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Jorge Orestes Cerdeira, Inst. Sup. Agronomia, 2005 Determinantes Def. Uma permuta¸c˜ao dos elementos do conj. N = {1, 2, . . . , n} ´e uma sequˆencia α1 α2 . . . αn de n elementos distintos de N . Ex. 123456 e 216354 s˜ao duas permuta¸c˜oes do conj. {1, 2, . . . , 6}. Obs. O n´ umero de permuta¸co˜es do conj. N = {1, 2, . . . , n} ´e n!. As n! permuta¸c˜oes podem ser obtidas a partir da permuta¸c˜ao 12 . . . n por sucessivas trocas de elementos adjacentes. 1 8 > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > 1 > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > 2 > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > : 2 1 8 > > > > > > > > > > > 1 > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > < 1 > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > 3 > > > > > > > > : 8 > > > > > > > > > > > 3 > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > < 2 > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > 2 > > > > > > > > : 2 3 1 2 3 1 1 3 2 2 1 1 3 8 > > 1 > > > > > < 1 > > 1 > > > > > : 4 8 > > 4 > > > > > < 1 > > 1 > > > > > : 1 8 > > 3 > > > > > < 3 > > 3 > > > > > : 4 8 > > 4 > > > > > < 3 > > 3 > > > > > : 3 8 > > 2 > > > > > < 2 > > 2 > > > > > : 4 8 > > 4 > > > > > < 2 > > 2 > > > > > : 2 2 3 4 2 4 3 4 2 3 1 2 3 1 3 2 4 3 2 3 4 2 3 2 4 1 2 4 1 4 2 4 1 2 3 1 2 3 2 1 4 2 1 2 4 1 2 1 4 3 1 4 3 4 1 4 3 1 2 3 1 2 1 3 4 1 3 1 4 3 1 3 4 Def. Numa dada permuta¸c˜ao α1 . . . αi . . . αj . . . αn , os elementos αi e αj fazem uma invers˜ao se αi > αj . Ex. Na permuta¸c˜ao 216354 os elementos 2 e 1 fazem uma invers˜ao. O elemento 6 faz invers˜ao com 3, 5 e 4. O elemento 3 apenas faz invers˜ao com 6. Obs. O n´ umero de invers˜oes na permuta¸ca˜o α1 α2 . . . αn ´e dado por Pn−1 i=1 no¯ de elementos menores do que αi que est˜ao `a sua direita. Ex. O no¯ de invers˜oes na permuta¸c˜ao 216354 ´e 5. Def. Uma permuta¸ca˜o ´e par ou ´ımpar consoante ´e par ou ´ımpar o no¯ de invers˜oes na permuta¸c˜ao. Ex. A permuta¸ca˜o 216354 ´e ´ımpar. Obs. Uma permuta¸c˜ao muda de paridade quando se troca um par de elementos adjacentes. Considere a permuta¸c˜ao P = α1 . . . αi αi+1 . . . αn . Se αi < αi+1 , o no¯ de invers˜oes em α1 . . . αi+1 αi . . . αn ´e mais uma do que em P . Se αi > αi+1 , o no¯ de invers˜oes em α1 . . . αi+1 αi . . . αn ´e menos uma do que em P . Como as n! permuta¸c˜oes de {1, 2, . . . , n} podem ser obtidas a 2 partir da permuta¸ca˜o 12 . . . n por trocas sucessivas de pares de elementos adjacentes, tem-se o seguinte resultado. Lema Das n! permuta¸c˜oes dos elementos do conj. {1, 2, . . . , n} metade s˜ao ´ımpares e metade s˜ao pares. Seja A = [aij ] uma matriz quadrada de ordem n. Def. Um termo da matriz A ´e o produto de n elementos de A em que figura um representante de cada linha e coluna.    