Transcript
Apostila de Matemática Básica
Assunto:
MATEMÁTICA BÁSICA Coleção Fundamental - volume 4/8
-1-
b) Passando inicialmente os números para a forma retangular, z 3 = 2 cos 30º + j 2 sen 30º = 1,732 + j1,000 z 4 = 5 cos 70º + j 5 sen 70º = 1,710 + j 4,698
z 3 + z 4 = (1,732 + 1,710 ) + j (1,000 + 4,698) = = 3,442 + j 5,698 Temos também que:
(3,442)2 + (5,698)2
z3 + z 4 =
= 6,657
5,698 θ = arc tg = 58,9º 3,442 z3 + z 4 z4
y 6,7
Valores obtidos do gráfico
5 59º
70º 2
z3
30º
0
x
Fig. 1.23
Exemplo 1.18 Resolva a equação
e jθ − 1 = 2
para − π < θ ≤ π e verifique a solução geometricamente3
Solução: Temos que: e jθ − 1 = 2
(*) onde z1 = e = cos θ + j sen θ e z 2 = 1 donde, jθ
-2-
cos θ + j sen θ − 1 = 2 ∴ (cos θ − 1) + j sen θ = 2 ∴
(cos θ − 1)2 + sen 2 θ = 2 (cos θ − 1)2 + sen 2 θ = 2 ∴ cos 2 θ − 2 cos θ + 1 + sen 2 θ = 2 ∴ =1 2 − 2 cos θ = 2 ∴ − 2 cos θ = 0 ∴ θ = 0 cos θ = 0 θ = π rad Substituindo na equação (*), verificamos que somente o valor θ = π rad é compatível. z −z A verificação gráfica é imediata, visto que 1 2 é a distância entre os pontos definidos pelos complexos z1 e z2 . jθ z =1 Sendo z1 = e , temos que 1 , e o lugar geométrico representado por z1 , quando θ varia ao longo do intervalo − π < θ ≤ π , é uma circunferência de raio unitário centrada na origem. Sendo z 2 = 1 , a situação é a representada na figura a seguir:
y
z1 = e jθ z1 − z 2
θ z2 = 1
0
x
1
Fig. 1.24
É fácil verificar que teremos
z1 − z 2 = 2
quando θ assumir o valor π rad .
b) Multiplicação A multiplicação de grandezas na forma retangular é dada por:
-3-
(
)
z1.z 2 = ( x1 + jy1 )( . x2 + jy2 ) = x1 x2 + j 2 y1 y2 + j ( x1 y2 + x2 y1 ) 2 Lembramos que j = −1 segue-se que:
z1.z 2 = ( x1 x2 − y1 y2 ) + j ( x1 y2 + x2 y1 )
(62) Já na forma exponencial,
z1.z 2 = z1 e jθ1 . z 2 e jθ2 = z1 z 2 e j (θ1 +θ2 ) o que nos permite então escrever: z1.z 2 = z1 z 2 e j (θ1 + θ 2 ) = z1 z 2
θ1 + θ 2
(63)
Conclusões: 1.ª) Da equação (63) temos que:
z1.z 2 = z1 . z 2
(64)
e θ z1 . z 2 = θ1 + θ 2
(65)
z = x + jy = z e jθ z * = x − jy = z e − jθ e vale então estabelecer a seguinte equação: 2.ª) Para * jθ − jθ z. z = z e . z e ou seja, z. z * = z
2
(66)
3.ª) Também não é difícil mostrar que
(z1 z 2 )* = z1* z2*
(67)
Exemplo 1.19 Multiplicar os seguintes números complexos:
z1 = 2 + j 3 a) π z3 = 5e j 3 b)
e z 2 = −1 − j 3 − j π6 e z 4 = 2e
-4-
z5 = 2
30°
c)
e
z6 = 5 − 45°
Solução: z1.z 2 = (2 + j 3)(− 1 − j 3) = 7 − j 9 a) π π π z3 .z 4 = 5e j 3 2e − j 6 = 10e j 6 b)
(
z5 .z6 = (2
)(
)
) (5
30°
− 45°
) = 10
−15° c)
Exemplo 1.20
j Passar o número complexo − 2e
5π
6
para as formas polar e cartesiana.
