Matéria Da P2 De Física 2 - Acoplados Text

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Oscila¸co˜es amortecidas e for¸cadas Valmir A. Chitta 27 de setembro de 2007 Balan¸co de energia 2 Taxa de varia¸c˜ ao da energia 3 Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Oscilador harmˆonico amortecido for¸cado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Varia¸c˜ao da energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Varia¸c˜ ao da energia no regime estacion´ ario Varia¸c˜ao da energia no regime estacion´ ario (i) . Varia¸c˜ao da energia no regime estacion´ ario (ii) Valor m´edio em um per´ıodo (i) . . . . . . . . . . . Valor m´edio em um per´ıodo (ii). . . . . . . . . . . Potˆ encia m´ edia Potˆencia m´edia Potˆencia m´edia Potˆencia m´edia Potˆencia m´edia (i). . (ii) . (iii) . (iv) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 . 8 . 9 10 11 . . . . 12 13 14 15 16 Fator de potˆ encia 17 Fator de potˆencia (i) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Fator de potˆencia (ii). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Fator de qualidade ou m´ erito Energia m´edia armazenada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Energia m´edia dissipada durante um per´ıodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fator de m´erito ou qualidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 21 22 23 Oscila¸c˜ oes acopladas Pˆendulos acoplados Pˆendulos acoplados Pˆendulos acoplados Pˆendulos acoplados - Equil´ıbrio . . . . . . Fora do equil´ıbrio Caracter´ısticas . . For¸cas . . . . . . . . Equa¸c˜ ao do movimento Desprezando amortecimento . Sistema acoplado . . . . . . . . Desacoplando - somando . . . Desacoplando - subtraindo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 25 26 27 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 30 31 32 33 1 Novas coordenadas Mudan¸ca de coordenada. Substituindo (i). . . . . . . Substituindo (ii) . . . . . . Osciladores desacoplados Solu¸c˜oes gerais . . . . . . . . . . . . Interpreta¸c˜ ao f´ısica Coordenadas. . . . . . . . . . Modo sim´etrico (i) . . . . . Modo sim´etrico (ii) . . . . . Modo antisim´etrico (i) . . . Modo antisim´etrico (ii) . . Outra condi¸c˜ ao inicial (i) . Outra condi¸c˜ ao inicial (ii) . Outra condi¸c˜ ao inicial (iii) Outra condi¸c˜ ao inicial (iv) Outra condi¸c˜ ao inicial (v) . Outra condi¸c˜ ao inicial (vi) Batimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 35 36 37 38 39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 Outros exemplos Oscila¸c˜oes longitudinais - modo sim´etrico . . . Oscila¸c˜oes longitudinais - modo antisim´etrico Oscila¸c˜oes