a11 a12 a13      Ex. Se A =  a21 a22 a23 , a12 a21 a33 , a11 a23 a32 , a11 a22 a33 s˜ao     a31 a32 a33 termos da matriz A. Def. O termo a1α1 a2α2 . . . anαn ´e par se a permuta¸c˜ao α1 α2 . . . αn ´e par. Caso contr´ario diz-se que o termo ´e ´ımpar. Ex. Os termos a12 a21 a33 e a11 a23 a32 s˜ao ´ımpares e o termo a11 a22 a33 ´e par.    a11 a12  A matriz A =   s´o tem um termo par: a11 a22 e um a21 a22 termo ´ımpar: a12 a21 . Def. O determinante da matriz An×n ´e a soma dos n! termos de 3 A, figurando os ´ımpares com sinal “-”, i.e., det A = |A| = X δα a1α1 a2α2 . . . anαn , α em que δα =    −1     a11 Ex. det  a21   1 det  −1   a11   det  a21   a31 1 se α = α1 α2 . . . αn ´e ´ımpar  caso contr´ario. a12   = a11 a22 − a12 a21 . a22  2  = 1 × 5 − 2 × (−1) = 7. 5  a12 a13    = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 a22 a23    − a13 a22 a31 − a11 a23 a32 − a12 a21 a33 a32 a33 a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32 − − − + + +    0 −1 2      det  3 1 −2  = 0 × 1 × 0 + (−1) × (−2) × 5 + 2 × 3 × 3     −2×1×5−0×(−2)×3−(−1)×3×0 = 18 5 3 0 4 Props. dos determinantes de An×n . 1. Se todos os elementos de uma fila s˜ao nulos, o determinante ´e zero. 2. Se multiplicar os elementos de uma fila por um escalar λ o determinante vem multiplicado por λ. (.. . det λA = λn det A.) 3. Quando se troca duas filas paralelas o determinante muda de sinal.   1 2 A=  3 2   3 2 B=  1 2 4. Se duas filas s˜ao proporcionais o determinante ´e zero. . Se h´a filas iguais, o resultado anterior implica que o determinante  ´e zero. .. .     ai1 ai2 . . . ain    .. .A= .     λai1 λai2 . . . λain   .. .    .. .         ai1 ai2 . . . ain       ..  , det A = λ det  .         ai1 ai2 . . . ain     .. . {z | 0 5. O determinante de uma matriz 4lar ´e igual ao termo principal. 5               } 6. Se os elementos da linha i (coluna j) forem escritos na forma aij = bij + cij , j = 1, . . . , n,    a11 a12 . . . a1n   ..  .    det A = det  bi1 bi2 . . . bin    .. .    an1 an2 . . . ann  a11 a12 . . . a1n      ..   .        + det  ci1 ci2 . . . cin       ..  .      an1 an2 . . . ann det A = = = = P . . . anαn = ... α δα a1α1 a2α2 . . . (biαi + ciαi ) . . . anαn = α (δα a1α1 a2α2 . . . biαi . . . anαn +δα a1α1 a2α2 . . . ciαi . . . anαn ) = X aiαi |{z} δα a1α1 a2α2 . . . biαi . . . anαn + |α =                α δα a1α1 a2α2 P P    {z det B  X δα a1α1 a2α2 . . . ciαi . . . anαn = |α } +  −1 3  1 −1 3   1       det  2 4 5  = det  2 4 5       3 3 8 2+1 4−1 5+3    1 −1 3      det  2 4 5  = 0     1 −1 3 6 {z det C  }    1 −1 3         = det  2 4 5 +       2 4 5 7. Se a uma fila adicionarmos um m´ ultiplo de uma fila paralela, o determinante n˜ao se altera. (Este resultado decorre directamente das propriedades 4 e 6.)      1 2 −2 0         2 3 −4 1      det   = det       −1 −2 0 2        0 2 5 3     1 2 −2    0 −1 0  det    0 0 −2   0 0 5 0       1    = det     2     5 1  1 2 −2 0    0 −1 0 1   =  0 0 −2 2    0 2 5 3  2 −2 0    0 −1 0 1    = 20.  0 0 −2 2    0 0 0 10 Tem-se pois o seguinte Algoritmo para o c´alculo do determinante da matriz A . Seja A0 a matriz em escada que se obtem aplicando o m´etodo de Gauss (fase descendente) a A. . det A = δ× termo principal de A0 , em que 7     1    δ= se ´e par o no de trocas de linhas realizadas ao passar de A para A0 ,       −1 caso contr´ario. 8. det A = det A> . 