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Sumário 1 Grandezas Proporcionais 1.1 Números Proporcionais . . . . . . . . . . . . 1.2 Série de Razões Iguais . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Propriedade Fundamental . . . . . . 1.3 Divisão em Partes Proporcionais . . . . . . . 1.3.1 Fórmulas . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Divisão em Partes Proporcionais Composta .
. . . . . .
1 2 3 3 4 4 5
2 Regra de Sociedade 2.1 Regra de Sociedade Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Regra de Sociedade Composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6 6 7
3 Regra de Três 3.1 Regra de Três Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Regra de Três Composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8 8 9
4 Percentagem 4.1 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10 11
5 Juros Simples 5.1 Fórmulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Montante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12 12 13 13
6 Juros compostos 6.1 Cálculo do Montante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14 14 15
1
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Grandezas Proporcionais
Duas grandezas são diretamente proporcionais, ou simplesmente proporcionais, quando, aumentando o valor de uma delas um certo número de vezes, o valor da outra também aumenta ou diminui esse mesmo número de vezes. Suponha que: 5m de um tecido custe R$ 40, 00 15m custarão R$ 120, 00 45m custarão R$ 360, 00 Neste exemplo o custo é proporcional ao número de metros. Poderiamos formar a proporção1 : 120 15 = 45 360 1
⇐⇒
15 × 360 = 45 × 120
A igualdade entre razões denomina-se proporção.
1 Grandezas Proporcionais
1.1 Números Proporcionais
Duas quantidades são inversamente proporcionais quando, aumentando ou diminuindo o valor de uma delas um certo número de vezes, o valor da outra diminui ou aumenta esse mesmo número de vezes. Observe, 6 operários fazem um serviço em 18 dias 3 operários o farão em 36 dias 12 operários farão em 9 dias Neste exemplo o número de dias é inversamente proporcional ao número de operários. Poderiamos formar a proporção: 3 18 = 6 36
1.1
⇐⇒
3 × 36 = 6 × 18
Números Proporcionais Dois números a e b ∈ R são proporcionais quando a = b.k ou b = a.k.
Observe uma série de números e, em seguida, outra série, cujos termos sejam proporcionais aos da primeira: 1o série
3
5
7
8
2o série
9
15
21
24
Vemos que 9 é o triplo de 3; 15 é o triplo de 5; 21 é o triplo de 7; 24 é o triplo de 8. Esses números são proporcionais pois
3 5 7 8 1 = = = = 9 15 21 24 3
O coeficiente de proporcionalidade entre eles é
1 . 3
Exercícios de Fixação a) Na série de números proporcionais
15 90
7 14 12 determinar o coeficiente de 42 84 72
proporcionalidade. b) Na série de números proporcionais
36 4
45 5
54 calcular o coeficiente de proporcio6
nalidade. c) Calcular três números proporcionais a 27, 12 e 17, sendo 6 o coeficiente de proporcio6 9 7 nalidade. Dados os números proporcionais calcular x. 42 x 49
2
1 Grandezas Proporcionais
1.2
1.2 Série de Razões Iguais
Série de Razões Iguais Considerando as razões: 6 10 12 8 , , , 3 5 6 4 Vemos que todas as razões são iguais a 2. Logo, podemos escrever: 6 10 12 8 = = = 3 5 6 4 Essa expressão é denominada série de razões iguais ou proporção múltipla. a c m = = ... = b d n
1.2.1
Propriedade Fundamental Seja a série de razões iguais: c m a = = ... = b d n Fazendo a razão comum igual a k, obtemos: a c m = k, = k, ..., =k b d n Onde: a = b.k, c = d.k, ..., m = n.k Pondo k em evidência, temos: a + c + ... + m = k.(b + d + ... + n) a + c + ... + m =k b + d + ... + n Como: a c m = = ... = =k b d n Podemos escrever: a + c + ... + m a c m = = = ... = b + d + ... + n b d n
Em uma série de razões iguais, a soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes assim como qualquer antecedente está para o seu respectivo consequente. 3
1 Grandezas Proporcionais
1.3
1.3 Divisão em Partes Proporcionais
Divisão em Partes Proporcionais
Dividir um número em partes proporcionais a outros números dados, é procurar parcelas desse número que sejam proporcionais aos números dados, e que, somadas, reproduzam o número. Vamos dividir 720 em partes proporcionais aos números 2, 3 e 4. Vamos supor que as partes de 720 sejam a, b e c. Teremos: a b c a+b+c = = = 2+3+4 2 3 4 a+b+c a = 2+3+4 2
⇐⇒
720 a = 9 2
∴ a=
720 × 2 = 160 9
a+b+c b = 2+3+4 3
⇐⇒
720 b = 9 3
∴ b=
720 × 3 = 240 9
a+b+c c = 2+3+4 4
⇐⇒
720 c = 9 4
∴ c=
720 × 4 = 320 9
Resposta: As partes são 160, 240 e 320. 1.3.1
Fórmulas Temos: Dividir N em partes proporcionais aos números a, b e c.
