4 2 − 2 0 τ 12
(5.54)
Logo: σ1 1 1 2 − 32,792 − 2,303 1 σ 2 = 1 1 − 2 − 20,312 = − 50,796 MPa τ 2 − 1 1 0 24,244 6,24 12 Pelo critério de Tsai-Hill, temos:
(5.55)
78
Critérios de ruptura
2 2 ( −2,303 ).( −50,796 ) 6,24 2 − 50,796 − 2,303 + − + 2 55 = 0,14 > 1 ( − 280 ) − 140 − 280
OK
Pelo critério de Hoffman: ( −2,303 ) 2 ( −50,796 ) 2 ( −2,303 ).( −50,796 ) − 280 − 1380 + − + ( −2,303 ) + 1380.( −280 ) 28.( −140 ) 1380.( −280 ) 1380.( −280 ) 2
− 140 − 28 6,24 ( −50,796 ) + = −2,19 > −1 28.( −140 ) 55
FALHA
Pelo critério de Tsai-Wu, com F12 = 1, temos: ( −2,303 ) 2 ( −50,796 ) 2 ( −2,303 ).( −50,796 ) − 280 − 1380 + −2 + ( −2,303 ) + 1380.( −280 ) 28.( −140 ) 1380.( −280 ) 1380.( −280 ) 2
− 140 − 28 6,24 ( −50,796 ) + = −2,18 > −1 28.( −140 ) 55
FALHA
5.4 – Método de degradação Os métodos de degradação aplicados à estruturas laminadas são métodos iterativos de avaliação de falha em lâminas, que consistem em alterar as propriedades mecânicas de lâminas rompidas segundo o modo de falha identificado, de forma a melhor avaliar o processo de ruptura da estrutura. Os modos de falha de uma lâmina podem ser: trinca da matriz, ruptura da fibra, delaminação, etc. São inúmeros os métodos de degradação utilizados para alterar as propriedades mecânicas de lâminas rompidas. Um dos métodos mais simples considera que, na falha por trinca da matriz, as propriedades E2, E3, ν12, ν13, ν23, G12, G13 e G23 são anuladas, E1 permanecendo inalterado. Na falha por ruptura da fibra, as propriedades E1, ν12, ν13, G12 e G13 são anuladas, enquanto E2, E3, ν23 e G23 permanecem inalteradas. Na falha por delaminação, as propriedades G13 e G23 são anuladas, enquanto que as restantes permanecem inalteradas.
79
Curso de projeto estrutural com materiais compostos
Exemplo 5.3 – Considere um laminado simétrico (0°/90°/90°/0°) em kevlar/epóxi com espessura de 0,5 mm para cada lâmina. Aplique um método de degradação de maneira a verificar se todo o laminado romperá quando submetido a um carregamento Nx=500 M/mm. Considere: E1 = 76,0 GPa, E2 = 5,5 GPa, G12 = 2,0 GPa, ν12 = 0,35, XT = 1380 MPa, XC = -280 MPa, YT = 28 MPa, YC = -280 MPa e S = 55 MPa. z
y
Nx
Nx x
A matriz constitutiva das lâminas no sistema de ortotropia (1, 2, 3) é dada pela eq. (4.50). A matriz constitutiva para as lâminas à 0° é a mesma que a da eq. (4.50) e matriz constitutiva para as lâminas à 90° é da seguinte forma:
[Q]90
0
5,55 1,94 0 = 1,94 76,7 0 10 3 MPa 0 0 2,0
(5.56)
A matriz de comportamento para este laminado é da forma: Nx = 500 82,25 3,88 0 0 0 0 ε 0x N =0 0 0 0 0 ε 0x 3,88 82,25 y Nxy = 0 0 0 4,00 0 0 0 γ 0xy 3 = 10 M 0 = 0 0 0 45 , 20 1 , 29 0 x κx My = 0 0 0 0 1,29 45,20 0 κ y 0 0 0 0 1,33 κ xy Mxy = 0 0
(5.57)
Resolvendo o sistema dado pela eq. (5.57), as deformações e as curvaturas determinadas são: ε0x = 6,1e-03, ε0y = -2,9e-04 , γ0xy = 0,0, κx = 0,0, κy = 0,0, κxy = 0,0
80
Critérios de ruptura Para o ponto à z = 1,0 mm na lâmina à 0°, o estado de tensão é da forma:
σ x 76,7 1,94 0 6,0e − 03 + 1,0 x 0,0 3 σ y = 1,94 5,55 0 10 − 2,9e − 04 + 1,0 x 0,0 τ 0 0 2,0 0,0 + 1,0 x 0,0 xy
(5.58)
Logo: σ1 σ x 459,64 σ 2 = σ y = 10,03 MPa τ τ 0 12 xy
(5.59)
Pelo critério de máxima tensão, temos: σ1 459,64 = = 0,33 < 1 Xt 1380 σ 2 10,03 = = 0,36 < 1 Yc 28
OK OK
Para o ponto à z = 0,5 mm na lâmina à 90°, o estado de tensão é: σ x 5,55 1,94 0 6,0e − 03 + 1,0 x 0,0 3 σ y = 1,94 76,7 0 10 − 2,9e − 04 + 1,0 x 0,0 τ 0 0 2,0 0,0 + 1,0 x 0,0 xy
(5.60)
O que resulta: σ x 32,74 σ y = − 10,60 MPa τ 0 xy
(5.61)
Logo: σ1 σ y − 10,60 σ 2 = σ x = 32,74 MPa τ τ 0 12 xy
(5.62)
81
Curso de projeto estrutural com materiais compostos
Pelo critério de máxima tensão, temos: σ1 − 10,60 = = 0,04 < 1 Xt − 280 σ 2 32,74 = = 1,17 < 1 Yc 28
OK FALHA
Considerando que o modo de falha das lâminas à 90° é do tipo trinca da matriz, as propriedades mecânicas somente destas lâminas serão alteradas da seguinte forma: E2 = 0, ν12 = 0 e G12 = 0. Logo a matriz constitutiva para estas lâminas é agora da forma:
[Q ]
900
0 0 0 = 0 76,7 0 10 3 MPa 0 0 0
(5.63)
A matriz de comportamento para o laminado considerado degradado é da forma: N x = 500 N =0 y N xy = 0 = Mx = 0 My = 0 M xy = 0
0 0 0 0 76,7 1,94 1,94 82,25 0 0 0 0 0 0 2,00 0 0 0 0 0 44,74 1,13 0 0 0 0 0 1,13 45,20 0 0 0 0 0 1,17 0
ε 0x 0 εx γ 0 xy 3 10 κx κy κ xy
(5.64)
Resolvendo o novo sistema de equações dado pela eq. (5.64), as novas deformações e as curvaturas são: ε0x = 6,5e-03, ε0y =-1,5e-04 , γ0xy = 0,0, κx = 0,0, κy = 0,0, κxy = 0,0 Para o ponto à z = 1,0 mm na lâmina à 0°, o estado de tensão é da forma: σ x 76,7 1,94 0 6,5e − 03 + 1,0 x 0,0 3 σ y = 1,94 5,55 0 10 − 1,5e − 04 + 1,0 x 0,0 τ 0 0 2,0 0,0 + 1,0 x 0,0 xy
(5.65)
82
Critérios de ruptura
Logo: σ1 σ x 498,26 σ 2 = σ y = 11,78 MPa τ τ 0 12 xy
(5.66)
Pelo critério de máxima tensão, temos: σ1 498,26 = = 0,36 < 1 Xt 1380 σ 2 11,78 = = 0,42 < 1 Yc 28
OK OK
Para o ponto à z = 0,5 mm na lâmina à 90°, o estado de tensão é: σ x 0 0 0 6,5e − 03 + 1,0 x 0,0 3 σ y = 0 76,7 0 10 − 1,5e − 04 + 1,0 x 0,0 τ 0 0 0 0,0 + 1,0 x 0,0 xy
(5.67)
O que resulta: σx 0 σ y = − 11,51 MPa τ 0 xy
(5.68)
Logo: σ1 σ y − 11,51 σ 2 = σ x = 0 MPa τ τ 0 12 xy Pelo critério de máxima tensão, temos:
σ1 − 11,51 = = 0,04 < 1 Xt − 280 σ2
==>
OK
JA TINHA HAVIDO FALHA
(5.69)
83
Curso de projeto estrutural com materiais compostos
