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Inclusão para a vida
AULA 01 ARITMÉTICA BÁSICA 1. Múltiplo de um número Sendo a, b e c números naturais e a . b = c, diz-se que c é múltiplo de a e b. Exemplo: Múltiplos de 3 M(3) = {0, 3, 6, 9, ....} Observações: • • • •
O zero é múltiplo de todos os números. Todo número é múltiplo de si mesmo. Os números da forma 2k, k ∈ N, são números múltiplos de 2 e esses são chamados números pares. Os números da forma 2k + 1, k ∈ N, são números ímpares.
2. Divisor de um número
Matemática A 3.5. DIVISIBILIDADE POR 6 Um número é divisível por 6 se for simultaneamente divisível por 2 e 3. Exemplos: 24, 288, 8460.
3.7. DIVISIBILIDADE POR 8 Um número é divisível por 8 se os três últimos algarismos forem divisíveis por 8 ou forem três zeros Exemplos: 15320, 67000.
3.8.DIVISIBILIDADE POR 9 Um número é divisível por 9 quando a soma dos seus algarismos for um número divisível por 9. Exemplos: 8316, 35289.
3.9. DIVISIBILIDADE POR 10 Um número é divisível por 10 se o último algarismo for zero. Exemplos: 5480, 1200, 345160.
4. Números Primos
Sendo a, b e c números naturais e a . b = c, diz-se que a e b são divisores c.
Um número p, p ≠ 0 e p ≠ 1, é denominado número primo se apresentar apenas dois divisores, 1 e p.
Exemplo: Divisores de 12 – D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
Exemplos: 2, 3, 5, 7, 11, 13,.....
Observações: • •
O menor divisor de um número é 1. O maior divisor de um número é ele próprio.
2.1. Quantidade de divisores de um número
Observação: Um número é denominado composto se não for primo.
5. Mínimo Múltiplo Comum
Para determinar a quantidade de divisores de um número procede-se assim:
Denomina-se menor ou mínimo múltiplo comum (M.M.C) de dois ou mais números o número p diferente de zero, tal que p seja o menor número divisível pelos números em questão.
a) b)
Exemplo: Determinar o M.M.C entre 6 e 8.
c)
Decompõem-se em fatores primos o número dado; Toma-se os expoentes de cada um dos fatores e a cada um desses expoentes adiciona-se uma unidade. Multiplica-se os resultados assim obtidos.
Processo 1: M(6) = {6, 12, 18, 24, 30, 36, ....} M(8) = {8, 16, 24, 32, 40, 48, ...}
Exemplo: Determinar o número de divisores de 90 Logo o M.M.C. entre 6 e 8 é 24
90 = 21 . 32 . 51 (1 + 1).(2+1).(1 +1) = 2.3.2 = 12 Logo 90 possui 12 divisores
3. Critérios de divisibilidade 3.1. DIVISIBILIDADE POR 2 Um número é divisível por 2 se for par. Exemplos: 28, 402, 5128.
Processo 2:
6–8 3–4 3–2 3–1 1–1
2 2 2 3
Logo o M.M.C. entre 6 e 8 é 23.3 = 24
3.2. DIVISIBILIDADE POR 3
6. Máximo Divisor Comum
Um número é divisível por 3 se a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 3. Exemplos: 18, 243, 3126.
Denomina-se máximo divisor comum (M.D.C) de dois ou mais números o maior dos seus divisores comuns.
3.3. DIVISIBILIDADE POR 4 Um número é divisível por 4 se os dois últimos algarismos forem divisíveis por 4 ou quando o número terminar em 00. Exemplos: 5716, 8700, 198200.
3.4. DIVISIBILIDADE POR 5 Um número é divisível por 5 se o último algarismo for 0 ou 5. Exemplos: 235, 4670, 87210.
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Exemplo: Determinar o M.D.C. entre 36 e 42 Processo 1: D(36) = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} D(42) = {1, 2, 3, 6, 7, 21, 42} Logo o M.D.C. entre 36 e 42 é 6. Processo 2: 36 = 22.32
e
42 = 2.3.7
Os fatores comuns entre 36 e 42 são 2.3 Logo o M.D.C. entre 36 e 42 é 6.
1
Matemática A Exercícios de Sala
Inclusão para a Vida
90 cm serão cortadas em pedaços iguais, obtendo assim tábuas do maior tamanho possível. Então cada tábua medirá:
01) ( UFSC ) Um país lançou em 02/05/2000 os satélites artificiais A, B e C com as tarefas de fiscalizar o desmatamento em áreas de preservação, as nascentes dos rios e a pesca predatória no Oceano Atlântico. No dia 03/05/2000 podia-se observá-los alinhados, cada um em uma órbita circular diferente, tendo a Terra como centro. Se os satélites A, B e C levam, respectivamente, 6, 10 e 9 dias para darem uma volta completa em torno da Terra, então o número de dias para o próximo alinhamento é: 02) Sejam x e y o m.d.c e o m.m.c de 12 e 20, respectivamente. O valor de x. y é: a) 240 d) 340
b) 120 e) 230
c) 100
03) O número de divisores naturais de 72 é: a) 10 d) 13
b) 11 e) 14
Tarefa Mínima
c) 12
02) Sejam x e y o m.d.c e o m.m.c de 20 e 36, respectivamente. O valor de x. y é: a) 240 d) 340
A = 23.32. 5
b) 720 e) 230
c) 120
c) 8 cm
B = 22 . 3 . 52
Então o M.M.C e o M.D.C entre A e B valem respectivamente: a) 180 e 60 c) 1800 e 600 e) n.d.a.
b) 180 e 600 d) 1800 e 60
09) ( Santa Casa-SP ) Seja o número 717171x, onde x indica o algarismo das unidades. Sabendo que esse número é divisível por 4, então o valor máximo que x pode assumir é: b) 2 e) 8
c) 4
10) ( PUC-SP ) Qual dos números abaixo é primo? a) 121 d) 201
M.M.C entre A e B M.D.C entre B e C M.M.C entre A, B e C M.D.C entre A, B e C
b) 6 cm e) 4 cm
08) Sejam os números
a) 0 d) 6
01) Considere os números A = 24, B = 60; C = 48. Determine: a) b) c) d)
a) 10 cm d) 12 cm
b) 401 c) n.d.a.
c) 362
11) ( PUC-SP ) Um lojista dispõe de três peças de um mesmo tecido, cujos comprimentos são 48m, 60m e 80m. Nas três peças o tecido tem a mesma largura. Deseja vender o tecido em retalhos iguais, cada um tendo a largura das peças e o maior comprimento possível, de modo a utilizar todo o tecido das peças. Quantos retalhos ele deverá obter?
03) Determine o número de divisores naturais dos números a) 80
12) ( UEL-PR ) Seja p um número primo maior que 2. É verdade que o número p2 – 1 é divisível por:
b) 120
04) Um ciclista dá uma volta em uma pista de corrida em 16 segundos e outro ciclista em 20 segundos. Se os dois ciclistas partirem juntos, após quanto tempo irão se encontrar de novo no ponto de partida, levando em consideração ambas as velocidades constantes? 05) Três vizinhos têm por medidas de frente: 180m, 252m e 324m, respectivamente, e mesmas medidas para os fundos. Queremos dividi-los em faixas que tenham medidas iguais de frente e cujo tamanho seja o maior possível. Então cada faixa medirá na frente: a) 12 m d) 30 m
b) 18 m e) 36 m
a) 3 d) 6
b) 4 e) 7
c) 5
13) Sejam A e B o máximo divisor comum (M.D.C) e o mínimo múltiplo comum de 360 e 300, respectivamente. O produto A.B é dado por: 2x.3y.5z, então x + y + z vale: 14) (Fuvest-SP) O menor número natural n, diferente de zero, que torna o produto de 3 888 por n um cubo perfeito é:
c) 24 m a) 6 d) 18
Tarefa Complementar
06) Um alarme soa a cada 10 horas, um segundo alarme a cada 8 horas, um terceiro a cada 9 horas e um quarto a cada 5 horas. Soando em determinado instante os quatro alarmes, depois de quanto tempo voltarão a soar juntos?
b) 12 e) 24
c) 15
15) ( ACAFE ) Um carpinteiro quer dividir, em partes iguais, três vigas, cujos comprimentos são, respectivamente, 3m, 42dm, 0,0054 km, devendo a medida de cada um dos pedaços ser a maior possível. O total de pedaços obtidos com as três vigas é: a) 18 d) 180
b) 21 e) 20
c) 210
a) 240 horas b) 120 horas c) 32 horas d) 360 horas e) 320 horas 07) Três tábuas medindo respectivamente 24cm, 84cm e
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Inclusão para a vida AULA 02 CONJUNTOS NUMÉRICOS
Matemática A a) Dízima Periódica Simples: é um número fracionário cujo numerador é o algarismo que representa a parte periódica e o denominador é um número formado por tantos noves quantos forem os algarismos do período. Exemplos:
1. Conjuntos Numéricos 1.1. Conjunto dos Números Naturais N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... } Um subconjunto importante dos naturais (N) é o conjunto N* ( naturais sem o zero ) N* = { 1, 2, 3, 4, 5, ... }
∀ a, b ∈ N, (a + b) ∈ N e (a . b) ∈ N
7 9 3 1 b) 0,333....= = 9 3 43 c) 0,434343... = 99 a) 0777...=
Os números inteiros surgiram com a necessidade de calcular a diferença entre dois números naturais, em que o primeiro fosse menor que o segundo.
b) Dízima Periódica Composta: é um número fracionário cujo numerador é a diferença entre a parte não periódica seguida de um período e a parte não periódica, e cujo o denominador é um número formado de tantos noves quantos são os algarismos do período, seguido de tantos zeros quantos são os algarismos da parte não periódica.
Z = { ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }
Exemplos:
1.2. Conjunto dos Números Inteiros
Podemos citar alguns subconjuntos dos inteiros a) 0,3777... = Z* = inteiros não nulos... { ... -3, -2, -1, 1, 2, 3, ... } Z+ = inteiros não negativos... { 0, 1, 2, 3, ... } Z*+ = inteiros positivos... { 1, 2, 3, 4, ... } Z −_ = inteiros não positivos... { ..., -3, -2, -1, 0} Z*_ = inteiros negativos... { ... -3, -2, -1 }
∀ a, b ∈ Z, (a + b) ∈ Z, (a . b) ∈ Z e (a – b) ∈ Z
1.3. Conjunto dos Números Racionais Os números Racionais surgiram com a necessidade de dividir dois números inteiros, onde o resultado era um número não inteiro.
a Q = { x | x = , com a ∈ Z, b ∈ Z* } b
37 − 3 34 17 = = 90 90 45
b) 0,32515151... =
3251 − 32 3219 1073 = = 9900 9900 3300
1.4. Conjunto dos Números Irracionais Apesar de que entre dois números racionais existir sempre um outro racional, isso não significa que os racionais preencham toda reta. Veja o seguinte exemplo. Dado o triângulo retângulo abaixo de catetos 1 e 1. Calcular o valor da hipotenusa.
x 1 1
Ou seja, todo número que pode ser colocado em forma de fração é um número racional. São exemplos de números racionais: a) Naturais b) Inteiros c) decimais exatos ( 0,2 =
2
x=
10
1
2
Extraindo a raiz de 2, teremos um número que não é natural,
)
d) dízimas periódicas ( 0,333... =
Aplicando o teorema de Pitágoras temos: x2 = 12 + 12
)
3
As quatro operações são definidas nos racionais. Com a ressalva que a divisão por zero é impossível (exceto quando o numerador for zero também).
inteiro, nem racional, surge então os números irracionais. Os números irracionais são aqueles que não podem ser colocados em forma de fração, como por exemplo: a) π = 3,14... b) e = 2, 71... c) toda raiz não exata
Geratrizes de uma dízima periódica
1.5. Conjunto dos Números Reais
Toda fração que dá origem a uma dízima periódica chama-se GERATRIZ. Para determinarmos a GERATRIZ de uma dízima periódica, procede-se assim:
Os números reais surgem da união dos números racionais com os irracionais.
