Matéria Da P2 De Física 2 - Ondas 2 Text

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Ondas Valmir A. Chitta 04 de outubro de 2007 Equa¸c˜ ao das cordas vibrantes Corda distendida . . . . . . . . . . Pequenas deforma¸c˜ oes . . . . . . Componente vertical da tens˜ ao Resultante . . . . . . . . . . . . . . Segunda lei de Newton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 4 5 6 7 Solu¸c˜ ao geral 8 Condi¸c˜oes iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Exemplo (i) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Exemplo (ii) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Princ´ıpio da superposi¸c˜ ao 12 Princ´ıpio da superposi¸c˜ ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Interferˆencia construtiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Interferˆencia destrutiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Intensidade de uma onda Propaga¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . Onda harmˆonica progressiva . . . . . . . Intensidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Para uma corda . . . . . . . . . . . . . . . Densidade de energia cin´etica . . . . . . Densidade m´edia de energia cin´etica . Densidade m´edia de energia potencial Energia total . . . . . . . . . . . . . . . . . Potˆencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Interferˆ encia de ondas Ondas harmˆ onicas de mesma freq¨ uˆ encia e Superposi¸c˜ao (i) . . . . . . . . . . . . . . . . . . Superposi¸c˜ao (ii). . . . . . . . . . . . . . . . . . Intensidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Interferˆencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Intensidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 mesmo ...... ...... ...... ...... ...... sentido ...... ...... ...... ...... ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 28 29 30 31 32 Ondas harmˆ onicas de mesma freq¨ uˆ encia mas de sentidos opostos 33 Ondas de sentidos opostos, ondas estacion´arias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1 Ondas estacion´ arias (i). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Ondas estacion´ arias (ii) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Batimento e velocidade de grupo Superposi¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . Batimento . . . . . . . . . . . . . . . . Velocidade de fase. . . . . . . . . . . Velocidade de grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 38 39 40 41 Exerc´ıcios 42 Exerc´ıcio I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Exerc´ıcio II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2 Equa¸c˜ ao das cordas vibrantes 2 / 44 Corda distendida ■ Corda distendida y -T T ∆x ■ Densidade linear de massa µ= ∆m x ∆m ∆x FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 3 / 44 Pequenas deforma¸c˜ oes ■ Pequenos deslocamentos ◆ Varia¸c˜ ao do comprimento da corda ´e desprez´ıvel ◆ Magnitude da tens˜ ao permanece igual a T y T θ(x+∆x) θ(x) -T x x+∆x x FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 4 / 44 3 Componente vertical da tens˜ ao y T T sen(θ) ' T θ = T θ(x+∆x) ■ em x + ∆x T ■ θ(x) -T x ∂ y(x + ∆x, t) ∂x em x −T x ∂y ∆y =T ∆x ∂x ∂ y(x, t) ∂x x+∆x FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 5 / 44 Resultante y T T θ(x+∆x) ∂ ∂ y(x + ∆x, t) − T y(x, t) ∂x ∂x T ∆x ■ θ(x) -T " ∂ ∂x y(x + ∆x, t) − ∆x # Para ∆x → 0 x x ∂ ∂x y(x, t) T ∆x x+∆x FEP2196 - F´ısica para Engenharia II ∂2 y(x, t) ∂x2 V. A. Chitta – 6 / 44 4 Segunda lei de Newton ∆m ∂2 ∂2 y(x, t) = T ∆x y(x, t) ∂t2 ∂x2 µ ∂2 ∂2 y(x, t) = T y(x, t) ∂t2 ∂x2 ∂2 µ ∂2 y(x, t) − y(x, t) = 0 T ∂t2 ∂x2 1 µ = 2 v T ⇒ v= s T µ FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 7 / 44 Solu¸c˜ ao geral 8 / 44 Condi¸c˜ oes iniciais y(x, 0) = y0 (x) ∂ = y1 (x) y(x, t) ∂t t=0 e ■ y0 (x) e y1 (x) duas fun¸c˜ oes que descrevem a posi¸c˜ao e velocidade inicial de cada ponto da corda ■ Solu¸c˜ao geral y(x, t) = f (x − vt) + g(x + vt) ■ Superposi¸c˜ ao de ondas progressivas propagando-se nos dois sentidos FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 9 / 44 5 Exemplo (i) ■ Deslocamento inicial: y0 (x) e velocidade inicial y1 (x) = 0 y(x, 0) = f (x) + g(x) = y0 (x) df dg d ∂ y(x, 0) = −v +v =v [g(x) − f (x)] = 0 ∂t dx dx dx satisfeita se g(x) = f (x), ent˜ ao 1 f (x) = g(x) = y0 (x) 2 1 y(x, t) = [y0 (x − vt) + y0 (x + vt)] 2 FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 10 / 44 Exemplo (ii) ■ y0 (x): pulso triangular t0 → ← ← t1 → ← t2 → FEP2196 - F´ısica para Engenharia II t3 V. A. Chitta – 11 / 44 6 Princ´ıpio da superposi¸c˜ ao 12 / 44 Princ´ıpio da superposi¸c˜ ao ■ y1 (x, t) e y2 (x, t): 2 solu¸c˜ oes quaisquer ■ Superposi¸c˜ ao tamb´em ´e solu¸c˜ ao y(x, t) = ay1 (x, t) + by2 (x, t) FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 13 / 44 Interferˆ encia construtiva → ← ← → FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 14 / 44 7 Interferˆ encia destrutiva ← → ← → ← → FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 15 / 44 Intensidade de uma onda 16 / 44 Propaga¸c˜ ao ■ Onda: transporte de energia ■ Gerar onda harmˆonica progressiva: realizar trabalho ■ Energia correspondente ´e transmitida `a corda ■ Energia transmitida por unidade de tempo = trabalho realizado por unidade de tempo = potˆencia instantˆ anea P (x, t) = Fy vy P (x, t) = −T FEP2196 - F´ısica para Engenharia II ∂y ∂y ∂x ∂t V. A. Chitta – 17 / 44 8 Onda harmˆ onica progressiva P (x, t) = −T ∂y ∂y ∂x ∂t y(x, t) = Acos(kx − ωt + δ) ∂y = −kAsen(kx − ωt + δ) ∂x ∂y = ωAsen(kx − ωt + δ) ∂t e P (x, t) = T kωA2 sen2 (kx − ωt + δ) FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 18 / 44 Intensidade P (x, t) = T kωA2 sen2 (kx − ωt + δ) ■ Intensidade: valor m´edio sobre o per´ıodo D E I = hP (x, t)i = T kωA2 sen2 (kx − ωt + δ) 1 I = T kωA2 2 FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 19 / 44 9 Para uma corda 1 I = T kωA2 2 v2 = T µ e kv = ω ω 1 1 I = µv 2 ωA2 = µvω 2 A2 2 v 2 FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 20 / 44 Densidade de energia cin´ etica ■ Energia cin´etica em um infinit´esimo de corda dx de massa dm dT = ■ ∂y 1 dm 2 ∂t  2 ∂y 1 = µ 2 ∂t  2 dx Densidade linear de energia dT ∂y 1 = µ dx 2 ∂t  FEP2196 - F´ısica para Engenharia II 2 V. A. Chitta – 21 / 44 10 Densidade m´ edia de energia cin´ etica dT ∂y 1 = µ dx 2 ∂t  ■ 2 Para uma onda harmˆonica progressiva 1 dT = µω 2 A2 sen2 (kx − ωt + δ) dx 2 ■ Valor m´edio em um per´ıodo  dT dx  1 = µω 2 A2 4 FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 22 / 44 Densidade m´ edia de energia potencial ■ Um infinit´esimo de corda dx realiza um movimento harmˆonico simples ⇒ a densidade de energia potencial m´edia ´e igual ` a cin´etica  dU dx  = 1 2 2 µω A 4 FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 23 / 44 11 Energia total ■ Densidade m´edia de energia total  ■ dE dx  =  dT dx  +  dU dx 1 = µω 2 A2 2  Valor m´edio da energia da onda contida em um elemento ∆x h∆Ei =  dE dx  ∆x =  dE dx  v∆t FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 24 / 44 Potˆ encia h∆Ei = ■ dE dx  ∆x =  dE dx  v∆t Potˆencia m´edia hP i = ■  dE h∆Ei =v ∆t dx   1 = v µω 2 A2 = I 2 I: velocidade x densidade m´edia de energia ⇒ fluxo m´edio de energia. FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 25 / 44 12 Interferˆ encia de ondas 26 / 44 Ondas harmˆ onicas de mesma freq¨ uˆ encia e mesmo sentido 27 / 44 Superposi¸c˜ ao (i) y1 (x, t) = A1 cos(kx − ωt + δ1 ) y2 (x, t) = A2 cos(kx − ωt + δ2 ) y(x, t) = y1 (x, t) + y2 (x, t) ■ Mesmo procedimento que para dois osciladores harmˆonicos y(x, t) = Acos(kx − ωt + δ) FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 28 / 44 Superposi¸c˜ ao (ii) y(x, t) = Acos(kx − ωt + δ) A2 = A21 + A22 + 2A1 A2 cos(δ1 − δ2 ) δ = arctan  A1 sen(δ1 ) + A2 sen(δ2 ) A1 cos(δ1 ) + A2 cos(δ2 ) FEP2196 - F´ısica para Engenharia II  V. A. Chitta – 29 / 44 13 Intensidade