Matemática Básica

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1 2 MUNDO F´ISICO A F´ısica como vocˆe nunca viu! Nossa Apostila A edi¸ca˜o dessa apostila, coroa os esfor¸cos feitos nos u ´ltimos dois anos onde realizou-se o curso pr´e-vestibular, cada vez mais enfocado no vestibular da UDESC, e cada vez envolvendo uma equipe maior e mais qualificada de alunos, professores e colaboradores. Adaptada ao novo vestibular UDESC 2005, esperamos que esse material seja suficiente para a revis˜ ao dos conte´ udos exigidos pela Universidade. Advertimos aos alunos que as aulas semanais, oito de F´ısica, quatro de Qu´ımica e quatro de Matem´ atica, apenas, n˜ ao ser˜ ao suficientes para a revis˜ ao completa dos conte´ udos da nossa Apostila, exigindo dos mesmos, algumas horas de leitura e estudo caseiro, trabalhando em exerc´ıcios complementares especialmente selecionados para essas atividades extra-classe. Finalmente, a Home Page Mundo F´ısico, resultado de outro projeto, abrangendo como temas assuntos relacionados a` F´ısica, desde aplica¸co˜es, informes, curiosidades e descobertas. Esta home page pretende auxiliar a instrumentalizar os alunos do ensino m´edio e da pr´ opria Universidade para uma melhor compreens˜ ao de conceitos f´ısicos e aplica¸co˜es tecnol´ ogicas. Essa p´ agina centraliza, amplia e divulga os resultados obtidos nos outros projetos, servindo como base de partida para novas id´eias e possibilidades sugeridas pelos alunos da UDESC, e pelos internautas que nos visitam diariamente. A p´ agina ainda n˜ ao completou um ano de atividades no ar, mas j´ a conta com mais de 10 mil acessos, chegando hoje a mais de 300 acessos di´ arios. Todos os quatro projetos canalizam os esfor¸cos de dezenas, talvez centenas de alunos, alguns professores e colaboradores, que sem medir esfor¸cos, se dispuzeram a fazer com que id´eias simples se tronassem realidade. Nosso Endere¸ co na Internet http://www.mundofisico.joinville.udesc.br Convidamos a todos para que visitem o nosso site! Projetos de Extens˜ ao O projeto de extens˜ ao Entendendo a F´ısica para o Vestibular desenvolve atividades de Ensino de F´ısica e Matem´ atica para alunos da Rede Estadual de Santa Catarina ministrando aulas para os estudantes e preparandoos para ingressarem na Universidade. Haver´ a desta forma maior divulga¸ca˜o desta Institui¸ca˜o e dos cursos que ela oferece. Paralelamente, desenvolve-se um programa social de assistˆencia a`s comunidades carentes de Joinville, atrav´es da doa¸ca˜o de 40 cestas b´ asicas com alimentos. Queremos, com este projeto, que os futuros licenciados em F´ısica estejam cada vez mais compromissados com a forma¸ca˜o de cidad˜ aos cr´ıticos e melhor preparados para sua inser¸ca˜o social. Outro o projeto chamado A F´ısica na Escola prevˆe a forma¸ca˜o de um grupo de alunos volunt´ arios que ministrar˜ ao palestra nas escolas p´ ublicas de ensino m´edio de Joinville, abordando assuntos relacionados a` F´ısica e suas aplica¸co˜es. O aluno atendido pelo projeto, ter´ a maior acesso ao conhecimento cient´ıfico e sua rela¸ca˜o com o dia-a-dia, e poder´ a conhecer um pouco mais da hist´ oria da F´ısica, suas rela¸co˜es com os aspectos culturais, pol´ıticos, sociais e econˆ omicos, e ter´ a contato com futuros professores de F´ısica, e poder´ a conhecer um pouco melhor o of´ıcio do ensino, essa profiss˜ ao promissora e fundamental para o desenvolvimento do nosso pa´ıs. Outro projeto, o Jornal do Mundo F´ısico ´e uma publica¸ca˜o mensal, abrangendo como temas assuntos relacionados a` F´ısica, desde aplica¸co˜es, informes, curiosidades e descobertas. Este jornal pretende, al´em de instrumentalizar os alunos do ensino m´edio e da pr´ opria Universidade para compreens˜ ao e respectiva aplica¸ca˜o tecnol´ ogica, promover condi¸co˜es para que os alunos possam transformar cada vez mais a si e a seu mundo. A tiragem mensal ´e de 1.500 exemplares e o jornal pode ser lido pela internet. Joinville-SC, 5 de outubro de 2004 Professor Luciano Camargo Martins Coordenador do Mundo F´ısico e-Mail: [email protected] Sum´ ario F´ISICA 1 F´ısica A – Aula 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Uma For¸ca Constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Uma For¸ca Vari´ avel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Tipos de For¸cas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Potˆencia P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Energia cin´etica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Teorema Trabalho-Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Exerc´ıcios de Aplica¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Mais Exerc´ıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 F´ısica A – Aula 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Energia Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Energia Potencial Gravitacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 For¸ca El´ astica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Energia Potencial El´ astica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Exerc´ıcios de Aplica¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Mais Exerc´ıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 F´ısica A – Aula 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Trabalho e Energia Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 For¸cas Conservativas e Dissipativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 A Conserva¸ca˜o da Energia Mecˆ anica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Degrada¸ca˜o da Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Exerc´ıcios de Aplica¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Mais Exerc´ıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 F´ısica B – Aula 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Sistema Internacional(SI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Nota¸ca˜o Cient´ıfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Grandezas F´ısicas ii Exerc´ıcios de Aplica¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Mais Exerc´ıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 F´ısica B – Aula 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Algarismos Significativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Crit´erios de Arredondamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 REGRAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Opera¸co˜es com Algarismos Significativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Rela¸co˜es entre Grandezas F´ısicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Como Construir um Gr´ afico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Exerc´ıcios de Aplica¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Mais Exerc´ıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 F´ısica B – Aula 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Grandezas Escalares e Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Grandezas Escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Grandezas Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Exerc´ıcios de Aplica¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Mais Exerc´ıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 F´ısica B – Aula 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 A Primeira Lei de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 O Conceito de For¸ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 A Primeira Lei de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 O que ´e In´ercia? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Equil´ıbrio de uma Part´ıcula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Exerc´ıcios de Aplica¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Mais Exerc´ıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 F´ısica C – Aula 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 As Leis de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ A Lei das Orbitas (1609) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ A Lei da Areas (1609) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 A Lei dos Per´ıodos (1618) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Exerc´ıcios de Aplica¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Mais Exerc´ıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 F´ısica C – Aula 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Gravita¸ca˜o Universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Uma For¸ca Elementar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Exerc´ıcios de Aplica¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Mais Exerc´ıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 F´ısica C – Aula 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 17 17 iii Densidade e Massa espec´ıfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Press˜ ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Press˜ ao Hidrost´ atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Press˜ ao Manom´etrica e Absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Exerc´ıcios de Aplica¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Mais Exerc´ıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 F´ısica C – Aula 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Hidrost´ atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Lei de Stevin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Princ´ıpio de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Princ´ıpio de Arquimedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Exerc´ıcios de Aplica¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.1 24 Exerc´ıcios Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F´ısica D – Aula 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Cinem´ atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Ponto Material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Repouso, Movimento e Referencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Trajet´ oria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Deslocamento × Distˆ ancia Percorrida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Deslocamento Escalar ∆s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Velocidade Escalar M´edia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Velocidade Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Acelera¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Acelera¸ca˜o Escalar M´edia (am ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Exerc´ıcios de Aplica¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Mais Exerc´ıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 F´ısica D – Aula 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Movimento Uniforme (MU) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Equa¸ca˜o Hor´ aria do MU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Gr´ afico da Velocidade v × t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Gr´ afico da Posi¸ca˜o x × t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Exerc´ıcios de Aplica¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Mais Exerc´ıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 F´ısica C – Aula 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Movimento Uniformemente Variado (MUV) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Acelera¸ca˜o e Velocidade no MRUV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Posi¸ca˜o versus tempo no MRUV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 A Equa¸ca˜o de Torricelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Exerc´ıcios de Aplica¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Mais Exerc´ıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 iv F´ısica D – Aula 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Queda Livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Conven¸co˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Velocidade Escalar Final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Tempo de Queda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Lan¸camento Vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Exerc´ıcios de Aplica¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Mais Exerc´ıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 F´ısica D – Aula 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Movimento Circular Uniforme (MCU) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Movimento Peri´ odico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Per´ıodo (T ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Frequˆencia (f ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Velocidade Escalar v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Velocidade Angular ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Vetores no MCU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Exerc´ıcios de Aplica¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Mais Exerc´ıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 F´ısica D – Aula 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Termodinˆ amica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Escalas Termom´etricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Convers˜ ao de Temperaturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Intervalos de Temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Exerc´ıcios de Aplica¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Mais Exerc´ıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 F´ısica E – Aula 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Eletricidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Carga El´etrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Tipos de Materiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Eletriza¸ca˜o por Atrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Eletriza¸ca˜o por Contato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Eletriza¸ca˜o por Indu¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Exerc´ıcios de Aplica¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Mais Exerc´ıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 F´ısica E – Aula 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Eletricidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Eletrosc´ opio de Folhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 A Lei de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 v Exerc´ıcios de Aplica¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Mais Exerc´ıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 F´ısica E – Aula 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Campo El´etrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 O Vetor Campo El´etrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 C´ alculo do Campo El´etrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Campo El´etrico Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Exerc´ıcios de Aplica¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Mais Exerc´ıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 F´ısica E – Aula 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Potencial El´etrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Diferen¸ca de Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Exerc´ıcios de Aplica¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Mais Exerc´ıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 F´ısica E – Aula 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Superf´ıcies Equipotenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Exerc´ıcios de Aplica¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Mais Exerc´ıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 F´ısica E – Aula 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Condutores em Equil´ıbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Equil´ıbrio Eletrost´ atico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 O Poder das Pontas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Condutor Oco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Potencial El´etrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Condutor Esf´erico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Blingdagem Eletrost´ atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Como Funciona o P´ ara-Raios? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Saiba Mais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Exerc´ıcios de Aplica¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Mais Exerc´ıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Capacidade El´etrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Unidades SI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Capacitores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Exerc´ıcios de Aplica¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Mais Exerc´ıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 F´ısica E – Aula 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Associa¸ca˜o de Capacitores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Associa¸ca˜o de Capacitores em S´erie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Associa¸ca˜o de Capacitores em Paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Energia de um Caacitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 vi Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Exerc´ıcios de Aplica¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Mais Exerc´ıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 QU´IMICA Qu´ımica A – Aula 1 55 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Estrutura Atˆ omica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Modelos Atˆ omicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Resumo do Modelo de Rutherford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Representa¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Exerc´ıcios de Aplica¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Mais Exerc´ıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Qu´ımica A – Aula 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Modelos Atˆ omicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 O Modelo Atˆ omico de Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 O Modelo Atˆ omico Atual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Exerc´ıcios de Aplica¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Mais Exerc´ıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Qu´ımica A – Aula 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Liga¸co˜es Qu´ımicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ Estabilidade dos Atomos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Teoria do Octeto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Classifica¸ca˜o dos Elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Estruturas de Lewis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Exerc´ıcios de Aplica¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Mais Exerc´ıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Qu´ımica A – Aula 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Liga¸co˜es Qu´ımicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Liga¸ca˜o Iˆ onica ou Eletrovalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Liga¸ca˜o Met´ alica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Liga¸ca˜o Covalente ou Molecular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Exerc´ıcios de Aplica¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Mais Exerc´ıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Qu´ımica A – Aula 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 A Estrutura da Mat´eria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Propriedades Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Os Gases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Exerc´ıcios de Aplica¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 59 vii Mais Exerc´ıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Qu´ımica A – Aula 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Teoria Cin´etica dos Gases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 G´ as Ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 G´ as Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Leis dos Gases Ideais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Lei Combinada dos Gases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Lei dos Gases Ideais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Lei das Press˜ oes Parciais de Dalton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Volumes Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Mudan¸cas de Estado F´ısico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Fus˜ ao e Solidifica¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Vaporiza¸ca˜o e Condensa¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Diagrama de Fases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Sublima¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Exerc´ıcios de Aplica¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Mais Exerc´ıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Qu´ımica A – Aula 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 ´ Acidos e Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ Acidos e Bases de Arrhenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ Nomenclatura dos Acidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Caracter´ısticas das Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Classifica¸ca˜o das Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ Outros Conceitos de Acidos e Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Conceitos de Br¨ onsted-Lowry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ Par Conjugado Acido–Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Conceito de Lewis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Comparando Coceitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Estequiometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 O mol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Exerc´ıcios de Aplica¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Mais Exerc´ıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Qu´ımica A – Aula 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Solu¸co˜es Qu´ımicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Concentra¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 T´ıtulo τ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Porcentagem em Massa P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Concentra¸ca˜o Comum C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Molaridade M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Equivalente-Grama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 N´ umero de Equivalentes-Gramas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Normalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 70 71 72 72 viii Resumo das Principais Equa¸co˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Exerc´ıcios de Aplica¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Mais Exerc´ıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Qu´ımica B – Aula 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 O que ´e Qu´ımica? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Um Pouco de Hist´ oria... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 A Importˆ ancia da Qu´ımica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 M´etodo Cient´ıfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Fenˆ omenos Qu´ımicos e F´ısicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Exerc´ıcios de Aplica¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Mais Exerc´ıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Qu´ımica B – Aula 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Mat´eria e Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Lei da Conserva¸ca˜o da Massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Estados da Mat´eria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Mudan¸cas de Estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ Part´ıculas e Atomos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Elementos e Substˆ ancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Sistemas e Misturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Exerc´ıcios de Aplica¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Mais Exerc´ıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Qu´ımica B – Aula 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Metais, Semimetais e Ametais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Is´ otopos e Is´ obaros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Classifica¸ca˜o dos Elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´Ions e Valˆencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Propriedades Peri´ odicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Exerc´ıcios de Aplica¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Mais Exerc´ıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Qu´ımica B – Aula 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Propriedades Peri´ odicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ Tamanho do Atomo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Potencial de Ioniza¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Eletroafinidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Eletronegatividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Reatividade Qu´ımica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Densidade (ρ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Volume Atˆ omico v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Ponto de Fus˜ ao (PF ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Exerc´ıcios de Aplica¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 78 80 81 ix Mais Exerc´ıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Qu´ımica B – Aula 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Liga¸co˜es Qu´ımicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Compostos Iˆ onicos e Moleculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Exerc´ıcios de Aplica¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Mais Exerc´ıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Qu´ımica B – Aula 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Liga¸co˜es Qu´ımicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Geometria Molecular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 For¸cas Intermoleculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Exerc´ıcios de Aplica¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Mais Exerc´ıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Qu´ımica B – Aula 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Equa¸co˜es e Rea¸co˜es Qu´ımicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Determina¸ca˜o dos Coeficientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Dicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Tipos de Rea¸co˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Para Saber Mais! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Vocˆe Sabia? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Exerc´ıcios de Aplica¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Mais Exerc´ıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Matem´ atica A – Aula 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Rela¸co˜es e Fun¸co˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Rela¸co˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Fun¸co˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Tipos de Fun¸co˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Exerc´ıcios de Aplica¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Mais Exerc´ıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Matem´ atica A – Aula 02 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Fun¸co˜es Polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 0 96 o Fun¸ca˜o Polinomial de 2 grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Exerc´ıcios de Aplica¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Mais Exerc´ıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Matem´ atica A – Aula 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Fun¸co˜es Especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Fun¸ca˜o Modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Cuidado! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Fun¸ca˜o Polinomial de 1 Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Fun¸ca˜o Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Exerc´ıcios de Aplica¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Mais Exerc´ıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Matem´ atica A – Aula 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Fun¸co˜es Especiais (II) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Fun¸ca˜o Logar´ıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Fun¸co˜es Trigonom´etricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Rela¸co˜es trigonom´etricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Transforma¸co˜es Trigonom´etricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Exerc´ıcios de Aplica¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Mais Exerc´ıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Matem´ atica B – Aula 01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Nota¸ca˜o Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Tipos de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Igualdade de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Exerc´ıcios de Aplica¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Mais Exerc´ıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Matem´ atica B – Aula 02 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Opera¸co˜es com Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Adi¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Subtra¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Multiplica¸ca˜o por um N´ umero Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Multiplica¸ca˜o de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Invers˜ ao de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Exerc´ıcios de Aplica¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 Mais Exerc´ıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 Matem´ atica B – Aula 03 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 Determinante de 1a Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 Determinante de 2a Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 Determinante de 3a Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Menor Complementar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Cofator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Teorema de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 Propriedades dos determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 Exerc´ıcios de Aplica¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 Mais Exerc´ıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 xi Matem´ atica C – Aula 01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 Teoria dos Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 Hist´ oria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 Conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 Representa¸ca˜o de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 Classifica¸ca˜o dos Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Igualdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Subconjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Conjunto das Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Opera¸co˜es com Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Exerc´ıcios de Aplica¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Mais Exerc´ıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Matem´ atica C – Aula 02 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 Conjuntos Num´ericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 O Nascimento do N´ umero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 Conjuntos Num´ericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 Opera¸co˜es com N´ umeros Inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 Potencia¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Exerc´ıcios de Aplica¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Mais Exerc´ıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 Matem´ atica C – Aula 03 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 N´ umeros complexos (C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 Potˆencias Naturais de i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 Forma Alg´ebrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 Igualdade de Complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 Opera¸co˜es com Complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 Representa¸ca˜o Geom´etrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 M´ odulo de um n´ umero complexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 Argumento de um Complexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 Forma Trigonom´etrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 Exerc´ıcios de Aplica¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 Mais Exerc´ıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 Matem´ atica C – Aula 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 Raz˜ oes e Propor¸co˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 Raz˜ ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 Escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 Propor¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 Grandezas Diretamente Proporcionais: (GDP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 Grandezas Inversamente Proporcionais (GIP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 Exerc´ıcios de Aplica¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 Mais Exerc´ıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 xii Matem´ atica C – Aula 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Regras de Trˆes Simples e Composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Regra de Trˆes Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 [Regra de Trˆes Composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Exerc´ıcios de Aplica¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 3.1 Exerc´ıcios Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Matem´ atica C – Aula 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Juros e Porcentagens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Juros Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Porcentagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 Raz˜ ao Centesimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 Fator de Multiplica¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Exerc´ıcios de Aplica¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Mais Exerc´ıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 An´ alise Combinat´ oria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 Princ´ıpio Fundamental da Contagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 Fatorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 Exerc´ıcios de Aplica¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 Mais Exerc´ıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 Matem´ atica C – Aula 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 Arranjo, Combina¸ca˜o e Permuta¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 Arranjos Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 Combina¸co˜es Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 Permuta¸co˜es Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 Exerc´ıcios de Aplica¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 Mais Exerc´ıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 Tabela Peri´ odica 131 F´ısica F´ısica A Aula 1 onde F ´e o m´ odulo da for¸ca constante e d ´e o deslocamento (em m´ odulo). O sinal + ´e usado quando a for¸ca e o deslocamento possuem o mesmo sentido, e o sinal −, quando possuem sentidos contr´ arios. Importante Energia Observe que o trabalho ´e uma grandeza escalar, apesar de ser definida a partir de dois vetores (F e d). A energia se apresenta de diversas formas na natureza. Por exemplo os alimentos que nos proporcionam energia qu´ımica, a combust˜ ao da gasolina libera energia t´ermica, energia el´etrica ´e utilizados em diversos aparelhos, transformando-se em energia sonora, energia luminosa, etc. Para medir a quantidade de energia transferida de um corpo para outro vamos introduzir o conceito de trabalho. Unidades 1 N · m = 1 J = 1 joule = 107 erg 1 kJ = 103 J Quando a for¸ca for aplicada ao corpo formando um aˆngulo φ com a horizontal, temos a seguinte f´ ormula mais geral: Trabalho O significado da palavra trabalho, na F´ısica, ´e diferente do seu significado habitual, empregado na linguagem comum. O trabalho, na F´ısica ´e sempre relacionado a uma for¸ca que desloca uma part´ıcula ou um corpo. Dizemos que uma for¸ca F realiza trabalho quando atua sobre um determinado corpo que est´ a em movimento. A partir dessa descri¸ca˜o podemos dizer que s´ o h´ a trabalho sendo realizado se houver deslocamento, caso contr´ ario o trabalho realizado ser´ a nulo. Assim, se uma pessoa sustenta um objeto, sem desloc´ a-lo, ela n˜ ao est´ a realizando nenhum trabalho sobre o corpo. Quando uma for¸ca F atua sobre um corpo no mesmo sentido de seu movimento (ou deslocamento) ela est´ a favorecendo o movimento desse corpo, considera-se positivo o trabalho realizado pela for¸ca. W = F d cos φ (1.2) onde F ´e o m´ odulo da for¸ca constante, d ´e o deslocamento (em m´ odulo) e φ o aˆngulo entre os vetores F e d, ou seja, entre a dire¸ca˜o da for¸ca e o deslocamento. Podemos tamb´em calcular o trabalho W realizado pela for¸ca F atrav´es da a´rea sob a curva do gr´ afico F × x: Uma For¸ ca Constante Quando a for¸ca F atua no sentido contr´ ario ao movimento do corpo, contra o movimento (deslocamento), o trabalho realizado pela for¸ca ´e considerado negativo. Desta maneira podemos escrever que trabalho W realizado por uma for¸ca horizontal constante, durante um deslocamento horizontal d ´e: W = ±F d (1.1) ´ W ≡ Area sob a curva Observe que neste caso deveremos descobrir o sinal do trabalho atrav´es da an´ alise do gr´ afico, e do sentido relativo entre a for¸ca e o deslocamento (ou do aˆngulo φ). 2 Apostila do Curso Pr´e-Vestibular UDESC 2005 – M´ odulo I Uma For¸ ca Vari´ avel 0 gr´ afico abaixo representa a a¸ca˜o de uma for¸ca vari´ avel que age sobre um corpo, provocando um deslocamento linear, desde o ponto x0 at´e o ponto x00 . Neste caso, o trabalho pode ser determinado pela a´rea sob a curva, desenhando-se o gr´ afico em papel quadriculado, ou de forma aproximada pela a´rea de um trap´ezio: W = Fd =  F 00 + F 0 2  (x00 − x0 ) Figura 1.1: James Watt (1736-1819) Observe que essa f´ ormula considera a for¸ca m´edia (aproximada) multiplicada pelo deslocamento. Tipos de For¸ cas Existem diversos tipos de for¸cas que podem atuar em um corpo: for¸ca el´ astica, for¸ca peso, for¸ca el´etrica, for¸ca de contato, etc... Em alguns casos, pode-se escrever W = F d e, substituindo na equa¸ca˜o acima temos P= Potˆ encia P F dt W = = Fv . t t j´ a que v = d/t. Consideramos duas pessoas que realizam o mesmo trabalho. Se uma delas levar um tempo menor que a outra para a realiza¸ca˜o desse trabalho, tem de fazer um esfor¸co maior e, por tanto, dizemos que desenvolveu uma potˆencia maior. Unidade de Potˆ encia 1 J/s = 1 watt = 1 W Um carro ´e mais potente que o outro quando ele “arranca”mais r´ apido e atinge uma dada velocidade num intervalo de tempo menor do que o outro carro.. Energia cin´ etica Um aparelho de som ´e mais potente que o outro quando ele ele transforma mais energia el´etrica em sonora num menor intervalo de tempo. Uma m´ aquina ´e caracterizada n˜ ao s´ o pelo trabalho que ela efetua, mas pelo trabalho que pode efetuar em determinado tempo. Para variar a velocidade de um corpo em movimento ´e preciso o concurso de for¸cas externas, as quais realizam certo trabalho. Esse trabalho ´e uma forma de energia que o corpo absorve (ou perde) pelo fato de estar em movimento em rela¸ca˜o a um dado sistema de referˆencia. Ent˜ ao podemos concluir que potˆencia ´e o trabalho realizado durante um determinado tempo, ou seja: Chamamos essa energia de movimento de energia de cin´etica. Para uma part´ıcula de massa m e velocidade v a energia cin´etica ´e: P = W/t Ec = 1 mv 2 2 F´ısica A – Aula 1 3 e assim como o trabalho, mede-se a energia cin´etica em joules. Teorema Trabalho-Energia Suponhamos que FR seja a resultante das for¸cas que atuam sobre uma part´ıcula de massa m. O trabalho dessa resultante ´e igual a` diferen¸ca entre o valor final e o valor inicial da energia cin´etica da part´ıcula: W = ∆Ec = 1 1 mvf2 − mvi2 2 2 Esse enunciado, conhecido como teorema do trabalhoenergia indica que o trabalho da resultante das for¸cas que atua sobre uma part´ıcula modifica sua energia cin´etica. 3. (UMC-SP) Sobre trabalho, potˆencia e energia, pode-se afirmar que: a) potˆencia e energia s˜ ao sinˆ onimos. b) trabalho e potˆencia se expressam com a mesma unidade. c) para trabalho e energia usa-se a mesma unidade. d) potˆencia ´e a capacidade de realizar trabalho. e) trabalho ´e a rela¸ca˜o energia-tempo. f) para trabalho e energia usa-se a mesma unidade. 4. O produto da for¸ca pelo deslocamento do corpo em que ela atua est´ a associado com: a) trabalho b) potˆencia c) distˆ ancia d) acelera¸ca˜o e) velocidade Pense um Pouco! • Que trabalho realizamos sobre um corpo que ´e levantado a uma determinada altura? Esse trabalho seria positivo ou negativo? Exerc´ıcios Complementares • Se vocˆe pudesse segurar um elefante a uma determinada altura, vocˆe estaria realizando trabalho? Por quˆe? • Um menino puxa um carrinho sem rodas, por um barbante. 1. H´ a algum trabalho sendo realizado sobre o carrinho? Por quˆe? O trabalho ´e positivo ou negativo. 2. O menino desenvolve alguma potˆencia? Por quˆe? 5. (UFSC) O gr´ afico a seguir representa a resultante das for¸cas, em newtons, que atuam num corpo de massa igual a 10, 0 kg, em fun¸ca˜o do deslocamento total em metros. Supondo que a velocidade ´e de 14 12 m/s, determine, em m/s, a velocidade do corpo depois de percorrer 40, 0 m. 3. O carrinho tem energia cin´etica? Por quˆe? Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. (ESAL-MG) Um homem est´ a em repouso com um caixote tamb´em em repouso a`s costas. a) Como o caixote tem um peso, o homem est´ a realizando trabalho. b) O homem est´ a realizando trabalho sobre o caixote pelo fato de o estar segurando c) O homem est´ a realizando trabalho pelo fato de estar fazendo for¸ca. d) O homem n˜ ao realiza trabalho pelo fato de n˜ ao estar se deslocando. e) O homem n˜ ao realiza trabalho pelo fato de o caixote estar sujeito a` acelera¸ca˜o da gravidade. 2. (UFSE) Um corpo est´ a sendo arrastado por uma superf´ıcie horizontal com atrito, em movimento uniforme. Considere as afirma¸co˜es a seguir: I. O trabalho da for¸ca de atrito ´e nulo. II. O trabalho da for¸ca peso ´e nulo. III. A for¸ca resultante que arrasta o corpo ´e nula. Dentre as afirma¸co˜es: ´ correta a I, somente. a) E ´ correta a II, somente. b) E ´ correta a III, somente. c) E d) S˜ ao incorretas I, II, III. e) S˜ ao corretas II e III. 6. Um proj´etil de massa 10, 0 g penetra com velocidade horizontal de 100 m/s e sai de uma t´ abua de espessura de 10, 0 mm, com velocidade de 90, 0 m/s. Calcule a for¸ca com que a t´ abua exerce sobre o proj´etil. 4 Apostila do Curso Pr´e-Vestibular UDESC 2005 – M´ odulo I For¸ ca El´ astica Chamamos de corpos el´ asticos aqueles que, ao serem deformados, tendem a retornar a` forma inicial. 7. Um m´ ovel de massa 2, 90 kg ´e submetido a` uma for¸ca constante e adquire, a partir do repouso, a velocidade de 20, 0 m/s em 8, 00 s. Calcule: a) o trabalho W realizado pela for¸ca; b) a potˆencia P desenvolvida pela for¸ca; F´ısica A Aula 2 Figura 1.1: Robert Hooke (1635-1703) Energia Potencial Um corpo possui energia quando ´e capaz de realizar trabalho. Suponha, ent˜ ao, um corpo situado a uma certa altura acima do solo. Se este corpo for abandonado, chegando ao solo, ´e f´ acil perceber que ser´ a capaz de realizar um certo trabalho: amassar um objeto, perfurar o solo, etc. Pode-se pois concluir que aquele corpo possu´ıa energia na posi¸ca˜o elevada. A energia que um corpo possui, em virtude de estar situado a uma certa altura acima da superf´ıcie da Terra, ´e denominada energia potencial gravitacional. H´ a outras situa¸co˜es, semelhantes a essa, nas quais um corpo tamb´em possui energia em virtude da posi¸ca˜o que ele ocupa. Por exemplo, um corpo situado na extremidade de uma mola comprimida (ou esticada) possui energia em virtude de sua posi¸ca˜o. Se um corpo comprimir uma mola e soltarmos esse corpo, ele ser´ a empurrado pela mola e poder´ a realizar trabalho. Neste caso, a energia que o corpo possui na ponta da mola comprimida ou esticada ´e denominada energia potencial el´ astica. Energia Potencial Gravitacional Para uma massa m a uma altura h acima do solo, nosso referencial usual de energia zero, podemos definir a energia potencial gravitacional Ep como Uma mola helicoidal, feita geralmente de a¸co, como caracter´ıstica pr´ opria uma constante el´ astica k, que define a proporcionalidade entre a intensidade for¸ca F aplicada e a respectiva deforma¸ca˜o x causada na mola. A lei de Hooke relaciona essas quantidades na forma F = −kx Observe que x mede a deforma¸ca˜o linear da mola a partir do seu tamanho de equil´ıbrio (sem for¸ca). Atrv´es a equa¸ca˜o acima, pode-se ver que a unidade SI da constante el´ astica deve ser N/m. Na pr´ atica, a constante k mede a “dureza´´ da mola: quanto maior o valor de k, mais dif´ıcil ser´ a a sua deforma¸ca˜o, ou seja, mais for¸ca ser´ a necess´ aria para deform´ a-la uma certa quantidade x. Energia Potencial El´ astica Quando aplicamos uma for¸ca e deformamos uma mola estamos transferindo a ela uma energia, essa energia fica armazenada na mola. Definimos que a energia armazenada em uma mola comprimida ou distendida ´e chamada de energia potencial el´ astica, atrav´es de Ep = 1 2 kx 2 Pense um Pouco! Ep = mgh onde g ´e a acelera¸ca˜o da gravidade. No SI, g vale aproximadamente 9, 8 m/s2 . • A energia potencial gravitacional depende da acelera¸ca˜o da gravidade, ent˜ ao em que situa¸co˜es essa energia ´e positiva, nula ou negativa? F´ısica A – Aula 3 • A for¸ca el´ astica depende da massa da mola? Por quˆe? • Se uma mola ´e comprimida por um objeto de massa grande, quando solto a mola n˜ ao consegue se mover, o que acontece com a energia potencial el´ astica? Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. Um garoto atira uma pedra para cima com um estilingue. a) Qual a forma de energia armazenada no estilingue? b) Que forma de energia possui a pedra quando atinge sua altura m´ axima? c) Existe energia no estilingue depois do lan¸camento? Comente. 5 a) Determine a enregia potencial el´ astica armazenada na mola. b) Se apenas energia da mola for utilizada integralmente para impulsionar um bloco de 100 g, qual ´e a velocidade m´ axima adquirida pelo bloco? 7. Qual o trabalho necess´ ario para se comprimir uma mola, cuja constante el´ astica ´e 500 N/m, em 10, 0 cm? 8. Um menino situado no alto de um edif´ıcio, segura um corpo de massa 1, 5 kg a uma altura igual a 10 m acima do solo. a) Qual a energia potencia gravitacional do corpo naquela posi¸ca˜o? b) Qual a energia potencia gravitacional do mesmo corpo, quando situado a 6, 0 m do ch˜ ao? 2. Um para-quedista desce com velocidade constante, depois de um certo tempo de queda. a) O que acontece com sua energia potencial Ep ? b) Sua energia cin´etica est´ a variando? Comente. F´ısica A 3. Um indiv´ıduo encontra-se sobre uma balan¸ca de mola, pisando sobre ela com seus dois p´es. Se ele levantar um dos p´es e mantiver o outro apoiado, no interior de um elevador completamente fechado, quando observa que o peso indicado na balan¸ca ´e zero. Ent˜ ao, conclui que: a) est´ a descendo com velocidade constante b) o elevador est´ a com acelera¸ca˜o igual a` da gravidade c) a for¸ca de atra¸ca˜o gravitacional exercida sobre ele ´e anulada pela rea¸ca˜o normal do elevador d) a balan¸ca est´ a quebrada, visto que isto ´e imposs´ıvel Trabalho e Energia Potencial Aula 3 4. Duas pedras, sendo uma de 20 kg e outra de 30 kg, est˜ ao a 500 m de altura em rela¸ca˜o ao solo. Vocˆe diria que: a) ambas as pedras tˆem igual energia potencial; b) a pedra de menor massa tem maior energia potencial c) nada podemos afirmar com rela¸ca˜o a` energia potencial das pedras d) a pedra de massa menor tem maior capacidade de realizar trabalho e) a pedra de maior massa tem maior energia potencial 5. (UFRN) Uma mola heliciodal, de massa desprez´ıvel, est´ a suspensa verticalmente e presa a um suporte horizontal. Quando se pendura um corpo de 40 kg na extremidade livre dessa mola, ela apresenta deforma¸ca˜o de 2, 0 cm para o sistema em equil´ıbrio. Se acrescentarmos a essa massa outra de 10 kg, no ponto de equil´ıbrio, a nova deforma¸ca˜o ser´ a de: a) 3,0 m b) 2,5 cm c) 2,0 m d) 1,5 cm e) 1,0 m Exerc´ıcios Complementares 6. Uma mola cuja constate el´ astica ´e 1000 N/m encontra-se comprimida em 10 cm. Figura 1.1: James Prescott Joule (1818-1889). A energia potencial gravitacional est´ a relacionada a` posi¸ca˜o de um corpo no campo gravitacional. Em geral, quando movemos o corpo, alteramos sua energia potencial. Para elevar um corpo em equil´ıbrio do solo at´e uma altura h, devemos aplicar uma for¸ca que prealizar´ a um trabalho (positivo) de mesmo m´ odulo que o trabalho realizado pela for¸ca peso do corpo (negativo). 6 Apostila do Curso Pr´e-Vestibular UDESC 2005 – M´ odulo I