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Matemática A
Inclusão para a Vida
QUADRO DE RESUMO
ℜ Q
I
Veja outros exemplos: 1) {x ∈ R| x > 2} = ]2, ∞[
Z N
2) {x ∈ R| x ≤ 1} = ] -∞, 1] Por enquanto, nosso conjunto universo será o campo dos reais. Porém, é necessário saber, que existem números que não são reais, estes são chamados de complexos e serão estudados mais detalhadamente adiante.
PROPRIEDADES EM ℜ • • • • •
Comutativa: a + b = b + a e a . b = b . a Associativa: (a + b) + c = a + (b + c) e (a.b).c = a.(b.c) Elemento neutro: a + 0 = a e a . 1 = a Simétrico: a + (– a) = 0 Inverso: a .
1
2. Módulo de um número real
= 1, a ≠ 0
a
Módulo ou valor absoluto, de um número real x é a distância da origem ao ponto que representa o número x. Indicamos o módulo de x por | x |.
INTERVALOS NUMÉRICOS E MÓDULO DE UM NÚMERO REAL 1. Intervalos Numéricos Chamamos intervalo qualquer subconjunto contínuo de ℜ. Serão caracterizados por desigualdades, conforme veremos a seguir: • • • • • • • •
3) {x ∈ R| 3 ≤ x < 4} = [3, 4[
{x ∈ R| p ≤ x ≤ q} = [p, q] {x ∈ R| p < x < q} = ]p, q[ {x ∈ R| p ≤ x < q} = [p, q[ {x ∈ R| p < x ≤ q} = ]p, q] {x ∈ R| x ≥ q} = [q, ∞[ {x ∈ R| x > q} = ]q, ∞[ {x ∈ R| x ≤ q} = ] -∞, q] {x ∈ R| x < q} = ] -∞, q[
2.1. Definição
x, se x ≥ 0 x = - x, se x < 0 Exemplos: a)
como 3 > 0, então | 3 | = 3
b)
como – 3 < 0, então |–3| = –(–3) = 3
2.2. Propriedades • •
Os números reais p e q são denominados, respectivamente, extremo inferior e extremo superior do intervalo.
• O intervalo [x, x] representa um conjunto unitário {x} • O intervalo ]x, x[ representa um conjunto vazio { } • O intervalo ( −∞ , + ∞ ) representa o conjunto dos números •
reais (R) (x, y) = ]x, y[
Pode-se representar um intervalo real de 3 maneiras: Notação de conjunto. Exemplo: {x ∈ R| 2 < x ≤ 3} Notação de intervalo. Exemplo: ]2, 3] Representação Gráfica. Exemplo:
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•
x 2 =| x |
• •
|x – y| = |y – x| |x . y| = | x |. | y |
•
Observações
|x|≥0 | x |2 = x2
x x = y y
2.3. Equação Modular Equação Modular é a equação que possui a incógnita x em módulo. Tipos de equações modulares:
•
| x | = k, com k > 0, então: x = k ou x = − k
Exemplo 1: | x | = 3 x = 3 ou x = -3 S = {-3, 3} Exemplo 2: Resolva a equação |x + 2|= 6 x+2=6 ou x + 2= - 6 x=4 ou x=-8 S = {-8, 4}
4
Inclusão para a vida •
| x | = k, com k = 0, então: x = 0
•
| x | = k, com k < 0, então: não há solução
Matemática A Tarefa Mínima
01) Enumere os elementos dos conjuntos a seguir: a) b) c) d) e) f)
Exemplo 1: | x | = - 3 S=∅ Exemplo 2: |x + 2| = -10 S=∅
02) As geratrizes das dízimas: 0,232323... e 0,2171717... são respectivamente:
2.4. Inequação Modular Sendo k > 0, as expressões do tipo | x | < k, | x | ≤ k, | x | > k, | x | ≥ k denominam-se inequações modulares. Tipos de inequações modulares:
•
| x | < k, com k > 0, então: − k < x < k
Exemplos: | x | < 3 → – 3 < x < 3 | x | < 10 → – 10 < x < 10
•
| x | > k, com k > 0, então: x <− k ou x > k
Exemplos: | x | > 3 → x < – 3 ou x > 3 | x | > 10 → x < –10 ou x > 10
Exercícios de Sala
{x ∈ N| x é divisor de 12} {x ∈ N| x é múltiplo de 3} {x ∈ N| 2 < x ≤ 7} {x ∈ Z| - 1 ≤ x < 3} {x| x = 2k, k ∈ N} {x| x = 2k + 1, k ∈ N}
a)
1 1 d) e 3 10
b)
20 43 e 99 99
e)
2 1 e 10 5
c)
2
04) Resolva em ℜ as seguintes equações: a) |x| = 10
b) |x + 1| = 7
c) |x – 2| = -3
d) |x |2 + 3 |x| - 4 = 0 é:
05) A solução da inequação a) b) c) d) e)
(2 x − 1) ≤ 5
4 3
2
{x ∈ ℜ| – 2 ≤ x ≤ 3} {x ∈ ℜ| – 1 ≤ x ≤ 6} {x ∈ ℜ| x ≤ 3} {x ∈ ℜ| x ≤ 7} {x ∈ ℜ| – 3 ≤ x ≤ 2}
Tarefa Complementar b) 2 − 3 : 1 + 5
23 43 e 99 198
03) ( ACAFE ) O valor da expressão , a.b − c quando c −1 a = 0,333...; b = 0,5 e c = - 2 é igual a:
01) Calcule o valor das expressões abaixo: a) 3 − 1 2 + 1 4 8 5 3
23 23 e 100 99
06) ( FATEC-SP ) Se a = 0,666..., b = 1,333... e c = 0,1414..., então a.b-1 + c é igual a:
02) ( PUC-SP ) Considere as seguintes equações: 2
I. x + 4 = 0 II. x2 – 4 = 0 III. 0,3x = 0,1 Sobre as soluções dessas equações é verdade afirmar que: a) II são números irracionais b) III é um número irracional c) I e II são números reais d) I e III são números não reais e) II e III são números racionais
07) ( FGV-SP ) Quaisquer que sejam o racional x e o irracional y, pode-se dizer que: a) x.y é racional b) y.y é irracional c) x + y racional d) x - y + 2 é irracional e) x + 2y é irracional 08) ( FUVEST ) Na figura estão representados geometricamente os números reais 0, x, y e 1. Qual a posição do número xy?
03) Resolva em ℜ as seguintes equações: a) | x | = 3
b) |2x – 1| = 7
c) |x2 –5x | = 6
d) |x + 2| = –3
a) à esquerda de 0 c) entre x e y e) à direita de 1
b) entre zero e x d) entre y e 1
e) |x|2 – 5|x| + 4 = 0
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Matemática A
Inclusão para a Vida
09) Determine a soma dos números associados às proposições VERDADEIRAS: 01. É possível encontrar dois números naturais, ambos divisíveis por 7 e tais que a divisão de um pelo outro deixe resto 39. 02. Sejam a e b números naturais. Sendo a = 1 + b2 com b sendo um número ímpar, então a é par. 04. O número − 7 + 5 2 é real. 08. Existem 4 números inteiros positivos e consecutivos tais que o produto de 2 deles seja igual ao produto dos outros dois. 16. o número 247 é um número primo.
10) ( FUVEST ) Os números inteiros positivos são dispostos em “quadrados” da seguinte maneira:
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18
19 .. .. .. .. .. .. .. ..
O número 500 se encontra em um desses “quadrados”. A linha e a coluna em que o número 500 se encontra são respectivamente: a) 2 e 2 c) 2 e 3 e) 3 e 1
b) 3 e 3 d) 3 e 2
11) A expressão|2x – 1| para x < a) 2x – 1 c) 2x + 1 e) – 1
1 2
15) ( ITA-SP ) Os valores de x ∈ R para os quais a função real dada por f(x) = 5− || 2 x − 1 | −6 | está definida, formam o conjunto: a) [0, 1] c) [-5,0] ∪ [1, ∞) e) [-5, 0] ∪ [1, 6]
b) [-5, 6] d) (-∞, 0] ∪ [1, 6]
AULA 03 EQUAÇÕES DO 1º GRAU INEQUAÇÕES 1. Definição Uma sentença numérica aberta é dita equação do 1º grau se pode ser reduzida ao tipo ax + b = 0, com a diferente de zero.
2. Resolução Considere, como exemplo, a equação 2x + 1 = 9. Nela o número 4 é solução, pois 2.4 + 1 = 9. O número 4 nesse caso é denominado RAIZ da equação Duas equações que têm o mesmo conjunto solução são chamadas equivalentes.
PRINCÍPIO ADITIVO E MULTIPLICATIVO DA IGUALDADE Se: a = b então para ∀m → a + m = b + m Se: a = b então para ∀m ≠ 0 → a . m = b . m
é equivalente a:
4. Inequações do 1º grau Inequações são expressões abertas que exprimem uma desigualdade entre as quantidades dadas.
b) 1 – 2x d) 1 + 2x
Uma inequação é dita do 1º grau se pode ser escrita na forma: ax + b > 0 ax + b < 0
12) Assinale a alternativa correta:
ax + b ≥ 0
ax + b ≤ 0
2
Se x é um número real, então x ≠ |x | Se x é um número real, então existe x, tal que |x| < 0 c) Sejam a e b dois números reais com sinais iguais, então |a + b| = |a| + |b| d) Sejam a e b dois números reais com sinais opostos, então |a + b| > |a| + |b| e) | x | = x, para todo x real.
a) b)
2x − 1 − 3 são: 5
13) ( UFGO ) Os zeros da função f(x) = a) −7 e −8 d) −7 e 8
b) 7 e −8 e) n.d.a.
c) 7 e 8
Nas inequações do 1º grau valem também, os princípio aditivo e multiplicativo com uma ressalva. Veja:
Se: a > b então para ∀m → a + m > b + m Se: a > b então para ∀m > 0 → a . m > b . m Se: a > b então para ∀m < 0 → a . m < b . m
Exercícios de Sala
01) Resolva em R as seguintes equações e inequações: a) ax + b = 0, com a ≠ 0 b) – 4(x + 3) + 5 = 2(x + 7)
14) ( FGV-SP ) Qual dos seguintes conjuntos está contida no conjunto solução da inequação (1 + x) 2 ≤ 1? a) b) c) d) e)
{x ∈ R | - 5 ≤ x ≤ - 1} {x ∈ R | - 4 ≤ x ≤ 0} {x ∈ R | - 3 ≤ x ≤ 0} {x ∈ R | - 2 ≤ x ≤ 0} Todos os conjuntos anteriores
c) x + 1 + 2 x − 3 = 10
3
e) 0.x = 0 f) 0.x = 5 g)
x −1 2
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4
d) 502x = 500x
≥
3x 8
6
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Matemática A
02) Obtenha m de modo que o número 6 seja raiz da equação 5x + 2m = 20
09) As tarifas cobradas por duas agências de locadora de automóveis, para veículos idênticos, são: • agência AGENOR: R$ 90,00 por dia, mais R$ 0,60 por quilômetro rodado. • Agência TEÓFILO: R$ 80,00 por dia, mais R$ 0,70 por quilômetro rodado. Seja x o número de quilômetros percorridos durante um dia. Determine o intervalo de variação de x de modo que seja mais vantajosa a locação de um automóvel na agência AGENOR do que na agência TEÓFILO.