Conclusão: Como não houve mais nenhuma falha, o laminado suportaria o carregamento mesmo havendo ruptura em uma das lâminas. Exemplo 5.3 – Considere um laminado simétrico (0°/45°/-45°)S em kevlar/epóxi com espessura de 0,5 mm para cada lâmina. Aplique um método de degradação para verificar se haverá se todo o laminado se romperá quando submetido a um carregamento W = 20 kN/m2. Considere: E1 = 76,0 GPa, E2 = 5,5 GPa, G12 = 2,0 GPa, ν12 = 0,35, XT = 1380 MPa, XC = -280 MPa, YT = 28 MPa, YC = -280 MPa e S = 55 MPa. z
y W = 20 kN/m2
100 mm x 500 mm
Considerando que o carregamento W pode ser substituído por uma força distribuída em x = 250 mm de intensidade 10 kN/m, as reações nos apoios são iguais e de intensidade 5 kN/m. Assim, o momento máximo situado em x = 250 mm, pode ser obtido da forma: z
y
100 mm
Mx x
5 kN/m
250 mm
84
Critérios de ruptura Impondo o equilíbrio estático com relação aos momentos em torno do eixo y,
temos: Mx – 5000 N/m.125 mm + 5000 N/m.250 mm = 0 Mx = – 625 Nmm/mm A matriz de comportamento, é neste caso igual a da eq. (5.34). Logo o sistema a ser resolvido é da forma: N x = 0 123,7 41,00 0 0 0 0 ε 0x N =0 0 0 0 0 ε 0x y 41,00 52,64 N xy = 0 0 0 41,17 0 0 0 γ 0xy 3 = 10 M 625 = − 0 0 0 137 , 1 16 , 09 8 , 89 x κx My = 0 0 0 0 16,09 24,48 8,90 κ y 0 0 8,89 8,90 16,22 κ xy M xy = 0 0
(5.70)
Resolvendo o sistema de equações da eq. (5.70), as deformações e as curvaturas determinadas são: ε0x = 0,0, ε0y = 0,0 , γ0xy = 0,0, κx = -0,497e-02, κy = 0,284e-02, κxy = 0,116e-02 Para o ponto à z = 1,5 mm na lâmina à 0°, o estado de tensão é da forma: σx σy = τ xy
0,0 + 1,5 x − 0,397e − 2 76,7 1,94 0 1,94 5,55 0 10 3 0,0 + 1,5 x 0,227e − 2 0 0 2,0 0,0 + 1,5 x 0,930e − 3
(5.71)
Logo: σ x σ1 − 450,14 σ y = σ 2 = 7,35 MPa τ τ 2,79 xy 12 Pelo critério de máxima tensão, temos:
(5.72)
Curso de projeto estrutural com materiais compostos
σ1 8,917 = = 0,006 < 1 X t 1380
OK
σ 2 94,713 = = 3,38 > 1 Yc 28
FALHA
S12 − 38,78 = = 0,71 < 1 S − 55
85
OK
Para o ponto à z = 1,0 mm na lâmina à + 45°, o estado de tensão é: σ x 23,5 19,5 17,8 0,0 + 1,0 x − 0,397e − 2 3 σ y = 19,5 23,5 17,8 10 0,0 + 1,0 x 0,227e − 2 τ 17,8 17,8 19,6 0,0 + 1,0 x 0,930e − 3 xy
(5.73)
O que resulta: σ x − 32,476 σ y = − 7,516 MPa τ − 12,032 xy
(5.74)
Fazendo a transformação de eixos utilizando a eq. (3.9), e sabendo que cos 45 =
2 2 e sen 45 = , temos: 2 2
2 2 4 σ1 − 32,476 1 − 7,516 = 2 2 − 4 σ 2 − 12,032 4 − 2 2 0 τ 12
(5.75)
Logo: 1 1 − 2 − 32,476 − 7,964 σ1 1 2 − 7,516 = − 32,028 MPa σ 2 = 1 1 τ 2 1 − 1 0 − 12,032 − 12,48 12 Pelo critério de máxima tensão, temos:
(5.76)
86
Critérios de ruptura
σ1 8,917 = = 0,006 < 1 X t 1380
OK
σ 2 94,713 = = 3,38 > 1 Yc 28
FALHA
S12 − 38,78 = = 0,71 < 1 S − 55
OK
Para o ponto à z = 0,5 mm na lâmina à - 45°, o estado de tensão é: σx σy = τ xy
19,5 − 17,8 0,0 + 0,5 x − 0,397e − 2 23,5 19,5 3 23,5 − 17,8 10 0,0 + 0,5 x 0,227e − 2 0,0 + 0,5 x 0,930e − 3 − 17,8 − 17,8 19,6
(5.77)
O que resulta: σ x − 32,792 σ y = − 20,312 MPa τ 24,244 xy
(5.78)
Fazendo a transformação de eixos utilizando a eq. (3.9), e sabendo que cos( −45) =
2 2 e sen( −45) = − , temos: 2 2
2 2 − 4 σ 1 − 32,792 1 4 σ 2 − 20,312 = 2 2 24,244 4 2 − 2 0 τ 12
(5.79)
Logo: 1 1 2 − 32,792 − 2,303 σ1 1 σ 2 = 1 1 − 2 − 20,312 = − 50,796 MPa τ 2 − 1 1 0 24,244 6,24 12 Pelo critério de máxima tensão, temos:
(5.80)
Curso de projeto estrutural com materiais compostos
σ1 8,917 = = 0,006 < 1 X t 1380
OK
σ 2 94,713 = = 3,38 > 1 Yc 28
FALHA
S12 − 38,78 = = 0,71 < 1 S − 55
OK
87
88
6
Método dos Elementos Finitos aplicado aos materiais compostos
–
MÉTODO
DOS
ELEMENTOS
FINITOS
APLICADO
AOS
MATERIAIS
COMPOSTOS TEORIA DE PRIMEIRA ORDEM: A Teoria de Primeira Ordem considera que as seções que eram planas antes de aplicar o carregamento, permanecem planas após aplicar o carregamento, mas não perpendiculares à superfície neutra. Esta hipótese considera portanto que o cisalhamento transverso é não nulo, γxz ≠ 0 e γyz ≠ 0. Seja então uma placa laminada carregada no plano (x,z), onde w ´ x =
∂w , Figura 6.1. ∂x γxz w´x
α
w´x
z
w0 u0 x
Figura 6.1 – Hipóteses de deslocamento da Teoria de Primeira Ordem
6.1 – Campo de deslocamentos O deslocamento de um ponto genérico distante z da superfície neutra é dado da forma:
Curso de projeto estrutural com materiais compostos
89
u = u 0 + z.α v = v 0 + z.β
(6.1)
w = w0 onde u0, v0 w0 são os deslocamentos transversais da superfície neutra, e α e β são as inclinações das seções nos planos (x,z) e (y,z), respectivamente. ESTADO PLANO DE DEFORMAÇÕES ∂u ∂u 0 ∂α ∂x ∂x ε 0x ε x ∂x κx ∂ v ∂ ∂ β v 0 0 εy = = +z = εy + z κy ∂y ∂y γ ∂y γ 0 κ xy ∂u ∂v ∂u 0 ∂v 0 xy xy ∂ α ∂ β + + + ∂y ∂x ∂y ∂y ∂x ∂x
(6.2)
onde ε0x, ε0y são deformações normais nas direções x e y na superfície neutra, γ0xy é a deformação angular no plano (x,y) na superfície neutra, e κx, κy e κxy são as curvaturas. DEFORMAÇÕES CISALHANTES TRANSVERSAS ∂w ∂v ∂w + β+ γ yz ∂z ∂y ∂y = = γ xz ∂u + ∂w α + ∂w ∂x ∂z ∂x
(6.3)
onde γxz e γxz são as deformações angulares transversas nos planos (x,z) e (y,z). Os esforços cortantes por unidade de comprimento, Qx e Qy podem ser definidos da seguinte forma: Q y h / 2 τyz = ∫ dz Q x −h / 2 τxz
(6.4)
90
Método dos Elementos Finitos aplicado aos materiais compostos k
Q y n z τ yz = ∑ ∫ dz Q x k =1 z −1 τ xz
(6.5)
A matriz constitutiva no sistema de ortotropia considerando somente os efeitos de cisalhamento transverso é da forma: τ23 G23 = τ13 0
0 γ 23 Q44 = G13 γ13 Q54
Q45 γ 23 Q55 γ13
(6.6)
A relação das tensões medidas no sistema de referência com as tensões medidas no sistema de ortotropia, considerando somente os efeitos de cisalhamento transverso, é dada pela matriz de transformação: τ23 τyz c s τ23 = = [ Tτ ] τxz −s c τ13 τ13