Solução: Este é uma excelente exemplo, pois, lembrando a forma exponencial de um complexo, z = z e jθ , parece que estamos diante de um absurdo, qual seja um numero com módulo negativo. Acontece que aí não existe módulo negativo, mas sim uma “multiplicação implícita”, conforme veremos a seguir: 5π
− 2e j 6 = −2 = (1 180º
= −2 150 º = (− 1)(2 ) 150 º )(2 150º ) = 2 330º = 2 − 30º 1424 3 5π
6
não é usual pois devemos ter −180 º < θ ≤180 º
que é a forma polar. A forma cartesiana é facilmente obtida à partir da forma polar, ou seja: z = 2 − 30º = 2 cos(− 30º ) + j 2 sen (− 30º ) = = 1,732 − j1,000 Observação: As calculadoras eletrônicas estão em um estágio de desenvolvimento tão elevado que, aquelas que tem as rotinas RET → POL e POL → RET, assimilariam a transformação − 2 150 º diretamente para a forma cartesiana, pois, quando se entra com z = −2 , o software da calculadora entende que isto não é simplesmente módulo, e que existe uma multiplicação implícita. Está duvidando? Pois então pegue uma e execute a operação!
-5-
a) Divisão z1 z 2 , é definida como z1 = z 2 .z3 se z 2 ≠ 0 . A divisão de duas grandezas complexas, Em coordenadas retangulares temos: z3 =
z1 x1 + jy1 x1 + jy1 x2 − jy2 = = z 2 x2 + jy2 x2 + jy2 x2 − jy2 onde o processo de racionalização foi efetuado utilizando-se o complexo conjugado do denominador. Finalmente,
z1 x1 x2 + y1 y2 x2 y1 − x1 y2 + j = z 2 x22 + y22 x22 + y22 e na forma exponencial,
(68)
z e jθ1 z z1 = 1 jθ2 = 1 e j (θ1 −θ2 ) z2 z2 e z2 o que nos conduz a
z1 z1 j (θ1 −θ2 ) z1 = e = z2 z2 z2
θ1 − θ 2 (69)
Conclusões: 1ª) Da equação (69) concluímos que:
z z1 = 1 z2 z2
(70)
e
θ z1
= θ1 − θ 2 z2
.
(71)
2ª) Não é difícil mostrar que *
z1 z* = 1* z2 z2 , sendo z 2 ≠ 0
(72)
-6-
3ª) Fica então evidente que a multiplicação e a divisão de grandezas complexas são mais facilmente efetuadas na forma polar, a menos que, conforme já dito anteriormente, se tenha uma calculadora eletrônica mais sofisticada. jπ
2 4ª) É importante notar que multiplicar uma grandeza complexa por j = e = 1 90° não altera o seu módulo, mas soma 90º ao seu ângulo de fase. Raciocinando em termos da representação por meio de segmento orientado no plano complexo, a multiplicação por j gira o segmento orientado de 90º no sentido anti-horário. De modo análogo, a multiplicação − jπ 2 − j = e = 1 − 90° também não altera o módulo da grandeza mas, neste caso, há por
uma subtração de 90º na fase, ou seja, o segmento orientado é agora girado de 90º no sentido horário. jα , não 5ª) Similarmente, se multiplicarmos um número complexo por e = 1 α alteramos o seu módulo; apenas acrescentamos α ao seu ângulo de fase ou, em outras palavras: giramos o segmento orientado que representa o complexo de um ângulo α no − jα sentido anti-horário. Se a multiplicação for por e = 1 − α o giro será no sentido horário. 6ª) Das propriedades e definições vistas até então resultam as leis comutativa, associativa e distributiva usuais: z1 z 2 = z 2 z1 (73)