03) Resolva em R, o seguinte sistema:
x − 3 y = 1 2 x + 3 y = 2
10) ( UFSC ) A soma dos dígitos do número inteiro m tal que 5
Tarefa Mínima
m + 24 > 5500 e −
11) ( UFSC ) Para produzir um objeto, um artesão gasta R$ 1,20 por unidade. Além disso, ele tem uma despesa fixa de 123,50, independente da quantidade de objetos produzidos. O preço de venda é de R$ 2,50 por unidade. O número mínimo de objetos que o artesão deve vender, para que recupere o capital empregado na produção dos mesmos, é:
01) Resolver em R as equações: a) b) c) d) e)
6x – 6 = 2(2x + 1) 2(x + 1) = 5x + 3 (x + 1)(x + 2) = (x + 3)(x + 4) – 3 2(x – 2) = 2x – 4 3(x – 2) = 3x
x −1 x 1 + = 2 3 4
f)
02) A solução da equação
x
+
x −1
3
a) x = – 2 d) x = 2
12) ( UFSC ) A soma das idades de um pai e seu filho é 38 anos. Daqui a 7 anos o pai terá o triplo da idade do filho. A idade do pai será:
= x é:
2
b) x = – 3 e) x = 1
03) ( FGV–SP ) A raiz da equação
c) x = 3 x −1
−
2x + 1
3
a) b) c) d) e)
= 1 é:
4
04) Determine a solução de cada sistema abaixo:
x+ y =5 b)
c) 3x + y = 1
2 x + 2 y = 1
x − y = 1
05) Resolva em R as inequações: a) 3(x + 1) > 2(x – 2)
b)
x + 10 4
c)
1 3
−
x 2
<
≤
3x 2
1 4
2x + 3y = 21 7x − 4y = 1
15) ( UEL-PR ) Um trem, ao iniciar uma viagem, tinha em um de seus vagões um certo número de passageiros. Na primeira parada não subiu ninguém e desceram desse vagão 12 homens e 5 mulheres restando nele um número de mulheres igual ao dobro do de homens. Na segunda parada não desceu ninguém, entretanto subiram, nesse vagão, 18 homens e 2 mulheres, ficando o número de homens igual ao de mulheres. Qual o total de passageiros no vagão no início da viagem?
AULA 04 EQUAÇÕES DO 2º GRAU
Tarefa Complementar
06) O valor de x + y em
13) ( UFSC ) Na partida final de um campeonato de basquete, a equipe campeã venceu o jogo com uma diferença de 8 pontos. Quantos pontos assinalou a equipe vencedora, sabendo que os pontos assinalados pelas duas equipes estão na razão de 23 para 21? 14) ( UNICAMP ) Uma senhora comprou uma caixa de bombons para seus dois filhos. Um deles tirou para si metade dos bombons da caixa. Mais tarde, o outro menino também tirou para si metade dos bombons que encontrou na caixa. Restaram 10 bombons. Calcule quantos bombons havia inicialmente na caixa.
um número maior que 5 um número menor que – 11 um número natural um número irracional um número real
a) 2 x − y = 3 x + y = 3
8 m + 700 > 42 – m, é: 5
Denomina-se equação do 2º grau a toda equação que pode ser reduzida a forma: é:
07) Obtenha o maior de três números inteiros e consecutivos, cuja soma é o dobro do menor. 08) ( UFSC ) A soma dos quadrados dos extremos do intervalo que satisfaz simultaneamente, as inequações: x + 3 ≥ 2 e 2x - 1 ≤ 17; é:
ax2 + bx + c = 0 onde a, b e c são números reais e a ≠ 0.
1. Resolução 1º CASO: Se na equação ax2 + bx + c = 0, o coeficiente b for igual a zero procede-se assim: ax2 + c = 0 ax2 = − c x2 =
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC
−
c a 7
Matemática A x=±
S=
−
Inclusão para a Vida
c a
Tarefa Mínima
c c − − , − a a
2º CASO: Se na equação ax2 + bx + c = 0, o coeficiente c for igual a zero procede-se assim: ax2 + bx = 0 x(ax + b) = 0 x = 0 ou ax + b = 0 S = {0,
−
3º CASO: Se na equação ax + bx + c = 0, a, b, c ≠ 0 aplica-se a fórmula de Bháskara
−b± Δ x= onde: ∆ = b2 – 4ac 2a Nessa fórmula, ∆ = b2 – 4ac é o discriminante da equação, o que determina o número de soluções reais da equação. Pode-se ter as seguintes situações:
∆ ∆ ∆
01) Resolva em R, as equações: x2 – 5x + 6 = 0 – x2 + 6x – 8 = 0 3x2 – 7x + 2 = 0 x2 – 4x + 4 = 0 2x2 – x + 1 = 0 4x2 – 100 = 0 x2 – 5x = 0
a) b) c) d) e) f) g)
02) Os números 2 e 4 são raízes da equação:
b } a
2
• • •
> 0. Existem duas raízes reais e distintas = 0. Existem duas raízes reais e iguais < 0. Não há raiz real
a) x2 – 6x + 8 = 0 c) x2 – 6x – 6 = 0 e) x2 + 6x – 1 = 0
b) x2 + x – 6 = 0 d) x2 – 5x + 6 = 0
03) ( PUC-SP ) Quantas raízes reais tem a equação 2x2 – 2x + 1 = 0? a) 0 d) 3
b) 1 e) 4
c) 2
04) A soma e o produto das raízes da equação 2x2 – 6x + 9 = 0 são respectivamente: a) 3 e 4,5 d) 4,5 e 5
b) 2 e 4 c) – 3 e 2 e) n.d.a.
05) Sendo x1 e x2 as raízes da equação 2x2 – 5x – 1 = 0. Obtenha 1 + 1 x1
2. Relações de Girard Sendo x1 e x2 as raízes da equação ax2 + bx + c, tem-se:
x1 + x2 = −
b a
x1 . x2 =
Exercícios de Sala
c a
01) Resolva, em reais, as equações: a) 2x2 – 32 = 0
b) x2 – 12x = 0
c) 2x2 – 5x – 3 = 0 02) Considere a equação x2 – mx + m = 0 na incógnita x. Para quais valores reais de m ela admite raízes reais e iguais? a) 0 e 4 c) 0 e 1 e) 1 e 4
b) 0 e 2 d) 1 e 3
a) x1 + x2 c)
1 x1
+
Tarefa Complementar 06) Resolver em R a equação
b) x1 . x2
1 2 + = −1 2 x −1 x +1
07) A maior solução da equação 2x4 – 5x2 – 3 = 0 é: a)
3
b) 2
c) 3
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC
e)
2
01. x1 e x2 são iguais 02. x1 + x2 = 3 04. x1 . x2 = −
3 2
1 x1
+
1
= –2
x2
16. x12 + x22 = 12 32. x12.x2 + x1.x22 = −
9 2
1 x2
d) 1
08) Sendo x1 e x2 as raízes da equação 2x2 – 6x – 3 = 0, determine a soma dos números associados às proposições verdadeiras:
08.
03) Sendo x1 e x2 as raízes da equação 2x2 – 6x + 1 = 0, determine:
x2
09) A solução da equação x – 3 =
x+3
é:
8
Inclusão para a vida
Matemática A
10) ( MACK-SP ) Se x e y são números reais positivos, tais que x2 + y2 + 2xy + x + y – 6 =0, então x + y vale: a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
c) 6
• • • •
Conjunto de Partida: A Domínio: Valores de x para os quais existe y. Contra Domínio: B Conjunto Imagem: Valores de y para os quais existe x.
11) Determine a soma dos números associados às proposições VERDADEIRAS: 01. Se a soma de um número qualquer com o seu inverso é 5, então a soma dos quadrados desse número com o seu inverso é 23. 02. Se x1 e x2 são as raízes da equação 2x2 – 6x – 3 = 0, então o valor de x12.x2 + x1.x22 = −
9 2
04. Se x e y são números reais positivos, tais que x2 + y2 + 2xy + x + y – 6 =0, então x + y vale 2 08. Se x é solução da equação x2 – 3 +
x − 3 = 2, então o valor de x4 = 16 2
1
16. O valor de
1
8 3 + 16 2
é5
12) Considere a equação 2x2 – 6x + 1 = 0. Sendo x1 e x2, raízes dessa equação, pode-se afirmar: 01. x1 ≠ x2 02. o produto das raízes dessa equação é 0,5 04. a soma das raízes dessa equação é 3 08. a soma dos inversos das raízes é 6 16. a equação não possui raízes reais
Observações: • A imagem está sempre contida no Contra Domínio (Im ⊂ C.D) • Podemos reconhecer através do gráfico de uma relação, se essa relação é ou não função. Para isso, deve-se traçar paralelas ao eixo y. Se cada paralela interceptar o gráfico em apenas um ponto, teremos uma função. • O domínio de uma função é o intervalo representado pela projeção do gráfico no eixo das abscissas. E a imagem é o intervalo representado pela projeção do gráfico no eixo y.
13) A maior raiz da equação x4 – 10x2 + 9 = 0 é: a) 3
b) 4
c) 8
d) 9
e) 1
14) Assinale a soma dos números associados às proposições VERDADEIRAS:
3
01. A maior raiz da equação x6 – x3 – 2 = 0 é 2 02. A maior raiz da equação 3x2 – 7x + 2 = 0 é 2 04. As raízes da equação x2 – 4x + 5 = 0 estão compreendidas entre 1 e 3 08. A soma das raízes da equação x6 – x3 – 2 = 0 é 3 16. a equação x2 – 4x + 2 = 0 não possui raízes reais 15) Determine o valor de x que satisfaz as equações:
x −1 + 3 = x
a) b)
3
2x + x +1 = 2
AULA 05 ESTUDO DAS FUNÇÕES Sejam A e B dois conjuntos não vazios e uma relação R de A em B, essa relação será chamada de função quando para todo e qualquer elemento de A estiver associado a um único elemento em B. Formalmente:
f é função de A em B ⇔ (∀x ∈ A, ∃| y ∈ B|(x, y) ∈ f) Numa função podemos definir alguns elementos.
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC
Domínio = [a, b]
Imagem = [c, d]
Valor de uma Função Denomina-se valor numérico de uma função f(x) o valor que a variável y assume quando a variável x é substituída por um valor que lhe é atribuído. Por exemplo: considere a relação y = x2 , onde cada valor de x corresponde um único valor de y. Assim se x = 3, então y = 9. Podemos descrever essa situação como: f(3) = 9 Exemplo 1: Dada a função f(x) = x + 2. Calcule o valor de f(3) Resolução: f(x) = x + 2, devemos fazer x = 3 f(3) = 3 + 2 f(3) = 5 Exemplo 2: Dada a função f(x) = x2 - 5x + 6. Determine o valor de f(-1). Resolução: f(x) = x2 - 5x + 6, devemos fazer x = -1 f(-1) = (-1)2 - 5(-1) + 6 f(-1) = 1 + 5 + 6 f(-1) = 12
9
Matemática A
Inclusão para a Vida
Exemplo 3: Dada a função f(x − 1) = x2. Determine f(5).
c)
Resolução: f(x −1) = x2, devemos fazer x = 6 f(6 − 1) = 62 f(5) = 36 Observe que se fizéssemos x = 5, teríamos f(4) e não f(5).