(6.7)
De maneira análoga, a relação das deformações medidas no sistema de referência com as deformações medidas no sistema de ortotropia é dada pela mesma matriz de transformação: γ 23 γ yz c s γ 23 = = [ Tτ ] γ xz −s c γ13 γ13
(6.8)
Multiplicando a matriz de transformação na relação constitutiva na qual é considerado somente os efeitos do cisalhamento transverso, eq. (6.6), temos:
[ Tτ ]
τ23 = [ Tτ ] τ13
Q44 Q54
Q45 γ 23 Q55 γ13
(6.9)
e, substituindo a eq. (6.8) na eq. (6.9), temos: τyz = [ Tτ ] τxz
Q44 Q 54
γ yz Q Q45 Tτ ] t = 44 [ Q55 γ xz Q54
Q45 γ yz Q55 γ xz
(6.10)
91
Curso de projeto estrutural com materiais compostos
Substituindo a eq. (6.10) na eq. (6.5), e considerando que as deformações cisalhantes são constantes ao longo da espessura, temos: k
Qy n zk Q44 =∑ ∫ Qx k =1 zk −1 Q54
γ yz Q45 dz Q55 γ xz
Qy n = ∑ hk Qx k =1
Q45 γ yz Q55 γ xz
Q44 Q 54
(6.11)
k
(6.12)
Qy F44 F45 γ yz = Qx F54 F55 γ xz
(6.13)
A equação de comportamento que inclui o efeito do cisalhamento transverso é portanto da forma :
Nx A11 N A y 21 Nxy A 61 Mx B11 = M y B21 Mxy B61 Qy 0 Q 0 x
A12
A16
B11
B21
B61
0
A 22
A 26
B21 B22
B26
0
A 62
A 66
B61 B62
B66
0
B12
B16
D11 D12
D16
0
B22 B62
B26 B66
D21 D22 D26 D61 D62 D66
0 0
0
0
0
0
0
F44
0
0
0
0
0
F54
0 0 0 0 0 0 F45 F55
ε0x Nx t 0 ε y Ny t γ 0xy Nxy t κ x Mx t − κ y My t κ xy Mxy t γ yz 0 γ xz 0
(6.14)
É importante lembrar que as tensões de cisalhamento transverso são constantes e descontínuas quando obtidas da forma: k
k
τyz Q44 Q45 γ yz = τxz Q54 Q55 γ xz
(6.15)
Para corrigir esta falha da Teoria de Primeira Ordem, as tensões de cisalhamento transverso são multiplicadas por um fator de correção kc, obtido através da equivalência da energia de deformação exata, na qual a distribuição é parabólica ao
92
Método dos Elementos Finitos aplicado aos materiais compostos
longo da espessura, com a energia de deformação obtida com esta teoria. Assim, a eq. (6.15) se coloca da forma: k
τyz = kc τxz
k
Q45 γ yz Q55 γ xz
Q44 Q 54
(6.16)
6.2 – Energia de deformação elementar A energia de deformação em um elemento infinitesimal pode ser colocada da forma: εx 1 Ue = ∫ ε y 2V γ xy
t
σx t 1 γ yz τ yz σ y dV + ∫ dV 2 V γ xz τ xz τ xy
(6.17)
onde, a primeira integral corresponde a energia devido ao estado plano de tensão e a segunda corresponde a energia devido ao cisalhamento transverso. Substituindo as deformações obtidas anteriormente, temos: t
ε0x + z κ x σ h t x 2 1 1 2 γ yz τ yz 0 Ue = ∫ ∫ ε y + z κ y σ y dz dx dy + ∫ ∫ dz dx dy 2 A −h 2 A −h γ xz τ xz 2 γ0 + z κ 2 τ xy xy xy h
(6.18)
Desenvolvendo a expressão acima temos: ε0x 2 1 Ue = ∫ ∫ ε0y 2 A −h 2 γ0 xy h
h
γ yz γ xz 2
1 2 2 A∫ −∫h
t
t
σ h κ x x 1 2 σ y dz dx dy + ∫ ∫ κ y 2 A −h 2 κ xy τ xy
τ yz dz dx dy τ xz
Sabe-se que:
t
σ x σ y z dz dx dy + τ xy
(6.19)
93
Curso de projeto estrutural com materiais compostos
Nx h 2 Ny = ∫ N −h 2 xy
σx Mx h 2 σ y dz , M y = ∫ τ M −h 2 xy xy
σx σ y z dz τ xy
Q y h / 2 τ yz e = ∫ dz Q x −h / 2 τ xz
(6.20)
Mx t 1 γ yz Q y My dx dy + ∫ dx dy 2 A γ xz Q x Mxy
(6.21)
Logo: ε0x 1 Ue = ∫ ε0y 2A 0 γ xy
t
Nx κx 1 Ny dx dy + ∫ κ y 2A Nxy κ xy
t
Reagrupando a eq. (6.21): ε0x 0 εy 0 γ xy 1 κ Ue = ∫ x 2 A κy κ xy γ yz γ xz
t
Nx N y Nxy Mx dx dy M y M xy Qy Q x
(6.22)
Sabe-se que, desconsiderando os efeitos térmicos: ε0x Nx 0 εy Ny 0 Nxy A B 0 γ xy Mx κ = B D 0 x My 0 0 F κ y M xy κ xy Qy γ yz Q γ xz x
Substituindo a eq. (6.23) na eq. (6.22), tem-se finalmente:
(6.23)
94
Método dos Elementos Finitos aplicado aos materiais compostos
ε0x 0 εy 0 γ xy 1 κ Ue = ∫ x 2 A κy κ xy γ yz γ xz
t
A B 0 B D 0 0 0 F
ε0x 0 εy 0 γ xy κx dx dy κy κ xy γ yz γ xz
(6.24)
Considerando que os deslocamentos e as inclinações possam ser definidas como sendo interpolações nodais da forma: n
u( x, y ) = ∑ Ni ( x, y ) ui i=1 n
v( x, y ) = ∑ Ni ( x, y ) v i i=1
n
w( x, y ) = ∑ Ni ( x, y ) w i i=1
ou
{u
e
}
{ }
(x, y) = [N(x, y )] Ue
(6.25)
n
α( x, y ) = ∑ Ni ( x, y ) α i i=1 n
β( x, y ) = ∑ Ni ( x, y ) β i i=1
onde ue(x,y) é o vetor deslocamento elementar, Ni(x,y) são funções de interpolação obtidas em função do número de nós n do elemento, e Ue é o vetor deslocamento nodal do elemento contendo ui, vi, wi, αi e βi. A relação deformação/deslocamento pode então, segundo as eq. (6.2) e (6.3), ser dada da forma:
95
Curso de projeto estrutural com materiais compostos
∂u ∂N1 0 ∂x ∂x ∂v ∂N1 0 ∂y ε 0x ∂y 0 ∂u ∂v ∂N1 ∂N1 ε y ∂y + ∂x ∂y ∂x γ0 xy ∂α 0 0 κ x ∂x = = ∂β κy 0 0 κ xy ∂y ∂α ∂β 0 γ xz ∂y + ∂x 0 γ ∂w yz α+ 0 0 ∂x ∂w 0 0 β+ ∂y
0
0
0
∂N2 ∂x
0
0
0
0
0
0
0
0
∂N1 ∂x
∂N2 ∂y
0
0
0
0
0
∂N1 ∂y
∂N1 ∂x ∂N1 ∂y
∂N1 ∂y ∂N1 ∂x
0 0
N1
0
0
0
N1 0
∂N2 ∂x ∂N2 ∂y
" ∂N2 " ∂y u ∂N2 " 1 ∂x v1 " w 1 0 e α1 = [B] U " β 0 1 # " 0 βn " " 0
{ }
(6.26)
Substituindo a eq. (6.26) na eq. (6.24), temos:
{ } [B]
1 Ue = ∫ Ue 2A
t
t
A B 0 B D 0 [B] Ue dx dy 0 0 F
{ }
(6.27)
6.3 – Energia cinética elementar A energia cinética de um elemento infinitesimal pode ser colocada da forma: ∂u( x, y, z, t ) 2 ∂v( x, y, z, t ) 2 ∂w( x, y, z, t ) 2 1 Te = ∫ ρ( x, y, z) + + dV ∂t ∂t ∂t 2V
(6.28)
Considerando o campo de deslocamentos definido pela eq. (6.1), temos: h
2 2 2 ∂u ∂α ∂v 0 ∂β ∂w 0 1 2 0 +z +z + Te = ∫ ∫ ρ( x, y, z) + dz dx dy ∂t ∂t ∂t ∂t 2 A −h ∂t 2
Desenvolvendo a eq. (6.29), temos:
(6.29)
96
Método dos Elementos Finitos aplicado aos materiais compostos h
[(
) (
(
)]
1 2 2 2 0 2 + 2z u 0 α + v 0 β + z 2 α 2 + β 2 dz dx dy Te = ∫ ∫ ρ( x, y, z ) u 0 + v 0 + w 2 A −h
)
(6.30)
2
