Matéria Da P2 De Física 2 - Ondas 3 Text

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Ondas Valmir A. Chitta 09 de outubro de 2007 Reflex˜ ao de ondas Extremidade fixa . . . . . Interferˆencia destrutiva. Solu¸c˜ao geral . . . . . . . Extremidade livre . . . . Condi¸c˜ao de contorno . . . . . . . . . . . 2 3 4 5 6 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Modos normais de vibra¸c˜ ao Movimento de uma corda . . Modos normais . . . . . . . . . Equa¸c˜ao de onda. . . . . . . . Amplitude . . . . . . . . . . . . Condi¸c˜oes de contorno (i). . Condi¸c˜oes de contorno (ii) . Solu¸c˜ao dos modos normais Modos normais: n = 1 . . . . Modos normais: n = 2 . . . . Modos normais: n = 3 . . . . Modos normais: n = 4 . . . . Modos normais . . . . . . . . . Harmˆonicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 . 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 Exerc´ıcios 22 Exerc´ıcio I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Exerc´ıcio II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1 Reflex˜ ao de ondas 2 / 24 Extremidade fixa ■ Pulso antes de atingir a extremidade y(x, t) = g(x + vt) ■ Extremidade fixa em x = 0 (condi¸c˜ ao de contorno) y(0, t) = 0 ← x 0 FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 3 / 24 Interferˆ encia destrutiva ■ y(0, t) = 0 podemos considerar como uma interferˆencia destrutiva em x = 0 ← → x 0 ← 0 x → ← 0 FEP2196 - F´ısica para Engenharia II → x V. A. Chitta – 4 / 24 2 Solu¸c˜ ao geral y(x, t) = g(x + vt) − g(−x + vt) ■ O pulso volta invertido ap´ os a reflex˜ ao ■ A reflex˜ao em uma extremidade fixa produz uma defasagem de 180◦ ■ Ao atingir a extremidade fixa, o pulso tenderia a provocar um determinado deslocamento na corda, mas para permanecer fixa, a extremidade tem de reagir (rea¸c˜ao do suporte) produzindo um deslocamento igual e contr´ ario. FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 5 / 24 Extremidade livre ■ Extremidade livre ⇒ for¸ca transversal nula Fy (0, t) = −T ∂ y(0, t) = 0 ∂x ■ Tangente ` a corda na extremindade sempre horizontal. ■ Solu¸c˜ao geral y(x, t) = f (x − vt) + g(x + vt) FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 6 / 24 3 Condi¸c˜ ao de contorno y(x, t) = f (x − vt) + g(x + vt) ∂ d d y(0, t) = 0 f (−vt) + 0 g(vt) = 0 ∂x dx dx ■ Se f (x0 ) = g(−x0 ) d d f (x0 ) = − 0 g(−x0 ) 0 dx dx ■ Solu¸c˜ ao y(x, t) = g(x + vt) + g(−x + vt) ■ Pulso refletido sem mudan¸c˜ ao de fase. FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 7 / 24 Modos normais de vibra¸c˜ ao 8 / 24 Movimento de uma corda ■ Corda de comprimento l presa em ambas as extremidades ■ Movimento da corda ◆ Ondas progressivas que se refletem nas extremidades fixas ◆ Ondas estacion´ arias ■ Condi¸c˜oes de contorno: extremidades fixas y(0, t) = y(l, t) = 0 FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 9 / 24 4 Modos normais ■ Todos os pontos da corda oscilam com a mesma freq¨ uˆencia ω e a mesma constante de fase δ ■ Cada ponto x oscila com amplitude A(x) caracter´ıstica do modo ■ Solu¸c˜ao y(x, t) = A(x)cos(ωt + δ) onda estacion´ aria FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 10 / 24 Equa¸c˜ ao de onda ■ A solu¸c˜ao deve satisfazer a equa¸c˜ ao de onda ∂2y 1 ∂2y − =0 v 2 ∂t2 ∂x2 y(x, t) = A(x)cos(ωt + δ) ∂2y d2 A = cos(ωt + δ) ∂x2 dx2 ∂2y = −ω 2 A(x)cos(ωt + δ) ∂t2 i d2 A 1 h 2 cos(ωt + δ) = 0 −ω A(x)cos(ωt + δ) − v2 dx2 d2 A ω 2 + 2A=0 dx2 v d2 A + k2 A = 0 dx2 FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 11 / 24 5 Amplitude d2 A + k2 A = 0 dx2 ■ Equa¸c˜ao de um oscilador harmˆonico simples com “freq¨ uˆencia” k ■ Solu¸c˜ao geral A(x) = acos(kx) + bsen(kx) FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 12 / 24 Condi¸c˜ oes de contorno (i) y(x, t) = A(x)cos(ωt + δ) y(0, t) = y(l, t) = 0 y(0, t) = 0 ⇒ A(0) = 0 y(l, t) = 0 ⇒ A(l) = 0 FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 13 / 24 6 Condi¸c˜ oes de contorno (ii) A(x) = acos(kx) + bsen(kx) A(0) = 0 e A(0) = 0 A(l) = 0 a=0 ⇒ bsen(kl) = 0 ⇒ kl = nπ A(l) = 0 kn = nπ (n = 1, 2, 3, . . .) l A(x) = bsen(kn x) FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 14 / 24 Solu¸c˜ ao dos modos normais yn (x, t) = bn sen(kn x)cos(ωn t + δn ) com kn = ■ nπ l e Comprimento de onda λn = FEP2196 - F´ısica para Engenharia II ωn = kn v 2π 2l = kn n V. A. Chitta – 15 / 24 7 Modos normais: n = 1 n=1 k1 = π l ω1 = FEP2196 - F´ısica para Engenharia II π v l λ1 = 2l V. A. Chitta – 16 / 24 8 Modos normais: n = 2 n=2 k2 = 2π l ω2 = 2π v l λ2 = l N FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 17 / 24 9 Modos normais: n = 3 n=3 k3 = 3π l ω3 = 3π v l λ3 = 2l 3 N N FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 18 / 24 10 Modos normais: n = 4 n=4 N k4 = 4π l ω4 = N FEP2196 - F´ısica para Engenharia II 4π v l λ4 = l 2 N V. A. Chitta – 19 / 24 11 Modos normais N ■ N N O modo normal de ordem n cont´em: ◆ n semicomprimentos de onda ◆ n ventres ◆ n − 1 nodos FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 20 / 24 Harmˆ onicos ■ Freq¨ uˆencia νn = nπ 1 v ωn = v =n 2π l 2π 2l 1 ν1 = 2l νn = nν1 ■ ν1 : modo fundamental ■ νn : n-´esimo harmˆonico FEP2196 - F´ısica para Engenharia II s T µ V. A. Chitta – 21 / 24 12 Exerc´ıcios 22 / 24 Exerc´ıcio I Uma corda de 120 cm de comprimento ´e esticada entre suportes fixos. Quais s˜ao os trˆes comprimentos de onda mais longos para ondas estacion´arias nesta corda? Esboce as ondas estacion´arias correspondentes. O que muda em rela¸c˜ao aos trˆes comprimentos de onda mais longos se esta mesma corda estiver fixa em apenas um suporte, de forma que a outra extremidade ´e presa em um anel sem peso que pode deslizar ao longo de uma haste sem atrito? FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 23 / 24 Exerc´ıcio II Uma corda, submetida a uma tens˜ao de 200 N e presa em ambas as extremidades, oscila no segundo harmˆonico de uma onda estacion´aria. O deslocamento da corda ´e dado por: y = (0, 10) sen(πx/2) sen(12πt) onde x = 0 numa das extremidades da corda, x ´e dado em metros e t em segundos. (a) Qual ´e o comprimento da corda? (b) Qual ´e a velocidade escalar das ondas na corda? (c) Qual ´e a massa da corda? (d) Se a corda oscilar num padr˜ao de onda referente ao terceiro harmˆonico, qual ser´a o per´ıodo de oscila¸c˜ao? FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 24 / 24 13