Matéria Da P2 De Física 2 - Ondas 1 Text

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Ondas Valmir A. Chitta 02 de outubro de 2007 Conceito de onda Onda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Classifica¸c˜ao das ondas quanto ` a sua natureza. . . . . . . . . . . Classifica¸c˜ao das ondas quanto ` a sua dire¸c˜ao de vibra¸c˜ao (i) . Classifica¸c˜ao das ondas quanto ` a sua dire¸c˜ao de vibra¸c˜ao (ii) . Classifica¸c˜ao das ondas quanto ` a sua dire¸c˜ao de vibra¸c˜ao (iii) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ondas em uma dimens˜ ao (transversais) Ondas progressivas (i) . . . . . . . . . . . . . Ondas progressivas (ii) . . . . . . . . . . . . . Dependˆencia com x e t . . . . . . . . . . . . Dependˆencia com x e t . . . . . . . . . . . . Propaga¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 . 9 10 11 12 13 Ondas hamˆ onicas Propaga¸c˜ao . . . . . . Freq¨ uˆencia . . . . . . . Per´ıodo temporal . . Per´ıodo espacial (i) . Per´ıodo espacial (ii). Caracter´ısticas (i) . . Caracter´ısticas (ii) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 15 16 17 18 19 20 21 . . . . . 22 23 24 25 26 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Equa¸c˜ ao de ondas unidimensional Derivadas parciais (i) . . . . . . . . . Derivadas parciais (ii) . . . . . . . . Derivadas parciais (iii) . . . . . . . . Derivadas parciais (iv) . . . . . . . . Juntando tudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 4 5 6 7 Exerc´ıcios 28 Exerc´ıcio I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Exerc´ıcio II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1 Conceito de onda 2 / 30 Onda ■ Onda: Qualquer perturba¸c˜ ao que se propaga atrav´es de um meio (material ou n˜ao), transportando energia, sem transportar mat´eria. ´ freq¨ ◆ “E uente que uma onda de ´ agua fuja de seu local de origem, enquanto a ´agua n˜ao; como as ondas criadas pelo vento num campo de trigo, onde vemos as ondas correndo atrav´es do campo, enquanto os p´es de trigo permanecem no mesmo lugar” (Leonardo da Vinci). FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 3 / 30 Classifica¸c˜ ao das ondas quanto ` a sua natureza ■ Ondas mecˆ anicas: Ondas que necessitam de um meio material para se propagar (n˜ao se propagam no v´ acuo). Ex: ondas sonoras, ondas em cordas, ondas em superf´ıcies l´ıquidas. ■ Ondas eletromagn´ eticas: Ondas que podem se propagar em meios materiais ou no v´acuo (n˜ ao necessitam de um meio material para existir). Ex: ondas de r´ adio, TV, luz, raios-x. FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 4 / 30 2 Classifica¸c˜ ao das ondas quanto ` a sua dire¸c˜ ao de vibra¸c˜ ao (i) ■ Ondas longitudinais: A dire¸c˜ ao de vibra¸c˜ao das part´ıculas coincide com a dire¸c˜ao de propaga¸c˜ ao das ondas. Ex: ondas sonoras, ondas em uma mola presa nas duas extremidades. FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 5 / 30 Classifica¸c˜ ao das ondas quanto ` a sua dire¸c˜ ao de vibra¸c˜ ao (ii) ■ Ondas transversais: A dire¸c˜ ao de vibra¸c˜ao das part´ıculas ´e perpendicular `a dire¸c˜ao de propaga¸c˜ ao das ondas. Ex: ondas eletromagn´eticas, ondas em uma corda. FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 6 / 30 3 Classifica¸c˜ ao das ondas quanto ` a sua dire¸c˜ ao de vibra¸c˜ ao (iii) ■ Ondas mistas: Ondas que apresentam caracter´ısticas de ondas longitudinais e transversais simultaneamente. Ex: ondas na superf´ıcie de um l´ıquido, ondas s´ısmicas. FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 7 / 30 Ondas em uma dimens˜ ao (transversais) 8 / 30 Ondas progressivas (i) ■ Perfil de onda: y(x, t) descreve a forma da corda y(x) em um instante t. ■ Perfil em t = 0 y=y' t= 0 0 y(x, ) x=x' O=O' FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 9 / 30 4 Ondas progressivas (ii) ■ Onda propagando no sentido positivo de x com velocidade v ■ Perfil em t qualquer y y' vt 0 y(x, t ) y(x, ) x=x' O' O FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 10 / 30 Dependˆ encia com x e t ■ Referencial inercial O0 x0 y 0 que para t = 0 coincide com Oxy e se desloca com velocidade v ao longo de x (colado ao pulso) ■ Perfil de onda no referencial O0 x0 y 0 y 0 (x0 , t) = y 0 (x0 , 0) = f (x0 ) ■ Tranforma¸c˜ ao de Galileu x0 = x − vt e y0 = y ■ Perfil de onda no referencial Oxy y(x, t) = f (x − vt) FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 11 / 30 5 Dependˆ encia com x e t ■ Onda propagando no sentido negativo de x v → −v y(x, t) = g(x + vt) FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 