Como foi observado anteriormente o coeficiente de proporcionalidade pode ser obtido através da fórmula: k=
N a+b+c
Chamando x, y, z, as três partes, vemos que cada uma delas se obtém multiplicando o número correspondente pelo coeficiente de proporcionalidade. Logo: x=
N × a; a+b+c
y=
N × b; a+b+c
4
z=
N ×c a+b+c
1 Grandezas Proporcionais
1.4 Divisão em Partes Proporcionais Composta
Exercícios de Fixação a) Dividir 540 em partes proporcionais aos números 1, 2, 3. b) Dividir 840 em partes proporcionais aos números
2 1 5 , , . 3 2 6
c) Dividir R$ 12, 00 em partes proporcionais aos números
3 3 , e 0, 9. 5 2
d) Um senhor lega uma fortuna de R$ 3.000, 00, a ser repartida entre 3 filhos, proporcionalmente às suas idades, que são: 3 anos, 4 anos e 5 anos. Quanto receberá cada um? e) Na liquidação de uma falência apura-se um ativo de R$ 240, 00 e um passivo constituído pelas seguintes dívidas: a A, R$ 160, 00, B, R$ 240, 00 e C, R$ 200, 00. quanto receberá cada um dos credores?
1.4
Divisão em Partes Proporcionais Composta
Para se dividir um número em partes proporcionais, ao mesmo tempo a duas séries de números, multiplica-se os números da primeira série com os números correspondentes da segunda série. Exemplo: 3 1 Dividir 6.600 em partes proporcionais aos números , e inversamente proporcionais 4 2 5 2 aos números , . 6 3 Solução: 3 i) × 4
−1 5 18 = 6 20
1 ii) × 2
−1 2 3 = 3 4
⇐⇒
3 15 = 4 20
Aplicando as fórmulas: x=
N 6.600 × 18/20 118.800 ×a= = = 3.600 a+b 18/20 + 15/20 33
y=
N 6.600 × 15/20 99.000 ×b= = = 3.000 a+b 18/20 + 15/20 33
Resposta: 3.600 e 3.000.
5
2 Regra de Sociedade
Exercícios de Fixação a) Dividir 9.680 em partes proporcionais aos números
9 1 4 3 7 1 , , e aos números , , . 10 2 5 4 8 2
5 2 1 b) Dividir 81.098 em partes proporcionais aos números , , e inversamente proporci6 3 2 1 2 3 onais aos números , , . 5 7 4 1 2 3 c) Dividir 1.540.704 em partes inversamente proporcionais aos números , , e inver2 3 4 2 3 4 samente proporcionais aos números , , . 5 8 9
2
Regra de Sociedade
Em uma sociedade os lucros e os prejuízos são distribuídos entre os vários sócios, proporcionalmente aos capitais empregados e ao mesmo tempo durante o qual estiveram empregados na constituição dessa sociedade. A regra de sociedade pode ser simples ou composta.