m










Fext.= −P

















P Figura 1.2: Um corpo sendo suspenso em equil´ıbrio. mecˆ anica desse corpo se conserva. Por este motivo, as for¸cas citadas s˜ ao denominadas for¸ cas conservativas. Exemplo: ao dar corda em um rel´ ogio, vocˆe est´ a armazenando energia potencial el´ astica numa mola, e essa energia estar´ a dispon´ıvel para fazer com que o rel´ ogio trabalhe durante um certo tempo. Isso s´ o ´e poss´ıvel porque a energia el´ astica foi armazenada (conservada). Por outro lado, se existissem for¸cas de atrito atuando durante o deslocamento do corpo, sua energia mecˆ anica n˜ ao se conserva, por que parte dela (ou at´e ela toda) se dissipa sob forma de calor. Por isso dizemos que as for¸cas de atrito s˜ ao for¸cas dissipativas. Exemplo: se vocˆe arrastar um caixote pelo ch˜ ao horizontal, durante um longo percurso, ver´ a que todo o trabalho realizado foi perdido, pois nenhuma parte dessa energia gasta foi armazenada, ou est´ a dispon´ıvel no caixote. A Conserva¸ c˜ ao da Energia Mecˆ anica Um sistema mecˆ anico no qual s´ o atuam for¸cas conservativas O trabalho realizado pela for¸ca externa Fext. , ´e armazenado ´e dito sistema conservativo, pois a sua energia mecˆ anica no sistema corpo-Terra na forma de energia potencial gra(E) se conserva, isto ´e, mant´em-se com o mesmo valor em vitacional Ep , e vale: qualquer momento ou posi¸ca˜o, podendo alternar-se nas suas formas cin´etica e potencial (gravitacional ou el´ astica): Ep = −mgh se definirmos o valor zero (Ep = 0) no ch˜ ao, onde h = 0. J´ a para o sistema massa-mola, temos uma for¸ca externa sendo aplicada no sistema fazendo com que a mola sofra uma deforma¸ca˜o, sendo essa for¸ca F = −kx o trabalho W externo necess´ ario para esticar a mola uma quantidade x ser´ a 1 W = kx2 2 e chamamos essa energia, agora armazenada na mola, de energia potencial el´ astica. E = E c + Ep Degrada¸ c˜ ao da Energia A energia est´ a constantemente se transformando, mas n˜ ao pode ser criada nem destru´ıda. • Em uma usina hidrel´etrica, a energia mecˆ anica da queda d’´ agua ´e transformada em energia el´etrica. • Em uma locomotiva a vapor, a energia t´ermica ´e transformada em energia mecˆ anica para movimentar o trem. • Em uma usina nuclear, a energia proveniente da fiss˜ ao dos n´ ucleos atˆ omicos se transforma em energia el´etrica. • Em um coletor solar, a energia das radia¸co˜es provenientes do sol se transforma em energia t´ermica para o aquecimento de a´gua. Pense um Pouco! • Um corpo cai sobre uma plataforma apoiada numa mola e volta a subir. Ele pode atingir, na volta, altura maior do que aquela de que foi abandonado? Por quˆe? Figura 1.3: Uma mola esticada, em equil´ıbrio. For¸ cas Conservativas e Dissipativas Quando sobre um corpo em movimento atua apenas seu peso, ou for¸ca el´ astica exercida por uma mola, a energia • Indique algumas fontes de energia e explique a forma de aproveit´ a-las para a realiza¸ca˜o de trabalho mecˆ anico. • Quando se ergue um objeto a uma certa altura, como se realiza menor trabalho: suspendendo-o diretamente por uma corda, na vertical, ou transportando-o atrav´es de um plano inclinado (sem atrito) at´e a altura desejada? Por quˆe? F´ısica B – Aula 1 • Compare a energia necess´ aria para elevar de 10 m uma massa na Terra e a energia necess´ aria para elevar de 10 m a mesma massa na Lua. Explique a diferen¸ca. Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. Quais as transforma¸co˜es de energia que ocorrem quando um jogador chuta uma bola? 2. Quais as principais diferen¸cas entre energia potencial e energia cin´etica? 7 8. Um corpo de massa 5, 0 kg ´e elevado do solo a um ponto situado a 3, 0 m de altura. Considere g = 10 m/s2 . Determine: a) o trabalho realizado pela for¸ca peso do corpo nesse deslocamento; b) o aumento na energia potencial gravitaconal do corpo. 9. (Fatec-SP) Um corpo de massa 2, 0 kg escorrega, a partir do repouso do ponto A, por uma pista vertical sem atrito. Na base da pista, o corpo comprime a mola de constante el´ astica 800 N/m. Sendo h = 1, 8 m e g = 10 m/s2 , qual a deforma¸ca˜o m´ axima sofrida pela mola? 3. Uma for¸ca ´e dita conservativa quando: a) n˜ ao realiza trabalho b) o trabalho por ela realizado n˜ ao depende da trajet´ oria de seu ponto de aplica¸ca˜o c) realiza apenas trabalhos positivos d) o trabalho por ela realizado n˜ ao depende da massa do corpo em que est´ a aplicada e) dissipa energia t´ermica 4. Um sistema f´ısico tem energia quando: a) est´ a sujeito apenas a a¸co˜es de for¸cas conservativas; b) est´ a sujeito a for¸cas conservativas e dissipativas; c) est´ a capacitado a realizar trabalho; d) possui grande quantidade de a´tomos e) perde calor Exerc´ıcios Complementares 5. O princ´ıpio da conserva¸ca˜o da energia afirma que: a) a energia cin´etica de um corpo ´e constante b) a energia potencial el´ astica mais a energia cin´etica ´e sempre constante c) a energia n˜ ao pode ser criada nem destru´ıda, mas apenas transformada em calor devido aos atritos d) a energia total de um sistema, isolado ou n˜ ao, permanece constante e) a energia n˜ ao pode ser criada nem destru´ıda, mas apenas transformada de uma modalidade para outra 6. A energia mecˆ anica de um corpo: a) ´e a soma da sua energia potencial e cin´etica b) depende apenas do referencial c) depende da acelera¸ca˜o do corpo d) ´e sempre constante, independente do tipo de for¸cas atuantes sobre ele e) depende apenas da velocidade do corpo 7. Para esticar uma mola em 40 cm, ´e necess´ aria uma for¸ca de 20 N . Determine: a) A constante el´ astica da mola; b) O trabalho realizado pelo agente externo que estica a mola; c) O trabalho realizado pela mola; d) O trabalho que seria necess´ ario para deformar a mola em 80 cm; e) A for¸ca necess´ aria para esticar a mola em 80 cm. Figura 1.4: Quest˜ ao 9. F´ısica B Aula 1 Grandezas F´ısicas Apesar de existirem muitas grandezas f´ısicas, s˜ ao estabelecidos padr˜ oes e definidas unidades para que tenhamos um n´ umero m´ınimo de grandezas denominadas fundamentais. Utilizando as grandezas fundamentais definem-se unidades para todas as demais grandezas, as chamadas grandezas derivadas. A partir de uma das grandezas fundamentais, o comprimento por exemplo, cuja unidade ´e o metro (m), pode-se definir as unidades derivadas, como a ´rea (m2 ) e volume 3 (m ). Utilizando o metro e outra grandeza fundamental, a de tempo, definem-se as unidades de velocidade (m/s) e acelera¸ca ˜o (m/s2 ). Sistema Internacional(SI) At´e o final do s´eculo XV III era muito grande a quantidade de padr˜ oes existentes. Cada regi˜ ao escolhia arbitrariamente as suas unidades. Por motivos hist´ oricos, os pa´ıses de l´ıngua inglesa utilizam at´e hoje os seus padr˜ oes regionais. O elevado aumento nos intercˆ ambios econˆ omicos e culturais levou ao surgimento do Sistema Internacional de Unidades ou SI, o sistema m´etrico. Em 1971, a 14a Conferˆencia Geral de Pesos e Medidas escolheu sete grandezas como fundamentais, formando assim a base do SI. Al´em das grandezas, definiu-se tamb´em os s´ımbolos, unidades derivadas e prefixos. A tabela 1.1 mostra as unidades fundamentais do SI. A tabela 1.2 apresenta algumas unidades derivadas do SI. 8 Apostila do Curso Pr´e-Vestibular UDESC 2005 – M´ odulo I Grandeza comprimento massa tempo corrente el´etrica temperatura quantidade de mat´eria intensidade luminosa Unidade metro quilograma segundo amp`ere kelvin mol candela S´ımbolo m kg s A K mol cd Tabela 1.1: Unidades fundamentais do SI. Grandeza a´rea volume densidade velocidade acelera¸ca˜o for¸ca press˜ ao trabalho, energia, calor potˆencia carga el´etrica diferen¸ca de potencial resistˆencia el´etrica Unidade metro quadrado metro c´ ubico quilograma por metro c´ ubico metro por segundo metro por segundo ao quadrado newton pascal joule watt coulomb volt ohm S´ımbolo m2 m3 kg/m3 m/s m/s2 N = Kg m/s2 P a = N/m2 J W = J/s C = As V = J/C Ω = V /A Tabela 1.2: Algumas unidades derivadas do SI. Prefixo S´ımbolo pico nano micro mili centi deci deca hecto quilo mega giga tera p n µ m c d D H k M G T Potˆ encia de dez correspondente 10−12 10−9 10−6 10−3 10−2 10−1 101 102 103 106 109 1012 Tabela 1.3: Prefixos, s´ımbolos e potˆencias de dez. Nota¸ c˜ ao Cient´ıfica A medida de uma determinada grandeza f´ısica pode resultar em um n´ umero que seja extremamente grande ou extremamente pequeno, por exemplos temos: • distˆ ancia da Terra a` Lua: 384.000.000 m. • diˆ ametro de um a´tomo de hidrogˆenio: 0, 0000000001 m. Para manipular tais n´ umeros, utilizamos a nota¸ca˜o cient´ıfica, fazendo uso das potˆencias de 10. O m´ odulo de qualquer n´ umero g pode ser escrito como um produto de uma mantissa a, entre um e dez, por outro, que ´e uma potˆencia de dez: g = a × 10n , onde devemos ter 1 ≤ a < 10. Exemplos • 243 = 2, 43 × 100 = 2, 43 × 102 • 5.315 = 5, 315 × 1000 = 5, 315 × 103 • 0, 00024 = 2, 4 × 0, 0001 = 2, 4 × 10−4 • 0, 00458 = 4, 58 × 0, 001 = 4, 58 × 10−3 Regra Pr´ atica • N´ umeros maiores que 1: deslocamos a v´ırgula para a esquerda, at´e atingir o primeiro algarismo do n´ umero. O n´ umero de casas deslocadas para a esquerda corresponde ao expoente positivo da potˆencia de 10. • N´ umeros menores do que 1: deslocamos a v´ırgula para a direita, at´e o primeiro algarismo diferente de zero. O n´ umero de casas deslocadas para a direita corresponde ao expoente negativo da potˆencia de 10. Pense um Pouco! • Quais s˜ ao as unidades de Peso e de massa? por que elas n˜ ao s˜ ao iguais? • Um analg´esico deve ser inserido na quantidade de 3 mg/kg de massa corporal, mas a dose administrada n˜ ao pode exceder 200 mg. Cada gota cont´em 5 mg do rem´edio. Quantas gotas devem ser prescritas a um paciente de 80 kg? Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. (UENF-RJ) A tabela abaixo mostra as dimens˜ oes e as unidades, no sistema internacional, Grandeza Comprimento Massa Tempo Dimens˜ ao L M T Unidades SI m (metro) kg (quilograma) s (segundo) das grandezas mecˆ anicas prim´ arias: a) Sabendo que for¸ca = massa · acelera¸ca˜o, expresse a unidade de for¸ca em unidades de grandezas prim´ arias. b) Determine os valores de n e p, se a express˜ ao M Ln T n−p corresponde a` dimens˜ ao de energia cin´etica. 2. (FGV-SP) A dimens˜ ao de potˆencia em fun¸ca˜o das grandezas fundamentais, massa (M ), comprimento (L) e tempo (T ) ´e: F´ısica B – Aula 2 a) M L2 T −2 b) M L2 T −1 c) M L2 T 2 d) M L2 T −3 e) M LT −2 3. (Unifor-CE) Considerando que cada aula dura 50 min, o intervalo de tempo de duas aulas seguidas, expresso em segundos, ´e de: a) 3, 0 × 102 . b) 3, 0 × 103 . c) 3, 6 × 103 . d) 6, 0 × 103 . e) 7, 2 × 103 . Exerc´ıcios Complementares 4. (UFPI) A nossa gal´ axia, a V´ıa L´ actea, cont´em cerca de 400 bilh˜ oes de estrelas. Suponha que 0, 05% dessas estrelas possuam um sistema planet´ ario onde exista um planeta semelhante a` Terra. O n´ umero de planetas semelhantes a` Terra, na V´ıa L´ actea, ´e: a) 2 × 104 . b) 2 × 106 . c) 2 × 108 . d) 2 × 1011 . e) 2 × 1012 . 5. Transforme em quilˆ ometros: a) 3600 m; b) 2160000 cm; c) 0, 03 m; d) 5780 dm; e) 27600 m; f) 5800 mm; 6. (Unifor-CE) Um livro de F´ısica tem 800 p´ aginas e 4, 0 cm de espessura. A espessura de uma folha do livro vale, em mil´ımetros: a) 0, 025. b) 0, 050. c) 0, 10. d) 0, 15. e) 0, 20. 7. Escreva os seguintes n´ umeros em nota¸ca˜o cient´ıfica: a) 570.000 b) 12.500 c) 50.000.000 d) 0, 0000012 e) 0, 032 f) 0, 72 g) 82 × 103 h) 640 × 105 i) 9.150 × 10−3 j) 200 × 10−5 k) 0, 05 × 103 l) 0, 0025 × 10−4 9 F´ısica B Aula 2 Algarismos Significativos A precis˜ ao de uma medida simples depende do instrumento utilizado em sua medi¸ca˜o. Uma medida igual a 2, 00 cm n˜ ao deve ser escrita como 2, 0 cm ou 2 cm. Denominamos algarismos significativos todos os algarismos conhecidos com certeza, acompanhados de um u ´ltimo duvidoso, que expressam o valor da medida de uma grandeza, ou seja: todos os algarismos que representam a medida de uma grandeza s˜ ao algarismos significativos, sendo chamados de corretos, com exce¸ca˜o do u ´ltimo, que recebe o nome de algarismo duvidoso. O algarismo duvidoso de uma medida ser´ a sublinhado para destac´ a-lo, quando for preciso. Exemplos 1. A medida 2, 35 cm apresenta trˆes algarismos significativos (2, 3 e 5), sendo dois algarismos corretos (2 e 3) e um algarismo duvidoso (5). 2. A medida 0, 00057 mm apresenta somente dois algarismos significativos ( 5 e 7), sendo um correto (5) e um duvidoso (7). Observe que os zeros a ` esquerda n˜ ao s˜ ao algarismos significativos, pois servem apenas para posicionar a v´ırgula no n´ umero. Nesse caso, ´e aconselh´ avel escrever a medida em nota¸ca˜o cient´ıfica: 5, 7 × 10−4 mm. 3. A medida 150, 00 km apresenta cinco algarismos significativos, sendo os quatro primeiros corretos, e o u ´ltimo zero ´e o algarismo duvidoso. Em nota¸ca˜o cient´ıfica escrevemos: 1, 5000 × 102 km. Note que ao escrevermos um n´ umero usando as potˆencias de 10 mantemos a quantidade de algarismos significativos deste n´ umero, ou seja, mantemos sua precis˜ ao. 4. Considere a medida do comprimento de uma haste com r´egua com divis˜ oes em cent´ımetros: 0 cm 1 2 3 4 5 6 7 Qual das op¸co˜es abaixo melhor representa o comprimento da haste? a) 5, 0 cm b) 5, 40 cm c) 5 cm d) 5, 5 cm e) 5, 2 cm 5. Considere a figura: 0 cm 1 2 3 4 5 6 7 10 Apostila do Curso Pr´e-Vestibular UDESC 2005 – M´ odulo I A mesma haste do exemplo anterior, medida agora com uma r´egua milimetrada: O resultado de uma multiplica¸ca˜o e divis˜ ao n˜ ao pode ter maior n´ umero de algarismos significativos do que o fator mais pobre (em algarismos significativos). Procede-se a opera¸ca˜o normalmente e arredonda-se o resultado. a) 5, 2 cm b) 5, 240 cm c) 5, 45 cm Exemplos d) 5, 24 cm e) 5, 21 cm 6. Indique o n´ umero de algarismos significativos de cada n´ umero abaixo: a) 7, 4 2 significativos b) 0, 0007 1 significativo c) 0, 034 2 significativos d) 7, 40 × 10−10 3 significativos Crit´ erios de Arredondamento Considere a velocidade da luz c = 2, 9979 . . . × 10 8 m/s. Como devemos proceder para escrever “c” com um n´ umero menor de algarismos significativos? Devemos utilizar os crit´erios de arredondamento. Podemos escrever: c = 2, 998 × 108 m/s 8 c = 3, 00 × 10 m/s 8 c = 3, 0 × 10 m/s Multiplica¸ c˜ ao e Divis˜ ao 4 significativos 3 significativos 2 significativos REGRAS • Se o algarismo a ser eliminado ´e menor que 5, ele ´e simplesmente eliminado. √ Exemplo: 2 = 1, 41421 . . . = 1, 414 • Se o algarismo a ser eliminado ´e igual ou maior que 5, ele ´e eliminado, mas acrescentamos uma unidade no algarismo anterior. Exemplo: π = 3, 1415926 . . . = 3, 1416 • 4, 23 m × 2, 000 m = 8, 46 m2 = 8, 5 m2 • 4, 98 cm ÷ 2, 00 s = 2, 49 cm/s = 2, 5 cm/s Rela¸ co ˜es entre Grandezas F´ısicas Muitos fenˆ omenos f´ısicos podem ser reduzidos ao estudo da rela¸ca˜o entre duas grandezas. Quando isto ocorre, os dados obtidos das medi¸co˜es podem ser expressos por uma representa¸ca˜o gr´ afica num plano cartesiano por meio de dois eixo perpendiculares entre si. Atrav´es da representa¸ca˜o gr´ afica da rela¸ca˜o entre duas grandezas pertencentes a um determinado fenˆ omeno f´ısico, podemos obter algumas conclus˜ oes sobre o comportamento de uma das grandezas (vari´ avel dependente) em rela¸ca˜o a outra (vari´ avel independente). Consideremos o seguinte exemplo: Uma pessoa com febre foi medicada, ingerindo uma dose do medicamento a`s 8 horas e uma outra dose a`s 12 horas da manh˜ a. A temperatura da pessoa foi verificada de hora em hora e os resultados obtidos s˜ ao mostrados abaixo. Tempo (h) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Temperatura (◦ C) 39,0 39,0 38,5 38,0 38,5 37,5 37,0 36,5 36,5 36,5 Adi¸ c˜ ao e Subtra¸ c˜ ao Podemos representar os dados da tabela acima em um gr´ afico. A representa¸ca˜o gr´ afica das vari´ aveis temperatura (vari´ avel dependente: eixo vertical) e tempo (vari´ avel independente: eixo horizontal) est´ a mostrada na Fig. 1.1. O resultado da adi¸ca˜o e subtra¸ca˜o de dois n´ umeros n˜ ao pode ter maior n´ umero de casas decimais, do que a parcela mais pobre (em casas decimais). Procede-se a opera¸ca˜o normalmente e arredonda-se o resultado. O gr´ afico cartesiano mostrado anteriormente, al´em de facilitar a visualiza¸ca˜o do comportamento da temperatura da pessoa durante as 9 horas de observa¸ca˜o, permite tamb´em, algumas conclus˜ oes. Opera¸ co ˜es com Algarismos Significativos Exemplos Como Construir um Gr´ afico • 5, 3 m + 4, 38 m = 9, 68 m = 9, 7 m • 138, 95 m − 12, 3 m = 126, 65m = 126, 7 m Sublinhamos o algarismo duvidoso, identificando-o, para a seguir procedermos o arredondamento. Para que gr´ aficos sejam constru´ıdos de forma objetiva e clara ´e necess´ ario respeitar algumas regras simples: • O eixo vertical ´e chamado de eixo das abscissas e o horizontal de eixo das coordenadas; T(oC) F´ısica B – Aula 2 11 40.0 Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 39.0 1. Determine o comprimento de cada haste: 38.0 0 cm 1 2 3 4 5 6 7 0 cm 1 2 3 4 5 6 7 0 cm 1 2 3 4 5 6 7 0 cm 1 2 3 4 5 6 7 0 cm 1 2 3 4 5 6 7 0 cm 1 2 3 4 5 6 7 a) 37.0 36.0 35.0 0.0 b) 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 t(h) Figura 1.1: Gr´ afico da temperatura em fun¸ca ˜o do tempo • a vari´ avel dependente deve ser colocada no eixo vertical e a vari´ avel independente no eixo horizontal; • os eixos devem se encontrar no canto inferior esquerdo do papel, ou espa¸co (retˆ angulo) reservado para o gr´ afico; • as escalas s˜ ao independentes e devem ser constru´ıdas independentemente; • as divis˜ oes num´ericas das escalas (lineares) devem ser regulares; • o valor zero (0) n˜ ao precisa estar em nenhuma das escalas; • as escalas devem crescer da esquerda para a direita, e de baixo para cima; • antes de iniciar a constru¸ca˜o de um gr´ afico deve-se verificar a escala a ser usada levando em considera¸ca˜o os valores extremos, ou seja, o maior e o menor valor assumido por ambas as vari´ aveis do gr´ afico. Divide-se ent˜ ao o espa¸co dispon´ıvel, em cada eixo, para que acomode todos os pontos experimentais; • o teste final para saber se as escalas est˜ ao boas ´e feito verificando-se se ´e f´ acil de ler as coordenadas de qualquer ponto nas escalas. Pense um Pouco! • A fun¸ca˜o da posi¸ca˜o x em rela¸ca˜o ao tempo t de um ponto material em movimento retil´ıneo, expressa em unidades do SI, ´e x = 10 + 5, 0t Determine: a) a posi¸ca˜o do ponto material no instante 5, 0 s; b) o instante em que a posi¸ca˜o do ponto material ´e x = 50 m; c) esboce o gr´ afico x × t do movimento. c) d) e) f) 2. (UFSE) A escala de uma trena tem, como menor divis˜ ao, o mil´ımetro. Essa trena ´e utilizada para se medir a distˆ ancia entre dois tra¸cos paralelos, muito finos, feitos por um estilete sobre uma superf´ıcie plana e lisa. Considerando que n˜ ao houve erro grosseiro, o resultado de uma s´ o medi¸ca˜o, com o n´ umero correto de algarismos significativos, ´e mais bem representado por: a) 2 m b) 21 dm c) 214 cm d) 2, 143 m e) 2.143, 4 m Exerc´ıcios Complementares 3. (Cesgranrio) Um estudante deseja medir o comprimento de sua mesa de trabalho. N˜ ao dispondo de r´egua, decide utilizar um toco de l´ apis como padr˜ ao de comprimento. Verifica ent˜ ao que o comprimento da mesa equivale ao de 13, 5 tocos de l´ apis. Chegando ao col´egio, mede com uma r´egua o comprimento do seu toco de l´ apis, achando 8, 9 cm. O comprimento da mesa ser´ a corretamente expresso por: a) 120, 15 cm b) 120, 2 cm c) 1 × 102 cm d) 1, 2 × 102 cm e) 102 cm 4. (PUC-MG) Um estudante concluiu, ap´ os realizar a medida necess´ aria, que o volume de um dado ´e 2, 36 cm 3 . Levando-se em conta os algarismos significativos, o volume total de cinco dados, idˆenticos ao primeiro, ser´ a corretamente expresso por: a) 6, 8 cm3 12 Apostila do Curso Pr´e-Vestibular UDESC 2005 – M´ odulo I b) 7 cm3 c) 13, 8 cm3 d) 16, 80 cm3 e) 17, 00 cm3 No exemplo anterior do carro, poder´ıamos dizer, por exemplo, que ele se movimenta num certo instante com velocidade ~v , de m´ odulo v = 80 km/h, na dire¸ca˜o norte-sul e sentido de sul para norte. Essa velocidade vetorial instantˆ anea pode ser representada por um vetor, como mostra a figura 1.1. 5. Medindo a espessura de um caderno comum de 100 folhas, sem considerar as capas, um estudante obteve a medida de 1, 0 cm. A ordem de grandeza da espessura m´edia de uma folha ´e: a) 10−1 mm b) 10−2 mm c) 10−3 mm d) 10−4 mm e) 10−5 mm F´ısica B Aula 3 Grandezas Escalares e Vetoriais Na F´ısica tratamos de dois tipos principais de grandezas: as grandezas escalares e grandezas vetoriais. Grandezas Escalares A grandeza escalar ´e aquela que fica perfeitamente caracterizada quando conhecemos apenas sua intensidade acompanhada pela correspondente unidade de medida. Como exemplos de grandeza f´ısica escalar podemos citar a massa de um corpo (por exemplo, 50 kg), a temperatura (por exemplo 36 o C), o volume (5 m3 , por exemplo), a densidade (para a a´gua, 1000 kg/m3 ), a press˜ ao (105 N/m2 ), a energia (por exemplo 100 J) e muitas outras. Para operar com grandezas escalares, segue-se as regras de opera¸co˜es alg´ebricas comuns, arredondando-se quando necess´ ario. Figura 1.1: Exemplo de representa¸ca ˜o vetorial Como afirmamos anteriormente, para representar grandezas vetoriais ´e preciso indicar, al´em do m´ odulo, a dire¸ca˜o e o sentido da grandeza. Podemos fazer essa indica¸ca˜o utilizando um vetor (veja a figura 1.2). O vetor pode ser representado por um segmento de reta orientado cujo tamanho intensidade - ´e proporcional a` intensidade da grandeza que representa. Para melhor entendermos o significado e a representa¸ca˜o de um vetor, observe a figura 1.3. Figura 1.2: A reta s, que cont´em o vetor, indica a dire¸ca ˜o e a seta indica o sentido Grandezas Vetoriais Dada a velocidade instantˆ anea de um m´ ovel qualquer (por exemplo, um carro a 80 km/h), constatamos que apenas essa indica¸ca˜o ´e insuficiente para dizermos a dire¸ca˜o em que o m´ ovel segue. Isso acontece porque a velocidade ´e uma grandeza vetorial. Para uma grandeza f´ısica vetorial ficar totalmente caracterizada, ´e necess´ ario saber n˜ ao apenas a sua intensidade ou m´ odulo mas tamb´em a sua dire¸ c˜ ao e o seu sentido. Geralmente a grandeza vetorial ´e indicada por uma letra com uma setinha (por exemplo, ~v ) e o m´ odulo ou intensidade, por |~v | ou simplesmente por v. A grandeza f´ısica vetorial pode ser representada graficamente por um segmento de reta (indicando a dire¸ca˜o da grandeza) dotado de uma seta (indicativa de seu sentido) e trazendo ainda seu valor seguido da unidade de medida (indica¸ca˜o de seu m´ odulo ou intensidade). Tal representa¸ca˜o ´e denominada vetor. Figura 1.3: Representa¸ca ˜o de algums vetores Na figura de cima os vetores representados possuem mesma dire¸ca ˜o e sentido; na figura de baixo os vetores apresentam a mesma dire¸ca ˜o e sentidos opostos. Portanto, podemos notar que vetores de mesma dire¸ca˜o s˜ ao paralelos, o que n˜ ao garante que tenham o mesmo sentido. F´ısica B – Aula 3 13 Soma de Vetores Paralelos Quando os vetores tem a mesma dire¸ca˜o, podemos determinar o m´ odulo do vetor soma estabelecendo convencionalmente um sentido como positivo e somando algebricamente os seus m´ odulos. Observe: Figura 1.4: De acordo com a conven¸ca ˜o adotada, o m´ odulodo vetor ser´ a d = a + b − c. Os vetores ~a, ~b e ~c possuem a mesma dire¸ca˜o (horizontal). Adotamos como positivo o sentido horizontal para a direita. Assim, os vetores ~a e ~b s˜ ao positivos e o vetor ~c ´e negativo. ~ ´e dado por O m´ odulo do vetor soma, d, d=a+b−c ~ isso significa que seu Se obtermos um valor positivo para d, sentido ´e positivo, ou seja, o vetor ´e horizontal para a direita; se for negativo, o seu sentido ´e negativo, isto ´e, o vetor ´e horizontal para a esquerda. Vetores Perpendiculares Imaginaremos agora, que um m´ ovel parte de um ponto A e sofre um deslocamento d~1 no sentido leste, atingindo um ponto B e, em seguida, um deslocamento d~2 no sentido norte, atingindo um ponto C (veja a figura 1.5) Podemos notar facilmente que o deslocamento d~1 , de A para B, e o d~2 , de B para C, equivalem a um u ´nico deslocamento, ~ de A para C. Desta forma, o deslocamento d~ ´e a soma d, vetorial ou resultante dos deslocamentos d~1 e d~2 , ou seja, d~ = d~1 + d~2 Figura 1.5: O deslocamento d~ equivale aos deslocamentos d~1 e d~2 . Portanto d~ = d~1 + d~2 . Soma de Vetores A soma de vetores perpendiculares entre si ou de dire¸co˜es quaiaquer n˜ ao apresenta muita diferen¸ca. Para um m´ ovel, partir de A e atingir B num deslocamento d~1 e, em seguida, atingir C num deslocamento d~2 equivale a partir de A e atingir C num deslocamento d~ (veja figura 1.7). Desta forma, d~ = d~1 + d~2 Na determina¸ca˜o do m´ odulo do vetor d~ resultante, n˜ ao podemos aplicar o teorema de Pit´ agoras, tendo em vista que o aˆngulo entre d~1 e d~2 n˜ ao ´e reto (90o ). Assim, aplicamos a regra do paralelogramo, como mostra a figura 1.8. Os vetores ~a e ~b formam um paralelogramo cuja diagonal ´e o vetor resultante ~c. De acordo com a regra do paralelogramo, se ~a e ~b formam entre si um aˆngulo α, o m´ odulo do vetor resultante ~c ser´ a dado pela express˜ ao: c2 = a2 + b2 + 2ab · cos α Decomposi¸ c˜ ao de Vetores ´nico vetor, Este resultado ´e v´ alido para qualquer grandeza vetorial. Ao somarmos dois vetores, podemos obter um u o vetor resultante, equivalente aos dois vetores somados. Ao Veja a figura 1.6. decompormos dois vetores, realizamos um processo inverso. Os vetores ~a e ~b tem como vetor soma resultante o vetor ~c. ´ crucial notar que a coloca¸ca˜o do vetor ~b na origem ou na Dado um vetor ~a, obtˆem-se outros dois vetores a~x e ~ay tal E que a~x + a~y = ~a (veja a figura 1.9). extremidade do vetor ~a n˜ ao altera o vetor soma ~c. Devese observar que os vetores ~a, ~b e ~c formam um triˆ angulo O vetor ~ay pode ser deslocado para a extremidade do vetor ~ retˆ angulo, em que ~c ´e a hipotenusa ~a e b s˜ ao catetos. Para ~ax de tal forma que o vetor ~a e seus vetores componentes ~a x e angulo retˆ angulo (figura 1.10). Aplicando obtermos o m´ odulo do vetor resultante, basta aplicar o te- ~ay formem um triˆ a trigonometria ao triˆ a ngulo retˆ angulo, podemos determinar orema de Pit´ agoras: o m´ odulo dos componentes ~ax (horizontal) e ~ay (vertical) c2 = a 2 + b 2 de ~a em fun¸ca˜o do aˆngulo α. Desta forma, no triˆ angulo 14 Apostila do Curso Pr´e-Vestibular UDESC 2005 – M´ odulo I Figura 1.6: O vetor ~c ´e a resultante ou soma vetorial de ~a e ~b. Figura 1.8: A diagonal do paralelogramo, cujos lados s˜ ao os vetores ~a e ~b, ´e o vetor resultante ~c. Podemos deslocar o vetor ~b para outra extremidade de ~a, reproduzindo a figura anterior. • O m´ odulo da soma de dois vetores pode ser igual a` soma de seus m´ odulos? Quando? • O m´ odulo de um vetor pode ser negativo? Por quˆe? Figura 1.7: O deslocamento d~ equivale aos deslocamentos d~1 e d~2 . Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao rachurado da figura 1.10, temos 1. Um m´ ovel desloca-se 120 m no sentido oeste-leste, e em seguida, 50 m no sentido norte-sul. a) Represente esquematicamente esses deslocamentos. b) Determine o m´ odulo do deslocamento resultante. cos α = cateto adjacente ax ⇒ cos α = hipotenusa a ax = a · cos α onde ax ´e o m´ odulo da componente horizontal ~ax do vetor ~a. Temos ainda sin α = 2. Na figura, F1 = F2 = 100 N . Determine o m´ odulo da resultante de F1 e F2 . (Dado: cos 120o = -0,50.) cateto oposto ~ay ⇒ sin α = hipotenusa a ay = a · sin α onde ay ´e o m´ odulo da componente vertical ~ay do vetor ~a. Podemos relacionar o m´ odulo do vetor e o m´ odulo de seus componentes ortogonais, aplicando o teorema de Pit´ agoras no triˆ angulo formado por ~a e seus componentes ~a x e ~ay : a2 = a 2 x + a 2 y Pense um Pouco! • Qual a condi¸ca˜o para que a soma de dois vetores seja nula? 3. Um proj´etil ´e atirado com velocidade de 400 m/s fazendo um aˆngulo de 45◦ com a horizontal. Determine os componentes vertical e horizontal da velocidade do proj´etil. F´ısica B – Aula 4 15 5. Um vetor velocidade ´e decomposto em dois outros, perpendiculares entre si. Sabendo que o m´ odulo do vetor ´e 10 m/s e que um dos componentes tem m´ odulo igual a 8 m/s, determine o m´ odulo do vetor correspondente ao outro componente. 6. Um proj´etil ´e lan¸cado do solo segundo uma dire¸ca˜o que forma 53o com a horizontal com uma velocidade de 200 m/s (veja a figura a seguir). Determine o m´ odulo dos componentes horizontal, v~x , e vertical, v~y , dessa velocidade. (Dados: sen 53o = 0, 80; cos 53o = 0, 60.) Figura 1.9: O vetor ~a pode ser decomposto em um componente horizontal, ~ax , e outro vertical, a~y . 7. Um avi˜ ao voa no sentido sul-norte com uma velocidade de 900 km/h. Num determinado instante passa a soprar um forte vento com velocidade 50 km/h, no sentido sudoestenordeste. a) Fa¸ca um esquema gr´ afico representando a velocidade do avi˜ ao e do vento. b) Determine o m´ odulo da velocidade resultante. (Dados: cos 45o = 0, 71). Figura 1.10: O vetor ~a e seus componentes ~ax e a~y formam um triˆ angulo retˆ angulo, onde ~a ´e a hipotenusa e ~ax e ~ay s˜ ao os catetos. Exerc´ıcios Complementares 4. Na figura abaixo est˜ ao representadas duas for¸cas: F~1 , de m´ odulo F1 = 5, 0 N e F~2 , de m´ odulo F2 = 3, 0 N , formando entre si um aˆngulo α = 60◦ . Determine a for¸ca resultante F~R para o sistema de for¸cas mostrado. F´ısica B Aula 4 A Primeira Lei de Newton O Conceito de For¸ ca Geralmente utilizamos uma for¸ca com o objetivo de empurrar, puxar ou levantar objetos. Essa id´eia ´e correta, por´em incompleta. A id´eia de puxar ou empurrar est´ a quase sempre associada a id´eia de contato, o que exclui uma caracter´ıstica fundamental da no¸ca˜o de for¸ca: a a¸ca ˜o a ` distˆ ancia. A atra¸ca˜o gravitacional entre o Sol e a Terra, por exemplo, ´e exercida a milh˜ oes de quilˆ ometros de distˆ ancia. A palavra for¸ca n˜ ao possui uma defini¸ca˜o u ´nica, expressa em palavras. A F´ısica moderna admite a existˆencia de quatro tipos de for¸ca na natureza, chamadas mais adequadamente de intera¸co ˜es: gravitacional, eletromagn´etica, e as for¸cas nucleares forte e fraca. Em rela¸ca˜o ao estudo dos movimentos e de suas causas, pode-se dizer que for¸ca ´e a a¸ca ˜o capaz de modificar a velocidade de um corpo. Como muitas outras grandezas em F´ısica, a for¸ca ´e uma grandeza vetorial, ou seja, possui m´ odulo dire¸ca˜o e sentido. 16 Apostila do Curso Pr´e-Vestibular UDESC 2005 – M´ odulo I Podemos resumir, ent˜ ao a defini¸ca˜o de for¸ca da seguinte forma: O que ´ e In´ ercia? For¸ ca ´ e uma grandeza vetorial que caracteriza a a¸ c˜ ao de um corpo sobre outro e que tem como efeito a deforma¸ c˜ ao ou a altera¸ c˜ ao da velocidade do corpo sobre o qual ela est´ a sendo aplicada. A Primeira Lei de Newton Todos os corpos apresentam a tendˆencia de se manter em repouso ou em movimento retil´ıneo uniforme. Essa propriedade dos corpos ´e chamada in´ ercia. A palavra in´ercia ´e derivada do latim inertia, que significa indolˆencia ou pregui¸ca. Os corpos tˆem uma esp´ecie de resistˆencia a`s modifica¸co˜es de sua velocidade. Equil´ıbrio de uma Part´ıcula Dizemos que uma part´ıcula se encontra em equil´ıbrio, quando a resultante das for¸cas atuando sobre ela for nula. Se a resultante ´e nula, n˜ ao ocorre altera¸ca˜o na velocidade do objeto. Assim,se ele estiver em repouso, chamamos o equil´ıbrio de est´ atico; se ele estiver em movimento retil´ıneo e uniforme, o equil´ıbrio ser´ a chamado de dinˆ amico. Pense um Pouco! • Qual a rela¸ca˜o entre a Primeira Lei de Newton e o cinto de seguran¸ca? e o encosto para a cabe¸ca no banco do carro? • Por que quando um oˆnibus freia repentinamente, os passageiros s˜ ao “arremessados” para a frente? e o que ocorre quando o oˆnibus ´e acelerado? Figura 1.1: Isaac Newton (1642-1727). Antes de falarmos da Primeira Lei de Newton, devemos pensar em uma pergunta: “o que acontece com o movimento de um corpo livre de qualquer for¸ca?” Essa pergunta pode ser respondida em duas partes. A primeira trata do efeito da inexistˆencia de for¸cas sobre o corpo em repouso: se nenhuma for¸ca atua sobre o corpo em repouso, ele continua em repouso. A segunda parte trata do efeito da inexistˆencia de for¸cas sobre o corpo em movimento: se nenhuma for¸ca atua sobre o corpo em movimento, ele continua em movimento. Mas que tipo de movimento? J´ a que n˜ ao existem for¸cas atuando sobre o corpo, sua velocidade n˜ ao varia de m´ odulo ou dire¸ca˜o. Desta forma, o u ´nico movimento poss´ıvel do corpo na ausˆencia de qualquer for¸ca atuando sobre ele ´e o movimento retil´ıneo uniforme. A Primeira Lei de Newton re´ une as duas respostas anteriores em um u ´nico enunciado: Todo corpo tende a manter seu estado de repouso ou de movimento retil´ıneo e uniforme, a menos que for¸ cas externas provoquem varia¸ c˜ ao na sua velocidade. De acordo com a primeira Lei de Newton, podemos afirmar que na ausˆencia de for¸cas, todo corpo tende a ficar como est´ a: parado se estiver parado, em movimento retil´ıneo uniforme, se estiver em movimento (retil´ıneo uniforme). Por este motivo essa lei tamb´em ´e chamada de Princ´ıpio da In´ercia. Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. (UFMG) Um corpo de massa m est´ a sujeito a` a¸ca˜o de uma for¸ca F~ que o desloca segundo um eixo vertical em sentido contr´erio ao da gravidade. Se esse corpo se mover com velocidade constante ´e porque: a) a for¸ca F~ ´e maior do que a da gravidade. b) a for¸ca resultante sobre o corpo ´e nula. c) a for¸ca F~ ´e menor do que a gravidade. d) a diferen¸ca entre os m´ odulos das for¸cas ´e diferente de zero. e) a afirma¸ca˜o da quest˜ ao est´ a errada, pois qualquer que ~ seja F o corpo estar´ a acelerado porque sempre existe a acelera¸ca˜o da gravidade. 2. (Vunesp-SP) Assinale a alternativa que representa o enunciado da Lei da In´ercia, tamb´em conhecida como primeira Lei de Newton. a) Qualquer planeta gira em torno do Sol descrevendo uma o´rbita el´ıptica, da qual o Sol ocupa um dos focos. b) Dois corpos quaisquer se atraem com uma for¸ca proporcional ao produto de suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distˆ ancia entre eles. c) Quando um corpo exerce uma for¸ca sobre outro, este reage sobre o primeiro com uma for¸ca de mesma intensidade e dire¸ca˜o, mas de sentido contr´ ario. d) A acelera¸ca˜o que um corpo adquire ´e diretamente proporcional a` resultante das for¸cas que nele atuam, e tem mesma dire¸ca˜o e sentido dessa resultante. F´ısica C – Aula 1 17 e) Todo corpo continua em seu estado de repouso ou de movimento uniforme em uma linha reta, a menos que sobre ele estejam agindo for¸cas com resultante n˜ ao nula. tas ocorre sobre um plano bem definido, e cada planeta tem o seu plano orbital diferente, e todos esses planos devem ter pelo menos um ponto em comum, o Sol. 3. (Vunesp-SP) As estat´ısticas indicam que o uso do cinto de seguran¸ca deve ser obrigat´ orio para prevenir les˜ oes mais graves em motoristas e passageiros no caso de acidentes. Fisicamente, a fun¸ca˜o do cinto est´ a relacionada com a: a) primeira Lei de Newton. b) lei de Snell. c) lei de Amp`ere. d) lei de Ohm. e) primeira Lei de Kepler. Exerc´ıcios Complementares 4. (Unitau-SP) Uma pedra gira em torno de um apoio fixo, presa por uma corda. Em um dado momento, corta-se a corda. Pela Lei da In´ercia, conclui-se que: a) a pedra se mant´em em movimento circular. b) a pedra sai em linha reta, segundo a dire¸ca˜o perpendicular a` corda no instante do corte. c) a pedra sai em linha reta, segundo a dire¸ca˜o da corda no instante do corte. d) a pedra p´ ara. e) a pedra n˜ ao tem massa. Figura 1.1: 1a Lei de Kepler. ´ A Lei da Areas (1609) A reta unindo o planeta ao Sol varre a´reas iguais em tempos iguais. O significado f´ısico desta lei ´e que a velocidade orbital n˜ ao ´e uniforme, mas varia de forma regular: quanto mais distante o planeta est´ a do Sol, mais devagar ele se move. Dizendo de outra maneira, esta lei estabelece que a velocidade areolar (referente a a´rea) ´e constante. 5. (Ucsal-BA) Uma mesa, em movimento uniforme retil´ıneo, s´ o pode estar sob a a¸ca˜o de uma: a) for¸ca resultante n˜ ao-nula na dire¸ca˜o do movimento. b) u ´nica for¸ca horizontal. c) for¸ca resultante nula. d) for¸ca nula de atrito. e) for¸ca vertical que equilibre o peso. 6. (Fiube-MG) Uma part´ıcula se desloca ao longo de uma reta com acelera¸ca˜o nula. Nessas condi¸co˜es, podemos afirmar corretamente que sua velocidade escalar ´e: a) nula. b) constante e diferente de zero. c) inversamente proporcional ao tempo. d) diretamente proporcional ao tempo. e) diretamente proporcional ao quadrado do tempo. Figura 1.2: 2a Lei de Kepler. A Lei dos Per´ıodos (1618) F´ısica C Aula 1 As Leis de Kepler ´ A Lei das Orbitas (1609) A o´rbita de cada planeta ´e uma elipse, com o Sol em um dos focos. Como consequˆencia da o´rbita ser el´ıptica, a distˆ ancia do Sol ao planeta varia ao longo de sua o´rbita. Lembre-se, a elipse ´e uma linha plana, com focos no seu mesmo plano. Isso implica em que o movimento dos plane- O quadrado do per´ıodo orbital dos planetas ´e diretamente proporcional ao cubo de sua distˆ ancia m´edia ao Sol. Esta lei estabelece que planetas com o´rbitas maiores se movem mais lentamente em torno do Sol e, portanto, isso implica que a for¸ca entre o Sol e o planeta decresce com a distˆ ancia ao Sol. Sendo P o per´ıodo orbital do planeta, a o semi-eixo maior da o´rbita, que ´e igual a` distˆ ancia m´edia do planeta ao Sol, e K uma constante, Podemos expressar a 3a lei como: P2 =K a3 Se medimos P em anos (o per´ıodo orbital da Terra), e a em unidades astronˆ omicas (1 u.a. = distˆ ancia m´edia da Terra 18 Apostila do Curso Pr´e-Vestibular UDESC 2005 – M´ odulo I ao Sol), ent˜ ao K = 1, e podemos escrever a 3a lei como: e podemos concluir que, para os planetas internos (a < 1 u.a.) o per´ıodo orbital (ano) ser´ a menor do que o ano terrestre. E para os planetas exteriores (a > 1 u.a.), o per´ıodo ´e maior do que o terrestre. maior; c) Quanto mais pr´ oximo de uma estrela (menor raio m´edio da o´rbita) gravita um planeta, menor ´e o seu per´ıodo de revolu¸ca˜o; d) Sat´elites diferentes gravitando em torno da Terra, na mesma o´rbita tˆem per´ıodos de revolu¸ca˜o iguais; e) Devido a` sua maior distˆ ancia do Sol (maior raio m´edio da o´rbita) o ano de Plut˜ ao tem dura¸ca˜o menor que o da Terra. Pense um Pouco! Exerc´ıcios Complementares P2 =1 a3 • Se um novo planeta for descoberto a meia distˆ ancia entre o Sol e a Terra, qual o seu per´ıodo orbital. • Um s´ atelite em o´rbita na Terra, passando pelo ponto mais pr´ oximo da Terra, est´ a mais r´ apido ou mais lento se comparado ao ponto em que est´ a mais afastado da Terra? Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. A tabela abaixo mostra como fica a 3a Lei de Kepler para os planetas vis´ıveis a olho nu. Complete os dados que est˜ ao faltando. Planeta a(u.a.) P (ano) a3 P2 Merc´ urio 0,387 0,241 0,058 0,058 Vˆenus 0,723 0,615 0,378 Terra 1,000 1,000 1,000 1,000 Marte 1,524 1,881 3,537 J´ upter 5,203 11,862 140,700 Saturno 9,534 29,456 2. Adotando o Sol como referencial, aponte a alternativa que condiz com a 1a lei de Kepler da Gravita¸ca˜o Universal (lei das o´rbitas): a) As o´rbitas planet´ arias s˜ ao curvas quaisquer, desde que fechadas; b) As o´rbitas planet´ arias s˜ ao espiraladas; c) As o´rbitas planet´ arias n˜ ao podem ser circulares; d) As o´rbitas planet´ arias s˜ ao el´ıpticas, com o Sol ocupando o centro da elipse; e) As o´rbitas planet´ arias s˜ ao el´ıpticas, com o Sol ocupando um dos focos da elipse. ´ 3. A 2a lei de Kepler (Lei das Areas) permite concluir que um planeta possui: a) maior velocidade quando se encontra mais longe do Sol; b) maior velocidade quando se encontra mais perto do Sol; c) menor velocidade quando se encontra mais perto do Sol; d) velocidade constante em toda sua trajet´ oria; e) n.r.a. 4. Assinale a alternativa que est´ a em desacordo com as Leis de Kepler da Gravita¸ca˜o Universal: a) O quociente do cubo do raio m´edio da o´rbita pelo quadrado do per´ıodo de revolu¸ca˜o ´e constante para qualquer planeta de um dado sistema solar; b) quadruplicando-se o raio m´edio da o´rbita de um sat´elite em torno da Terra, seu per´ıodo de revolu¸ca˜o fica 8 vezes 5. Com rela¸ca˜o a`s leis de Kepler, podemos afirmar que: a) N˜ ao se aplicam ao estudo da gravita¸ca˜o da Lua em torno da Terra; b) s´ o se aplicam ao nosso Sistema Solar; c) aplicam-se a` gravita¸ca˜o de quaisquer corpos em torno de uma grande massa central; d) contrariam a mecˆ anica de Newton; e) n˜ ao prevˆeem a possibilidade da existˆencia de o´rbitas circulares. 