Para uma placa, laminada, a densidade de cada lâmina pode ser considerada constante ao logo da espessura, logo ρk = ρ(x,y). Definindo ρ0(x,y) como sendo uma densidade de massa por unidade de área da superfície média da placa como sendo: h
2
∫ρ −h
ρ o ( x, y ) =
k
(6.31)
dz
2
e definindo ρ1(x,y) como sendo o primeiro momento de massa por: h
2
∫ρ −h
ρ1( x, y ) =
k
(6.32)
z dz
2
Observe que se a densidade for constante ao longo da espessura, como no caso de uma placa homogênea, ρ1(x,y)=0. Definindo também ρ2(x,y) como sendo o segundo momento de massa por: h
ρ 2 ( x, y ) =
2
∫ρ −h
k
z 2 dz
(6.33)
2
Para uma placa homogênea, ρ 2 =
ρk h3 . 12
Substituindo as eqs. (6.31), (6.32) e (6.33) na eq. (6.30), temos: Te =
[
(
)
(
)
(
)]
1 2 2 0 2 + 2ρ1( x, y ) u 0 α + v 0 β + ρ 2 ( x, y ) α 2 + β 2 dx dy (6.34) ρ 0 ( x, y ) u 0 + v 0 + w ∫ 2A Reagrupando a eq. (6.34) na forma de vetores, temos:
97
Curso de projeto estrutural com materiais compostos
Te =
1 2 A∫
u t u 0 t t 0 u 0 α α α v 0 ρ 0 ( x, y ) v 0 + 2ρ1( x, y ) + ρ 2 ( x, y ) dx dy v β β β w w 0 0 0
(6.35)
A eq. (6.35) pode ser reescrita através da definição de uma matriz [m] do tipo: 0 0 ρ1( x, y ) 0 ρ 0 ( x, y ) 0 ρ 0 ( x, y ) 0 0 ρ1( x, y ) [m] = 0 0 ρ 0 ( x, y ) 0 0 0 0 ρ 2 ( x, y ) 0 ρ1( x, y ) 0 ρ1( x, y ) 0 0 ρ 2 ( x, y )
(6.36)
Logo:
Te =
1 2 A∫
u t u 0 0 v v 0 0 w 0 dx dy [m] w 0 α α β β
(6.37)
Considerando a derivada temporal da eq. (6.25), temos:
{u (x, y, t)}= [N(x, y )] {U (t)} e
e
(6.38)
Substituindo a eq. (6.38) na eq. (6.37), tem-se: Te =
[{ } [N] [m] [N] {U }] dx dy
1 e U ∫ 2A
t
t
e
(6.39)
6.4 – Trabalho realizado pelas forças externas O trabalho realizado pelas forças externas pode ser colocado da forma: We =
{ }
{ }
1 1 q ( x, y ) Ue dx dy + {F} Ue ∫ 2 2A
(6.40)
98
Método dos Elementos Finitos aplicado aos materiais compostos
onde q(x,y) é o carregamento transversal e {F} são os esforços concentrados do tipo força e momento.
6.5 – Problema estático – princípio dos trabalhos virtuais Este princípio considera que o trabalho virtual realizado pelas forças externas é igual ao trabalho virtual realizado pelas esforços internos quando da aplicação de deslocamentos virtuais do tipo {δUe}. Assim das eq. (6.27) e eq. (6.40) e considerando o trabalho realizado no elementos, temos:
∫ {U } [B] e t
A
t
A B 0 B D 0 [B] Ue dx dy = δUe t q ( x, y ) dx dy + δUe ∫ A 0 0 F
{ }
{ }
{ } {F} t
(6.41)
Colocando os deslocamentos virtuais em evidência, tem-se:
{δU } ∫ [B] e t
A
t
A B 0 B D 0 [B] dx dy Ue − q( x, y ) dx dy + {F} = 0 ∫ A 0 0 F
{ }
(6.42)
Como a solução da eq. (6.42) é valida para qualquer deslocamento virtual, o problema a ser resolvido, após a superposição das matrizes elementares, é da forma:
[K ] {U} = {P}
(6.43)
A eq. (6.43) é a equação que descreve o comportamento estático do sistema, onde [K] é a matriz de rigidez global, {P} é o vetor forças externas global e {U} é o vetor dos graus de liberdade de todo o sistema.
6.5.1 – Determinação das tensões Após a resolução do sistema de equações lineares dado pela eq. (6.43), obtémse o vetor de deslocamentos nodais {U}. Aplicando as eqs. (6.26), obtém-se as deformações na superfície neutra, as curvaturas e as deformações cisalhantes
99
Curso de projeto estrutural com materiais compostos
transversas. Multiplicando as deformações na forma das eqs. (6.2) e (6.3) pela matriz constitutiva obtida no sistema de coordenadas de referência (x,y), obtém-se as tensões medidas no sistema de referência {σx}. Multiplicando o resultado destas tensões pela matriz de transformação [T] dada pela eq. (3.9), obtêm-se as tensões medidas no sistema de ortotropia {σ1}. Finalmente, pode-se aplicar um critério de falha sobre qualquer elemento. As tensões de cisalhamento transversas, como visto anteriormente, são constantes ao longo da espessura de cada lâmina, quando determinadas pela Teoria de Primeira Ordem. Para obter a distribuição correta destas tensões, considere um elemento infinitesimal de volume dx, dy e dz submetido a um estado de tensões triaxiais. Por comodidade, somente as tensões na direção x são mostradas na Figura 6.2: z
τ xz +
∂τ xz dx ∂x σx
τ xy
∂σ σ x + x dx ∂x
y τ xz x
τ xy +
∂τ xy ∂x
dx
Figura 6.2 – Elemento submetido à um estado de tensões triaxiais Impondo o equilíbrio estático da direção x, temos: ∂τ xy ∂σ − σ x dydz + σ x + x dx dydz − τ xy dxdz + τ xy + dy dxdz ∂x ∂y Σ Fx = 0, ∂τ − τ xz dxdy + τ xz + xz dz dxdy = 0 ∂z
(6.44)
Que resulta na equação diferencial que representa o equilíbrio na direção x:
100
Método dos Elementos Finitos aplicado aos materiais compostos
∂σ x ∂τ xy ∂τ xz + + =0 ∂x ∂y ∂z
(6.45)
As equações diferenciais que representam o equilíbrio na direção y e z podem ser obtidas de maneira análoga: ∂σ y
∂τ xy
(6.46)
∂σ z ∂τ xz ∂τ yz + + =0 ∂z ∂x ∂y
(6.47)
∂x
+
∂τ yz
=0
∂y
+
∂z
A distribuição da tensão cisalhante transversa τxz, pode ser obtida a partir da eq. (6.46), e de σx e τxy obtidas da eq. (4.47): ∂τ xy ∂σ τ xz = − ∫ x + ∂y ∂x
dz
(6.48)
Assim, desprezando os efeitos térmicos, temos:
τ xz
( (
) )
( (
) )
( (
) + dz )
k ∂ 0 0 0 k ∂ k ∂ Q11 ∂x ε x + zκ x + Q12 ∂x ε y + zκ y + Q16 ∂x γ xy + zκ xy = −∫ Q k ∂ ε 0 + zκ + Q k ∂ ε 0 + zκ + Q k ∂ γ 0 + zκ x y y xy xy 62 66 61 ∂y x ∂y ∂y
(6.49)
Considerando o estado plano de deformações dado pela eq. (6.2), temos:
τ xz
2 k ∂ 2u0 ∂ 2α ∂ 2β k ∂ v0 +z Q11 2 + z 2 + Q12 + ∂x∂y ∂x ∂x ∂x∂y 2 2 2 2 Qk ∂ u0 + ∂ v 0 + z ∂ α + z ∂ β + 2 16 ∂x∂y ∂x 2 ∂x∂y ∂x dz = −∫ 2 2 2 k ∂ 2u0 ∂ v0 ∂ α ∂ β k +z Q61 + Q62 2 + z 2 + ∂y∂x ∂y ∂y∂x ∂y 2 2 2 2 Qk ∂ u0 + ∂ v 0 + z ∂ α + z ∂ β 2 66 ∂y 2 ∂y∂x ∂ ∂ y x ∂y