z1 + z 2 = z 2 + z1
(74) z1.( z 2 .z3 ) = ( z1.z 2 ).z3 (75)
z1 + ( z 2 + z3 ) = ( z1 + z 2 ) + z3 z1.( z 2 + z3 ) = z1.z 2 + z1.z3
(76) (77)
(z1 + z2 ).z3 = z1.z3 + z2 .z3
(78)
Exemplo 1.21 Dividir os seguintes números complexos:
z1 = 4 − j 5 a) z 3 = 4e z5 = 8
jπ 3
e z 2 = 1 + j2
e z 4 = 2e
b) − 30º c)
e
jπ 6
z6 = 2
− 60º
Solução: z1 4 − j 5 4 − j 5 1 − j 2 − 6 − j13 6 13 = = = =− − j z2 1 + j 2 1 + j 2 1 − j 2 5 5 5 a)
-7-
jπ
jπ z 3 4e 3 = j π = 2e 6 z 4 2e 6 b) z5 8 − 30º a) z = 2 − 60º = 4 6
30°
Exemplo 1.22 Determinar o resultado da expressão
z=
(500)(2000 − 30º ) + (250 500 + 2000 − 30º
30º )(1000) 250 30º + 1000
Solução: Temos então: 1 000 000 − 30º 250 000 30º + = 500 + 1 732 − j1 000 216,5 + j125 + 1 000 1 000 000 − 30º 250 000 30º = + = 2 232 − j1 000 1 216,5 + j125 1 000 000 − 30º 250 000 30º = + = 2 445,8 − 24,1º 1 222,9 5,9º = 408,9 − 5,9º + 204,4 24,1º = = 406,7 − j 42 + 186,6 + j83,5 = = 593,3 + j 41,5 = 594,8 4º z=
e) Potenciação Consideremos, inicialmente, um número complexo genérico
z = z e jθ = z (cos θ + j sen θ) Procedamos agora a potenciação deste número, ou seja, zn . Temos então:
[
]
z n = z e jθ = [ z (cos θ + j sen θ)] Assim sendo vem que: n
n
-8-
z n = z e jnθ = z (cos θ + j sen θ ) porém, da identidade de Euler, n
n
n
e jnθ = cos nθ + j sen nθ o que nos permite escrever z n = z e jnθ = z (cos nθ + j sen nθ ) = z (cos θ + j sen θ ) 14444444 4244444444 3 n
n
n
n
(* )
(79)
Daí concluímos que se
z = z e jθ = z θ = z (cos θ + j sen θ) podemos exprimir a potência nas seguintes formas: z n = z e jnθ n
z =z n
(80)
nθ
n
(81) z = z (cos nθ + j sen nθ) n
n
(82), também conhecida como 1.ª fórmula de De Moivre. Considerando a parte assinalada com asterisco na equação (79), concluímos também que:
(cos θ + j sen θ)n
= cos nθ + j sen nθ
(83), que é reconhecida como sendo a identidade de
De Moivre.
Exemplo 1.23 Calcular (
3+ j
)
7
utilizando (a) a forma exponencial e (b) a 1.ª fórmula de De Moivre.
Solução: a) Temos que:
( )
2 3 +1 = 2 z = 1 π = 30º = rad θ = arc tg 6 3 Logo,
(
)
j
π 6
3 + j = 2e . Assim sendo,
-9-
(
)
j π6 3+ j =2 = 2 e e = π π = 128(cos π + j sen π ) cos + j sen = 6 6 7j
7
7π 6
(
7
jπ
)
(
3 1 = −128 + j = −64 3 + j 2 2 z =2 π θ = 6 rad b)
(
3+ j
)
7
)
7π 7π 5π 5π = 2 7 cos + j sen = 128cos 2π − + j sen 2π − = 6 6 6 6
5π 3 1 5π = 128cos − + j sen − = 128 − − j = 2 6 6 2
(
= −64 3 + j
)
Exemplo 1.24 Calcular
(
2+ j 2
)
10
utilizando (a) a forma exponencial e (b) a 1.ª fórmula de De Moivre.