transversais . . . . . . . . . . . . . . . . Pequenas oscila¸c˜ oes transversais . . . . . . . . . Componente vertical das for¸cas . . . . . . . . . . Equa¸c˜oes do movimento. . . . . . . . . . . . . . . Equa¸c˜oes acopladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . Modos normais transversais . . . . . . . . . . . . Generalizando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Balan¸co de energia 2 / 62 Taxa de varia¸c˜ ao da energia 3 / 62 Energia ■ Energia mecˆ anica 1 dx E(t) = m 2 dt  ■ 2 1 + kx2 (t) 2 Taxa de varia¸c˜ ao da energia dx d2 x dx dx dE =m + kx = 2 dt dt dt dt dt ! d2 x m 2 + kx dt FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 4 / 62 Oscilador harmˆ onico amortecido for¸cado m m d2 x dx + kx = F0 cos(ωt) +ρ 2 dt dt d2 x dx + kx = −ρ + F0 cos(ωt) dt2 dt FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 5 / 62 3 Varia¸c˜ ao da energia dE dx = dt dt ! d2 x m 2 + kx dt dx d2 x + kx = −ρ + F0 cos(ωt) 2 dt dt   dx dE dx = + F0 cos(ωt) −ρ dt dt dt m dE dx = −ρ dt dt   dx dt ■ Potˆencia dissipada: −ρ ■ Potˆencia fornecida: P (t) = 2 + dx F0 cos(ωt) dt 2 dx dt F0 cos(ωt) FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 6 / 62 Varia¸c˜ ao da energia no regime estacion´ ario 7 / 62 Varia¸c˜ ao da energia no regime estacion´ ario (i) dx dE = dt dt ! d2 x m 2 + kx dt x(t) = Acos(ωt + ϕ) d2 x = −ω 2 Acos(ωt + ϕ) dt2 dx = −ωAsen(ωt + ϕ) dt   dE = −ωAsen(ωt + ϕ) −mω 2 Acos(ωt + ϕ) + kAcos(ωt + ϕ) dt k = mω02   dE = mω ω 2 − ω02 A2 sen(ωt + ϕ)cos(ωt + ϕ) dt FEP2196 - F´ısica para Engenharia II 4 V. A. Chitta – 8 / 62 Varia¸c˜ ao da energia no regime estacion´ ario (ii)   dE = mω ω 2 − ω02 A2 sen(ωt + ϕ)cos(ωt + ϕ) dt 1 sen(ωt + ϕ)cos(ωt + ϕ) = sen [2(ωt + ϕ)] 2   dE 1 = mω ω 2 − ω02 A2 sen [2(ωt + ϕ)] dt 2 ■ dE dt oscila com freq¨ uˆencia 2ω FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 9 / 62 Valor m´ edio em um per´ıodo (i)   1 dE = mω ω 2 − ω02 A2 sen [2(ωt + ϕ)] dt 2  dE dt    1 = mω ω 2 − ω02 A2 hsen [2(ωt + ϕ)]i 2 hsen [2(ωt + ϕ)]i = 0  dE dt  FEP2196 - F´ısica para Engenharia II =0 V. A. Chitta – 10 / 62 5 Valor m´ edio em um per´ıodo (ii) dE dx = −ρ dt dt  2 dx dx F0 cos(ωt) = −ρ + dt dt   hP (t)i = ρ ■ * dE dt dx dt  2 + P (t) =0 2 + = mγ * dx dt 2 + A potˆencia m´edia fornecida pela for¸ca externa ´e igual a potˆencia m´edia dissipada. FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 11 / 62 Potˆ encia m´ edia 12 / 62 Potˆ encia m´ edia (i) hP (t)i = mγ x(t) = Acos(ωt + ϕ) * dx dt 2 + dx = −ωAsen(ωt + ϕ) dt ⇒   hP (t)i = mγ ω 2 A2 sen2 (ωt + ϕ) = mγω 2 A2 sen2 (ωt + ϕ) D E sen2 (ωt + ϕ) = hP (t)i = 1 2 1 mγω 2 A2 2 FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 13 / 62 6 Potˆ encia m´ edia (ii) hP (t)i = F0 A(ω) = m hP (t)i = ■ Substituindo α = ω ω0 eQ= ω0 γ 1 mγω 2 A2 2 q ω02 − ω 2