I= 1 µvω 2 A2 2 A2 = A21 + A22 + 2A1 A2 cos(δ1 − δ2 ) ■ As duas ondas na mesma corda e com a mesma freq¨ uˆencia p I = I1 + I2 + 2 I1 I2 cos(δ1 − δ2 ) ■ Superposi¸c˜ ao: outra onda de intensidade geralmente diferente da soma ⇒ Interferˆencia FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 30 / 44 Interferˆ encia p I = I1 + I2 + 2 I1 I2 cos(δ1 − δ2 ) ■ Interferˆencia construtiva ⇒ cos(δ1 − δ2 ) = 1 δ1 − δ2 = 2nπ I= ■ p I1 + (n = 0, ±1, ±2, . . .) p 2 (I1 = I2 ⇒ I = 4I1 ) I2 Interferˆencia destrutiva ⇒ cos(δ1 − δ2 ) = −1 δ1 − δ2 = (2n + 1)π I= p I1 − p 2 I2 FEP2196 - F´ısica para Engenharia II (n = 0, ±1, ±2, . . .) (I1 = I2 ⇒ I = 0) V. A. Chitta – 31 / 44 14 Intensidade IMAX I IMIN - 1 FEP2196 - F´ısica para Engenharia II 2 V. A. Chitta – 32 / 44 Ondas harmˆ onicas de mesma freq¨ uˆ encia mas de sentidos opostos 33 / 44 Ondas de sentidos opostos, ondas estacion´ arias ■ Mesma freq¨ uˆencia, mesma amplitude e fase = 0 y1 (x, t) = Acos(kx − ωt) e y2 (x, t) = Acos(kx + ωt) y(x, t) = y1 (x, t) + y2 (x, t) = A [cos(kx − ωt) + cos(kx + ωt)] y(x, t) = 2Acos(kx)cos(ωt) ■ Produto f (x)g(t) ⇒ n˜ ao h´ a propaga¸c˜ao FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 34 / 44 15 16 Ondas estacion´ arias (i) y(x, t) = 2Acos(kx)cos(ωt) 2A y(x,t) t=0 x -2A y(x,t) t= /8 2A x - 2A y(x,t) 17 t= /4 Ondas estacion´ arias (ii) ■ Fluxo de energia iguais e contr´ arios, que se cancelam na resultante, de modo que o fluxo m´edio de energia ´e nulo. FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 36 / 44 18 Batimento e velocidade de grupo 37 / 44 Superposi¸c˜ ao ■ Ondas se mesmo sentido, mesma amplitude mas freq¨ uˆencia ligeiramente diferente. ω1 6= ω2 ⇒ y1 (x, t) = Acos(k1 x − ω1 t) e k1 6= k2 y2 (x, t) = Acos(k2 x + ω2 t) y = y1 + y2 = A [cos(k1 x − ω1 t) + cos(k2 x + ω2 t)] ∆ω ∆k x− t cos(kx − ωt) y = 2Acos 2 2   ∆k = k1 − k2 ∆ω = ω1 − ω2 k= k1 + k2 2 FEP2196 - F´ısica para Engenharia II ω= ω1 + ω2 2 V. A. Chitta – 38 / 44 Batimento y = 2Acos ■  ∆ω ∆k x− t cos(kx − ωt) = a(t)cos(kx − ωt) 2 2  Freq¨ uˆencias ligeiramente diferentes: ∆ω  ω e ∆k  k 10 +a(t) x(t) 5 t 0 -5 -a(t) -10 FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 39 / 44 19 Velocidade de fase y = 2Acos ■  ∆k ∆ω x− t cos(kx − ωt) 2 2  Fase de y(x, t) ϕ(x, t) = kx − ωt ■ Velocidade de fase vϕ = ω k FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 40 / 44 Velocidade de grupo y = 2Acos ■  ∆ω ∆k x− t cos(kx − ωt) 2 2  Fase da envolt´oria φ(x, t) = ■ Velocidade de grupo vg = ∆ω ∆k x− t 2 2 ∆ω dω ' ∆k dk FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 41 / 44 20 Exerc´ıcios 42 / 44 Exerc´ıcio I Duas ondas senoidais propagam-se ao longo de uma corda em sentidos opostos. Cada onda tem amplitude de 0, 6 cm e a distˆ ancia entre duas cristas em ambas as ondas ´e de 4, 0 cm. A velocidade de propaga¸c˜ao de onda na corda ´e de 200 cm/s. Considere as fases iniciais das ondas como sendo nulas. (a) Calcule o n´ umero de onda e a freq¨ uˆencia angular das ondas. (b) Determine a equa¸c˜ ao da onda resultante. (c) Determine a distˆ ancia entre dois pontos da corda que possuem velocidade transversal nula. FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 43 / 44 Exerc´ıcio II Uma onda transversal y1 (x, t) se propaga em uma corda, orientada ao longo da dire¸c˜ ao x, no sentido de x decrescente. A figura abaixo mostra o gr´ afico do deslocamento da corda em fun¸c˜ ao da posi¸c˜ ao, no instante de tempo t = 0 s. A tens˜ ao na corda ´e T = 3, 6 N e a sua densidade linear ´e µ = 25 × 10−3 kg/m. Nessas condi¸c˜ oes determine (a) a equa¸c˜ ao da onda y1 (x, t); (b) a equa¸c˜ ao da onda y2 (x, t) que deve ser superposta a y1 (x, t) para que se obtenha uma onda resultante estacion´ aria, e a equa¸c˜ ao y(x, t) da onda estacion´ aria resultante. 6 4 y (cm) 2 0 -2 -4 -6 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 x (cm) FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 44 / 44 21