(6.50)
101
Curso de projeto estrutural com materiais compostos
Como os deslocamentos u0 e v0 e as rotações α e β são medidos na superfície neutra, portanto independentes da posição z, tem-se:
τ xz
2 k ∂ 2u0 z2 ∂ 2α z2 ∂ 2β k ∂ v0 + + Q z Q11 z 2 + + 12 2 ∂x 2 ∂x ∂x∂y 2 ∂x∂y 2 2 2 2 2 2 Qk z ∂ u0 + z ∂ v 0 + z ∂ α + z ∂ β + 2 2 16 ∂x∂y 2 ∂x∂y 2 ∂x ∂x + ak (x,y) = − 2 2 2 2 2 2 k ∂ u0 z ∂ α z ∂ β k ∂ v0 + + Q61 z + Q62 z 2 + 2 ∂ ∂ ∂ ∂ y x 2 y x 2 ∂ ∂ y y 2 2 2 2 2 2 Qk z ∂ u0 + z ∂ v 0 + z ∂ α + z ∂ β 2 66 ∂y 2 ∂ ∂ y x ∂ ∂ 2 2 y x ∂y
(6.51)
onde ak é uma constante de integração determinada pela imposição da continuidade das tensões na interface das lâminas e da nulidade desta tensão nas superfícies inferior e superior do laminado. Observa-se na eq. (6.51) que a distribuição da tensão cisalhante transversa τxz é parabólica. A distribuição da tensão cisalhante transversa τyz, pode ser obtida a partir da eq. (6.46), e de σx e τxy obtidas da eq. (4.47): ∂τ xy ∂σ y τ yz = − ∫ + ∂y ∂x
dz
(6.52)
Assim, desprezando os efeitos térmicos, temos:
τ yz
k ∂ 0 k ∂ 0 k Q61 ∂x ε x + zκ x + Q62 ∂x ε y + zκ y + Q66 = −∫ Qk ∂ ε0 + zκ + Qk ∂ ε0 + zκ + Qk x 22 y y 26 21 ∂y x ∂y
(
)
(
)
(
)
(
)
∂ 0 γ xy + zκ xy + ∂x dz ∂ 0 γ xy + zκ xy ∂y
(
)
(
)
Considerando o estado de deformações dado pela eq. (6.2), temos:
(6.53)
102
τ yz
Método dos Elementos Finitos aplicado aos materiais compostos 2 k ∂ 2u0 ∂ 2α ∂ 2β k ∂ v0 + + + Q z Q z 61 2 + 62 2 ∂ ∂ ∂ ∂ x y x y ∂ ∂ x x 2 2 2 2 Qk ∂ u0 + ∂ v 0 + z ∂ α + z ∂ β + 2 66 ∂x∂y ∂x 2 ∂ ∂ x y ∂x dz = −∫ 2 2 k ∂ 2u0 ∂ v ∂ 2α ∂ β k 0 +z Q21 + Q22 2 + z 2 + ∂ ∂ ∂ ∂ y x y x ∂ ∂y y 2 2 2 2 Qk ∂ u0 + ∂ v 0 + z ∂ α + z ∂ β 2 26 ∂y 2 ∂y∂x ∂ ∂ y x ∂ y
(6.54)
Como os deslocamentos u0 e v0 e as rotações α e β são medidos na superfície neutra, portanto independentes da posição z, tem-se:
τ yz
2 k ∂ 2u0 z2 ∂ 2α z2 ∂ 2β k ∂ v0 + + Q z Q61 z 2 + + 62 2 ∂x 2 ∂x ∂x∂y 2 ∂x∂y 2 2 2 2 2 2 Qk z ∂ u0 + z ∂ v 0 + z ∂ α + z ∂ β + 2 2 66 ∂x∂y ∂ ∂ 2 x y 2 ∂ ∂ x x + bk (x,y) =− 2 2 2 2 2 2 k ∂ u0 z ∂ α z ∂ β k ∂ v0 + + Q21 z + Q22 z 2 + 2 ∂ ∂ ∂ ∂ y x 2 y x 2 ∂ ∂ y y 2 2 2 2 2 2 Qk z ∂ u0 + z ∂ v 0 + z ∂ α + z ∂ β 2 26 ∂y 2 ∂y∂x 2 ∂y 2 ∂y∂x
(6.55)
onde bk é uma constante de integração determinada pela imposição da continuidade das tensões na interface das lâminas e da nulidade desta tensão nas superfícies inferior e superior do laminado. Observa-se na eq. (6.55) que a distribuição da tensão cisalhante transversa τyz é parabólica. A distribuição da tensão normal σz, pode ser obtida a partir das eqs. (6.47), (6.51) e (6.55): ∂τ yz ∂τ σ z = − ∫ xz + ∂y ∂x
dz
(6.56)
Curso de projeto estrutural com materiais compostos
103
6.6 – Problema dinâmico – equações de lagrange Inúmeras técnicas podem ser utilizadas para se chegar na equação que representa o comportamento do sistema, equação esta que será resolvida pelo método dos elementos finitos: princípio da energia potencial mínima, método dos resíduos ponderados, etc. Um método bastante utilizado para se obter a equação que representa o comportamento dinâmico de um sistema é o da aplicação das equações de Lagrange sobre as todas as energias consideradas no sistema. Estas equações de Lagrange são expressas da seguinte forma: d ∂T ∂T ∂U − + = Fqi dt ∂q i ∂qi ∂qi
(6.57)
onde T é a energia cinética do sistema, U é a energia de deformação do sistema e Fqi são as forças generalizadas do sistema. Aplicando a eq. (6.57) sobre as eqs. (6.27), (6.39) e considerando que as forças generalizadas são obtidas pelo trabalho virtual realizado pelas forças externas, obtém-se a eq. (6.58) que representa a equação de movimento do sistema, dada da forma:
[M] {U(t )} + [K ] {U( t )} = {P(t )}
(6.58)
onde [M] é a matriz de massa global:
6.6.1 – Freqüências naturais e modos de vibração As freqüências naturais e os modos de vibração de um sistema em vibração são obtidos através da solução da equação homogênea da eq. (6.58):
[M] {U(t )}+ [K ] {U(t )} = {0}
(6.59)
A solução da eq. (6.59) é da forma harmônica do tipo:
{U(t )} = {U} eiωt
(6.60)
104
onde
Método dos Elementos Finitos aplicado aos materiais compostos
{U}
são deslocamentos nodais, independentes do tempo, representativos do
modo de vibração associado à freqüência natural ω. Substituindo a eq. (6.60) na eq. (6.59) e simplificando o termo exponencial, obtemos:
[K − ω M] {U} = {0} 2
(6.61)
6.6.2 – Resposta no tempo A solução da eq. (6.58) pode ser obtida por diferentes métodos: Método das Diferenças Centrais, Método de Houbolt, Método de Newmark, etc., nos quais são definidos os deslocamentos, as velocidades e as acelerações obtidas em um tempo t em função dos deslocamentos, das velocidades e das acelerações obtidas em tempo t∆t e t+∆t. A escolha entre um destes métodos se restringe na convergência ou não da solução e/ou no tempo de convergência.
6.7 – Exemplos de aplicação
6.7.1 – Chassi de kart
Curso de projeto estrutural com materiais compostos
6.7.2 – Chassi de side-car
105
106
Método dos Elementos Finitos aplicado aos materiais compostos
6.7.3 – Quadro de bicicleta (a)
6.7.4 – Raquete de tênis
Curso de projeto estrutural com materiais compostos
6.7.5 – Carroceria de caminhão baú
6.7.6 – Casco de catamaran
107
108
Método dos Elementos Finitos aplicado aos materiais compostos
6.7.7 – Quadro de bicicleta (b)
6.7.8 – Chassi de um caminhão leve
109
Curso de projeto estrutural com materiais compostos
7 – FLAMBAGEM DE PLACAS LAMINADAS Este capítulo trata da análise de estabilidade de placa laminadas submetidas à cargas compressivas.
