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Matéria Da P2 De Física 2 - Forcadas Text

oscilações amortecidas, forçadas, acopladas, ondas, som

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    December 2018

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    FEP2196

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Oscila¸co˜es amortecidas e for¸cadas Valmir A. Chitta 20 de setembro de 2007 Oscila¸c˜ oes for¸cadas. Ressonˆ ancia. Oscila¸c˜oes for¸cadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Equa¸c˜ao do movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Oscilador amortecido for¸cado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Oscilador n˜ ao amortecido Solu¸c˜ao particular (i) . . . Solu¸c˜ao particular (ii) . . Solu¸c˜ao particular (iii) . . Solu¸c˜ao particular (iv) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 4 5 6 . 7 . 8 . 9 10 Interpreta¸c˜ ao f´ısica 11 Substituindo a solu¸c˜ ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Limite de baixas freq¨ uˆencias (ω  ω0 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Limite de altas freq¨ uˆencias (ω  ω0 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Ressonˆ ancia Ressonˆancia (i) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ressonˆancia (ii) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ressonˆancia (iii) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 16 17 18 Efeito das condi¸c˜ oes iniciais Equa¸c˜ao do movimento . . . Condi¸c˜oes iniciais (i) . . . . . Condi¸c˜oes iniciais (ii) . . . . . Condi¸c˜oes iniciais (iii) . . . . Solu¸c˜ao geral (i) . . . . . . . . Solu¸c˜ao geral (ii). . . . . . . . Ressonˆancia (i) . . . . . . . . . Solu¸c˜ao geral ω < ω0 . . . . . Solu¸c˜ao geral - Ressonˆ ancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 Oscila¸c˜ oes for¸cadas amortecidas Equa¸c˜ao do movimento . . . . . . Solu¸c˜ao particular (i) . . . . . . . . Solu¸c˜ao particular (ii) . . . . . . . Reescrevendo z0 (i) . . . . . . . . . Reescrevendo z0 (ii) . . . . . . . . Solu¸c˜ao particular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 30 31 32 33 34 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Efeitos de ressonˆ ancia Amortecimento fraco . Substituindo em A(ω) Analisando A(ω) (i) . Analisando A(ω) (ii) . Amplitude . . . . . . . . Substituindo em ϕ(ω) Fase . . . . . . . . . . . . Amplitude e fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fator de qualidade ou m´ erito Fator de qualidade ou m´erito Reescrevendo A(ω) . . . . . . . Amplitude . . . . . . . . . . . . . Reescrevendo ϕ(ω) . . . . . . . Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . Amplitude e fase . . . . . . . . . Solu¸c˜ao geral (i) . . . . . . . . . Solu¸c˜ao geral (i) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 37 38 39 40 41 42 43 44 . . . . . . . . 45 46 47 48 49 50 51 52 53 Oscila¸c˜ oes for¸cadas. Ressonˆ ancia. 2 / 53 Oscila¸c˜ oes for¸cadas ■ Oscilador harmˆonico simples + amortecimento ■ For¸ca externa peri´odica ⇒ oscila¸c˜ oes for¸cadas F (t) = F0 cos(ωt) FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 3 / 53 Equa¸c˜ ao do movimento m m d2 x dx = −kx − ρ + F (t) 2 dt dt dx d2 x + kx = F0 cos(ωt) +ρ 2 dt dt F0 dx d2 x + ω02 x = cos(ωt) +γ 2 dt dt m FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 4 / 53 3 Oscilador amortecido for¸cado d2 x dx F0 +γ + ω02 x = cos(ωt) 2 dt dt m ■ γ= ρ m: ■ ω0 = q amortecimento k m: freq¨ uencia pr´opria ou natural ■ ω: freq¨ uˆencia de excita¸c˜ao ■ Oscilador amortecido: t → ∞ ⇒ amplitude → 0 ■ F (t): supre energia indefinidamente ■ t ≈ 0: transiente ■ t grande: solu¸c˜ ao oscilat´ oria com a mesma freq¨uˆencia da for¸ca externa. FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 5 / 53 Oscilador n˜ ao amortecido 6 / 53 Solu¸c˜ ao particular (i) ■ ■ ■ Equa¸c˜ao do movimento Equa¸c˜ao complexa F0 d2 x + ω02 x = cos(ωt) dt2 m F0 iωt d2 z e + ω02 z = 2 dt m Solu¸c˜ao z(t) = z0 eiωt FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 7 / 53 4 Solu¸c˜ ao particular (ii) F0 iωt d2 z + ω02 z = e dt2 m ■ d2 z = −ω 2 z0 eiωt dt2 dz = iωz0 eiωt dt z(t) = z0 eiωt Substituindo −ω 2 z0 eiωt + ω02 z0 eiωt =   z0 ω02 − ω 2 = F0 m F0 iωt e m z0 = ⇒ FEP2196 - F´ısica para Engenharia II F0  m ω02 − ω 2 V. A. Chitta – 8 / 53 Solu¸c˜ ao particular (iii) z(t) = z0 eiωt ■ z0 = ⇒ Reescrevendo F0  m ω02 − ω 2 F0  = Aeiϕ m ω02 − ω 2 onde A= F 20 m ω − ω 2 0 e ω0 > ω ⇒ eiϕ = 1 ⇒ ϕ = 0 ω0 < ω ⇒ eiϕ = −1 ⇒ ϕ = −π FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 9 / 53 5 Solu¸c˜ ao particular (iv) z(t) = z0 eiωt e z0 = Aeiϕ z(t) = Aeiϕ eiωt = Aei(ωt+ϕ) ■ Solu¸c˜ao real x(t) = Acos(ωt + ϕ) onde A= F 0 m ω 2 − ω 2 0 e ϕ = 0 ou − π FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 10 / 53 Interpreta¸c˜ ao f´ısica 11 / 53 Substituindo a solu¸c˜ ao d2 x F0 cos(ωt) + ω02 x = 2 dt m x(t) = Acos(ωt + ϕ) dx = −ωAsen(ωt + ϕ) dt d2 x = −ω 2 Acos(ωt + ϕ) = −ω 2 x dt2 ■ Substituindo −ω 2 x + ω02 x =   F0 F0 cos(ωt) ⇒ ω02 − ω 2 x = cos(ωt) m m FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 12 / 53 6 Limite de baixas freq¨ uˆ encias (ω  ω0 )  ■  ω02 − ω 2 x = F0 cos(ωt) m Limite ω  ω0 ⇒ ω02 − ω 2 ' ω02 ω02 x = x= ■ x em fase com F (ϕ = 0) ■ Quando ω → 0 ⇒ x → F0 cos(ωt) m F0 cos(ωt) mω02 F0 mω02 FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 13 / 53 