2 + γ 2 ω2 γω 2 F02 2m h ω02 − ω 2
2 + γ 2 ω2 i FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 14 / 62 Potˆ encia m´ edia (iii) hP (t)i = γω 2 F02 h i, 2 2m (ω02 − ω 2 ) + γ 2 ω 2 hP (t)i = hP (t)i = hP (t)i = α= γ ω2 2 ω0 ω02 F0   2 2 2mω0 1 − ωω2 0 + ω ω0 e γ 2 ω2 ω02 ω02  Q= ω0 γ α2 F02 h 2mω0 Q (1 − α2 )2 + F02  2mω0 Q 1 α FEP2196 - F´ısica para Engenharia II α2 Q2 i 1 2 −α + 1 Q2  V. A. Chitta – 15 / 62 7 Potˆ encia m´ edia (iv) hP (t)i = F02  2mω0 Q  1 α ■ 1 2 −α + 1 Q2  A potˆencia m´edia ser´ a m´ axima quando α = 1, ou seja, na ressonˆancia hP (t)iM AX = F02 Q 2mω0 FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 16 / 62 Fator de potˆ encia 17 / 62 Fator de potˆ encia (i) ■ Potˆencia fornecida pela for¸ca P (t) = dx F0 cos(ωt) dt dx = −ωAsen(ωt + ϕ) dt P (t) = −ωAF0 cos(ωt)sen(ωt + ϕ) x(t) = Acos(ωt + ϕ) ⇒ P (t) = −ωAF0 [cos(ωt)sen(ωt)cos(ϕ) + cos(ωt)cos(ωt)sen(ϕ)] P (t) = −ωAF0  1 sen(2ωt)cos(ϕ) + cos2 (ωt)sen(ϕ) 2  FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 18 / 62 8 Fator de potˆ encia (ii) ■ Valor m´edio P (t) = −ωAF0 hP (t)i = −ωAF0   1 sen(2ωt)cos(ϕ) + cos2 (ωt)sen(ϕ) 2  D E 1 hsen(2ωt)i cos(ϕ) + cos2 (ωt) sen(ϕ) 2  1 hP (t)i = − ωAF0 sen(ϕ) 2 ■ O fator |sen(ϕ)| relaciona a potˆencia m´edia fornecida pela for¸ca externa com a defasagem ϕ entre o deslocamento x(t) e a for¸ca externa FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 19 / 62 Fator de qualidade ou m´ erito 20 / 62 Energia m´ edia armazenada E(t) = dx 1 m 2 dt 1 hE(t)i = m 2 * D  * dx dt 2 1 + kx2 (t) 2 2 + E 1 D + k x2 (t) 2 E D E 1 x2 (t) = A2 cos2 (ωt + ϕ) = A2 2 dx dt 2 + D E = ω 2 A2 sen2 (ωt + ϕ) = 1 2 2 ω A 2  1 1 1 1 1  hE(t)i = m ω 2 A2 + k A2 = m ω 2 + ω02 A2 2 2 2 2 4 FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 21 / 62 9 Energia m´ edia dissipada durante um per´ıodo ■ Energia dissipada ou fornecida ∆ hEi 1 = hP (t)i = mγω 2 A2 ∆t 2 ■ Um per´ıodo: ∆t = τ ∆ hEi = hP (t)i τ = hP (t)i 2π = πmγωA2 ω FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 22 / 62 Fator de m´ erito ou qualidade energia armazenada no ciclo Q = 2π energia dissipada por ciclo  Q = 2π  1  1 hE(t)i = 2π m ω 2 + ω02 A2 ∆ hEi 4 πmγωA2 1 1 ω 2 + ω02 = Q= 2 γω 2