Exercícios de Sala
d)
01) Seja o gráfico abaixo da função f, determinar a soma dos números associados às proposições VERDADEIRAS: e)
01. O domínio da função f é {x ∈ R | - 3 ≤ x ≤ 3} 02. A imagem da função f é {y ∈ R | - 2 ≤ y ≤ 3} 04. para x = 3, tem-se y = 3 08. para x = 0, tem-se y = 2 16. para x = - 3, tem-se y = 0 32. A função é decrescente em todo seu domínio
02) Assinale a soma dos números associados às proposições VERDADEIRAS:
02) Em cada caso abaixo, determine o domínio de cada função: a) y = 2x + 1
c)
04)
y=
7 2x − 7 − x+3 y= 2x − 2
b) y =
3x − 2
d)
2x -1, se x ≤ 0 Seja f ( x) = 5, se 0 < x ≤ 5 2 x − 5x + 6, se x
.
> 5
Calcule o valor de: f (−3) + f (π )
01. O domínio da função f é {x ∈ R | - 2 ≤ x ≤ 2} 02. A imagem da função f é {y ∈ R | - 1 ≤ y ≤ 2} 04. para x = -2 , tem-se y = -1 08. para x = 2, tem-se y = 2 16. A função é crescente em todo seu domínio 03) Determine o domínio das seguintes funções a) y =
f ( 6)
Tarefa Mïnima
01) ( UNAERP-SP ) Qual dos seguintes gráficos não representa uma função f: R → R ? a)
c) y =
2 3x − 9
−x+6 x−2
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC
d) y =
3
x−5
04) ( UFSC ) Considere as funções f: R → R e g: R → R dadas por f(x) = x2 − x + 2 e g(x) = − 6x + Calcule f(
b)
x−3
b) y =
3 . 5
1 5 )+ g(−1). 2 4
05) ( UFPE-PE ) Dados os conjuntos A = {a, b, c, d} e B = {1, 2, 3, 4, 5}, assinale a única alternativa que define uma função de A em B. a) {(a, 1), (b, 3), (c, 2)} b) {(a, 3), (b, 1), (c, 5), (a, 1)} c) {(a, 1), (b, 1), (c, 1), (d, 1)} d) {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (a, 4), (a, 5)} e) {(1, a), (2, b), (3, c), (4, d), (5, a)}
10
Inclusão para a vida Tarefa Complementar
Matemática A
AULA 06
06) ( UFC-CE ) O domínio da função real y =
x − 2 é: x−7
a) {x ∈ R| x > 7} b) {x ∈ R| x ≤ 2} c) {x ∈ R| 2 ≤ x < 7} d) {x ∈ R| x ≤ 2 ou x > 7}
1. Função Polinomial do 1º Grau
07) Considere a função f(x) = x2 – 6x + 8. Determine: a) f(3) b) f(5) c) os valores de x, tal que f(x) = 0 08) ( USF-SP ) O número S do sapato de uma pessoa está relacionado com o comprimento p, em centímetros,do seu pé pela fórmula S =
FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU
5 p + 28 . 4
Qual é o comprimento do pé de uma pessoa que calça sapatos de número 41? a) 41 cm b) 35,2 cm c) 30,8 cm d) 29,5 cm e) 27,2 cm
Uma função f de R em R é do 1º grau se a cada x ∈ R, associa o elemento ax + b.
1.1. Forma:
f(x) = ax + b
com a ≠ 0.
a é o coeficiente angular e b o coeficiente linear.
1.2. Gráfico O gráfico será uma reta crescente se a for positivo e decrescente se a for negativo.
09) ( FUVEST ) A função que representa o valor a ser pago após um desconto de 3% sobre o valor x de uma mercadoria é: a) f(x) = x – 3 b) f(x) = 0,97x c) f(x) = 1,3x d) f(x) = - 3x e) f(x) = 1,03x 10) ( FCMSCSP ) Se f é uma função tal f(a + b) = f(a).f(b), quaisquer que sejam os números reais a e b, então f(3x) é igual a: a) 3.f(x) b) 3 + f(x) d) [f(x)]3 c) f(x3) e) f(3) + f(x) 11) ( FGV-SP ) Numa determinada localidade, o preço da energia elétrica consumida é a soma das seguintes parcelas: 1ª . Parcela fixa de R$ 10,00; 2ª . Parcela variável que depende do número de quilowatt-hora (kWh) consumidos; cada kWh custa R$ 0,30. Se num determinado mês, um consumidor pagou R$ 31,00, então ele consumiu: a) 100,33 kWh c) menos de 65 kWh e) entre 80 e 110 kWh
b) mais de 110 kWh d) entre 65 e 80 kWh
12) ( PUC-Campinas ) Em uma certa cidade, os taxímetros marcam, nos percursos sem parada, uma quantia de 4UT (unidade taximétrica) e mais 0,2 UT por quilômetro rodado. Se, ao final de um percurso sem paradas, o taxímetro registrava 8,2 UT, o total de quilômetros percorridos foi:
Como o gráfico de uma função do 1º Grau é uma reta, logo é necessário definir apenas dois pontos para obter o gráfico. Interceptos:
• Ponto que o Gráfico corta o eixo y: deve-se fazer •
x = 0. Logo o ponto que o gráfico corta o eixo y tem coordenadas (0,b). Ponto que o Gráfico corta o eixo x: deve-se fazer y = 0. Logo o ponto que o gráfico corta o eixo x tem coordenadas ( − b ,0). O ponto que o gráfico corta o a
eixo x é chamado raiz ou zero da função.
RESUMO GRÁFICO f(x) = ax + b, a > 0
f(x) = ax + b, a < 0
13) ( UFSC ) Dadas as funções f(x) = 3x + 5, g(x) = x2 + 2x − 1 e h(x) = 7 − x, o valor em módulo da expressão: 1 4 h − g ( 4 ) 2 f ( −1)
função crescente
função decrescente
14) ( UFSC ) Considere a função f(x) real, definida por f(1) = 43 e f(x + 1) = 2 f(x) − 15. Determine o valor de f(0).
Exemplo: Esboçar o gráfico da função da função f(x) = – 3x + 1.
15) ( UDESC ) A função f é tal que f(2x + 3) = 3x + 2. Nessas condições, f(3x + 2) é igual a:
Resolução: o gráfico intercepta o eixo y em (0,b). Logo o
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC
11
Matemática A
Inclusão para a Vida
gráfico da função f(x) = – 3x + 1 intercepta o eixo y em (0,1). Para determinar o ponto que o gráfico corta o eixo x deve-se fazer y = f(x) = 0.
03) ( UFSC ) Seja f(x) = ax + b uma função linear. Sabe-se que f(-1) = 4 e f(2) = 7. Dê o valor de f(8).
– 3x + 1 = 0
Tarefa Mínima
1 x= 3
01) Esboçar o gráfico das seguintes funções:
Logo o ponto que o gráfico corta o eixo x tem coordenadas (
a) b)
1 , 0) 3
f(x) = – x + 3 f(x) = 2x + 1
02) ( FGV-SP ) O gráfico da função f(x) = mx + n passa pelos pontos A(1, −2) e B(4, 2). Podemos afirmar que m + n vale em módulo: 03) ( UFMG-MG ) Sendo a < 0 e b > 0, a única representação gráfica correta para a função f(x) = ax + b é: D=ℜ
C.D. = ℜ
Im = ℜ
2. Função Constante Uma função f de R em R é constante se, a cada x ∈ R, associa sempre o mesmo elemento k ∈ R. D(f) = R e Im (f) = k
2.1 Forma: f(x) = k 2.2. Gráfico: Exemplo: y = f(x) = 2
D=ℜ
04) ( UFMA ) O gráfico da função f(x) = ax + b intercepta o eixo dos x no ponto de abscissa 4 e passa pelo ponto (1, −3), então f(x) é:
C.D. = ℜ
Exercícios de Sala
Im = {2}
a) f(x) = x − 3 c) f(x) = 2x − 5 e) f(x) = 3x − 6
01) Considere as funções f(x) = 2x – 6 definida em reais. Determine a soma dos números associados às proposições VERDADEIRAS:
05) Sendo f(x) = 2x + 5, obtenha o valor de f (t ) − f (π ) com t ≠ π t −π
01. a reta que representa a função f intercepta o eixo das ordenadas em (0,- 6) 02. f(x) é uma função decrescente 04. a raiz da função f(x) é 3 08. f(-1) + f(4) = 0 16. a imagem da função são os reais 32. A área do triângulo formado pela reta que representa f(x) e pelos eixos coordenados é 18 unidades de área.
Tarefa Complementar
2 3
b) k <
2 3
c) k >
2 3
d) k < −
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC
2 3
e) k > −
06) ( UCS-RS ) Para que – 3 seja raiz da função f(x) = 2x + k, deve-se ter a)
k = 0 b) k = - 2 c) k = 6 d) k = -6 e) k = 2
07) ( UFPA ) A função y = ax + b passa pelo ponto (1,2) e intercepta o eixo y no ponto de ordenada 3. Então, a − 2b é igual a:
02) ( PUC-SP ) Para que a função do 1º grau dada por f(x) = (2 - 3k)x + 2 seja crescente devemos ter:
= a) k
b) f(x) = x − 4 d) f(x) = −2x − 1
2 3
a) −12
b) −10
c) −9
d) −7
e) n.d.a.
12
Inclusão para a vida
Matemática A
08) ( Fuvest-SP ) A reta de equação 2x + 12y – 3 = 0, em relação a um sistema cartesiano ortogonal, forma com os eixos do sistema um triângulo cuja área é: a)
1/2
b) 1/4
c) 1/15
d) 3/8
Distância (em km )
e) 3/16
09) O gráfico da função f(x) está representado pela figura abaixo:
Temp o (em horas)
Pode-se afirmar que f(4) é igual a: 10) (Santo André-SP) O gráfico mostra como o dinheiro gasto ( y) por uma empresa de cosméticos, na produção de perfume, varia com a quantidade de perfume produzida ( x). Assim, podemos afirmar:
Analisando o gráfico, verifica-se que o carro que partiu primeiro foi alcançado pelo outro ao ter percorrido exatamente: a) 60km b) 85km c) 88km d) 90km e) 91km 15) ( UERJ ) Considere a função f, definida para todo x real positivo, e seu respectivo gráfico. Se a e b são dois números positivos (a < b), a área do retângulo de vértices (a, 0), (b, 0) e (b, f(b) ) é igual a 0,2. f(x) = 1
x
a) Quando a empresa não produz, não gasta. b) Para produzir 3 litros de perfume, a empresa gasta R$ 76,00. c) Para produzir 2 litros de perfume, a empresa gasta R$ 54,00. d) Se a empresa gastar R$ 170,00, então ela produzirá 5 litros de perfume. e) Para fabricar o terceiro litro de perfume, a empresa gasta menos do que para fabricar o quinto litro. 11) ( UFSC ) Sabendo que a função: f(x) = mx + n admite 5 como raiz e f(-2) = -63, o valor de f(16) é: 12) O valor de uma máquina decresce linearmente com o tempo, devido ao desgaste. Sabendo-se que hoje ela vale R$800,00, e que daqui a 5 anos valerá R$ 160,00, o seu valor, em reais, daqui a três anos será: a)
480
b) 360
c) 380
d) 400
e) 416
13) ( UFRGS ) Considere o retângulo OPQR da figura abaixo. A área do retângulo em função da abscissa x do ponto R é:
Calcule a área do retângulo de vértices (3a, 0), (3b, 0) e (3b, f(3b))
AULA 07 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU Uma função f de R em R é polinomiail do 2º grau se a cada x ∈ R associa o elemento ax2 + bx + c, com a ≠ 0
1. Forma: f(x) = ax2 + bx + c, com a ≠ 0 2. Gráfico O gráfico de uma função polinomial do 2º Grau de R em R é uma parábola. A concavidade da parábola é determinada pelo sinal do coeficiente a (coeficiente de x2). Assim quando: a > 0 tem-se a parábola com concavidade para cima a < 0 tem-se parábola com concavidade para baixo
a) A = x2 – 3x d) A = - 2x2 + 6x
b) A = - 3x2 + 9x e) A = 2x 2 – 6x
c) A = 3x 2 – 9x
14) ( UFRGS ) Dois carros partem de uma mesma cidade, deslocando-se pela mesma estrada. O gráfico abaixo apresenta as distâncias percorridas pelos carros em função do tempo.