2.1
Regra de Sociedade Simples
i) Quando os capitais são diferentes e os tempos iguais, os lucros ou os prejuizos serão proporcionais aos capitais. Exemplo: Dois moços formam uma sociedade e lucram R$ 2.500, 00. O primeiro entrou com R$ 7.000, 00 e o segundo com R$ 5.500, 00. Qual o lucro de cada um? Vamos dividir R$ 2.500, 00 em partes proporcionais a R$ 7.000, 00 e R$ 5.500, 00. 2.500 2.500 = = 0, 2 7.000 + 5.500 12.500 x = 0, 2 × 7.000 = 1.400 y = 0, 2 × 5.500 = 1.100 Resposta: R$ 1.400, 00 e R$ 1.100, 00. ii) Quando os capitais são iguais e os tempos diferentes, dividem-se os lucros ou os prejuízos em partes proporcionais aos tempos.
6
2 Regra de Sociedade
2.2 Regra de Sociedade Composta
Exemplo: A, B, C, associaram-se, entrando cada qual com o capital de R$ 15.000, 00 e tiveram um prejuízo de R$ 750, 00. A ficou na sociedade 8 meses; B, 7 meses e C, 10 meses. Qual foi o prejuízo de cada um? Solução: x=
750 × 8 6.000 N ×a= = = 240 a+b+c 8 + 7 + 10 25
y=
N 750 × 7 5250 ×b= = = 210 a+b+c 8 + 7 + 10 25
z=
N 750 × 10 7.500 ×= = = 300 a+b+c 8 + 7 + 10 25
Resposta: R$ 240, 00, R$ 210, 00 e R$ 300, 00.
2.2
Regra de Sociedade Composta
Quando os capitais e os tempos forem diferentes, os lucros ou os prejuizos serão proporcionais aos capitais multiplicados pelos tempos respectivos. Exemplo: Três sócios lucram juntamente R$ 21.500, 00. O primeiro entrou com R$ 7.000, 00 durante 1 ano; o segundo com R$ 8.500 durante 8 meses e o terceiro com R$ 9.000, 00 durante 7 meses. Qual foi o lucro de cada um? Vamos dividir R$ 21.500, 00 em partes proporcionais aos produtos dos capitais pelos tempos respectivos: 7.000 × 12 = 84.000 8.500 × 8 = 68.000 9.000 × 7 = 63.000 Dividimos todos os valores por 1.000 para efeito de simplificação. 21.500 21.500 = = 100 84 + 68 + 63 215
7
3 Regra de Três
Logo: x = 100 × 84 = 8.400 y = 100 × 68 = 6.800 z = 100 × 63 = 6.300 Resposta: R$ 8.400, 00, R$ 6.800, 00 e R$ 6.300, 00.
Exercícios de Fixação a) Dois sócios lucraram R$ 276, 00. O primeiro entrou para a sociedade com R$ 180, 00 e o segundo com R$ 210, 00. Qual será o lucro de cada sócio? b) Três moços formaram uma sociedade com o capital de R$ 200, 00 e lucraram R$ 80, 00. Calcular a entrada de cada sócio, sabendo que ao primeiro coube R$ 24, 00; ao segundo R$ 36, 00, e o terceiro, R$ 20, 00. c) Três sócios lucraram R$ 3.500, 00. Calcular o lucro de cada sócio sabendo que o lucro 2 do primeiro está para o do segundo assim como ; e que o lucro do segundo está para 3 4 o do receiro assim como . 5
3
Regra de Três
Constituem regra de três os problemas que envolvem pares de grandezas diretamente (regra de três direta) ou inversamente (regra de três inversa) proporcionais.
3.1
Regra de Três Simples Quando envolve somente dois pares de grandezas direta ou inversamente proporcio-
nais. Exemplo 1: Comprei 36 Kg de café por R$ 10,72. Quantos Kg compraria com R$ 13,50?