■   ω0 ω + ω0 ω  ω0 γ Na ressonˆ ancia (ω = ω0 ) Q= FEP2196 - F´ısica para Engenharia II ω0 γ V. A. Chitta – 23 / 62 10 %————————————————————————- Oscila¸c˜ oes acopladas 24 / 62 Pˆ endulos acoplados - Equil´ıbrio d l k m m FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 25 / 62 11 Pˆ endulos acoplados - Fora do equil´ıbrio d θ1 k θ2 l 2 m m 1 x1 x2 FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 26 / 62 12 Pˆ endulos acoplados - Caracter´ısticas ■ Freq¨ uˆencia natural dos pˆendulos ω02 = d θ1 k θ2 l ■ Pequenos deslocamentos x1 ' lθ1 2 m m 1 x1 ■ g l e x2 ' lθ2 Deforma¸c˜ao da mola x2 x = x2 − x1 FEP2196 - F´ısica para Engenharia II (> 0) V. A. Chitta – 27 / 62 Pˆ endulos acoplados - For¸cas ■ d θ1 k m 1 x1 θ2 l ■ For¸ca restauradora da mola [1] k(x2 − x1 ) [2] −k(x2 − x1 ) For¸cas gravitacionais [1] −mgsen(θ1 ) ' −mgθ1 x1 = −mω02 x1 = −mg l [2] −mgsen(θ2 ) ' −mgθ2 x2 = −mω02 x2 = −mg l 2 m x2 FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 28 / 62 13 Equa¸c˜ ao do movimento 29 / 62 Desprezando amortecimento  d2 x1    m   dt2    d2 x2   m 2 dt  2 d x1      dt2    d2 x2   dt2 = −mω02 x1 + k(x2 − x1 ) = −mω02 x2 − k(x2 − x1 ) = −ω02 x1 + k (x2 − x1 ) m = −ω02 x2 − k (x2 − x1 ) m FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 30 / 62 Sistema acoplado  2 d x1      dt2    d2 x2   dt2  2 d x1      dt2    d2 x2   dt2 = −ω02 x1 + k (x2 − x1 ) m = −ω02 x2 − k (x2 − x1 ) m K= k m = −ω02 x1 + K(x2 − x1 ) = −ω02 x2 − K(x2 − x1 ) FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 31 / 62 14 Desacoplando - somando  2 d x1    + ω02 x1   dt2    d2 x2   + ω02 x2 2 dt = +K(x2 − x1 ) = −K(x2 − x1 ) d2 x1 d2 x2 + + ω02 (x1 + x2 ) = 0 dt2 dt2 FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 32 / 62 Desacoplando - subtraindo  2 d x1    + ω02 x1   dt2    d2 x2   + ω02 x2 2 dt = +K(x2 − x1 ) = −K(x2 − x1 ) d2 x1 d2 x2 − + ω02 (x1 − x2 ) = 2K(x2 − x1 ) dt2 dt2 FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 33 / 62 15 Novas coordenadas 34 / 62 Mudan¸ca de coordenada  2 d x1 d2 x2    + + ω02 (x1 + x2 ) =   dt2 dt2    d2 x1 d2 x2   − + ω02 (x1 − x2 ) = 2 2 dt ■ Novas coordenadas 0 2K(x2 − x1 ) dt = 1 (x1 + x2 ) 2     q2 = 1 (x1 − x2 ) 2    q1 = 1 2 (x1 + x2 ) = 1 2 (x1 − x2 )    q   1 FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 35 / 62 Substituindo (i)   q 2 d2 x1 d2 x2 + + ω02 (x1 + x2 ) = 0 dt2 dt2 d2 (x1 + x2 ) + ω02 (x1 + x2 ) = 0 dt2 2 d2 q1 + 2ω02 q1 = 0 dt2 ⇒ FEP2196 - F´ısica para Engenharia II d2 q1 + ω02 q1 = 0 dt2 V. A. Chitta – 36 / 62 16 Substituindo (ii)    q1   q 2 = 1 2 (x1 + x2 ) = 1 2 (x1 − x2 ) d2 x1 d2 x2 − + ω02 (x1 − x2 ) = 2K(x2 − x1 ) dt2 dt2 d2 (x1 − x2 ) + ω02 (x1 − x2 ) + 2K(x1 − x2 ) = 0 dt2 2 d2 q2 + 2ω02 q2 + 4Kq2 = 0 dt2 ⇒ d2 q2 + ω22 q2 = 0 dt2 ω22 = ω02 + 2K FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 37 / 62 Osciladores desacoplados d2 q1 + ω02 q1 = 0 dt2 d2 q2 + ω22 q2 = 0 dt2 ω22 = ω02 + 2K FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 38 / 62 17 Solu¸c˜ oes gerais d2 q1 + ω02 q1 = 0 dt2 e d2 q2 + ω22 q2 = 0 dt2 q1 (t) = A1 cos(ω0 t + ϕ1 ) q2 (t) = A2 cos(ω2 t + ϕ2 ) ■ Condi¸c˜oes iniciais: A1 , A2 , ϕ1 e ϕ2 FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 39 / 62 Interpreta¸c˜ ao f´ısica 40 / 62 Coordenadas    q   1 d θ1 k m 1 x1 θ2 l 2 m     q 2 = 1 (x1 + x2 ) 2 = 1 (x1 − x2 ) 2 ■ q1 : deslocamento do centro de massa ■ 2q2 : deslocamento relativo x2 FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 41 / 62 18 Modo sim´ etrico (i) 1 q1 = (x1 + x2 ) 2 q1 (t) = A1 cos(ω0 t + ϕ1 ) ■ 1 q2 = (x1 − x2 ) 2 e e q2 (t) = A2 cos(ω2 t + ϕ2 ) Condi¸c˜ao inicial: A2 = 0 ⇒ q2 = 0 x1 = x2 = q1 FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 42 / 62 Modo sim´ etrico (ii) x1 = x2 = q1 d l k m x1 ■ Modo normal sim´etrico ■ Freq¨ uˆencia ω0 ■ Como se a mola n˜ao existisse m x2 FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 43 / 62 19 Modo antisim´ etrico (i) 1 q1 = (x1 + x2 ) 2 q1 (t) = A1 cos(ω0 t + ϕ1 ) ■ 1 q2 = (x1 − x2 ) 2 e e q2 (t) = A2 cos(ω2 t + ϕ2 ) Condi¸c˜ao inicial: A1 = 0 ⇒ q1 = 0 x2 = −x1 = q2 FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 44 / 62 Modo antisim´ etrico (ii) x2 = −x1 = q2 d l k m m -x1 ■ Modo normal antisim´etrico ■ Freq¨ uˆencia ω2 ■ ω2 = ■ Solu¸c˜ao geral: superposi¸c˜ao dos dois modos normais q ω02 + 2K > ω0 x2 FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 45 / 62 20 Outra condi¸c˜ ao inicial (i) x1 (0) = a d e x2 (0) = 0 dx2 (0) dx1 (0) = =0 dt dt l q1 (0) = k m 1 a (x1 + x2 ) = 2 2 a 1 (x1 − x2 ) = 2 2 dq2 (0) dq1 (0) = =0 dt dt q2 (0) = m x1 FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 46 / 62 Outra condi¸c˜ ao inicial (ii) q1 (0) = q2 (0) = a 2 dq1 (0) dq2 (0) = =0 dt dt e q1 (t) = A1 cos(ω0 t + ϕ1 ) e q2 (t) = A2 cos(ω2 t + ϕ2 ) dq2 dq1 = −ω0 A1 sen(ω0 t + ϕ1 ) e = −ω2 A2 sen(ω2 t + ϕ2 ) dt dt ■ Para t = 0 a 2 a 2 e A2 cos(ϕ2 ) = −ω0 A1 sen(ϕ1 ) = 0 e − ω2 A2 sen(ϕ2 ) = 0 A1 cos(ϕ1 ) = FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 47 / 62 21 Outra condi¸c˜ ao inicial (iii) a 2 e A2 cos(ϕ2 ) = −ω0 A1 sen(ϕ1 ) = 0 e − ω2 A2 sen(ϕ2 ) = 0 A1 cos(ϕ1 ) = sen(ϕ1 ) = sen(ϕ2 ) = 0 ⇒ A1 = A2 = a 2 ϕ1 = ϕ2 = 0 a 2 FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 48 / 62 Outra condi¸c˜ ao inicial (iv) 1 q1 = (x1 + x2 ) 2 q1 (t) = A1 cos(ω0 t + ϕ1 ) a A1 = A2 = 2 e 1 q2 = (x1 − x2 ) 2 e q2 (t) = A2 cos(ω2 t + ϕ2 ) e ϕ1 = ϕ2 = 0 x1 (t) = a [cos(ω0 t) + cos(ω2 t)] 2 x2 (t) = a [cos(ω0 t) − cos(ω2 t)] 2 FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 49 / 62 22 Outra condi¸c˜ ao inicial (v) x1 (t) = a [cos(ω0 