6. Considere dois sat´elites de massas ma e mb , sendo ma = 2mb , descrevendo a mesma o´rbita em torno da Terra. Com rela¸ca˜o a` velocidade dos dois teremos: a) va > vb b) va < vb c) va = vb d) va = vb /2 e) n.r.a 7. Um planeta descreve uma o´rbita el´ıptica em torno do Sol. O ponto A ´e o ponto da o´rbita mais pr´ oximo do Sol; o ponto B ´e o ponto mais distante. No ponto A: a) a velocidade de rota¸ca˜o do planeta ´e m´ axima; b) a velocidade de transla¸ca˜o do planeta se anula; c) a velocidade de transla¸ca˜o do planeta ´e m´ axima; d) a for¸ca gravitacional sobre o planeta se anula; e) n.r.a F´ısica C Aula 2 Gravita¸c˜ ao Universal A lei da gravita¸ c˜ ao universal, proposta por Newton, foi um dos maiores trabalhos desenvolvidos sobre a intera¸ca˜o entre massas, pois ´e capaz de explicar desde o mais simples fenˆ omeno, como a queda de um corpo pr´ oximo a` superf´ıcie da Terra, at´e, o mais complexo, como as for¸cas trocadas entre corpos celestes, traduzindo com fidelidade suas o´rbitas e os diferentes movimentos. Segundo a lenda, Newton, ao observar a queda de uma ma¸ca, concebeu a id´eia que ela seria causada pela atra¸ca˜o exercida pela terra. A natureza desta for¸ca atrativa ´e a mesma que deve existir entre a Terra e a Lua ou entre o Sol e os planetas; portanto, a atra¸ca˜o entre as massas ´e, com certeza, um fenˆ omeno universal. F´ısica C – Aula 2 19 ˜ OBSERVAC ¸ OES Uma For¸ ca Elementar Sejam duas part´ıculas de massas m1 e m2 , separadas por uma distˆ ancia r. Segundo Newton, a intensidade da for¸ca F de atra¸ca˜o entre as massas ´e dada por F =G m1 m2 r2 onde G ´e uma constante, a constante da gravita¸ca˜o universal, sendo seu valor expresso, no Sistema Internacional, por G = 6, 67 × 10−11 N · m2 /kg 2                      F                                                              21                                                                                                 m                             2                                                   F                                                                12                                                                                                                  m                            1 Figura 1.1: Duas part´ıculas se massas m1 e m2 sempre se atraem mutuamente, dando origem a um par de for¸cas F12 e F21 . As for¸cas F12 e F21 ´e a da reta que une as part´ıculas, e o sentido tal que as massas sempre se atraem mutuamente, com mesma intensidade de for¸ca, ou seja F12 = F21 Podemos, ainda, enunciar a lei da gravita¸ca˜o universal do seguinte modo: Dois corpos se atraem gravitacionalmente com for¸ca cuja intensidade ´e diretamente proporcional ao produto de suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distˆ ancia entre seus centros de massa. Ap´ os a formula¸ca˜o da lei da Gravita¸ca˜o, com o desenvolvimento do c´ alculo integral, Newton tamb´em mostrou que a for¸ca gravitacional entre esferas homogˆ eneas tamb´em segue a mesma forma estabelecida para as part´ıculas. E tamb´em vale a mesma for¸ca para uma part´ıcula e uma esfera homogˆenea. Esse resultado foi t˜ ao surpreendente para o pro´ oprio Newton, que inicialmente nem ele acreditou no que havia provado matematicamente! Aplicando-se a lei de gravita¸ca˜o para um corpo de massa m na superf´ıcie da Terra, temos ent˜ ao F =G MT m GMT = m = mg = P 2 RT RT2 onde RT e MT s˜ ao o raio e a massa da Terra, respectivamente, e a` for¸ca obtida chamamos peso. Medidas atuais mostram que MT = 5, 98 × 1024 kg e RT = 6, 37 × 106 m. A constante g que aparece acima ´e justamente a acelera¸ca˜o da gravidade na superf´ıcie da Terra. Experimente calcular g com os dados fornecidos! 1. A for¸ca gravitacional ´e sempre de atra¸ca˜o; 2. A for¸ca gravitacional n˜ ao depende do meio onde os corpos se encontram imersos; 3. A constante da gravita¸ca˜o universal G teve seu valor determinado experimentalmente por Henry Cavendish, em 1798, por meio de um instrumento denominado balan¸ca de tor¸ca˜o e esferas de chumbo. Pense um Pouco! • Qual a dire¸ca˜o e o sentido da for¸ca de atra¸ca˜o gravitacional exercida pela Terra sobre os corpos que est˜ ao pr´ oximos a` superf´ıcie? • A acelera¸ca˜o da gravidade na Lua ´e 6 vezes menor do que a acelera¸ca˜o da gravidade pr´ oxima a` superf´ıcie da Terra. O que acontece com o peso e a massa de um astronauta na Lua? • O valor da acelera¸ca˜o da garvidade ´e relevante para os esportes? Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. Duas part´ıculas de massas respectivamente iguais a M e m est˜ ao no v´ acuo, separadas por uma distˆ ancia d. A respeito das for¸cas de intera¸ca˜o gravitacional entre as part´ıculas, podemos afirmar que: a) tˆem intensidades inversamente proporcional a d; b) tˆem intensidades diretamente proporcional ao produto Mm; c) n˜ ao constituem entre si um par a¸ca˜o e rea¸ca˜o; d) podem ser atrativas ou repulsivas; e) teriam intensidade maior se o meio fosse o ar. 2. A raz˜ ao entre os diˆ ametros dos planetas Marte e Terra ´e 1/2 e entre as respectivas massas ´e 1/10. Sendo de 160 N o peso de um garoto na Terra, pode-se concluir que seu peso em Marte ser´ a de: a) 160 N b) 80 N c) 60 N d) 32 N e) 64 N 3. Uma menina pesa 400 N na superf´ıcie da Terra, onde se adota g = 10m/s2 . Se a menina fosse transportada at´e uma altura igual ao raio da Terra (6.400 km), sua massa e seu peso seriam, respectivamente: a) 40 kg e 100 N b) 40 kg e 200 N c) 40 kg e 400 N d) 20 kg e 200 N e) 10 kg e 100 N 4. Um corpo ´e colocado na superf´ıcie terrestre ´e atra´ıdo por esta com uma for¸ca F . O mesmo corpo colocado na 20 Apostila do Curso Pr´e-Vestibular UDESC 2005 – M´ odulo I superf´ıcie de um planeta de mesma massa da Terra e raio duas vezes menor ser´ a atra´ıdo pelo planeta com uma for¸ca cujo m´ odulo ´e: a) 4F b) 2F c) F d) F/2 e) F/4 Para um corpo homogˆeneo, ρ ser´ a a pr´ opria densidade do material. Para um corpo n˜ ao homogˆeneo, como por exemplo uma corpo oco, a express˜ ao acima resulta na densidade m´edia do corpo. Unidades SI m: massa em quilogramas (kg) V : volume em metro c´ ubico (m3 ) Exerc´ıcios Complementares 5. Se a massa da Terra n˜ ao se alterasse, mas o seu raio fosse reduzido a` metade, o nosso peso seria: a) reduzido a` quarta parte b) reduzido a` metade c) o mesmo d) dobrado e) quadruplicado 6. Um corpo de massa m gira em torno da Terra, em o´rbita circular, com velocidade escalar constante v. Sendo G a constante gravitacional e M a massa da Terra, o raio da trajet´ oria descrita pelo corpo ser´ a: a) G/M v 2 b) G/mv 2 c) Gm/v 2 d) GM/v 2 e) GM m/v 2 7. Sabe-se que no interior de uma nave em o´rbita circular em torno da Terra um astronauta pode flutuar, como se n˜ ao tivesse peso. Esse fato ocorre porque: a) a nave est´ a fora do campo gravitacional da Terra; b) h´ a ausˆencia de atmosfera; c) a atra¸ca˜o exercida pela Lua ´e maior do que a atra¸ca˜o exercida pela Terra; d) ambos, astronauta e nave, est˜ ao em queda livre no seu movimento circular; e) h´ a uma redu¸ca˜o na massa dos corpos. F´ısica C Aula 3 Fluidos Chegou o momento de descrevermos o comportamento dos fluidos, para isso falaremos de temas como densidade, press˜ ao, empuxo e outros temas que nos levar˜ ao a um aprofundamento da Hidrost´ atica. Densidade e Massa espec´ıfica Massa espec´ıfica ρ de uma substˆ ancia ´e a raz˜ ao entre determinada massa desta substˆ ancia e o volume correspondente. Temos ent˜ ao: m ρ= v ρ: massa espec´ıfica em quilogramas por metro c´ ubico (kg/m3 ) Observa¸ c˜ ao No caso da a´gua, cuja massa espec´ıfica vale 1 g/cm3 , observamos que cada cm3 de a´gua tem massa de 1 g. Assim ´e que, numericamente, massa e volume ser˜ ao iguais para a a´gua, desde que medidos em gramas e em cent´ımetros c´ ubicos respectivamente. Como 1 litro corresponde a 1000cm3 , no caso da a´gua temos uma densidade de 1 kg/l. E com um metro c´ ubico equivale a 1000 litros, teremos tamb´em para a a´gua, a densidade 1000 kg/m3 . Press˜ ao Press˜ ao p ´e a for¸ca normal, por unidade de a´rea, que um fluido em equil´ıbrio exerce em contato com uma parede. Podemos representar matematicamente por: p= F A Unidades SI p: press˜ ao em N/m2 = pascal = P a F : for¸ca normal (ortogonal) em newtons ou N A: a´rea onde ´e exercida a for¸ca, em metros quadrados m 2 Press˜ ao Atmosf´ erica Press˜ ao exercida pelo peso da camada de ar existente sobre a superf´ıcie da Terra. Ao n´ıvel do mar, a` temperatura de 0 ◦ C ´e igual a 1 atm. ´ comum o uso de unidades de press˜ E ao n˜ ao pertencentes ao SI: atmosfera (atm) e mil´ımetros de merc´ urio (mmHg): 1 atm = 760 mmHg = 1, 01 × 105 P a Press˜ ao Hidrost´ atica No estudo da hidrost´ atica, que faremos a seguir, vamos considerar o l´ıquido ideal, isto ´e, incompress´ıvel e sem viscosidade. Suponhamos um recipiente cil´ındrico de a´rea de base A, contendo um l´ıquido de massa espec´ıfica ρ. Qual a press˜ ao que o l´ıquido exerce no fundo do recipiente ? F´ısica C – Aula 3 21 Press˜ ao Manom´ etrica e Absoluta A press˜ ao absoluta ´e a press˜ ao total exercida em uma dada superf´ıcie, incluindo a press˜ ao atmosf´erica, quando for o caso. A press˜ ao absoluta ser´ a sempre positiva ou nula. h ρ Em muitos casos, como na calibra¸ca˜o de um pneu, estamos interessados apenas na diferen¸ca entre a press˜ ao interna de um reservat´ orio (o pneu) e a press˜ ao externa (o ar, que est´ a na press˜ ao atmosf´erica local). A essa diferen¸ca chamamos press˜ ao manom´ etrica, e os aparelhos que a medem chamamos de manˆ ometros. pman. = pint. − patm. A Figura 1.1: Vaso cil´ındrico de a ´rea A e altura h, cheio de um l´ıquido de densidade ρ. Da defini¸ca˜o de massa espec´ıfica, temos: m ρ= v A press˜ ao manom´etrica pode ser negativa, positiva ou nula. Ser´ a negativa quando a press˜ ao interna de um reservat´ orio for menor do que a press˜ ao atmosf´erica externa. Exemplos: quando retiramos ar de um recipiente, fazendo-se um v´ acuo parcial; ou quando sugamos um canudinho de refrigerante, baixamos a press˜ ao interna da boca, criando uma “press˜ ao negativa”. Pense um Pouco! V = Ah • Porque n˜ ao sentimos a press˜ ao atmosf´erica normal, j´ a que ela ´e t˜ ao grande? m Ah • Um barco flutua no mar. Quais as for¸cas relevantes para que isso ocorra? ρ= e portanto: m = ρAh Por outro lado, a for¸ca que o l´ıquido exerce sobre a a´rea A ´e o seu pr´ oprio peso: F = P = mg mas como • Como ´e poss´ıvel se deitar numa cama de pregos sem se machucar? • Como funciona o canudinho de refrigerante? Explique. Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao m = ρAh ent˜ ao temos F = ρAhg e finalmente, pelaa defini¸ca˜o de press˜ ao, p= F = ρgh . A A press˜ ao que o l´ıquido exerce no fundo do recipiente depende da massa espec´ıfica do l´ıquido (ρ), da acelera¸ca˜o da gravidade local (g) e da altura (h) do l´ıquido acima do ponto considerado. Na pr´ atica esse resultado e geral, e pode ser usado para a determina¸ca˜o da press˜ ao hidrost´ atica em qualquer fluido (l´ıquido ou g´ as) em equil´ıbrio. Observe que a press˜ ao total dentro de um fluido homogˆeneo em equil´ıbrio ser´ a ent˜ ao: p = patm + ρgh onde patm ´e a press˜ ao atmosf´erica, que atua sobre todos os corpos imersos no ar. 1. Uma massa de 1 kg de a´gua ocupa um volume de 1 litro a 40◦ C. Determine sua massa espec´ıfica em g/cm3 , kg/m3 e kg/l. 2. Determine a massa de um bloco de chumbo que tem arestas de 10 cm, sendo que a densidade do chumbo ´e igual 11, 2 g/cm3 . 3. Uma esfera oca, de 1.200 g de massa, possui raio externo de 10, 0 cm e raio interno de 9, 0 cm. Sabendo que o volume de uma esfera de raio R ´e dado por V = 34 πR3 . Usando π = 3, 14, determine: a) a densidade m´edia da esfera; b) a densidade do material de que ´e feita a esfera. 4. Um cubo maci¸co de alum´ınio (densidade = 2,7 g/cm 3 ), de 50 cm de aresta, est´ a apoiado sobre uma superf´ıcie horizontal. Qual ´e a press˜ ao, em P a e em atm, exercida pelo cubo sobre a superf´ıcie? 22 Apostila do Curso Pr´e-Vestibular UDESC 2005 – M´ odulo I Exerc´ıcios Complementares Na realidade, temos que dividir a press˜ ao num determinado ponto do l´ıquido em dois tipos: i) press˜ ao hidrost´ atica: aquela que s´ o leva em considera¸ca˜o o l´ıquido: 5. Existe uma unidade inglesa de press˜ ao – a libra-for¸ca por polegada quadrada – que se abrevia lbf /pol 2 , a qual ´e indevidamente chamada de libra. Assim, quando se calibram os pneus de um autom´ ovel, muitas pessoas dizem que colocaram “26 libras” de ar nos pneus. Agora responda: a) por que num pneu de autom´ ovel se coloca mais ou menos 25lbf /pol2 enquanto que no de uma bicicleta de corrida (cujos pneus s˜ ao bem finos) se coloca aproximadamente 70 lbf /pol2 b) Sendo 1 lbf /pol 2 = 0, 07 atm, qual a press˜ ao t´ıpica (em atm) no pneu de um carro? c) A press˜ ao que nos interessa, neste caso do pneu, ´e a press˜ ao manom´etrica ou a press˜ ao absoluta. Por quˆe? F´ısica C Aula 4 Hidrost´ atica Lei de Stevin phid = ρgh e ii) press˜ ao absoluta: aquela que leva em considera¸ca˜o o l´ıquido e o ar sobre o l´ıquido: pabs = patm + ρgh Conseq¨ uˆ encias da Lei de Stevin No interior de um l´ıquido em equil´ıbrio est´ atico: 1. pontos de um mesmo plano horizontal suportam a mesma press˜ ao; 2. a superf´ıcie de separa¸ca˜o entre l´ıquidos n˜ ao misc´ıveis ´e um plano horizontal; 3. em vasos comunicantes quando temos dois l´ıquidos n˜ ao misc´ıveis temos que a altura de cada l´ıquido ´e inversamente proporcional a`s suas massas espec´ıficas (densidades); Consideremos um recipiente contendo um l´ıquido homogˆeneo de densidade ρ, em equil´ıbrio est´ atico. As press˜ oes que o l´ıquido exerce nos pontos A e B s˜ ao, respectivamente: pa = ρgha e pb = ρghb Figura 1.2: Vasos comunicantes, com dois l´ıquidos n˜ ao misc´ıveis em equil´ıbrio. py = p x patm + ρy ghy = patm + ρx ghx ρy hy = ρ x hx ρy hx = ρx hy Figura 1.1: Cilindro de a ´rea de base A e altura h A lei de Stevin ou princ´ıpio hidrost´ atico afirma que a diferen¸ca de press˜ ao entre os pontos A e B ser´ a: 4. a diferen¸ca de press˜ ao entre dois pontos dentro do flu´ıdo, depende apenas do seu desn´ıvel vertical (∆h), e n˜ ao da profundidade dos pontos. Princ´ıpio de Pascal pb − pa = ρg(hb − ha ) = ρg∆h Pascal fez estudos em flu´ıdos e enunciou o seguinte princ´ıpio: O useja, a diferen¸ca entre dois n´ıveis diferentes, no interior de um l´ıquido, ´e igual ao produto da sua massa espec´ıfica pela acelera¸ca˜o da gravidade local e pela diferen¸ca de n´ıvel entre os pontos considerados. A press˜ ao aplicada a um flu´ıdo em equil´ıbrio transmite-se integral e instantaneamente ` a todos os pontos do flu´ıdo e ` as paredes do recipiente que o cont´ em. F´ısica C – Aula 4 23 Ou seja, se um corpo est´ a mergulhado num fluido de densidade ρf e desloca volume Vf d do fluido, num local onde a acelera¸ca˜o da gravidade ´e g, temos: Pf = m f g e como ρf = mf Vf d a massa do fluido deslocado ser´ a mf = ρ f V f d e portanto Pf = ρ f V f d g e, de acordo com o Princ´ıpio de Arquimedes Figura 1.3: A prensa hidr´ aulica. E = ρ f Vf d g ou simplesmente A Prensa Hidr´ aulica E = ρV g Uma das aplica¸co˜es deste princ´ıpio ´e a prensa hidr´ aulica como mostramos a seguir: Observe que: p1 = p 2 F1 F2 = A1 A2 A1 F1 = F2 A2 Isso mostra que uma for¸ca pequena F1 ´e capaz de suportar, no outro ˆembolo, um peso muito grande (F2 ), isso ´e muito utilizado, como por exemplo, em posto de gasolina. A prensa hidr´ aulica ´e o equivalente hidr´ aulico do princ´ıpio ´ bom da alavanca, de Arquimedes, usado na Mecˆ anica. E lembrar que estas “engenhocas”multiplicam realmente a for¸ca, mas n˜ ao a energia. O trabalho m´ınimo necess´ ario para elevar um carro ´e o mesmo, independente da m´ aquina que se utilize (Wmin = mgh). Na prensa mostrada na Fig. 1.3, uma for¸ca −F~2 (para baixo) dever´ a sef feita no ˆembolo da direita, para manter o equil´ıbrio do sistema. Em geral, usa-se o ˆembolo maior para suspender uma carga externa, ou levantar um objeto do ch˜ ao (macaco hidr´ aulico). Princ´ıpio de Arquimedes ficando a nosso cargo a interpreta¸ca˜o correta dos termos envolvidos. Flutua¸ c˜ ao Segundo o princ´ıpio de Arquimedes, quando temos um corpo na superf´ıcie de um flu´ıdo cujo peso (do corpo) ´e anulado (igual em m´ odulo) pelo empuxo que ele sofre antes de estar completamente submerso, o corpo ir´ a flutuar sobre ele, quando abandonado. Baseado nessa aplica¸ca˜o s˜ ao constru´ıdos todos os tipos de barcos e navios. Para um corpo de peso P flutuando, a condi¸ca˜o de equil´ıbrio deve ser satisfeita: X Fy = +E − P = 0 ou seja P =E Pode-se mostrar tamb´em que se um corpo tiver uma densidade m´edia ρc maior que a densidade ρf de um certo fluido, ele n˜ ao poder´ a flutuar nesse flu´ıdo, e acabar´ a afundando se for solto na sua superf´ıcie. Pense um Pouco! Arquimedes, h´ a mais de 200 anos a.C., estabeleceu que a perda aparente do peso do corpo ´e devido ao surgimento do empuxo, quando estamos mergulhados num l´ıquido, como a a´gua, por exemplo. • A press˜ ao atmosf´erica varia com a altitude? Por quˆe? Os corpos mergulhados totalmente ou parcialmente, num fluido, recebem do mesmo uma for¸ ca vertical, de baixo para cima, de intensidade igual ao peso do fluido deslocado, denominada empuxo. • Quando fechamos a porta de um pequeno quarto a janela (fechada) balan¸ca. Explique. • Como pode um navio de ferro flutuar na a´gua, j´ a que ρF e > ρH2O ? • Mergulhando na a´gua um objeto suspenso por um fio, vocˆe observa que a tra¸ca˜o no fio muda. Explique. 24 Apostila do Curso Pr´e-Vestibular UDESC 2005 – M´ odulo I Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao que cont´em a´gua, atrav´es de um fio conforme a figura. Determine a intensidade da tra¸ca˜o T no fio que segura a bola (Considere g = 10 m/s2 ). 1. (UFRJ) O impacto de uma part´ıcula de lixo que atingiu a nave espacial Columbia produziu uma press˜ ao da 100 N/cm2 . Nessas condi¸co˜es e tendo a part´ıcula 2 cm2 , a nave sofreu uma for¸ca de: a) 100 N b) 200 N c) 400 N d) 800 N e) 1600N 2. Uma piscina com 5, 0 m de profundidade est´ a cheia com a´gua. Considere g = 10 m/s2 e patm = 1, 0 × 105 P a e determine: a) a press˜ ao hidrost´ atica a 3, 0 m de profundidade; b) a press˜ ao absoluta no fundo da piscina; c) a diferen¸ca de press˜ ao entre dois pontos separados, verticalmente, por 80 cm. 3. (Cl´ assico) Para determinar a press˜ ao atmosf´erica, Torricelli fez a seguinte experiˆencia: um tubo de vidro, de 1 m de comprimento, foi cheio de merc´ urio e depois emborcado num recipiente contendo merc´ urio; constatou que, ao n´ıvel do mar, o merc´ urio no tubo mant´em uma altura de 760 mm acima da sua superf´ıcie livre (no recipiente). Se a densidade do merc´ urio ´e 13, 6 g/cm3 e a acelera¸ca˜o da gravidade local ´e de 9, 8 m/s2 , qual a press˜ ao atmosf´erica constatada por Torricelli? 4. Num posto de gasolina, para a lavagem de um autom´ ovel de massa 1.000 kg, o mesmo ´e erguido a uma certa altura. O sistema utilizado ´e uma prensa hidr´ aulica. Sendo os ˆembolos de a´reas 10 cm2 e 2.000 cm2 , e a acelera¸ca˜o da gravidade local de 10 m/s2 , pergunta-se: a) em qual ˆembolo deve-se apoiar o carro? b) em qual ˆembolo deve-se pressionar para se sustentar o carro? c) qual a for¸ca aplicada no ˆembolo para equilibrar o autom´ ovel? 1.1 Exerc´ıcios Complementares ´ 5. Agua e o´leo de densidades 1, 0 e 0, 8, respectivamente, s˜ ao colocados em um tubo em “U”. Sendo de 16 cm a altura da coluna de o´leo, determine a altura da coluna de a´gua medida acima do n´ıvel de separa¸ca˜o entre os l´ıquidos. 6. Os icebergs s˜ ao grandes blocos de gelo que vagam em latitudes elevadas, constituindo um s´erio problema para a navega¸ca˜o, sobretudo porque deles emerge apenas uma pequena parte, ficando o restante submerso. Sendo V o volume total do iceberg e ρg = 0, 92 g/cm3 a densidade do gelo, determine a porcentagem do iceberg que fica acima da superf´ıcie livre da a´gua, considerada com densidade igual a ρf = 1, 0 g/cm3 . 7. Uma bola com volume de 0, 002 m3 e densidade m´edia de 200 kg/m3 encontra-se presa ao fundo de um recipiente                                                      F´ısica D            T                                                                                                           Aula 1 Cinem´ atica A Cinem´ atica ´e a parte da Mecˆ anica que estuda e descreve o movimento dos corpos, sem se preocupar com suas causas (for¸cas). Movimento Observando os corpos a nossa volta, podemos ter intuitivamente uma id´eia do que s˜ ao os estados de movimento e repouso. Mas esses dois conceitos (movimento e repouso) s˜ ao relativos: ao dormir vocˆe pode estar em repouso em rela¸ca˜o a`s paredes de seu quarto; entretanto, em rela¸ca˜o ao sol, vocˆe ´e um viajante espacial. A parte da F´ısica que trata do movimento ´e a Mecˆ anica. Ela procura compreender as causas que produzem e modificam os movimentos. A seguir, vamos estudar uma subdivis˜ ao da Mecˆ anica chamada Cinem´ atica, que trata do movimento sem se referir a`s causas que o produzem. Ponto Material Em determinadas situa¸co˜es, ponto material pode representar qualquer corpo, como um trem, um avi˜ ao, um carro, uma bala de canh˜ ao, um m´ıssil etc. Por que ponto e por que material? Ponto, porque, na resolu¸ca˜o de problemas, estaremos desprezando as dimens˜ oes do corpo em movimento, sempre que as distˆ ancias envolvidas forem muito grandes em rela¸ca˜o a`s dimens˜ oes do corpo. Material, porque, embora as dimens˜ oes do corpo sejam desprezadas, sua massa ser´ a considerada. F´ısica D – Aula 1 Repouso, Movimento e Referencial Examine as seguintes situa¸co˜es: • Quando estamos dentro de um ve´ıculo em movimento, a paisagem circundante ´e fundamental para estabelecermos os conceitos de movimento e repouso • Quando observamos o movimento do sol atrav´es da esfera celeste, podemos concluir que a Terra se movimenta ao redor do Sol. • Uma pessoa nasce e cresce em um ambiente fechado, sem janelas, n˜ ao saindo dali durante toda a sua existˆencia. Nesse caso, pode ser que essa pessoa n˜ ao tenha condi¸co˜es de afirmar se aquele ambiente est´ a em repouso ou em movimento. Em todos esses casos, percebemos que o movimento ´e determinado a partir de um referencial: a paisagem ´e o referencial do carro e o Sol ´e o referencial da Terra; se uma pessoa passar a sua vida toda num ambiente absolutamente fechado, n˜ ao ter´ a referencial para perceber qualquer movimento, a n˜ ao ser o de seu pr´ oprio corpo. Trajet´ oria Este ´e outro conceito importante no estudo do movimento. Vamos partir da figura abaixo. Ela representa uma esfera abandonada de um avi˜ ao que voa com velocidade constante: 25 neste movimento, em rela¸ca˜o ao referencial adotado. O deslocamento de um corpo ´e uma grandeza vetorial, cujo m´ odulo equivale ao comprimento do segmento de reta, compreendidos entre os pontos inicial e final do movimento. A 5m 3m B C 4m Na figura, uma part´ıcula, saindo do ponto A, percorre a trajet´ oria ABC. A distˆ ancia percorrida pela part´ıcula ´e a soma dos trechos AB (3 metros) e BC (4 metros), totalizando 7 metros. J´ a o deslocamento ´e representado pela distˆ ancia entre o ponto A e ponto C, que ´e igual a 5 metros. A 5m 3m A8−132 B C 4m Observa¸ co ˜es • O deslocamento foi representado por um segmento de reta orientado que denominamos de vetor; os vetores representam as grandezas vetoriais. • O deslocamento ´e a menor distˆ ancia entre o ponto de sa´ıda e o ponto de chegada do corpo. Em rela¸ca˜o ao solo, a trajet´ oria da esfera ´e um arco de par´ abola; e em rela¸ca˜o ao avi˜ ao, a trajet´ oria ´e um segmento de reta vertical. Ent˜ ao, podemos concluir que a trajet´ oria: • ´e a linha descrita ou percorrida por um corpo em movimento; • depende do referencial adotado. Deslocamento × Distˆ ancia Percorrida A distˆ ancia percorrida por um corpo durante um movimento ´e a grandeza escalar que corresponde ao comprimento do segmento que representa a trajet´ oria descrita pelo corpo • Numa trajet´ oria retil´ınea a distˆ ancia percorrida e o deslocamento podem ser iguais. Deslocamento Escalar ∆s ´ a varia¸ca˜o de espa¸co s. E ´ medido em metros, quilˆ E ometros, cent´ımetros, etc. Ou seja: ∆s = s − s0 onde s0 ´e o espa¸co inicial s ´e o espa¸co final. O deslocamento escalar pode ser positivo, negativo ou nulo. Quando ∆s > 0 o movimento ´e a favor da orienta¸ca˜o da trajet´ oria; quando ∆s < 0 o movimento ´e contra a orienta¸ca˜o da trajet´ oria, mas se ∆s = 0 a posi¸ca˜o final ´e igual a inicial. 26 Apostila do Curso Pr´e-Vestibular UDESC 2005 – M´ odulo I Importante A cada segundo a velocidade aumenta 3, 6 km/h, ou seja, a velocidade varia +3, 6 (km/h) a cada segundo. Isso ´e, a acelera¸ca˜o ´e: H´ a duas possibilidades para ∆s = 0: • o corpo pode n˜ ao ter se movimentado; a=+ • o corpo pode ter se movimentado mas retornado a posi¸ca˜o inicial; Velocidade Escalar M´ edia Aqui temos uma acelera¸ca˜o positiva, pois a velocidade vai aumentando (em m´ odulo) com o tempo. Outro Exemplo Quando falamos que um ve´ıculo percorreu 100 km em 2 h ´e f´ acil determinar que em m´edia ele 50 km a cada 1 h. N´ os dividimos a distˆ ancia total e o tempo total da viagem. Isso n˜ ao significa que o ve´ıculo andou sempre na mesma velocidade, pois o ve´ıculo pode ter parado em um posto de combust´ıvel para abastecer. N´ os sabemos apenas a distˆ ancia total e o tempo total da viagem, nada sabemos dos acontecimentos durante a mesma. Mas se o motorista quisesse a viagem no mesmo tempo e andando sempre na mesma velocidade ele deveria andar sem´ a velocidade escalar m´edia. Normalmente pre a 50 km/h. E n˜ ao usaremos o termo distˆ ancia e sim deslocamento escalar (∆s) e, para indicarmos o tempo decorrido usaremos intervalo de tempo (∆t). Dessa maneira: Vm = 1, 0 m/s 3, 6 km/h = = 1 m/s2 s s Imagine o seguinte movimento: t(s) v(m/s) 3 35 Acelera¸ c˜ ao Escalar M´ edia (am ) ´ a varia¸ca˜o total da velocidade em rela¸ca˜o ao intervalo E total de tempo. s − s0 ∆s = ∆t t − t0 1 1000 m = m/s 3600 s 3, 6 am = v − v0 ∆v = ∆t t − t0 Unidades SI No SI medimos a velocidade em m/s, o tempo em segundos (s), e a acelera¸ca˜o em m/s2 . e tamb´em 1 m/s = 3, 6 km/h Velocidade Escalar Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao Vamos recordar: a velocidade indica a rapidez e o sentido do movimento. Exemplos 1. Va = +10 m/s: a cada segundo o m´ ovel anda 10 m e indica movimento no sentido da orienta¸ca˜o da trajet´ oria. 2. Vb = −10 m/s: a rapidez ´e a mesma do m´ ovel anterior e o movimento ´e no sentido oposto ao da orienta¸ca˜o da trajet´ oria. Acelera¸ c˜ ao Mede a rapidez da mudan¸ca da velocidade, ´e a varia¸ca˜o da velocidade em fun¸ca˜o do tempo. Imagine um movimento com a velocidade mudando a cada segundo: 0 10,0 2 40 Nesse caso a acelera¸ca˜o ´e negativa, pois a velocidade vai diminuindo (em m´ odulo) com o tempo. Para transformar velocidades em km/h em m/s fazemos: t(s) v(km/h) 1 45 A cada segundo a velocidade varia (diminui) em −5 m/s, ou seja: −5 m/s a= = −5 m/s2 s A unidade de velocidade no SI ´e o m/s. 1 km/h = 0 50 1 13,6 2 17,2 3 21,8 1. (PUC) Um atleta fez um percurso de 800 m num tempo de 1 min e 40 s. A velocidade escalar m´edia do atleta ´e de: a) 8, 0 km/h b) 29, 0 m/s c) 29, 0 km/h d) 20, 0 m/s e) 15, 0 km/h 2. (UEL) Um m´ ovel percorreu 60, 0 m com velocidade de 15, 0 m/s e os pr´ oximos 60, 0 m a 30, 0 m/s. A velocidade m´edia durante as duas fases foi de: a) 15, 0 m/s b) 20, 0 m/s c) 22, 5 m/s d) 25, 0 m/s e) 30, 0 m/s 3. (VUNESP) Ao passar pelo marco “km 200”de uma rodovia, um motorista vˆe um an´ uncio com a inscri¸ca˜o “ABASTECIMENTO E RESTAURANTE A 30 MINUTOS”. Considerando que esse posto de servi¸cos se encontra junto ao F´ısica D – Aula 2 27 marco “km 245”dessa rodovia, pode-se concluir que o anunciante prevˆe, para os carros que trafegam nesse trecho, uma velocidade m´edia, em km/h, de: a) 80 b) 90 c) 100 d) 110 e) 120 Exerc´ıcios Complementares 4. (FUVEST) Partindo do repouso, um avi˜ ao percorre a pista com acelera¸ca˜o constante e atinge a velocidade de 360 km/h em 25 segundos. Qual o valor da acelera¸ca˜o, em m/s2 ? a) 9,8 b) 7,2 c) 6,0 d) 4,0 e) 2,0 5. (PUC) Um trem est´ a com velocidade escalar de 72 km/h quando freia com acelera¸ca˜o escalar constante de m´ odulo igual a 0, 40 m/s2 . O intervalo de tempo que o trem gasta para parar, em segundos, ´e de: a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50 iguais. Se, al´em da velocidade apresentar valor constante e a trajet´ oria for retil´ınea, o movimento ´e dito movimento retil´ıneo uniforme (MRU). Equa¸ c˜ ao Hor´ aria do MU Ao longo de um movimento, a posi¸ca˜o de um m´ ovel varia no ´u decorrer do tempo. E ´til, portanto, encontrar uma equa¸ca˜o que forne¸ca a posi¸ca˜o de um m´ ovel em um movimento uniforme no decorrer do tempo. A esta equa¸ca˜o denominamos equa¸ca˜o hor´ aria do movimento uniforme. Considere ent˜ ao, o nosso amigo corredor percorrendo com velocidade constante v a trajet´ oria da figura. t t 0 x0 O x X Figura 1.1: Movimento uniforme (MU). Onde: x0 ´e a sua posi¸ca˜o inicial no instante t0 = 0 e x ´e a sua nova posi¸ca˜o no instante t posterior. A velocidade do corredor no intervalo de tempo ∆t = t − t0 = t ´e v= v − v0 ∆x = ∆t t e se v ´e sempre constante, para qualquer instante t, ent˜ ao temos um movimento uniforme (MU). Neste caso, como a trajet´ oria do movimento ´e retil´ınea, temos um movimento retil´ıneo uniforme (MRU). 6. (ACAFE) Um carro inicia a travessia de uma ponte com uma velocidade de 36 km/h , ao passar a ponte o motorista observa que o ponteiro do veloc´ımetro marca 72 km/h. Sabendo que a travessia dura 5, 0segundos, a acelera¸ca˜o do carro durante a travessia ´e de: a) 1 m/s2 b) 2 m/s2 c) 3 m/s2 d) 4 m/s2 e) n.d.a que nos d´ a a posi¸ca˜o x(t) em cada instante t > 0, para todo o movimento. F´ısica D Gr´ afico da Velocidade v × t Aula 2 Movimento Uniforme (MU) Invertendo-se a equa¸ca˜o acima, equa¸ c˜ ao hor´ aria do movimento: podemos escrever a x(t) = x0 + vt No movimento uniforme, o diagrama da velocidade em fun¸ca˜o do tempo v × t x ´e uma reta paralela ao eixo dos tempos, uma vez que a velocidade ´e constante e n˜ ao varia ao longo do tempo. Suponhamos que vocˆe esteja dirigindo um carro de tal forma que o ponteiro do veloc´ımetro fique sempre na mesma posi¸ca˜o, por exemplo 80 km/h, no decorrer do tempo. Nessa condi¸ca˜o, vocˆe ir´ a percorrer 80 km a cada hora de viagem, em duas horas percorrer´ a 160 km, e assim por diante. O movimento descrito nessa situa¸ca˜o ´e denominado movimento uniforme (MU). v v Vocˆe j´ a deve ter notado, ent˜ ao, que no movimento uniforme o valor do m´ odulo da velocidade ´e constante e n˜ ao nulo, isto ´e, o m´ ovel percorre espa¸cos iguais em intervalos de tempo Figura 1.2: Gr´ afico v × t para o MU: para a direita v > 0 (a); para a esquerda v < 0 (b) e repouso v = 0 (c). v>0 v v=0 O t O t O t v<0 28 Apostila do Curso Pr´e-Vestibular UDESC 2005 – M´ odulo I Importante • Quando o movimento ´e na dire¸ca˜o positiva do eixo orientado (o sentido positivo usual ´e para a direita) a velocidade do m´ ovel ´e positiva (v > 0). Neste caso x cresce com o tempo; a θ • Quando o movimento ´e na dire¸ca˜o negativa do eixo orientado (sentido negativo usual ´e para a esquerda) a velocidade do m´ ovel ´e negativa (v < 0), e neste caso, x decresce com o tempo. Neste caso como a velocidade est´ a abaixo do eixo das abscissas, esta possui valor negativo, ou seja est´ a em sentido contr´ ario ao da trajet´ oria. ´ importante notar que a velocidade corresponde a al• E tura da reta horizontal no gr´ afico v × t. • A a´rea de um retˆ angulo ´e dada pelo produto da base pela altura: o deslocamento, pelo produto da velocidade pelo tempo. v                           ∆ x = vt  = Area           t Figura 1.3: O deslocamento ´e igual a a ´rea sob a curva do gr´ afico v × t. Gr´ afico da Posi¸ c˜ ao x × t Como a equa¸ca˜o hor´ aria no movimento uniforme ´e uma equa¸ca˜o do primeiro grau, podemos dizer que, para o movimento uniforme, todo gr´ afico x × t ´e uma reta inclinada em rela¸ca˜o aos eixos. Quando o movimento ´e progressivo (para a direita) a reta ´e inclinada para cima, indicando que os valores da posi¸ca˜o aumentam no decorrer do tempo; quando o movimento ´e retr´ ogrado (para a esquerda), a reta ´e inclinada para baixo indicando que os valores da posi¸ca˜o diminuem no decorrer do tempo. Observe no gr´ afico que, de acordo com a equa¸ca˜o hor´ aria, a velocidade pode ser dada pela inclina¸ca˜o da reta, ou seja v = tan θ A inclina¸ca˜o da reta tamb´em denominada ´e chamada de declividade ou coeficiente angular da reta. Lembre-se de que a tangente de um aˆngulo, num triˆ angulo retˆ angulo, ´e dada pela rela¸ca˜o entre cateto oposto e o cateto adjacente: Para o movimento progressivo temos o seguinte gr´ afico: E para o movimento retr´ ogrado observa-se que: c Figura 1.4: Inclina¸ca ˜o de uma reta tan θ = b/c. x v>0 xo O  O b t Figura 1.5: Gr´ afico x × t para o movimento uniforme (MU) progressivo. Pense um Pouco! • Um trem com 1 km de extens˜ ao viaja a` velocidade de 1 km/min. Quanto tempo leva o trem para atravessar um t´ unel de 2 km de comprimento? • Como seria o gr´ afico x × t para um objeto em repouso? • No gr´ afico x × t, qual a interpreta¸ca˜o f´ısica da intersec¸ca˜o da reta com o eixo do tempo t? Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. (UEL) Um autom´ ovel mantˆem uma velocidade escalar constante de 72, 0 km/h. Em 1h:10min ele percorre uma distˆ ancia igual a: a) 79, 2 km b) 80, 8 km c) 82, 4 km d) 84, 0 km e) 90, 9 km ´ 2. (ITAUNA-RJ) A equa¸ca˜o hor´ aria de um certo movimento ´e x(t) = 40 − 8t no SI. O instante t, em que o m´ ovel passa pela origem de sua trajet´ oria, ser´ a: a) 4 s b) 8 s c) 32 s F´ısica C – Aula 3 x 29 v<0 F´ısica C xo O Aula 3 Movimento Uniformemente Variado (MUV) t Figura 1.6: [Gr´ afico x×t para o movimento uniforme (MU) retr´ ogrado. d) 5 s e) 10 s 3. (UEL) Duas pessoas partem simultaneamente de um mesmo local com velocidades constantes e iguais a 2 m/s e 5 m/s, caminhando na mesma dire¸ca˜o e no mesmo sentido. Depois de meio minuto, qual a distˆ ancia entre elas? a) 1, 5 m b) 60, 0 m c) 150, 0 m d) 30, 0 m e) 90, 0 m Analisando um movimento de queda livre, podemos verificar que o deslocamento escalar vai aumentando com o decorrer do tempo, isso mostra que a velocidade escalar do corpo varia com o tempo. Trata-se ent˜ ao de um movimento variado. Galileu j´ a havia descoberto esse movimento e concluiu que, desprezando a resistˆencia do ar, quando abandonamos do repouso os corpos pr´ oximos a superf´ıcie da terra caem com velocidades crescentes, e que a varia¸ca˜o da velocidade ´e constante em intervalos de tempos iguais. Podemos ent˜ ao concluir que este ´e um movimento uniformemente variado (MUV). Observamos um MUV quando o m´ odulo da velocidade de um corpo varia de quantidades iguais em intervalos de tempos iguais, isto ´e, apresenta acelera¸ca˜o constante e diferente de zero. No caso da trajet´ oria ser retil´ınea, o movimento ´e denominado movimento retil´ıneo uniformemente variado (MRUV). Portanto em um movimento retil´ıneo uniforme. Acelera¸ c˜ ao e Velocidade no MRUV Exerc´ıcios Complementares 4. (UEPG-PR) Um trem de 25 m de comprimento, com velocidade constante de 36 km/h, leva 15s para atravessar totalmente uma ponte. O comprimento da ponte ´e: a) 120 m b) 100 m c) 125 m d) 80 m e) nenhuma resposta ´e correta 5. (TUIUTI-PR) Um motorista passa, sem perceber, em um radar da pol´ıcia a 108 km/h. Se uma viatura est´ a, logo adiante a uma distˆ ancia de 300 m do radar, em quanto tempo o motorista passar´ a pela viatura? a) 7 s b) 13 s c) 20 s d) 10 s e) 16 s 6. (UESBA) Se dois movimentos seguem as fun¸co˜es hor´ arias de posi¸ca˜o x1 (t) = 100 + 4t e x2 (t) = 5t, com unidades do SI, o encontro dos m´ oveis se d´ a no instante: a) 0 s b) 400 s c) 10 s d) 500 s e) 100 s a = constante 6= 0 Como a acelera¸ca˜o escalar ´e constante, ela coincide com a acelera¸ca˜o escalar m´edia: a = am = v − v0 ∆v = ∆t t − t0 fazendo t0 = 0, podemos escrever a equa¸ca˜o hor´ aria da velocidade, ou seja v = v0 + at v O v MRUV a>0 vo > 0 t O v MRUV a>0 vo < 0 t O MRU a=0 vo > 0 t Figura 1.1: v × t para o MRUV com a ≥ 0. Posi¸ c˜ ao versus tempo no MRUV Analisando o gr´ afico de v×t, podemos obter a fun¸ca˜o hor´ aria dos espa¸co calculando o deslocamento escalar desde t = 0 at´e um instante t qualquer. Como: 30 v Apostila do Curso Pr´e-Vestibular UDESC 2005 – M´ odulo I MRUV v a<0 vo > 0 O MRUV a<0 vo = 0 O t v t MRU O a=0 vo < 0 A Equa¸ c˜ ao de Torricelli t Figura 1.2: v × t para o MRUV com a ≤ 0. O f´ısico italiano Evangelista Torricelli estudou matem´ atica em Roma. Nos u ´ltimos meses de vida de Galileu, Torricelli se tornou seu aluno e amigo ´ıntimo, o que lhe proporcionou a oportunidade de rever algumas teorias do mestre. Uma das conseq¨ uˆencias disso foi a unifica¸ca˜o que Torricelli fez das fun¸co˜es hor´ arias estabelecidas por Galileu para o movimento uniformemente variado. Torricelli eliminou o tempo da fun¸ca˜o v = v0 + at ∆s = a´rea ∆s =  v + v0 2  obtendo t = (v − v0 )/a t e substituindo o valor de t na fun¸ca˜o hor´ aria dos espa¸cos, temos    v + v0 v − v0 s = s0 + vm t = s0 + 2 a como: ∆s = s − s0 onde vm ´e a velocidade m´edia do movimento. e Finalmente, obtemos a equa¸ca˜o de Torricelli: v 2 = v02 + 2a∆s v = v0 + at temos Pense um Pouco! 1 s − s0 = (v0 + at + v0 )t 2 s − s0 = • Imagine que vocˆe est´ a no interior de um autom´ ovel em movimento. O autom´ ovel ´e suficientemente silencioso e macio para que vocˆe n˜ ao perceba sua velocidade e varia¸co˜es de velocidade. Apenas olhando para o veloc´ımetro do autom´ ovel, sem olhar pelas janelas e p´ arabrisas, ´e poss´ıvel classificar o movimento do autom´ ovel? 1 1 (2v0 + at)t = v0 t + at2 2 2 logo, • Pode-se usar a equa¸ca˜o de Torricelli para se determinar a altura atingida por um proj´etil lan¸cdo verticalmente para cima? Como? 1 s(t) = s0 + v0 t + at2 2 ´e a fun¸ca˜o hor´ aria dos espa¸cos s(t). x x a>0 vo = 0 O t x a>0 vo < 0 xo = 0 O t Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao a>0 vo < 0 xo < 0 O t xo = 0 Figura 1.3: x × t para o MRUV com a > 0. x O a<0 vo = 0 xo = 0 x t O a<0 vo > 0 xo = 0 x t O a<0 vo = 0 xo > 0 Figura 1.4: x × t para o MRUV com a < 0. t 1. (UEL) Uma part´ıcula parte do repouso e, em 5 segundos percorre 100 metros. Considerando o movimento retil´ıneo uniformemente variado, podemos afirmar que a acelera¸ca˜o da part´ıcula ´e de: a) 8, 0 m/s2 b) 4, 0 m/s2 c) 20 m/s2 d) 4, 5 m/s2 e) n.d.a. 2. (UFPR) Um carro transitando com velocidade de 15 m/s, tem, seu freio acionado. A desacelera¸ca˜o produzida pelo freio ´e de 10 m/s2 . O carro p´ ara ap´ os percorrer: a) 15, 5 m b) 13, 35 m c) 12, 15 m d) 11, 25 m e) 10, 50 m F´ısica D – Aula 4 31 3. (ACFE-SC) A velocidade de um certo corpo em movimento retil´ıneo ´e dada pela express˜ ao v(t) = 10 − 2t, no SI. Calcule o espa¸co percorrido pelo corpo entre os instantes 2 s e 3 s. a) 3 m b) 5 m c) 8 m d) 16 m e) 21 m Exerc´ıcios Complementares 4. (CEFET) Na decolagem, um certo avi˜ ao partindo do repouso, percorre 500 m em 10, 0 s. Considerando-se sua acelera¸ca˜o constante, a velocidade com que o avi˜ ao levanta vˆ oo ´e: a) 100 m/s b) 200 m/s c) 125 m/s d) 50 m/s e) 144 m/s 5. (UNESP) Um m´ ovel descreve um movimento retil´ıneo obedecendo a fun¸ca˜o hor´ aria x(t) = 8 + 6t − t2 no SI. Esse movimento tem invers˜ ao de seu sentido no instante: a) 8 s b) 3 s c) 6 s d) 2 s e) 4/3 s 6. (UNESP) No instante em que o sinal de trˆ ansito autoriza a passagem, um caminh˜ ao de 24 m de comprimento que estava parado come¸ca atravessar uma ponte de 145 m de comprimento, movendo-se com uma acelera¸ca˜o constante de 2, 0 m/s2 . O tempo que o caminh˜ ao necessita para atravessar completamente a ponte ´e: a) 12 s b) 145 s c) 13 s d) 169 s e) 14 s Corpos em queda livre tˆem a mesma acelera¸ca˜o quaisquer que sejam suas massas. Esta acelera¸ca˜o de queda livre ´e denominada acelera¸ c˜ ao da gravidade e, nas proximidades da terra, ´e suposta constante e com m´ odulo g = 9.8 m/s2 , valor este que por praticidade, ´e usualmente aproximado para g = 10 m/s2 . Na realidade, a acelera¸ca˜o da gravidade, embora seja independente da massa do corpo em queda livre, varia com o local, dependendo da latitude e da altitude do lugar. Se o corpo em queda livre tiver uma trajet´ oria retil´ınea, seu movimento ser´ a uniformemente variado; neste caso, a acelera¸ca˜o escalar do corpo ser´ a constante e valer´ a sempre a = −g, independente do sentido do movimento. Desta forma, se um objeto for lan¸cado para cima (v0 > 0), ele ir´ a frear (desacelerar) at´e parar (v = 0) e depois seu sentido de movimento ser´ a invertido (v > 0). Conven¸ co ˜es • o sentido positivo do eixo vertical ´e debaixo para cima; • quando a e v possuem o mesmo sinal, o movimento ´e acelerado (v cresce em m´ odulo); • quando a e v possuem o sinais contr´ arios, o movimento ´e desacelerado, freado ou ent˜ ao dito tamb´em retardado (v diminui em m´ odulo); Velocidade Escalar Final Em um local onde o efeito do ar ´e desprez´ıvel e a acelera¸ca˜o da gravidade ´e constante e com m´ odulo g, um corpo ´e abandonado a partir do repouso de uma altura h acima do solo. Vamos obter a velocidade escalar final de um corpo ao solto (v0 = 0), atingir o solo. Pela equa¸ca˜o de Torricelli: v 2 = v02 + 2a∆s = v02 + 2a(s − s0 ) sendo s0 = h e s = 0, temos: v 2 = 0 + 2(−g)(0 − h) = 2gh ent˜ ao F´ısica D Aula 4 Queda Livre Um corpo ´e dito em queda livre quando esta sob a¸ca˜o exclusiva da gravidade terrestre ( ou da gravidade de outro corpo celeste). Foi Galileu quem estudou corretamente pela primeira vez, a queda livre de corpos. Galileu concluiu que todos os corpos em queda livre, isto ´e, livres do efeito da resistˆencia do ar, tem uma propriedade comum; v=− p 2gh ser´ a a sua velocidade escalar ao atingir o ch˜ ao. Escolhemos o sinal negativo (−) porque o corpo est´ a descendo, contra o sentido crescente do eixo vertical (que ´e para cima). Observe que quanto maior a altura inicial h, maior a velocidade final v, como era de se esperar, mas que v n˜ ao ´e proporcional a h. Tempo de Queda Vamos obter agora o tempo de queda livre desde que um corpo ´e solto (v0 = 0) de uma altura h, at´e atingir o solo. Pela equa¸ca˜o hor´ aria da velocidade do MRUV, temos: v(t) = v0 + at 32 Apostila do Curso Pr´e-Vestibular UDESC 2005 – M´ odulo I v a = −g vo = 0 tq 0 • o movimento do proj´etil ´e uniformemente variado porque a acelera¸ca˜o escalar ´e constante e diferente de zero; • como foi lan¸cado para cima, a velocidade inicial do proj´etil ´e positiva (v0 > 0); • orientando-se o eixo vertical para cima, como de costume, a acelera¸ca˜o escalar vale −g; t • A partir do ponto mais alto da trajet´ oria, o proj´etil inverte o sentido de seu movimento e , portanto, sua velocidade ´e nula no ponto mais alto (ponto de invers˜ ao); • O tempo de subida ts do proj´etil ´e calculado como se segue: se Figura 1.1: v × t para a queda livre. v(t) = v0 − gt e v(ts ) = 0 para a posi¸ca˜o mais alta, temos e para a queda livre ser´ a 0 = v0 − gts v(t) = v0 − gt √ e sendo v0 = 0 e v = − 2gh temos p − 2gh = 0 − gt e finalmente e finalmente ts = s √ 2gh 2h t= = g g Pode-se mostrar que o tempo de descida ´e igual ao tempo de subida. Mostre vocˆe mesmo. a = −g vo = 0 xo = h x h v0 g • a velocidade escalar de retorno ao solo ´e calculada como se segue: como o tempo total de vˆ oo ´e 2ts , temos   2v0 v(2ts ) = v0 − g(2ts ) = v0 − g g ou seja, a velocidade de retorno ser´ a 0 tq v = −v0 t Figura 1.2: x × t para a queda livre. Observe que quanto maior a altura inicial h, maior o tempo de queda t, como tamb´em era de se esperar, e que t tamb´em n˜ ao ´e proporcional a h. A mesma acelera¸ca˜o que retarda a subida do proj´etil ´e a que o acelera na descida e tem m´ odulo constante g, portanto conclu´ımos que que ao retornar ao solo, o proj´etil chaga com a mesma velocidade inicial de lan¸camento, em m´ odulo. • A altura m´ axima atingida pelo proj´etil ´e calculada a partir da equa¸ca˜o de Torricelli: v 2 = v02 + 2a∆s Lan¸ camento Vertical Em um local onde o efeito do ar ´e desprez´ıvel e a acelera¸ca˜o da gravidade ´e constante e com m´ odulo igual a g, um proj´etil ´e lan¸cado verticalmente para cima com velocidade de m´ odulo igual a v0 . Estudemos as propriedades associadas a este movimento: 1 s(t) = s0 + v0 t − gt2 2 e Observa-se que: v(t) = v0 − gt e como v = 0 e ∆s = h, temos 0 = v02 + 2(−g)h donde h= v02 2g Observe que quanto maior a velocidade inicial v 0 , maior a altura h atingida pelo proj´etil, como era de se esperar, e que h n˜ ao ´e proporcional a v0 . F´ısica D – Aula 5 Pense um Pouco! • Por que uma folha inteira e outra amassada n˜ ao chegam juntas ao ch˜ ao, quando soltas simultaneamente de uma mesma altura? 33 c) 90 m d) 30 m e) 60 m Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 5. (UNICAMP) Uma atra¸ca˜o que est´ a se tornando muito popular nos parques de divers˜ ao consiste em uma plataforma que despenca, a partir do repouso, em queda livre de uma altura de 75 m. Quando a plataforma se encontra a 30 m do solo, ela passa a ser freada por uma for¸ca constante e atinge o repouso quando chega ao solo. A velocidade da plataforma quando o freio ´e acionado ´e dada por : a) 10 m/s b) 30 m/s c) 75 m/s d) 20 m/s e) 40 m/s 1. (UFAL) Uma pedra ´e abandonada de uma altura de 7, 2 m, adotando g = 10 m/s2 e desprezando-se a resistˆencia do ar, pode-se afirmar que a sua velocidade escalar ao atingir o solo ser´ a: a) 12 m/s b) 36 m/s c) 360 m/s d) 18 m/s e) 180 m/s 6. (CEFET-PR) Um bal˜ ao meteorol´ ogico est´ a subindo com velocidade constante de 10 m/s e se encontra a uma altura de 75 m, quando dele se solta um aparelho. O tempo que o aparelho leva para chegar ao solo ´e: a) 2 s b) 4 s c) 5 s d) 3 s e) 7 s • Um corpo pode ter acelera¸ca˜o a 6= 0 e v = 0? Como? • Um corpo pode estar subindo (v > 0) e acelerando para baixo (a < 0)? Como? • por que n˜ ao se deve dar um tiro para cima com uma arma de fogo? 2. (FUVEST) Um corpo ´e solto, a partir do repouso, do topo de um edif´ıcio de 80 m de altura. Despreze a resistˆencia do ar e adote g = 10 m/s2 . O tempo de queda at´e o solo e o m´ odulo da velocidade com que o corpo atinge o solo s˜ ao: a) 4, 0 s e 72 km/h b) 2, 0 s e 72 km/h c) 2, 0 s e 144 km/h d) 4, 0 s e 144 km/h e) 4, 0 s e 40 km/h 3. (FUVEST) Um corpo ´e disparado do solo, verticalmente para cima, com velocidade inicial de m´ odulo igual a 2, 0.102 m/s. Desprezando a resistˆencia do ar e adotando g = 10 m/s2 , a altura m´ axima alcan¸cada pelo proj´etil e o tempo necess´ ario para alcan¸ca´-la s˜ ao respectivamente: a) 4, 0 km e 40 s b) 2, 0 km e 40 s c) 2, 0 km e 10 s d) 4, 0 km e 20 s e) 2, 0 km e 20 s F´ısica D Movimento (MCU) Aula 5 Circular Uniforme Em um movimento onde a trajet´ oria ´e uma circunferˆencia (ou arco de uma circunferˆencia) e a velocidade escalar ´e constante, este ´e denominado como movimento circular uniforme (MCU). Neste movimento a part´ıcula ´e localizada pela sua posi¸ca˜o angular θ, que varia uniformemente com o tempo. No movimento circular uniforme o vetor velocidade muda o tempo todo, por´em mant´em fixo o seu m´ odulo (velocidade escalar). Movimento Peri´ odico Exerc´ıcios Complementares 4. (FMTM-MG) As gaivotas utilizam um m´etodo interessante para conseguir degustar uma de suas presas favoritas – o caranguejo. Consiste em suspendˆe-lo a uma determinada altura e a´ı abandonar sua v´ıtima para que chegue ao solo com uma velocidade de m´ odulo igual a 30 m/s, suficiente para que se quebre por inteiro. Despreze a resistˆencia do ar e adote g = 10 m/s2 . A altura de eleva¸ca˜o utilizada por essas aves ´e: a) 15 m b) 45 m Um movimento ´e chamado peri´ odico quando todas as suas caracter´ısticas (posi¸ca˜o, velocidade e acelera¸ca˜o) se repetem em intervalos de tempo iguais. O movimento circular e uniforme ´e um exemplo de movimento peri´ odico, pois, a cada volta, o m´ ovel repete a posi¸ca˜o, a velocidade e a acelera¸ca˜o. Per´ıodo (T ) Define-se como per´ıodo (T ) o menor intervalo de tempo para que haja repeti¸ca˜o das caracter´ısticas do movimento. 