36 kg custam 10,72 x custarão 13,50 36 10, 72 = x 13, 50
⇐⇒ x = 8
36 × 13, 50 = 50 10, 72
3 Regra de Três
3.2 Regra de Três Composta
Observe que as grandezas são diretas pois com mais R$ compramos mais Kg. Resposta: 50 Kg. Exemplo 2: Com a velocidade de 75 Km/h um automovel percorre, em 8 horas, certo percurso. Em quanto tempo o percorreria se a velocidade fosse de 60 Km/h?
A 75 Km/h demora 8 h A 60 Km/h demorará x 60 8 = 75 x
⇐⇒
75 × 8 = 10 60
Observe que é inversa, pois menos velocidade exige mais tempo. Resposta: 10 horas.
3.2
Regra de Três Composta Quando existem mais de dois pares de grandezas direta ou inversamente proporcionais. Exemplo:
20 operários, em 10 dias de 8 horas, tecem 16.000 m de certo tecido. Quantos dias de 10 horas seriam necessários para 16 operários, cuja atividade é o dobro da dos primeiros, tecerem 32.000 m de outro tecido, cuja dificuldade são os 4/5 da primeira? Temos: 20 operários 16 operários
10 d 8 h 16.000 m 1 at. 1 dif. x d 10 h 32.000 m 2 at. 4/5 dif.
Relacionando cada par de grandezas com 10/x, teremos cinco problemas de regra de três simples que se encadeiam assim: 10 16 × 10 × 16.000 × 2 × 1 = x 20 × 8 × 32.000 × 1 × 4/5 Resposta: 8 dias.
9
⇐⇒
10 5 = x 4
⇐⇒ x = 8
4 Percentagem
Exercícios de Fixação a) 5 moços ganharam R$ 680,00. Quanto ganhariam 28 moços? b) 20 operários fazem um trabalho em 18 dias. Quantos operários seriam necessários para fazer o mesmo trabalho em 12 dias? c) Um trem percorre certa distância em 8 horas, com a velocidade de 60 Km por hora. Quanto tempo levaria para fazer o mesmo percurso com a velocidade de 50 Km por hora? d) Trabalhando 6 h por dia um operário pode fazer um trabalho em 24 dias. Em quantos dias, nas mesmas condições, poderia fazê-lo, trabalhando 8 h por dia? e) Uma família composta de 6 pessoas consome, em 2 dias, 3 Kg de pão. Quantos quilogramas de pão serão consumidos em 5 dias, estando 2 pessoas ausentes? f) 15 homens, trabalhando 8 h por dia, cavaram um poço de 400 m3 em 10 dias. Quantos homens devem ser acrescentados para que em 15 dias, trabalhando 6 h por dia, cavem os 600 m3 restantes? g) Um operário levou 10 dias de 8 horas para fazer 1.000 m de um tecido. Quantos dias de 6 horas levaria para fazer 2.000 m de outro tecido que apresenta uma dificuldade igual a 3/4 da primeira. h) Se 4/5 de uma obra foram avaliados em R$ 268.400,00. Qual é o valor de 5/11 da mesma obra?
4
Percentagem
Chama-se percentagem à porção de um valor, que se determina sabendo o quanto corresponde a cada 100. Quando dizemos quinze por cento de um valor, queremos dizer que em cada 100 partes desse valor tomamos 15 partes. A expressão quinze por cento, que se representa por 15 %, chama-se taxa de percentagem. Uma fração, pois, expressa com o denominador 100 seria uma percentagem; e o seu numerador é a taxa de percentagem. Assim, na razão
8 a taxa de percentagem é 8. Escreve-se 8 %, e lê-se oito por cento. 100
Exemplo: Calcular 8 % de R$ 1.200,00. Formamos, de acordo com a definição, a seguinte regra de três simples: 10
4 Percentagem
4.1 Exercícios resolvidos
100 8 1.200 x
⇐⇒
8 100 = 1200 x
⇐⇒ x =
1200 × 8 = 96 100
Resposta: R$ 96,00. A percentagem tem aplicação no cálculo de percentagem, comissões, prêmios de seguros, etc.