Limite de altas freq¨ uˆ encias (ω  ω0 )  ■  ω02 − ω 2 x = F0 cos(ωt) m Limite ω  ω0 ⇒ ω02 − ω 2 ' −ω 2 −ω 2 x = x=− ■ x em oposi¸c˜ ao de fase com F (ϕ = −π) ■ Quando ω → ∞ ⇒ x → 0 F0 cos(ωt) m F0 cos(ωt) mω 2 FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 14 / 53 7 Ressonˆ ancia 15 / 53 Ressonˆ ancia (i) x(t) = Acos(ωt + ϕ) A= F 20 m ω − ω 2 0 A( ) 0 ■ Limite em que ω → ω0 ⇒ A → ∞ FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 16 / 53 8 Ressonˆ ancia (ii) x(t) = Acos(ωt + ϕ) ω0 > ω ⇒ ϕ = 0 ω0 < ω ⇒ ϕ = −π ( ) 0 0 - FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 17 / 53 9 Ressonˆ ancia (iii) ■ Modelo inadequado pois apresenta divergˆencia e descontinuidade. ■ A dissipa¸c˜ao de energia (oscilador amortecido) elimina a divergˆencia e a descontinuidade. ■ Quando A aumenta, aumenta os efeitos n˜ao lineares. A( ) 0 ( ) 0 0 - FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 18 / 53 Efeito das condi¸c˜ oes iniciais 19 / 53 Equa¸c˜ ao do movimento d2 x F0 + ω02 x = cos(ωt) 2 dt m ■ Solu¸c˜ ao particular (ω < ω0 ). x(t) = F0 cos(ωt) m (ω02 − ω 2 ) ■ Solu¸c˜ ao geral x(t) = F0 cos(ωt) + Bcos(ω0 t + ϕ0 ) m (ω02 − ω 2 ) ■ B e ϕ0 dependem das condi¸co ˜es iniciais FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 20 / 53 10 Condi¸c˜ oes iniciais (i) x(t) = ■ F0  cos(ωt) + Bcos(ω0 t + ϕ0 ) m ω02 − ω 2 Situa¸c˜ao particular: repouso na posi¸c˜ao de equil´ıbrio x(0) = 0 ■ Substituindo x(0) = FEP2196 - F´ısica para Engenharia II e dx (0) = 0 dt F0  + Bcos(ϕ0 ) = 0 m ω02 − ω 2 V. A. Chitta – 21 / 53 Condi¸c˜ oes iniciais (ii) x(t) = F0  cos(ωt) + Bcos(ω0 t + ϕ0 ) m ω02 − ω 2 dx ωF0  sen(ωt) − ω0 Bsen(ω0 t + ϕ0 ) =− dt m ω02 − ω 2 dx (0) = −ω0 Bsen(ϕ0 ) = 0 dt FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 22 / 53 11 Condi¸c˜ oes iniciais (iii) F0  + Bcos(ϕ0 ) = 0 m ω02 − ω 2 −ω0 Bsen(ϕ0 ) = 0 sen(ϕ0 ) = 0 ϕ0 = 0 ⇒ F0  +B =0 m ω02 − ω 2 B=− FEP2196 - F´ısica para Engenharia II F0  m ω02 − ω 2 V. A. Chitta – 23 / 53 Solu¸c˜ ao geral (i) x(t) = F0  cos(ωt) + Bcos(ω0 t + ϕ0 ) m ω02 − ω 2 ϕ0 = 0 x(t) = e B=− F0  m ω02 − ω 2 F0 F0  cos(ωt) −  cos(ω0 t) 2 2 m ω0 − ω m ω02 − ω 2 x(t) = − F0 cos(ω0 t) − cos(ωt) m (ω0 + ω) ω0 − ω  FEP2196 - F´ısica para Engenharia II  V. A. Chitta – 24 / 53 12 Solu¸c˜ ao geral (ii) x(t) = − ■ F0 cos(ω0 t) − cos(ωt) m (ω0 + ω) ω0 − ω   Corresponde ` a superposi¸c˜ ao de dois osciladores harmˆonicos simples com freq¨ uˆencias ω0 e ω. (ω ' ω0 - batimento). FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 25 / 53 Ressonˆ ancia (i)   cos(ω0 t) − cos(ωt) F0 x(t) = − m (ω0 + ω) ω0 − ω ■ Para ω = ω0 cos(ω0 t) − cos(ωt) 0 = ω0 − ω 0   tsen(ωt) d cos(ω0 t) − cos(ωt) = dω ω0 − ω −1 ■ Para ω = ω0 x(t) = F0 tsen(ωt) 2mω0 FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 26 / 53 13 Solu¸c˜ ao geral ω < ω0 F0 cos(ω0 t) − cos(ωt) x(t) = − m (ω0 + ω) ω0 − ω  100  x(t) 50 t t 0 -50 -100 FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 27 / 53 14 Solu¸c˜ ao geral - Ressonˆ ancia x(t) = F0 tsen(ωt) 2mω0 x(t) 2000 1000 t 0 -1000 -2000 FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 28 / 53 15 Oscila¸c˜ oes for¸cadas amortecidas 29 / 53 Equa¸c˜ ao do movimento m d2 x dx + kx = F0 cos(ωt) +ρ 2 dt dt dx F0 d2 x +γ + ω02 x = cos(ωt) 2 dt dt m γ= ρ m e ω02 = k m FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 30 / 53 Solu¸c˜ ao particular (i) ■ Equa¸c˜ ao complexa d2 z dz F0 iωt +γ + ω02 z = e dt2 dt m ■ Solu¸c˜ ao z(t) = z0 eiωt dz = iωz0 eiωt dt d2 z = −ω 2 z0 eiωt dt2 ■ Substituindo −ω 2 z0 eiωt + iγωz0 eiωt + ω02 z0 eiωt = FEP2196 - F´ısica para Engenharia II F0 iωt e m V. A. Chitta – 31 / 53 16 Solu¸c˜ ao particular (ii) −ω 2 z0 eiωt + iγωz0 eiωt + ω02 z0 eiωt =   ω02 + iγω − ω 2 z0 = z0 = z(t) = m m ω02 ω02 FEP2196 - F´ısica para Engenharia II F0 iωt e m F0 m F0  + iγω − ω 2 F0  eiωt + iγω − ω 2 V. A. Chitta – 32 / 53 Reescrevendo z0 (i) z0 = z0 = ■ z1 z2 com m (ω02 z1 = F0 + iγω − ω 2 ) F0 m  z2 = ω02 − ω 2 + iγω e z1 ´e real z1 = r1 = ■ z2 ´e complexo  F0 m  z2 = r2 eiθ2 = ω02 − ω 2 + iγω r2 = q ω02 − 2 ω2 + γ 2ω2 e FEP2196 - F´ısica para Engenharia II γω θ2 = arctan 2 ω0 − ω 2   V. A. Chitta – 33 / 53 17 Reescrevendo z0 (ii) z0 = z1 r1 r1 = = e−iθ2 iθ 2 z2 r2 e r2 F0 m r1 = r2 = q ω02 − 2 ω2 + γ 2ω2 e γω θ2 = arctan 2 ω0 − ω 2   z0 = Aeiϕ A= r1 r2 e ϕ = −θ2 FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 34 / 53 Solu¸c˜ ao particular z(t) = z0 eiωt = Aeiϕ eiωt = Aei(ωt+ϕ) ■ Solu¸c˜ao real x(t) = Acos(ωt + ϕ) A(ω) = r1 F0 = q 2 r2 m ω02 − ω 2 + γ 2 ω 2 ϕ(ω) = −θ2 = −arctan FEP2196 - F´ısica para Engenharia II  γω 2 ω0 − ω 2  V. A. Chitta – 35 / 53 18 Efeitos de ressonˆ ancia 36 / 53 Amortecimento fraco ■ Amortecimento fraco: γ  ω0 ■ Se γ → 0 recuperamos o caso sem amortecimento e quando ω = ω0 temos a ressonˆancia, onde a amplitude cresce e ϕ varia rapidamente. ■ Limite em que ω ' ω0 ω02 − ω 2 = (ω0 + ω)(ω0 − ω) ' 2ω0 (ω0 − ω) γω ' γω0 FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 37 / 53 Substituindo em A(ω) F0 A(ω) = m q ω02 − ω 2 ω02 − ω 2 = 2ω0 (ω0 − ω) A2 = 2 e + γ 2 ω2 γω = γω0 F02 h m2 4ω02 (ω0 − ω)2 + γ 2 ω02 A2 = F02 1 h 2 2 4m ω0 (ω0 − ω)2 + FEP2196 - F´ısica para Engenharia II γ2 4 i i V. A. Chitta – 38 / 53 19 Analisando A(ω) (i) A2 = ■ F02 1 h 4m2 ω02 (ω0 − ω)2 + γ2 4 Amplitude m´ axima: quando ω = ω0 ⇒ A2 = A2M AX A2M AX =  F0 2mω0 2 1 γ2 4 =  