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC
3. Interceptos • O ponto que o gráfico corta o eixo y possui coordenadas (0,c) • Para achar o(s) ponto(s) que o gráfico corta o eixo x, deve-se fazer y = 0. Tem-se então uma equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0, onde:
13
Matemática A x=
Inclusão para a Vida
−b± Δ , onde ∆ = b 2 − 4ac 2a
•
∆<0
Se ∆ > 0 → Duas Raízes Reais Se ∆ = 0 → Uma Raiz Real Se ∆ < 0 → Não possui Raízes Reais
4. Estudo do vértice da parábola A Parábola que representa a função do 2º Grau é dividida em duas partes simétricas. Essa divisão é feita por um eixo chamado de eixo de simetria. A intersecção desse eixo com a parábola recebe o nome de vértice da parábola.
Exercícios de Sala
01) Em relação a função f(x) = x2 – 6x + 8 definida de ℜ→ ℜé correto afirmar:
• O vértice é o ponto de máximo da função se a < 0. • O vértice é o ponto de mínimo da função se a > 0.
01. 2 e 4 são os zeros da função f 02. o vértice da parábola possui coordenadas (3, -1) 04. O domínio da função f(x) é o conjunto dos números reais. 08. A imagem da função é: { y ∈ R| y ≥ − 1} 16. A área do triângulo cujos vértices são o vértice da parábola e seus zeros, é 4 unidades de área.
5. Coordenadas do vértice O vértice é um ponto de coordenadas V(xv, yv) onde
b e x =− v 2a
yv = −
∆ 4a
6. Imagem da função quadrática ∆ } 4a ∆ • Se a < 0, então Im = {y ∈ R| y ≤ − } 4a
• Se a > 0, então Im = {y ∈ R| y ≥ −
7. Resumo gráfico •
∆>0
02) Em cada caso abaixo, esboce o gráfico de f e dê seu conjunto imagem. a) f: ℜ→ ℜ,
f(x) = x2 – 2x
b) f: ℜ→ ℜ,
f(x) = – x2 + 4
c) f: [0, 3[→ ℜ, f(x) = f(x) = x2 – 2x 03) Considere f(x) = x2 – 6x + m definida de ℜ→ ℜ. Determine o valor de m para que o gráfico de f(x): a) tenha duas intersecções com o eixo b) tenha uma intersecção com o eixo x c) não intercepte o eixo x
Tarefa Mínima
01) Determine as raízes, o gráfico, as coordenadas do vértice e a imagem de cada função.
•
∆=0
a) f: ℜ → ℜ, b) f: ℜ → ℜ, c) f: ℜ → ℜ, d) f: ℜ → ℜ,
f(x) = x2 – 2x – 3 f(x) = (x + 2)(x – 4) f(x) = – x2 + 2x – 1 f(x) = x2 – 3x
02) Dada a função f(x) = x2 - 8x + 12 de R em R. Assinale as verdadeiras: 01. O gráfico intercepta o eixo y no ponto de coordenadas (0,12). 02. As raízes de f são 2 e 6. 04. O domínio de f é o conjunto dos números reais. 08. O gráfico não intercepta o eixo x. 16. A imagem da função é { y ∈ R| y ≥ − 4 } 32. O vértice da parábola possui coordenadas (4, −4) 64. A função é crescente em todo seu domínio.
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC
14
Inclusão para a vida
Matemática A
03) ( UFSC ) Considere a parábola y = -x2 + 6x definida em R x R. A área do triângulo cujos vértices são o vértice da parábola e seus zeros, é: 04) ( ACAFE-SC ) Seja a função f(x) = - x2 – 2x + 3 de domínio [-2, 2]. O conjunto imagem é: a) [0, 3] d) [-3, 1]
b) [-5, 4] e) [-5, 3]
c) ]-∞, 4]
05) ( PUC-SP) Seja a função f de R em R, definida por f( x) = x2 – 3x + 4. Num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, o vértice da parábola que representa f localiza-se:
12) ( UFSC ) Dada a função f: R → R definida por f(x) = ax2 + bx + c, sabe-se que f(1) = 4, f(2) = 7 e f(-1) = 10. Determine o valor de a - 2b + 3c. 13) A equação do eixo de simetria da parábola de equação y = 2x2 - 10 + 7, é: a) 2x - 10 + 7 = 0 c) x = 2,5 e) x = 1,8
b) y = 5x + 7 d) y = 3,5
14) O gráfico da função f(x) = mx2 – (m2 – 3)x + m3 intercepta o eixo x em apenas um ponto e tem concavidade voltada para baixo. O valor de m é:
a) no primeiro quadrante. b) no segundo quadrante. c) no terceiro quadrante. d) sobre o eixo das coordenadas. e) sobre o eixo das abscissas.
Tarefa Complementar
11) ( Mack-SP ) O vértice da parábola y = x2 + kx + m é o ponto V(−1, −4). O valor de k + m em módulo é:
a) – 3 c) – 2
b) – 4 d) 2
e) – 1
15) ( UFSC ) Marque no cartão a única proposição CORRETA. A figura abaixo representa o gráfico de uma parábola cujo vértice é o ponto V. A equação da reta r é: 2
06) ( UFSC ) Seja f: R → R, definida por: f(x) = - x , determine a soma dos números associados às afirmativas verdadeiras: 01. O gráfico de f(x) tem vértice na origem. 02. f(x) é crescente em R. 04. As raízes de f(x) são reais e iguais. 08. f(x) é decrescente em [0, +∞ ) 16. Im(f) = { y ∈ R | y ≤ 0} 32. O gráfico de f(x) é simétrico em relação ao eixo x. 07) ( ESAL-MG ) A parabola abaixo é o gráfico da função f(x) = ax2 + bx + c. Assinale a alternativa correta:
01. y = -2x + 2 02. y = x + 2 04. y = 2x + 1 08. y = 2x + 2 16. y = -2x – 2
AULA 08 INEQUAÇÕES DO 2º GRAU INEQUAÇÕES TIPO PRODUTO INEQUAÇÕES TIPO QUOCIENTE a) a < 0, b = 0, c = 0 c) a > 0, b < 0, c = 0 e) a > 0, b > 0, c > 0
b) a > 0, b = 0, c < 0 d) a < 0, b < 0, c > 0
1. Inequações do 2o Grau Inequação do 2º grau é toda inequação da forma:
08) Considere a função definida em x dada por f(x) = x2 – mx + m. Para que valores de m o gráfico de f(x) irá interceptar o eixo x num só ponto? 09) ( UFPA ) As coordenadas do vértice da função y = x2 – 2x + 1 são: a) (-1, 4) c) (-1, 1)
b) (1, 2) d) (0, 1) e) (1, 0)
10) ( UFPA ) O conjunto de valores de m para que o gráfico de y = x2 −mx + 7 tenha uma só intersecção com o eixo x é: a) { ± 7}
b) { 0 }
c) { ± 2 }
d) { ± 2 7 }
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC
ax 2 + bx + c ≥ 0 2 ax + bx + c ≤ 0 2 ax + bx + c > 0 ax 2 + bx + c < 0
com
a≠0
Para resolver a inequação do 2º grau associa-se a expressão a uma função do 2º grau; assim, pode-se estudar a variação de sinais em função da variável. Posteriormente, seleciona-se os valores da variável que tornam a sentença verdadeira. Estes valores irão compor o conjunto-solução. Exemplos:
15
Matemática A
Inclusão para a Vida
a) resolver a inequação x2 – 2x – 3 ≥ 0
aplicar a regra de sinais da divisão. É necessário lembrar que o denominador de uma fração não pode ser nulo, ou seja nos casos acima vamos considerar g(x) ≠ 0 Exemplo: Resolver a inequação
x − 4x + 3 ≥0 x−2 2
S = {x ∈ R | x ≤ -1 ou x ≥ 3} ou S = ]-∞, -1] ∪ [3, +∞[ b) resolver a inequação x2 – 7x + 10 ≤ 0
S = { x ∈ R | 1 ≤ x < 2 ou x ≥ 3}
S = { x ∈ R | 2 ≤ x ≤ 5} S = [2, 5] 2
c) resolver a inequação –x + 5x – 4 > 0
Exercícios de Sala 01) Resolver em ℜ as seguintes inequações: a)
x2 – 8x + 12 > 0
b)
x2 – 8x + 12 ≤ 0
c)
x2 – 9x + 8 ≥ 0
02) O domínio da função definida por S = { x ∈ R | 1 < x < 4} S = [1, 4]
2. Inequações Tipo Produto Inequação Produto é qualquer inequação da forma: a) f(x).g(x) ≥ 0 c) f(x).g(x) ≤ 0
b) f(x).g(x) > 0 d) f(x).g(x) < 0
Para resolvermos inequações deste tipo, faz-se necessário o estudo dos sinais de cada função e em seguida aplicar a regra da multiplicação. Exemplo: Resolver a inequação (x2 – 4x + 3) (x – 2) < 0
x 2 − 3x − 10 x−6
f(x) =
é:
a) D = {x ∈ R| x ≤ 2 ou x ≥ 5} − {6}. b) D = {x ∈ R| x ≤ - 2 ou x ≥ 5} − {6}. c) D = {x ∈ R| x ≤ - 2 ou x ≥ 5} d) D = {x ∈ R| x ≤ - 2 ou x ≥ 7} − {6}. e) n.d.a. 03) Determine o conjunto solução das seguintes inequações: a) (x – 3)(2x – 1)(x2 – 4) < 0
x − 7 x + 10 ≥ 0 x−4 2
b)
Tarefa Mínima
01) Resolver em ℜ as seguintes inequações:
S = { x ∈ R | x < 1 ou 2 < x < 3}
3. Inequações Tipo Quociente Inequação quociente é qualquer inequação da forma: f(x) f(x) f(x) f(x) ≥0 ≤0 <0 d) b) >0 c) a) g(x) g(x) g(x) g(x) Para resolvermos inequações deste tipo é necessário que se faça o estudo dos sinais de cada função separadamente e em seguida
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a) b) c) d) e) f)
x2 – 6x + 8 > 0 x2 – 6x + 8 ≤ 0 – x2 + 9 > 0 x2 ≤ 4 x2 > 6x x2 ≥ 1
02) ( Osec-SP ) O domínio da função f(x) = − x2 + 2x + 3 , com valores reais, é um dos conjuntos seguintes. Assinale-o. a) {x ∈ R | -1 ≤ x ≤ 3 } c) { } e) n.d.a.