Solução: a) Temos que:
( ) ( )
2 2 2 + 2 =2 z = π θ = arc tg 1 = 45º = rad 4 Logo,
j
π 4
2 + j 2 = 2e Assim sendo,
(
2+ j 2
)
10
=2 e 10
j
10 π 4
=2 e 10
j
5π 2
(
= 2 e 10
j 2π
j π2 e =
)
π π = 1024(cos 2π + j sen 2π )cos + j sen = 2 2 = 1024 j
- 10 -
z =2 π θ = 4 rad b)
(
2+ j 2
)
10
10π 10π = 210 cos + j sen = 4 4
2π 2π = 1024 cos 2π + + j sen 2π + = 4 4 π π = 1024 cos + j sen = 1024 j 2 2
Exemplo 1.25 j100(1 − j 2 ) (− 3 + j 4 )(− 1 − j ) tanto na forma polar quanto na 2
z= Determinar o resultado da expressão retangular.
Solução: Inicialmente vamos passar cada um dos fatores para a forma polar:
(100 90° )( 5 − 63,4° ) = (100 90° )(5 − 126,8° ) = z= (5 126,9° )( 2 − 135° ) (5 126,9° )( 2 − 135° ) 2
= 70,9 − 28,7° = 62 − j34
Solução Alternativa: Vamos manter os fatores na forma retangular e racionalizar a fração resultante:
[
]
j100 (1) − 2(1)( j 2 ) + ( j 2 ) = [(− 3)(− 1) + (− 3)(− j ) + ( j 4)(− 1) + ( j 4)(− j )] j100[1 − j 4 − 4] j100[− 3 − j 4] = = = [3 + j3 − j 4 + 4] 7− j z=
= =
2
100[4 − j 3] 100(4 − j 3) 7 + = 7− j 7 − j 7 + 100(31 − j17 ) = 62 − j 34 49 + 1
2
j = j
e) Radiciação:
- 11 -
Diz-se que um número w é a raiz n-ésima de um número complexo z se
w=n z = z n que é equivalente a 1
wn = z .
Para determinar as n raízes distintas do número z vamos considerá-lo em sua forma trigonométrica
z = z (cos θ + j sen θ) e representemos, também em forma trigonométrica, a raiz que desejamos encontrar: w = w (cos ϕ + j sen ϕ)
.
Utilizando a 1.ª fórmula de De Moivre, a equação z = n assume a seguinte forma: n w (cos nϕ + j sen nϕ) = z (cos θ + j sen θ ) . Uma vez que a igualdade dos números complexos requer a igualdade das partes reais e das partes imaginárias, separadamente, devemos ter: n
w cos nϕ = z cos θ e n
w sen nϕ = z sen θ Tais equações, por sua vez, são equivalentes a n
w = z e n
(k = 0, 1, 2,K, n − 1)
nϕ = θ + 2kπ ou seja, w =n z
θ + 2kπ
(k = 0, 1, 2,K, n − 1) n Seque-se então a expressão conhecida como 2ª fórmula de De Moivre:
ϕ= e
θ + 2 kπ n
j θ + 2kπ θ + 2kπ n w = z = z cos + j sen = z e n n sendo k = 0, 1, 2, ..., n – 1. n
n
=n z
Que também pode ser expressa para o argumento em graus,
- 12 -
θ + 2kπ n
(84a)
θº + k 360º θº + k 360º n θ° + k 360° w = n z = n z cos = z + j sen n n (84b) n sendo k=0, 1, 2, ..., n – 1. w , w , w , K , wn −1 , Esta fórmula produz n raízes distintas 0 1 2 todas com o mesmo módulo e com argumentos θ + 2kπ θ0 + k 360º ϕk = = n n , k = 0, 1, 2, ..., n – 1, n