4.1
Exercícios resolvidos
Exercício 1. Um negociante efetua a compra de R$ 4.800,00 de mercadorias. Paga por intermédio de um banco que lhe cobra 1,75 % de comissão. Quanto terá que desembolsar se tem ainda 0,25 % de corretagem? Temos: i) 100 1,75 4.800 x
⇐⇒
100 1, 75 = 4800 x
⇐⇒ x =
4800 × 1, 75 = 84 100
100 0, 25 4.800 x
⇐⇒
0, 25 100 = 4800 x
⇐⇒ x =
4800 × 0, 25 = 12 100
ii)
Chegamos a seguinte conclusão:
Quantia a pagar Comissão corretagem Total
4.800 84 12 R$ 4.896,00
Exercício 2. Um vendedor ganhou R$ 270,00. Sendo a sua comissão 9 %, pergunta-se por quanto importou a mercadoria vendida? Sobre 100 Sobre x
ganha 9 ganha 270
⇐⇒
100 9 = x 270
Resposta: R$ 3.000,00
11
⇐⇒ x =
100 × 270 = 3000 9
5 Juros Simples
Exercício 3. Comprei um cavalo por R$ 54,00 e o vendi por R$ 63,00. Que percentagem do preço de custo representa o lucro? Lucro:R$ 63,00 - R$ 54,00 = R$ 9,00. Sobre 54 Sobre 100
lucrou 9 lucraria x
⇐⇒
9 54 = 100 x
⇐⇒ x =
100 × 9 2 = 16 % 54 3
2 Resposta: 16 % 3
5
Juros Simples Juro é o valor que se paga por um capital emprestado.
Assim, se uma pessoa empresta a outra a importância de R$ 10,00 e no fim de um ano recebe, além da quantia emprestada, R$ 1,20, como juro desse empréstimo, dizemos que esse R$ 1,20 representa o juro do capital emprestado. Observamos que R$ 1,20 corresponde a 12 % de seu valor em um ano. Deste modo, o juro produzido na unidade de tempo representa uma certa percenatgem do capital, cuja taxa se chama taxa de juro. No problema proposto, temos o capital R$ 10,00, que foi a quantia emprestada; R$ 1,20 o rendimento do capital emprestado, são os juros; a taxa, representada pelos 12%; o tempo durante o qual o capital rendeu juros é 1 ano.
5.1
Fórmulas Temos: C = capital inicial ou principal; j = juro simples; t = tempo de aplicação; i = taxa de juros unitária2 . Podemos escrever: j = t × (Ci)
2
a.a é a abreviatura de ao ano, assim como a.m é a de ao mês etc.
12
5 Juros Simples
5.2 Exercícios resolvidos
j =C ×i×t
Ou
Obs.: É importante observar que essa fórmula só pode ser aplicada se o prazo de aplicação t é expresso na mesma unidade de tempo a que se refere a taxa i considerada.
5.2
Exercícios resolvidos
Exercício 4. Tomou-se emprestada a importância de R$ 1.200,00, pelo prazo de 2 anos, à taxa de 30% ao ano. Qual será o valor do juro a ser pago? C = 1.200 t = 2 anos i = 30% a.a = 0,3 a.a Como: j =C ×i×t Temos: j = 1200 × 0, 3 × 2 = 720 Logo, o juro a ser pago é de R$ 720,00. Exercício 5. Aplicou-se a importância de R$ 3.000,00, pelo prazo de 3 meses, à taxa de 1,2% ao mês. Qual o valor do juro a receber? C = 3.000 t = 3 meses i = 1,2% a.m = 0,012 a.m Como: j = 3000 × 0, 012 × 3 = 108 O juro a receber é de R$ 108,00.
5.3
Montante
O montante ou valor nominal é igual à soma do capital inicial (ou valor atual) com juro relativo ao período de aplicação, isto é:
13
6 Juros compostos
montante = capital inicial + juro ou valor nominal = valor atual + juro Assim, designando o montante por M , temos: M =C+j Lembrando que: j =C ×i×t A fórmula pode ser escrita assim: M =C +C ×i×t Ou, colocando C em evidência: M = C.(1 + i.t)
Exercícios de Fixação a) Calcule o juro a ser pago por um empréstimo de R$ 9.200, à taxa de 5% ao trimestre, durante 3 trimestres. b) Um capital de R$ 56.800,00 foi empregado, à taxa de 0,75% ao mês, durante 2,5 meses. Calcule o juro produzido.