b) { x ∈ R | -1 < x < 3 } d) { x ∈ R | x ≥ 3}
16
Inclusão para a vida
Matemática A 11) (ACAFE-SC ) O lucro de uma empresa é dado por L(x) = 100(8 –x)(x – 3), em que x é a quantidade vendida. Neste caso podemos afirmar que o lucro é:
03) Resolva, em R, as seguintes inequações: a) b) c) d) e)
(x2 – 2x – 3).( – x2 – 3x + 4) > 0 (x2 – 2x – 3).( – x2 – 3x + 4) ≤ 0 (x – 3) (x2 – 16) < 0 x3 ≤ x x3 – 3x2 + 4x – 12 ≥ 0
a) b) c) d) e)
04) Resolva, em R, as seguintes inequações: a) x − 5 x + 6 2
x − 16 2
12) ( FATEC ) A solução real da inequação produto (x2 – 4).(x2 – 4x) ≥ 0 é:
≥0
a) b) c) d) e)
b) x − 5 x + 6 <0 x − 16 x x c) − ≥0 2
2
x +1
x −1
2 <1 x −1
d)
positivo para x entre 3 e 8 positivo para qualquer que seja x positivo para x maior do que 8 máximo para x igual a 8 máximo para x igual a 3
S = { x ∈ R| - 2 ≤ x ≤ 0 ou 2 ≤ x ≤ 4} S = { x ∈ R| 0 ≤ x ≤ 4} S = { x ∈ R| x ≤ - 2 ou x ≥ 4} S = { x ∈ R| x ≤ - 2 ou 0 ≤ x ≤ 2 ou x ≥ 4} S={}
13) ( MACK-SP ) O conjunto solução de 1 − 2 x nos x2 − 1
05) ( ESAG-SC ) O domínio da função y = reais é: a) (-∞, -1 ) c) (-∞, ½] e) { }
b) (-1, ½] d) (-∞, -1) ∪ [1/2, 1)
06) Resolver em ℜ as seguintes inequações: b) x2 – 6x + 9 ≥ 0 d) x2 – 6x + 9 ≤ 0
07) Resolver em ℜ as seguintes inequações: b) x – 4x + 5 ≥ 0 d) x2 – 4x + 5 ≤ 0
2
2
a) x – 4x + 5 > 0 c) x2 – 4x + 5 < 0
08) ( CESGRANRIO ) Se x2 – 6x + 4 ≤ – x2 + bx + c tem como solução o conjunto {x ∈ ℜ| 0 ≤ x ≤ 3}, então b e c valem respectivamente: a) 1 e – 1 c) 0 e – 1 e) 0 e 4
a) { x ∈ R | x > 15 e x < - 3} b) { x ∈ R | x < 15 e x ≠ - 3} c) { x ∈ R | x > 0} d) {x ∈ R | - 3 < x < 15} e) { x ∈ R | - 15 < x < 15} 14) ( Cescem-SP ) Os valores de x que satisfazem a inequação (x2 −2x + 8)(x2 −5x + 6)(x2 −16) < 0 são:
Tarefa Complementar
a) x2 – 6x + 9 > 0 c) x2 – 6x + 9 < 0
6x é: <5 x+3
b) – 1 e 0 d) 0 e 1
a) x < −2 ou x > 4 b) x < −2 ou 4 < x < 5 c) −4 < x < 2 ou x > 4 d) −4 < x < 2 ou 3 < x < 4 e) x < −4 ou 2 < x < 3 ou x > 4 15) ( FUVEST ) De x4 – x3 < 0 pode-se concluir que: a) 0 < x < 1 c) – 1< x < 0 e) x < –1 ou x > 1
b) 1 < x < 2 d) – 2< x < –1
AULA 09 PARIDADE DE FUNÇÕES FUNÇÃO COMPOSTA e FUNÇÃO INVERSA 1. Função Par
09) ( UNIP ) O conjunto verdade do sistema é: x − 9x + 8 < 0 2 x − 4 ≤ 0 2
a) ]1, 2] d) [1, 8[
b) ]1, 4] e) [4, 8[
Uma função é par, quando para valores simétricos de x, tem-se imagens iguais, ou seja: f(−x) = f(x), ∀ x ∈ D(f)
c) [2, 4[
10) ( PUC-RS ) A solução, em R, da inequação x2 < 8 é:
Uma conseqüência da definição é: Uma função f é par se e somente se, o seu gráfico é simétrico em relação ao eixo y.
2. Função Ímpar
2;2 2}
a) { – 2 c) (– 2
2;2 2)
e) (– ∞; 2
b) [– 2
2;2 2]
d) (– ∞; 2
2]
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2)
Uma função é ímpar, quando para valores simétricos de x, as imagens forem simétricas, ou seja: f(−x) = − f(x), ∀ x ∈ D(f)
17
Matemática A
Inclusão para a Vida
Como conseqüência da definição os gráficos das funções ímpares são simétricos em relação a origem do sistema cartesiano.
3. Função Composta Dadas as funções f: A → B e g: B → C, denomina-se função composta de g com f a função gof: definida de A → C tal que gof(x) = g(f(x))
FUNÇÃO BIJETORA: Uma função é bijetora se for ao mesmo tempo injetora e sobrejetora.
DICA: De R → R, a função do 1º Grau é bijetora, e a função do 2º Grau é simples. f: A → B
g: B → C
Condição de Existência:
gof: A → C
Im(f) = D(g)
Alguns tipos de funções compostas são: a) f(g(x)) b) g(f(x)) c) f(f(x)) d) g(g(x)) Exercício resolvido: Dadas as funções f(x) = x2 - 5x + 6 e g(x) = x + 1, achar x de modo que f(g(x)) = 0 Resolução: Primeiramente vamos determinar f(g(x)) e em seguida igualaremos a zero. f(x) = x2 - 5x + 6 f(g(x)) = (x + 1)2 - 5(x + 1) + 6 Daí vem que f(g(x)) = x2 - 3x + 2. Igualando a zero temos: x2 - 3x + 2 = 0
5. Função inversa Seja f uma função f de A em B. A função f −1 de B em A é a inversa de f, se e somente se: fof -1(x) = x, ∀x ∈ A e f -1o f (x) = x, ∀x ∈ B. Observe que A = D(f) = CD(f -1) e B = D(f -1) = CD(f) IMPORTANTE:
f é inversível ⇔ f é bijetora
Para encontra a inversa de uma função, o processo prático é trocar x por y e em seguida isolar y. Os gráficos de duas funções inversas f(x) e f −1(x) são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares.(f(x) = x)
Onde x1 = 1 e x2 = 2
4. Função injetora, sobrejetora e bijetora FUNÇÃO INJETORA: Uma função f: A → B é injetora se, e somente se elementos distintos de A têm imagens distintas em B. Em Símbolos: f é injetora ⇔ ∀ x1, x2 ∈ A, x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2) Exercício Resolvido: Dada a função f(x) = 2x + 4 de R em R. determine a sua inversa. Resolução: Como a função f(x) é bijetora, então ela admite inversa. Basta trocarmos x por y e teremos: FUNÇÃO SOBREJETORA: Uma função f de A em B é sobrejetora, se todos os elementos de B forem imagem dos elementos de A, ou seja: CD = Im
f(x) = 2x + 4 x = 2y + 4 x - 4 = 2y ∴ f -1(x) =
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x−4 2
18
Inclusão para a vida Exercícios de Sala
b) g(f(x)) d) g(f(-2))
02) ( UFSC ) Considere as funções f, g: R → R tais que g(x) = 2x + 1 e g(f(x)) = 2x2 + 2x + 1. Calcule f(7). 03) Se x ≠ 3, determine a inversa da função
f ( x) =
2x +1 x −3
08) ( U.E.LONDRINA-PR ) Sejam f e g funções reais definidas por f(x) = 2x2 + 1, g(x) = 2 - x. O valor de f(g(-5)) é: 09) ( Mack-SP ) Sejam as funções reais definidas por f(x) = x − 2 e f(g(x)) = 2x − 3. Então g(f(x)) é definida por: a) 2x − 1 d) 2x − 4
f(x) =
01) Dadas as funções f(x) = x + 2 e g(x) = 2x2. Obter: b) g(f(x)) d) g(g(x)) f) g(f(1))
b) 2x − 2 e) 2x − 5
c) 2x − 3
( x) =
1 - 2x 3-x 3x +1 -1 d) f (x) = 2-x e) nenhuma das anteriores -1
a) b) c)
03) ( UFSC ) Sendo f(x) = 4x + 1 e f(g(x)) = x2 + 1, com f e g definidas para todo x real, determine o valor numérico da função g no ponto x = 18, ou seja, g(18). 04) Determine a função inversa de cada função a seguir:
c) y = 2 x + 1 , x ≠ 4
-1
(x) =
11) Obtenha as sentenças que definem as funções inversas de:
a) {x ∈ R | x ≤ -5 ou x ≥ 0} b) {x ∈ R | x ≥ 0} c) {x ∈ R | x ≥ -5} d) { } e) n.d.a.
b) y =
2x − 1 é: x+3
x+3 2x - 1 2x + 1 -1 b) f (x) = x-3
a) f
c) f
02) ( U.F.Uberlândia ) Dadas as funções reais definidas por f(x) = 2x - 6 e g(x) = x2 + 5x + 3, pode-se dizer que o domínio da função h(x) = ( fog)( x) é:
a) y = 2x – 3
e g(x) = x2 - 1, o
10) ( F.C. Chagas-BA ) A função inversa da função
Tarefa Mínima
a) f(g(x)) c) f(f(x)) e) f(g(3)) g) f(f(f(2)))
5− x
07) Dadas as funções: f(x) = valor de gof(4) é:
01) Dadas as funções f(x) = 2x – 1, g(x) = x2 + 2. Determine: a) f(g(x)) c) f(g(3))
Matemática A
x+2 4
x−4
f: [ – 3; 5] → [1, 17] tal que f(x) = 2x + 7 g: [2, 5] → [0,9] tal que g(x) = x2 – 4x + 4 h: [3, 6] → [–1, 8] tal que h(x) = x2 – 6x + 8
12) ( MACK-SP ) Se f(g(x)) = 2x2 – 4x + 4 e f(x – 2) = x + 2, então o valor de g(2) é: a) - 2 c) 0
b) 2 d) 6
e) 14
13) ( UFSC – 2006 ) Seja f uma função polinomial do primeiro grau, decrescente, tal que f(3) = 2 e f(f(1)) = 1. Determine a abscissa do ponto onde o gráfico de f corta o eixo x.
− 2x 05) ( UFSC ) Seja a função f(x) = , com x ≠ 2, x−2
14) ( UDESC – ENGENHARIA FLORESTAL) Se f(x) = ax2 + bx + 3, f(1) = 0 e f(2) = - 1. Calcule f(f(a))
Tarefa Complementar
15) ( IME-RJ ) Sejam as funções g(x) e h(x) assim definidas: g(x) = 3x – 4; h(x) = f(g(x)) = 9x2 – 6x + 1. Determine a função f(x).
determine f -1(2).