t) + cos(ω2 t)] 2 x2 (t) = a [cos(ω0 t) − cos(ω2 t)] 2 β−α β+α cos(α) + cos(β) = 2 cos cos 2 2     β−α β+α cos(α) − cos(β) = 2 sen sen 2 2    FEP2196 - F´ısica para Engenharia II  V. A. Chitta – 50 / 62 Outra condi¸c˜ ao inicial (vi) ∆ω x1 (t) = a cos t cos(ωt) 2   ∆ω t sen(ωt) x2 (t) = a sen 2  ∆ω = ω2 − ω0 e FEP2196 - F´ısica para Engenharia II  ω= ω0 + ω2 2 V. A. Chitta – 51 / 62 23 Batimento ■ Acoplamento fraco: K  ω02 ⇒ ∆ω  ω x (t) 1 t x (t) 2 t FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 52 / 62 24 Outros exemplos 53 / 62 Oscila¸c˜ oes longitudinais - modo sim´ etrico k d d d m k m 1 k 2 x1 x2 x1 = x2 ■ Freq¨ uˆencia de oscila¸c˜ ao: ω02 = k m FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 54 / 62 25 Oscila¸c˜ oes longitudinais - modo antisim´ etrico d d d m k m k 1 k 2 x1 x2 x2 = −x1 ■ k Freq¨ uˆencia de oscila¸c˜ ao: ω 2 = 3 m = 3ω02 FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 55 / 62 Oscila¸c˜ oes transversais a a a -T0 ■ a > d ⇒ mola esticada ■ For¸ca restauradora T0 -T0 T0 T0 = k(a − d) FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 56 / 62 26 Pequenas oscila¸c˜ oes transversais y2 y1 a y1  a ■ a a e y2  a A for¸ca da mola praticamente n˜ ao muda: T0 = k(a − d) FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 57 / 62 Componente vertical das for¸cas y2 y1 a a a ■ Mola da esquerda F1 = −T0 sen(θ1 ) ≈ −T0 ■ Mola da direita F2 = T0 sen(θ2 ) ≈ −T0 ■ Mola do centro F12 = −T0 y1 − y2 a e FEP2196 - F´ısica para Engenharia II y1 a y2 a F21 = −F12 = T0 y1 − y2 a V. A. Chitta – 58 / 62 27 Equa¸c˜ oes do movimento F1 = −T0 y1 F2 = −T0 a m y2 a F12 = −T0 y1 − y2 a F21 = −F12 = T0 y1 − y2 a d2 y1 y1 − y2 y1 = F1 + F12 = −T0 − T0 dt2 a a T0 T0 d2 y1 y1 = − (y1 − y2 ) + dt2 ma ma m d2 y2 y2 y1 − y2 = F2 + F21 = −T0 + T0 2 dt a a T0 T0 d2 y2 + y2 = (y1 − y2 ) 2 dt ma ma FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 59 / 62 Equa¸c˜ oes acopladas d2 y1 T0 T0 + y1 = − (y1 − y2 ) dt2 ma ma d2 y2 T0 T0 + y2 = (y1 − y2 ) dt2 ma ma ■ Comparando d2 x1 + ω02 x1 = +K(x2 − x1 ) dt2 d2 x2 + ω02 x2 = −K(x2 − x1 ) dt2 ω02 = T0 ma K= T0 ma ω 2 = ω02 + 2K = 3 FEP2196 - F´ısica para Engenharia II T0 ma V. A. Chitta – 60 / 62 28 Modos normais transversais y2 y1 y2 y1 FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 61 / 62 Generalizando ■ Um sistema com N graus de liberdade tem N modos normais de vibra¸c˜ao ■ Solu¸c˜ao geral: superposi¸c˜ ao dos modos normais ■ 2 part´ıculas movendo-se em 3 dimens˜oes ◆ Cada part´ıcula: 3 graus de liberdade ◆ Total 6 graus de liberdade ■ ■ 2 longitudinais 4 transversais FEP2196 - F´ısica para Engenharia II V. A. Chitta – 62 / 62 29