9. det(AB) = det A det B. Note que det(A + B) pode n˜ao coincidir com det A + det B.     1 1 1 0 A= ,B =  . 0 1 1 1 10. A ´e invert´ıvel sse det A 6= 0, e det A−1 = 1 det A . det(AA−1 ) = 1 = det A det A−1 ⇒ det A−1 = 1 det A . Def. O menor complementar do elemento (i, j) da matriz A, que se representa por Aij , ´e o determinante da submatriz que se obtem eliminandoa linha i e a coluna j de A.  2 4 −2      Ex. A =  1 3 0 .     −1 2 5     3 0  4 −2  A11 = det  = 15, A = det    = 24. 21 2 5 2 5 8 Def. Chama-se complemento alg´ebrico ou co-factor do elemento (i, j) da matriz A a ∆ij = (−1)i+j Aij . Ex. ∆11 = (−1)2 A11 = 15, ∆21 = (−1)3 A21 = −24. Teor. (de Laplace) det A = ai1 ∆i1 + ai2 ∆i2 + · · · + ain ∆in = a1j ∆1j + a2j ∆2j + · · · + anj ∆nj .        2 3 −1       5 7 4 7 Ex. det  4 5 7  = 2 det  − 3 det   −     −2 1 0 1 0 −2 1   4 5  1 det   = 2 × 19 − 3 × 4 − (−8) = 34. 0 −2 Este processo ´e particularmente u ´til quando a matriz tem muitos zeros.    0 5 3 2     0 5 2 1 4 0 0     det   = −2 det  1 4 0    2 3 1 0    2 3 0   0 0 2 0 −2 × 2 × (−5) = 20. Def.       1 4  = −2 × 2 det  =   2 3 Chama-se adjunta da matriz A `a matriz transposta dos 9 co-factores, i.e., adjA = [∆ij ]> .    2 0 3      Ex. A =  0 3 2 , det A = −6.     −2 0 −4 ∆11 = −12 ∆12 = −4 ∆13 = 6 ∆21 = 0 ∆22 = −2 ∆23 = 0 ∆31 = −9 ∆32 = −4   −12 0 −9   adjA =  −4 −2 −4   6 0 6   2 0 3   A adjA =  0 3 2   −2 0 −4 ∆33 = 6     .         −12 0 −9   −6 0 0            −4 −2 −4  =  0 −6 0          6 0 6 0 0 −6 {z } | || det A I. Teor. A adjA = adjA A = det A I. Se A ´e invert´ıvel, A−1 = 1 det A 10 adjA.   2 0 3   Ex.  0 3 2   −2 0 −4 −1          3  −12 0 −9   2 0 2      1  = −6  −4 −2 −4  =  2 1 2    3 3 3    6 0 6 −1 0 −1     .   Sejam x = (x1 , x2 , x3 ) e y = (y1 , y2 , y3 ) vectores de R3 . Def. O produto externo de x e y ´e o vector de R3 x × y = (x2 y3 − x3 y2 , −x1 y3 + x3 y1 , x1 y2 − x2 y1 )    e1 e2 e3      = “ det  x1 x2 x3 ”, i.e.,     y1 y2 y3       1   0   0            x x x x x x  2 3    1 3    1 2  det    0 −det    1 +det   0      y2 y3   y1 y3   y1 y2  0 0 1    e1 e2 e3      Ex. (1, −2, 0) × (1, 0, 1) = “ det  1 −2 0  ” = (−2, −1, 2).     1 0 1 Props. · y × x = −(x × y). · x × (y + z) = (x × y) + (x × z). 11     .   · λ(x × y) = λx × y = x × λy. · x × y = ~0 sse x = λy, para algum escalar λ. Def. O produtomisto       x2 x3   x1 x3   x1 x2  z|x × y = z1 det   − z2 det   + z3 det   y2 y3 y1 y3 y1 y2    z1 z2 z3      = det  x1 x2 x3  .     y1 y2 y3 Prop. x|x × y = y|x × y = 0, i.e., x × y ´e ortogonal a x e y. Assim, se {x, y} ´e linearmente independente, x × y ´e ortogonal ao plano gerado por x e y. V⊥ x×y y x V kx × yk2 = kxk2 kyk2 − (x|y)2 = kxk2 kyk2 − kxk2 kyk2 cos2 θ = kxk2 kyk2 (1 − cos2 θ) = kxk2 kyk2 sin2 θ. .. . kx × yk = kxkkyk|sinθ|. 12 y θ h kx × yk = kxk kyk|sinθ|, i.e., | {z } x h kx × yk = ´area do paralelogramo de lados x e y. x×y z projx×y z y |x × y|z| = kx × yk kzk| cos θ|, i.e., | {z } kprojx×y zk kx × yk x |x × y|z| = volume do paralelip´ıpedo definido por x, y e z. |x × y|z| = 0 sse x, y, z s˜ao complanares. 13