7.1 – Equações diferencias de placas Considere um elemento de placa infinitesimal de dimensões dx, dy, submetido à esforços de membrana, Figura 7.1. z N xy dx
N xy dx
N y dx
N x dy
y
dy dx
x ∂N x dx dy Nx + ∂x
∂N xy N xy + dx dy ∂x
N xy
∂N y Ny + dx dy ∂ y ∂N xy + dy dx ∂y
Figura 7.1 – Esforços de membrana sobre um elemento de placa Impondo o equilíbrio estático na direção x, temos: ∂Nxy ∂N ΣFx = 0, −Nx dy + Nx + x dx dy − Nxy dy + Nxy + dy dx = 0 ∂x ∂y
(7.1)
∂Nx ∂Nxy + =0 ∂x ∂y
(7.2)
Analogamente, com relação ao eixo y, temos: ∂Ny ∂y
+
∂Nxy ∂x
=0
(7.3)
110
Flambagem de placas laminadas
Considere agora, um elemento de placa infinitesimal de dimensões dx, dy, submetido à esforços de flexão e de cortante.
Q x dy
z Q y dx Mxy dx
Mxy dy p( x, y )
My dx
dx
x
Mx dx
∂Mx Mx + ∂x dx dy
∂Q y Qy + dx dy ∂ y
dy ∂Q x dx dy Qx + ∂x
y
∂My dy dx My + ∂y ∂ M xy dy dx Mxy + ∂y ∂Mxy M + dx dy xy ∂x
Figura 7.2 – Esforços de flexão e cortantes em um elemento de placa Impondo o equilíbrio das forças na direção z, temos: ∂Q y ∂Q x ΣFz = 0, −Q x dy + Q x + dx dy − Q y dx + Q y + dy dx + p dx dy = 0 ∂x ∂y
(7.4)
Simplificando, a eq. (7.4) resulta em: ∂Q x ∂Q y + +p = 0 ∂x ∂y
(7.5)
Impondo o equilíbrio dos momentos com relação ao eixo x, temos: ∂My ∂Mxy dy dx − Mxy dy + Mxy + dx dy − −My dx + My + ∂y ∂x ΣMx = 0, ∂Q y dy dy dx.dy + p dx dy =0 Qy + ∂y 2 Desprezando termos de segunda ordem, a eq. (7.6) resulta em:
(7.6)
111
Curso de projeto estrutural com materiais compostos
∂My ∂y
+
∂Mxy ∂x
− Qy = 0
(7.7)
Por analogia, do equilíbrio dos momentos com relação ao eixo y, tem-se a eq. (7.8): ∂M x ∂M xy + − Qx = 0 ∂x ∂y
(7.8)
Somando a derivada da eq. (7.7) com relação a y, a derivada da eq. (7.8) com relação a x e a carga distribuída sobre a placa p(x,y), temos: ∂ 2M x ∂x 2
+2
∂ 2Mxy ∂x∂y
+
∂ 2M y ∂2y
= −p
(7.9)
7.2 – Equações de placa considerando a flambagem
Considere um elemento de placa deformado submetido à esforços de membrana. ∂N x dx dy Nx + ∂x
z dx
N x dy
∂w 0 ∂ ∂w 0 + ∂x ∂x ∂x
dx
x ∂w 0 ∂x
Figura 7.3 – Esforços normais de membrana sobre um elemento de placa deformada Considerando pequenas deformações, a equação que representa o equilíbrio da placa da direção z é da forma:
112
Flambagem de placas laminadas
ΣFz , −Nx dy
∂w ∂w 0 ∂2w0 ∂N + Nx + x dx dy 0 + dx ∂x ∂x ∂x 2 ∂x
(7.10)
Desprezando os termos de ordem superior, temos: ∂ 2 w 0 ∂Nx ∂w 0 + Nx ∂x ∂x ∂x 2
(7.11)
Analogamente com relação aos esforços de membrana no eixo y, temos: Ny
∂ 2 w 0 ∂Ny ∂w 0 + ∂y ∂y ∂y 2
(7.12)
dy
z N xy dy
y
N xy dx
dx
∂w 0 ∂x
∂w 0 ∂y
x
x ∂w ∂ ∂w 0 0 + ∂x ∂y ∂y
dx
∂N xy N xy + dy dx ∂x
∂N xy N xy + dx dy y ∂ ∂w 0 ∂ ∂w 0 + dy ∂y ∂x ∂x
Figura 7.4 – Esforços de cisalhamento em membrana em um elemento infinitesimal As componentes das forças que atuam na direção z devido a Nxy são da forma, Figura 7.4: ∂Nxy ∂w ∂w 0 ∂2w0 dx dy 0 + dx + Nxy + ∂y ∂x ∂x∂y ∂y ∂Nxy ∂w ∂w ∂2w0 dy dx 0 + dy −Nxy dx 0 + Nxy + ∂x ∂y ∂y∂x ∂x
−Nxy dy
(7.13)
Curso de projeto estrutural com materiais compostos
113
Desprezando os termos de ordem superior, temos: 2Nxy
∂ 2 w 0 ∂Nxy ∂w 0 ∂Nxy ∂w 0 + + ∂x∂y ∂x ∂y ∂y ∂x
(7.14)
Agrupando as eqs. (7.11), (7.12) e (7.14), a componente total na direção z é da forma: ∂2w 0 ∂2 w0 ∂ 2 w 0 ∂w 0 ∂Nx ∂Nxy ∂w 0 ∂Ny ∂Nxy + Ny + 2Nxy + + + Nx + ∂x∂y ∂x ∂x ∂y ∂y ∂y ∂x ∂x 2 ∂y 2
(7.15)
Substituindo as eqs. (7.2) e (7.3) na eq.(7.15), tem-se: ∂2w0 ∂2w 0 ∂2w 0 + Ny + 2Nxy Nx ∂x∂y ∂x 2 ∂y 2
(7.16)
A soma da eq. (7.16) com a eq. (7.5), fornece a resultante das forças atuando na direção z: Nx
∂2w0 ∂2w0 ∂ 2 w 0 ∂Q x ∂Q y + + + + +p = 0 N 2N y xy ∂x∂y ∂x ∂y ∂x 2 ∂y 2
(7.17)
A eq. (7.17) pode ser apresentada de uma outra forma, fazendo a soma da eq. (7.9) com a eq. (7.5): 2 ∂ 2Mxy ∂ 2Mx ∂ My ∂2w0 ∂2w0 ∂2w0 + + 2 + N + N + 2N +p = 0 x y xy ∂x 2 ∂y 2 ∂x∂y ∂x 2 ∂y 2 ∂x∂y
(7.18)
A eq. (7.18) pode ser também apresentada de uma forma alternativa se considerarmos as eqs. (7.7) e (7.8): ∂2w0 ∂2w0 ∂2w0 ∂Q x ∂Q y + + Nx + N + 2N +p = 0 y xy ∂x ∂y ∂x 2 ∂y 2 ∂x∂y
(7.19)
Portanto, as equações que prevêem o comportamento da placa são as equações de equilíbrio de forças nas direções x, y e z, dadas pelas eqs. (7.2), (7.3) e (7.18) ou (7.19), respectivamente, e eventualmente as eqs. (7.7) e (7.8) que são as equações de
114
Flambagem de placas laminadas
equilíbrio de momentos com relação ao eixo x e y. Na presença de forças de inércia, no caso de carregamento dinâmico, estas equações se transformam em: ∂ 2u ∂Nx ∂Nxy + = ρ0 20 ∂x ∂y ∂t ∂Ny
∂Nxy
∂2v0 + = ρ0 2 ∂y ∂x ∂t
(7.20)
(7.21)
2 ∂ 2Mxy ∂ 2Mx ∂ My ∂2w0 ∂2w0 ∂2w0 ∂2w0 + + 2 + N + N + 2N + p = ρ x y xy 0 ∂x 2 ∂y 2 ∂x∂y ∂x 2 ∂y 2 ∂x∂y ∂t 2
(7.22)
∂2w0 ∂2w0 ∂2w0 ∂2w0 ∂Q x ∂Q y + + Nx + N + 2N + p = ρ y xy 0 ∂x ∂y ∂x 2 ∂y 2 ∂x∂y ∂t 2
(7.23)
7.3 – Método da perturbação aplicado à flambagem