6
Juros compostos
Juro composto é aquele que em cada período, a partir do segundo, é calculado sobre o montante relativo ao período anterior. Assim, no regime de juro composto, o juro produzido no fim de cada período é somado ao capital que o produziu, passando os dois, capital e juro, a render juro no período seguinte.
6.1
Cálculo do Montante
Exemplo: Um capital de R$ 100,00, aplicado a 2% ao mês, tem a seguinte evolução no regime de juros simples:
14
6 Juros compostos
6.2 Exercícios Resolvidos
Ano
Juros
Montante
0
—
100,00
1
100, 00 × 0, 02 × 1 = 2, 00
102,00
2
100, 00 × 0, 02 × 1 = 2, 00
104,00
3
100, 00 × 0, 02 × 1 = 2, 00
106,00
Tomando o exemplo anterior, de acordo com a definição de juros compostos, temos: Ano
Juros
Montante
0
—
100,00
1
100, 00 × 0, 02 × 1 = 2, 00
102,00
2
102, 00 × 0, 02 × 1 = 2, 04
104,04
3
104, 04 × 0, 02 × 1 = 2, 08
106,12
Isso nos permite concluir que o montante no regime de juros compostos é maior que no regime de juros simples (a partir do segundo período). Temos para o enésimo período: Mt = C · (1 + i)t Esta é a fórmula do montante em regime de juros compostos, também chamada fórmula fundamental dos juros compostos, para um número inteiro de períodos. O fator (1 + i)t é denominado fator de capitalização ou fator de acumulação de capital.
6.2
Exercícios Resolvidos
Exercício 6. Calcule o montante de uma aplicação de R$ 8.200,00, por um prazo de 8 meses, no regime de juros compostos, à taxa de 1,5% ao mês. C = R$ 8.200, 00 t = 8 meses i = 1,5% a.m = 0,015 a.m (1 + i)t = (1, 015)8 ≈ 1, 126 Mt = 8200 · (1 + 0, 015)8 = 8200 · 1, 126 = 9.233, 20 Portanto, Mt = R$ 9.233, 20.
15
6 Juros compostos
6.2 Exercícios Resolvidos
Exercício 7. Calcule o montante do capital de R$ 75.000,00 colocando a juros compostos à taxa de 2 43 % ao mês, no fim de 6 meses. C = R$ 75.000, 00 t = 6 meses 3 i = 2 43 % a.m = (2 + )% a.m = 2, 75% a.m = 0,0275 a.m 4 (1 + i)t = (1, 0275)6 ≈ 1, 176 Mt = 75000 · (1 + 0, 0275)6 = 75000 · 1, 176 = 88.200 Portanto, Mt = R$ 88.200, 00. Exercício 8. Uma loja financia um bem de consumo durável, no valor de R$ 3.200,00, sem entrada, para pagamento em uma única prestação de R$ 4.049 no final de 6 meses. Qual a taxa mensal cobrada pela loja? M = R$ 4.049, 00 t C = R$ 3.200, 00 t = 6 meses 4049 = 3200 · (i + 1)6 ⇒ (i + 1)6 = (i + 1) =
√ 6
4049 = 1, 2653125 3200
1, 2653125 ≈ 1, 04 ⇒ i = 1, 04 − 1 = 0, 04
Portanto, i = 0, 04 a.m = 4% a.m.
Exercícios de Fixação a) Qual o montante produzido por R$ 12.000,00, em regime de juros compostos, à taxa de 2% ao mês durante 40 meses? b) Determine em que prazo um empréstimo de R$ 11.000,00 pode ser quitado em um único pagamento de R$ 22.125,00, sabendo que a taxa contratada é de 15% ao semestre em regime de juros compostos.
Editado por Pedro M.Araújo 16