34 Apostila do Curso Pr´e-Vestibular UDESC 2005 – M´ odulo I                  v     3                                                          v      2                   "     "!   !" !" "!"! !" !" "!"! !" !R" "!"! !" !" "!"! !" !" "!"! !! " !"  logo, para o MCU temos v = 2πRf v1 θ  Velocidade Angular ω Define a velocidade angular ω de forma semelhante a` defini¸ca˜o de velocidade v, s´ o que nesse caso estamos interessados na varia¸ca˜o da posi¸ca˜o angular ocorrida no MCU. Ent˜ ao: ∆θ θ − theta0 ω= = ∆t t Para uma volta completa, temos que o deslocamento angular ser´ a 2π e t = T , temos v4 Figura 1.1: O movimento circular uniforme (MCU). ω= 2π = 2πf T Unidades SI A velocidade angular ω ´e medida em rad/s no SI. No movimento circular e uniforme, o per´ıodo ´e o intervalo de tempo para o m´ ovel dar uma volta completa. Como ´e uma medida de tempo, a unidade SI do per´ıodo ´e o segundo. Frequˆ encia (f ) Define-se a frequˆencia (f ) de qualquer movimento peri´ odico como o n´ umero de vezes que as caracter´ısticas do movimento se repetem durante uma unidade de tempo, ou seja, 1 s. No movimento circular uniforme, a frequˆencia ´e o n´ umero de voltas realizadas na unidade de tempo. Se o m´ ovel realiza n voltas em um intervalo de tempo t, a frequencia f ´e dada por: n f= t e por defini¸ca˜o, como no MCU o tempo de uma volta completa (n = 1) ´e o pr´ oprio per´ıodo do movimento, temos que f= Rela¸ c˜ ao entre v e ω Como a velocidade escalar no MCU ´e v = 2πRf e ω = 2πf , ent˜ ao v = ωR Ou seja, a velocidade escalar v ´e proporcional a` velocidade angular ω. Vetores no MCU J´ a vimos que no movimento circular e uniforme, a velocidade vetorial tem m´ odulo constante, por´em dire¸ca˜o vari´ avel e, portanto o vetor v ´e vari´ avel. Sendo a velocidade vetorial vari´ avel, vamos analisar a acelera¸ca˜o vetorial a. Sendo o movimento uniforme, a componente tangencial at da acelera¸ca˜o vetorial ´e nula: at = 1 T ∆v =0 ∆t Sendo a trajet´ oria curva, a componente normal an da acelera¸ c a ˜ o, ou tamb´ em chamada de acelera¸ca˜o centr´ıpeta n˜ ao A unidade SI da frequˆencia f ´e s−1 ou tamb´em chamado ´e nula (an 6= 0). de hertz, cuja abrevia¸ca˜o ´e Hz. Pode-se tamb´em medir a O m´ odulo da acelera¸ca˜o centr´ıpeta pode ser calculado pela frequˆencia em rota¸ co ˜es por minuto ou rpm. seguinte express˜ ao: Exemplo Se um movimento tem frequˆencia de 2, 0 Hz, ent˜ ao s˜ ao dadas duas voltas completas por segundo, ou seja, o per´ıodo do movimento deve ser de 1/2 s. Como o minuto tem 60 segundos, esse movimento ter´ a uma frequˆencia de 120 rpm. Velocidade Escalar v Para uma volta completa, em uma circunferˆencia de raio R, temos que ∆s 2πR v= = ∆t T ac = 2v sin(∆θ/2) ∆v = ∆t ∆t e como ∆θ = ω∆t, e o aˆngulo ∆θ ´e pequeno para ∆t pequeno, temos ∆θ ∆θ sin ' 2 2 e 2ωR∆θ/2 = ω2R ac = ∆θ/ω ou ent˜ ao, como v = ωR ac = v2 R F´ısica D – Aula 6 35 ()& ()& ()& ()& ()& )& )& )& )& )( v)& ()& ()& ()& ()& ()& (t))( ( ( ( ( ( ./& . . . . . . /& & / & / & / & / & / / ( /& ( /& ( /& ( /& (+& . /& . )& . )& . )& . )& . -,-,)& /. )()(+* #$ *-,+& v (t+ ∆ t) *-,+& +*+* *+& -,-,*+& ** +*+*+* ac ∆θ=ο∆ t-,+& ** +*+* -,-,+& ** +*+* θ = ο t +& -,-,+& *+& +& -,-,+& * +*+* ∆v 01& 01& 01& 01& 01& 1& 1& 1& 1& 1010 v (t) 00 1& 01& 01& 01& 01& 0 0 0 0 23 1& 2 2 2 2 2 & & 3 & 3 & 3 & 3 & 3 0 1& 0 1& 0 1& 0 1& 0 %&1010 %' 32 1& v (t+ ∆ t) ∆θ=ο∆ t R Figura 1.2: A acelera¸ca ˜o centr´ıpeta (normal). Pense um Pouco! • Certos fenˆ omenos da natureza, como a trajet´ oria da Terra em torno do Sol e o movimento dos sat´elites apresentam movimento circular uniforme? Dˆe exemplos. • Imagine um disco girando em torno do seu centro. As velocidades de todos os seus pontos s˜ ao iguias em m´ odulo? Explique. • Como s˜ ao os vetores de velocidade de diferentes pontos de uma mesma roda (disco) que gira? Fa¸ca um esbo¸co dos vetores. • Qual a velocidade angular do ponteiro dos segundos de um rel´ ogio mecˆ anico? Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. (FCC) Uma part´ıcula executa um movimento uniforme sobre uma circunferˆencia de raio 20 cm. Ela percorre metade da circunferˆencia em 2, 0 s. A frequˆencia, em hertz, e o per´ıodo do movimento, em segundos, valem, respectivamente : a) 4,0 e 0,25 b) 1,0 e 1,0 c) 0,25 e 4,0 d) 2,0 e 0,5 e) 0,5 e 2,0 2. (UFES) Uma pessoa est´ a em uma roda-gigante que tem raio de 5 m e gira em rota¸ca˜o uniforme. A pessoa passa pelo ponto mais pr´ oximo do ch˜ ao a cada 20 segundos. Podemos afirmar que a frequˆencia do movimento dessa pessoa, em rpm, ´e: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 3. (ITA) Um autom´ ovel percorre uma trajet´ oria com velocidade escalar constante. A roda do autom´ ovel, cujo raio ´e 30 cm, d´ a 40 voltas em 2, 0 s. A Velocidade escalar angular da roda ´e, em rad/s: a) 20 rad/s b) 30 rad/s c) 40 rad/s d) 50 rad/s e) 60 rad/s Exerc´ıcios Complementares 4. (ACAFE) Um autom´ ovel percorre uma estrada com velocidade escalar constante e igual a 8, 0 m/s e suas rodas possuem raio R = 0, 40 m. A frequˆencia de rota¸ca˜o da roda ´e: a) 5 Hz b) 8 Hz c) 12 Hz d) 6 Hz e) 10 Hz 5. (FUVEST) Um ciclista percorre uma pista circular de 500 m de raio, com velocidade escalar constante de 20 m/s. A acelera¸ca˜o do ciclista ´e: a) 0, 5 m/s2 b) 0, 8 m/s2 c) 1, 4 m/s2 d) 0, 6 m/s2 e) 1, 2 m/s2 6. (CEFET-PR) A o´rbita da Terra em torno do Sol, em raz˜ ao da sua baixa excentricidade, ´e aproximadamente uma circunferˆencia. Sabendo-se que a terra leva um ano para realizar uma volta completa em torno do Sol e que a distˆ ancia m´edia da Terra ao Sol ´e 150 milh˜ oes de km, os m´ odulos dos vetores da velocidade e acelera¸ca˜o em km/s e m/s 2 s˜ ao respectivamente: a) 10 e 2, 0 × 10−3 b) 20 e 2, 0 × 10−3 c) 30 e 6, 0 × 10−3 d) 20 e 6, 0 × 10−3 e) 10 e 6, 0 × 10−3 F´ısica D Aula 6 Termodinˆ amica A Termodinˆ amica ´e a parte da F´ısica Cl´ assica que estuda os sistemas t´ermicos, os processos de transforma¸co˜es f´ısicas que ocorrem em tais sistemas, bem como as trocas de energia, calor e o trabalho mecˆ anico. Temperatura Temperatura e calor s˜ ao grandezas b´ asicas no estudo da termof´ısica e tanto a sua compreens˜ ao como a sua perfeita distin¸ca˜o s˜ ao de importˆ ancia vital para o entendimento de toda a termof´ısica. De maneira simplificada pode-se definir que temperatura como uma grandeza que permite avaliar o 36 Apostila do Curso Pr´e-Vestibular UDESC 2005 – M´ odulo I n´ıvel de agita¸ca˜o das mol´eculas de um corpo. De acordo com a teoria cin´etica dos gases, as mol´eculas de um g´ as movem-se livre e desordenadamente em seu interior, separadas umas das outras, e apenas interagindo entre si durante colis˜ oes eventuais. A medida que se aquece o g´ as, a velocidade com que suas mol´eculas se movem aumenta, caracterizando um aumento na energia cin´etica dessas mol´eculas, da mesma forma um resfriamento do g´ as provoca a diminui¸ca˜o da velocidade e da energia cin´etica de suas mol´eculas. Como a velocidade e conseq¨ uentemente a energia cin´etica de cada a´tomo que constitue uma mol´ecula n˜ ao ´e a mesma, o estado t´ermico de um corpo ´e avaliado pela energia cin´etica m´edia de seus a´tomos: quanto maior for a energia cin´etica m´edia das part´ıculas que comp˜ oem um corpo, maior ser´ a a sua temperatuta. Calor Colocando dois corpos de temperaturas diferentes em contato t´ermico, observamos o mais quente esfriar e o mais frio esquentar. O corpo mais quente perde calor e o corpo mais frio ganha calor. Os corpo trocar˜ ao calor at´e a atingirem a mesma temperatura, neste caso estar˜ ao em equil´ıbrio t´ermico. Essa ´e a chamada lei zero da Termodinˆ amica. Portanto o calor ´e a energia em trˆ ansito do corpo mais quente para o corpo mais frio por causa da diferen¸ca de temperatura dos corpos em contato t´ermico. Ent˜ ao, a unidade de medida de calor ´e a mesma unidade de energia. No Sistema Internacional, a unidade de energia ´e o joule ou J, e na Qu´ımica se usa a caloria ou cal. A equivalˆencia entre as unidades ´e: 1 cal = 4, 186 J Figura 1.1: Os pontos de referˆencia nas diferentes escalas. escalas termom´etricas pode ser obtida facilmente atrav´es de propor¸co˜es matem´ aticas. Imagine-se trˆes termˆ ometros de constru¸ca˜o idˆentica, cada um graduado em uma das escalas (Celsius , Fahrenheit e Kelvin), em equil´ıbrio t´ermico com um mesmo corpo. Obviamente, os trˆes termˆ ometros estar˜ ao indicando o mesmo estado t´ermico e, portanto, apresentar˜ ao as colunas de merc´ urio no mesmo n´ıvel. Observando-se os pontos fixos j´ a definidos para cada escala, e chamando de TC ,TF e T , as temperaturas do corpo nas escalas Celsius, Fahrenheit e Kelvin, respectivamente, podem-se estabelecer as propor¸co˜es: Escalas Termom´ etricas Dentre os diversos tipos, estudaremos as escalas termom´etricas a partir do termˆ ometro de merc´ urio, o mais ´ constitu´ıdo de uma haste oca de visimples e comum. E dro, ligada a um bulbo contendo merc´ urio. Ao ser colocado em contato com um corpo ou ambiente cuja temperatura se quer medir, o merc´ urio se dilata ou contrai, de forma que cada comprimento de sua coluna corresponde a um valor de temperatura. A parede da haste ´e graduada convenientemente, para indicar a temperatura correspondente a cada comprimento da coluna de merc´ urio. As escalas termom´etricas mais importantes s˜ ao a Celsius, a Fahrenheit e a Kelvin, e s˜ ao atribu´ıdos aos pontos fixos (ponto de fus˜ ao PF e ponto de ebuli¸ca˜o da a´gua PE ), os valores abaixo: Convers˜ ao de Temperaturas Embora usualmente se empregue o grau celsius (◦ C) como unidade pr´ atica de temperatura, a convers˜ ao entre escalas ´e muito importante, pois o kelvin ´e a unidade de temperatura do SI, e o grau fahrenheit (◦ F ) ainda ´e bastante utilizado em livros e filmes de l´ıngua inglesa. A rela¸ca˜o entre as TF − 32 ◦ F T − 273 K TC − 0 ◦ C = = 100 ◦ C − 0 ◦ C 212 ◦ F − 32 ◦ F 373 K − 273 K logo: TC TF − 32 ◦ F T − 273 K = = ◦ 5 C 9 ◦F 5K Observe que ambas as escalas Celsius e Kelvin s˜ ao cent´ıgradas, pois o intervalo e calibra¸ca˜o (do ponto de fus˜ ao do gelo ao de ebuli¸ca˜o da a´gua) ´e dividido em 100 graus, ou 100 partes. Na escala Fahrenheit, este intervalo ´e subdividido em 180 partes (graus frahrenheit). Intervalos de Temperatura Converter temperaturas de uma escala para a outra n˜ ao ´e o mesmo que converter intervalos de temperatura entre as escalas. Exemplo, um intervalo de temperatura de 10 ◦ C corresponde, na escala absoluta (ou Kelvin) a um intervalo de 10 K, e na escala Fahrenheit, o intervalo correspondente ser´ a de 18 ◦ F , pois para cada grau celsius, temos 1,8 grau fahrenheit. F´ısica E – Aula 1 A menor temperatura que existe na natureza ´e o chamado zero absoluto ou seja, 0 K. Por isso a escala Kelvin ´e dita absoluta. Nas outras escalas, os zeros foram escolhidos arbitrariamente, n˜ ao levando em conta a possibilidade de haver uma menor temperatura poss´ıvel na natureza, o que s´ o foi descoberto depois da cria¸ca˜o das primeiras escalas t´ermicas. Pense um Pouco! • Qual a temperatura normal do corpo humano, em ◦ F ? • A temperatura ideal da cerveja ´e em torno de 4 ◦ C, antes de beber. Se dispomos apenas de um termˆ ometro com escala Kelvin, qual a temperatura absoluta correspondente ao mesmo estado t´ermico da cerveja ideal? Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. Ao tomar a temperatura de um paciente, um m´edico s´ o dispunha de um termˆ ometro graduado na escala Fahrenheit. Se o paciente estava com febre de 42 ◦ C, a leitura feita pelo m´edico no termˆ ometro por ele utilizado foi de : a) 104 ◦ F b) 107, 6 ◦ F c) 72 ◦ F d) 40 ◦ F e) 106, 2 ◦ F 37 d) 25 e) 64 5. (CENTET-BA) Num termˆ ometro de escala X, 20 ◦ X ◦ correspondem a 25 C, da escala Celsius, e 40 ◦ X correspondem a 122 ◦ F , na escala Fahrenheit. Esse termˆ ometro apresentar´ a, para a fus˜ ao do gelo e a ebuli¸ca˜o da a´gua, os respectivos valores, em ◦ X: a) 0 e 60 b) 0 e 80 c) 20 e 60 d) 20 e 80 e) 60 e 80 6. (PUC) Uma revista cient´ıfica publicou certa vez um artigo sobre o planeta Plut˜ ao que, entre outras informa¸co˜es, dizia “...sua temperatura atinge −380 ◦ ...”. Embora o autor n˜ ao especificasse a escala termom´etrica utilizada, certamente se refere a` escala: a) Kelvin b) Celsius c) Fahrenheit d) Kelvin ou Celsius e) Fahrenheit ou Celsius F´ısica E Aula 1 Eletricidade 2. (URCAMP-SP) No interior de um forno, um termˆ ometro Carga El´ etrica Celsius marca 120◦ C. Um termˆ ometro Fahrenheit e um Kelvin marcariam na mesma situa¸ca˜o, respectivamente: No s´eculo XVIII, Benjamin Franklin verificou experimena) 248 ◦ F e 393 K talmente que existem dois tipos de cargas diferentes, a as b) 198 ◦ F e 153 K batizou como cargas negativas (−) e positivas (+). Nesta c) 298 ◦ F e 153 K ´epoca os cientistas pensavam que a carga era um flu´ıdo que d) 393 ◦ F e 298 K podia ser armazenado nos corpos, ou passar de um para oue) nenhuma resposta ´e correta tro. 3. (ACAFE) Uma determinada quantidade de a´gua est´ aa uma temperatura de 55 ◦ C. Essa temperatura corresponde a: a) 55 ◦ F b) 328 ◦ F c) 459 ◦ K d) 131 ◦ F e) 383 ◦ K Exerc´ıcios Complementares 4. (UEL) Um termˆ ometro foi graduado, em graus Celsius, incorretamente. Ele assinala 1 ◦ C para o gelo em fus˜ ao e 97 ◦ C para a a´gua em ebuli¸ca˜o, sob press˜ ao normal. Podese afirmar que a u ´nica temperatura que esse termˆ ometro assinala corretamente, em graus Celsius ´e: a) 12 b) 49 c) 75 Atualmente, dizer-se que carga el´ etrica ´e uma propriedade intr´ınseca de algumas part´ıculas. Assim como massa, a carga ´e uma propriedade elementar das part´ıculas. A experiˆencia realizada por Harvey Fletcher e Robert Millikan desmosntrou que a quantidade de carga el´etrica ´e uma grandeza quantizada, ou seja, n˜ ao pode assumir qualquer valor. Essa descoberta levou a` conclus˜ ao de que a quantidade de carga el´etrica Q ´e sempre um n´ umero inteiro n vezes a quantidade de carga elementar e: Q = ne onde e = 1, 60 × 10−19 C. A unidade SI da carga el´etrica ´e o coulomb ou C. Tipos de Materiais Em rela¸ca˜o a` eletricidade, os materiais s˜ ao classificados como condutores ou isolantes. Para que um material seja condutor de energia el´etrica, ´e necess´ ario que ele possua portadores de carga el´etrica livres 38 Apostila do Curso Pr´e-Vestibular UDESC 2005 – M´ odulo I (el´etrons, ´ıons positivos ou ´ıons negativos) e mobilidade para esses portadores. Os metais s˜ ao bons condutores de eletricidade, pois possuem el´etrons ”livres”e mobilidade para esses el´etrons; o mesmo acontece com as solu¸co˜es eletrol´ıticas, que apresentam os ´ıons como portadores de carga el´etrica, e com os gases ionizados, que possuem el´etrons e ´ıons como portadores de carga el´etrica. isolante, a eletriza¸ca˜o ser´ a local, isto ´e, restrita aos pontos de contato. O vidro, a a´gua pura, a madeira e os pl´ asticos de modo geral s˜ ao bons isolantes de eletricidade. Al´em dos condutores e dos isolantes, existem os materiais semicondutores, como o sil´ıcio e o germˆ anio. Se os dois corpos forem condutores - um eletrizado e o outro neutro - e colocados em contato, poderemos imagin´ a-los como um u ´nico corpo eletrizado. A separa¸ca˜o entre eles resultar´ a em dois corpos eletrizados com cargas de mesmo sinal. Na figura, um dos condutores est´ a inicialmente neutro (a eletriza¸ca˜o por contato pode ocorrer tamb´em com dois condutores inicialmente eletrizados). Eletriza¸ c˜ ao por Atrito Ao atritar vigorosamente dois corpos, A e B, estamos fornecendo energia e pode haver transferˆencia de el´etrons de um para o outro. Se os corpos atritados est˜ ao isolados, ou seja, n˜ ao sofrem a influˆencia de quaisquer outros corpos, as cargas el´etricas cedidas por um s˜ ao exatamente as adquiridas pelo outro: QA = −QB Isto ´e, A e B adquirem quantidades de carga el´etrica iguais em m´ odulo, mas de sinais contr´ arios. A figura representa o que acontece quando um peda¸co de metal ´e atritado com um pano de l˜ a. (a) (b) (c) Generalizando, podemos afirmar que, na eletriza¸ca˜o por contato: • os corpos ficam ou eletricamente neutros ou com cargas de mesmo sinal; • quando o sistema ´e formado por corpos isolados das influˆencias externas, a quantidade de carga el´etrica total final ´e igual a` quantidade de carga el´etrica total inicial (princ´ıpio da conserva¸ca ˜o de carga el´etrica): QA + Q B = Q 0 A + Q 0 B Na express˜ ao acima, Q representa a quantidade de carga el´etrica inicial e Q0 , a quantidade de carga el´etrica final. Em particular, se os corpos A e B forem iguais: Q0 A = Q0 B = (QA + QB)/2 (a) (b) Quando esfregamos as m˜ aos, n˜ ao eletrizamos nenhuma delas. Para que haja eletriza¸ca˜o por atrito, uma condi¸ca˜o necess´ aria ´e que os corpos sejam de materiais diferentes, isto ´e, eles n˜ ao podem ter a mesma tendˆencia de ganhar ou perder el´etrons. Em Qu´ımica, essa tendˆencia ´e traduzida por uma grandeza denominada de eletroafinidade. Os materiais podem ser classificados de acordo com essa tendˆencia, elaborando-se a chamada s´erie triboel´etricas: Podemos ainda observar que: 1. se os corpos colocados em contato s˜ ao de tamanhos diferentes, a divis˜ ao de cargas ´e proporcional a`s dimens˜ oes de cada um; 2. quando um corpo eletrizado ´e colocado em contato com a Terra, ele se torna neutro, uma vez que sua dimens˜ ao ´e desprez´ıvel se comparada com a` da Terra. Simbolicamente, a liga¸ca˜o a` Terra ´e representada conforme a figura. + + + Vidro → Mica → L˜ a → Seda → Algod˜ ao → ˆ Madeira → Ambar → Enxofre → Metais − − − Ao atritarmos dois materiais quaisquer de uma s´erie triboel´etrica, o que estiver posicionado a` esquerda ficar´ a eletrizado positivamente; o que estiver a` direita ficar´ a eletrizado negativamente. Na eletriza¸ca˜o por atrito, pelo menos um dos corpos deve ser isolante. Se atritarmos dois condutores, eles n˜ ao v˜ ao manter a eletriza¸ca˜o. (a) Eletriza¸ c˜ ao por Contato A eficiˆencia nessa forma de eletriza¸ca˜o depende de os corpos serem condutores ou isolantes. Se um dos corpos for (b) Em (a), o corpo est´ a isolado da Terra e, portanto, mant´em sua carga el´etrica. Quando o contato com a Terra ´e estabelecido (b), o corpo se neutraliza F´ısica E – Aula 1 39 Eletriza¸ c˜ ao por Indu¸ c˜ ao Nesse tipo de eletriza¸ca˜o n˜ ao h´ a contato entre os corpos. Vejamos como acontece. (a) (b) Primeiramente, precisamos de um corpo eletrizado (a), chamado de indutor, que pode ser condutor ou isolante, pois n˜ ao ter´ a contato com o outro. O segundo corpo (b) a ser eletrizado, chamado de induzido, dever´ a ser condutor, podendo ser uma solu¸ca˜o eletrol´ıtica ou dois corpos B1 e B2 ligados eletricamente. (a) (b) Na presen¸ca do indutor, desfazemos o contato entre b e a Terra; em seguida, afastamos os corpos: o corpo b fica eletrizado com carga oposta a` do indutor a. Pense um Pouco! • Uma pessoa pode levar um pequeno choque ao descer de um carro num dia seco. Explique. • Atritando-se dois materiais diferentes criamos carga el´etrica? Por quˆe? Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao (a) (b) O indutor (a) eletrizado positivamente, atrai as cargas el´etricas negativas do induzido (b). Assim, na face do induzido mais pr´ oxima do indutor, temos ac´ umulo de cargas negativas, que n˜ ao chegam ao indutor porque o ar entre eles ´e isolante. Por outro lado, a face do induzido mais afastada do indutor fica positiva. A essa altura, podemos nos perguntar se o corpo (b) est´ a eletrizado. Ele n˜ ao est´ a, pois o n´ umero de pr´ otons no corpo continua igual ao n´ umero de el´etrons. Dizemos que o corpo (b) est´ a induzido, porque houve apenas uma separa¸ca˜o das cargas. Quando retiramos o indutor, as cargas no induzido se reagrupam e ele volta a` situa¸ca˜o neutra. Para eletrizar o induzido, devemos, na presen¸ca do indutor, estabelecer o contato do induzido (corpo b) com um terceiro corpo, chamado de terra. Esse terceiro corpo pode ser um outro corpo qualquer, at´e mesmo o planeta Terra. 1. Disp˜ oese de trˆes esferas met´ alicas idˆenticas e isoladas uma da outra. Duas delas, A e B, est˜ ao neutras, enquanto a esfera C cont´em uma carga el´etrica Q. Faz-se a esfera C tocar primeiro a esfera A e depois a esfera B. No final desse procedimento, qual a carga el´etrica das esferas A, B e C, respectivamente? 2. ”S´erie triboel´etrica ´e um conjunto de substˆ ancias ordenadas de tal forma que cada uma se eletriza negativamente quando atritada com qualquer uma que a antecede e positivamente quando atritada com qualquer uma que a sucede. Exemplo: vidro - mica - l˜ a - seda - algod˜ ao - cobre.”Baseado na informa¸ca˜o acima, responda: a) Atrita-se um pano de l˜ a numa barra de vidro, inicialmente neutros. Com que sinais se eletrizam? b) E se o pano de l˜ a fosse atritado numa esfera de cobre, tamb´em inicialmente neutro? 3. Uma esfera met´ alica neutra encontra-se sobre um suporte isolante e dela se aproxima um bast˜ ao eletrizado positivamente. Mant´em-se o bast˜ ao pr´ oximo a` esfera, que ´e ent˜ ao 40 Apostila do Curso Pr´e-Vestibular UDESC 2005 – M´ odulo I ligada a` terra por um fio met´ alico. Em seguida, desliga-se o fio e afasta-se o bast˜ ao. a) A esfera ficar´ a eletrizada positivamente. b) A esfera n˜ ao se eletriza, pois foi ligada a` terra. c) A esfera sofrer´ a apenas separa¸ca˜o de suas cargas. d) A esfera ficar´ a eletrizada negativamente. e) A esfera n˜ ao se eletriza, pois n˜ ao houve contato com o bast˜ ao eletrizado. c) +++ — d) +++ — 4. Disp˜ oe-se de uma esfera condutora eletrizada positivamente. Duas outras esferas condutoras, B e C, encontramse inicialmente neutras. Os suportes das trˆes esferas s˜ ao isolantes. Utilizando os processos de eletriza¸ca˜o por indu¸ca˜o e por contato, descreva procedimentos pr´ aticos que permitam obter: I. as trˆes esferas eletrizadas positivamente II. a eletrizada positivamente e B negativamente III. a eletrizada negativamente e B positivamente F´ısica E Aula 2 Eletricidade Eletrosc´ opio de Folhas ´ constitu´ıdo de duas folhas met´ E alicas, finas e flex´ıveis, ligadas em sua parte superior a uma haste, que se prende a uma esfera, ambas condutoras. O isolante impede a passagem de cargas el´etricas da haste para a esfera. Normalmente, as folhas met´ alicas s˜ ao mantidas dentro de um frasco transparente, a fim de aumentar a sua justeza e sensibilidade. Exerc´ıcios Complementares 5. (U. Fortaleza-CE) Um bast˜ ao ´e atritado com um pano. A seguir, repele uma esfera eletr´ızada negativamente. Podese afirmar corretamente que o bast˜ ao foi eletrizado a) positivamente, por contacto com o pano. b) positivamente, por ter-se aproximado da esfera. c) negativamente, por ter-se aproximado da esfera. d) negativamente, por atrito com o pano. e) neutralizado, ao aproximar-se da esfera 6. (PUCC-SP) Disp˜ oe-se de uma barra de vidro, um pano de l˜ a e duas pequenas esferas condutoras, A e B, apoiadas em suportes isolados, todos eletricamente neutros. Atritase a barra de vidro com o pano de l˜ a; a seguir coloca-se a barra de vidro em contato com a esfera A e o pano com a esfera B. Ap´ os essas opera¸co˜es: a) o pano de l˜ a e a barra de vidro estar˜ ao neutros. b) a barra de vidro repelir´ a a esfera B. c) o pano de l˜ a atrair´ a a esfera A. d) as esferas A e B se repelir˜ ao. e) as esferas A e B continuar˜ ao neutras. 7. (UNIRIO-RJ) Uma esfera met´ alica, sustentada por uma haste isolante, encontra-se eletrizada com uma pequena carga el´etrica Q. Uma segunda esfera idˆentica e inicialmente descarregada aproxima-se dela, at´e toc´ a-la, como indica a figura ao lado. Ap´ os o contato, a carga el´etrica adquirida pela segunda esfera ´e: a) Q/2 b) Q c) 2Q d) 0 8. (UF-PI) Temos uma placa condutora apoiada em um suporte isolante. Estando ela inicialmente neutra, aproximase pela sua esquerda, um bast˜ ao carregado negativamente. Em conseq¨ uˆencia da indu¸ca˜o eletrost´ atica, ocorrer´ a uma redistribui¸ca˜o de cargas na placa. Esquematicamente, teremos: a) — +++ b) — — (a) (b) Figura 1.1: O eletrosc´ opio de folhas (a) na prese¸ca de umbast˜ ao eletrizado negativamente (b) Aproximando-se da esfera o corpo que se quer verificar, se ele estiver eletrizado, ocorrer´ a a indu¸ca˜o eletrost´ atica, ou seja: se o corpo estiver carregado negativamente, ele repele os el´etrons livres da esfera para as lˆ aminas, fazendo com que elas se abram devido a` repuls˜ ao; se o corpo estiver com cargas positivas, ele atrai os el´etrons livres das lˆ aminas, fazendo tamb´em com que elas se abram, novamente, devido a` repuls˜ ao. A determina¸ca˜o do sinal da carga do corpo em teste, que j´ a se sabe estar eletrizado, ´e obtida carregando-se anteriormente o eletrosc´ opio com cargas de sinal conhecido. Dessa forma, as lˆ aminas ter˜ ao uma determinada abertura inicial. A Lei de Coulomb Esta lei diz respeito a` intensidade das for¸cas de atra¸ca˜o ou de repuls˜ ao, que agem em duas cargas el´etricas puntiformes (cargas de dimens˜ oes desprez´ıveis), quando colocadas em presen¸ca uma da outra. F´ısica E – Aula 2 41 Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. Duas esferas condutoras eletrizadas, de pequenas dimens˜ oes, atraem-se mutuamente no v´ acuo com for¸ca de intensidade F ao estarem separadas por certa distˆ ancia r. Como se modifica intensidade da for¸ca quando a distˆ ancia entre as esferas ´e aumentada para 4r? 2. As cargas el´etricas −q e +q 0 , puntiformes, atraem-se com for¸ca de intensidade F , estando a` distancia r uma da outra no v´ acuo. Se a carga q 0 for substitu´ıda por outra −3q 0 e a distˆ ancia entre as cargas for duplicada, como se modifica a for¸ca de intera¸ca˜o el´etrica entre elas? Figura 1.2: Na presen¸ca de um bast˜ ao eletrizado positivamente Considere duas cargas el´etricas puntiformes, q 1 e q2 , separadas pela distˆ ancia r. Sabemos que, se os sinais dessas cargas forem iguais, elas se repelem e, se forem diferentes, se atraem. Isto acontece devido a` a¸ca˜o de for¸cas de natureza el´etrica sobre elas. Essas for¸cas s˜ ao de a¸ca˜o e rea¸ca˜o e, portanto, tˆem a mesma intensidade, a mesma dire¸ca˜o e sentidos opostos. Deve-se notar tamb´em que, de acordo com o princ´ıpio da a¸ca˜o e rea¸ca˜o, elas s˜ ao for¸cas que agem em corpos diferentes e, portanto, n˜ ao se anulam. Charles de Coulomb verificou experimentalmente que: As for¸cas de atra¸ca˜o ou de repuls˜ ao entre duas cargas el´etricas puntiformes s˜ ao diretamente proporcionais ao produto das cargas e inversamente proporcionais ao quadrado da distˆ ancia que as separa. A express˜ ao matem´ atica dessa for¸ca ´e: F =k q1 q2 r2 3. Considere um eletrosc´ opio de folhas descarregado. Explique o que acontece quando um corpo eletrizado negativamente ´e: a) aproximado da esfera do eletrosc´ opio; b) encostado na esfera do eletrosc´ opio. Exerc´ıcios Complementares 4. Duas part´ıculas eletrizadas com cargas el´etricas de mesmo valor absoluto mas sinais contr´ arios atraem-se no v´ acuo com for¸ca de intensidade 4, 0 × 10−3 N , quando situadas a 9, 0 cm uma da outra. Determine o valor das cargas, sendo k = 9 × 109 N · m2 /C 2 . 5. (Santa Casa-SP) A figura representa um eletrosc´ opio de folhas inicialmente descarregado. A esfera E, o suporte S e as folhas F s˜ ao met´ alicos. Inicialmente, o eletrosc´ opio est´ a eletricamente descarregado. Uma esfera met´ alica, positivamente carregada, ´e aproximada, sem encostar, da esfera do eletrosc´ opio. Em qual das seguintes alternativas melhor se representa a configura¸ca˜o das folhas do eletrosc´ opio (e suas cargas), enquanto a esfera positiva estiver perto de sua esfera? onde q1 e q2 s˜ ao os m´ odulos das cargas el´etricas envolvidas, e k uma constante eletrost´ atica que, no SI, para as cargas situadas no v´ acuo ´e k = 9 × 109 N · m2 /C 2 Pense um Pouco! • Baseado na lei de Coulomb, explique como funciona o eletrosc´ opio; • Se dobrarmos a distˆ ancia r entre duas cargas dadas, o que acontece com a for¸ca el´etrica entre elas? • Se colocarmos muitos el´etrons no centro de uma chapa met´ alica quadrada, o que acontecer´ a com essa carga? 6. Duas cargas puntiformes q1 = −5, 0 µC e q2 = +8, 0 µC est˜ ao sobre o eixo horizontal, separadas por uma distˆ ancia r. Assinale a alternativa correta: a) As cargas se repelem mutuamente b) q2 atrai q1 com mais intensidade do que q1 atrai q2 c) o sistema forma um dipolo d) As cargas se atraem el´etricamente e) A for¸ca sobre as cargas s˜ ao verticais 42 Apostila do Curso Pr´e-Vestibular UDESC 2005 – M´ odulo I F´ısica E sua vizinhan¸ca possuam uma propriedade segundo a qual todo corpo colocado nesse local sofrer´ a a a¸ca˜o de uma for¸ca atrativa. Aula 3 Campo El´ etrico Quando empurramos uma caixa, estamos aplicando sobre ela uma certa for¸ca. N˜ ao ´e dif´ıcil imaginar de que forma essa for¸ca foi transmitida a` caixa, pois de imediato associamos a` aplica¸ca˜o da for¸ca o contato travado com a caixa. Pensemos agora na intera¸ca˜o entre cargas el´etricas: conforme estudamos anteriormente, se aproximarmos de uma carga Q uma outra carga q, que denominaremos carga de prova, verificaremos a a¸ca˜o de uma for¸ca F~ (atrativa ou repulsiva, conforme os sinais das cargas) sobre a carga q. Nesse caso, n˜ ao h´ a contato entre os corpos, o que torna mais dif´ıcil a compreens˜ ao da forma de transmiss˜ ao da for¸ca. Durante muito tempo afirmou-se que a for¸ca eletrost´ atica era uma intera¸ca˜o direta e instantˆ anea entre um par de part´ıculas eletrizadas, conceito este denominado a¸ca˜o a distˆ ancia. Uma observa¸ca˜o muito importante deve ser feita: o campo el´etrico num ponto P qualquer da vizinhan¸ca da carga Q, assim como o campo gravitacional num ponto qualquer nas vizinhan¸cas da Terra, existe independentemente da presen¸ca da carga de prova q ou da massa m. Estas apenas testam a existˆencia dos campos el´etrico e gravitacional nos pontos considerados. O Vetor Campo El´ etrico O campo el´etrico ´e melhor caracterizado em cada ponto do ˆ denominado vetor campo el´etrico. espa¸co por um vetor E, A defini¸ca˜o do vetor campo el´etrico ´e tal, que por seu interm´edio poderemos estudar muitas caracter´ısticas do campo el´etrico, a partir do estuco desse vetor num ponto. Consideremos P um ponto gen´erico de um campo el´etrico gerado por uma fonte qualquer. Coloquemos em P , sucessivamente, cargas de prova q1 , q2 , q3 , ..., q. A intensidade da for¸ca el´etrica atuante nas cargas de prova ir´ a variar, mas a dire¸ca˜o da for¸ca ser´ a a mesma, conforme indicamos na sequˆencia de figuras seguintes: (a) Se trabalh´ assemos apenas com cargas em repouso, a a¸ca˜o a distˆ ancia nos bastaria para que resolvˆessemos a maioria dos problemas do eletromagnetismo. No entanto, o estudo de cargas em movimento n˜ ao pode ser deixado de lado e nesse caso a teoria da a¸ca˜o a distˆ ancia ´e falha, sendo necess´ ario buscarmos outra forma de explicar a intera¸ca˜o el´etrica. E foi com Faraday (1791-1867) que nasceu a id´eia que constitui hoje um dos mais importantes recursos em F´ısica: a no¸ca˜o de campo. Dizemos que a presen¸ca da carga Q afeta a regi˜ ao do espa¸co pr´ oxima a ela, ou seja, que a carga Q cria nas suas vizinhan¸cas uma “propriedade”que d´ a a essa regi˜ ao “algo”mais que atributos geom´etricos, “algo”que transmitir´ a a qualquer carga de prova colocada nessa regi˜ ao a for¸ca el´etrica exercida pela carga Q. Designamos por campo el´etrico tal propriedade. Assim, a for¸ca F~ ´e exercida sobre q pelo campo el´etrico criado por Q. Esquematicamente teremos: A¸ca˜o a` distˆ ancia: carga ⇐⇒ carga (b) (c) Conclu´ımos que a rela¸ca˜o entre a for¸ca e a carga em que ela atua ´e uma caracter´ıstica do ponto P considerado, denominada vetor campo el´etrico. Assim, teremos: ~ = F~ /q E ~ distinguimos dois casos: Quanto ao sentido do vetor E, ~ e F~ tˆem o mesmo sentido; a) q ´e positiva: E ~ e F~ tˆem sentidos contr´ b) q ´e negativa: E arios. Podemos concluir, da equa¸ca˜o, que as unidades de intensidade do vetor campo el´etrico ser˜ ao unidades de for¸ca por unidades de carga. Assim, no sistema internacional de unidades, teremos: Unidade SI ~ ser´ por defini¸ca˜o, a unidade de de campo el´etrico ´e E a newton/coulomb, ou seja N/C. Teoria de campo: carga ⇐⇒ campo ⇐⇒ carga A no¸ca˜o de campo ´e utilizada em muitas outras situa¸co˜es f´ısicas, como por exemplo a intera¸ca˜o gravitacional. Na figura a seguir, em vez de pensarmos numa atra¸ca˜o direta da Terra sobre o corpo de massa m, podemos dizer que a Terra cria em torno de si um campo gravitacional; em outras palavras, a presen¸ca da Terra faz com que todos os pontos de Linhas de Campo A denomina¸ca˜o linhas de campo ou linhas de for¸ca designa uma maneira de visualizar a configura¸ca˜o de um campo el´etrico. Esse artif´ıcio foi empregado por Faraday e mesmo hoje pode ser conveniente seu uso. F´ısica E – Aula 3 43 Apresentamos a seguir a significa¸ca˜o das linhas de for¸ca: 1. S˜ ao linhas tra¸cadas de forma que a tangente a cada ~ S˜ ponto nos fornece a dire¸ca˜o de E. ao orientadas no sentido do vetor campo. As linhas de campo ”morrem”nas cargas negativas 2. As linhas de campo s˜ ao tra¸cadas de forma que o n´ umero de linhas que atravessa a unidade de a´rea de uma sec¸ca˜o perpendicular a`s mesmas ´e proporcional ao m´ odulo de ~ Dessa forma, onde elas estiverem mais pr´ E. oximas, ~ ´e maior; onde elas estiverem mais afastadas, | E| ~ ´e |E| menor. As figuras seguintes mostram linhas de campo de alguns campos el´etricos particulares: • duas cargas de sinais iguais: 3. Observe que, por defini¸ca˜o, o campo el´etrico ´e u ´nico em cada ponto do espa¸co, e portanto, duas linhas de campo nunca se cruzam. C´ alculo do Campo El´ etrico • campo gerado por uma carga puntiforme positiva. Campo de uma Carga Puntiforme O campo el´etrico devido a uma carga puntiforme Q fixa ´e facilmente determinado analisando-se a figura seguinte: As linhas de campo ”nascem”nas cargas positivas. • carga puntiforme negativa: 44 Apostila do Curso Pr´e-Vestibular UDESC 2005 – M´ odulo I No ponto P da figura, colocamos urna carga de prova q, o vetor campo el´etrico no ponto P tem intensidade dada por: E = F/q. campo el´etrico vertical, de cima para baixo de intensidade E ≈ 100 N/C. Este campo ´e quase uniforme, visto em pequena escala (alguns metros), sobre o ch˜ ao plano. O campo gerado por uma carga puntiforme Q num ponto P qualquer do espa¸co tem intensidade dada por: E= Pense um Pouco! F Q =k 2 q r Utilizando uma linguagem n˜ ao muito rigorosa, podemos dizer que as cargas positivas geram campos de afastamento e as cargas negativas geram campos de aproxima¸ca˜o. Campo El´ etrico para V´ arias de Cargas Se cada uma das cargas estivesse sozinha, originaria no ponto P um campo el´etrico devido a` sua presen¸ca individual. Dado o efeito aditivo da for¸ca el´etrica, o campo el´etrico devido a` presen¸ca de n cargas puntiformes ser´ a a soma vetorial dos campos produzidos individualmente por cada uma das cargas, isto ´e: ~ =E ~1 + E ~2 + E ~3 + . . . = E n X • Num sistema de cargas puntiformes ´e poss´ıvel se encontrar algum ponto P onde o campo el´etrico seja nulo? Dˆe exemplos. • Um dipolo ´e formado por um par de cargas +q e −q. Esboce as linhas de campo de um dipolo. Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao ~i E i=1 Importante: esta soma deve ser feita usando-se a soma de vetores. EF9 EF9 EF9 EF9 EF9 EF9 EF9 EF9 EF9 EF9 EF9 EF9 EF9 EF9 EF9 EF9 F9 F9 F9 F9 F9 F9 F9 F9 F9 F9 F9 F9 F9 F9 F9 F9 FEFE EFE9J9 EFE J9 EFE J9 EFE J9 EFE J9 EFE J9 EFE J9 EFE J9 EFE J9 EFE J9 EFE J9 EFE J9 EFE J9 EFE J9 EFE J9 EFE 4 J9 E FEFE JIJI I I I I I I I I I I I I I I I I EFE JIJ9 EFE B9 EFE D9 EFE H9 EFE H9 EFE H9 EFE H9 EFE H9 EFE H9 EFE H9 EFE H9 EFE H9 EFE HG DC BA 45JIJ9 EFE JIJ9 EFE J9 FE9 F9 F9 F9 F9 F9 F9 F9 F9 F9 F9 F9 F9 F9 F9 F9 IJ9 JIJ9 JIJ9 JIJ9 JG IJ9 JG IJ9 JG IJ9 JG IJ9 JG IJ9 JG IJ9 JG IJ9 JG IJ9 JG IJ9 G G G G G G G G G A A A A A A A A A A A C C C C C C C C C C B 9 D B 9 D B 9 D B 9 D B 9 D B 9 D B 9 D B 9 D B 9 D B FE9 I I I I I I I I I I I I I I I I H9 H9 H9 H9 H9 H9 H9 H9 H9 HGHG DCDC BABA PI9 AB9 CD9 CD9 CD9 CD9 CD9 CD9 CD9 CD9 CD9 CD9 B9 BABA I9 BABA I9 BABA I9 BABA I9 BABA I9 BABA I9 BABA I9 BABA I9 BABA I9 BABA I9 D9 D9 D9 D9 D9 D9 D9 D9 D9 EFE967 QI9 F9 EI9 I9 I9 89 8: D9 J FEF9 J FEF9 J FEF9 J FEF9 J FEF9 J FEF9 J FEF9 J FEF9 J FEF9 J FEF9 J FEF9 J FEF9 J FEF9 J FEF9 J FEF9 J FEFEFE 1 JIIJ G G G G G G G G G 9 H 9 H 9 H 9 H 9 H 9 H 9 H 9 H 9 H AB9 C C C C C C C C C C 1 I9 Q E E E E E E E E E E E E E E E E 2 9 : 9 G 9 G 9 G 9 G 9 G 9 G 9 G 9 G 9 G G HH9 HH9 HH9 HH9 HH9 HH9 HH9 HH9 HHG DC BABA F9 AB9 C BAB9 C BAB9 C BAB9 C BAB9 C BAB9 C BAB9 C BAB9 C BAB9 C BAB9 C BAB9 D9 D9 D9 D9 D9 D9 D9 D9 D9 2H D9 EF9 EF9 EF9 EF9 EF9 EF9 EF9 EF9 EF9 EF9 EF9 EF9 EF9 EF9 EF9 FE9 F9 F9 F9 F9 F9 F9 F9 F9 F9 F9 F9 F9 F9 FEFE GH9 GH9 GH9 GH9 GH9 GH9 GH9 GH9 GH9 H9 AA9 AA9 AA9 AA9 AA9 AB F9 AA9 AA9 AA9 AA9 AA9 EF9 EF9 EF9 EF9 EF9 EF9 EF9 EF9 EF9 EF9 EF9 EF9 EF9 EF9 EF9 FE9 E G G G G G G G G G G H A B B B B B B B B B B B 3A9 EE9 E E E E E E E E E E E E E E E F9 FEEF GH9 GH9 GH9 GH9 GH9 GH9 GH9 GG B9 GH9 H9 H9 H9 H9 H9 H9 H9 H9 H9 HGHG BABA E9 AB9 AA E9 AB9 AB9 AB9 AB9 AB9 AB9 AB9 AB9 AB9 B9 B9 B9 B9 B9 B9 B9 B9 B9 E9 E9 E9 FFE9E9 FF9 FF9 FF9 FF9 FF9 FF9 FF9 FF9 FF9 FF9 FF9 FF9 FF9 FF9 FF9 E ; E9 GH9 GH9 GH9 GH9 GH9 GH9 GH9 G <9 <; B9 AQE9 AG E9 AG E9 AG E9 AG E9 AG E9 AG E9 AG E9 AH9 A E E E E E E E E E E E E E E E FEFE 3B9 5H9 GH9 GH9 H9 HGHG F9 EF9 EF9 EF9 EF9 EF9 EF9 EF9 EF9 EF9 EF9 EF9 EF9 EF9 EF9 EF9 FE9 F9 F9 F9 F9 F9 F9 F9 F9 F9 F9 F9 F9 F9 GH9 G G G G G G G G H9 9 H 9 H 9 H 9 H 9 H 9 H EFE9F9 EF9 E E E E E E E E E E E E E E F9 FEFE GG F9 GH9 GH9 GH9 GH9 GH9 GH9 GH9 GH9 H9 H9 H9 H9 H9 H9 H9 H9 HGHG F9 EF9 EF9 EF9 EF9 EF9 EF9 EF9 EF9 EF9 EF9 EF9 EF9 EF9 EF9 F9 F9 F9 F9 F9 F9 F9 F9 F9 G G G G G G G G E 4 F9 E F9 E F9 E ?@ QH9 EH9 E E E E E E E E E E FE9=> QEF9 FE G 5H9 G H9 G H9 G H9 G H9 G H9 G H9 G H9 G HG Se todas as cargas Qi estiverem sobre uma mesma linha reta, que tamb´em comt´em o ponto P , ent˜ ao a intensidade do campo em P ser´ a n E=k • Qual as semelhan¸cas e diferen¸cas entre a for¸ca el´etrica e a gravitacional? Fa¸ca um paralelo. X Q1 Q2 Q3 + k 2 + k 2 + ... = kQi ri2 2 r1 r2 r3 i=1 Esta ´e uma soma escalar, mais f´ acil de fazer do que a necess´ aria no caso anterior. 1. (Fatec-SP) Em um ponto P do espa¸co existe um campo ~ horizontal de 5×104 N/C, voltado para a direita. el´etrico E a) Se uma carga de prova de l, 5 µC, positiva, ´e colocada em P , qual ser´ a o valor da for¸ca el´etrica que atua sobre ela? b) Em que sentido a carga de prova tender´ a a se mover, se for solta? c) Responda a`s quest˜ oes a) e b) supondo que a carga de prova seja negativa. 2. (ITA-SP) Uma placa isolante, de dimens˜ oes muito grandes, est´ a uniformemente carregada. Sabendo-se que o campo el´etrico por ela gerado ´e o mesmo em todos os pontos pr´ oximos a` placa e que uma pequena esfera tem massa de 25 gramas e o aˆngulo de afastamento entre a esfera e a placa ´e de 30◦ ?, determinar: a) a for¸ca el´etrica que atua na esfera, supondo que ela se encontre em equil´ıbrio; b) o campo el´etrico da placa, sabendo-se que a carga na esfera vale −5 µC. 3. (USP-SP) Uma carga el´etrica puntiforme q = 2 × 10 −6 C e de massa 10−5 kg ´e abandonada em repouso num campo el´etrico uniforme de intensidade 104 N/C. a) Qual ´e a acelera¸ca˜o adquirida por q? b) Qual a velocidade da part´ıcula no instante 8, 0 s? Campo El´ etrico Uniforme Trata-se de um campo el´etrico em que o vetor campo el´etrico ´e o mesmo em todos os pontos, o que equivale a dizer que em ~ ser˜ cada ponto o m´ odulo, a dire¸ca˜o e o sentido do vetor E ao os mesmos. Em consequˆencia dessa defini¸ca˜o, concluimos que as linhas de campo devem ser retas paralelas orientadas todas com o mesmo sentido. Por exemplo, para uma pequena regi˜ ao do espa¸co, muito longe de uma carga puntiforme, o campo el´etrico se torna quase uniforme. Pr´ oximo a` superf´ıcie da Terra, existe um Exerc´ıcios Complementares 4. (FUVEST-SP) O diagrama da figura seguinte representa a intensidade do campo el´etrico gerado por uma carga puntiforme fixa no v´ acuo, em fun¸ca˜o da distˆ ancia d a` carga. a) Calcule o valor da carga Q que origina o campo. b) Determine a intensidade do campo el´etrico em um ponto que dista 30 cm da carga fixa. F´ısica E – Aula 4 45 Assim, uma d.d.p. de 110 V entre dois pontos indica que o campo (for¸ca el´etrica) realiza um trabalho de 110 J sobre cada l C de carga que se desloca de um ponto para outro. 1000 E (N/C) 800 600 400 200 0 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 d (m) 5. (PUC-SP) Numa certa regi˜ ao da terra, nas proximidades da superf´ıcie, a acelera¸ca˜o da gravidade vale 9, 8 m/s 2 e o campo eletrost´ atico do planeta (que possui carga negativa na regi˜ ao) vale 100 N/C, e ´e na dire¸ca˜o vertical, sentido de cima para baixo. Determine o sinal e o valor da carga el´etrica que uma bolinha de gude, de massa 50 g, deveria ter para permanecer suspensa em repouso, acima do solo. Considere o campo el´etrico praticamente uniforme no local e despreze qualquer outra for¸ca atuando sobre a bolinha. ~ apontando 6. (Mackenzie-SP) Existe um campo el´etrico E para baixo, na atmosfera terrestre, com uma intensidade m´edia de 100 N/C. Deseja-se fazer flutuar nesse campo uma esfera de enxofre de 0, 5kg. Que carga (m´ odulo e sinal) precisa ter a esfera? F´ısica E Aula 4 Para analisar o sinal da d.d.p., tente imaginar vocˆe realizando o movimento de uma carga de prova entre os pontos A e B, e observe os sentidos da for¸ca externa e do deslocamento. Por exemplo, se vocˆe deslocar uma carga positiva, contra o campo el´etrico numa determinada regi˜ ao, observar´ a que ser´ a realizado um trabalho externo positivo, e o potencial da carga deslocada aumenta, porque ela foi deslocada para uma regi˜ ao de maior potencial. Potencial El´ etrico Gerado por uma Carga Puntiforme Para calcularmos o trabalho WEA→B realizado sobre a carga +q, sendo deslocada pr´ oximo a` uma carga puntiforme Q, devemos utilizar conceitos matem´ aticos que o estudante ver´ a em seu curso superior: trata-se do c´ alculo integral, que, utilizado neste caso, nos fornecer´ a como resultado:   1 1 − WEA→B = −kQq rB rA Dessa maneira a diferen¸ca de potencial no caminho de A para B ser´ a:   A→B Wext. 1 1 VA→B = VB − VA = − − = kQ q rB rA Se quisermos determinar o potencial de um dos pontos, por exemplo, B, fa¸camos rA tender ao infinito, onde supomos que o potencial seja nulo. Quando isso acontece Potencial El´ etrico VB = k Diferen¸ ca de Potencial Consideremos positiva uma carga que se desloca de A para B, em equil´ıbrio, ou seja, faz-se uma for¸ca externa F~ext. tal que anule a for¸ca el´etrica F~E sobre a carga: F~ext. = −F~E Ao trabalho realizado pelo agente externo Wext. por unidade de carga que se desloca de A para B, denominamos diferen¸ca de potencial ou tens˜ ao el´etrica de A para B, habitualmente representada por VB − VA ou simplesmente VAB . Assim, matematicamente teremos: VB − V A = A→B Wext. q =− WEA→B q Essa equa¸ca˜o fornece o potencial de B em rela¸ca˜o a um ponto no infinito. Se nos depararmos com uma configura¸ca˜o de n cargas puntiformes, o potencial num ponto P dessa regi˜ ao ser´ a a soma alg´ebrica dos potenciais devidos a cada carga, isto ´e:   n X Q1 Qi Q2 Qn VP = k =k + + ...+ r1 r2 rn r i=1 i Potencial dentro de um Campo El´ etrico Seja q uma carga positiva que se desloca de A para B sobre uma linha de for¸ca do campo uniforme mostrado na figura seguinte: E Sendo o trabalho W e q grandezas escalares, a diferen¸ca de potencial tamb´em ser´ a uma grandeza escalar. O trabalho WEA→B independe da trajet´ oria escolhida entre os pontos A e B, e isso ´e um resultado decorrente do fato de a for¸ca el´etrica ser conservativa. Unidades SI No Sistema Internacional de Unidades, a unidade de diferen¸ca de potencial (d.d.p.) ser´ a o joule/ coulomb, que ´e denominada volt ou V . Q rB RQ A RQ T Fext NM T S T MN S +q S FE S OPKL B 46 Apostila do Curso Pr´e-Vestibular UDESC 2005 – M´ odulo I Como o campo ´e uniforme, a for¸ca el´etrica que atua na carga q ´e constante e ter´ a intensidade dada por: contr´ arios ´e um bom exemplo de campo el´etrico uniforme. Na figura seguinte, a distˆ ancia entre as placas vale 5 cm e a intensidade do campo el´etrico uniforme E ´e 2, 0×1O 5 N/C. a) Qual a d.d.p. entre os pontos A e B indicados na figura? b) Se o ponto A for tomado como n´ıvel de referˆencia para o potencial, qual ser´ a o potencial do ponto B? F = qE Sabemos, da mecˆ anica, que o trabalho realizado por uma for¸ca constante e paralela ao deslocamento e dado por E A→B Wext. = −FE · d Ent˜ ao a d.d.p. entre os pontos A e B, de A para B, ser´ a: Z A [Z [V UVXYUW B VB − VA = −E · d e neste caso dizemos que a tens˜ ao cai de A para B. Em geral, a d.d.p. ´e negativa na dire¸ca˜o e sentido do campo el´etrico. A rela¸ca˜o obtida acima ´e de grande utilidade, uma vez que, conhecida a d.d.p. e o deslocamento, obteremos facilmente o campo el´etrico. Observe que o campo el´etrico poder´ a ser expresso tamb´em em volt/metro. Procure demonstrar que l N/C = l V /m. Rigidez Diel´ etrica Sabe-se que o ar ´e isolante, por´em quando submetido a um grande campo el´etrico, algumas mol´eculas s˜ ao ionizadas e o ar se torna condutor. A esse limite de campo el´etrico m´ aximo que um isolante suporta chamamos de rigidez diel´ etrica ou Emax . Para o ar de Jonville, sempre muito u ´mido, temos Emax ≈ 800 v/mm. Pense um Pouco! • Vocˆe saberia responder o valor da d.d.p. (diferen¸ca de potencial) entre o ch˜ ao e uma nuvem, num raio? • Qual a d.d.p. m´ axima entre dois fios paralelos, separados por uma distˆ ancia de 10 cm, em Joinville? • Num dado instante, a d.d.p. entre os eletrodos de uma tomada ´e de 200 V . O que significa isso fisicamente? Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. Qual o potencial de um ponto P , situado a 20 cm de uma carga positiva de campo cujo valor ´e 4, 0 × xl0 −6 C? 2. (FAAP-SP) Duas cargas Q1 e Q2 , de valores −2 µC e +2 µC, respectivamente, est˜ ao separadas por uma distˆ ancia de 40 cm. a) Calcule o potencial no ponto P , situado na metade do segmento que une as cargas Q1 e Q2 . b) Calcule o m´ odulo, a dire¸ca˜o e o sentido do vetor campo el´etrico em P . c) O que se pode concluir dos resultados obtidos com esses c´ alculos? 3. (UFSC-SC) O campo el´etrico no interior de um sistema de placas paralelas eletrizadas com cargas de sinais Exerc´ıcios Complementares 4. (ACAFE-SC) No v´ acuo, um corpo eletrizado com carga el´etrica Q cria um potencial igual a +3000 V num ponto A, situado a 30 cm de Q. Sendo k = 9 × 109 N · m2 /C 2 , determine: a) o valor da carga Q; b) a intensidade do vetor campo el´etrico no ponto A. 5. (UFRS-RS) Temos as cargas Q1 , Q2 e Q3 dispostas em um retˆ angulo de lados 6 cm e 8 cm. Calcule o potencial el´etrico total no v´ertice A, que n˜ ao cont´em nenhuma carga. Dados: Q1 = 8 µC, Q2 = 16 µC, Q3 = −12 µC e k = 9 × 109 N · m2 /C 2 . 6. (IME-RJ) Calcular o trabalho das for¸cas do campo el´etrico de uma carga puntiforme Q = 5 µC para transportar outra carga puntiforme q = 2, 0 µC de um ponto A a outro B, distantes 1, 0 m e 2, 0 m da carga Q, respectivamente. Esse trabalho ´e positivo ou negativo? Explique. Dado: k = 9 × 109 N · m2 /C 2 . F´ısica E Aula 5 Superf´ıcies Equipotenciais Denomina-se superf´ıcie eq¨ uipotencial ao lugar geom´etrico dos pontos que tˆem mesmo potencial el´etrico. Nenhum trabalho ´e realizado no deslocamento de uma carga de prova entre dois pontos de uma mesma superf´ıcie equipotencial. Para aumentar a separa¸ca˜o entre as cargas, ´e preciso que um agente externo realize um trabalho, cujo sinal poder´ a ser positivo ou negativo, conforme sejam as cargas de sinais iguais ou opostos. Como sabemos, a esse trabalho corresponde uma energia armazenada no sistema sob a forma de energia potencial el´etrica. Assim, definiremos a energia potencial el´etrica de um sistema de cargas el´etricas puntiformes como sendo o trabalho externo realizado para trazˆe-las em equil´ıbrio de uma separa¸ca˜o infinita at´e a configura¸ca˜o atual. F´ısica E – Aula 5 47 V (volts) 0 -50 -100 -150 V (volts) -1.0 150 100 -0.5 0.0 x (m) 0.5 1.0 1.0 0.5 0.0 y (m) -0.5 -1.0 50 0 -1.0 -0.5 0.0 x (m) 0.5 1.0 1.0 0.5 0.0 y (m) -0.5 -1.0 Figura 1.2: O potencial el´etrico em torno de uma carga puntual positiva q = −1 nC. Na base est˜ ao as equipotenciais, inicando no c´ırculo maior onde V = −10 V . Masca-se as equipotenciais a cada 20 V . Como o trabalho ´e a pr´ opria energia potencial el´etrica E pot do sistema de cargas {q1 , q2 }, ent˜ ao Epot = kq1 q2 r12 onde r12 ´e a distˆ ancia entre as cargas q1 e q2 . Figura 1.1: O potencial el´etrico em torno de uma carga puntual positiva q = +1 nC. Na base est˜ ao as equipotenciais, inicando no c´ırculo maior onde V = +10 V . Masca-se as equipotenciais a cada 20 V . O potencial el´etrico que uma carga q1 origina no ponto P , a uma distˆ ancia r da carga, ´e dado por: kq1 r Imaginemos, agora, que uma segunda carga q2 foi trazida do infinito at´e o ponto P . O trabalho realizado para tal ´e, segundo a defini¸ca˜o de potencial el´etrico: Pense um Pouco! • Como seriam as superf´ıcies equipotenciais de uma carga puntiforme? • Qual o trabalho necess´ ario para se deslocar uma carga q 0 em torno de uma carga fixa q, mantendo-se a distˆ ancia fixa entre elas? V1 = W 2 = q 2 V1 Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. (FATEC-SP) Sabe-se que a carga do pr´ oton ´e igual em valor absoluto a` do el´etron, tendo no entanto sinal contr´ ario 48 ao da referida carga. Um pr´ oton tem velocidade relativa zero em rela¸ca˜o a um el´etron. Quando eles estiverem separados pela distˆ ancia 10-13 cm, calcule a energia potencial do sistema. 2. (IME-RJ) Trˆes cargas q1 , q2 e q3 est˜ ao dispostas, uma em cada v´ertice de um triˆ angulo equilatero de lado a. Qual a energia potencial do sistema? Suponha em q1 = 1, 0 µC, q2 = −4, 0 µC, q3 = 2, 0 µC e a = 10 cm. 3. No esquema abaixo representamos as superf´ıcies equipotenciais e as linhas de for¸ca no campo de uma carga el´etrica puntiforme Q. Considere que o meio ´e o v´ acuo. Sendo V1 = 60 V ; V2 = 30 V ; V3 = 20 V , e do centro da carga at´e V2 a distˆ ancia r = 0, 30 m. Determine: a) o valor de Q; b) a d.d.p. encontrada no caminho da superf´ıcie com V 1 at´e a outra com V2 ; c) o trabalho da for¸ca el´etrica que atua sobre uma carga de prova q 0 = +1, 0 µC ao ser deslocada de V2 para V3 . Exerc´ıcios Complementares 4. (USP-SP) Uma part´ıcula de massa m e carga el´etrica q > 0 est´ a em equil´ıbrio entre duas placas planas, paralelas e horizontais, e eletrizadas com cargas de sinais opostos. A distˆ ancia entre as placas ´e d, e a acelera¸ca˜o local da gravidade ´e g. a) Determine a diferen¸ca de potencial entre as placas em fun¸ca˜o de m, g, q e d. b) Qual placa tem o maior potencial? Explique. Apostila do Curso Pr´e-Vestibular UDESC 2005 – M´ odulo I F´ısica E Aula 6 Condutores em Equil´ıbrio Vamos estudar o campo el´etrico e o potencial el´etrico de uma distribui¸ca˜o de cargas em um condutor em equil´ıbrio eletrost´ atico. Para estudar os campos el´etricos, vamos usar n˜ ao sistemas de cargas puntiformes e sim distribui¸co˜es de cargas em condutores. Deve-se considerar que estes est˜ ao em equil´ıbrio eletrost´ atico, ou seja, nenhuma carga est´ a sendo colocada ou retirada do condutor, e todo o movimento interno de cargas j´ a cessou. Equil´ıbrio Eletrost´ atico Um condutor est´ a em equil´ıbrio eletrost´ atico quando nele n˜ ao ocorre movimento ordenado de cargas el´etricas. Fornecendo-se ao condutor representado em corte da Fig. 1.1, uma a carga el´etrica Q, a repuls˜ ao m´ utua das cargas elementares que constituem Q faz com que elas fiquem t˜ ao longe uma da outra quanto poss´ıvel. O maior afastamento poss´ıvel corresponde a uma distribui¸ca˜o de cargas na superf´ıcie externa do condutor, situa¸ca˜o, ali´ as, que destacamos nas figuras de condutores que at´e agora apareceram em nossas aulas. Nessa configura¸ca˜o de cargas, todas na superf´ıcie, o condutor possui a sua menor energia potencial el´etrica. 5. (FEI-SP) Uma part´ıcula da massa m = 200 mg e carga q = +1µC ´e abandonada num ponto A e se dirige a outro B. Sendo de −100 V a diferen¸ca de potencial de A e B, a velocidade com que a part´ıcula alcan¸ca B ´e: a) 5, 0 m/s b) 4, 0 m/s c) 3, 0 m/s d) 2, 0 m/s e) 1, 0 m/s 6. (Santa Casa-SP) Sabe-se que a massa do el´etron ´e 9, 1 × 10−31 kg, que sua carga el´etrica vale −1, 6×10−19 C e que a diferen¸ca de potencial entre os ponto A at´e B ´e 100 V . Um el´etron ´e abandonado em B sob a a¸ca˜o exclusiva do campo el´etrico. O m´ odulo da velocidade do el´etron ao atingir o ponto A ´e um valor mais pr´ oximo de: a) 36 × 1012 m/s b) 6, 0 × 1012 m/s c) 6, 0 × 106 m/s d) 35 × 106 m/s e) 6, 0m/s Figura 1.1: Um condutor carregado com carga positiva. O Campo Interno No interior de um condutor eletrizado, de qualquer formato, o campo el´ etrico ´ e nulo em todos os pontos, ou seja, ~ = ~0. E F´ısica E – Aula 6 Isso pode ser constatado simplesmente notando que, se houvesse campo el´etrico no interior do condutor, ele agiria nos el´etrons livres, os quais teriam um movimento ordenado sob sua influˆencia, contrariando o conceito de condutor em equil´ıbrio eletrost´ atico. O Campo Externo Contudo, da sua superf´ıcie para fora, o campo el´etrico n˜ ao ~ ser´ a nulo. Por´em, nesses pontos, o vetor campo el´etrico E deve ser normal a` superf´ıcie, como em A, na Fig. 1.1. Se o ~ 0 no ponto B da mesma figura, ele vetor campo fosse como E teria uma componente tangencial a` superf´ıcie do condutor, o que provocaria movimento ordenado de cargas ao longo da superf´ıcie. O Poder das Pontas Nas regi˜ oes pontiagudas de um condutor carregado (regi˜ ao C da Fig. 1.1), a densidade de carga, isto ´e, a concentra¸ca˜o de cargas el´etricas por unidade de a´rea superficial ´e mais elevada. Por isso, nas pontas e em suas vizinhan¸cas o campo el´etrico ´e mais intenso. 49 constante. Assim, para o condutor da Fig. VA = V B = V C = V D . 1.1, temos Condutor Esf´ erico Para se determinar o vetor campo el´etrico e o potencial el´etrico em pontos externos a um condutor esf´ erico eletrizado, sup˜ oe-se sua carga Q puntiforme e concentrada no centro: Q Eext = k 2 r e Q Vext = k r O potencial el´etrico do condutor esf´erico de raio R ´e o potencial de qualquer ponto interno ou superficial, sendo dado pelo valor fixo: Q Vint, sup = k R Blingdagem Eletrost´ atica Considere um condutor oco A em equil´ıbrio eletrost´ atico e, em seu interior, o corpo C (Fig. 1.3). Como o campo el´etrico Quando o campo el´etrico nas vizinhan¸cas da ponta atinge no interior de qualquer condutor em equil´ıbrio eletrost´ atico determinado valor, o ar em sua volta se ioniza e o condutor ´e nulo, decorre que A protege o corpo C, no seu interior, de se descarrega atrav´es da ponta. Esse fenˆ omeno recebe o qualquer ac˜ ao el´etrica externa. Mesmo um corpo eletrizado ´ nele que se baseia, por nome de “poder das pontas”. E B externo induz cargas em A, mas n˜ ao em C. Desse modo, exemplo, o funcionamento dos p´ ara-raios. o condutor A constitui uma blindagem eletrost´ atica para o corpo C. Condutor Oco Evidentemente, n˜ ao importa se o condutor ´e maci¸co ou oco (Fig. 1.2): o campo el´etrico no interior do metal ´e sempre nulo e as cargas se distribuem na sua superf´ıcie externa. Figura 1.3: A blindagem eletrost´ atica. Uma tela met´ alica envolvendo certa regi˜ ao do espa¸co tamb´em constitui uma blindagem satisfat´ oria – a chamada “gaiola de Faraday”. A blindagem eletrost´ atica ´e muito utilizada para a prote¸ca˜o de aparelhos el´etricos e eletrˆ onicos contra efeitos externos perturbadores. Os aparelhos de medidas sens´ıveis est˜ ao acondicionados cm caixas met´ alicas, para que as medidas n˜ ao sofram influˆencias externas. As estruturas met´ alicas de um avi˜ ao, de um autom´ ovel e de um pr´edio constituem blindagens eletrost´ aticas. Figura 1.2: Um condutor oco. Como Funciona o P´ ara-Raios? Potencial El´ etrico O potencial el´etrico em todos os pontos, internos e superficiais, de um condutor em equil´ıbrio eletrost´ atico, ´e O p´ ara-raios tem por finalidade oferecer um caminho mais eficiente para as descargas el´etricas, protegendo casas, edif´ıcios, dep´ ositos de combust´ıveis, linhas de transmiss˜ ao de energia el´etrica, etc. 50 Apostila do Curso Pr´e-Vestibular UDESC 2005 – M´ odulo I Saiba Mais e) ( ) As cargas el´etricas em excesso distribuem-se na superf´ıcie externa do condutor. O p´ ara-raio foi criado por BENJAMIN FRANKLIN (l7061790). pol´ıtico, escritor e cientista norte-americano. Atualmente, ´e constitu´ıdo essencialmente de uma haste condutora disposta verticalmente na parte mais alta da estrutura a ser protegida. A extremidade superior da haste apresenta uma ou mais pontas de material com elevado ponto de fus˜ ao, a outra extremidade da haste ´e ligada, atrav´es de condutores met´ alicos, a barras met´ alicas que se encontram cravadas, profundamente no solo. Se uma nuvem eletrizada estiver sobre as pontas do p´ ara-raios, induz nelas cargas el´etricas intensificando o campo na regi˜ ao j´ a ionizada pela descarga l´ıder. Produz-se a descarga principal atrav´es do p´ ara-raios. + + + \]\^ + + B + + + + + A _]_` + + + + + + C + ab a] + 2. Considere uma esfera met´ alica oca provida de um orif´ıcio e eletrizada com carga Q. Uma pequena esfera met´ alica neutra ´e colocada em contato com a primeira. Quais s˜ ao as afirma¸co˜es corretas? a) ( ) Se o contato for interno, a pequena esfera n˜ ao se eletriza. b) ( ) Se o contato for externo, a pequena esfera se eletriza. c) ( ) Se a pequena esfera estivesse eletrizada, ap´ os um contato interno ficaria neutra. d) ( ) Se aproximarmos a pequena esfera, sem tocar na esfera eletrizada, a carga el´etrica da pequena esfera aumenta. 3. (Efei-MG) Um condutor esf´erico de raio R = 30 cm est´ a eletrizado com carga el´etrica Q = 6, 0 nC. O meio ´e o v´ acuo (k = 9 × 109 N · m2 /C 2 ). Determine: a) o potencial el´etrico e a intensidade do vetor campo el´etrico no centro da esfera; b) o potencial el´etrico e a intensidade do vetor campo el´etrico num ponto externo e situado a 50 cm do centro da esfera. Exerc´ıcios Complementares Pense um Pouco! • Como funciona um p´ ara-raios? Que a´rea ele protege? • Por que durante uma tempestade para se proteger das chuvas ´e mais seguro ficar dentro do carro que debaixo de uma a´rvore? Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. (Cefet-BA) Considere um condutor met´ alico com a forma indicada na figura. O condutor est´ a eletrizado positivamente e em equil´ıbrio eletrost´ atico. Observe os pontos A, B e C. Quais s˜ ao as afirma¸co˜es corretas? a) ( ) O campo el´etrico em A ´e nulo. b) ( ) A densidade de cargas el´etricas ´e maior em C do que em B. c) ( ) O campo el´etrico em B ´e mais intenso do que em C. d) ( ) Os pontos A, B e C possuem mesmo potencial el´etrico. 4. (Efei-MG) Duas esferas met´ alicas, A e B, de raios R e 3R, est˜ ao eletrizadas com cargas 2Q e Q, respectivamente. As esferas est˜ ao separadas de modo a n˜ ao haver indu¸ca˜o entre elas e s˜ ao ligadas por um fio condutor. a) Quais as novas cargas ap´ os o contato? b) Qual opotencial el´etrico de cada esfera, depois do contato? 5. (ACAFE-SC) Duas esferas met´ alicas, A e B, de raios 10 cm e 20 cm, est˜ ao eletrizadas com cargas el´etricas 5, 0 nC e −2, 0 nC, respectivamente. As esferas s˜ ao postas em contato. Determine, ap´ os atingir o equil´ıbrio eletrost´ atico: a) as novas cargas el´etricas das esferas; b) o potencial el´etrico que as esferas adquirem. c) Houve passagem de el´etrons de A para B ou de B para A? Explique. 6. (UNICAMP-SP) Conhecidas duas esferas met´ alicas idˆenticas, A e B, de cargas el´etricas 5, 0 × 10−6 C e 3, 0 × 10−6 C, respectivamente. As esferas s˜ ao colocadas em contato. a) Determine o n´ umero de el´etrons que passou de um condutor para outro. b) Qual das esferas recebe el´etrons? F´ısica E – Aula 6 51 7. Sabendo-se que existe um campo el´etrico na superf´ıcie da Terra, vertical para baixo igual a 100 N/C. Dado o raio da Terra R = 6.400 km, determine: a) O potencial el´etrico da Terra (do ch˜ ao); b) A carga el´etrica total da Terra. Capacidade El´ etrica Denomina-se capacidade el´etrica ou capacitˆ acia de um corpo condutor a capacidade que ele possui de armazenar cargas. Da mesma forma que a quantidade de moles de um g´ as que um bal˜ ao pode conter depende da press˜ ao a que o g´ as estiver submetido e tamb´em das dimens˜ oes e forma do bal˜ ao, a capacidade el´etrica depender´ a das dimens˜ oes e forma do condutor. A experiˆencia mostra que, se fornecemos a um condutor cargas Q1 , Q2 , Q3 , ..., Q, o potencial adquirido pelo mesmo ser´ a V1 , V2 , V3 , ..., V , sempre proporcionaias a` carga Q fornecida. Isso quer dizer que o quociente Q/V ´e constante (Fig. 1.4). c +ed c +ed c +ed c ed c ed c+ ed c ed c ec ed +ed c ed c ed c ed c ed c ed c ed c +ed c ec Os condutores que constituem o capacitor s˜ ao denominados armaduras do capacitor. A classifica¸ca˜o dos capacitores ´e dada em fun¸ca˜o da forma de suas armaduras e da natureza do diel´etrico que existe entre as mesmas. Em todo capacitor, existe uma rela¸ca˜o constante entre o m´ odulo da carga (que ´e a mesma em valor absoluto nas duas armaduras) e a d.d.p. V entre as armaduras. Essa rela¸ca˜o ´e denominada capacitˆ ancia do condensador. C = Q/V Num circuito, os capacitores ser˜ ao representados por duas barras paralelas. Capacitores Planos O capacitor plano ´e constitu´ıdo por placas condutoras planas e paralelas, separadas por um diel´etrico qualquer (ar, mica, papel, pol´ımeros, etc.) Q c ed c ed c ed c ed c ed c ed c ed c ec + ed c ed c ed c ed c ed c ed c ed c ec + + ecded cd e cd e cd e cd e cd e cd e cd e cd e ce c ed c ed c ed c ed c ed c ed c ed c ec + + ed c ed c ed c ed c ed c ed c ed c ed c ec ed +ed c ed c ed c ed c ed c ed c ed c ed c +ec c+ +ed c ed c ed c ed c ed c +ed c +ed c ec ed V + − + Figura 1.4: Capacitor met´ alico carregado com carga positiva +Q. Essa constante de proporcionalidade C ´e denominada capacitˆ ancia do condutor. Unidades SI No Sistema Internacional de Unidades (SI), temos: 1 F = 1 f araday = 1 coulomb/1 volt = 1 F arad A capacitˆ ancia de um condutor que recebe uma carga de l coulomb, adquirindo um potencial de l volt, ´e igual a l F . Na pr´ atica, os capacitores tem capacitˆ ancia da ordem t´ıpica de µF arad. Capacitores Na pr´ atica, ´e imposs´ıvel obter condutores de capacitˆ ancia elevada, sem que suas dimens˜ oes sejam extraordinariamente grandes. No entanto, ´e poss´ıvel obtermos dispositivos, de dimens˜ oes pequenas, capazes de armazenar uma razo´ avel quantidade de cargas com diferen¸cas de potencial n˜ ao muito grandes. Esses dispositivos s˜ ao denominados capacitares ou condensadores. Um capacitor ´e um par de condutores, separados por um isolante (diel´etrico). Seja A a a´rea de cada armadura e d a distˆ ancia entre as mesmas. Consideremos inicialmente que haja v´ acuo entre as ´ poss´ıvel demonstrar, mediante a aplica¸ca˜o da lei placas. E de Gauss, que o campo uniforme que existe entre as placas ´e dado por: Q E= 0 A onde 0 ´e a constante de permitividade el´ etrica do v´ acuo, 0 = 8, 85 × 1O −12 F/m no SI. Rela¸ c˜ ao Entre k e 0 As constantes k, a constante el´etrica da lei de Faraday, e 0 , a permissividade el´etrica do v´ acuo, est˜ ao intimamente relacionadas, e pode-se mostrar que: k= 1 4π0 e como 0 ´e dado em F/m, ent˜ ao pode-se escrever a constante k em m/F , j´ a que estas constantes s˜ ao inversamente proporcionais. 52 Apostila do Curso Pr´e-Vestibular UDESC 2005 – M´ odulo I Qual seria ent˜ ao o raio da esfera com capacitˆ ancia de 1, 0 F ? Como C = R/k ent˜ ao R = kC = (9, 0 × 109 m/F )(1, 0 F ) = 9, 0 × 109 m Se compararmos esse valor com o raio da Terra, cerca de 6.4 × 106 m, veremos que o capacitor teria que ter um raio com aproximadamente 1.400 vezes maior que a Terra! Conforme j´ a estudamos anteriormente, a d.d.p. entre as placas vale V = Ed. Assim: V = Qd 0 A A capacitˆ ancia do capacitor plano ´e dada por: C= 0 A d Observe que a capacitˆ ancia obtida ´e diretamente proporcional a` a´rea A das placas, e inversamente proporcional a` sua distˆ ancia d. Se, em vez de ar ou v´ acuo, houver entre as armaduras um diel´ etrico de constante diel´etrica b, a capacitˆ ancia de um condensador plano ser´ a maior, dada por: C= b0 A d Para que o diel´etrico tenha efeito sobre a capacitˆ ancia, ele deve ser colocado na regi˜ ao de campo el´etrico do capacitor. Alguns diel´etricos como a mica e poli´ester chegam a aumentar a capacitˆ ancia em at´e 100 vezes o seu valor no v´ acuo (sem diel´etrico). Capacitor Esf´ erico Simples Se construirmos um capacitor com uma esfera simples condutora de raio R, sua capacitˆ ancia ser´ a C= Q Q R = = = 4π0 R V kQ/R k ou seja, a capacitˆ ancia da esfera ´e diretamente proporcional ao seu raio R. + + + Q + + + + R + + + + + + + + + + + + + + Capacitor Esferico ´ + + + + Exemplo Vamos calcular a capacitˆ ancia de uma esfera condutora de raio igual a 1, 0 m. C= 1, 0 m R = ≈ 0, 11 nF k 9, 0 × 109 m/F Pense um Pouco! • Qual a utilidade dos capacitores em nosso cotidiano? • Se tentarmos afastar as placas (armaduras) de um capacitor carregado, realizaremos algum trabalho? • Se conectarmos duas esferas met´ alicas idˆenticas de capacitˆ ancia C cada uma, qual a capcitˆ ancia do conjunto? Comente. • A capacitˆ ancia de um corpo met´ alico depende dele ser oco ou maci¸co? Explique. Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 8. Trˆes condutores, de capacidades 2 pF , 3 pF e 5 pF , est˜ ao eletrizados com cargas de 4 µC, 12 µC e −20 µC, respectivamente. a) Determine os potenciais el´etricos desses corpos. 9. (FUVEST-SP) Um capacitor plano tem uma capacitˆ ancia C. Entre suas armaduras h´ a uma distˆ ancia d. Qual ser´ a sua capacidade se a distˆ ancia entre suas placas for aumentada para 2d? 10. (UFBA) Um capacitor plano possui capacidade C = 100 pF , a´rea das armaduras A = 100 cm2 , e diel´etrico com b = 5. Quando a ddp entre as armaduras for igual a 50V , calcule a intensidade do campo el´etrico no interior do diel´etrico. Dado: 0 = 8, 85 × 1O −12 F/m. Exerc´ıcios Complementares 11. (UFPR) Uma part´ıcula de massa 2, 0 × 10−10 kg com carga positiva e igual a 2, 0×1O −6 C penetra atrav´es de um orif´ıcio, com velocidade de 1, 0×104 m/s, numa regi˜ ao onde existe um campo el´etrico uniforme de m´ odulo 4 × 10 5 N/C. A distˆ ancia entre as placas vale 10 cm. Determine a energia cin´etica com que a part´ıcula atinge a segunda placa, andando contra o campo el´etrico. 12. (UEL-PR) Um capacitor de capacidade C exibe, entre seus terminais, uma diferen¸ca de potencial V . A carga el´etrica armazenada nesse capacitor ´e dada por: a) C/V b) V /C c) C 2 V d) CV 2 e) CV F´ısica E – Aula 8 53 13. (Puccamp-SP) Um capacitor de 8, 0 × 10−6 F ´e sujeito a uma diferen¸ca de potencial de 30 V . A carga que ele acumulou vale: a) 1, 2x10−4 C b) 2, 4x10−4 C c) 2, 7x10−7 C d) 3, 7x106 C e) 7, 4x106 C 14. (UF-ES) Um equipamento el´etrico cont´em duas pilhas de 1, 5 V em s´erie, que carregam um capacitor de capacitˆ ancia 6, 0 × 10−5 F . Qual a carga el´etrica que se acumula no capacitor, em coulombs? F´ısica E Aula 8 Associa¸c˜ ao de Capacitores Associa¸ c˜ ao de Capacitores em S´ erie C1 C2 a a C1 b a (a) • Como as cargas s˜ ao iguals nos dois capacitores em s´erie, a d.d.p. do maior capacitor ser´ a a menor; • Se os capacitores ligados em s´erie forem iguais C 1 = C2 = C, a d.d.p. de ambos ser´ a igual a V /2 e a capacitˆ ancia equivalente ser´ a Cser. = C/2, a metade da capacitˆ ancia de um dos capacitores; • Para uma associa¸ca˜o em s´erie de n capacitores teremos 1 1 1 1 1 = + + ...+ = sumni=1 Cser. C1 C2 Cn Ci (Veja a Fig. 1.1(b) ). Neste caso, como os terminais de ambos os capacitores s˜ ao ligados nos mesmo pontos a e b, conectados a uma bateria de tens˜ ao V , a placa positiva de cada capacitor est´ a ligada a` placa positiva do outro, o mesmo acontecendo com as placas negativas. Observamos que a mesma d.d.p. V ´e aplicada aos capacitores da associa¸ca˜o. C3 V = V1 = V2 b b C2 • Na associa¸ca˜o em s´erie, a capacitˆ ancia equivalente do conjunto, Cser. ser´ a menor do que a menor das capacitˆ ancias utilizadas; Associa¸ c˜ ao de Capacitores em Paralelo Assim como os aparelhos em geral, os capacitores podem ser associados de v´ arios modos, sendo os principais em s´erie e em paralelo. Se numa associa¸ca˜o encontramos ambos os tipos, chamaremos de associa¸ca˜o mista. C1 Propriedades Cada capacitor adquire uma carga parcial: Q = Q 1 + Q2 C2 (b) (c) A capacidade equivalente ´e dada por: Cpar. = C1 + C2 Figura 1.1: Associa¸ca ˜o de capacitores em s´erie (a), em paralelo (b) e mista (c). Na associa¸ca˜o em s´erie, ver Fig. 1.1 (a), quando uma fonte bateria de tens˜ ao V ´e ligada nos terminais a e b, as cargas removidas de um terminal ser˜ ao deslocadas para o outro, ou seja, as cargas em ambos os terminais s˜ ao de mesmo m´ odulo: Q1 = Q 2 = Q . Ent˜ ao Q Q V1 = e V2 = C1 C2 Os capacitores adquirem diferentes d.d.p. V1 e V2 , respectivamente, tal que V = V1 + V2 e assim Q Q Q = + Cser. C1 C2 e ent˜ ao a capacidade equivalente ´e dada por: 1 Cser. = 1 1 + C1 C2 Propriedades • Na associa¸ca˜o em paralelo, a capacitˆ ancia equivalente do conjunto, Cpar. ser´ a maior do que a maior das capacitˆ ancias utilizadas; • Como as tens˜ oes s˜ ao iguals nos dois capacitores em paralelo, a carga do maior capacitor ser´ a a maior das cargas; • Se os capacitores ligados em paralelo forem iguais C 1 = C2 = C, a carga de ambos ser´ a a mesma e a capacitˆ ancia equivalente ser´ a Cpar. = 2C, o dobro da capacitˆ ancia de um dos capacitores; • Para uma associa¸ca˜o em paralelo de n capacitores teremos Cpar. = C1 + C2 + . . . + Cn = sumni=1 Ci 54 Apostila do Curso Pr´e-Vestibular UDESC 2005 – M´ odulo I Energia de um Caacitor 2. (FAAP-SP) Associam-se em s´erie trˆes capacitores neutros com capacitˆ ancias C1 = 20 µF , C2 = 50 µF e C3 = 100 µF . Calcule a capacitˆ ancia equivalente do sistema. Imaginemos um capacitor carregado. Liguemos agora suas armaduras por um fio condutor: as cargas negativas v˜ ao fluir para a outra armadura at´e que ambas se neutralizem. O tempo necess´ ario para isso ´e muito pequeno, e muitas vezes a descarga vem acompanhada de uma fa´ısca que salta dos extremos do condutor que une as armaduras. Conforme j´ a estudamos anteriormente, o transporte de cargas el´etricas entre pontos que possuem diferentes potenciais el´etricos implica aparecimento de energia el´etrica. Quando uma carga el´etrica ´e transportada entre dois pontos, entre os quais existe uma diferen¸ca de potencial V qualquer, o trabalho realizado ´e W = qV Na descarga do capacitor, por´em, a d.d.p. varia, diminuindo a` medida que uma parcela da carga vai se transferindo para a outra armadura. Como a carga total do capacitor ´e Q = CV , e a d.d.p. varia de V at´e zero durante o processo de descarga, podemos tomar o valor m´edio da tens˜ ao como sendo V /2 e calcular o trabalho W = qV = CV · f racV 2 = 1 CV 2 2 e como esse trabalho foi realizado durante a descarga, podemos supor que essa energia estava armazenada no capacitor, como energia potencial el´etrica. Assim, definimos a energia do capacitor como E= 1 CV 2 2 Observe que a express˜ ao anterior pode ser reescrita de duas outras formas equivalentes: E= Q2 1 QV = 2 2C Pense um Pouco! • Cite duas aplica¸co˜es direta dos capacitores. • Algu´em disse que os fios usados em circuitos el´etricos servem para igualar o potencial el´etrico nas partes conectadas nas suas duas pontas. O que vocˆe acha disso? • Na figura 1.1, imagine que se conecte nos terminais a e b, os terminais (polos) de uma bateria de tens˜ ao V . Sobre a figura, pinte de uma cor todas as partes que tem o mesmo potencial el´etrico de a, e de outra cor as partes que tem o mesmo potencial de b. Observe o conclua vocˆe mesmo. Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. (UERJ) Uma associa¸ca˜o de l.000 capacitores de l0 µF cada um, associados em paralelo, ´e utilizada para armazenar energia. Qual o custo para se carregar esse conjunto at´e 50.000 volts, supondo-se R$ l,00 o pre¸co do kW h? 3. Calcule a capacitˆ ancia equivalente da associa¸ca˜o mista mostrada na Fig. 1.1 (c), para os capacitores C1 = 20 µF , C2 = 10 µF e C3 = 40 µF . Exerc´ıcios Complementares 4. (FCC-BA) Determine a energia acumulada num conjunto de capacitores com capacitˆ ancia total de 2.000 µF e sob tens˜ ao de 900 V . 5. (UCS-RS) Dois capacitores de capacitˆ ancia C 1 = 6, 0 µF e C2 = 3, 0 µF s˜ ao associados em paralelo e a associa¸ca˜o ´e submetida a uma d.d.p. V. O capacitor de capacitˆ ancia C 1 se eletriza com carga el´etrica Q1 = 1, 2 × 10−4 C, e o de capacitˆ ancia C2 , com carga el´etrica Q2 . Determine V e Q2 . 6. (Acafe-SC) Qual a d.d.p. que deve ser aplicada a um capacitor, de capacitˆ ancia 2, 0 µF , a fim de que armazene energia potencial el´etrica de 2, 5 × 10−3 J? 7. (UESB-BA) Um capacitor de um circuito de televis˜ ao tem uma capacitˆ ancia de 1, 2 µF . Sendo a diferen¸ca de potencial entre seus terminais de 3.000 V , a energia que ele armazena ´e de: a) 6, 7 J b) 5, 4 J c) 4, 6 J d) 3, 9 J e) 2, 8 J Qu´ımica Qu´ımica A Aula 1 Estrutura Atˆ omica que algumas destas part´ıculas defletiam mais de 90 ◦ e umas poucas retornavam no caminho de onde tinham vindo. Ver a Fig. 2.1. Estes resultados sugerem um modelo de a´tomo no qual h´ a uma densa carga positiva central circundada por um grande volume vazio. Rutherford chamou esta regi˜ ao carregada positivamente de n´ ucleo atˆ omico. Modelos Atˆ omicos As part´ıculas carregadas positivamente s˜ ao chamadas pr´ otrons. A primeira abordagem sobre a constitui¸ca˜o da mat´eria data de ± 400 anos a.C. Os fil´ osofos gregos Dem´ ocrito e Leucipo conceberam o a´tomo como a menor part´ıcula constituinte da mat´eria e supunham que essa part´ıcula era indivis´ıvel. As part´ıculas carregadas negativamente continuam sendo chamadas de el´ etrons. Lavoisier: em 1780, ´e considerado o pai da Qu´ımica por ter criado o m´etodo cient´ıfico: as leis surgem da observa¸ca˜o da regularidade das teorias, como tentativas de explica¸ca˜o dessas regularidades. Provou que “na natureza nada se cria, nada se perde, tudo se transforma”, ou seja, numa transforma¸ca˜o qu´ımica da mat´eria, a massa se conserva. John Dalton: em 1808, criou a Teoria Atˆ omica Cl´ assica (baseado em modelos experimentais), considerando os a´tomos como esferas maci¸cas (Modelo da Bola de Bilhar), indivis´ıveis. J. J. Thomson: em 1897, atrav´es de experimentos sobre descargas el´etricas em gases rarefeitos, admitiu a existˆencia de cargas negativas, os el´etrons, e de cargas positivas, os pr´ otons. Propˆ os um modelo em que o a´tomo seria uma esfera de eletricidade positiva, incrustada de el´etrons com carga negativa (Modelo do Pudim de Passas). Assim, o modelo de Rutherford consta de n´ ucleo denso, diminuto, carregado positivamente, e de uma parte envolvendo esse n´ ucleo, uma regi˜ ao rarefeita e proporcionalmente muito grande chamada eletrosfera, com el´etrons, de carga negativa. Resumo do Modelo de Rutherford Este foi o modelo proposto por Rutherford. Basicamente tinha os seguintes fundamentos: • O a´tomo ´e dividido em duas regi˜ oes, n´ ucleo e eletrosfera, no n´ ucleo encontramos os pr´ otons e os nˆeutrons, na eletrosfera encontramos os el´etrons; • Os pr´ otons apresentam carga positiva, os el´etrons apresentam carga negativa e os nˆeutrons apresentam carga nula; • A massa de um pr´ oton e de um nˆeutron equivalem a 1 u.m.a enquanto a massa do el´etron ´e 1836 vezes menor que a massa do pr´ oton ou do nˆeutron. O n´ umero de pr´ otons em um n´ ucleo atˆ omico ´e chamado de n´ umero atˆ omico, Z, do elemento. O n´ umero total (soma) de pr´ otons e nˆeutrons no n´ ucleo ´e chamado de n´ umero de massa, A, do elemento. A=Z +N Figura 2.1: Aparato Experimental de Rutherford. Ernest Rutherford: em 1911, bombardeou uma lamina met´ alica delgada com um feixe de part´ıculas α. Estas part´ıculas eram positivas. A maior parte das part´ıculas atravessava a lamina met´ alica sem sofrer desvio detect´ avel, algumas part´ıculas atravessavam sofrendo desvio e um n´ umero inf´ımo de part´ıculas refletiam. Se os a´tomos fossem bolhas de gel´eia carregados positivamente as part´ıculas α deveriam passar facilmente atrav´es das folhas com uma ligeira deflex˜ ao ocasional de seus caminhos. Mas, percebeu-se Representa¸ c˜ ao ZX A Mas, o modelo planet´ ario de Rutherford apresenta duas falhas cruciais: • Uma carga negativa colocada em movimento ao redor de uma carga positiva estacion´ aria, adquire movimento espiral at´e colidir com ela; 56 • Essa carga perde energia emitindo radia¸ca˜o, violando o Princ´ıpio da Conserva¸ca˜o de Energia. Pense um Pouco! 1. Vocˆe sabe dizer o que significa “tempo de meia-vida”? 2. O que significa Fiss˜ ao Nuclear e Fus˜ ao Nuclear? Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. A palavra a´tomo ´e origin´ aria do grego e significa “indivis´ıvel”, ou seja, segundo os fil´ osofos gregos, o a´tomo seria a menor part´ıcula da mat´eria que n˜ ao poderia ser mais dividida. atualmente essa id´eia n˜ ao ´e mais aceita. A respeito dos a´tomos, ´e verdadeiro afirmar que: a) ( ) N˜ ao podem ser desintgrados; b) ( ) S˜ ao formados por pelo menos trˆes part´ıculas fundamentais; c) ( ) Possuem part´ıculas positivas denominadas el´etrons; d) ( ) Apresentam duas regi˜ oes distintas, n´ ucleo e eletrosfera; e) ( ) Apresentam el´etrons cuja carga el´etrica ´e negativa; f) ( ) Cont´em part´ıculas sem carga el´etrica, os nˆeutrons. 2. (UFSC) Analise as afirmativas a seguir e assinale como V ou F: a) ( ) O primeiro modelo atˆ omico baseado em resultados experimentais, ou seja, com base cientif´ıca foi proposto por Dalton; b) ( ) Segubdo Dalton, a mat´eria ´e formada de part´ıculas indivis´ıveis chamadas a´tomos; c) ( ) Thomson foi o primeiro a provar que que o a´tomo n˜ ao era indivis´ıvel; d) ( ) O modelo atˆ omico proposto por Thomson ´e o da bola de bilhar; e) ( ) O modelo atˆ omico de Dalton teve como suporte experimental para a sua cria¸ca˜o a interpreta¸ca˜o das leis das rea¸co˜es qu´ımicas. 3. (UFSC) Assinale a(s) alternativa(s) correta(s): a) ( ) Os a´tomos s˜ ao part´ıculas fundamentais da mat´eria; b) ( ) Os a´tomos s˜ ao quimicamente diferentes quando tˆem n´ umeros de massa diferentes; c) ( ) Os el´etrons s˜ ao as part´ıculas de carga el´etrica positiva; d) ( ) Os pr´ otons e os el´etrons possuem massas iguais e cargas el´etricas diferentes; e) ( ) Os a´tomos apresentam part´ıculas de carga nula denominados nˆeutrons; f) ( ) Os a´tomos s˜ ao part´ıculas inteiramente maci¸cas. Exerc´ıcios Complementares 4. (ACE) Assinale a alternativa falsa: a) o n´ umero de massa de um a´tomo ´e dado pela soma do n´ umero de pr´ otons e de nˆeutrons existentes no n´ ucleo; b) um elemento qu´ımico deve ter seus a´tomos sempre como Apostila do Curso Pr´e-Vestibular UDESC 2005 – M´ odulo I mesmo n´ umero de nˆeutrons;(c) o n´ umero de pr´ otons permanece constante, mesmo que os n´ umeros de massa dos a´tomos de um elemento variem; c) o n´ umero atˆ omico ´e dado pelo n´ umero de pr´ otons existentes no n´ ucleo de um a´tomo; d) n.d.a 5. (UEL) O urˆ anio-238 difere do urˆ anio-235 por que o primeiro possui: a) 3 el´etrons a mais; b) 3 pr´ otons a mais; c) 3 pr´ otons e 3 nˆeutrons a mais; d) 3 pr´ otons e 3 el´etrons a mais; e) 3 nˆeutrons a mais. 6. (ACAFE) Um sistema ´e formado por part´ıculas que apresentam a composi¸ca˜o atˆ omica de 10 pr´ otons, 10 el´etrons, 11 nˆeutrons. Ao sistema foram adicionadas novas part´ıculas. O sistema resultante ser´ a quimicamente puro se as part´ıculas adicionadas apresentarem a seguinte composi¸ca˜o atˆ omica: a) 21 pr´ otons, 10 el´etrons e 10 nˆeutrons; b) 20 pr´ otons, 10 el´etrons e 22 nˆeutrons; c) 10 pr´ otons, 10 el´etrons e 12 nˆeutrons; d) 11 pr´ otons, 11 el´etrons e 12 nˆeutrons; e) 11 pr´ otons, 11 el´etrons e 11 nˆeutrons; 7. (FUVEST) As seguintes representa¸co˜es: 2 X 2 , 2 X 3 e2 X 4 , referem-se a a´tomos com: a) igual n´ umero de nˆeutrons; b) igual n´ umero de pr´ otons; c) diferente n´ umero de el´etrons; d) diferentes n´ umeros atˆ omicos; e) diferentes n´ umeros de pr´ otons e el´etrons; Qu´ımica A Aula 2 Modelos Atˆ omicos O Modelo Atˆ omico de Bohr Com o objetivo de solucionar estas limita¸ca˜oes do modelo de Ruthrford entra em cena um cientista chamado Niels Bohr. Niels Bohr: em 1913, propˆ os que o a´tomo ´e constitu´ıdo por um n´ ucleo positivo, onde se concentra praticamente toda massa do a´tomo, e por el´etrons que giram ao seu redor em o´rbitas circulars bem definidas, formando camadas, designadas pelas letras K, L, M, N, O, P, Q. Atrav´es de processos experimentais Bohr, concluiu que: • Um el´etron s´ o pode ter certas energias espec´ıficas, e cada uma destas energias corresponde a uma o´rbita particular. Quanto mais afastado do n´ ucleo maior a energia do el´etron; • Se o el´etron receber energia ele pula para uma o´rbita mais afastada do n´ ucleo; • Como esta o´rbita n˜ ao ´e natural ele tende a retornar Qu´ımica A – Aula 2 57 A mecˆ anica quˆ antica, que trata do universo microsc´ opico das part´ıculas, n˜ ao se descreve perfeitamente o a´tomo. Heisenberg: em 1927, estabeleceu o Pr´ıncipio da Incerteza, segundo o qual “n˜ ao ´e poss´ıvel predizer, ao mesmo tempo, a posi¸ca˜o e a quantidadade de movimento de um el´etron” Tudo que n´ os podemos conhecer sobre o movimento de um sistema de part´ıculas se reduz a uma fun¸ca˜o complexa Ψ de coordenadas (x, y, z) das part´ıculas e do tempo t. Figura 2.1: O modelo Atˆ omico de Bohr. para sua o´rbita de maior estabilidade, assim sendo, ocorre libera¸ca˜o de energia; • Para calcular a energia emitida pelo el´etron, Max Planck estabeleceu que a energia se propaga em “pacotes”de quantidades m´ınimas e descont´ınuas. A essa quantidade m´ınima chamou de f´ oton ou quantum. O valor do quantum ´e proporcional a frequˆencia da onda ν, cuja magnitude pode ser calculada por E = hν onde h ´e a famosa constante de Planck, que tem valor de 6, 63 × 10−34 J · s. Se os a´tomos oscilantes transferem uma energia E para a vizinhan¸ca, radia¸ca˜o de frequˆencia ν = E/h ser´ a de´ importante notar que a intensidade da ratectada. E dia¸ca˜o ´e uma indica¸ca˜o do n´ umero de pacotes de energia gerados, enquanto E ´e a medida de energia de cada pacote. Esta fun¸ca˜o ´e chamada Fun¸ca˜o de Onda, criada por Schr¨ odinger (1927). O quadrado do m´ odulo da fun¸ca˜o de onda |Ψ|2 representa a probabilidade de se encontrar no instante t a determinada part´ıcula. Na concep¸ca˜o cl´ assica, uma part´ıcula se encontra ou n˜ ao num determinado instante em um dado ponto do espa¸co. Pela mecˆ anica quˆ antica n´ os s´ o podemos conhecer a probabilidade de encontrar a part´ıcula no ponto considerado. Schr¨ odinger deduziu matematicamente regi˜ oes com probabilidades de se encontrar o el´etron, simplificadas por meio de modelos geom´etricos que chamamos de orbitais. Sommerfeld, de Broglie e Schr¨ odinger formaram a Mecˆ anica Quˆ antica, que nos levou ao modelo atˆ omico atual. O a´tomo possui n´ ucleo denso com el´etrons em orbitais. Orbital ´e a regi˜ ao, em torno do n´ ucleo, com maior probabilidade de se encontrar o el´etron. O el´etron move-se em torno do n´ ucleo. Sommerfeld: em 1916, estabeleceu que os el´etrons descrevem o´rbitas circulares e el´ıpticas em torno do n´ ucleo. Figura 2.3: Representa¸ca ˜o Atˆ omica. Figura 2.2: Modelo Atˆ omico de Sommerfeld. Is´ otopos, Is´ obaros, Is´ otonos e Isoeletrˆ onicos O Modelo Atˆ omico Atual Louis de Broglie: em 1924, foi quem lan¸cou as as bases de uma nova mecˆ anica chamada ondulat´ oria ou quˆ antica, atrav´es do Princ´ıpio da Dualidade mat´eria-onda para o el´etron: “Toda part´ıcula em movimento, o el´etron, no caso, tem associado a si uma onda”. A mecˆ anica cl´ assica prevˆe, para cada corpo, sua trajet´ oria, conhecendo sua posi¸ca˜o e velociade. Is´ otopos: s˜ ao a´tomos de um mesmo elemento qu´ımico que apresentam diferentes n´ umero de massa e diferentes n´ umero de nˆeutrons, ou seja s˜ ao a´tomos de mesmo n´ umero atˆ omico e diferentes n´ umero de massa. 6C 12 6C 13 6C 14 Is´ otopos de Carbono 8O 16 8O 17 8O 17 Is´ otopos de Oxigˆenio 58 Apostila do Curso Pr´e-Vestibular UDESC 2005 – M´ odulo I Is´ obaros: s˜ ao a´tomos de elementos qu´ımicos diferentes mas com mesmo n´ umero de massa. 20 Ca 40 1840 Ar Is´ otonos: s˜ ao a´tomos de elementos qu´ımicos diferentes, mas com mesmo numero de nˆeutrons. 5B 11 6C 2+ 11 N a 1+N e 10 9F K L M N O P Q 2 8 18 32 32 18 2 Orbitais Atˆ omicos 12 Isoeletrˆ onicos: s˜ ao a´tomos ou ´ıons que apresentam o mesmo n´ umero de el´etrons. 12 M g 1s2 2s2 , 2p6 2 3s , 3p6 , 3d10 2 4s , 4p6 , 4d10 , 4f 14 5s2 , 5p6 , 5d10 , 5f 14 6s2 , 6p6 , 6d10 7s2 1− 7N 3− Como vimos, orbital ´e a regi˜ ao, em torno do n´ ucleo, com m´ axima probabilidade de se encontrar el´etrons. As formas dessas regi˜ oes s˜ ao calculadas matematicamente e tˆem o n´ ucleo localizado no ponto zero dos eixos x, y e z. N´ıveis e Subn´ıveis de Energia A eletrosfera do a´tomo est´ a dividida em 7 regi˜ oes denominadas de n´ıveis de energia ou camadas eletrˆ onicas. S˜ ao as camadas K, L, M, N, O, P, Q, representadas pelos n´ umeros 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 denominados de n´ umeros quˆ anticos principais e representados pela letra n. O n´ umero m´ aximo de el´etrons em cada camada ´e calculado pela equa¸ca˜o e = 2 · n2 sendo que K(2), L(8), M (18), N (32), O(50), P (72), Q(98) Mas para os 112 elementos qu´ımicos existentes temos: K(2), L(8), M (18), N (32), O(32), P (18), Q(2) Existem 7 subn´ıveis de energia (s, p, d, f, g, h, i) que est˜ ao dentro das camadas. Mas para os 112 elementos existentes n˜ ao s˜ ao ocupados todos os subn´ıveis de energia e sim somente quatro, s, p, d, f , que s˜ ao representados pela letra l que significa n´ umero quˆ antico secund´ ario e s˜ ao n´ umeros que v˜ ao de 0 a 3, ou seja, 0, 1, 2, 3 para os subn´ıveis s, p, d, f , cada subn´ıvel comporta um n´ umero m´ aximo de el´etrons s(2), p(6), d(10), f (14). Figura 2.4: Coordenadas espaciais de um a ´tomo. As formas dos orbitais mais importantes s˜ ao: 1. esf´ erica - chamado orbital s: Configura¸ c˜ ao Eletrˆ onica Diagrama de Linus Pauling K(2) 1s2 L(8) 2s2 2p6 M(18) 3s2 3p6 3d10 N(32) 4s2 4p6 4d10 4f 14 O(32) 5s2 5p6 5d10 5f 14 P(18) 6s2 6p6 6d10 Q(2) 7s2 Representamos a distribui¸ca˜o eletrˆ onica de duas formas: 1. ordem energ´etica, seguindo as diagonais do diagrama de Pauling: 1s2 , 2s2 , 2p6 , 3s2 , 3p6 , 4s2 , 3d10 , 4p6 , 5s2 , 4d10 , 5p6 , 6s2 , 4f 14 , 5d10 , 6p6 , 7s2 , 5f 14 , 6d10 2. ordem geom´etrica, agrupando os subn´ıveis em camadas: Figura 2.5: Representa¸ca ˜o do Orbital s. 2. halter - chamado orbital p: Pr´ıncipio de Exclus˜ ao Certas experiˆencias, em particular a a¸ca˜o de um campo magn´etico, mostram que as fun¸co˜es de onda constru´ıdas uni- Qu´ımica A – Aula 3 59 Exerc´ıcios Complementares Figura 2.6: Representa¸ca ˜o do Orbital p. camente sobre as coordenadas de espa¸co n˜ ao s˜ ao aptas para explicar totalmente os fenˆ omenos, o que levou a se introduzir uma nova coordenada chamada spin. Trata-se de um coosdenada suplementar associada a` rota¸ca˜o do el´etron. Os valores permitidos para a fun¸ca˜o de spin s˜ ao − 12 e 21 , e s˜ ao de spins opostos. Dois el´ etrons podem ocupar um mesmo orbital desde que possuam spins opostos. Este enunciado ´e conhecido por “Princ´ıpio de Exclus˜ ao, de Wolfgang Pauli”. Cada subn´ıvel comporta um n´ umero m´ aximo de el´etrons (como visto anteriormente). Se cada orbital comporta no m´ aximo dois el´etrons, temos ent˜ ao: 2 s p6 d10 f 14 ↑↓ Representa¸ca˜o do Orbital ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ 1 3 5 7 orbit. orbit. orbit. orbit. Pense um Pouco! 1. Vocˆe sabe quais s˜ ao os tipos de radia¸co˜es existentes e quais as caracter´ısticas particulares de cada uma? 2. Quais s˜ ao os efeitos causados pelas radi¸co˜es? E quais as princ´ıpais aplica¸co˜es das rea¸co˜es nucleares? Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. (ACAFE-99) A vitamina B12 , anti-anˆemica, cont´em ´ıons de cobalto Co+2 . Dado: Co(Z = 27). A configura¸ca˜o eletrˆ onica nos orbitais 4s e 3d do Co+2 , ´e: a) 4s0 , 3d8 . b) 4s2 , 3d7 . c) 4s2 , 3d5 . d) 4s1 , 3d6 . e) 4s0 , 3d7 . 2. (UDESC) Uma a´tomo com n´ umero atˆ omico igual a 38, apresentar´ a em seu antepen´ ultimo n´ıvel: a) 8 el´etrons. b) 18 el´etrons. c) 16 el´etrons. d) 10 el´etrons. e) 6 el´erons. 3. (FUVEST) De acordo com os postulados de Bohr ´e correto afirmar que: a) ( ) Os el´etrons se movem ao redor do n´ ucleo em o´rbitas bem definidas, que s˜ ao denominadas o´rbitas estacion´ arias; b) ( ) Movendo-se numa o´rbita estacion´ aria, o el´etron n˜ ao emite nem absorve energia; c) ( ) Ao saltar de uma o´rbita mais pr´ oxima do n´ ucleo para outra o´rbita mais afastada, o el´etron absorve energia; d) ( ) Quando o el´etron de um a´tomo salta de uma camada mais externa para outra mais pr´ oxima do n´ ucleo, h´ a emiss˜ ao de energia; e) ( ) No n´ ucleo de um a´tomo existem pr´ otons e nˆeutros. ´ 4. (UEL) Atomos neutros e ´ıons de um mesmo elemento qu´ımico tem, necessariamente, o mesmo n´ umero: a) atˆ omico; b) de massa; c) de oxida¸ca˜o; d) de carga; e) de isˆ omeros. 5. (CESGRARIO) Um a´tomo Q tem n´ umero atˆ omico dado ´ por (3x − 5). Um a´tomo R tem n´ umero de massa 6x. E s´ abido que R e Q s˜ ao is´ otopos. Assinale a distribui¸ca˜o eletrˆ onica de Q, no estado fundamental, em ordem crescente dos n´ıveis energ´eticos: a) [Ar] 4s2 , 4p6 4d8 . b) [Ar] 3d10 , 4s2 , 4p4 . c) [Ne] 3d10 , 4s2 , 4p4 . d) [Ar] 3d10 , 4s2 , 4p2 . e) [Ne] 3d10 , 4s2 , 4p6 . Qu´ımica A Aula 3 Liga¸co ˜es Qu´ımicas ´ Estabilidade dos Atomos Os gases nobres s˜ ao os u ´nicos encontrados na natureza na forma monoatˆ omica, ou seja, n˜ ao se ligam se, apresentam na forma de a´tomos. Isto significa que o a´tomo ´e totalmente est´ avel. Os gases nobres (Coluna 8A da Tabela Peri´ odica), com exce¸ca˜o do h´elio, apresentam oito el´etrons na camada de valˆencia. He(Z=2) Ne(Z=10) Ar(Z=18) Xr(Z=36) Xe(Z=54) Rn(Z=86) Gases Nobres 2 2 8 2 8 18 8 2 8 18 18 2 8 18 32 2 8 18 32 8 18 32 8 18 8 Camada de valˆencia ´e a camada eletrˆ onica mais externa. Pode receber ou fornecer el´etrons na uni˜ ao entre a´tomos. 