Para resolver o problema de flambagem, é utilizado um método de perturbação, no qual o campo de deslocamento é escrito da forma: u = u i + λu v = v i + λv
(7.24)
w = w i + λw onde ui, vi e wi são deslocamentos iniciais, antes de ocorrer a flambagem e, u, v e w são deslocamentos quaisquer e admissíveis (verificam todas as condições de contorno e de continuidade) e λ é um escalar infinitamente pequeno e independente das coordenadas. Considerando a matriz de comportamento dada pela eq. (4.38) e o campo de deslocamentos para a flambagem, eq. (7.24), temos:
Curso de projeto estrutural com materiais compostos
115
i
ε 0x ε 0x Nx 0 0 N εy εy y 0 N xy A B γ xy A B γ 0xy + λ = B D κx M x B D κ x κ κ My y y M xy κ xy κ xy
(7.25)
Colocando a eq. (7.25) num forma compacta:
( + λ (B ε
) +D κ )= M + λ M
N = A ε i + B κ i + λ A ε i + B κ i = Ni + λ N M = B εi + D κi
i
i
i
(7.26)
onde ε são deformações da superfície neutra e κ são curvaturas, dependentes da teoria utilizada: Teoria Clássica de Laminados ou Teoria de Primeira Ordem. Substituindo a eq. (7.24) na eq. (7.18), temos: 2 i 2 i 2 i 2 i ∂ 2Mixy ∂ 2Mix ∂ My i ∂ w0 i ∂ w0 i ∂ w0 + + + + + + pi + 2 N N 2N x y xy ∂x 2 ∂y 2 ∂x∂y ∂x 2 ∂y 2 ∂x∂y 2 ∂ 2Mx ∂ 2My ∂ 2Mxy ∂ 2 w i0 i ∂ w0 + + 2 + N + N + 2 x x 2 2 2 ∂x ∂y ∂x∂y ∂x ∂x + λ 2 2 i 2 ∂2wi ∂ ∂ ∂ w w w i i 0 0 0 0 Ny + + + + N 2N 2N p y xy xy ∂y 2 ∂y 2 ∂x∂y ∂x∂y
λ
2
(7.27)
∂2w0 ∂2w0 ∂2w0 + Ny + 2Nxy Nx =0 ∂x 2 ∂y 2 ∂x∂y Desprezando os termos de segunda ordem em λ e considerando que a eq. (7.27)
é válida para qualquer valor de λ, tem-se: 2 i 2 i 2 i 2 i ∂ 2Mixy ∂ 2Mix ∂ My i ∂ w0 i ∂ w0 i ∂ w0 + + 2 + N + N + 2N + pi = 0 x y xy ∂x 2 ∂y 2 ∂x∂y ∂x 2 ∂y 2 ∂x∂y
2 2 ∂ 2Mxy ∂ 2 w i0 ∂ 2Mx ∂ My i ∂ w0 + + 2 + N + N + x x ∂x 2 ∂y 2 ∂x∂y ∂x 2 ∂x 2 2 2 ∂ 2 w i0 ∂ 2 w i0 i ∂ w0 i ∂ w0 Ny + Ny + 2Nxy + 2Nxy +p = 0 ∂y 2 ∂y 2 ∂x∂y ∂x∂y
(7.28)
(7.29)
116
Flambagem de placas laminadas
A eq. (7.28), não linear pelo fato de haver acoplamento entre esforços de membrana e de flexão, permite determinar a configuração inicial da placa com a ajuda das eqs. (7.2) e (7.3). A resolução desta equação é feita de forma iterativa, a partir da linearização da eq. (7.28) no primeiro passo. 2 i ∂ 2Mixy ∂ 2Mix ∂ My + + 2 + pi = 0 ∂x 2 ∂y 2 ∂x∂y
(7.30)
Como na configuração inicial, o deslocamento wi0 é pequeno, o gradiente das ∂ 2 w i0 ∂ 2 w i0 ∂ 2 w i0 são inclinações (curvaturas pela Teoria Clássica de Laminados), , e ∂x∂y ∂x 2 ∂y 2 desprezíveis. Logo, a eq. (7.29) se transforma em: 2 2 2 2 ∂ 2Mxy ∂ 2Mx ∂ My i ∂ w0 i ∂ w0 i ∂ w0 + 2 +2 + Nx + Ny + 2Nxy +p = 0 ∂x∂y ∂x∂y ∂x 2 ∂ y ∂x 2 ∂y 2
(7.31)
Considerando a eq. (7.25), a eq. (7.31) pode ser substituida por: ∂2 B11 ε0x + B12 ε0y + B16 γ 0xy + D11 κ x + D12 κ y + D16 κ xy + 2 ∂x ∂2 B21 ε0x + B22 ε0y + B26 γ 0xy + D21 κ x + D22 κ y + D26 κ xy + ∂2y
(
)
(
)
∂2 2 B61 ε0x + B62 ε0y + B66 γ 0xy + D61 κ x + D62 κ y + D66 κ xy + ∂x∂y
(
Nix
)
(7.32)
2 2 ∂2w0 i ∂ w0 i ∂ w0 + + +p = 0 2N N xy y ∂x∂y ∂x 2 ∂y 2
A eq. (7.32), utilizando a eq. (4.25) que define o campo de deslocamentos pela Teoria Clássica de Laminados, pode ser colocada da forma:
Curso de projeto estrutural com materiais compostos
B11
∂ 3u0 ∂ 3 v 0 ∂4w0 ∂ 3u0 ∂3 v0 ∂4w0 ∂4w0 + + + − − − B B D D D + 12 16 11 12 16 2 3 3 ∂x3 ∂x 2∂y ∂x 4 ∂x 2∂y 2 ∂x ∂y ∂x ∂x ∂y
B21
∂ 3u0 ∂ 3 v 0 ∂4w0 ∂ 3u0 ∂3 v 0 ∂4 w0 ∂4w0 + + + − − − + B B D D D 22 26 21 22 26 3 4 ∂y 2∂x ∂y 3 ∂y 2∂x ∂y 2∂x 2 ∂y 4 ∂y ∂y
∂ 3u0 ∂ 3u0 ∂3 v 0 ∂3 v0 + + B B61 2 + B62 66 ∂x∂y 2 ∂x∂y 2 ∂x 2∂y ∂x ∂y 2 + 4 4 4 ∂ ∂ ∂ w w w 0 0 −D − D62 − D66 2 02 61 ∂x3 ∂y ∂x∂y3 ∂y ∂x Nix
117
(7.33)
2 2 ∂2w0 i ∂ w0 i ∂ w0 + + +p = 0 2N N xy y ∂x∂y ∂x 2 ∂y 2
As outras relações fundamentais para analisar o comportamento de placas pela Teoria Clássica de Laminados, além da eq. (7.33), são: A11
∂ 2u0 ∂ 2 v 0 ∂ 2u0 ∂2v0 ∂3 w 0 ∂3 w 0 ∂3 w 0 + + + − − − + A A B B B 2 12 16 11 12 16 2 ∂x∂y ∂x 2 ∂x 3 ∂x∂y 2 ∂x 2∂y ∂x∂y ∂x
∂ 2u0 ∂ 2 v 0 ∂ 2u0 ∂2v0 ∂3 w 0 ∂3 w 0 ∂3 w 0 + A 62 + + − − − =0 A 61 A B B B 2 66 61 62 66 2 ∂y∂x ∂y∂x ∂y 2 ∂y∂x 2 ∂y3 ∂x∂y 2 ∂y
A 21
∂ 2u0 ∂ 2 v 0 ∂ 2u0 ∂2v0 ∂3 w 0 ∂3 w 0 ∂3 w 0 + A 22 + + − − − + A B B B 2 26 21 22 26 2 2 3 2 ∂y∂x ∂ ∂ y x ∂y 2 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ y y x y x x
∂ 2u0 ∂ 2 v 0 ∂ 2u ∂2v0 ∂3 w 0 ∂3 w 0 ∂3 w 0 + A 66 + − − − =0 A 61 20 + A 62 B B B 2 61 62 66 2 ∂x∂y ∂x ∂x3 ∂x∂y 2 ∂x 2∂y ∂x∂y ∂x
(7.34)
(7.35)
Para a Teoria de Primeira Ordem, a eq. (7.31) é colocada de outra forma, considerando as eqs. (7.7) e (7.8): 2 2 ∂2w0 ∂Q x ∂Q y i ∂ w0 i ∂ w0 + + Nix + N + 2N +p = 0 y xy ∂x ∂y ∂x 2 ∂y 2 ∂x∂y
(7.36)
Considerando a eq. (6.14) ou (6.23), onde surgem os efeitos do cisalhamento transverso, a eq. (7.34) pode ser colocada da forma:
118
Flambagem de placas laminadas