06) ( UFSC ) Sejam f e g funções de R em R definidas por: f(x) = -x + 3 e g(x) = x2 - 1.Determine a soma dos números associados à(s) proposições verdadeiras. 01. A reta que representa a função f intercepta o eixo das ordenadas em (0,3). 02. f é uma função crescente . 04. -1 e +1 são os zeros da função g. 08. Im(g) = { y ∈ R | y ≥ -1 }. 16. A função inversa da f é definida por f -1(x) = -x + 3. 32. O valor de g(f(1)) é 3. 64. O vértice do gráfico de g é o ponto (0, 0).
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AULA 10 EXPONENCIAL 1. Equação Exponencial Chama-se equação exponencial toda equação que pode ser reduzida a forma ax = b, com 0 < a ≠ 1.
19
Matemática A
Inclusão para a Vida
Para resolver tais equações é necessário transformar a equação dada em: • Igualdade de potência de mesma base. af(x) = ag(x) ⇔ f(x) =g(x) • Potências de expoentes iguais. af(x) = bf(x) ⇔ a = b sendo a e b ≠ 1 e a e b ∈ R*+.
2. Função Exponencial f(x) = ax
1 16
b) 2x =
c) 3x − 1 + 3x + 1 = 90 d) 25.3x = 15x é: e) 22x − 2x + 1 + 1 = 0
02) ( PUC-SP ) O conjunto verdade da equação 3.9x − 26.3x − 9 = 0, é:
(a > 1) → função crescente
03) Dadas f(x) =
1 2
−x
e as proposições:
I) f(x) é crescente II) f(x) é decrescente III) f(3) = 8 IV) ( 0,1 ) ∈ f(x) podemos afirmar que: a) todas as proposições são verdadeiras b) somente II é falsa c) todas são falsas d) II e III são falsas e) somente III e IV são verdadeiras
(0 < a < 1) → função decrescente
04) Resolva, em R, as inequações a seguir: a) b)
22x − 1 > 2x + 1 (0,1)5x − 1 < (0,1)2x + 8
7 c) 4 Para resolvermos uma inequação exponencial devemos respeitar as seguintes propriedades. • Quando as bases são maiores que 1 (a > 1), a relação de desigualdade se mantém. af(x) > ag(x) ⇔ f(x) > g(x) Quando as bases estão compreendidas entre 0 e 1 (0 < a < 1), a relação de desigualdade se inverte. af(x) > ag(x) ⇔ f(x) < g(x)
7 5
3
05) ( OSEC-SP ) O domínio da função de definida por y =
1 x
1 − 243 3
, é:
a) ( −∞, −5 [ b) ] −5, +∞ ) c) ( −∞, 5 [ d) ] 5, + ∞ ) e) n.d.a.
Tarefa Complementar
Exercícios de Sala 01) ( UFSC ) Dado o sistema
7 < 4
d) 0,5|x – 2| < 0,57
3. Inequação Exponencial
•
x 2 −1
2 x+ y x +y 2
=1 = 25
06) Resolvendo a equação 4x + 4 = 5.2x, obtemos: 4
, o valor de y é: x
02) ( UFSC ) O valor de x, que satisfaz a equação 22x + 1 - 3.2x + 2 = 32, é:
a) x1 = 0 e x2 = 1 c) x1 = 0 e x2 = 2
b) x1 = 1 e x2 = 4 d) x1 = x2 = 3
07) ( Unesp-SP ) Se x é um número real positivo tal que
2
x2
=2
x+2
, então
( x) x
x
x2
é igual a:
Tarefa Mínima
08) A maior raiz da equação 4|3x − 1| = 16
01) Resolva, em R, as equações a seguir:
09) ( ITA-SP ) A soma das raízes da equação
a) 2 x = 128
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9
x−
1 2
−
4 = −1 é: 31− x 20
Inclusão para a vida
Matemática A 1) log6 36 = x ⇒ 36 = 6x ⇒ 62 = 6x ⇒ x = 2 2) log5 625 = x ⇒ 625 = 5x ⇒ 54 = 5x ⇒ x = 4
10) A soma das raízes da equação 2x 13.2 x −1 2 + 1 = x +1 é: 3 3 x
11) ( UFMG ) Com relação à função f(x) = a , sendo a e x números reais e 0 < a ≠ 1, assinale as verdadeiras: 01. A curva representativa do gráfico de f está toda acima do eixo x. 02. Seu gráfico intercepta o eixo y no ponto (0, 1). 04. A função é crescente se 0 < a < 1 08. Sendo a = 1/2, então f(x) > 2 se x > 1. 12) Determine o domínio da função abaixo:
f ( x) = (1,4)
x 2 −5
01. A função f(x) = ax, 1 < a < 0 e x ∈ R, intercepta o eixo das abscissas no ponto (1,0)
36 pertence ao
04. Dada a função f(x) = 4x, então D = R e Im = 08. A função f(x) = a
16.
( 2 )x é crescente
R+*
b
1 1 > ⇒a
1 e y > 1)
1.1. Condição de Existência Para que os logaritmos existam é necessário que em: logab = x tenha-se
logaritmando positivo b > 0 Resumindo base positiva a > 0 e a ≠ 1 base diferente de 1 1.2. Conseqüências da Definição Observe os exemplos: 1) log2 1 = x ⇒ 1 = 2x ⇒ 20 = 2x ⇒ x = 0 2) log3 1 = x ⇒ 1 = 3x ⇒ 30 = 3x ⇒ x = 0 3) log6 1 = x ⇒ 1 = 6x ⇒ 60 = 6x ⇒ x = 0
loga 1 = 0 15) Resolver, em reais, as equações abaixo: a) 5x + 0,2x = 5,2
b) 5.4x + 2.52x = 7.10x
AULA 11
4) log2 2 = x ⇒ 2 = 2x ⇒ 21 = 2x ⇒ x = 1 5) log5 5 = x ⇒ 5 = 5x ⇒ 51 = 5x ⇒ x = 1
loga a = 1
LOGARITMOS 1. Definição Dado um número a, positivo e diferente de um, e um número b positivo, chama-se logaritmo de b na base a ao real x tal que ax = b.
6) log2 23 = x ⇒ 23 = 2x ⇒ x = 3 7) log5 52 = x ⇒ 52 = 5x ⇒ x = 2
loga am = m 8) 2 log 2 4 = x ⇒ 2 2 = x ⇒ x = 4 9) 3 log3 9 = x ⇒ 32 = x ⇒ x = 9
(a > 0 e a ≠ 1 e b > 0)
loga b = x ⇔ ax = b
2. Propriedades Operatórias Em loga b = x temos que: a = base do logaritmo b = logaritmando ou antilogaritmo x = logaritmo Observe que a base muda de membro e carrega x como expoente.
2. 1. Logaritmo do Produto O logaritmo do produto é igual a soma dos logaritmos dos fatores.
loga (b . c) = loga b + loga c
Exemplos:
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC
21
Matemática A
Inclusão para a Vida
Exemplos: a) log3 7.2 = log3 7 + log3 2 b) log2 5.3 = log2 5 + log2 3
2.2. Logaritmo do Quociente O logaritmo do quociente é o logaritmo do dividendo menos o logaritmo do divisor.
loga
a) log3 7/2 = log3 7 - log3 2 b) log5 8/3 = log5 8 - log5 3
2.3. Logaritmo da Potência O logaritmo da potência é igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base da potência.
a) log2 53 = 3. log2 5 b) log3 4-5 = -5 log3 4
Exemplo:
log10
1 n
logb a = logb a =
3
2
= log10 2
=
1 . logb a n
1 3
log10 2
Exercício Resolvido: Sabendo-se que log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47. Calcule o valor de log 18. 2
Resolução:
log 5
d)
log 18
Tarefa Mínima
a)
log2 512
b)
log0,250,25
c)
log7 1
d)
log0,25
13
128
02) Determine o valor das expressões abaixo
b) lοg 8 − lοg 2 9
n
1 3
c)
a) 3 loga a5 + loga 1 – 4
loga xm = m . loga x
Caso Particular
log 8
01) Determine o valor dos logaritmos abaixo:
b = loga b − loga c c
Exemplos:
Exemplos:
b)
log 18 = log(2.3 ) log 18 = log 2 + log 32 log 18 = log 2 + 2log 3 log 18 = 0,30 + 2.0,47 log 18 = 1,24
Exercícios de Sala 01) Pela definição, calcular o valor dos seguintes logaritmos: a) log21024
1 3
lοg a a , onde 0 < a ≠ 1, é:
+ 16.lοg 625 5 é:
03) Sabendo-se que log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47. Calcule o valor dos logaritmos abaixo: a) b) c)
log 12 log 54 log 1,5
d)
log
5
512
04) ( UFPR ) Sendo log 2 = 0,301 e log 7 = 0,845, qual será o valor de log 28? a) 1,146 b) 1,447 c) 1,690 d) 2,107 e) 1,107 05) ( FEI-SP ) A função f(x) = log (50 − 5x − x2) é definida para: a) x > 10 b) −10 < x < 5 c) −5 < x < 10 d) x < −5 e) n.d.a.
b) log 0,000001
Tarefa Complementar
c) log2 0,25
06) ( PUC-SP ) Se
d) log4
13
128
02) Sabendo-se que log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47. Calcule o valor de: a)
log 6
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC
lοg 2 2 512 = x , então x vale:
07) ( PUC-SP ) Sendo log10 2 = 0,30 e log10 3 = 0,47, então log a) 0,12 c) 0,32
6 2 é igual a: 5 b) 0,22 d) 0,42
e) 0,52
22
Inclusão para a vida
Matemática A
08) ( ACAFE-SC ) Os valores de m, com ∈ R, para os quais a equação x2 – 2x + log2(m – 1) = 0 admite raízes (zeros) reais e distintas são: a) 2 < m < 4 b) m< 3 c) m ≤ 3 d) 1 ≤ m ≤ 3 e) 1 < m < 3 3
a , então 09) Se log a = r, log b = s, log c = t e E = b c 3
log E é igual a:
São equações que envolvem logaritmos, onde a incógnita aparece no logaritmo, na base ou no logaritmando (antilogaritmo). Existem dois métodos básicos para resolver equações logarítmicas. Em ambos os casos, faz-se necessário discutir as raízes, lembrando que não existem logaritmos com base negativa e um e não existem logaritmos com logaritmando negativos. 1º Método:
loga X = loga Y ⇒ X = Y
2º Método:
loga X = M ⇒ X = aM
3. Função Logarítmica f(x) = loga x
10) ( ANGLO ) Se log E = 2log a + 3log b – log c – log d, Então E é igual a:
11) ( UFSC ) Se
2. Equação Logarítmica
(a > 1) → função crescente
(0 < a < 1) → função decrescente
3lοg( x − y) = lοg125 , então o valor lοgx + lοgy = lοg14
de x + y é 12) Se x = 3 360 , log10 2 = 0,301 e log10 3 = 0,477, determine a parte inteira do valor de 20 log10 x. 13) ( UMC-SP ) Sejam log x = a e log y = b. Então o log a) b) c) d) e)
(x. y ) é igual a: a + b/2 2a + b a+b a + 2b a – b/2
14) Determine o domínio das seguintes funções: a)
y = logx – 1 (3 – x)
b) y = log(5 – x) (x2 – 4)
15) Se x é a solução da equação
x
xx
valor da expressão 2x7 + log7x –
x ...