60 Apostila do Curso Pr´e-Vestibular UDESC 2005 – M´ odulo I A valˆencia de um a´tomo ´e o n´ umero de liga¸co˜es que um a´tomo precisa fazer para adquirir a configura¸ca˜o de um g´ as nobre. Repare nos exemplos acima que o cloro possui sete el´etrons de valˆencia, enquanto que o ´ıon cloreto, oito. Teoria do Octeto Foi feita uma associa¸ca˜o entre a estabilidade dos gases nobres e o fato de possu´ırem 8 el´etrons na u ´ltima camada. Surgiu ent˜ ao a Teoria do Octeto: Para atingir uma situa¸ c˜ ao est´ avel, h´ a uma tendˆ encia dos ´ atomos para conseguir estrutura eletrˆ onica de 8 el´ etrons na camada de valˆ encia igual ao g´ as nobre de n´ umero atˆ omico mais pr´ oximo. Uma liga¸ca˜o covalente ´e aquela liga¸ca˜o qu´ımica formada pelo compartilhamento de um par de el´etrons entre dois a´tomos. A Estrutura de Lewis de um composto covalente ou de um ´ıon poliatˆ omico mostra como os el´etrons est˜ ao distribu´ıdos entre os a´tomos, de formas a mostrar a conectividade entre eles. No caso do metano, por exemplo, quatro el´etrons, um de cada hidrogˆenio, mais os quatro el´etrons de valˆencia do carbono, s˜ ao emparelhados na Estrutura, mostrando como cada a´tomo se conecta a outro por um par de el´etrons. No caso de a´tomos menores em n´ umero de el´etrons, a tendˆencia ´e alcan¸car o dueto, isto ´e, conseguir dois el´etrons ´ o caso do na u ´ltima camada, como o h´elio (Z = 2) : 1s2 . E hidrogˆenio e do l´ıtio. Classifica¸ c˜ ao dos Elementos Quanto a` Configura¸ca˜o Eletrˆ onica, podemos classificar os elementos qu´ımicos como: Metais: S˜ ao elementos que possuem menos de quatro el´etrons na camada de valˆencia. Doam el´etrons quando fazem liga¸co˜es qu´ımicas; N˜ ao-Metais: S˜ ao elementos que possuem mais de quatro el´etrons na camada de valˆencia. Recebem el´etrons quando fazem liga¸co˜es qu´ımicas; Figura 2.2: Configura¸ca ˜o da estrutura de Lewis para o metano. Ao inv´es de utilizarmos dois pontos para indicar o par de el´etrons que perpetuam a liga¸ca˜o covalente, podemos utilizar um tra¸co. Assim, o tra¸co ir´ a representar os dois el´etrons da liga¸ca˜o covalente. Semimetais: S˜ ao alguns elementos que ora comportam-se como metais ora como n˜ ao-metais, independente do n´ umero de el´etrons na camada de valˆencia; Hidrogˆ enio: N˜ ao tem classifica¸ca˜o, por´em sua tendˆencia ´e de ganhar um el´etron. Os elementos que possuem quatro el´etrons na camada de valˆencia podem ceder ou receber el´etrons nas liga¸co˜es. O carbono por exemplo, ter´ a comportamento de n˜ ao-metal, recebendo el´etrons. O sil´ıcio e o germˆ anio s˜ ao semimetais: ora cedem el´etros, ora recebem. Estruturas de Lewis Um s´ımbolo de Lewis ´e um s´ımbolo no qual os el´etrons da camada de valˆencia de um a´tomo ou de um ´ıon simples s˜ ao representados por pontos colocados ao redor do s´ımbolo do elemento. Cada ponto representa um el´etron. Por exemplo: (a) (b) Figura 2.1: Configura¸ca ˜o eletrˆ onica e estrutura de Lewis para o a ´tomo neutro de cloro (a) e para o ´ıon de cloro (b). Figura 2.3: Configura¸ca ˜o da liga¸ca ˜o covalente. Vamos representar na Figura (2.4) a estrutura de Lewis da a´gua. Dois hidrogˆenios s˜ ao ligados ao a´tomo de oxigˆenio central. Os el´etrons de liga¸ca˜o s˜ ao indicados pelas linhas entre o oxigˆenio e cada um dos hidrogˆenios. Os el´etrons remanescentes - dois pares - que constituem o octeto do oxigˆenio, s˜ ao chamados de n˜ ao-ligantes, por n˜ ao estarem envolvidos em liga¸co˜es covalentes. O primeiro passo para se desenhar uma estrutura de Lewis ´e determinar o n´ umero de el´etrons de valˆencia dos a´tomos que ser˜ ao conectados. Depois ´e necess´ ario determinar qual ´e o a´tomo central, e lig´ a-lo aos a´tomos perif´ericos por pares de el´etrons. Considere o di´ oxido de carbono CO2 carbono(C) → tem 4e− de valˆencia × 1 carbono = 4e− Qu´ımica A – Aula 3 61 aceit´ avel. “O carbono est´ a deficiente de el´etrons - ele tem s´ o quatro el´etrons em sua volta. Esta n˜ ao ´e uma estrutura de Lewis aceit´ avel”. • Se a camada de valˆencia do a´tomo central n˜ ao est´ a completa, use um par solit´ ario de um dos a´tomos da periferia para formar uma dupla liga¸ca˜o daquele a´tomo com o a´tomo central. Continue o processo de fazer m´ ultiplas liga¸co˜es dos a´tomos perif´ericos com o a´tomo central, at´e que a camada de valˆencia do a´tomo central esteja completa. ´ Figura 2.4: Estrutura de Lewis da Agua. oxigˆenio(O) → tem 6e− de valˆencia × 2 oxigˆenio = 12e− Existe um total de 16 e− para serem colocados na Estrutura de Lewis. Conecte o a´tomo central aos outros a´tomos na mol´ecula com liga¸co˜es simples. O carbono ´e o a´tomo central, os dois oxigˆenios s˜ ao ligados a ele; mais tarde iremos adicionar mais el´etrons para completar os octetos dos a´tomos perif´ericos. Figura 2.7: Constru¸ca ˜o da estrutura de Lewis do CO2 -2. Torna-se, Conecte o a´tomo central aos outros a´tomos na mol´ecula com liga¸co˜es simples. O carbono ´e o a´tomo central, os dois oxigˆenios s˜ ao ligados a ele; mais tarde iremos adicionar mais el´etrons para completar os octetos dos a´tomos perif´ericos. Figura 2.8: Constru¸ca ˜o da estrutura de Lewis do CO2 -3. O a´tomo central ainda est´ a deficiente de el´etrons, portanto compartilhe outro par. Figura 2.5: Estrutura do CO2 . At´e aqui foram utilizados quatro el´etrons dos 16 a` disposi¸ca˜o. Complete a camada de valˆencia dos a´tomos da periferia da mol´ecula. Figura 2.9: Constru¸ca ˜o da estrutura de Lewis do CO2 -4. Figura 2.6: Constru¸ca ˜o da estrutura de Lewis do CO2 -1. Torna-se, Foram utilizados todos os 16 el´etrons dispon´ıveis. Coloque quaisquer el´etrons remanescentes sobre o a´tomo central. “N˜ ao existem mais el´etrons dispon´ıveis nesse exemplo”. Certifique-se que vocˆe tenha utilizado do n´ umero correto de el´etrons na Estrutura de Lewis. Lembre-se que alguns elementos, como o enxofre, por exemplo, podem ampliar sua camada de valˆencia para al´em de oito el´etrons. • Se a camada de valˆencia do a´tomo central est´ a completa, vocˆe acaba de desenhar uma Estrutura de Lewis A melhor Estrutura de Lewis que pode ser escrita para o di´ oxido de carbono ´e: 62 Apostila do Curso Pr´e-Vestibular UDESC 2005 – M´ odulo I Existem trˆes tipos de liga¸co˜es qu´ımicas; 1. Iˆ onica; 2. Met´ alica; 3. Covalente. Figura 2.10: Constru¸ca ˜o da estrutura de Lewis do CO2 -5. Liga¸ c˜ ao Iˆ onica ou Eletrovalente A liga¸ca˜o iˆ onica ocorre quando um metal se liga a um n˜ ao metal ou ao hidrogˆenio. O metal doa el´etrons formando o c´ ation. O n˜ ao-metal ou o hidrogˆenio recebe el´etrons formando um aˆnion. Figura 2.11: Melhor estrutura de Lewis para o CO2 A consequˆencia da atra¸ca˜o entre os ´ıons positivos (c´ ations) e negativos (ˆ anions) ´e um agrupamento organizado de ´ıons, a que chamamos de cristal iˆ onico. Pense um Pouco! • Dˆe uma poss´ıvel aplica¸ca˜o para a mesma f´ ormula qu´ımica escrita de formas diferentes. Ou seja, qual ´e a utilidade de escrevermos a f´ ormula estrutural e eletrˆ onica de um mesmo elemento? • Os gases nobres tamb´em s˜ ao chamados de gases inertes? Explique. (a) (b) Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao Figura 2.1: Arranjo Atˆ omico de um Cristal Iˆ onico. 1. Indique a f´ ormula estrutural das seguintes mol´eculas: Dados: Cl (Z = 17), C (Z = 12), N (Z = 7), H (Z = 1), O (Z = 8). a) CCl4 b) N H3 c) CO2 d) HN O3 Exerc´ıcios Complementares 2. Dˆe as f´ ormulas estruturais e eletrˆ onicas das segiuntes mol´eculas, dados: H (Z=1), O (Z=8) e S (Z=16). a) H2 S b) SO2 c) SO3 d) HN O3 Qu´ımica A Aula 4 O cristal iˆ onico ´e representado por uma f´ ormula m´ınima, ou seja, o n´ umero m´ınimo de c´ ations e aˆnions necess´ arios para que ambas as cargas sejam neutralizadas. Por exemplo a F´ ormula M´ınima do sal de cozinha ´e dada por: N a Cl Esta estrutura de alta coes˜ ao de natureza el´etrica confere ao composto iˆ onico alto ponto de fus˜ ao. No estado s´ olido n˜ ao conduz eletricidade. Isso s´ o ocorre se os ´ıons estiverem livres, em solu¸ca˜o aquosa ou no estado fundido (l´ıquido). Montamos uma f´ ormula de composto iˆ onico colocando a` esquerda o c´ ation e a direita o aˆnion. Verificamos se as cargas positiva e negativa se anulam. Se as cargas se anularem, a f´ ormula ser´ a de um c´ ation para um aˆnion. Caso as cargas se anulem, usaremos o seguinte artif´ıcio: invertemos a carga do c´ ation para ´ındice do aˆnion e a carga do aˆnion para ´ındice do c´ ation: Ax+ B y− → Ay Bx Caracter´ısticas da Liga¸ c˜ ao Iˆ onica Liga¸co ˜es Qu´ımicas Como consequˆencia da tendˆencia dos a´tomos de formar sistemas eletrˆ onicos est´ aveis, pela doa¸ca˜o ou recebimento de el´etrons, os a´tomos se unem. • Forma¸ca˜o de ´ıons; • Transferˆencia de el´etrons; • Compostos s´ olidos a temperatura ambiente; Qu´ımica A – Aula 4 63 • Forma¸ca˜o de compostos cristalinos; • F´ ormula molecular: indica apenas o tipo e o n´ umero de a´tomos que formam uma mol´ecula. • Os compostos iˆ onicos quando em meio aquoso conduzem corrente el´etrica. O2 Liga¸ c˜ ao Met´ alica Liga¸ c˜ ao Dativa ou Coordenada Ocorre entre metais. Como sabemos, um metal tem tendˆencia de doar el´etrons formando c´ ations. A liga¸ca˜o met´ alica ocorre quando muitos a´tomos de um metal perdem el´etrons ao mesmo tempo, e os c´ ations formados se estabilizam pela ”nuvem” de el´etrons que fica ao redor. ´ o caso de liga¸ca˜o covalente que ocorre quando o par de E el´etrons compartilhado entre dois a´tomos prov´em apenas de um deles. Analisando um fio de cobre, excelente condutor de eletricidade e calor, encontraremos nos el´etrons livres que o material apresenta a explica¸ca˜o desta condutibilidade. Os ”n” a´tomos de cobre cedem seus el´etrons perif´ericos e se tornam c´ ations envoltos por muitos el´etrons livres. A liga¸ca˜o coordenada ´e indicadapor uma seta do a´tomo que oferece o par de el´etrons para o a´tomo que o aceita. Liga¸ c˜ ao Covalente ou Molecular Para que o a´tomo possa fazer uma liga¸ca˜o coordenada ele tem que possuir pares de el´etrons livres. O n´ umero m´ aximo de liga¸co˜es coordenadas que os n˜ aometais podem oferecer ´e: No caso do mon´ oxido de carbono, temos um bom exemplo: o oxigˆenio faz uma liga¸ca˜o dativa com o carbono, isto ´e, compartilha coordenadamente com ele seus pares eletrˆ onicos. Conforme podemos ver na Fig. (2.3): Liga¸ca˜o covalente ´e aquela formada como consequˆencia do compartilhamento de el´erons entre seus a´tomos. Haver´ a forma¸ca˜o de uma mol´ecula, no sentido em que os a´tomos se unem como ”socios” dos mesmos el´etrons. Por exemplo: o cloro apresenta 7 el´etrons na u ´ltima camada quando realizada a liga¸ca˜o covalente forma HCl. O par compartilhado ´e formado por dois el´etrons, um de cada a´tomo, compartilhado por ambos os a´tomos. Figura 2.3: Liga¸ca ˜o Dativa do CO. Orbitais Moleculares Para visualizarmos melhor as liga¸co˜es covalentes (´ atomos formando mol´eculas), estudaremos as liga¸co˜es sob o ponto de vista dos orbitais atˆ omicos formando orbitais moleculares. Figura 2.2: Par Eletrˆ onico Compartilhado. Ambos adquirem configura¸ca˜o eletrˆ onica est´ avel de g´ as nobre. Representa¸ c˜ ao Molecular H´ a diferentes maneiras de representar uma mol´ecula. Tomemos a mol´ecula de g´ as oxigˆenio, formada por dois a´tomos de oxigˆenio. Orbital molecular ´e a regi˜ ao em torno dos n´ ucleos de maior probabilidade de ser encontrado o par eletrˆ onico compartilhado. H´ a dois tipos de orbital molecular: Orbital Molecular σ (sigma), ou simplismente liga¸ca˜o σ, ´e aquele formado na interpenetra¸ca˜o de orbitais atˆ omicos segundo um eixo. Orbital Molecular π, ou simplismente liga¸ca˜o π, ´e aquele formado na interpenetra¸ca˜o de orbitais at˜ omicos p exclusivamente segundo os eixos paralelos. Exemplo • F´ ormula eletrˆ onica ou de Lewis: representa os el´etrons da u ´ltima camada dos a´tomos. • F´ ormula estrutural: cada par de el´etron compartilhado ´e representado por um tra¸co. O=O H2 (mol´ecula H : H ou H − H) O hidrogˆenio apresenta apenas um el´etron no orbital s, que sabemos ser esf´erico: 1s1 , e precisa de mais um el´etron para adquirir estabilidade. Quando ocorre a aproxima¸ca˜o de outro a´tomo de hidrogˆenio, o n´ ucleo positivo de um atrai a eletrosfera do 64 Apostila do Curso Pr´e-Vestibular UDESC 2005 – M´ odulo I outro. a) 6 e 2 b) 2 e 2 c) 4 e 2 d) 4 e 0 e) 0 e 4 Figura 2.4: Dois a ´tomos de H. Como consequˆencia dessa atra¸ca˜o, teremos a aproxima¸ca˜o resultando numa interpenetra¸ca˜o de orbitais chamada overlap. Overlap ´e a interpenetra¸ca˜o dos orbitais at˜ omicos formando um orbital molecular. Na forma¸ca˜o do overlap h´ a uma distˆ ancia ideal entre os n´ ucleos de cada a´tomo, onde a repuls˜ ao das cargas de memsmo sinal compensa a atra¸ca˜o das cargas de sinais diferentes. Figura 2.5: Overlap. No caso do H2 , H − H, temos orbital σ(s − s). A nota¸ca˜o σ(s − s) significa orbital molecular σ feito atrav´es de dois orbitais atˆ omicos do tipo s. Pense um Pouco! 3. (ACAFE) Incr´ıvel, mas 15% dog´ as metano existente na atmosfera prov´em do arroto dos bois, vacas, cabras e carneiros, contribuindo para o efeito estufa (aquecimento atmosf´erico). Assinale a alternativa que descreve os tipos de liga¸co˜es qu´ımicas encontradas neste g´ as: a) 2 iˆ onicas e 2 covalentes b) 2 liga¸co˜es dativas c) 4 liga¸co˜es duplas d) 2 sigmas e 2 pi e) 4 liga¸co˜es sigmas Exerc´ıcios Complementares 4. (ACAFE-99) Um metal alcalino terroso (M) apresenta dois el´etrons na sua camada de valˆencia. A alternativa que indica a f´ ormula de um o´xido e de cloreto desse metal, respectivamente ´e: a) M2 O − M2 Cl b) M2 O − M Cl c) M O2 − M Cl2 d) M O − M Cl2 e) M O − M Cl4 5. (UFSC) Na mol´ecula H − O − O − H, existe: a) nenhuma liga¸ca˜o iˆ onica b) trˆes liga¸co˜es covalentes c) trˆes liga¸co˜es sigmas d) trˆes liga¸co˜es iˆ onicas e) duas liga¸co˜es met´ alicas Qu´ımica A • Quais s˜ ao as principais utilidades das Liga¸co˜es Qu´ımicas na natureza? A Estrutura da Mat´ eria • Como os elementos qu´ımicos s˜ ao encontrados na natureza, ”puros ou misturados com outros elementos”? Propriedades Gerais Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. (ACAFE) O grupo de a´tomos que ´e encontrado na forma monoatˆ omica pelo fato de serem est´ aveis s˜ ao a) Halogˆenios b) Calcogˆenios c) Metais Alcalinos Terrosos d) Metais Alcalinos e) Gases Nobres 2. (ACAFE) O propadieno (H2 C = C = CH2 ) apresenta respectivamente quantas liga¸co˜es sigmas e liga¸co˜es pi? Aula 5 De acordo com a teoria cin´etica molecular, todas as formas de mat´eria s˜ ao compostas de part´ıculas pequenas e que se movem rapidamente. H´ a duas raz˜ oes principais por que os gases, l´ıquidos e s´ olidos diferem tanto uns dos outros. Uma ´e a rigidez do empacotamento das part´ıculas e outra ´e a intensidade das for¸cas atrativas entre elas. Podemos listar como propriedades influˆenciadas por estas duas raz˜ oes o segiunte: Compressibilidade Num g´ as, as mol´eculas est˜ ao bastante separadas, de forma que h´ a muito espa¸co v´ azio dentro do qual elas podem ser comprimidas, por isso os gases s˜ ao bastante compress´ıveis. Qu´ımica A – Aula 5 Entretanto, as mol´eculas num l´ıquido ou s´ olido est˜ ao rigidamente empacotadase h´ a muito pouco espa¸co v´ azio entre elas, sendo ent˜ ao virtualmente incompress´ıveis. Difus˜ ao Comparadas com as mol´eculas de um l´ıquido ou s´ olido, as mol´eculas de um g´ as se difundem rapidamente, uma vez que as distˆ ancias que elas se movem entre as colis˜ oes s˜ ao relativamente grandes. Em virtude de as mol´eculas num l´ıquido estarem t˜ ao pr´ oximas, a distˆ ancia m´edia que elas percorrem entre as colis˜ oes - o seu livre caminho m´edio - ´e muito pequena, onde estas sofrem bilh˜ oes de colis˜ oes antes de percorrer uma distˆ ancia muito grande e essas interup¸co˜esimpedem-nas de espalhar-se aatrav´es do l´ıquido. A difus˜ ao dentro dos s´ olidos ´e muito mais lenta que nos l´ıquidos. N˜ ao s´ o as mol´eculas est˜ ao fortemente compactadas como, tamb´em, s˜ ao mantidas rigidamente no mesmo lugar. Volume e Forma A propriedade mais o´bvia dos gases, l´ıquidos e s´ olidos ´e a forma como eles se comportam quando transferidos de um frasco para outro. Ambos, gases e l´ıquidos s˜ ao flu´ıdos; eles escoam e podem ser bombeados de um lugar para outro. Um s´ olido, por´em, n˜ ao ´e um flu´ıdo e mant´em tanto sua forma quanto seu volume. As for¸cas intermoleculares de um g´ as s˜ ao t˜ ao fracas que as mol´eculas podem facilmente superar essa for¸ca e expandir para encher o recipiente. O que n˜ ao acontece num s´ olido, cujas for¸cas atrativas mant´em as mol´eculas mais ou menos firmes num lugar, de modo que elas n˜ ao podem se mover umas em torno das outras. Tens˜ ao Superficial Num l´ıquido cada mol´ecula move-se sempre sob influˆencia das mol´eculas vizinhas. As mol´eculas na superf´ıcie de um certo recipiente sentem uma atra¸ca˜o na dire¸ca˜o do interior do l´ıquido. Para uma mol´ecula chegar a superf´ıcie ela deve superar esta atra¸ca˜o. Ou seja, a energia potencial deve aumentar, ent˜ ao deve-se realizar trabalho para lev´ a-las at´e a superf´ıcie. Portanto, tornar a superf´ıcie de um l´ıquido maior requer um gasto de energia e a quantidade de energia necess´ aria ´e ent˜ ao a tens˜ ao superf´ıcial. 65 For¸ cas de Atra¸ c˜ ao Inter-moleculares As atra¸co˜es dipolo-dipolo s˜ ao, normalmente, consideravelmente mais fracas do que as liga¸co˜e iˆ onicas ou covalentes. A sua for¸ca tamb´em diminui muito rapidamente a` medida que a distˆ ancia entre os dipolos aumenta, de forma que a distˆ ancia entre os dipolos aumenta, de forma que o seu efeito entre as mol´eculas bastante afastadas de um g´ as ´e muito menor do que entre mol´eculas fortemente compactadas num ´ por isso que as mol´eculas de um l´ıquido ou num s´ olido. E g´ as comportam-se quase como se n˜ ao houvesse atra¸ca˜o nenhuma entre elas. Pontes de Hidrogˆ enio Acontece entre mol´eculas muito polares, onde a diferen¸ca de eletronegatividade ´e muito acentuada, tendo H numa das extremidades da “ponte”. No estado l´ıquido h´ a pontes de hidrogˆenio entre mol´eculas de a´gua. Como h´ a movimento das mol´eculas, as pontes de hidrogˆenio se quebram e se restabelecem em seguida. No estado s´ olido as pontes de hidrogˆenio entre as mol´eculas de a´gua s˜ ao fixas e direcionadas segundo um aˆngulo de 104, 5◦ entre suas liga¸co˜es. Devido a` dire¸ca˜o das pontes de hidrogˆenio na a´gua s´ olida, ficam espa¸cos v´ azios entre as mol´eculas, respons´ aveis pelo aumento de volume ao congelar. For¸ ca de Van der Waals (ou de London) Essa for¸ca pode aparecer entre a´tomos de um g´ as nobre (por exemplo, h´elio l´ıquido) ou entre mol´eculas apolares (CH 4 , CO2 ). O gelo seco quando sublima, passa do estado s´ olido para o estado gasoso, rompendo as for¸cas de Van der Waals e liberando as mol´eculas das influˆencias das outras. S˜ ao as for¸cas intermoleculares, tipo Van der Waals, que justificam a possibilidade de liquefazer os gases nobres. As mol´eculas podem se unir atrav´es de polariza¸ca˜o induzida temporariamente. Os Gases Muitos gases s˜ ao capazes de sofrer rea¸co˜es qu´ımicas uns com outros. Observa¸co˜es experimentais feitas por Gay-Lussac formaram a base da Lei de Combina¸ c˜ ao dos Volumes A Lei de Combina¸ c˜ ao de Volumes Evapora¸ c˜ ao Num l´ıquido ou num s´ olido, assim como num g´ as, as mol´eculas est˜ ao constantemente sofrendo colis˜ oes, dando assim origem a uma distribui¸ca˜o de velocidades moleculares individuais e, evidentemente, de energias cin´eticas. se algumas dessas mol´eculas possu´ırem energia cin´etica suficiente para superar as for¸cas atrativas dentro do l´ıquido ou do s´ olido, elas poder˜ ao escapar atrav´es da superf´ıcie para o estado gasoso – elas evaporam. No l´ıquido existem trs fatores que influenciam na velocidade de evapora¸ca˜o: a temperatura, a a´rea superficial e a intensidade das atra¸co˜es superficiais. os volumes das substˆ ancias gasosas que s˜ ao produzidas e consumidas numa rea¸ c˜ ao qu´ımica est˜ ao numa raz˜ ao de n´ umeros inteiros pequenos, desde que os volumes sejam medidos nas mesmas condi¸ co ˜es de temperatura e press˜ ao. A importˆ ancia das observa¸co˜es de Gay-Lussac foi posteriormente reconhecida por Amadeo Avogadro. Ele propˆ os que agora ´e conhecido como princ´ıpio de Avogadro. O Princ´ıcpio de Avogadro sob condi¸ co ˜es de temperatura e press˜ ao constantes, 66 Apostila do Curso Pr´e-Vestibular UDESC 2005 – M´ odulo I volumes iguais de gases cont´ em n´ umeros iguais de mol´ eculas. Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao Uma vez que n´ umeros de iguais de mol´eculas significam n´ umeros iguais de mols, o n´ umero de mols de qualquer g´ as est´ a relacionado com o seu volume: 1. (FUVEST) Em uma amostra de 1, 15 g de s´ odio, o n´ umero de a´tomos existentes ser´ a igual a (N a = 23): a) 6 × 1022 b) 3 × 1023 c) 6 × 1023 d) 3 × 1022 e) 1023 V ∝n onde n ´e o n´ umero de mols do g´ as. Assim, a lei de GayLussac ´e facilmente compreeendida, uma vez que os volumes dos gases, reagentes e produtos, ocorrem nas mesmas raz˜ oes que os coeficientes na equa¸ca˜o balanceada. O Mol Sabemos que os a´tomos reagem para formar mol´eculas, mantendo entre si raz˜ oes simples de n´ umeros inteiros. Os a´tomos de hidrogˆenio e oxigˆenio, por exemplo, combinamse numa raz˜ ao de 2 para 1 a fim de formar a a´gua, H2 O. Entretanto ´e imposs´ıvel trabalhar com os a´tomos individualmente, devido a`s suas dimens˜ oes min´ usculas. Assim, em qualquer laborat´ orio da vida real, devemos aumentar o tamanho destas quantidades at´e o ponto em que possamos vˆe-las e pes´ a-las. Infelizmente, por exemplo, uma d´ uzia de a´tomos ou mol´eculas ´e ainda uma quantidade muito pequena para se trabalhar; deve-se, portanto, encontrar uma unidade maior ainda. A “d´ uzia de qu´ımico”chama-se mol (unidade mol). Ele ´e composto de 6, 022 × 1023 objetos. Ent˜ ao: 1 d´ uzia = 12 objetos 1 mol = 6, 02 × 1023 objetos O Volume Molar ´ o volume ocupado por um mol de qualquer g´ E as em condi¸co˜es normais de temperatura e press˜ ao (CNTP). CNTP: • temperatura de 0◦ C ou 273 K; • press˜ ao de 1 atm ou 760 mmHg). Verifica-se experimentalmente que o volume molar ´e de 22, 4 l (CNTP). Conclus˜ ao: M M g → 6, 02 × 1023 mol´eculas → 22, 4 l. Observe que 1 mol ≈ 602.000.000.000.000.000.000.000 Pense um Pouco! • Vocˆe tem no¸ca˜o de como funciona um freio de autom´ ovel? Ou que um freio tem em comum com o assunto que estamos tratando? • Dˆe exemplos de elementos qu´ımicos s´ olidos que evaporam, sem que haja fus˜ ao. 2. (ACAFE-00) Qual destas liga¸co˜es ´e mais fraca? a) Eletrovalente b) Covalente c) Ponte de hidrogˆenio d) Van der Waals e) Met´ alica 3. (PUC) As pontes de hidrogˆenio aparecem: a) quando o hidrogˆenio est´ a ligado a um elemento muito eletropositivo b) quando o hidrogˆenio est´ a ligado a um elemento muito eletronegativo c) em todos os compostos hidrogenados d) somente em compostos inorgˆ anicos e) somente em a´cidos de Arrhenius Exerc´ıcios Complementares 4. (Osec-SP) Tem-se 1 litro de He; 1 litro de H2 ; 1 litro de CO2 ; e 1 litro de N H3 , todos estes gases nas CN T P em recipientes separados. O recipiente que possui maior n´ umero de mol´eculas ´e o que cont´em: a) He b) H2 c) CO2 d) N H3 e) o n´ umero de mol´eculas ´e o mesmo em cada um dos quatro recipientes. 5. (PUC-RS) Os elevados pontos de ebuli¸ca˜o da a´gua, do a´lcool et´ılico e do fluoreto de hidrogˆenio s˜ ao explicados: a) atrav´es das pontes de hidrogˆenio intermoleculares b) pelas macromol´eculas formadas c) atrav´es de for¸cas de Van der Waals d) pelas liga¸co˜es covalentes dativas que se formam entre mol´eculas destes compostos e) atraes das pontes de higrogˆenio intramoleculares 6. (PUC) Qual a massa total da seguinte mistura: 0, 25 mol de oxigˆenio mais 3 × 1022 mol´eculas de oxigˆenio mais 3 g de oxigˆenio? Dado: M MO = 16 g. a) 11, 8 g b) 12, 6 g c) 23, 6 g d) 32 g e) 34 g Qu´ımica A – Aula 6 Qu´ımica A 67 Aula 6 A proporcionalidade pode ser transformada numa igualdade pela introdu¸ca˜o de uma constante de prporcionalidade. Assim, 1 P P V = constante V ∝ Teoria Cin´ etica dos Gases As mol´eculas de um g´ as ocupam o volume do recipiente que as cont´em. A energia que mant´em as mol´eculas de um g´ as em movimento ´e a energia cin´etica, que ´e diretamente proporcional a temperatura absoluta (Kelvin). Ec ∝ T onde Ec = energia cin´etica T = temperatura de Kelvin p 1 V1 = p 2 V2 Desta forma, a temperatura constante, se aumentarmos a press˜ ao, o volume diminui; se diminuirmos a press˜ ao o volume aumenta. Transforma¸ c˜ ao Isob´ arica (Lei de Charles) ` a press˜ ao constante, o volume de uma dada quantidade de um g´ as ´ e diretamente proporcional ´ a sua temperatura absooluta. G´ as Ideal Escrevendo esta Lei matematicamente, temos: Um g´ as ´e considerado perfeito (ideal) quando obedece a´s seguintes condi¸co˜es: V ∝T (2.2) • No estado gasoso o movimento das mol´eculas ocorre de maneira cont´ınua e ca´ otica, descrevendo trajet´ orias retil´ıneas; Transformando a proporcionalidade em igualdade e rearranjando, obtemos • O volume da mol´ecula ´e desprez´ıvel em rela¸ca˜o ao volume do recipiente que a cont´em; (2.3) • Uma mol´ecula n˜ ao sente a presen¸ca da outra (n˜ ao h´ a intera¸ca˜o, for¸cas de Van der Waals, entre as mol´eculas); • Os choques entre as mol´eculas, se ocorrerem, s˜ ao perfeitamente el´ asticos (a mol´ecula n˜ ao ganha nem perde energia cin´etica) V = constante T V1 V2 = T1 T2 Desta forma, se a press˜ ao ´e constante, a´ medida que aumentarmos a temperatura o volume ocupado pelo g´ as aumentar´ a; diminuindo a temperatura, o volume diminuir´ a. Transforma¸ c˜ ao Isoc´ orica, Isom´ etrica lum´ etrica (Lei de Charles-Gay Lussac) G´ as Real Um g´ as real se aproxima do comportamento de um g´ as perfeito a` medida que se torna mais rarefeito (diminui o n´ umero de mol´eculas) e se encontra a baixa press˜ ao e a alta temperatura. O estado de um g´ as ´e definido quando sabemos sua press˜ ao, temperatura, e volume Essas grandezas s˜ ao as vari´ aveis de estado de um g´ as e s˜ ao interdependentes. Se mantivermos constante uma de suas vari´ aveis, poderemos estudar de que maneira variam as outras. ou Isovo- a volume constante, a press˜ ao ´ e diretamente proporcional ` a temperatura. Matematicamente temos que: P ∝T Leis dos Gases Ideais (2.4) (2.5) ou tamb´em, P = constante T p2 p1 = T1 T2 (2.6) (2.7) Transforma¸ c˜ ao Isot´ ermica (Lei de Boyle-Mariotte) a uma temperatura constante, o volume ocupado por uma quantidade fixa de g´ as ´ e inversamente proporcional ` a press˜ ao aplicada. Isso pode ser expresso matematicamente como: V ∝ 1 P Se aumentarmos a temperatura, a press˜ ao aumentar´ a; se diminuirmos a temperatura, a press˜ ao diminuir´ a. Lei Combinada dos Gases As equa¸co˜es correspondentes a´s leis de Boyle-Mariotte e (2.1) Charles-Gay Lussac podem ser incorporadas em uma u ´nica 68 Apostila do Curso Pr´e-Vestibular UDESC 2005 – M´ odulo I equa¸ca˜o, que ´e u ´til para muitos c´ alculos. Esta ´e Press˜ ao parcial (P 0 ) ´e o produto da fra¸ca˜o molar pela press˜ ao totaldos gases. Pi V i Pf V f = Ti Tf (2.8) Da mesma forma que para as leis separadas, a lei combinada dos gases verifica-se somente se a quantidade de g´ as for constante. Onde o g´ as deve estar submetido a`s CN T P . Lei dos Gases Ideais Discutimos, assim, trˆes rela¸co˜es (2.1, 2.2, 2.5) de volume a que um g´ as idel obedece. Podemos combin´ a-las, para obter   1 V ∝n (T ) ou P   nT V ∝ P (2.9) 0 Pg´ as · Ptotal mistura as = Xg´ (2.14) Volumes Parciais Volume parcial ´e o volume que o g´ as ocuparia estando sozinho e sendo submetido a` press˜ ao total, na temperatura da mistura. O volume total ´e a soma dos volumes parciais de cada g´ as, na mistura. Esta afirmativa ´e conhecida como a lei de Amagat. O volume parcial (V) ´e dado pelo produto de fra¸ca˜o molar do g´ as pelo volume total da mistura. (2.10) 0 Vg´ as · Vtotal mistura as = Xg´ (2.15) Casos Particulares • Se n e T forem constantes na equa¸ca˜o (2.10) teremos a lei de Boyle-Mariotte; • Se n e P forem constantes na equa¸ca˜o (2.10) teremos a lei de Charles-Gay Lussac; • Se P e T forem constantes na equa¸ca˜o (2.10) teremos o Princ´ıpio de avogadro; A prporcionalidade na equa¸ca˜o (2.10) pode ser transformada numa igualdade, pela introdu¸ca˜o de uma constante de prporcionalidade, R, chamada de constante universal dos gases. Da´ı, temos: nRT P P V = nRT V = ou (2.11) (2.12) onde R = 8, 31J/mol · K. A equa¸ca˜o (2.12) ´e obedecida por apenas um g´ as ideal hipot´etico e ´e uma express˜ ao matem´ atica da lei dos gases ´ tamb´em chamada equa¸ca˜o de estado do g´ ideais. E as ideal, porque relaciona as vari´ aveis (P, V, n, T ) que especificam as propriedades f´ısicas do sistema. Lei das Press˜ oes Parciais de Dalton ´ simplismente a press˜ E ao que o g´ as exerceria se estivesse sozinho no recipiente, ocupando o volume total da mistura na mesma temperatura. Segundo as observa¸co˜es de John Dalton, a press˜ ao total ´e igual a` soma das press˜ oes parciais de cada g´ as, na mistura. Esta afirmativa ´e conhecida como a lei das press˜ oes parciais de Dalton que pode ser expressa por: PT = p a + p b + p c + · · · Mudan¸ cas de Estado F´ısico Uma substˆ ancia pura pode apresentar-se sob trˆes formas de agrega¸ca˜oda mat´eria: s´ olido, l´ıquido, gasoso (aceita-se o quarto estado da mat´eria: plasma). Cada fase depende das condi¸co˜es f´ısicas de press˜ ao e temperatura. Fus˜ ao e Solidifica¸ c˜ ao Na fase s´ olida, as mol´eculas de uma substˆ ancia est˜ ao fortemente ligadas entre si, formando um reticulado cristalino. Fornecendo calor a um s´ olido, as mol´eculas absorver˜ ao a energia, aumentando a amplitude de sua vibra¸ca˜o, rompendo o reticulado cristalino e passando para a fase l´ıquida, onde as mol´eculas est˜ ao ligadas entre si com menor intensidade do que na fase s´ olida. • A temperatura em que ocorre a passagem de fase s´ olida para a l´ıquida ´ e denominada ponto de fus˜ ao. • A temperatura em que ocorre a passagem de fase l´ıquida para a s´ olida ´ e denominada ponto de solidifica¸ca ˜o. • Nas substˆ ancias puras, o ponto de fus˜ ao e solidifica¸ c˜ ao coincidem, se a press˜ ao for mantida constante. Vaporiza¸ c˜ ao e Condensa¸ c˜ ao A vaporiza¸ca˜o ´e a passagem da fase l´ıquida para a gasosa. Existem trˆes maneiras de se efetuar a vaporiza¸ca˜o: (2.13) onde PT ´e a press˜ ao totalda mistura e pa , pb , pc s˜ ao as press˜ oes parciais dos gases a, b c. 1. Vaporiza¸ c˜ ao t´ıpica ou ebuli¸ c˜ ao: mudan¸ca de fase a determinada press˜ ao e temperatura. Por exemplo, a a´gua entra em ebuli¸ca˜o a 100 ◦ C e a` press˜ ao de 1 atm. Qu´ımica A – Aula 6 69 2. Evapora¸ c˜ ao: fˆenomeno que se observa a qualquer temperatura, atrav´es da superf´ıcie exposta ao meio amiente. Isso ocorre porque as mol´eculas com maior velocidade escapam atrav´es da superf´ıcie livre do l´ıquido. Ao ocorrer uma evapora¸ca˜o, a temperatura do l´ıquido diminue pois ao escaparem as mol´eculas com maior velocidade, diminue a energia cin´etica. Quanto maior a a´rea livre maior a evapora¸ca˜o. 3. Calefa¸ c˜ ao: fenˆ omeno que ocorre a temperaturas ´ obacima da temperatura normal de vaporiza¸ca˜o. E serv´ avel, por exemplo, ao se deixar cair uma gota d’´ agua numa chapa de metal, a uma temperatura acima de do ponto de vaporiza¸ca˜o. A condensa¸ca˜o ´e a passagem de uma substˆ ancia da fase gasosa para a l´ıquida. Ela pode ocorrer, tamb´em, a` temperatura ambiente. Por exemplo, ao se colocar a´gua gelada num copo, observa-se a condensa¸ca˜o do vapor de a´gua do ar na sua parede externa. Figura 2.3: Diagrama de fase da a ´gua. Para o di´ oxido de carbono (CO2 ), o ponto triplo ´e definido por: • temperatura: −56, 6 ◦ C • press˜ ao: 5 atm A a´gua tem o seu ponto triplo definido por: Para o di´ oxido de carbono (CO2 ), o ponto triplo ´e definido por: Figura 2.1: Mudan¸cas de estados: s´ olido, l´ıquido e g´ as. • temperatura: 0, 01 ◦ C • press˜ ao: 4, 58 mmHg Diagrama de Fases Colocando-se em um u ´nico diagrama, as curvas de equil´ıbrio entre as fases de uma substˆ ancia pura, tem-se o diagrama de fases. Sublima¸ c˜ ao Abaixo da temperatura do ponto triplo, existe uma curva denominada curva de subima¸ c˜ ao, que representa as condi¸co˜es de press˜ ao e temperatura nas quais uma substˆ ancia pode passar diretamente da fase s´ olida para fase gasosa ou vice-versa sem se transformar em l´ıquido. Pense um Pouco! • Por que dentro de uma panela de press˜ ao, ´e poss´ıvel manter-se a a´gua na fase l´ıquida acima dos 100 C ? Quais s˜ ao os beneficios que isso nos traz? ´ poss´ıvel ferver a´gua a` temperatura ambiente? Como? • E Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao Figura 2.2: Diagrama de fase t´ıpico. O ponto de equil´ıbrio entre as trˆes fases ´e denominado ponto triplo ou tr´ıplice (PT ). 1. (MACK-SP) Assinale a afirma¸ca˜o correta: a) O ponto de fus˜ ao e o ponto de ebuli¸ca˜o da a´gua aumentam com o aumento da press˜ ao. b) O ponto de fus˜ ao e o ponto de ebuli¸ca˜o da a´gua diminuem com o aumento da press˜ ao. c) O ponto de fus˜ ao da a´gua diminui e o ponto de ebuli¸ca˜o 70 da a´gua aumentam com o aumento da press˜ ao. d) O ponto de fus˜ ao da a´gua aumenta e o ponto de ebuli¸ca˜o da a´gua diminui com o aumento da press˜ ao. e) O ponto de fus˜ ao e o ponto de ebuli¸ca˜o da a´gua n˜ ao s˜ ao alterados com o aumento da press˜ ao. 2. (STA. CASA-SP) Quando vocˆe assopra a sua pele u ´mida de a´gua, sente que a pele esfria. Isto se deve ao fato de: a) o sopro arrasta ar mais frio que a pele. b) a pele est´ a mais fria do que a a´gua. c) a a´gua ´e normalmente mais fria do que o ar. d) o sopro ´e mais frio do que a a´gua. e) a a´gua absorve calor da pele para evaporar-se. 3. (ACAFE) Bolinhas de naftalina s˜ ao colocadas nos roupeiros para combater as tra¸cas pois elas danificam as roupas. Com o tempo as bolinhas diminuem de tamanho. A causa disso deve-se: a) a sua liquefa¸ca˜o. b) ao consumo da naftalina pelas tra¸cas. c) a sua condensa¸ca˜o. d) a sua fus˜ ao. e) a sua sublima¸ca˜o. Exerc´ıcios Complementares 4. (VUNESP) Indique a alternativa que indica um fenˆ omeno qu´ımico: a) Dissolu¸ca˜o de cloreto de s´ odio em a´gua. b) Fus˜ ao da aspirina. c) Destila¸ca˜o fracionada de ar l´ıquido. d) Corros˜ ao de uma chapa de ferro. e) Evapora¸ca˜o da a´gua do mar. 5. (ACAFE) Do petr´ oleo podemos extrair v´ arios materiais importantes para o homem, como a gasolina, o GLP, a parafina, o metano e outros. Sobre o petr´ oleo e seus derivados n˜ ao podemos afirmar: a) a gasolina ´e uma mistura de alcanos. b) GLP ´e a sigla para G´ as Liquefeito de Petr´ oleo e ´e basicamente uma mistura homogˆenea dos gases propano e butano. c) a parafina ´e uma mistura de alcanos superiores ou seja de grandes massas moleculares. d) o petr´ oleo ´e uma mistura heterogˆenea. e) o g´ as metano principal componente do g´ as natural, conhecido como g´ as do lixo, s´ o pode ser obtido a partir do petr´ oleo. (ACAFE) Algumas substˆ ancias em contato com a pele, nos d˜ ao uma sensa¸ca˜o de estarem frias. Dentre elas podemos destacar o ´eter comum. Isso ocorre por que: f) o ´eter ao cair na pele, evapora, e este ´e um processo exot´ermico. g) o ´eter ao cair na pele, evapora, e este ´e um processo endot´ermico. h) o ´eter reage endotermicamente com substˆ ancias da pele. i) o ´eter sublima. j) o ´eter ´e resfriado. Apostila do Curso Pr´e-Vestibular UDESC 2005 – M´ odulo I Qu´ımica A Aula 7 ´ Acidos e Bases ´ Acidos e Bases de Arrhenius Fun¸co˜es Qu´ımicas s˜ ao grupos de substˆ ancias com propriedades semelhantes. As fun¸co˜es inorgˆ anicas s˜ ao quatro: a´cidos, bases, sais e o´xidos. ´ Acidos s˜ ao compostos com sabor azedo (vinagre, frutas c´ıtricas), que reagem com bases formando sal e a´gua. Bases s˜ ao compostos de sabor adstringente (leite de magn´esia - M g(OH)2 ) que reagem com a´cidos dando sal e a´gua. ´ Acidos e Bases atuam sobre indicadores coloridos substˆ ancias que possuem duas colora¸co˜es, dependendo do meio em que se encontram. Indicador Tornassol Fenolftale´ına ´ Meio Acido Vermelho Incolor Meio B´ asico Azul Vermelho Defini¸ co ˜es de Arrhenius ´ Acido ´e qualquer composto molecular que em solu¸ca˜o aquosa sofre ioniza¸ca˜o liberando como u ´nico c´ ation o ´ıon H + ou H3 O+ (hidroxˆ onio ou hidrˆ onio). Exemplos HCl + H2 O → H + + Cl− HN O 3 + H2 O → H + + N O3− H2 SO4 + H2 O → 2H + + SO4−2 H3 P O4 + H 2 O → 3H + + P O4−3 Dizemos que o a´cido, que era um composto covalente, na presen¸ca de a´gua ionizou, e formou ´ıons. Grau de ioniza¸ca˜o (α) ´e a raz˜ ao do n´ umero de mol´eculas ionizadas para um total de mol´eculas inicialmente dissolvidas em a´gua. A for¸ca de um a´cido est´ a associada ao maior ou menor grau de ioniza¸ca˜o do mesmo. α= n.o de mol´eculas ionizadas total de mol´eculas dissolvidas Caracter´ısticas • Apresentam sabor azedo; • Tornam vermelho o papel tornassol azul e a fenolftale´ına de vermelha para incolor; • Conduzem corrente el´etrica em solu¸ca˜o aquosa; • Quando adicionados ao m´ armore ou carbonatos, produzem uma efervescˆencia com libera¸ca˜o de g´ as carbˆ onico. Qu´ımica A – Aula 7 71 Classifica¸ c˜ ao ´ Nomenclatura dos Acidos Em geral, pode-se classificar os a´cidos quanto a`: Hidr´ acidos Presen¸ ca de Oxigˆ enio ´ Nomenclatura: Acido (nome do elemento)´ıdrico. • Hidr´ acidos: n˜ ao apresentam oxigˆenio na mol´ecula; HCl, HCN, H2 S • Oxi´ acidos: apresentam HN O3 , H2 SO4 , H3 P O4 na mol´ecula. Quando ionizado, um hidr´ acido produz ao lado do c´ ation H + ou H3 O+ , um aˆnion com termina¸ca˜o eto. Conforme exemplo abaixo: ´ HCl: Acido Clor´ıdrico H + +Cl− : Cloreto. (na presen¸ca de H2 O) hidrogˆenio ioniz´ avel; Oxi´ acidos oxigˆenio N´ umero de Hidrogˆ enios Ioniz´ aveis • Mono´ acidos: apenas HCl, HCN, HN O3 • Di´ acidos: dois H2 S, H2 SO4 , H2 CO3 um hidrogˆenios ioniz´ aveis; • Tri´ acidos: trˆes hidrogˆenios ioniz´ aveis. H3 SO3 , H3 P O4 Mas tome cuidado: H3 P O2 → mono´ acido (um hidrogˆenio ioniz´ avel) H3 P O3 → di´ acido (dois hidrogˆenios ioniz´ aveis) Volatilidade • Vol´ atil: todos os hidr´ acidos; • Fixo: todos os oxi´ acidos. Estabilidade • Inst´ avel: s´ o existem dois a´cidos inst´ aveis; H2 CO3 → H2 O + CO2 H2 SO3 → H2 O + SO2 • Est´ aveis: todos com excess˜ ao dos a´cidos carbˆ onico e sulfuroso. For¸ ca ´ Nomenclatura: Acido  oso(menos oxigenado) ico(mais oxigenado) (nome do elemento) Conforme podemos ver no exemplo abaixo: ´ H2 SO3 : Acido Sulfuroso 2H + + SO3−2 : Sulfito. (na presen¸ca de H2 O) ´ H2 SO4 : Acido Sulf´ urico 2H + + SO4−2 : Sulfato. (na presen¸ca de H2 O) Bases Bases ou Hidr´ oxidos s˜ ao substˆ ancias que, ao serem dissolvidas em a´gua, sofrem dissocia¸ca˜o iˆ onica, originando o “ˆ anion”OH − , denominado hidroxila ou oxidrila. Os hidr´ oxidos s˜ ao compostos formados por um metal ou um ´ıon positivo, ligado a hidroxila. Observe abaixo a dissocia¸ca˜o iˆ onica de algumas bases em solu¸ca˜o aquosa: N aOH → N a+ + OH − F e(OH)3 → F e+3 + 3OH − N H4 OH → N H4+ + OH − Caracter´ısticas das Bases • Para Hidr´ acidos: – Fortes: HCl, HI, HBr – Moderado ou Semi-Forte: HF – Fracos: HCN, H2 S • Para Oxi´ acidos: m = N0 − NH+ – – – – – Fraco: quando m = 0; Moderado ou Semi-Forte: quando m = 1; Forte: quando m = 2; Muito Forte: quando m = 3. Exemplos: HCl → m = 0 fraco H2 CO3 → m = 1 moderado H2 SO4 → m = 2 forte HClO4 → m = 3 muito forte • Apresentam sabor amargo; • Reagem com os a´cidos produzindo sal; • Tornam azul o papel tornassol vermelho e a fenolftale´ına de incolor para vermelha; • Conduzem corrente el´etrica em solu¸ca˜o aquosa; • S˜ ao untuosas ao tato. Classifica¸ c˜ ao das Bases Classifica-se as bases quanto a`: N´ umero de Hidroxilas (OH − ) • Monobase: possui apenas uma hidroxila. KOH; Exemplo: 72 Apostila do Curso Pr´e-Vestibular UDESC 2005 – M´ odulo I • Dibase: possui apenas duas hidroxilas. Ca(OH)2 ; Exemplo: • Tribase: possui trˆes duas hidroxilas. Al(OH)3 ; Exemplo: • Tetrabase; possui apenas quatro hidroxilas. Exemplo: P b(OH)4 . Conceito de Lewis ´ Acido ´ toda esp´ecie qu´ımica (mol´ecula ou ´ıon) capaz de aceitar E um par de el´etrons atrav´es da liga¸ca˜o coordenada dativa. Base ´ Solubilidade em Agua • Sol´ uveis: bases formadas pelas fam´ılias 1A, 2A e N H4 OH; ´ toda esp´ecie qu´ımica (mol´ecula ou ´ıon) capaz de doar um E par de el´etrons atrav´es da liga¸ca˜o coordenada dativa. Exemplo • Insol´ uveis: todas as demais bases. For¸ ca • Forte: quando a base ´e dissolvida em a´gua, ocorre dissocia¸ca˜o iˆ onica quase que totalmente. Bases de metais alcalinos (1A) e de metais alcalinos terrosos (2A); ´ AlCl3 (Acido) + : Cl− (Base) → AlCl4− Comparando Coceitos • Lewis: o mais geral; • Fraca: todas as demais bases. ´ Outros Conceitos de Acidos e Bases • Br¨ onnsted-Lowry: bem amplo; • Arrhenius: o mais limitado. • Um a´cido ou base de Arrhenius ser´ a tamb´em de Br¨ onnsted-Lowry e de Lewis; Conceitos de Br¨ onsted-Lowry ´ Acido ´ toda esp´ecie qu´ımica (mol´ecula ou ´ıon) capaz de doar um E pr´ oton na forma de H + . • Um a´cido ou base de Br¨ onnsted-Lowry pode ou n˜ ao ser de Arrhenius, mas ser´ a de Lewis; • Existem a´cidos e bases de Lewis que n˜ ao s˜ ao de Br¨ onnsted-Lowry nem de Arhenius. Base ´ toda esp´ecie qu´ımica (mol´ecula ou ´ıon) capaz de receber E um pr´ oton na forma de H + . ´ o c´ E alculo da quantidade de reagentes necess´ arios e de produtos obtidos numa determinada rea¸ca˜o qu´ımica. Baseia-se nas Leis de Lavoisier (conserva¸ca˜o das massas), Proust (propor¸ca˜o das massas) e Gay Lussac (propor¸ca˜o de volumes). Exemplos ´ HCl(Acido) + H2 O(Base) + ´ H3 O (Acido) + Cl− (Base) ´ N H3 (Acido) + H2 O(Base) ´ N H4 (Acido) + OH − (Base) Estequiometria (2.16) (2.17) Fundamenta-se no fato de que a prpor¸ca˜o de mols entre reagentes e produtos numa rea¸ca˜o ´e constante, dada pelos coeficientes estequiom´etricos. Outro fundamento do c´ alculo estequiom´etrico ´e a defini¸ca˜o de mol. ´ Par Conjugado Acido–Base Chamamos de par conjugado as esp´ecies qu´ımicas que diferem entre si por um H + . No exemplo (2.16) temos o seguinte par conjugado a´cido-base:  HCl − (´ acido forte)    (grande facilidade doar el´etrons) Cl− − (base fraca)    (pequena facilidade de receber el´etrons) Isso explica por que a rea¸ca˜o tende para o sentido direito, ou seja, da esquerda para direita. O mol • Pesa: MMg (MM=Massa Molecular); • Possui: 6, 02 × 1023 mol´eculas; • Ocupa: 22, 4 l (g´ as nas CNTP). Exemplo Dada a rea¸ca˜o de combust˜ ao da acetona: C3 H6 O → CO2 + H2 O Qu´ımica A – Aula 8 Balanceando a equa¸ca˜o pelo m´etodo das tentativas, chegaremos aos seguintes coeficientes menores e inteiros: 1 C3 H6 O (1 mol) + 4 O2 (4 mols) → 3 CO2 (3 mols) + 3 H2 O (3 mols) Pense um Pouco! • O que vocˆe entende por chuva a´cida? Ela pode trazer algum malef´ıcio a` vida humana? • Enumere algumas substˆ ancias a´cidas e b´ asicas de uso di´ ario. 73 a) HN O3 b) H2 SO4 c) H3 P O4 d) HCl e) HCN O 5. O amon´ıaco usado para fins de limpeza ´e uma solu¸ca˜o aquosa de amˆ onia que cont´em ´ıons: a) hidroxila b) sulfato c) nitrato d) c´ alcio e) s´ odio 6. Temos a seguinte equa¸ca˜o: 2O3 → 3O2 Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. Um tanque de autom´ ovel est´ a cheio com 60 litros de a´lcool hidratado (96% a´lcool). A densidade ´e de 0, 9 g/ml. Dada sua equa¸ca˜o de combust˜ ao completa 1C2 H5 OH + 3O2 → 2CO2 + 3H2 O indique: a) a massa da a´gua obtida ao queimar-se todo o a´lcool do tanque; b) o volume de g´ as carbˆ onico que sai do escapamento, supondo combust˜ ao completa. 2. (ACAFE) Em regi˜ oes industriais o anidrido sulfuroso (SO2 ), resultante da queima de combust´ıveis f´ osseis, d´ a origem a` chuva a´cida na atmosfera devido a sua oxida¸ca˜o e contato com a precipita¸ca˜o pluviom´etrica. Em rela¸ca˜o a estas regi˜ oes, a alternativa falsa ´e: a) S˜ ao Paulo e Cubat˜ ao s˜ ao exemplos de cidades onde a incidˆencia de chuvas a´cidas ´e bastante acentuada; b) Ocorre uma oxida¸ca˜o dos port˜ oes de ferro com uma intensidade bem maior que em regi˜ oes distantes das regi˜ oes industriais; c) As planta¸co˜es s˜ ao bastante afetadas, pois a chuva diminui o pH do solo, retardando o crescimento das mesmas; d) A vegeta¸ca˜o pode vir a secar completamente, caso o per´ıodo das chuvas seja prolongado; e) N˜ ao ´e recomendada a utiliza¸ca˜o de port˜ oes de alum´ınio porque este ´e atacado pela chuva a´cida. Os n´ umeros 2 e 3 que aparecem ao lado esquerdo da equa¸ca˜o representam, respectivamente: a) coeficiente estequiom´etrico e n´ umero de a´tomos da mol´ecula b) coeficiente estequiom´etrico e n´ umero de mol´eculas c) n´ umero de mol´eculas e coeficiente estequiom´etrico d) n´ umero de a´tomos da mol´ecula e coeficiente estequiom´etrico e) n´ umero de a´tomos da mol´ecula e n´ umero de mol´eculas Qu´ımica A Aula 8 Solu¸co ˜es Qu´ımicas Concentra¸ c˜ ao Vocˆe j´ a reparou, por exemplo, que numa dada quantidade de a´gua podemos dissolver quantidades menores ou maiores de sal comum, desde que evidentemente, n˜ ao ultrapassemos o ponto de satura¸ca˜o. Pois bem, chama-se concentra¸ c˜ ao de uma solu¸ca˜o a toda e qualquer maneira de expressar a propor¸ca˜o existente numa dada solu¸ca˜o. Usaremos a seguinte conven¸ca˜o: ms → massa do soluto msv → massa do solvente 3. (FUVEST) Um elemento met´ alico M forma um cloreto de f´ ormula M Cl3 . A f´ ormula de seu sulfato ´e: a) M2 SO4 b) M SO4 c) M2 (SO)3 d) M (SO)4 e) M (SO)3 T´ıtulo τ Exerc´ıcios Complementares ´ o quociente de massa do soluto pela massa total da solu¸ca˜o E (soluto + solvente). 