∂ ∂w 0 ∂ ∂w ∂ ∂w ∂ ∂w + β + F55 0 + α + F44 0 + β + F45 0 + α + ∂x ∂y ∂x ∂x ∂y ∂y ∂y ∂x 2 2 2 ∂ w0 ∂ w0 ∂ w0 + Niy + 2Nixy +p = 0 Nix 2 2 ∂x ∂y ∂x∂y F45
(7.37)
Reagrupando a eq. (7.37), temos: ∂ 2 w 0 ∂α ∂ 2 w 0 ∂β ∂α ∂β ∂2w0 F55 + + F + + F + + 2 + 44 45 2 2 ∂x ∂x ∂x∂y ∂x ∂y ∂y ∂x 2 2 ∂2w0 i ∂ w0 i ∂ w0 Nix + N + 2N +p = 0 y xy ∂x 2 ∂y 2 ∂x∂y
(7.38)
As outras relações fundamentais para analisar o comportamento de placas pela Teoria de Primeira Ordem, além da eq. (7.38), são: A11
∂ 2u0 ∂ 2 v 0 ∂ 2α ∂ 2β ∂ 2u0 ∂2v0 ∂ 2α ∂ 2β + + + + + + + 2 + A A B B B 12 16 11 12 16 2 ∂x∂y ∂x∂y ∂x 2 ∂x 2 ∂x∂y ∂x ∂x∂y ∂x
∂ 2u0 ∂ 2 v 0 ∂ 2α ∂ 2β ∂ 2u0 ∂2v0 ∂ 2α ∂ 2β + A 62 + A 66 2 + + B62 2 + B66 2 + A 61 + B61 =0 ∂y∂x ∂y∂x ∂y∂x ∂y∂x ∂y 2 ∂y ∂y ∂y
A 21
∂ 2u0 ∂ 2 v 0 ∂ 2α ∂ 2β ∂ 2u0 ∂2v0 ∂ 2α ∂ 2β + A 22 + + + + + + A B B B + 26 21 22 26 2 2 ∂y∂x ∂y∂x ∂y∂x ∂y∂x ∂y 2 ∂y 2 ∂y ∂y
∂ 2u0 ∂ 2 v 0 ∂ 2α ∂ 2β ∂ 2u ∂2v0 ∂ 2α ∂ 2β + A 66 + + + + + 2=0 A 61 20 + A 62 B B B 61 62 66 2 ∂x∂y ∂x∂y ∂x ∂x 2 ∂x∂y ∂x ∂x∂y ∂x
B21
∂ 2u0 ∂ 2 v 0 ∂ 2α ∂ 2β ∂ 2u0 ∂2v0 ∂ 2α ∂ 2β + B22 + + + + + + B D D D + 26 21 22 26 2 2 ∂y∂x ∂y∂x ∂y∂x ∂y∂x ∂y 2 ∂y 2 ∂y ∂y
B61
∂ 2u0 ∂ 2 v 0 ∂ 2α ∂ 2β ∂ 2u0 ∂2v0 ∂ 2α ∂ 2β + + + + + + + 2 − B B D D D 62 66 61 62 66 2 ∂x∂y ∂x∂y ∂x 2 ∂x 2 ∂x∂y ∂x ∂x∂y ∂x
∂w ∂w F44 0 + β − F45 0 + α = 0 ∂x ∂y
(7.39)
(7.40)
(7.41)
Curso de projeto estrutural com materiais compostos
B11
∂ 2u0 ∂ 2 v 0 ∂ 2α ∂ 2β ∂ 2u0 ∂2v0 ∂ 2α ∂ 2β + + + + + + + 2 + B B D D D 12 16 11 12 16 2 ∂x∂y ∂x∂y ∂x 2 ∂x 2 ∂x∂y ∂x ∂x∂y ∂x
B61
∂ 2u0 ∂ 2 v 0 ∂ 2α ∂ 2β ∂ 2u0 ∂2v0 ∂ 2α ∂ 2β + B62 + + + + + + B D D D − 66 61 62 66 2 2 ∂y∂x ∂y∂x ∂y∂x ∂y∂x ∂y 2 ∂y 2 ∂y ∂y
119
(7.42)
∂w ∂w F45 0 + α − F55 0 + β = 0 ∂x ∂y As eqs. (7.33), (7.34) e (7.35) para a Teoria Clássica de Laminados e das eqs. (7.38), (7.39), (7.40), (7.41) e (7.42) para a Teoria de Primeira Ordem são resolvidas supondo, por exemplo, que as variáveis u0, v0 e w0 para a Teoria Clássica de Laminados, e mais α, e β para a Teoria de Primeira Ordem são da forma: mπx L mπx v 0 = Bm sen L mπx w 0 = Cm sen L mπx α = Dm sen L mπx β = Em sen L u0 = A m sen
(7.43)
O problema pode ser simplificado quando o laminado é simétrico, [B] = 0, quando o laminado é, além de simétrico, balanceado, A16 = A61 = A26 = A62 = 0, e quando o laminado é ortotrópico (fibras somente a 00 e 900), D16 = D61 = D26 = D62 = 0. Exemplo 7.1: Determine a carga crítica de um laminado simétrico biapoiado em x = 0 e x = L, submetido à um carregamento de compressão N0 utilizando a Teoria Clássica de Laminados. Considerando que o laminado é simétrico, [B] = 0. Devido ao carregamento, Nix = - N0, Niy = Nixy = p= 0. Da eq. (7.33), temos:
120
Flambagem de placas laminadas
−D11
∂4w0 ∂4w0 ∂4w0 ∂4w0 ∂4w0 ∂4w0 − D − D − D − D − D + 12 16 21 22 26 3 4 ∂x 4 ∂x 2∂y 2 ∂y 2∂x 2 ∂y 4 ∂x ∂y ∂y
∂4w ∂4w0 ∂4w0 ∂2 w0 2 −D61 3 0 − D62 − D − N =0 66 0 ∂x ∂y ∂x∂x3 ∂y 2∂x 2 ∂x 2
(7.44)
Se a placa tem dimensão muito grande na direção y comparado com a dimensão x, os gradientes de w0 em y são nulos, logo: −D11
∂4w0 ∂2w0 − N =0 0 ∂x 4 ∂x 2
(7.45)
Admitindo um deslocamento w0, que satisfaça as condições de contorno, ser da forma como apresentado pela eq. (7.43) e substituindo na eq. (7.45), tem-se: 2 2 mπx mπ mπ − N0 Cm sen =0 D11 L L L
(7.46)
Como na configuração deformada, Cm ≠ 0, m ≠ 0 e conseqüentemente sen
mπx ≠ 0 , tem-se a menor carga crítica para m=1: L
π Ncr = D11 L
2
(7.47)
Para um laminado não simétrico, onde [B] ≠ 0, a utilização das eqs. (7.34) e (7.35) são necessárias devido ao acoplamento dos deslocamentos u0, v0 e w0. Assim: A11
∂ 2u0 ∂2v0 ∂3 w 0 + A − B =0 16 11 ∂x 2 ∂x 2 ∂x 3
(7.48)
A16
∂ 2u0 ∂2v0 ∂3 w 0 + A − B =0 66 16 ∂x 2 ∂x 2 ∂x3
(7.49)
e a eq. (7.33) se apresenta da forma:
121
Curso de projeto estrutural com materiais compostos
B11
2 ∂ 3u0 ∂3v0 ∂4w0 i ∂ w0 + B − D + N =0 16 11 x ∂x3 ∂x3 ∂x 4 ∂x 2
(7.50)
O desacoplamento dos deslocamentos se faz da seguinte forma: d2u0 B d3 w 0 = A dx3 dx 2 d2 v 0 C d3 w 0 = A dx 3 dx 2
(7.51)
onde: 2 A = A11A 66 − A16
B = A 66B11 − A16B16
(7.52)
C = A11B16 − A16B11 Derivando a eq. (7.51) com relação a x, e substituindo na eq. (7.50), temos: ∂4w0 A ∂2w0 + N0 =0 D ∂x 4 ∂x 2
(7.53)
onde: D = D11A − B11B − B16C
(7.54)
Aplicando (7.45) em (7.51), temos: 2 m π 2 A mπx mπx − =0 N C sen 0 m L L L D
(7.55)
Assim, a menor carga crítica para m=1, é da forma: Ncr =
D π A L
2
(7.56)
Da comparação da eq. (7.56) com a eq. (7.47), observa-se que a carga crítica diminui quando [B] ≠ 0, ou seja, quando o laminado não é simétrico.
122
Flambagem de placas laminadas
REFERÊNCIAS [1] Gay, Daniel, Matériaux Composites, Hermès, Paris, 1991. [2] Berthelot, J.-M., Matériaux Composites, Comportement et analyse des structures, Masson, Paris, 1992. [3] Tsai, S. W., Hahn, H. T., Introduction to Composite Materials, Technomic Publishing Co., Inc., 1980.