= 7 , calcule o
1 7
AULA 12
4. Inequação Logarítmica
LOGARITMOS Ao aplicar as propriedades operatórias dos logaritmos ficamos sujeitos a uma restrição: os logaritmos devem ser de mesma base. Dado esse problema, apresentamos então um processo no qual nos permite reduzir logaritmos de bases diferentes para bases iguais. Este processo é denominado mudança de base.
lοg c b lοg c a
1 log A B
0 loga x1 ⇔ x2 < x1
Exercícios de Sala 01) Resolver as equações abaixo: a) logx (3x2 - x) = 2
Como conseqüência e com as condições de existência obedecidas, temos:
1) log B A =
a>1
loga x2 > loga x1 ⇔ x2 > x1
1. Mudança de Base
loga b =
2) log A k B =
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC
1 log A B k
b) log4 (x2 + 3x - 1) = log4 (5x − 1) c) log2 (x + 2) + log2 (x − 2) = 5
23
Matemática A
Inclusão para a Vida 08. O valor de x que satisfaz à equação 4x − 2x = 56 é x=3
Tarefa Mínima 01) ( SUPRA ) Se log5 2 = a e log5 3 = b então log2 6 é:
a+ b a) a
a c) b
b) a+ b
b d) a
a+ b e) 2
02) ( ACAFE ) O valor da expressão log3 2. log4 3 é: a) ½ b) 3 c) 4 d) 2/3 e) 2 03) Resolver, em R as equações:
−2 , 3
2 > 3
−1, 7
10) ( UFSC ) O valor de x compatível para a equação log(x2 − 1) - log(x − 1) = 2 é: 11) ( UFSC ) Assinale no cartão-resposta a soma dos números associados à(s) proposição(ões) CORRETA(S). 01. O conjunto solução da inequação log (x2 −9) ≥ log (3 − x) é S = (−∞, −4] ∪ [3, +∞). 02. Para todo x real diferente de zero vale ln |x| < ex.
a) log5 (1 – 4x) = 2 b) log[x(x – 1)] = log 2 c) log 2 x − 6 log x + 9 = 0 3 3 d) log(log(x + 1)) = 0 e) log2 (x - 8) − log2 (x + 6) = 3 f) log5 (x − 3) + log5 (x − 3) = 2
x2
não possui solução inteira. 04. A equação e = e 08. Considere as funções f(x) = ax e g(x) = logax. Para a > 1, temos f crescente e g decrescente e para 0 < a < 1, temos f decrescentes e g crescentes. 16. log 360 = 3 • log 2 + 2 • log 3 + log 5. x
04) ( UFSC ) A solução da equação: log2(x + 4) + log2(x – 3) = log218, é:
N = − 6,824.
32. Se log N = − 3,412 então log
05) Resolver, em reais, as seguintes inequações: a) log2 (x + 2) > log2 8 b) log1/2 (x − 3) ≥ log1/2 4
12) Resolva a equação lοg 10 x + lοg 100 x (divida o resultado obtido por 4)
= 2.
13) Assinale a soma dos números associados às proposições VERDADEIRAS:
Tarefa Complementar 06) ( UFSC ) Dada a função y = f(x) = loga x, com a > 0, a ≠ 1, determine a soma dos números associados às afirmativas verdadeiras. 01. O domínio da função f é R. 02. A função f é crescente em seu domínio quando a ∈ (1, + ∞) 04. Se a = 1/2 então f(2) = −1 08. Se a = 3 e f(x) = 6 então x = 27 16. O gráfico de f passa pelo ponto P(1,0).
b) M2 e) M
01. A raiz da equação log(log(x + 1)) = 0 é x = 9 02. A soma das raízes da equação 1 + 2logx 2 . log4 (10 − x) =
2 é 10 log x 4 log x
04. A maior raiz da equação 9 . x 3 = x3 é 9 08. O valor da expressão log3 2. log4 3 é /2 16. Se logax = n e logay = 6n, então lοg a 3
x2 y
é
igual a 7n 32. A solução da equação 2x.3x = intervalo [0, 1]
07) ( ACAFE ) Se log3 K = M, então log9 K2 é: a) 2M2 d) 2M
16.
2 3
c) M + 2
3
36 pertence ao
14) ( UFPR ) Com base na teoria dos logaritmos e exponenciais é correto afirmar: 01. Se log3(5 – y) = 2, então y = - 4
08) ( UFSC ) Se loga x = 2 e logx y = 3, então, loga
5
xy
3
02. Se x = loge 3, então ex + e-x =
é igual a:
09) ( UFSC ) Determine a soma dos números associados às proposições verdadeiras: 01. O valor do log0,25 32 é igual a −
5 2
.
02. Se a, b e c são números reais positivos e
a x=
b
2
3
então
c
log x = 3 log a − 2log b − 1/2 log c. 04. Se a, b e c são números reais positivos com a e c diferentes de um, então tem-se loga b =
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC
log b c log a c
10 3
04. Se a e b são números reais e 0 < a < b < 1, então |log10a| < |log10b| 08. Se z = 10t – 1, então z > 0 para qualquer valor real de t 15) ( ITA - SP ) O conjunto dos números reais que verificam a inequação 3log x + log (2x + 3) 3 ≤ 3 log2 é dado por: a) { x ∈ R| x > 3 } b) { x ∈ R| 1 ≤ x ≤ 3 } c) { x ∈ R| 0 < x ≤ 1/2 } d) { x ∈ R| 1/2 < x < 1 } e) n.d.a.
24
Inclusão para a vida
Matemática A
GABARITO – MAT A
AULA 6
AULA 1
1)
1) a) 120 b) 12 2) b 3) a) 10 b) 16 4) 80 5) e 9) d 13) 13
c) 240
d) 12
6) d 10) b 14) b
7) b 11) 47 15) b
8) d 12) b 2) 02 8) e 14) d
AULA 2 1) a) {1, 2, 3, 4, 6, 12} b) {0, 3, 6, 9, 12, 15,....} c) {3, 4, 5, 6, 7} d) {-1, 0, 1, 2} e) {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12,.....} f) {1, 3, 5, 7, 9, ......}
3) a 9) 01 15) 0,2
4) b 10) c
5) 02 11) 99
6) c 12) e
7) d 13) d
AULA 7 1) a)
3) 23
2) c
3 4) a) S = {-10,10} b) S = {-8, 6} c) S = ∅ 6) 127
5) a
d) S = {-1,1}
7) e
8) b
11) b 15) e
12) c
raízes: -1 e 3
vértice: (1, -4) Im = { y ∈ R / y ≥ – 4 }
198
9) 06 13) d
10) a 14) d
b)
AULA 3 1) a) 4 b) − 1 3 2) b 3) e 4) a) (2,1)
c) −
4
d) S = ℜ
e) S = ∅
9 10
f)
7
b) (3,2)
c)
1 1 , 4 4
raízes: -2 e 4
5) a) {x∈ R| x >– 7} b) {x∈ R| x ≥ 2 } c) {x∈ R| x >
1
vértice: (1, -9)
Im = { y ∈ R / y ≥ -9 }
c) }
6 6) 08 9) x > 100km 12) 39 15) b
7) – 1 10) 16 13) 92
8) 82 11) 95 14) 40 raiz: 1
AULA 4 1) a) {2,3} b) {2,4} c) {2, 1/3} d) {2} f) {-5, 5} g) {0,5}
e) ∅
2) a 8) 62 14) 03
6) S = {0} 12) 07
3) a 9) x = 3 15) 05
4) a 10) a
5) – 5 11) 15
vértice: (1, 0)
d)
7) a 13) a
AULA 5
raízes: 0 e 3
1) e 2) 31 3) a) {x ∈ R| x ≠ 3}
b) {x ∈ R| x ≥ 3}
4) 10 8) e
5) c 9) b
6) a 10) d
14) 29
15)
9x +1 2
7) a) -1 11) d
c) {x ∈ R| x ≤ 6, x ≠ 2} d) ℜ b) 3 12) 21
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC
Im = { y ∈ R / y ≤ 0 }
c) 2 e 4 13) 33
2) 55 8) 0 e 4 14) e
vértice: (3/2, -9/4) Im = {y ∈ R/ y ≥ -9/4}
3) 27 9) e 15) 08
4) b 10) d
5) a 11) 01
6) 29 12) 23
7) c 13) c
25
Matemática A
Inclusão para a Vida
AULA 8
AULA 11
1) a) {x ∈ R | x < 2 ou x > 4} b) {x ∈ R | 2 ≤ x ≤ 4} c) {x ∈ R | - 3 < x < 3} d) {x ∈ R | -2 ≤ x ≤ 2} e) {x ∈ R | x < 0 ou x > 6} f) {x ∈ R | x ≤ -1 ou x ≥ 1} 2) a 3) a) ]-4, -1[ ∪ ]1, 3[ b) ]-∞, -4] ∪ [-1, 1] ∪ [3, ∞[ c) ]-∞, -4[ ∪ ]3, 4[ d ) ]-∞, - 1] ∪ [0, 1] e) [3, ∞ [ 4) a) {x ∈ R| x < - 4 ou 2 ≤ x ≤ 3 ou x > 4} b) {x ∈ R| -4 < x < 2 ou 3 < x < 4} c) {x ∈ R|x < −1 ou 0 ≤ x < 1} d) {x ∈ R|x < 1 ou x > 3} 5) d 6) a) {x ∈ R | x ≠ 3} b) ℜ c) ∅ d) {3} 7) a) R b) R c) ∅ d) ∅ 8) e 9) a 10) c 11) a 12) d 13) d 14) d 15) a
1) a) 9 b) 1 c) 0 d) -7/26 2) a) 13 b) 6 3) a) 1, 07 b) 1, 71 c) 0, 17 4) b
5) b
10) a 2 b 3
d) 0, 54
6) 06
7) b
8) e
11) 09
12) 17
13) a
cd
14) a) 1 < x < 3 e x ≠ 2 15) 14
9) 3r – s – t/3
b) x < - 2 ou 2 < x < 5 e x ≠ 4
AULA 12
1) a 2) a 3) a) {– 6} e) { }
b) {2, -1} f) 08
c) {27} d) {9}
AULA 9
4) 05 5) a) { x ∈ R| x > 6} b) { x ∈ R| 3 < x < 7}
1) a) f(g(x)) = 2x2 + 2 b) g(f(x)) = 2x2 + 8x + 8 c) f(f(x)) = x + 4 d) g(g(x)) = 8x4 e) 20 f) 18 g) 8 2) a 3) 81 4) a) f-1(x) =
6) 30 12) 25
7) e 13) 47
8) 04 14) 03
9) 31 15) c
10) 99
11) 16
x+3 2
b) f-1(x) = 4x – 2 c) f-1(x) =
5) 01
4x +1 x−2
6) 61
7) 00
8) 99
9) e
10) d
x−7 2 b) f ( x ) = x + 2
11) a ) f ( x) = −1
−1
c) f ( x) = x + 1 + 3 −1
12) c
13) 05
14) 03
15) x2 + 6x + 9
AULA 10 1) a) 7 b) – 4
c) 3
2) 02
d) 02
e) 00
3) b
4) a) S = { x∈ R| x > 2 } b) S = { x∈ R| x > 3 } c) S = { x∈ R| - 2 < x < 2 } d) S = { x∈ R| x < - 5 ou x > 9 } 5) a 11) 03
6) c 7) 02 8) 01 12) {x ∈ℜ| x ≤ - 2 ou x ≥ 2}
13) 30
14)
5 5 3 3
9) 01
15) a) {-1, 1}
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC
10) 00
b) {0, 1}
26