4. (COMVESUMC) O a´cido que corresponde a` classifica¸ca˜o mono´ acida, oxi´ acido, e tern´ ario ´e: onde mt → massa do solu¸ca˜o mt = ms + msv T = ou ms msv (2.18) (2.19) 74 Apostila do Curso Pr´e-Vestibular UDESC 2005 – M´ odulo I τ= ms ms + msv (2.20) ´ a massa molar do soluto dividida pela carga total do E c´ ation ou do aˆnion de uma substˆ ancia. sendo o t´ıtulo uma grandeza adimensional. Porcentagem em Massa P E= ´ o quociente da massa do soluto (multiplicado por 100) E pela massa total da solu¸ca˜o (soluto + solvente). ms P = × 100% mt Equivalente-Grama M → massa molar x → carga do a´tion ou aˆnion Para um a´cido: x → no de H + (2.21) (2.22) Para um base: x → no de OH − ´ o quociente da massa do soluto (emgramas), pelo volume E da solu¸ca˜o (emlitros). ms V N´ umero de Equivalentes-Gramas Corresponde a massa da amostra pelo equivalente-grama da substˆ ancia. Concentra¸ c˜ ao Comum C C= (2.23) onde a rela¸ca˜o entre a concentra¸ca˜o comum, t´ıtulo e densidade da solu¸ca˜o ´e NE = ms E (2.28) Normalidade ´ o n´ E umero de equivalentes-gramas do soluto dividido pelo volume da solu¸ca˜o em litros. N= C = d · τ · 1000 (2.27) sendo onde a rela¸ca˜o entre porcentagem em massa e t´ıtulo ´e P = τ × 100% M x (2.24) NE V (2.29) Observa¸ c˜ ao: a melhor maneira de se calcular a normalidade ´e a partir da molaridade, usando a express˜ ao: Onde: N =M ·x C → Concentra¸ca˜o Comum (g/l) d → Densidade (g/ml) τ → T´ıtulo (2.30) Resumo das Principais Equa¸ co ˜es Rela¸ co ˜es das Massas Molaridade M m = m1 + m2 Concentra¸ca˜o em M ol/l ou Molaridade M ´e o quociente do n´ umero de mols do soluto pelo volume da solu¸ca˜o (em litros). Sendo: N´ umero de Mols n1 = ns → n´ umero de mols do soluto d → massa do soluto (g) Ms → massa molar do soluto (g) V → volume da solu¸ca˜o (l) Densidade M → molaridade (mols) d= m V T = m1 m T´ıtulo M= ns V (2.25) ns = ms Ms (2.26) onde m1 mol1 Porcentagem em Massa P = 100 · m1 m Qu´ımica B – Aula 1 75 Concentra¸ c˜ ao (g/l) C= m1 V M= n1 V Molaridade evaporado completamente para a produ¸ca˜o de 5 kg de sal de cozinha ´e aproximadamente: a) 12 l b) 25 l c) 40 l d) 200 l e) 430 l Molalidade (mol/kg) de solvente W = n1 m2 Exerc´ıcios Complementares Concentra¸ c˜ ao em Equivalentes-Gramas N= Ne1 V N´ umero de Equivalentes-Gramas Ne1 = m E Equivalentes-Gramas mol E= x Pense um Pouco! • Pense em poss´ıveis aplica¸co˜es dos conceitos apresentados at´e aqui, referentes a solu¸co˜es e cite alguns exemplos. • Se fervermos uma solu¸ca˜o de a´gua+sal, e a a´gua for evaporando, o que acontese com as propriedades da solu¸ca˜o (M , τ , P , etc)? Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. (ACAFE) A massa de BaCl2 necess´ aria para preparar 25 litros de solu¸ca˜o 0, 1 M deste sal ser´ a: a) 208 g b) 520 g c) 260 g d) 416 g e) 71 g 2. (ACAFE) A ur´eia, N H2 CON H2 , ´e um produto do metabolismo de prote´ınas. Que massa de ur´eia ´e necess´ aria para preparar 500 ml de uma solu¸ca˜o 0, 20 M ? a) 5, 1 g b) 12, 0 g c) 18, 0 g d) 24, 0 g e) 6, 0 g 3. (ACAFE) A concentra¸ca˜o de N aCl na a´gua do mar ´e de 0, 43 mol/l. O volume em l, de a´gua do mar que deve ser 4. (ACAFE) Para uma solu¸ca˜o a 20 % em massa e densidade 4 g/ml, calcule a concentra¸ca˜o em g/l. a) 80 g/l b) 800 g/l c) 8 g/l d) 8000 g/l e) 400 g/l 5. (ACAFE) Uma gota de a´gua ocupa um volume aproximado de 0, 0500 ml. Sabendo-se que a densidade da a´gua ´e 1, 00 g/cm3 . O n´ umero de mol´eculas por gota de a´gua ser´ a: a) 1, 67 × 1021 b) 1, 67 × 1023 c) 6, 00 × 1023 d) 6, 00 × 1021 e) 3, 00 × 1021 6. Uma solu¸ca˜o de AgN O3 a 1, 00 % em a´gua ´e utilizada para tratar os olhos de rec´em-nascidos. Sendo a densidade da solu¸ca˜o 1, 08 g/ml, a sua molaridade em mol/l ´e: a) 1, 0 mol/l b) 0, 10 mol/l c) 20 mol/l d) 0, 5 mol/l e) 0, 06 mol/l Qu´ımica B Aula 1 O que ´ e Qu´ımica? Qu´ımica ´e a ciˆencia que estuda a natureza da mat´eria, suas propriedades, suas transforma¸co˜es e a energia envolvida nesses processos. A qu´ımica est´ a presente em toda mat´eria orgˆ anica e inorgˆ anica, natural e artificial e tem contato di´ ario e direto com o homem. 76 Apostila do Curso Pr´e-Vestibular UDESC 2005 – M´ odulo I vez mais gerais, que nos permitam prever e controlar os fenˆ omenos futuros. Observa¸ c˜ ao → Hip´ oteses → Experimenta¸ c˜ ao → Medi¸ c˜ ao → Leis experimentais → Modelo cient´ıfico Fenˆ omenos Qu´ımicos e F´ısicos Fenˆ omeno ´e qualquer acontecimento da natureza. Quando ocorre um fenˆ omeno, uma transforma¸ca˜o, h´ a altera¸ca˜o no sistema do estado inicial ao estado final. Um Pouco de Hist´ oria... Podemos dizer que tudo come¸cou com o homem primitivo, quando ele aprendeu a “produzir o fogo”, a coser seus alimentos, a fazer tintas para se pintar, a usar plantas como rem´edio para suas doen¸cas, etc. No come¸co da era crist˜ a, surgiram os chamados alquimistas, que sonhavam em descobrir o “elixir da longa vida”, aperfei¸coaram t´ecnicas de metalurgia, introduziram a qu´ımica medicinal, sintetizaram v´ arias substˆ ancias, isolaram outras, al´em de terem registrado um grande n´ umero de experimentos em suas observa¸co˜es. A partir do s´eculo XVII, a ciˆencia se transforma, tornandose mais experimental e menos filos´ ofica. Dentre os cientistas com essa nova proposta, destacam-se o inglˆes Robert Boyle(1627-1691)- com seus estudos sobre o comportamento dos gases, a distin¸ca˜o entre mistura e “combina¸ca˜o”, e o francˆes Antoine Laurent Lavoisier (1743-1794) publicou (Tratado elementar de Qu´ımica) que estabeleceu um marco na qu´ımica moderna, no qual podemos destacar o Princ´ıpio da Conserva¸ca˜o da Massa, a descoberta do elemento oxigˆenio e sua an´ alise quantitativa da composi¸ca˜o da a´gua. Por seu trabalho, Lavoisier ´e considerado o “pai da Qu´ımica”. A Importˆ ancia da Qu´ımica Podemos dizer que tudo a` nossa volta ´e qu´ımica, pois todos os materiais que nos cercam passaram ou passam por algum tipo de transforma¸ca˜o. A qu´ımica proporciona progresso, desenvolvimento e atrav´es do uso dela que suprimos as necessidades: O uso de materiais de limpeza e higiene, roupas de fios artificiais, desenvolvimento da ind´ ustria farmacˆeutica, fertilizantes e pesticidas para planta¸ca˜o, produtos industrializados cuja obten¸ca˜o depende de transforma¸co˜es qu´ımicas como pl´ asticos, vidros, tintas, cimento etc. Figura 2.1: O pai da Qu´ımica: Lavoisier (1743-1794) Fenˆ omeno F´ısico ´ qualquer transforma¸ca˜o sofrida por um material sem que E ocorra altera¸ c˜ ao de sua constitui¸ca˜o ´ıntima de seus constituintes. Ex: o amassar do papel, evapora¸ca˜o da a´gua, quebra de um objeto. Fenˆ omeno Qu´ımico ´ qualquer transforma¸ca˜o sofrida por um material de modo E que haja altera¸ c˜ ao na sua constitui¸ca˜o ´ıntima de seus constituintes. Ex: oxida¸ca˜o do ferro (forma¸ca˜o da ferrugem), apodrecimento de um alimento. Pense um Pouco! M´ etodo Cient´ıfico Desenvolvido por Galileu Galilei o m´etodo cient´ıfico ´e a base ¯ de toda a Ciˆencia, pois sintetiza o conjunto de atividades que visam observar, experimentar, explicar e relacionar os fenˆ omenos da natureza, criando leis, teorias e modelos cada • Fatos comuns envolvendo materiais e transforma¸co˜es qu´ımicas s˜ ao de conhecimento recente ou antigo? • Quais as atividades do seu dia em que a qu´ımica est´ a presente? Qu´ımica B – Aula 2 Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. (U.E.CE) Assinale a alternativa correta: a) Oxida¸ca˜o do ferro ´e um fenˆ omeno f´ısico b) Fus˜ ao do chumbo ´e um fenˆ omeno qu´ımico. c) Combust˜ ao da madeira ´e um fenˆ omeno qu´ımico. d) Queima do papel ´e um fenˆ omeno f´ısico. 2. (UFSC) Indique na rela¸ca˜o abaixo os fenˆ omenos f´ısicos (F) e os fenˆ omenos qu´ımicos (Q). a) ( ) Queima da gasolina nos motores dos carros b) ( ) Digest˜ ao dos alimentos ingeridos c) ( ) Forma¸ca˜o de ferrugem d) ( ) Quebra de um objeto e) ( ) Enfiar um prego na madeira f) ( ) Derretimento de um iceberg 3. (UFPR) Aquecer uma barra de ferro at´e o ponto de fus˜ ao, recolher o l´ıquido em uma forma esf´erica, transformando a barra em uma bola de ferro, ´e exemplo de fenˆ omeno: a) Qu´ımico, pois altera a forma da barra de ferro. b) F´ısico, pois a substˆ ancia continua sendo ferro. c) F´ısico-qu´ımico, pois h´ a altera¸ca˜o na forma da substˆ ancia. d) N˜ ao ´e exemplo de fenˆ omeno. Exerc´ıcios Complementares 4. (F.E.-SP) Sejam os seguintes fenˆ omenos: I. sublima¸ca˜o da naftalina, II. forma¸ca˜o da ferrugem, III.queima do a´lcool comum, IV.fus˜ ao do gelo. S˜ ao qu´ımicos: a) todos b) nenhum c) somente II e III d) somente I e III e) somente II e IV 5. (MACKENZIE-SP) I. Fus˜ ao do gelo, II. Sublima¸ca˜o do iodo, III. Digest˜ ao dos alimentos, IV. Queima de madeira. S˜ ao exemplos de fenˆ omenos: a) I e II qu´ımicos b) I e IV f´ısicos c) II e III f´ısicos d) II e IV qu´ımicos e) III e IV qu´ımicos 6. (UDESC) Aquecendo uma fita de magn´esio at´e a combust˜ ao, notamos o desprendimento de fuma¸ca, restando um p´ o branco. Isso ´e exemplo de fenˆ omeno: a) F´ısico, pois alterou a estrutura do magn´esio. b) Qu´ımico, pois houve a forma¸ca˜o de novas substˆ ancias. c) F´ısico, pois podemos juntar o p´ o branco e a fuma¸ca, recuperando o magn´esio. d) N˜ ao ´e exemplo de fenˆ omeno. 77 Qu´ımica B Aula 2 Mat´ eria e Energia Mat´ eria ´e tudo aquilo que tem massa e ocupa lugar no espa¸co, ou seja, tˆem volume. Corpo ´e qualquer por¸ca˜o limitada da mat´eria. Se uma por¸ca˜o de mat´eria se presta a um certo uso, ela ´e chamada de objeto ou sistema. Durante a queima de uma vela (mat´eria), ela se desgasta, produzindo fuma¸ca (mat´eria: fuligem e gases) e liberando energia (luz: energia luminosa; calor: energia calor´ıfica). Desse modo, podemos conceituar energia como tudo aquilo que pode modificar a estrutura da mat´eria, provocar ou anular movimentos e, ainda, iluminar aquecer e resfriar pode at´e causar sensa¸co˜es. Princ´ıpio da conserva¸ca˜o de mat´eria e energia: A mat´eria e energia n˜ ao podem ser criadas nem destru´ıdas; podem somente ser transformadas. Lei da Conserva¸ c˜ ao da Massa ”A soma das massas dos reagentes ´ e igual a soma das massas dos produtos”. Ou ainda, ”Na natureza, nada se cria, nada se perde; tudo se transforma”. Estados da Mat´ eria Existem v´ arios tipos de mat´eria e cada um ´e chamado de substˆ ancias que podem se apresentar num dos trˆes estados f´ısicos: S´ olido (S) A substˆ ancia apresenta forma e volume constantes (part´ıculas fortemente unidas, bem arrumadas e com movimento vibrat´ orio discreto); L´ıquido (L) A substˆ ancia apresenta forma vari´ avel e volume constante (part´ıculas levemente unidas, havendo certa liberdade de movimento); Gasoso (G) A substˆ ancia apresenta forma e volume variados (part´ıculas livres umas das outras, havendo total liberdade de movimento); 78 Apostila do Curso Pr´e-Vestibular UDESC 2005 – M´ odulo I Mudan¸ cas de Estado O princ´ıpio da incerteza, de Heisenberg, diz que: • Fus˜ ao (S → L): a substˆ ancia funde a` temperatura fixa (ponto de fus˜ ao) a uma certa press˜ ao. Ex.: o gelo funde a` 0◦ C ao n´ıvel do mar. ´ imposs´ıvel se determinar simultanea“E mente a posi¸ca˜o e a velocidade de um el´etron.” • Solidifica¸ c˜ ao (L → S): a substˆ ancia solidifica a` uma temperatura fixa igual ao ponto de fus˜ ao, j´ a que o processo ´e inverso ao da fus˜ ao. Ex.: o congelamento da a´gua tamb´em ocorre a` 0◦ C ao n´ıvel do mar, quando a temperatura est´ a baixando; Com base nesse princ´ıpio, criou-se modernamente a id´eia de orbital, como sendo a regi˜ ao onde h´ a grande possibilidade (probabilidade) do el´etron ser encontrado. Na pr´ atica, podemos pensar no el´etron como uma “nuvem” que circunda o n´ ucleo. • Vaporiza¸ c˜ ao (L → G): ´e a passagem de uma substˆ ancia do estado l´ıquido para o estado de g´ as, que ocorre quando suas mol´eculas atingem o seu chamado ponto de ebuli¸ca ˜o. Pode ocorrer de trˆes modos: 1. Evapora¸ca ˜o: ocorre a` temperatura ambiente ´e lenta e espontˆ anea (ex: a a´gua de um lago evapora com o calor do sol); 2. Ebuli¸ca ˜o: ocorre quando fornecemos calor ao l´ıquido, ´e r´ apida e violenta (ex: uma chaleira d’´ agua fervendo); 3. Calefa¸ca ˜o: ocorre quando se borrifa um l´ıquido numa chapa aquecida acima do seu ponto de ebuli¸ca˜o (ex.: pingar uma gota d’´ agua numa chapa de ferro muito quente). • Condensa¸ c˜ ao G → L: a substˆ ancia no estado gasoso ´e resultado de um l´ıquido vaporizado que, ao sofrer um resfriamento, retorna ao estado l´ıquido por condensa¸ca˜o. (ex: got´ıculas de a´gua se formam na tampa de uma chaleira). Outro processo similar ´e a Liquefa¸ c˜ ao: ´e a condensa¸ca˜o de uma substˆ ancia que em condi¸co˜es ambientes, ´e um g´ as que ao comprimi-la (aumentar a press˜ ao) passa para o estado l´ıquido (ex.: o g´ as de cozinha ´e comprinido num botij˜ ao e se liquefaz – g´ as liquefeito de petr´ oleo (GLP)). • Sublima¸ c˜ ao S → G: a substˆ ancia passa da forma s´ olida diretamente para o estado gasoso (ex: naftalina, iodo, cˆ anfora). ´ Part´ıculas e Atomos Toda a mat´eria conhecida ´e formada por trˆes tipos de part´ıculas elementares fundamentais: • Pr´ oton: part´ıcula massiva que possui uma carga el´etrica elementar positiva (+e) e participa da forma¸ca˜o do n´ ucleo dos a´tomos; • Nˆ eutron: part´ıcula tamb´em massiva que n˜ ao possui carga el´etrica, mas desempenha um importante papel na estrutura e estabilidade interna do n´ ucleo dos a´tomos, reduzindo a repuls˜ ao coulombiana entre os pr´ otons; • El´ etron: part´ıcula muito leve que possui uma carga elementar negativa (−e) e circula o n´ ucleo atˆ omico, formando uma esp´ecie de nuvem (orbital). No seu movimento ao redor do n´ ucleo, apresenta um “comportamento duplo” de part´ıcula e onda; da´ı dizer-se que a natureza do el´etron ´e a de uma part´ıcula-onda. Elementos e Substˆ ancias Todos as substˆ ancias encontradas na natureza s˜ ao constitu´ıdas por combina¸co˜es de a´tomos, que por sua vez, s˜ ao as estruturas f´ısico-qu´ımicas est´ aveis elementares. • Elemento qu´ımico: ´e o conjunto de todos os a´tomos quimicamente iguais. • Substˆ ancia Simples: s˜ ao substˆ ancias formadas por a´tomos de um amesmo mesmo elemento qu´ımico, e que por a¸ca˜o de agentes f´ısicos n˜ ao se decomp˜ oe, e portanto, n˜ ao forma outras substˆ ancias. Exemplos: H, O, O3 . Chama-se de alotropia o fenˆ omeno pelo qual um u ´nico elemento qu´ımico forma duas ou mais substˆ ancias simples diferentes. Exemplo: o carbono pode ser encontrado na natureza em duas formas diferentes: o grafite e o diamante. • Substˆ ancias Compostas: s˜ ao formadas por a´tomos de dois ou mais elementos qu´ımicos diferentes, e que por a¸ca˜o de agentes f´ısicos, se decomp˜ oem formando duas ou mais substˆ ancias novas. Exemplos: a´gua + eletricidade → g´ as oxigˆenio + g´ as hidrogˆenio. Sistemas e Misturas Para acilitar o estudo da Qu´ımica definimos: • Sistema: ´e uma parte do universo f´ısico que cont´em ou n˜ ao mat´eria, cujas propriedades est˜ ao sob investiga¸co˜es cient´ıficas. • Mistura Homogˆ enea: mistura de substˆ ancias que apresenta u ´nico aspecto e as mesmas caracter´ısticas em toda a sua extens˜ ao. A mistura homogˆenea pode ser uma solu¸ca˜o monof´ asica, por exemplo a´gua + a¸cu ´car, ou uma liga met´ alica, como exemplos temos o lat˜ ao (cobre (Cu) + zinco (Zn)) ou o bronze (cobre (Cu) + estanho (Sn)). • Mistura Heterogˆ enea: mistura que apresenta v´ arios aspectos f´ısicos, sendo poss´ıvel de distinguir seus componentes (polif´ asica). Exemplo: a´gua + o´leo + areia. Pense um Pouco! • O iodo (I) ´e um s´ olido de cor castanha. Ao ser aquecido libera vapores violeta, que se transformam em iodo s´ olido ao encontrarem uma superf´ıcie fria. Explique e dˆe o nome dos fenˆ omenos observados. Qu´ımica B – Aula 3 • Durante a ebuli¸ca˜o da a´gua destilada (´ agua pura) a temperatura n˜ ao se modifica, ao passo que, durante a ebuli¸ca˜o da a´gua do mar, a temperatura continua aumentando. Pense um pouco e explique esse fato. Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 79 Qu´ımica B Aula 3 Metais, Semimetais e Ametais Para distinguir diferentes tipos de a´tomos usamos: 1. (UFSC) Mat´eria ´e tudo que tem massa e ocupa lugar no espa¸co. S˜ ao exemplos de mat´eria (marque V ou F): a) ( ) pedra b) ( ) madeira c) ( ) corpo humano d) ( ) ar e) ( ) a´gua f) ( ) carro 2. (PUC-SP) O conceito de elemento qu´ımico est´ a relacionado com a id´eia de: a) a´tomo b) mol´ecula c) ´ıon d) substˆ ancia pura e) mistura 3. (UDESC) Assinale a op¸ca˜o que apresenta apenas substˆ ancia simples: a) H2 , Cl2 , N2 , CH4 b) M gCl2 , H2 O, H2 O2 , CCl4 c) N a2 O, N aCl, H2 , O2 d) CCl4 , H2 O, Cl2 , HCl e) H2 , Cl2 , O2 , N2 • N´ umero Atˆ omico ou Z: ´e o n´ umero correspondente a carga nuclear, ou seja, o n´ umero de pr´ otons (P ) existente no n´ ucleo. Ent˜ ao: Z = P ; • N´ umero de Massa ou A: ´e o total de pr´ otons P e de nˆeutrons N existente no n´ ucleo. Assim: A = P + N . O n´ umero de massa A define em si a massa do a´tomo, j´ a que os el´etrons possuem uma massa desprez´ıvel. Exemplos 1. Hidrogˆenio (H): Z = 1, A = 1, N = 0; 2. H´elio (He): Z = 2, A = 4, N = 2; 3. Urˆ anio (U ): Z = 92, A = 238, N = 146. Considerando um elemento no estado natural, com a´tomos eletricamente neutros, temos: otons = Z N o de pr´ N o de el´etrons = Z Exerc´ıcios Complementares 4. (UFMG) Considerando-se completa ausˆencia de polui¸ca˜o entre os materiais citados a seguir, a substˆ ancia pura ´e: a) ar b) a´gua c) madeira d) cinza e) terra 5. (Acafe-SC) A passagem turbulenta de um l´ıquido para o estado de vapor, com agita¸ca˜o em toda sua massa l´ıquida, denomina-se: a) ebuli¸ca˜o b) evapora¸ca˜o c) sublima¸ca˜o d) calefa¸ca˜o e) irradia¸ca˜o 6. (UDESC) A libera¸ca˜o ou consumo de energia: a) S´ o ocorre em transforma¸co˜es f´ısicas. b) S´ o ocorre em transforma¸co˜es qu´ımicas. c) Em geral, ´e menor nos fenˆ omenos f´ısicos do que nos qu´ımicos. d) Em geral, ´e maior nos fenˆ omenos f´ısicos do que nos qu´ımicos. e) Nunca ocorre nas transforma¸co˜es materiais. N o de neutros = A − Z Para um a´tomo de elemento X qualquer representamos, usamos a seguinte nota¸ca˜o: ZX A para representar o seu n´ umero atˆ omico e sua massa atˆ omica. Exemplo: para um a´tomo de ferro temos 26 F e56 . Is´ otopos e Is´ obaros • Is´ otopos: s˜ ao a´tomos com mesmo n´ umero de pr´ otons (Z) e diferente do n´ umero de massa (A); apresentam propriedades qu´ımicas iguais e f´ısicas diferentes. Exemplo O hidrogˆenio (H) possui trˆes is´ otopos conhecidos: 1. o hidrogˆenio comum (pr´ otio): 1 H 1 , com N = 0 e Z = 1; 2. o deut´ erio: 1 H 2 , com N = 1 e Z = 1; 3. o tr´ıtio: 1 H 1 , com N = 2 e Z = 1; 80 Apostila do Curso Pr´e-Vestibular UDESC 2005 – M´ odulo I • Fam´ılias: s˜ ao as colunas verticais da tabela, elementos da mesma fam´ılia apresentam propriedades qu´ımicas semelhantes. Algumas fam´ılias importantes: – Metal: possui de 1 a trˆes el´etrons na camada externa; – N˜ ao-metal: possui de 5 a 7 el´etrons na camada externa; – Elementos Representativos: apresentam subn´ıveis mais energ´eticos s e p, fam´ılia A e gases nobres com 1 A, 2 A, 13 A a 18A; – Elementos de Transi¸ca ˜o: apresentam subn´ıvel mais energ´etico d nas fam´ılias 3B at´e 12B; Figura 2.1: Alum´ınio met´ alico comum. – Elementos de Transi¸ca ˜o Interna: apresentam subn´ıvel mais energ´etico f . Os lantan´ıdios e actin´ıdios; • Is´ obaros: s˜ ao a´tomos de diferentes n´ umeros de ¯ pr´ otons (elementos diferentes), mas que possuem o mesmo n´ umero de massa (A); apresentam propriedades qu´ımicas e f´ısicas diferentes; Exemplo Alguns is´ otopos do C´ alcio e do Argˆ onio possuem o mesmo n´ umero de massa A = 40: 20 Ca40 e 19 Ar40 • Is´ otonos: s˜ ao a´tomos que possuem o mesmo n´ umero de nˆeutrons (elementos diferentes), apresentando A e Z diferentes; apresentam propriedades qu´ımicas e f´ısicas diferentes; Exemplo Boro e Carbono: 5 B 11 (N = 6) e 6 C 12 (N = 6) Figura 2.2: O l´ıtio, metal da fam´ılia 1A. Classifica¸ c˜ ao dos Elementos D¨ obereiner, em 1817, demonstrou a existˆencia de Tr´ıades de elementos com propriedades qu´ımicas semelhantes, onde o peso atˆ amico de um elemento era aproximadamente a m´edia aritm´etica dos pesos atˆ omicos dos outros dois. Ex: cloro, bromo e iodo. Newlands, em 1863, dividiu os elementos de ordem crescente de pesos atˆ omicos, em grupos de sete, an´ alogo a`s oitavas musicais, logo, esta id´eia foi abandonada. Dmitri Mendeleyev, em 1869, propˆ os uma tabela muito semelhante a` atual, mas que apresentava os elementos dispostos em ordem crescente de pesos atˆ omicos, essa classifica¸ca˜o definiu seis elementos desconhecidos. Moseley, em 1913, verificou que os elementos qu´ımicos na Tabela Peri´ odica deveriam obedecer a uma ordem crescente de n´ umero atˆ omico, e chegou-se at´e a tabela atual; Na tabela atual al´em de os elementos serem colocados em ordem crescente de n´ umero atˆ omico, observa-se a seguinte disposi¸ca˜o (veja Apˆendice): • Per´ıodos ou S´ eries: s˜ ao as filas horizontais em n´ umero de 7 e indicam os n´ıveis ( K, L, M, N, O, P, Q ); elementos do mesmo per´ıodo apresentam propriedades qu´ımicas diferentes. ´Ions e Valˆ encia Quando um a´tomo est´ a com falta ou excesso de el´etrons, sua carga l´ıquida n˜ ao ´e mais zero, e o chamamos de ´ıon: • C´ ation: ´ıon positivo ou a´tomo que perdeu um ou mais el´etrons; ˆ • Anion: ´ıon negativo ou a´tomo que ganhou um ou mais el´etrons; A valˆ encia de um a´tomo ionizado (´ıon) ´e definida pelo n´ umero de el´etrons removidos ou adicionados ao a´tomo (´ıon). • monovalente: ´ıon com excesso (ou falta) de um el´etron; • bivalente: ´ıon com excesso (ou falta) de dois el´etrons; • trivalente: ´ıon com excesso (ou falta) de trˆes el´etrons; • tetravalente: ´ıon com excesso (ou falta) de quatro el´etrons; • ... Qu´ımica B – Aula 4 Exemplos • Ca+ ´e um c´ ation monovalente de c´ alcio. • F e−2 ´e um aˆnion bivalente do ferro. • K +3 ´e um c´ ation trivalente do pot´ assio. Propriedades Peri´ odicas S˜ ao as propriedades que dependem da posi¸ca˜o do a´tomo na tabela peri´ odica, e que variam suavemente entre a´tomos vizinhos. Exemplos Pense um Pouco! • O que ocorre quando um el´etron de um a´tomo ´e capturado por outro a´tomo diferente? • Seria poss´ıvel produzirmos a´gua (H2 O) com deut´erio ou tr´ıtio? Ela teria um gosto diferente? O que seria diferente nessa nova a´gua? • O n´ umero atˆ omico de um a´tomo ne nitrogˆenio ´e 7 e seu n´ umero de massa ´e 14. Qual ´e o n´ umero de pr´ otons, de el´etrons e nˆeutrons desse a´tomo neutro? Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. (UDESC) Um determinado a´tomo apresenta 16 pr´ otons, 16 el´etrons e 16 nˆeutrons; outro a´tomo apresenta 16 pr´ otons, 16 el´etrons e 17 nˆeutrons.”Sobre eles, s˜ ao feitas as seguintes afirmativas: I - Os a´tomos s˜ ao is´ otonos. II - Os a´tomos s˜ ao is´ obaros. III - Os a´tomos s˜ ao is´ otopos. IV. - Os a´tomos tˆem o mesmo n´ umero atˆ omico. V - Os a´tomos pertencem elementos qu´ımicos diferentes. Em rela¸ca˜o a`s afirma¸co˜es acima, podemos dizer que s˜ ao corretas apenas: a) I e V b) II e III c) III e IV d) I e IV e) II e V 2. (UFSC) Um determinado a´tomo apresenta 20 pr´ otons, 20 nˆeutrons e 20 el´etrons; outro, apresenta 20 pr´ otons, 21 nˆeutrons e 20 el´etrons. Marque V ou F: a) ( ) Pertencem a elementos qu´ımicos diferentes. b) ( ) S˜ ao is´ obaros c) ( ) S˜ ao is´ otopos d) ( ) Tˆem o mesmo n´ umero atˆ omico e) ( ) O n´ umero de massa de ambos ´e de 41 81 b) Isotopia, isobaria, isotonia. c) Isobaria, isotopia, isotonia. d) Isotopia, isotonia, isobaria. e) isobaria, isotonia, isotopia. Exerc´ıcios Complementares 4. (UNIFOR) O a´tomo desconhecido 17 X 37 tem igual n´ umero de nˆeutrons que o a´tomo de c´ alcio 20 Ca. O n´ umero de massa A do a´tomo de Ca ´e igual a: a) 10 b) 17 c) 20 d) 37 e) 40 5. (CESGRANRIO) Um certo a´tomo X ´e is´ obaro do Ca40 36 e is´ otopo do 18 Ar . O n´ umero de nˆeutrons do a´tomo X ´e: a) 4 b) 18 c) 22 d) 36 e) 40 6. (FEI-SP) Um c´ ation met´ alico trivalente tem 76 el´etrons e 118 nˆeutrons. O a´tomo de elemento qu´ımico do qual se originou tem n´ umero atˆ omico e n´ umero de massa, respectivamente: a) 76 e 194 b) 76 e 197 c) 79 e 200 d) 79 e 194 e) 79 e 197 Qu´ımica B Aula 4 Propriedades Peri´ odicas A Tabela Peri´ odica foi elaborada com base nas propriedades qu´ımicpas e f´ısicas dos elementos, analisando-a, podemos obter informa¸co˜es sobre eles, chegando-se assim a propriedades importantes dos per´ıodos e fam´ılias (ou grupos) qu´ımicos: ´ Tamanho do Atomo Os fatores determinantes do tamanho de ump a´tomo s˜ ao o n´ umeros de camadas eletrˆ onicas (Z) e carga nuclear (P ). Nas fam´ılias: a` medida que o Z aumenta, o n´ umero de camadas aumenta, o que leva ao aumento do tamanho do a´tomo (de cima para baixo); Nos per´ıodos: a` medida que o Z aumenta, o n´ umero 3. (Acafe-SC) Os pares de a´tomos C 12 e C 13 ; K 40 e Ar40 ; de camadas permanece igual, mas a carga nuclear auucleo sobre os el´etrons Ca40 e Ar38 representam, respectivamente, a ocorrˆencia de: menta, Z aumenta, a atra¸ca˜o do n´ perif´ericos tamb´em aumenta, resultando a´tomos menores. a) Isotonia, isotopia, isobaria. 82 Apostila do Curso Pr´e-Vestibular UDESC 2005 – M´ odulo I Eletroafinidade ´ a medida de energia liberada por um a´tomo isolado no E estado gasoso ao receber um el´etron, formando o ´ıon gasoso negativo(ˆ anion). Exemplo Ioniza¸ca˜o do cloro (Cl): Cl(g) + e− → Cl− (g) + 83, 3Kcal/mol e nesnte caso a energia ´e liberada na rea¸ca˜o. Nas fam´ılias a eletroafinidade aumenta debaixo para cima; e nos per´ıodos aumenta da esquerda para direita. Figura 2.1: A Tabela Peri´ odica. Num per´ıodo, o tamanho do a´tomo aumenta da direita para a esquerda. Potencial de Ioniza¸ c˜ ao Eletronegatividade Propriedade que o a´tomo apresenta maior ou menor tendˆencia de atrair el´etrons para si, resultando da a¸ca˜o conjunta da (Ei ) e da eletroafinidade, ou seja, compara a for¸ca de atra¸ca˜o exercida pelo a´tomo sobre seus el´etrons. ´ a medida de energia fornecida a um a´tomo isolado no E estado gasoso para retirar ou desprender um el´etron, formando um ´ıon gasoso positivo(c´ ation). Quanto maior o tamanho do a´tomo, menor energia de ioniza¸ca˜o (E i ), numa fam´ılia a (Ei ) aumenta debaixo para cima. Nos per´ıodos (Ei ) aumenta da esquerda para direita. Figura 2.3: Aumento da eletroafinidade dos a ´tomos. Nas fam´ılias aumenta debaixo para cima e nos per´ıodos aumenta da esquerda para direita. Figura 2.2: Aumento da energia de ioniza¸ca ˜o dos a ´tomos. Reatividade Qu´ımica Exemplo Considere uma amostra de s´ odio gasoso (P = 11, Z = 11): Est´ a relacionada com o car´ ater met´ alico ou n˜ ao-met´ alico de um elemento, quanto maior a capacidade de perder el´etrons mais met´ alico ´e o elemento. N a(g) + Ei = +119 kcal/mol → N a (g) + e (g) Quanto maior o tamanho do a´tomo menor o potencial de ioniza¸ca˜o (Ei ) e menor a eletronegatividade = maior car´ ater met´ alico = maior reatividade qu´ımica do metal. Neste caso, a energia de ioniza¸ca˜o (Ei ) do s´ odio ´e de 119 kcal/mol, e o sinal positivo indica que a energia deve ser absorvida. Quanto menor o tamanho do a´tomo maior a eletroafinidade, maior a eletronegatividade e maior car´ ater n˜ ao-met´ alico = maior a reatividade qu´ımica do n˜ ao-metal. + − Qu´ımica B – Aula 4 83 Figura 2.4: Aumento da Reatividade qu´ımica. Figura 2.6: Aumento do volume atˆ omico dos a ´tomos. Densidade (ρ) Ponto de Fus˜ ao (PF ) A densidade ou massa espec´ıfica de um corpo ´e a raz˜ ao entre sua massa m e seu volume V , ou seja, ´ a temperatura em que um s´ E olido passa do estado s´ olido para o estado l´ıquido. ρ= m V e ser´ a medida em kg/m3 no SI, ou tamb´em em g/cm3 . Exemplo: a densidade do alum´ınio (Al) ´e ρAl = 2, 700 g/cm3 = 2.700 kg/m3 . Figura 2.7: Aumento do Ponto de Fus˜ ao (PF ). Nas fam´ılias, o PF aumenta de cima para baixo, exceto em 1(1A) e 2(2A), que ´e o contr´ ario; nos per´ıodos, aumenta das laterais para o centro. Figura 2.5: Aumento da densidade dos a ´tomos. Nas fam´ılias aumenta de cima para baixo, e nos per´ıodos aumenta das laterais para o centro. Volume Atˆ omico v Mede o volume molar espec´ıfico do material s´ olido, e est´ a relacionado com a estrutura cristalina do elemento (distribui¸ca˜o dos a´tomos no espa¸co): v= massa molar M = densidade ρ . Nas fam´ılias o volume atˆ omico aumenta de cima para baixo, e nos per´ıodos aumenta do centro para as laterais. Pense um Pouco! • Dentre as propriedades peri´ odicas estudadas, quais s˜ ao f´ısicas e quais s˜ ao qu´ımicas? • Qual o elemento mais denso que vocˆe j´ a viu? Consulte a tabela peri´ odica do Apˆendice e verifique se existe algum elemento ainda mais denso. • Cite exemplos de semi-metais e n˜ ao-metais conhecidos. Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. (UDESC) Observe os elementos representados na Tabela Peri´ odica e julgue os itens (V = verdadeiro e F = falso), na ordem: I - A eletronegatividade dos elementos boro(B) , carbono 84 (C), nitrogˆenio (N ), oxigˆenio (O) e fl´ uor(F ) diminui da direita para a esquerda. II - O elemento de menor eletropositividade ´e o c´esio (Cs). III - Dentre os elementos conhecidos, o boro (B) ´e o u ´nico semimetal. IV - A energia de ioniza¸ca˜o do criptˆ onio (Kr) ´e maior que a do pot´ assio (K). V - O raio atˆ omico do magn´esio (M g) ´e maior que o de s´ odio (N a) porque ele possui um el´etron a mais. Assinale a alternativa que julga corretamente os itens acima, na seq¨ uˆencia de I a V. a) F, V, V, F, F b) F, V, F, F, V c) F, F, F, V, F d) V, F, F, V, F e) V, V, F, F, V 2. (UFSC) Sobre os elementos N a, M g e Al, podem ser feitas as afirma¸co˜es: I - N a+ , M g ++ e Al+++ possuem o mesmo n´ umero de el´etrons. II - A ordem decrescente de eletronegatividade destes elementos ´e N a, M g e Al. III - M g ++ e Al+++ possuem o mesmo n´ umero de pr´ otons. IV - A ordem crescente de reatividade com o H2 O ´e: Al, M g e N a. A op¸ca˜o que cont´em apenas afirma¸co˜es corretas ´e: a) I e IV b) I e III c) II e IV d) III e IV e) II e III 3. Na rea¸ca˜o F (g) + e− (g) → F − (g) + 402 kcal/mol, a medida de energia 402 quilocalorias por mol representa: a) a eletronegatividade do fl´ uor b) a eletropositividade do fl´ uor c) o potencial de ioniza¸ca˜o do fl´ uor d) a eletroafinidade do fl´ uor e) a polaridade do fl´ uor Exerc´ıcios Complementares 4. Para que o ´ıon 7 N −3 se transforme no a´tomo neutro de nitrogˆenio, ele deve: a) receber 3 pr´ otons b) perder 3 el´etrons c) receber 3 el´etrons d) perder 7 pr´ otons e) receber 7 el´etrons 5. Para que um a´tomo neutro de c´ alcio se transforme no ´ıon Ca+2 , ele deve: a) perder 2 pr´ otons b) receber 2 el´etrons c) perder 2 el´etrons d) receber 2 pr´ otons e) perder 1 pr´ oton Apostila do Curso Pr´e-Vestibular UDESC 2005 – M´ odulo I Qu´ımica B Aula 5 Liga¸co ˜es Qu´ımicas Compostos Iˆ onicos e Moleculares A uni˜ ao de a´tomos formam diversas substˆ ancias, essa uni˜ ao (liga¸ca˜o qu´ımica) pode ocorrer de trˆes formas: 1. liga¸ca˜o iˆ onica; 2. liga¸ca˜o covalente simples e dativa; 3. liga¸ca˜o met´ alica. Os gases nobres s˜ ao elementos est´ aveis, pois apresentam oito el´etrons na sua camada de valˆencia, exce¸ca˜o do g´ as h´elio. Estabilidade Eletrˆ onica Oito el´etrons na camada de valˆencia. Liga¸ c˜ ao Iˆ onica Ocorre entre metal que tem tendˆencia de perder el´etron, com n˜ ao-metal, que tem tendˆencia de receber el´etron, formando ´ıons de cargas contr´ arias, que se atraem mutuamente. Exemplos Fazer o esquema de Lewis: N a+ Cl− : K + + Cl− : ´ Ion F´ ormula Conhecendo as valˆencias dos elementos cujos a´tomos v˜ ao se ligar para formar um composto iˆ onico, podemos calcular a ´ıon f´ ormula: 20 Ca 15 P = 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 perde 2e− = 1s2 2s2 2p6 3s2 3p3 ganha 3e− Escrevemos os s´ımbolos na ordem crescente de eletronegatividade, de modo que o ´ındice corresponda a` valˆencia do outro (regra de 3): Ca → valˆencia 2 + P → valˆencia 3 = Ca3 P2 Liga¸ c˜ ao Covalente Simples Ocorre entre n˜ ao-metais, e entre n˜ ao-metal e hidrogˆenio, e seu princ´ıpio ´e o compartilhamento de el´etrons. O conjunto est´ avel de a´tomos ligados entre s´ı apenas por liga¸co˜es covalentes, ou seja por pares eletrˆ onicos, recebe o nome de mol´ecula. Qu´ımica B – Aula 5 Exemplos Cl + Cl → Cl2 H + Cl → HCl H + O → HO O + O → O2 F´ ormula eletrˆ onica: F´ ormula Estrutural Plana: F´ ormula Molecular: Liga¸ c˜ ao Covalente Dativa S´ o ocorre se o a´tomo que vai contribuir com o par de el´etrons estiver estabilizado pela covalente simples e tiver pares eletrˆ onicos dispon´ıveis: Exemplos HN O3 H2 SO4 H 3 P O4 Liga¸ c˜ ao Covalente Apolar Ocorre entre ametais de mesmo elemento qu´ımico (sol´ uveis em a´gua) (mesma eletronegatividade). Por exemplo: H −H. Liga¸ c˜ ao Covalente Polar Ocorre entre ametais de elementos diferentes (insol´ uveis em a´gua) (eletronegatividade diferentes). Exemplo: mol´ecula HCl, pois o cloro ´e mais eletronegativo que o hidrogˆenio, ou seja, apresenta maior capacidade de atrair el´etrons; portanto o par de el´etrons da liga¸ca˜o ´e atra´ıdo por ele, criandose nesse extremo uma maior densidade eletrˆ onica. Assim, surgem p´ olos distintos (representado pela letra δ), formando uma liga¸ca˜o covalente polar: δ+ HClδ− . Pense um Pouco! • Analisando a varia¸ca˜o da eletronegatividade na tabela peri´ odica, indique a liga¸ca˜o menos polar e a mais polar: H–O: H–H: H–I: H–P: H–N: H–F: 85 Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. (UFSC) Considerando-se a liga¸ca˜o qu´ımica entre oxigˆenio e o alum´ınio, sob a luz da teoria do octeto, para a forma¸ca˜o do o´xido de alum´ınio, ´e correto afirmar (some os n´ umeros correspondentes a`s alternativas corretas): 01. Cada a´tomo de alum´ınio, perder´ a 3 el´etrons; 02. O Oxigˆenio ser´ a o aˆnion, com carga negativa igual a trˆes para cada a´tomo; 04. O envolvidos dois a´tomos de alum´ınio na liga¸ca˜o; 08. Cada a´tomo de oxigˆenio receber´ a dois el´etrons; 16. O n´ umero de cargas positivas, por f´ ormula, ser´ a seis. 32. A configura¸ca˜o eletrˆ onica do Al +3 ser´ a 1s2 2s2 2p6 . 64. A f´ ormula m´ınima do o´xido de alum´ınio conter´ a quatro a´tomos no total. ´ 2. (UniRio-RJ) Atomos de um elemento X (n´ umero atˆ omico 20) e de outro elemento Y (n´ umero atˆ omico 7) unem-se por liga¸co˜es iˆ onicas, originando o composto de f´ ormula: a) XY b) X2 Y c) X3 Y2 d) X2 Y3 e) X3 Y4 3. (Acafe-SC) A for¸ca de atra¸ca˜o entre ´ıons positivos e negativos caracteriza a liga¸ca˜o: a) coordenada b) covalente c) met´ alica d) dativa e) iˆ onica Exerc´ıcios Complementares 4. (Supra-SC) No cloreto de magn´esio, a uni˜ ao entre magn´esio e cloro ocorre atrav´es de liga¸ca˜o: a) molecular b) covalente c) met´ alica d) iˆ onica e) dativa 5. (UFRGS) O conceito de liga¸ca˜o covalente se refere a` id´eia de: a) atra¸ca˜o eletrost´ atica b) par iˆ onico c) atra¸ca˜o intermolecular d) el´etrons livres e) emparelhamento de el´etrons 6. (Supra-SC) Entre os a´tomos dos compostos KBr, N H 3 , e HCN , as liga¸co˜es qu´ımicas predominantes s˜ ao, respectivamente: a) covalente, iˆ onica, iˆ onica b) covalente, iˆ onica, covalente c) covalente, covalente, iˆ onica d) Iˆ onica, iˆ onica, covalente e) Iˆ onica, covalente, covalente 86 Qu´ımica B Apostila do Curso Pr´e-Vestibular UDESC 2005 – M´ odulo I Aula 6 Liga¸co ˜es Qu´ımicas Geometria Molecular Teoria da Repuls˜ ao dos pares eletrˆ onicos, desenvolvida na d´ecada 1960: “Os pares de el´ etrons ao redor do ´ atomo central distribuem-se no espa¸ co de tal forma que a repuls˜ ao entre eles ´ e a menor poss´ıvel, garantindo maior estabilidade”. Os pares de el´etrons podem ou n˜ ao fazer parte de liga¸co˜es. Quando os el´etrons s˜ ao ligantes, os pares podem constituir liga¸co˜es simples, duplas, triplas ou dativas. Figura 2.2: O composto SO3 apresenta geometria molecular ´e trigonal plana, a distribui¸ca ˜o espacial dos pares eletrˆ onicos As posi¸ co ˜es relativas dos ´ atomos ligantes s˜ ao dadas forma um triˆ angulo equil´ atero e possui 3 a ´tomos ligados ao pela disposi¸ c˜ ao de todos os pares de el´ etrons, mas a ´tomo central. a geometria da mol´ ecula ´ e considerada apenas pela posi¸ c˜ ao relativa de seus n´ ucleos. For¸ cas de Van der Waals Exemplos S˜ ao for¸cas de fraca intensidade que se classificam em dipolo– dipolo e dipolo instantˆ aneo–dipolo induzido. A polaridade da liga¸ca˜o apresenta uma dire¸ca˜o, um sentido e uma intensidade, podendo ser representada por um vetor (~ p : vetor momento dipolo), este vetor se orienta sempre no sentido do p´ olo negativo para o positivo. Para mol´eculas com mais de dois a´tomos, conhecendo-se a geometria molecular, ´e poss´ıvel determinar se a mol´ecula apresenta dipolo, ou seja, se na mol´ecula h´ a distribui¸ca˜o desigual de carga negativa e positiva. Essa determina¸ca˜o ´e feita levando-se em conta os vetores momento de cada liga¸ca˜o. Conforme tenham ou n˜ ao dipolo el´etrico, as mol´eculas s˜ ao classificadas em polares ou apolares, respectivamente. Exemplos CO2 ´e apolar (~ p = ~0). Veja a simetria da mol´ecula na Fig. 2.1. H2 O ´e polar (~ p 6= ~0). Veja a assimetria da mol´ecula na Fig. 2.3. Figura 2.1: O g´ as carbˆ onico (CO2 ) apresenta geometria mo- For¸ cas de Van der Waals dipolo–dipolo lecular linear, distribui¸ca ˜o espacial dos pares eletrˆ onicos ´e Este tipo de intera¸ca˜o ocorre entre mol´eculas polares. linear e possui 2 a ´tomos ao ligados ao a ´tomo central. Exemplo A mol´ecula For¸ cas Intermoleculares As substˆ ancias moleculares podem ser encontradas nos trˆes estados f´ısicos, o que nos leva a concluir que, entre as mol´eculas, existem for¸cas de atra¸ca˜o de diferentes intensidades. A essas for¸cas damos o nome de for¸cas intermoleculares, elas podem ser de dois tipos: • for¸cas de Van der Waals • pontes de hidrogˆenio δ+ HClδ− . A forma¸ca˜o do dipolo ocorre devido a` diferen¸ca de eletronegatividade entre o hidrogˆenio e o cloro. A extremidade negativa de uma mol´ecula atrai a extremidade positiva da mol´ecula vizinha. Esse tipo de atra¸ca˜o ´e o mesmo que ocorre na liga¸ca˜o iˆ omica, mas com intensidade bem menor. For¸ cas de Van der Waals dipolo instˆ aneo–dipolo induzido S˜ ao for¸cas de atra¸ca˜o que aparecem nas substˆ ancias formadas por mol´eculas apolares, no estado s´ olido ou l´ıquido. A nuvem eletrˆ onica nas mol´eculas apolares ´e uniforme, n˜ ao Qu´ımica B – Aula 6 Figura 2.3: A a ´gua (H2 O) apresenta geometria molecular angular, mas a distribui¸ca ˜o dos pares de el´etrons ´e tetra´edrica e possui 2 a ´tomos ligados ao a ´tomo central. 87 Figura 2.4: O metano (CH4 ) apresenta geometria molecular tetra´edrica e distribui¸ca ˜o dos pares eletrˆ onicos tamb´em ´e tetra´edrica e possui 4 a ´tomos ligados ao a ´tomo central aparecendo cargas. Essa nuvem pode sofrer deforma¸ca˜o por a¸ca˜o externa, ou flutua¸co˜es estat´ısticas (colis˜ oes), ou com o aumento da press˜ ao e diminui¸ca˜o de temperatura, provocando, ent˜ ao, uma distribui¸ca˜o desigual de cargas, o que faz com que surja um dipolo tempor´ ario. O dipolo instantˆ aneo induz a polariza¸ca˜o da mol´ecula vizinha, resultando uma a¸ca˜o fraca entre elas. Esse tipo de intera¸ca˜o tamb´em ´e chamado de for¸ ca de London, em homenagem ao cientista Fritz London (1900-1957), que elaborou todo o desenvolvimento te´ orico. Pontes de Hidrogˆ enio As pontes de hidrogˆenio s˜ ao casos particulares da intera¸ca˜o dipolo-dipolo, em que o dipolo molecular ´e fixo e de grande intensidade. Esse fenˆ omeno ocorre quando o hidrogˆenio est´ a ligado a` um dos trˆes elementos mais eletronegativos – fl´ uor, oxigˆenio e nitrogˆenio – pois a diferen¸ca de eletronegatividade entre o hidrogˆenio e esses elementos ´e muito grande. Figura 2.5: O P Cl5 apresenta geometria molecular bipirˆ amide trigonal e possui 5 a ´tomos ligantes. Exemplo A a´gua H2 O ´e uma mol´ecula muito polarizada (polar) e as pontes de hidrogˆenio produzem for¸ca suficiente para manter as mol´eculas unidas no estado l´ıquido. Veja a Fig. 2.3. Para Aprender Mais! Tens˜ ao superficial ´e uma propriedade que faz com que uma superf´ıcie l´ıquida se comporte como uma pel´ıcula el´ astica. Esta propriedade ocorre com todos os l´ıquidos e ´e observada com maior intensidade na a´gua. As mol´eculas no interior do l´ıquido mantˆem-se unidas pelas for¸cas de atra¸ca˜o, que ocorrem em todas as dire¸co˜es. As mol´eculas da superf´ıcie, no entanto, sofrem apenas atra¸ca˜o lateral e inferior, que geram a tens˜ ao superficial, criando uma pel´ıcula el´ astica. Quanto mais intensas as for¸cas de atra¸ca˜o, maior ser´ a a tens˜ ao superficial. Vocˆ e S´ abia? Os icebergs s˜ ao massa de gelo flutuante que geralmente se desprende numa geleira polar e, portanto, s˜ ao constitu´ıdos por a´gua doce. Eles flutuam por que a densidade da a´gua s´ olida ´e menor do que a da a´gua l´ıquida. Na a´gua l´ıquida, as mol´eculas est˜ ao unidas por pontes de hidrogˆenio e dispostas de forma menos organizada do que no estado s´ olido. Neste estado, a organiza¸ca˜o ´e maior, formando estruturas hexagonais tridimensionais, mais espa¸cadas, que diminuem a densidade, permitindo assim que o gelo flutue sobre a a´gua. Esta propriedade explica tamb´em a quebra de garrafa de bebidas esquecidas no congelador. For¸ cas Intermoleculares e Ponto de Ebuli¸ c˜ ao : O importante fator que influencia o ponto de ebuli¸ca˜o de uma substˆ ancia ´e o tamanho da mol´ecula, pois quanto maior a mol´ecula, mais f´ acil a ocorrˆencia de distor¸ca˜o da nuvem eletrˆ onica; conseq¨ uentemente, mais f´ acil a forma¸ca˜o de p´ olos, ou seja, a medida que o tamanho da mol´ecula aumenta (aumento da massa molecular), o ponto de ebuli¸ca˜o 88 Apostila do Curso Pr´e-Vestibular UDESC 2005 – M´ odulo I tamb´em deve aumentar. OBS: Na passagem do estado liquido para o gasoso ocorre uma separa¸ca˜o das mol´eculas assim, quanto maior a atra¸ca˜o entre as mol´eculas no liquido, maior ser´ a o ponto de ebuli¸ca˜o. Quanto maior a mol´ecula mais f´ acil ´e a forma¸ca˜o de p´ olos. conseq¨ uˆencia: a) da baixa massa molecular da a´gua b) das liga¸co˜es covalentes c) das pontes de hidrogˆenio entre as mol´eculas d) do fato de o oxigˆenio ter o maior raio atˆ omico dessa fam´ılia e) do fato de que o gelo ´e menos denso que a a´gua l´ıquida Pense um Pouco! • Quando se ferve a a´gua, qual o tipo de liga¸ca˜o ´e rompida na mudan¸ca de estado? • Temos duas substˆ ancias, HX e HY. O que podemos dizer com rela¸ca˜o ao ponto de ebuli¸ca˜o (PE) dessas substˆ ancias, sabendo que em HX ocorrem for¸cas de Van der Waals e em HY ocorrem pontes de hidrogˆenio? Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. Qual dessas liga¸co˜es ´e mais fraca? a) eletrovalente b) covalente c) ponte de hidrogˆenio d) Van der Waals e) iˆ onica 2. (Acafe-SC) Cada mol´ecula de a´gua ´e capaz de efetuar, no m´ aximo: a) 5 pontes de hidrogˆenio. b) 2 pontes de hidrogˆenio. c) 4 pontes de hidrogˆenio. d) 1 pontes de hidrogˆenio. e) 3 pontes de hidrogˆenio. 3. (UFSM-RS) Dentre os compostos abaixo: I. H3 C–CH2 –O–CH3 II. H3 C–CH2 –N H2 III. H3 C–CH2 –OH Apresentam pontes de Hidrogˆenio entre suas mol´eculas: a) apenas I b) apenas II c) apenas I e III d) apenas II e III e) I, II e III Exerc´ıcios Complementares 4. (UEFS - BA) Por a¸ca˜o de energia, o hidrogˆenio doatˆ omico se dissocia de acordo com a equa¸ca˜o: H–H(g) → 2H(g). Nesta dissocia¸ca˜o, ocorre rompimento de liga¸ca˜o qu´ımica do tipo: a) ponte de hidrogˆenio. b) de Van der Waals. c) met´ alica d) iˆ onica e) covalente 5. (ITA-SP) Os hidretos do tipo H2 X dos elementos da fam´ılia do oxigˆenio s˜ ao todos gasosos em condi¸co˜es ambientais, com exce¸ca˜o do hidreto de oxigˆenio. Esta situa¸ca˜o ´e 6. Dentre as seguintes substˆ ancias, qual apresenta pontes de hidrogˆenio entre as mol´eculas? a) metano (CH4 ) b) clorof´ ormio (CHCl3 ) c) benzeno (C6 H6 ). ´ d) Eter-et´ ılico (H2 C2 –O–C2 H5 ) ´ e) Agua (H2 O) Qu´ımica B Aula 7 Equa¸co ˜es e Rea¸co ˜es Qu´ımicas Uma rea¸ca˜o qu´ımica ´e representada pela equa¸ca˜o geral c1 R1 + c2 R2 + . . . + cn Rn → c01 P1 + c02 P2 + . . . + c0m Pm onde n reagentes R1 , R2 ,. . .,Rn foram usados para formar os m produtos P1 , P2 ,. . .,Pm . Os coeficientes {ci } indicam o n´ umero de mol´eculas de cada reagente utilizado na rea¸ca˜o, e os coeficientes {c0j }, o num´ero de mol´eculas de cada produto resultante da rea¸ca˜o. Em ambos os casos, se utilizam coeficientes inteiros. Como cada mol´ecula, de reagente ou produto, pode conter v´ arios a´tomos de diferentes elementos qu´ımicos, o n´ umero total de a´tomos de cada esp´ecie qu´ımica deve ser o mesmo em ambos os lados da equa¸ca˜o acima, e chamamos de balanceamento qu´ımico o c´ alculo dos menores coeficientes {ci } e {c0j } para que essa igualdade seja satisfeita. Exemplos A s´ıntese (forma¸ca˜o) da a´gua ´e descrita pela equa¸ca˜o 2H2 (g) (reagente) +O2 (g) (reagente) → 2H2 O(l) (produto) onde a propor¸ca˜o da rea¸ca˜o de s´ıntese da a´gua ´e 2:1:2, o que significa que, para cada duas mol´eculas de H2 O formadas, reagiram duas mol´eculas H2 e uma mol´ecula de O2 . Cada rea¸ca˜o tem a sua propor¸ca˜o, que, como vimos pela lei das Propor¸ co ˜es Constantes. Determina¸ c˜ ao dos Coeficientes Na rea¸ca˜o de combust˜ ao: C2 H6 O + O2 → CO2 + H2 O observamos primeiro a quantidade de a´tomos de hidrogˆenio. No primeiro membro, existem seis (C2 H6 O), e no segundo, Qu´ımica B – Aula 7 dois (H2 O). Para igualar o n´ umero de a´tomos, fazemos a transposi¸ca˜o dos ´ındices, obtendo: 2C2 H6 O + O2 → CO2 + 6H2 O Vamos agora acertar a quantidade de a´tomos de carbono. No primeiro membro existem agora quatro carbonos (2C2 H6 O); no segundo, um (CO2 ). Ent˜ ao, devemos multiplicar CO2 , no lado direito da equa¸ca˜o, por 4. 