que estão situadas sobre a circunferência centrada na origem e com raio vértices de um polígono regular de n lados, conforme ilustrado a seguir:
z
y
w2
w1
w3
ϕ
ϕ
0
w0 ϕ ϕ
θn x
ϕ wn −1
wn − 2
ϕ=
2π 360º = n n
Fig. 1.25
Casos particulares: 1º) Raízes da unidade: Quando z = 1, o ângulo θ assume o valor zero e a fórmula (84) reduz-se a :
- 13 -
, sendo os
2kπ 2kπ w = cos + j sen =e n n
2kπ j n
=1
2kπ n
=1
k 360º n
(85)
sendo k= 0, 1, 2... n-1 Considerando 2π
j 2π 2π Ω = cos + j sen =e n, n n e utilizando a identidade de De Moivre, vemos que as n-ésimas raízes da unidade são dadas por:
1, Ω, Ω 2 , K , Ω n −1 A figura 1.26 ilustra as raízes no caso n = 6, onde 2π 2π π π + j sen = cos + j sen = 0,5 + j 0 ,866 = e jπ 3 6 6 3 3 2 j 2π 3 * Ω =e = −0,5 + j 0 ,866 = Ω Ω = cos
Ω 3 = e jπ = −1 Ω4 = e
j
4π 3
Ω5 = e
j
5π 3
= −0,5 − j 0 ,866 = −Ω = 0,5 − j 0 ,866 = Ω ∗
- 14 -
y
Ω2
Ω
Ω3 0
x
1
Ω4
Ω5
Fig. 1.26
2º) Raízes quadradas:
z=
w0 =
jθ2
z e
w1 =
z e
=
θ
z
j (π + θ 2 )
=
z
=3 z
θ
=
2
z
π + θ2 =
θº
2
180° + θº 2
z
(86)
3º) Raízes cúbicas:
w0 = 3 z e 3
z=
w1 =
3
ze
w2 = 3 z e
jθ 3
j ( θ+ 2 π ) 3 j ( θ+ 4 π ) 3
=
=3 z
3
z
(θ+2π )
=3 z
(θ+4π )
3
- 15 -
θº
3
3
=
z
(θ°+360°)
3
=3 z
(θ°+720° )
3
3 3
(87)
Exemplo 1.26 Determine os valores das seguintes raízes:
a)
j;
b)
3
−8 j ;
8 c) 1
d)
(
1 1+ j 3 2
)
e represente-as no plano complexo.
Solução: j a) z= j=e
jπ 2
z =1 ⇒ e θ = π = 90º 2
Temos que Pela expressão (86): w0 = 1 45° = 1 45°
= cos 45º + j sen 45º = 0,707 + j 0,707 w1 = 1 180° + 45° = 1 225° = 1 −135 ° = cos(− 135º ) + j sen (135º ) = −0,707 − j 0,707 y
w0
0,707
1 − 0,707
45º 0
w1
−135º
x
0,707
− 0,707
Fig. 1.27 3
− 8 j b)
- 16 -
Temos que z = −8 j = 8 e
− jπ 2
z =8 ⇒ e θ = − π = −90º 2
Pela expressão (87), w0 = 3 8 − 30° = 2[cos(− 30°) + j sen (− 30°)] = 2(0,866 − j 0,5) = 1,732 − j
(− 90° + 360°) / 3 = 2 90° = 2(cos 90º + j sen 90°) = 2 j w2 = 3 8 (− 90° + 720°) / 3 = 2 210° = 2 −150° = 2[cos(− 150°) + j sen (− 150°)] = 2(− 0,866 − j 0,5) = −1,732 − j w1 = 3 8
y
2 w1
− 1,732
1,732
0 − 30º − 150º
w2
−1
x
2
w0
Fig. 1.28 8
1 c) :
Temos que z = 1 e, pela expressão (85), com n = 8, w = 1 sendo k = 0, 1, 2, ... , 7 no presente caso. Assim sendo, w0 = 1 0° w1 = 1 45° w2 = 1 90° w3 = 1 135 °
w4 w5 w6 w7
=1 =1 =1 =1
180 ° 255° 270° 315°
k 360° = 8 = 1 k 45°
= cos 0º + j sen 0º = 1 = cos 45º + j sen 45º = 0,707 + j 0,707 = cos 90º + j sen 90º = j = cos 135º + j sen 135º = −0,707 + j 0,707 = cos180º + j sen 180º = −1 = 1 −135° = cos(− 135º ) + j sen (− 135º ) = −0,707 − j 0,707 = 1 − 90° = cos(− 90º ) + j sen (− 90º ) = − j = 1 − 45° = cos(− 45º ) + j sen (− 45º ) = 0,707 − j 0,707