12 / 30 Propaga¸c˜ ao ■ Corda infinita: propaga¸c˜ ao de onda ■ Corda finita: reflex˜ ao de onda ■ Em uma corda finita teremos em geral, simultaneamente, ondas progressivas propagando-se nos dois sentidos, positivo e negativo y(x, t) = f (x − vt) + g(x + vt) ■ Toda onda que propaga deve ser uma fun¸c˜ao de x e t da forma acima FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 13 / 30 6 Ondas hamˆ onicas 14 / 30 Propaga¸c˜ ao ■ Solu¸c˜ao do oscilador harmˆonico x(t) = Acos(ωt + ϕ) ■ Onda harmˆonica progressiva no sentido positivo de x f (x0 ) = Acos(kx0 + δ) y(x, t) = Acos[k(x − vt) + δ] = Acos(kx − ωt + δ) ω = kv FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 15 / 30 Freq¨ uˆ encia ■ Freq¨ uˆencia angular ω = kv = 2πν = 2π τ ◆ ν: freq¨ uˆencia ◆ τ : per´ıodo temporal FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 16 / 30 7 Per´ıodo temporal y(x, t) = Acos(kx − ωt + δ) ■ Para x = 0: y(0, t) = Acos(−ωt + δ) 0 y( ,t) t FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 17 / 30 8 Per´ıodo espacial (i) y(x, t) = Acos(kx − ωt + δ) ■ Para t = 0: y(x, 0) = Acos(kx + δ) y(x,t) y(x,t+ t) x x = v FEP2196 - F´ısica para Engenharia II t V. A. Chitta – 18 / 30 9 Per´ıodo espacial (ii) y(x,t) y(x,t+ ■ A ponta x = 0 oscila com um movimento harmˆonico simples ■ Per´ıodo espacial (comprimento de onda) t) x x = v λ= 2π k t kv = ω = ■ 2π 2π ⇒ τv = =λ τ k A onda se desloca de ∆x = λ durante um intervalo de tempo ∆t = τ FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 19 / 30 Caracter´ısticas (i) ■ umero de oscila¸c˜ oes por unidade de tempo ν = τ1 : n´ ■ σ = λ1 : n´ umero de comprimentos de onda por unidade de comprimento (n´ umero de onda) ■ ω = 2πν: freq¨ uˆencia angular ■ k = 2πσ = ■ kx − ωt + δ: fase ■ δ: constante de fase ■ A: amplitude 2π λ : n´ umero de onda angular FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 20 / 30 10 Caracter´ısticas (ii) ■ Deslocamento com o tempo de um ponto onde a fase ´e constante ϕ(x, t) = kx − ωt = δ = ϕ0 dϕ dx =k −ω =0 dt dt ω dx = = v = λν dt k ◆ v: velocidade de fase ■ y(x, t) = Acos(kx − ωt + δ): onda monocrom´atica, ou seja, possiu uma u ´nica freq¨ uˆencia e um u ´nico comprimento de onda. FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 21 / 30 Equa¸c˜ ao de ondas unidimensional 22 / 30 Derivadas parciais (i) ■ Onda progressiva no sentido positivo y(x, t) = f (x0 ) = f (x − vt) ■ Velocidade ∂ y(x, t) = ∂t = ∂ f (x0 ) ∂t df dx0 dx0 dt = −v FEP2196 - F´ısica para Engenharia II df dx0 V. A. Chitta – 23 / 30 11 Derivadas parciais (ii) ■ Acelera¸c˜ao ∂2 y(x, t) = ∂t2 ∂ ∂t  = −v ∂ ∂ f (x0 ) = −v ∂t ∂t  d dx0  ∂ f ∂t df dx0   df d = −v 0 −v 0 dx dx  = v2   d2 f dx0 2 FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 24 / 30 Derivadas parciais (iii) ∂ y(x, t) = ∂x ∂ f (x0 ) ∂x = df dx0 dx0 dx = df dx0 FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 25 / 30 12 Derivadas parciais (iv) ∂2 y(x, t) = ∂x2 ∂ ∂x  = d dx0  ∂ f ∂x = d dx0  df dx0 = d2 f dx0 2 ∂ ∂ f (x0 ) = ∂x ∂x   df dx0    FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 26 / 30 Juntando tudo 2 ∂2 2d f y(x, t) = v ∂t2 dx0 2 ∂2 d2 f y(x, t) = ∂x2 dx0 2 ∂2y ∂2y = v2 2 2 ∂t ∂x ■ Equa¸c˜ao de ondas unidimensional ∂2y 1 ∂2y − =0 v 2 ∂t2 ∂x2 FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 27 / 30 13 Exerc´ıcios 28 / 30 Exerc´ıcio I A fun¸c˜ao de onda de uma onda harmˆonica numa corda ´e y(x, t) = 0, 001 sen[62, 8x + 314t] onde as unidades utilizadas s˜ ao o metro e o segundo. (a) Em que dire¸c˜ ao a onda avan¸ca e qual a sua velocidade? (b) Calcular o comprimento de onda, a freq¨ uˆencia e o per´ıodo da onda. (c) Qual a acelera¸c˜ ao m´ axima de um ponto da corda. FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 29 / 30 Exerc´ıcio II Uma corda uniforme, de 20 m de comprimento e massa de 2 kg, est´a esticada sob uma tens˜ao de 10 N . Faz-se oscilar transversalmente uma extremidade da corda, com amplitude de 3 cm e freq¨uˆencia de 5 oscila¸co˜es por segundo. O deslocamento inicial da extremidade ´e de 1, 5 cm para cima. (a) Ache a velocidade de propaga¸c˜ao v e o comprimento de onda λ da onda progressiva gerada na corda. (b) Escreva, como fun¸c˜ao do tempo, o deslocamento transversal y de um ponto da corda situado `a distˆancia x da extremidade que se faz oscilar, ap´os ser atingido pela onda e antes que ela chegue `a outra extremidade. (c) Calcule a intensidade I da onda progressiva gerada. FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 30 / 30 14