89 ´ toda rea¸ca˜o qu´ımica em que ocorre com libera¸ E c˜ ao de calor. Por exemplo, temos a combust˜ ao do hidrogˆenio: 2H2 + O2 → 2H2 O + calor% Quanto ` a Velocidade Rea¸ co ˜es R´ apidas 2C2 H6 O + O2 → 4CO2 + 6H2 O Finalmente, acertamos a quantidade de a´tomos de oxigˆenio. No segundo membro, j´ a acertado, existem quatorze a´tomos de oxigˆenio (4CO2 e 6H2 O), e no primeiro, quatro (2C2 H6 O e O2 ). Ent˜ ao o coeficiente da mol´ecula O2 ser´ a 6, para se obter 12 a´tomos que, com outros dois perfazem os quatorze: 2C2 H6 O + 6O2 → 4CO2 + 6H2 O Observe que em ambos os lados da rea¸ca˜o (reagentes e produtos) temos um total de 4 a´tomos de C, 12 a´tomos de H e 14 a´tomos de O. Como todos os coeficientes s˜ ao m´ ultiplos de 2, ent˜ ao podemos reduz´ı-los, dividindo-os por 2: C2 H6 O + 3O2 → 2CO2 + 3H2 O e obtemos os menores coeficientes para o balan¸co qu´ımico da rea¸ca˜o dada. As que ocorrem rapidamente e de forma explosiva, por exemplo, a combust˜ ao (queima) do a´lcool et´ılico: C2 H6 O + 3O2 → 2CO2 + 3H2 O + calor% Rea¸ co ˜es Lentas Ocorrem devagar, por exemplo, a forma¸ca˜o da ferrugem (oxidax˜ ao do ferro): 4F e + 3O2 → 2F e2 O3 + calor% Quanto ` a Reversibilidade Rea¸ co ˜es Revers´ıveis Ocorrem simultaneamente nos dois sentidos (indicado pela dupla seta): CaO + CO2  CaCO3 Rea¸ co ˜es Irrevers´ıveis Dicas Rea¸co˜es que ocorrem num s´ o sentido. Algumas considera¸ca˜o para o balanceamento de uma equa¸ca˜o qu´ımica: Por exemplo: N aCl + AgN O3 → AgCl + N aN O3 1. Deve-se come¸car o acerto dos coeficientes pelo elemento que aparece uma u ´nica vez nos dois membros; Quanto aos Reagentes e Produtos 2. Se os ´ındices do elemento escolhido forem m´ ultiplos, a simplifica¸ca˜o pode ser feita antes da transposi¸ca˜o; S´ıntese ou Adi¸ c˜ ao 3. As f´ ormulas das substˆ ancias n˜ ao podem ser modificadas; por isso, nunca coloque n´ umeros entre os s´ımbolos de uma mesma f´ ormula. Tipos de Rea¸ co ˜es Rea¸ca˜o entre duas ou mais substˆ ancias (simples ou composta) que originam uma u ´nica substˆ ancia composta: 2CO + O2 → 2CO2 neste caso a rea¸ca˜o ´e do tipo composta + simples → composta Quanto ao Calor Quanto ao envolvimento (absor¸ca˜o ou libera¸ca˜o) de calor: Rea¸ co ˜es Endot´ ermicas ´ toda rea¸ca˜o Veja que endo=para dentro e t´ermica = calor. E qu´ımica em que ocorre com absor¸ c˜ ao de calor. . An´ alise ou Decomposi¸ c˜ ao Rea¸ca˜o em que uma u ´nica substˆ ancia composta se desdobra em outras substˆ ancias simples ou compostas: 2HCl → H2 + Cl2 Por exemplo, a decomposi¸ca˜o do calc´ areo: CaCO3 @ >> ∆ > CaO + CO2% onde ∆ indica que h´ a a necessidade de aquecimento dos reagentes para que ocorra a rea¸ca˜o qu´ımica. Rea¸ co ˜es Exot´ ermicas Observe que exo=para fora e t´ermica = calor. Dupla Troca Rea¸ca˜o em que as duas substˆ ancias compostas produzem duas outras substˆ ancias compostas (o nome resulta no fato de as substˆ ancias permutarem entre si parte de suas estruturas): HCl + N aOH → N aCl + H2 O 90 Apostila do Curso Pr´e-Vestibular UDESC 2005 – M´ odulo I ou d) III libera menos calor do que IV e) IV absorve calor para ocorrer N aCl + AgN O3 → AgCl + N aN O3 Deslocamento ou Simples Troca Rea¸ca˜o em que uma substˆ ancia simples reage com outra composta, produzindo outra substˆ ancia composta e outra simples: F e + CuSO4 → F eSO4 + Cu Para Saber Mais! O oxigˆenio e o hidrogˆenio liquefeitos s˜ ao os combust´ıveis l´ıquidos mais comuns, usados para impulsionar os foguetes pela expuls˜ ao dos gases de combust˜ ao, gerados pela rea¸ca˜o de s´ıntese: 2H2 + O2 → 2H2 O nos motores de combust´ıvel l´ıquido, tamb´em usados na opera¸ca˜o de m´ısseis, o combust´ıvel e o comburente devem ser armazenados isoladamente e a rea¸ca˜o s´ o ocorre na cˆ amara de combust˜ ao, o que torna esses motores bastante complexos. Vocˆ e Sabia? Para combater a acidez estomacal, causada pelo suco g´ astrico existente (HCl ou a´cido clor´ıdrico) que em excesso s´ o causa azia. O uso de leite de magn´esia, uma suspens˜ ao de hidr´ oxido de magn´esio, ou medicamentos a` base de hidr´ oxido de alum´ınio, diminuem a acidez, aliviando a azia. As rea¸co˜es que ocorrem s˜ ao: M g(OH)2 + 2HCl → M gCl2 + 2H2 O Al(OH)3 + 3HCl → AlCl3 + 3H2 O Tamb´em pode-se usar o bicarbonato de s´ odio: N aHCO3 + HCl → N aCl + H2 O + CO2 Pense um Pouco! • Explique porque o bicarbonato de amˆ onio misturado em uma massa de bolo, ao ser aquecido, faz a massa do bolo crescer deixando o bolo fofo? Que tipo de rea¸ca˜o ocorre ? Fa¸ca a rea¸ca˜o. Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. Considere as seguintes rea¸co˜es do metano: I. CH4 + 2O2 → CO2 + 2H2 O com ∆H = −212, 8 kcal/mol II. CH4 + H2 O → CO + 3H2 com ∆H = −49, 3kcal/mol III.CH4 + CO2 → 2CO + 2H2 com ∆H = −59kcal/mol IV. CH4 + 12 O2 → CO + 2H2 com ∆H = −8, 5kcal/mol Pode-se afirmar que a rea¸ca˜o: a) I ´e endot´ermica b) II libera mais calor do que a I c) III ´e espontˆ anea 2. (Unisinos-RS) Considerando a equa¸ca˜o termoqu´ımica abaixo representada, S(s) + 23 O2 (g) → SO3 (g) com ∆H = −94, 4kcal/mol. Podemos afirmar que, na forma¸ca˜o de 200 g de tri´ oxido de enxofre: a) Ocorre a libera¸ca˜o de 94, 4 kcal, uma vez que a rea¸ca˜o ´e exot´ermica b) Ocorre a absor¸ca˜o de 94, 4 kcal, uma vez que a rea¸ca˜o ´e endot´ermica c) Ocorre a libera¸ca˜o de 169, 5 kcal, uma vez que a rea¸ca˜o ´e exot´ermica d) Ocorre a absor¸ca˜o de 236 kcal, uma vez que a rea¸ca˜o ´e endot´ermica e) Ocorre a libera¸ca˜o de 236 kcal, uma vez que a rea¸ca˜o ´e exot´ermica 3. Dadas as equa¸co˜es das rea¸co˜es: I. H2 SO4 + H2 O → H3 O + HSO4− + calor II. C2 H5 OH + 3O2 → 2CO2 + 3H2 O + calor − III. N H4 Cl(s) + H2 O(l) + calor → N H4+ (aq) + Cl(aq) IV. C2 H2 + 23 2O2 → CO2 + H2 O + C + calor V. 2F e2 O3 + 3C + calor → 4F e + 3CO2 Consideram-se as rea¸co˜es endot´ermicas: a) III e V b) I , II e IV c) II, III e V d) I, III e IV e) II e III Exerc´ıcios Complementares 4. A an´ alise da rea¸ca˜o H2 (g) + 12 O2 (g) → H2 O(l) + 68 kcal permite concluir que: a) a rea¸ca˜o ´e endot´ermica b) a rea¸ca˜o tem ∆H positivo c) a entalpia dos reagentes ´e maior que a dos produtos d) a entalpia dos reagentes ´e menos que a dos produtos e) a entalpia dos reagentes ´e igual a dos produtos 5. (PUC-RS) A equa¸ca˜o a seguir representa: HN O3 (aq) + N aOH(aq) → N aN O3 (aq) + H2 O(l) com ∆H = −13, 69 kcal/mol a) um processo endot´ermico b) a neutraliza¸ca˜o parcial de um a´cido c) um processo que h´ a a libera¸ca˜o de calor d) um processo n˜ ao espontˆ aneo e) uma rea¸ca˜o de an´ alise 6. As rea¸co˜es endot´ermicas caracterizam-se por: I. serem espontˆ aneas II. ocorrerem co absorvi¸ca˜o de calor III. apresentam sinal positivo para a varia¸ca˜o da entalpia a) somente a afirmativa I ´e correta b) somente a afirmativa II ´e correta c) somente a afirmativa III ´e correta d) somente as afirmativas I e II s˜ ao corretas e) somente as afirmativas II e III s˜ ao corretas Matem´ atica Matem´ atica A Aula 1 Rela¸co ˜es e Fun¸co ˜es Rela¸ co ˜es Definimos rela¸ca˜o como: Dados dois conjuntos n˜ ao vazios S e T chama-se rela¸ca˜o R de S em T qualquer subconjunto de Sxt. Assim, R est´ a contido em Sxt (R ⊂ SxT ). Exemplo R = {(x, y)/x < y} Os segundos elementos desses pares formam o conjunto imagem da rela¸ca˜o: Im(R). Assim, na rela¸ca˜o R = {(−1, 3), (0, 4), (1, 5)}, D(R) = {−1, 0, 1} e Im(R) = {3, 4, 5}. Representa¸ c˜ ao Podemos representar uma rela¸ca˜o por um diagrama de setas ou no plano cartesiano: Consideremos os conjuntos A = {−1, 0, 1, 2} e B = {1, 0, 1, 4} e a rela¸ca˜o R = {(x, y) ∈ AxB/y = x2 }. Fun¸ co ˜es O conceito b´ asico de fun¸ca˜o ´e o seguinte: toda vez que temos dois conjuntos e algum tipo de associa¸ca˜o entre eles, que fa¸ca corresponder a todo o elemento do primeiro conjunto um u ´nico elemento do segundo conjunto, ocorre uma fun¸ca˜o. Observemos os pares de conjuntos abaixo. Exemplos 1. Dados L = {2, 5, 9, 12} e A = {4, 25, 81, 144} e a rela¸ca˜o R = {(x, y) ∈ LxA/y = x2 }. Nota¸ c˜ ao Podemos escrever uma rela¸ca˜o de A em B das seguintes formas: • Nomeando os pares ordenados, por exemplo: R = {(0, 1), (1, 2), (2, 3)}. • Atrav´es de uma senten¸ca matem´ atica, por exemplo: R = {(x, y) ∈ AxB/y = x + 1}, sendo que A = {0, 1, 1, 2, 3} e B = {1, 3, 4, 9}. Dom´ınio e Imagem Ao conjunto formado por todos os primeiros elementos dos pares ordenados (x, y) de uma rela¸ca˜o damos o nome de dom´ınio e representamos por D(R). ´ fun¸ca Figura 3.1: E ˜o. 2. Dados A = {10, 12, 15, 16, 13} e B = {20, 24, 30, 26} e a rela¸ca˜o R = {(x, y) ∈ AxB/y = 2x}. 3. Dados A = {5, 12, 23} e B = {7, 14, 25} e a rela¸ca˜o R = {(x, y) ∈ AxB/y = x + 2}. 4. Dados A = {16, 81} e B = {−2, 2, 3} e a rela¸ca˜o R = {(x, y) ∈ AxB/y 4 = x} 92 Apostila do Curso Pr´e-Vestibular UDESC 2005 – M´ odulo I Figura 3.4: N˜ ao ´e fun¸ca ˜o. Figura 3.2: N˜ ao ´e fun¸ca ˜o. ´ fun¸ca Figura 3.3: E ˜o. Ser˜ ao reconhecidas como fun¸ca˜o as rela¸co˜es que tiverem todos os elementos de A associados a elementos de B, sendo que cada elemento de A deve estar ligado somente a um u ´nico elemento de B. Dom´ınio, Imagem e Contradom´ınio Tomemos os exemplos acima que representam fun¸co˜es (Ex01, Ex03): Para ambos os exemplos, chamamos de dom´ınio o conjunto A, indicado pela letra D: Ex01: D = {2, 5, 9, 12}; Ex03: D = {5, 12, 23}. A imagem ser´ a o conjunto dos elementos y que tˆem correspondˆencia com x. EX01: I = {4, 25, 81, 144}; Ex03: D = {7, 14, 25}. O contradom´ınio ser´ a o conjunto B: EX01: CD = {2, 4, 6}; Ex03: CD = {5, 7, 14, 15, 16, 25, 26}. Tipos de Fun¸ co ˜es Fun¸ c˜ ao Par ´ a fun¸ca˜o em que qualquer que seja o valor de x ∈ D ocorre E f (x) = f (−x). Exemplos f (x) = x2 f (x) = |x| f (x) = cos(x) ´ tica A – Aula 1 Matema Fun¸ c˜ ao ´ Impar 93 Figura 3.5: Esquema para compreender fun¸ca ˜o crescente. ´ a fun¸ca˜o em que para todo valor de x ∈ D ocorre f (x) = E −f (−x). Exemplos Exemplos f (x) = 2x f (x) = −x + 2 f (x) = sin(x) f (x) = 10−x f (x) = x3 f (f ) = −2x Fun¸ c˜ ao Crescente Figura 3.6: Esquema para compreender fun¸ca ˜o decrescente. Uma fun¸ca˜o y = f (x) ´e crescente num conjunto A se, somente se, para quaisquer x1 e x2 pertencentes ao conjunto A, com x1 < x2 , tivermos f (x) < f (x2 ). Fun¸ c˜ ao Injetora Exemplos f (x) = x + 2 f (x) = 10x Uma fun¸ca˜o y = f (x) : A → B ´e injetora, se somente se, num conjunto A, dois elementos distintos quaisquer do dom´ınio de f (x) possuem imagens distintas em B. Exemplos f (x) = x3 Fun¸ c˜ ao Sobrejetora Fun¸ c˜ ao Decrescente Uma fun¸ca˜o y = f (x) ´e decrescente num conjunto A se, somente se, para quaisquer x1 e x2 pertencentes ao conjunto A, com x1 < x2 , tivermos f (x1 ) > f (x2 ). Uma fun¸ca˜o y = f (x) : A → B ´e sobrejetora se, e somente se, o seu conjunto imagem ´e igual ao contradom´ınio: Im(f ) = B Exemplos 94 Apostila do Curso Pr´e-Vestibular UDESC 2005 – M´ odulo I Figura 3.7: Fun¸ca ˜o injetora Figura 3.9: Fun¸ca ˜o sobrejetora Figura 3.8: Fun¸ca ˜o n˜ ao injetora Figura 3.10: Fun¸ca ˜o n˜ ao sobrejetora Fun¸ c˜ ao Bijetora Uma fun¸ca˜o y = f (x) : A → B ´e bijetora, se somente se, ´e injetora e sobrejetora. Na figura 3.11 temos que a fun¸ca˜o: ´ injetora, pois quaisquer elementos distintos de A pos• E suem imagens distintas em B; ´ sobrejetora, pois • E Im = B = {4, 25, 81, 144}; ´ bijetora porque ´e injetora e sobrejetora. • E inversa de f a fun¸ca˜o f −1 : B → A tal que (a, b) ∈⇔ (b, a) ∈ f −1 . Exemplos y = f (x) = x2 ; D = {2, 5, 9, 12} Im = {4, 25, 81, 144} A fun¸ca˜o inversa a: p ser´ y = f (x) = (x) D = {4, 25, 81, 144} Im = {2, 5, 9, 12} Fun¸ c˜ ao Composta Fun¸ c˜ ao Inversa Considere uma fun¸ca˜o y de L → A, sendo que D = L e Im = A. A fun¸ca˜o inversa de y ser´ a aquela fun¸ca˜o que fizer corretamente a rela¸ca˜o de A → L onde D = A e Im = L. Ou seja, a fun¸ca˜o inversa “transforma” o que antes era dom´ınio em imagem e imagem em dom´ınio. Por´em, isto s´ o poder´ a ocorrer se y for bijetora. Dados os conjuntos A = {1, 2}, B = {2, 4}, C = {4, 16}, vamos considerar as fun¸co˜es: f : A → B definida por f (x) = 2x; g : B → C definida por g(x) = x2 . Observamos que: Ent˜ ao, podemos definir: • A cada x pertencente a A associa-se um u ´nico y pertencente a B tal que y = 2x; Dada fun¸ca˜o bijetora y = f (x) : A → B, chama-se fun¸ca˜o • A cada y pertencente a B associa-se um u ´nico z per- ´ tica A – Aula 1 Matema 95 Figura 3.13: f = {(1, 2), (2, 4)}; g = {(2, 4), (4, 16)} Pense um Pouco! Figura 3.11: Fun¸ca ˜o bijetora (a) A fun¸ca˜o n : A → R, definida por n(t) = 6t + t2 , expressa o n´ umero de colˆ onias de bact´erias em uma placa, onde n ´e o n´ umero de colˆ onias, t ´e tempo em horas e A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} tem seus elementos representando os instantes em que as colˆ onias foram contadas. Com esses dados, determine: a) O n´ umero de colˆ onias para t = 3h; b) O conjunto contradom´ınio; c) O conjunto imagem (Im(n)). (b) Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao Figura 3.12: Fique atento ao sentido das setas! tencente a C tal que z = x2 ; • A cada x pertencente a A associa-se um u ´nico z per2 tence C tal que z = y 2 = (2x) = 4x2 . Ent˜ ao, podemos afirmar que vai existir uma fun¸ca˜o h de A em C definida por h(x) = 4x2 , que indicamos por gof ou g(f (x)) (lˆe-se: g composta com f ). 1. (UFRGS) Se a fun¸ca˜o f : R∗ em R ´e tal que f (x) = ent˜ ao f (2x) ´e: a) 2 b) 2x c) 2x+1 x d) 4x+1 x 2x+2 x , ´ aquela fun¸ca˜o que ´e definida por mais de uma rela¸ca˜o. E 2. (Fuvest-SP) As fun¸co˜es f e g s˜ ao dadas por f (x) = 3/5x − 1 e g(x) = 4/3x + a. Sabe-se que f (0) − g(0) = 1/3. O valor de f (3) e g(1/5) ´e: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 Exemplo   x + 1, se x > 2; x2 , se -2 ≤ x ≤ 2;  2, se x < −2 3. (FCC-SP) A fun¸ca˜o inversa da fun¸ca˜o x+3 a) f −1 (x) = 2x−1 3x−1 −1 b) f (x) = x−2 c) f −1 (x) = 3x+1 2−x d) f −1 (x) = 1−2x 3−x Logo: h(x) = gof = g(f (x)) = {(1, 4), (2, 16)}. Fun¸ c˜ ao Definida por Partes Fun¸ c˜ ao Constante Toda fun¸ca˜o f : R → R, definida por f (x) = C, com C pertencendo ao conjunto dos reais, ´e denominada fun¸ca˜o constante. 2x−1 x+3 ´e: Exerc´ıcios Complementares 4. (UFSC) Dada a fun¸ca˜o f : R em R+ , definida por f (x) = x2 + 1, determine a soma dos n´ umeros associados a`s afirma¸co˜es verdadeiras. 01. A fun¸ca˜o ´e sobrejetora. 02. A imagem da fun¸ca˜o ´e R+ . 04. A fun¸ca˜o ´e bijetora. 96 Apostila do Curso Pr´e-Vestibular UDESC 2005 – M´ odulo I √ 08. Para x = 5, temos f (x) = 6. 16. O gr´ afico de uma fun¸ca˜o ´e uma reta. 32. A fun¸ca˜o ´e par. 5. (UA) Se f e g s˜ ao fun¸co˜es tais que f (x) = 2x − 3 e f (g(x)) = x, ent˜ ao ´e igual a: a) (x + 3)/2 b) 3x + 2 c) 1/(2x − 3) d) 2x + 3 6. (UDESC) Seja f (x) = c − ax2 . Se f (−1) = 1 e f (2) = 2, ent˜ ao f (5) ´e igual a: a) 3 b) 11/3 c) 7/3 d) 9 e) -3 Matem´ atica A • atribu´ımos valores a vari´ avel x; • substitu´ımos na fun¸ca˜o; • encontramos o valor de f (x), ou seja, o valor de y. Tendo encontrado o y, temos agora o par ordenado (x, y) que devemos encontrar no plano cartesiano. x 0 1 2 y =x−2 y = 0 − 2 = −2 y = 1 − 2 = −1 y =2−2=0 (x, y) (0, −2) (1, −1) (2, 0) Aula 02 Fun¸co ˜es Polinomiais Fun¸ c˜ ao Polinomial de 10 Grau Uma fun¸ca˜o f com A,B ⊂ R ´e uma fun¸ca˜o polinomial do 10 grau se a cada x ∈ A se associa o elemento (ax + b) ∈ B, com a pertencendo a R∗ e b pertencendo a R: f : A → B definida por f (x) = ax + b ou y = ax + b Na senten¸ca matem´ atica y = ax + b, as letras x e y representam as vari´ aveis, enquanto a e b s˜ ao denominadas coeficientes. Na fun¸ca˜o real f (x) = ax + b, a ´e o coeficiente angular e b ´e o coeficiente linear. Pelo coeficiente angular, sabemos se a fun¸ca˜o ´e crescente (a > 0) ou descrescente (a < 0). O coeficiente linear indica a ordenada do ponto em que a reta intercepta o eixo 0y. Zero da Fun¸ c˜ ao de 1o Grau Denomina-se zero ou raiz da fun¸ca˜o f (x) = ax + b o valor x que anula a fun¸ca˜o, isto ´e, torna f (x) = 0. O zero da fun¸ca˜o de primeiro grau ´e u ´nico e corresponde a abscissa do ponto em que a reta corta o eixo x. Observando o gr´ afico, x 0 1 2 y =x−2 y = 0 − 2 = −2 y = 1 − 2 = −1 y =2−2=0 (x, y) (0, −2) (1, −1) (2, 0) verificamos que: f (x) = 0 para x = 2. Estudo do Sinal Gr´ afico Para construirmos gr´ aficos de fun¸co˜es devemos seguir os seguintes passos: Para fazermos o estudo dos sinais vamos considerar um exemplo: Dada a fun¸ca˜o f (x) = 2x − 4, determinar os valores reais de x para os quais: ´ tica A – Aula 02 Matema 97 a) f (x) = 0 b) f (x) > 0 c) f (x) < 0 Solu¸ c˜ ao: Podemos verificar que a fun¸ca˜o ´e crescente pois a = 2 > 0. O zero da fun¸ca˜o ´e: 2x − 4 = 0 ⇒ 2x = 4 ⇒ x=2 A reta corta o eixo x no ponto de abscissa x = 2. Observando essas considera¸co˜es, vamos fazer um esbo¸co do gr´ afico da fun¸ca˜o: Zero da Fun¸ c˜ ao de 2◦ Grau Denominam-se zeros ou ra´ızes de uma fun¸ca˜o quadr´ atica os valores de x que anulam a fun¸ca˜o, ou seja, que tornam f (x) = 0. ` direita do eixo y os pontos da reta tˆem ordeFigura 3.1: A nada positiva e a ` esquerda os pontos da reta tˆem ordenada negativa. Resposta: f (x) = 0 x = 2 f (x) > 0 para {x ∈ R/x > 2} f (x) < 0 para {x ∈ R/x < 2} Fun¸ c˜ ao Polinomial de 2o grau A fun¸ca˜o dada f (x) : R → R dada por f (x) = ax2 + bx + c, com a,b,c reais e a 6= 0, denomina-se fun¸ca˜o do 2o grau ou fun¸ca˜o quadr´ atica. Exemplos: f (x) = x2 − 4x − 3 (a = 1, b = −4, c = −3) 2 f (x) = −2x + 5x + 1(a = −2, b = 5, c = 1) Para determinar os zeros de f (x) = ax2 + bx + c, basta fazer f (x) = 0: √ ∆ ax2 + bx + c = 0 ⇒ x = −b∓ √ √2a ∆ ∆ ⇒ x = −b+ ⇒ x = −b− 2a 2a 2 em que ∆ = b − 4ac. Assim, x1 e x2 s˜ ao as abscissas nas quais a par´ abola corta o eixo x, ou seja, (x1 , 0) e (x2 , 0) s˜ ao os pontos de intersec¸ca˜o da par´ abola com o eixo x. • Quando ∆ > 0, x1 6= x2 e a par´ abola intercepta o eixo x em dois pontos diferentes. • ∆ = 0, x1 = x2 e a par´ abola intercepta o eixo x em um u ´nico ponto. • ∆ > 0, n˜ ao existem ra´ızes reais e a par´ abola n˜ ao intercepta o eixo x. Gr´ afico Parab´ olico No gr´ afico abaixo, da fun¸ca˜o f (x) = x2 −8x+12, marcamos um ponto v. Esse ponto tem o nome de v´ertice da par´ abola. As coordenadas de V (xv , yv ) s˜ ao dadas por: O gr´ afico da fun¸ca˜o de 1o grau ´e uma curva aberta chamada par´ abola. Se o gr´ afico da fun¸ca˜o tem a par´ abola com concavidade voltada para cima, a > 0. Se o gr´ afico da fun¸ca˜o tem a par´ abola com concavidade voltada para baixo, a < 0. b xv = − 2a ∆ yv = − 4a    b ∆ v − ,− 2a 4a 98 Apostila do Curso Pr´e-Vestibular UDESC 2005 – M´ odulo I xv = − −8 2 yv = − 16 4  v (4, −4) x < x1 ou x > x2 ⇒ f (x) > 0 x1 < x < x2 ⇒ f (x) < 0 Se tra¸carmos uma reta paralela ao eixo y que passe pelo v´ertice, estaremos determinando o eixo de simetria da par´ abola. Intersec¸ c˜ ao com o Eixo y Para determinar as coordenadas desse ponto, basta substituir x por 0 (zero) na fun¸ca˜o: 2 y = ax2 + bx + c ⇒ y = a(0) + b(0) + c ⇒ y = c Exemplo Para f (x) = x2 − 8x + 12 as coordenadas para o ponto de intersec¸ca˜o com o eixo y: 2 y = x2 − 8x + 12 ⇒ y = (0) − 8(0) + 12 ⇒ y = 12 Ent˜ ao, encontramos (0, 12). x = x1 ou x = x2 ⇒ f (x) = 0 x < x1 ou x > x2 ⇒ f (x) < 0 x1 < x < x2 ⇒ f (x) > 0 • ∆ > 0, f (x) possui raiz dupla: M´ınimo ou M´ aximo da Par´ abola Quando y assume o menor valor da fun¸ca˜o, ele ´e a ordenada do ponto m´ınimo da fun¸ca˜o (yv ): x = x1 = x2 ⇒ f (x) = 0 x 6= x1 = x2 ⇒ f (x) > 0 Quando y assume o maior valor da fun¸ca˜o, ele ´e a ordenada do ponto m´ aximo da fun¸ca˜o (yv ): x = x1 = x2 ⇒ f (x) = 0 x 6= x1 = x2 ⇒ f (x) < 0 • ∆ > 0, f (x) possui duas ra´ızes reais: Estudo do Sinal Para estudar o sinal da fun¸ca˜o f (x) = ax2 + bx + c, a 6= 0, temos que considerar o valor do discriminante (∆) e o sinal do coeficiente a. Assim: • ∆ > 0, f (x) possui duas ra´ızes reais e diferentes: x = x1 ou x = x2 ⇒ f (x) = 0 Qualquer x pertencente aos reais ⇒ f (x) > 0 ´ tica A – Aula 3 Matema 99 c) -9 d) -7 e) 0 Qualquer x pertencente aos reais ⇒ f (x) < 0 Pense um Pouco! • O gr´ afico de um polinˆ omio de primeiro grau ´e sempre uma reta? • O gr´ afico de um polinˆ omio de segundo grau ´e sempre uma par´ abola? • Quantos zeros pode ter, no m´ aximo, uma fun¸ca˜o de primeiro grau? E a de segundo grau? ` esquerda e a` direita de um zero, a fun¸ca˜o de segundo • A grau tem sempre sinais contr´ arios? Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. (FGV-SP) O gr´ afico da fun¸ca˜o f (x) = mx+n passa pelos pontos A(1, −2) e B(4, 2). Podemos ent˜ ao afirmar que: a) m + n = −2 b) m − n = −2 c) m = 3/4 d) n = 5/2 e) m.n = −1 2. (PUC-SP) Para que a fun¸ca˜o do 1o grau dada por f (x) = (2 − 3k)x + 2 seja crescente, devemos ter: a) k = 2/3 b) k < 2/3 c) k > 2/3 d) k < −2/3 e) k > −2/3 3. (UFC-CE) Considere a fun¸ca˜o f : R → R, definida por f (x) = x2 − 2x + 5. Pode-se afirmar corretamente que: a) o v´ertice do gr´ afico de f ´e o ponto (1, 4). b) f possui dois zeros reais distintos. c) f atinge um m´ aximo para x = 1. d) O gr´ afico de f ´e tangente ao eixo das abscissas. 5. (Mack-SP) Um valor k para que uma das ra´ızes da equa¸ca˜o x2 − 4kx + 6k = 0 seja o triplo da outra ´e: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 6. (Santa Casa-SP) As dimens˜ oes de um retˆ angulo s˜ ao numericamente iguais a`s coordenadas do v´ertice da par´ abola de equa¸ca˜o y = −128x2 + 32x + 6. A a´rea do retˆ angulo ´e: a) 1 b) 8 c) 64 d) 128 e) 256 7. O lucro mensal de uma empresa ´e dado por L = −x2 + 30x − 5, onde x ´e quantidade mensal vendida. a) Qual ´e o lucro mensal m´ aximo poss´ıvel? b) Entre que valores deve variar x para que o lucro mensal seja no m´ınimo igual a 195? Matem´ atica A Aula 3 Fun¸co ˜es Especiais Fun¸ c˜ ao Modular O m´ odulo, ou valor absoluto, de um n´ umero real x, indicado por |x|, ´e definido assim:  x, se, x ≥ 0 |x| = −x, se, x < 0 Pela defini¸ca˜o, podemos concluir que o m´ odulo de um n´ umero real ´e sempre maior ou igual a zero. Cuidado! √ x2 = ±|x| Exemplos | − 10| = 10 Exerc´ıcios Complementares |1| = 1 |1/3| = 1/3 4. (UFPA) A fun¸ca˜o y = ax + b passa pelo ponto (1, 2) e intercepta o eixo y no ponto de ordenada 3. Ent˜ ao, a − 2b ´e igual a: a) -12 b) -10 |0| = 0 Definimos ent˜ ao a un¸ca˜o modular se a cada x real se associa |x|, ou seja: f (x) = |x| 100 Apostila do Curso Pr´e-Vestibular UDESC 2005 – M´ odulo I . Observa-se que o dom´ınio da fun¸ca˜o m´ odulo ´e R e a imagem R+ . y x 2 Representa¸ c˜ ao Gr´ afica Pela defini¸ca˜o de |x|, temos de considerar duas senten¸cas para f (x), de RemR: f (x) =  x, se, x ≥ 0 −x, se, x < 0 Construindo os dois gr´ aficos num u ´nico plano cartesiano, obtemos o gr´ afico de f (x) = |x|: fg (0,1) x (1/2) o x Figura 3.2: Fun¸co ˜es exponenciais: f (x) = 2x e g(x) = x (1/2) . Figura 3.1: Fun¸ca ˜o m´ odulo: f (x) = |x|. Fun¸ c˜ ao Exponencial A fun¸ca˜o f : R → R dada por f (x) = ax (com a 6= 1 e a > 0) ´e denominada fun¸ca˜o exponencial de base a e definida para todo x real. Assim, s˜ ao fun¸co˜es exponenciais: f (x) = 2 Figura 3.3: Exponencial crescente ax com a > 1. x g(x) = (1/3)x Gr´ afico da Fun¸ c˜ ao Exponencial Vamos representar no plano cartesiano o gr´ aficos das fun¸co˜es f (x) = 2x e f (x) = (1/2)x . Pense um Pouco! • O n´ umero de bact´erias em um meio de cultura cresce aproximadamente segundo a fun¸ca˜o , sendo t o n´ umero de dias ap´ os o in´ıcio do experimento. Calcule: a)o n´ umero n de bact´erias no in´ıcio do experimento; b)em quantos dias o n´ umero inicial de bact´erias ir´ a triplicar. Caracter´ısticas • D(ax ) = R • Im(ax ) = R+ • ax ´e uma fun¸ca˜o crescente se a > 1 • ax ´e uma fun¸ca˜o decrescente se 0 < a < 1 • ax ) passa pelo ponto (0, 1) pois a0 = 1 Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. (ITA-SP) Considere a equa¸ca˜o |x| = x − 6. Com respeito a` solu¸ca˜o real dessa equa¸ca˜o, podemos afirmar que: a) a solu¸ca˜o pertence ao intervalo [1,2] b) a solu¸ca˜o pertence ao intervalo [-2,-1] c) a solu¸ca˜o pertence ao intervalo ]-1,1[ d) a solu¸ca˜o pertence ao intervalo [3,4] e) nehuma resposta ´e correta ´ tica A – Aula 4 Matema 101 Matem´ atica A Aula 4 Fun¸co ˜es Especiais (II) Fun¸ c˜ ao Logar´ıtmica O logaritmo de um n´ umero real e positivo a, na base b, positiva e diferente de 1, ´e o n´ umero x ao qual se deve elevar a base b para se obter a logb a = x ⇐⇒ bx = a Observa¸ c˜ ao x Figura 3.4: Exponencial decrescente a com a < 1. 2. (PUC-SP) A equa¸ca˜o |2x − 1| = 5 admite: a) duas ra´ızes positivas b) das ra´ızes negativas c) ua raiz positiva e outra negativa d) smente uma raiz real e positiva e) smente uma raiz real e negativa 2x x 3. (PUC-PR) A equa¸ca˜o 16 · 5 = 25 · 20 , onde x pertence aos reais, admite: a) os n´ umeros -2 e 2 como solu¸co˜es b) apenas o n´ umero 2 como solu¸ca˜o c) apenas o n´ umero 21 como solu¸ca˜o d) os n´ umeros 2 e 12 como solu¸co˜es e) apenas o n´ umero como solu¸ca˜o Aos logaritmos que se indicam com log a chamamos de sistema de logaritmos de base a. Existe uma infinidade de sistemas de logaritmos. Dentre todos os sistemas, o mais importante ´e o sistema de logaritmos decimais, ou de base 10. Indica-se: log10 ou log. Quando o sistema ´e de base 10, ´e comum omitir-se a base na sua representa¸ca˜o. Exemplo Considerando a defini¸ca˜o dada, calcular o valor dos logaritmos: log6 36 = 2 log2 16 = 4 log3 0 = 1 log1 01000 = 3 Exerc´ıcios Complementares 4. (UEL-PR) Quaisquer que sejam os n´ umeros reais x e y, a) se |x| < |y|, ent˜ ao x < y b) |xy| = |x||y| c) |x + y| = |x| + |y| d) | − |x|| = −x e) se x < 0, ent˜ ao |x| < x 5. (PUC-SP) Resolvendo a equa¸ca˜o 4+4 = 5·2x , obtemos: a) x1 = 0 e x2 = 1 b) x1 = 1 e x2 = 4 c) x1 = 0 e x2 = 2 d) x1 = −1 e x2 = −2 e) x1 = −4 e x2 = −5 6. (PUC-MG) Se 2x = 4y e 25x = 25 · 5y , o valor de x + y ´e: a) 4/3 b) 2/3 c) 1/3 d) 1 e) 2 f) -3 Propriedades dos Logaritmos • O logaritmo de um produto ´e igual a` soma dos logaritmos dos fatores tomados na mesma base, isto ´e: logb (x · y) = logb x + logb y • O logaritmo de um quociente ´e igual ao logaritmo do numerador menos o logaritmo do denominador tomados na mesma base, isto ´e: logb (x/y) = logb x − logb y • O logaritmo de uma potˆencia ´e igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base da potˆencia, isto ´e: logb xn = n logb x Caso particular logb √ n x = logb x( 1/n) = 1 logb x n 102 Apostila do Curso Pr´e-Vestibular UDESC 2005 – M´ odulo I Mudan¸ ca de Base Suponha que apare¸cam logaritmos de bases diferentes e que precisamos reduzir os logaritmos de bases diferentes para uma base conveniente. Essa opera¸ca˜o ´e chamada mudan¸ca de base: logb a = logc a logc b onde c ´e a nova base. Exemplo log2 10 = log1 010 1 = log1 02 log1 02 Representa¸ c˜ ao Gr´ afica Figura 3.2: Fun¸ca ˜o logar´ıtmica com base 0 < a < 1 Ao estudar a fun¸ca˜o exponencial, vimos que ela ´e bijetora, portanto admite fun¸ca˜o inversa, que ´e a logar´ıtmica. Do estudo das fun¸co˜es inversas, descobrimos que, no plano cartesiano, seus gr´ aficos s˜ ao sim´etricos em rela¸ca˜o a bissetriz do 1◦ e 3◦ quadrantes. Assim, para as fun¸co˜es exponencial e logar´ıtmica, de base 0 < a < 1 e a > 1, temos: Os ponto A e B s˜ ao chamados de extremidades dos arcos. Medida de um arco Grau ´e o arco umit´ ario equivalente a 1/360 da circunferˆencia que o cont´em. Figura 3.1: Fun¸ca ˜o logar´ıtmica com base a > 1 Observa¸ca˜o: 1◦ = 600 e 10 = 6000 Radiano ´e o arco cujo comprimento ´e igual ao comprimento do raio da circunferˆencia que o cont´em. Fun¸ co ˜es Trigonom´ etricas Arco de Circunferˆ encia Observemos que os pontos A e B dividem a circunferˆencia em duas partes. Cada uma dessas partes ´e denominado arco de circunferˆencia. Assim, temos: arco AB= arco BA ´ tica A – Aula 4 Matema 103 Observa¸ca˜o: O raio da circunferˆencia quando utilizado como instrumento de medida ´e denominado raio unit´ ario, isto ´e, se o comprimento de um arco ´e x raios, sua medida ´e x radianos. Lembrando que qualquer circunferˆencia tem 360 ◦ , temos que: 360◦ corresponde a 2π rad e 180◦ corresponde a π rad. ˆ Angulo Plano ´ a abertura de duas semi-retas que partem do mesmo E ponto. ˆ Angulo Central de uma Circunferˆ encia ´ o aˆngulo que tem o v´ertice no centro dessa circunferˆencia. E Fun¸ c˜ ao Cosseno Chamamos de fun¸ca˜o cosseno a fun¸ca˜o f : R → R que, a cada n´ umero real x, associa o cosseno desse n´ umero. f (x) = cos x Circunferˆ encia Trigonom´ etrica Uma circunferˆencia orientada, de raio unit´ ario (r = 1), sobre a qual um ponto A ´e a origem de medida de todos os arcos nela contidos, ´e uma circunferˆencia trigonom´etrica. Vamos considerar uma circunferˆencia cujo centre coincide com a origem do sistema cartesiano e o ponto A(1, 0), que ´e a origem de todos os arcos, como mostra a figura a seguir: O dom´ınio dessa fun¸ca˜o ´e R e a imagem ´e o intervalo real [-1,1], visto que, na circunferˆencia trigonom´etrica, o raio ´e unit´ ario. Sinal da Fun¸ c˜ ao Cosseno O sinal da fun¸ca˜o cosseno ´e dada seguindo o esquema abaixo: Os eixos 0x e 0y do plano cartesiano dividem a circunferˆencia em quatro arcos de mesma medida, numerados no sentido anti-hor´ ario. Esses eixos dividem o plano em quatro regi˜ oes, denominadas quadrantes, tamb´em numeradas no sentido anti-hor´ ario. Fun¸ c˜ ao Tangente Fun¸ c˜ ao Seno Chamamos de fun¸ca˜o seno a fun¸ca˜o f : R → R que, a cada n´ umero real x, associa o seno desse n´ umero: f (x) = sen x O dom´ınio dessa fun¸ca˜o ´e R e a imagem ´e intervalo [-1,1], visto que, na circunferˆencia trigonom´etrica, o raio ´e unit´ ario. Sinal da fun¸ c˜ ao seno O sinal da fun¸ca˜o seno ´e dada seguindo o esquema abaixo: A fun¸ca˜o f definida em R que a cada n´ umero x associa a tangente desse n´ umero: f (x) = tan x O dom´ınio da fun¸ca˜o tan x ´e R − {nπ/2}, com n = 0, ±1, ±2, . . ., e a imagem da fun¸ca˜o ´e R. Sinal da Fun¸ c˜ ao Tangente O sinal da fun¸ca˜o tangente ´e dada seguindo o esquema abaixo: 104 Apostila do Curso Pr´e-Vestibular UDESC 2005 – M´ odulo I Lei dos Senos ´ a rela¸ca˜o v´ E alida para qualquer triˆ angulo que se traduz pela seguinte f´ ormula: b c a = = sen A sen B sen C c A Cotangente Por defini¸ca˜o temos: cotg x = 1 tan x para todo x|tan x 6= 0 Secante B a C b Lei dos Cossenos ´ a rela¸ca˜o v´ E alida para qualquer triˆ angulo que se traduz pela seguinte f´ ormula: a2 = b2 + c2 − 2bc · cos A Por defini¸ca˜o temos: sec x = 1 cos x para todo x|cos x 6= 0 Com essa f´ ormula, dadas as medidas de dois lados e do aˆngulo compreendido entre eles, calcula-se o terceiro lado de qualquer triˆ angulo. Como se pode ver, ´e uma generaliza¸ca˜o do Teorema de Pit´ agoras. Cossecante Por defini¸ca˜o temos: Pense um Pouco! cossec x = 1 sen x para todo x|sen x 6= 0 • Dado o sen x como vocˆe acharia o cos x? E a tan x? • A tan x pode ser maior do que 1? Rela¸ co ˜es trigonom´ etricas tanx = f racsen xcos x 2 • Para que valores de x temos sen x > cos x? Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 2 sen x + cos x = 1 1 + tan2 x = sec2 x 1 + cotan2 x = cossec2 Transforma¸ co ˜es Trigonom´ etricas 1. (FCC-Ba) Indica-se por log x o logaritmo do n´ umero x na base 10. A equa¸ca˜o xlog x = 10000 admite duas ra´ızes: a) iguais b) opostas entre si c) inteiras d) cujo produto ´e 1 e) cuja soma ´e 101 F´ ormulas da Adi¸ c˜ ao 2. (MACK-SP) Se Sejam a e b dois arcos positivos, do primeiro quadrante, cuja soma ainda pertence ao primeiro quadrante. Valem para esses arcos as seguintes identidades: sen (a ± b) = sen a · cos b ± sen b · cos a cos (a ± b) = cos a · cos b ± sen a · sen b tan (a ± b) = tan a ± tabb 1 ∓ tan a · tan b 1 1 1 + + =2 log2 x log3 x log6 x ent˜ ao x2 ´e igual a: a) 25 b) 36 c) 16 d) 81 e) 100 ´ tica B – Aula 01 Matema 105 Exerc´ıcios Complementares 3. (FGV-SP) Determine a de forma √ que se tenha simultaneamente sem x = 1/a e cos x = 1 + a/a a) a = −1 ou a = −2 b) a = 1 e a = 2 c) a = −1 e a = 2 d) a = 2 e a = −2 e) a = 1 ou a = −1 4. (UEL-PR) Para todo n´ umero real, tal que que 0 < x < 1/2, a express˜ ao sec x + tg x cos x + cot x ´e equivalente a: a) (sen x)(cotg x) b) (sec x)(cotg x) c) (cos x)(tg x) d) (sec x)(tg x) e) (sen x)(tg x) linha e a coluna que o elemento ocupa. Uma matriz A do tipo m × n ´e representada por:     A=   Aula 01 Se essa tabela ´e formada por m linhas e por n colunas, dizemos que a matriz ´e do tipo m por n, e indicamos m × n. No exemplo, a matriz A tem 3 linhas e 3 colunas; ent˜ ao, A ´e do tipo 3 × 4: A(3 × 4). De modo geral, apresentamos uma matriz cercando as linhas e as colunas por parˆenteses como na matriz A acima. Podemos tamb´em utilizar colchetes ou duplas barras. Exemplos  2 1/2 −3 ´e uma matriz (2 × 3) 5 0 −1 1 4 ´e uma matriz de ordem 2 5 −1 −1 am3 ··· ··· ··· a1n a2n a3n .. . ··· · · · amn         2 6 −5 0  a11    a12 a21    a22  =2 =6 = −5 =0 Tipos de matrizes ´e chamada matriz.  am2 A= Uma tabela de n´ umeros dispostos em linhas e colunas, como por exemplo:   3 1 4 2  6 −5 0 −1  7 11 −3 5 3. D = am1 Na matriz: Matrizes 2. C = a13 a23 a33 .. . Exemplo Matem´ atica B 1. B = a12 a22 a32 .. . ou, abreviadamente, A = [aij ]m×n , em que i e j representam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa. Por exemplo, na matriz anterior, a31 ´e o elemento da 3a linha e da 1a coluna. temos  a11 a21 a31 .. . 0 3 5  ´e uma matrix (1 × 4) Nota¸ c˜ ao Geral Normalmente representamos as matrizes por letras mai´ usculas e seus elementos por letras min´ usaculas, acompanhadas por dois ´ındices que indicam, respectivamente, a Algumas matrizes recebem nomes especiais, devido suas caracter´ısticas. • Matriz linha : matriz do tipo 1 × n, ou seja, ´nica linha. Por exemplo, a matriz A = com uma u 5 8 −2 3 , do tipo 1 × 4. • Matriz coluna : matriz do tipo m× 1, ou seja, com 3 uma u ´nica coluna. Por exemplo,  −5 , do tipo 2 3 × 1. • Matriz quadrada : matriz do tipo n × n, ou seja, com o mesmo n´ umero de linhas e colunas; dizemos que a matriz ´e de ordem n. Os elementos da forma aii constituem a diagonal principal. Os elementos a ij em que i + j = n + 1 constituem a diagonal secund´ aria. Por exemplo, a matriz   7 −9 C= 2 4 ´e do tipo 2 × 2, isto ´e, quadrada de ordem 2. • Matriz nula: matriz em que todos os elementos s˜ ao nulos; ´e representada por 0m×n . Por exemplo, 02×3 = .  0 0 0 0 0 0  106 Apostila do Curso Pr´e-Vestibular UDESC 2005 – M´ odulo I • Matriz diagonal: matriz quadrada em que todos os elementos que n˜ ao est˜ ao na diagonal principal s˜ ao nulos. Por exemplo:   4 0 0 B3×3 =  0 5 0  0 0 −3 . • Matriz identidade: matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal s˜ ao iguais a 1 e os demais s˜ ao nulos; ´e representada por In , sendo n a ordem da matriz. Por exemplo:   1 0 0 I3 =  0 1 0  0 0 1 Para uma matriz identidade  aij = 1 se i = j aij = 0 se i = 6 j • Matriz transposta: Dada uma matriz A(m × n), a matriz que se obt´em trocando ordenadamente as linhas pelas colunas chama-se transposta de A, e ´e indicada por At (ou por At ). Por exemplo     2 3 2 5 0 t   A = 5 −1 =⇒ A = 3 −1 6 0 6 • Matriz sim´ etrica: matriz que A = At . Por exemplo  3 A= 5 6 Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. Escreva a matriz A(3 × 3) = [aij ], onde aij = i + 2j. Determine, em seguida, At (a matriz transposta de A). 2.  Escreva a matriz A(2 × 2) aij = 2i, se i = j aij = j − 10 se i 6= j = [aij ] onde 3. (ACAFE) Seja A = B, onde  2    x +1 0 10 y − 2 A= eB= 4 4 logx 81 y 2 ent˜ ao os valores de x e y ser˜ ao, respectivamente: a) 2 e 3 b) ±2 e ±3 c) 3 e 2 d) −3 e −2 e) ±3 e ±2  5 6 2 4  4 8 4. Sendo A = [aij ]2×3 tal que aij = i + j, determinde x, y   2 y−1 4 . e z tais que A = x z 5 • Matriz oposta: matriz −A obtida a partir de A trocando-se o sinal de todos os elementos de A. Por exemplo, se   3 0 A= 4 −1 −A = • No que a matriz antisim´etrica difere da matriz sim´etrica? Exerc´ıcios Complementares • Matriz anti-sim´ etrica: Uma matriz quadrda A = [aij ] ´e anti-sim´etrica se At = −A. Por exemplo   0 3 4 A =  −3 0 −6  −4 6 0  • Qual a rela¸ca˜o entre uma matriz A e sua oposta? quadrada de ordem n tal ´e sim´etrica pois temos aij = aji . ent˜ ao Pense um Pouco! −3 −4 0 1  Igualdade de Matrizes Duas matrizes, A e B, do mesmo tipo m × n, s˜ ao iguais se, e somente se, todos os elementos que ocupam a mesma posi¸ca˜o s˜ ao iguais. Por exemplo, se     x y 8 −1 A= eB= z t 5 3 A = B se, e somente se, x = 8, y = −1, z = 5 e t = 3. 5. Dada a matriz A = (aij )3×3 tal que aij = i2 + 2j − 5, calcule a12 + a31 . 6. Calcule a soma dos elementos da 2a coluna da matriz B = (bij )2×3 , em que bij = 2i + j − 1 Matem´ atica B Aula 02 Opera¸co ˜es com Matrizes Adi¸ c˜ ao Dadas as matrizes A e B, ambas do mesmo tipo (m × n), somar A com B ´e obter a matriz A + B, do tipo m×n, onde cada elemento ´e a soma dos elementos de mesma posi¸ca˜o de A e B. Por    exemplo:  8 −7 3 2 3 5 eB= Se A = 2 4 6 −1 4 −2 ent˜ ao A+B =  2+8 3−7 5+3 −1 + 2 4 + 4 −2 + 6  ´ tica B – Aula 02 Matema A+B =  10 −4 1 8 107 8 4  Multiplica¸ c˜ ao de Matrizes Propriedades da Adi¸ c˜ ao Sendo A, B e C matrizes do mesmo tipo (m × n), temos as seguintes propriedades para a adi¸ca˜o: a) comutativa: A + B = B + A b) associativa: (A + B) + C = A + (B + C) c) elemento neutro: A + 0 = 0 + A = A, sendo 0 a matriz nula m × n d) elemento oposto: A + (−A) = (−A) + A = 0 Subtra¸ c˜ ao Para entendermos a subtra¸ca˜o de matrizes devemos saber o que ´e uma matriz oposta. A oposta de uma matriz M ´e a matriz −M , cujos elementos s˜ ao os n´ umeros opostos de mesma posi¸ca˜o de M . Por exemplo: M=  2 −3 −5 7  =⇒ −M =  −2 3 5 −7  Com a matriz oposta podemos definir a diferen¸ca de matrizes: A − B = A + (−B) ou seja, para subtrair matrizes, somamos a primeira com a oposta da segunda. Assim para as matrizes A e B acima, temos: A−B = Logo, A−B =   2 −1 −6 −3 A − B = A + (−B)    −8 7 −3 3 5 + −2 −4 −6 4 −2  10 2 0 −8 Multiplica¸ c˜ ao por um N´ umero Real Multiplicar um n´ umero k por uma matriz A ´e obter a matriz kA, cujos elementos s˜ ao os elementos de A multiplicados, todospor k.    2 1 6 3 A =  4 −3  =⇒ 3A =  12 −9  −1 5 −3 15 Propriedades Sendo A e B matrizes do mesmo tipo m × n e x e y n´ umeros reais quaisquer, valem as seguintes propriedades: a) associativa: x · (yA) = (xy) · A b) distributiva de um n´ umero real em rela¸ca˜o a` adi¸ca˜o de matrizes: x · (A + B) = xA + xB c) distributiva de uma matriz em rela¸ca˜o a` adi¸ca˜o de dois n´ umeros reais: (x + y) · A = xA + yA d) elemento neutro: xA = A, para x = 1, ou seja, 1 · A = A Dadas as matrizes A = (aik )m × n e B = (bik )m × p, definese como produto de A por B a matriz C = (cij )m × p tal que o elemento cij ´e a soma dos produtos da i-´esima linha de A pelos elementos correspondentes da j-´esima coluna de B. C = A · B ⇒ cij = Pp k=1 (Aik · Bik ) Observa¸ c˜ ao Somente existe o produto de uma matriz A por outra matriz B se o n´ umero de colunas de A ´e igual ao n´ umero de linhas de B. Se existir o produto de A por B, o tipo da matriz produto ´e dado pelo n´ umero de linhas de A e pelo n´ umero de colunas de B. Pode existir o produto de A por B, mas n˜ ao existir o produto de B por A. Propriedades Verificadas as condi¸co˜es de exixtˆencia para a multiplica¸ca˜o de matrizes, valem as seguintes propriedades: a) associativa: (A · B) · C = A · (B · C) b) distributiva em rela¸ca˜o a` adi¸ca˜o: A·(B+C) = A·B+A·C ou (A + B) · C = A · C + B · C c) elemento neutro: A · In = In · A = A, sendo In a matriz identidade de ordem n Geralmente a propriedade comutativa n˜ ao vale para a multiplica¸ca˜o de matrizes (A · B 6= B · A). N˜ ao vale tamb´em o anulamento do produto, ou seja: sendo 0m×n uma matriz nula, A · B = 0m×n n˜ ao implica, necessariamente, que A = 0m×n ou B = 0m×n . Invers˜ ao de Matrizes Dada uma matriz A, quadrada, de ordem n, se exixtir uma matriz A0 , de mesma ordem, tal que A · A0 = A0 · A = In , ent˜ ao A0 ´e matriz inversa de A. Representamos a matriz inversa por A−1 . Pense um Pouco! • Sempre podemos multiplicar matrizes de mesma ordem (iguais) ? • (ACAFE) Sejam as matrizes A3×2 , B3×3 e C2×3 . A alternativa em que a express˜ ao ´e poss´ıvel de ser determinada ´e: a) B 2 · (A + C) b) (B · A) + C c) (C · B) + A d) (A · C) + B e) A · (B + C) 108 Apostila do Curso Pr´e-Vestibular UDESC 2005 – M´ odulo I Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao a) 94 b) 49 c) 4 d) 59 e) − 91   1 2 1. Sendo A = , determine sua inversa, se exix−2 1   1/5 −2/5 tir. A = 2/5 1/5   0 1 , seja At a sua 2. (ACAFE) Dada a matriz A = 2 −2 matriz transposta. O produto A · At ´e a matriz:   0 1 a) 2 −2   0 2 b) 1 −2   1 −2 c) 0  −2  1 0 d) 2 1   1 −2 e −2 8 3. (ACAFE) Considre asmatrizes    1 2 x A= ,B= e −2 −1 y   6 . Sabendo que A · B = C, o valor de |x| + |y| ´e: C= 9 a) 15 b) 1 c) 57 d) 9 e) 39 Exerc´ıcios Complementares   1 0 4. Dadas as matrizes A =  3 2  e 5 4   2 −1 0 , calcule X = 2A − 3B t . B= 1 3 4 5. A matriz A = (aij )3×3 ´e definida, de tal forma que: aij = ( se i>j se i=j i + j se i < j i−j i∗j 8. (UECE) Oproduto da inversa   da matriz  1 0 1 1 ´e igual a: pela matriz I = A= 0 1  1 2  −2 1 a) −1 1   2 −1 b) 1 −1   −2 1 c) 1 −1   2 −1 d) −1 1 Matem´ atica B Determinantes Determinante ´e um n´ umero que se associa a uma matriz quadrada. De modo geral, um determinante ´e indicado escrevendo-se os elementos da matriz entre barras ou antecedendo a matriz pelo s´ımbolo det.   a b Assim, se A = , o determinante de A ´e indicado c d por:   a b a b = detA = det c d c d O c´ alculo de um determinante ´e efetuado atrav´es de regras ´ importante espec´ıficas que estudaremos mais adiante. E ressaltarmos alguns pontos: 1. Somente a`s matrizes quadradas ´e que associamos determinantes. 2. O determinante n˜ ao representa o valor de uma matriz. Lembre-se, matriz ´e uma tabela, e n˜ ao h´ a significado falar em valor de uma tabela. Determinante de 1a Ordem Dada uma matriz quadrada de 1a ordem M = [a11 ], o seu determinante ´e o n´ umero real a11 : Determinar a matriz inversa de A. det M = |a11 | = a11 6. Dada a matriz  cos θ M =  sen θ 0 t Calcule M · M . −sen θ cos θ 0 Aula 03  0 0  1 7. (ITA-SP)  Considere P a matriz inversa da matriz M =  1/3 0 . A soma dos elementos da diagonal principal 1/7 1 da matriz P ´e: Exemplo M = [5] ⇒ det M = 5 ou |5| = 5 Determinante de 2a Ordem   a11 a12 Dada a matriz M = , de ordem 2, por defini¸ca˜o a21 a22 o determinante associado a M , determinante de 2 a ordem, ´ tica B – Aula 03 Matema ´e dado por: a11 a21 a12 a22 109 − = a11 a22 − a12 a21 Menor Complementar Determinante de 3a Ordem Para o c´ alculo de determinantes de ordem 3 podemos utilizar uma regra pr´ atica, conhecida como Regra de Sarrus, que s´ o se aplica a determinantes de ordem 3. A seguir, explicaremos detalhadamente como utilizar a Regra de Sarrus para calcular o determinante a11 a12 a13 D = a21 a22 a23 a31 a32 a33 1o passo: terceira: Chamamos de menor complementar relativo a um elemento aij de uma matriz M , quadrada de ordem n > 1, o determinante M C ij , de ordem n − 1, associado a` matriz obtida de M quando suprimimos a linha e a coluna que passam por aij . Por exemplo, dada a matriz M= a21 a22 a23 a21 a22 a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32 o 3 passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal secund´ aria com os dois produtos obtidos pela multiplica¸ca˜o dos elementos das paralelas a essa diagonal: a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32 multiplicar e somar Assim, subtraindo o segundo produto do primeiro, podemos escrever o determinante como: = (a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 ) a12 a22  a11 a21 a12 ⇒ M C 11 = |a22 | = a22 a22 a11 a21 a12 ⇒ M C 12 = |a21 | = a21 a22 Para um determinante de ordem 3, o processo de obten¸ca˜o do menor complementar ´e o mesmo utilizado anteriormente, por exemplo, sendo  a11 M =  a21 a31 a12 a22 a32  a13 a23  a33 de ordem 3, temos: a M C 11 = 22 a32 Cofator multiplicar e somar a11 a21 De modo an´ alogo, para obtermos o menor complementar relativo ao elemento a12 , eliminamos a linha 1 e a coluna 2: a31 a32 a33 a31 a32 2o passo: Devemos encontrar a soma do produto dos elementos da diagonal principal com os dois produtos obtidos pela multiplica¸ca˜o dos elementos das paralelas a essa diagonal:  de ordem 2, para determinar o menor complementar relativo ao elemento a11 (M C 11 ), eliminamos a linha 1 e a coluna 2: Repetimos as duas primeiras colunas ao lado da a11 a12 a13 a11 a12 D (a13 a22 a31 + a11 a23 a32 + a12 a21 a33 ) a23 = a22 a33 − a23 a32 a33 Chama-se de cofator de um elemento aij de uma matriz quadrada o n´ umero Aij tal que Aij = (−1) i+j · M Cij Exemplo  a11 Considerando M =  a21 a31 a12 a22 a32  a13 a23  a33 calcularemos o cofator A23 . Temos que i = 2 e j = 3, logo: 2+3 A23 = (−1) · M C23 . Devemos calcular M C23 . M C 23 a = 11 a31 a12 = a11 a32 − a12 a31 a32 Assim A23 = (−1) · (a11 a32 − a12 a31 ) 110 Apostila do Curso Pr´e-Vestibular UDESC 2005 – M´ odulo I Teorema de Laplace igual ao produto dos elementos dessa diagonal multiplica- O determinante de uma matriz quadrada M = [aij ]m×n (m ≥ 2) pode ser obtido pela soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) da matriz M pelos respectivos cofatores. dos por (−1) 2 . P11 ) Para A e B matrizes quadradas de mesma ordem n, det(AB) = det A · det B. Como A · A−1 = I, det A−1 = 1/det A. P12 ) Se k ∈ R, ent˜ ao det (k · A) = k n · det A. n(n−1) Desta forma, fixando j ∈ N, tal que 1 ≤ j ≤ m, temos: det M = Pm i=1 aij Aij Pm orio de todos os termos de ´ındice i, em que i=1 ´e o somat´ variando de 1 at´e m, m ∈ N. Exemplo: Calcule o determinante a seguir utilizando o Teorema de Laplace: 2 3 −4 D = −2 1 2 0 5 6 Aplicando o Teorema 1, te de Laplace na coluna 2+1 3 −4 1+1 1 2 mos: D = 2(−1) 5 6 + 5 6 + (−2)(−1) 3+1 3 −4 0(−1) 1 2 D = 2(+1)(−4) + (−2)(−1)38 + 0 = −8 + 76 = 68 Observa¸ c˜ ao Se calcularmos o determinante utilizando a Regra de Sarrus, obteremos o mesmo n´ umero real. Propriedades dos determinantes P1 ) Quando todos os elementos de uma fila (linha ou coluna) s˜ ao nulos, o determinante dessa matriz ´e nulo. P2 ) Se duas filas de uma matriz s˜ ao iguais, ent˜ ao seu determinante ´e nulo. P3 ) Se duas filas paralelas de uma matriz s˜ ao proporcionais, ent˜ ao seu determinante ´e nulo. P4 ) Se os elementos de uma matriz s˜ ao combina¸co˜es lineares dos elementos correspondentes de filas paralelas, ent˜ ao seu determinante ´e nulo. P5 ) Teorema de Jacobi: o determinante de uma matriz n˜ ao se altera quando somamos aos elementos de uma fila, uma combina¸ca˜o linear dos elementos correspondentes de filas paralelas. P6 ) O determinante de uma matriz e o de sua transposta s˜ ao iguais. P7 ) Multiplicando-se por um n´ umero real todos os elementos de uma fila em uma matriz, o determinante dessa matriz fica multiplicado por esse n´ umero. P8 ) Quando trocamos as posi¸co˜es de duas filas paralelas, o determinante de uma matriz muda de sinal. P9 ) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal principal s˜ ao todos nulos, o determinante ´e igual ao produto dos elementos dessa diagonal. P10 ) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal secund´ aria s˜ ao todos nulos, o determinante ´e Pense um Pouco! • Podemos associar um determinante apenas a matrizes quadradas? Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao log2 8 1. (ACAFE) O valor do determinante −1/2 4 a) 0 b) 4 c) 7 d) 17 2 e) 53 2 log10 ´e: 2 31 2. (UDESC) Sejam as matrizes quadradas de ordem 2, A = (aij ) com aij = i2 − j 2 e B = (bij ) com bij = aij − 3 se i > j, e bij = aij + 3 se i ≤ j. Determine: a) a matriz A b) a matriz B c) a matriz A · B d) o determinante da matriz A · B 3. (UDESC) A partir da matriz A = [aij ]2×2 , onde aij = n −1 se i≥j i+j se i