- 17 -
y 1 w2 0,707
w3
w1 1 45º
− 0,707
w4 −1
− 0,707
w5
0,707
− 45º
0
w0
1
x
w7
− 1 w6
Fig. 1.29
(
)
1 1+ j 3 2 d)
:
1 3 ( 1 )2 +j ⇒ z = 2 + 2 2 θ = π 3 = 60º Temos que Pela expressão (86), z=
w0 = 1 30°
( ) 3 2
2
= 1 =1
= cos 30º + j sen 30º = 0,866 + j 0,5
w1 = 1 180° + 30° = 1 210° = 1
−150° = cos(− 150º ) + j sen(− 150º ) = −0,866 − j 0,5
- 18 -
y
w0
0,5
− 0,866
30º
0
− 150º w1
x
0,866
− 0,5
Fig. 1.30
Exemplo 1.27 4 Determinar o conjunto-solução em C da equação w + 4 = 0 .
Solução: Temos:
w 4 + 4 = 0 ⇔ w 4 = −4 ⇔ w = 4 − 4 isto significa que devemos calcular as raízes quartas de z = – 4. Temos então: z = 4 z = −4 = 4e jπ ⇒ θ = π = 180º 180º + k 360º 180º + k 360º w = 4 z cos + j sen 4 4 , Utilizando a expressão (84), com n = 4, sendo k = 0, 1, 2, 3 no presente caso. Assim sendo, 2 2 = 1+ j = 2 [cos 45º + j sen 45º ] = 2 +j 2 2 w0 = 2 45° 2 2 = −1 + j = 2 [cos135º + j sen135º ] = 2 − +j 2 2 135 ° w1 = 2
- 19 -
w2 = 2
255° = 2
−135° =
2 2 = −1 − j = 2 [cos(− 135º ) + j sen (− 135º )] = 2 − −j 2 2 2 2 =1− j = 2 [cos(− 45º ) + j sen (− 45º )] = 2 −j 2 2 w3 = 2 315° = 2 − 45° Logo o conjunto solução é: S = {1 + j, − 1 + j , − 1 − j , 1 − j}
1.13.5 A Desigualdade do Triângulo Em alguns trabalhos sobre números complexos, este é um item que aparece logo no começo, visto que, no mais das vezes, é apresentada uma demonstração para ela baseada puramente em uma propriedade geométrica dos triângulos. Nesta oportunidade, vamos também apresentar uma demonstração analítica , pelo que optamos por aguardar um maior amadurecimento do estudante com relação aos vários conceitos básicos. Vamos então considerar dois pontos do plano complexo associados aos números z1 e z 2 , conforme apresentado na figura 1.20. Temos então: z1 + z 2 ≤ z1 + z 2 (88) A demonstração geométrica segue o fato de que os pontos 0, z1 , e z1 + z 2 são os vértices de z , z 2 e z1 + z 2 um triângulo de lados 1 , e um lado não pode exceder a soma dos outros dois. É também interessante notar que a desigualdade se torna uma igualdade quando os pontos 0, z1 , e z 2 são colineares. Para demonstrar a desigualdade algebricamente vamos escrever, baseados nas expressões que envolvem complexos conjugados, que
(
)
(
)
z1 + z 2 = ( z1 + z 2 )( z1 + z 2 ) = ( z1 + z 2 ) z 1* + z *2 = z1 z1* + z1 z 2* + z 2 z1* + z 2 z 2* porém 2
*
( )
z 2 z1* = z1* z 2 = z1 z 2*
*
- 20 -