i F0 mω0 γ 2 ◆ Quando γ → 0 temos A → ∞ FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 39 / 53 Analisando A(ω) (ii) ■ Amplitude a meia altura: A2M AX 2 (ω0 − ω)2 + γ2 γ2 = 4 2 ω0 − ω = ± ■ γ 2 ω = ω0 ± ⇒ Largura a meia altura  ∆ω = ω0 + (ω0 − ω)2 = ⇒ γ 2   − ω0 − γ 2 γ2 4 γ 2  ∆ω = γ FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 40 / 53 20 Amplitude A2 = F02 1 h 4m2 ω02 (ω0 − ω)2 + γ2 4 i 2 A ( ) 2 A MAX 2 A /2 MAX 0 - /2 + /2 0 0 0 FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 41 / 53 Substituindo em ϕ(ω) γω ϕ(ω) = −arctan 2 ω0 − ω 2  ω02 − ω 2 = 2ω0 (ω0 − ω) ϕ(ω) = −arctan  e  γω = γω0 γω0 2ω0 (ω0 − ω) γ ϕ(ω) = −arctan 2(ω0 − ω)  FEP2196 - F´ısica para Engenharia II   V. A. Chitta – 42 / 53 21 Fase ϕ(ω) = −arctan 0 ( ) - /2 0  γ 2(ω0 − ω) 0  + /2 0 - /2 - FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 43 / 53 22 Amplitude e fase 2 A ( ) 2 A MAX 2 /2 A MAX 0 - /2 0 ( ) - /2 0 + /2 0 0 0 0 + /2 0 - /2 - FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 44 / 53 23 Fator de qualidade ou m´ erito 45 / 53 Fator de qualidade ou m´ erito A(ω0 ) A(0) Q= F0 A(ω) = m A(ω0 ) = ω02 − ω 2 F0 mω0 γ e 2 + γ 2 ω2 A(0) = F0 mω02 F0 mω02 ω0 = mω0 γ F0 γ Q= ■ q Quanto maior Q mais estreita a ressonˆancia. FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 46 / 53 Reescrevendo A(ω) F0 A(ω) = m q ω02 − ω 2 ω0 γ Q= e α= F0 A(α) = mω02 r ω02 ω02 −  2 2 ω ω02 2 = + A(α) F0 q = A(0) mω02 (1 − α2 )2 + γ 2 ω2 ω02 ω02 α2 Q2 FEP2196 - F´ısica para Engenharia II + γ 2 ω2 ω ω0 F0 q mω02 (1 − α2 )2 + mω02 1 =q F0 (1 − α2 )2 + α2 Q2 α2 Q2 V. A. Chitta – 47 / 53 24 Amplitude A(α) 1 =q 2 A(0) (1 − α2 ) + α2 Q2 5 Q = 0.5 Q = 1 Q = 2 4 Q = 3 A( )/A(0) Q = 5 3 2 1 0 0 1 2 FEP2196 - F´ısica para Engenharia II 3 V. A. Chitta – 48 / 53 Reescrevendo ϕ(ω) γω ϕ(ω) = −arctan ω02 − ω 2  Q= ω0 γ e α=   ϕ(α) = −arctan FEP2196 - F´ısica para Engenharia II ω ω0 γ ω ω0 ω0 ϕ(ω) = −arctan  ω2 0 ω02  − ω2 ω02 α Q 1 − α2    ! V. A. Chitta – 49 / 53 25 Fase ϕ(α) = −arctan 1 α Q 1 − α2  2 3 ( ) 0  Q = 0.5 Q = 1 Q = 2 Q = 3 Q = 5 - /2 - FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 50 / 53 26 Amplitude e fase 5 Q = 0.5 Q = 1 Q = 2 4 Q = 3 A( )/A(0) Q = 5 3 2 1 0 0 2 1 3 2 3 ( ) 0 1 Q = 0.5 Q = 1 Q = 2 Q = 3 Q = 5 - /2 - FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 51 / 53 27 Solu¸c˜ ao geral (i) ■ Limite de amortecimento fraco: γ  ω0 γ x(t) = A(ω)cos(ωt + ϕ) + Be− 2 t cos(ω1 t + ϕ1 ) F0 A(ω) = m q ω02 − ω 2 2 + γ 2 ω2 γω ϕ(ω) = −arctan 2 ω0 − ω 2 ω1 = s ω02 − γ2 4  ω0 = FEP2196 - F´ısica para Engenharia II k m  γ= ρ m V. A. Chitta – 52 / 53 28 29 Solu¸c˜ ao geral (i) Y Axis Title x(t) t Y Axis Title x(t) t 30 x(t)