Matemática

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1 cor preto Matemática Matemática I Função Exponencial .............................................. 3 Logaritmo ............................................................... 7 Polinômios ............................................................ 11 Análise Combinatória........................................... 15 Binômio de Newton .............................................. 19 Matriz ................................................................... 23 Determinante ....................................................... 27 Sistemas Lineares ............................................... 30 Progressão Aritmética e Progressão Geométrica ....................................... 34 Matemática II Geometria Espacial ............................................. I - Prisma.......................................................... II - Pirâmide ...................................................... III - Cilindro ......................................................... IV - Cone ............................................................ V - Esfera .......................................................... 38 38 40 42 43 46 JOSÉ AUGUSTO DE MELO M2 2 cor Anotações 3 cor preto Tecnologia ITAPECURSOS FUNÇÃO EXPONENCIAL 1- DEFINIÇÃO Seja a um número real tal que a > 0 e a ≠ 1. Chamamos de função exponencial à função f : R → R+ *definida por f(x) = ax Exemplos: a) f(x) = 3x b) f(x) = 2- GRÁFICO 1º caso: a > 1 ; a função é crescente 2º caso: 0 < a < 1 ; a função é decrescente PROPRIEDADES P.1) Domínio = R Imagem = {y ∈ R : y > 0} P.2) A função exponencial, f(x) = ax não tem raiz. P.3) A interseção do gráfico de f(x) = ax com o eixo 0y é o ponto (0,1) P.4) A função exponencial é bijetora 1) (UFMG) A figura é um esboço do gráfico da função y = 2x. A ordenada do ponto P da abscissa é: Solução: Resp: e Matemática - M2 3 4 cor preto ITAPECURSOS Tecnologia 2) Uma colônia de bactérias tem, num certo instante (t0), 1500 bactérias. Observações subseqüentes revelaram que essa população dobrava sempre, em relação à observação imediatamente anterior. a) Qual a população de bactérias na 4ª observação após t0? b) Em que observação a colônia alcançou 375.255 bactérias? Solução: Não é difícil você concluir que o número de bactérias é dado por f(n) = 1500 . 2n, onde n é a observação realizada após t0. a) Na 4ª observação, a população de bactérias é f(4) = 1500 . 24 ; f(4) = 24000. b) Queremos que f(n) = 375 . 255 ; 1500 . 2n = 375 . 255 Resp: Na 53ª observação. 3- EQUAÇÕES EXPONENCIAIS As condições impostas à base de uma função exponencial, a tornam uma função bijetora. Desse modo, se ax = ay, então x = y. Essa propriedade nos permite resolver uma série de equações cuja variável aparece no expoente, e por isso são chamadas de equações exponenciais. Para resolver uma equação exponencial, tente transformar a equação dada em uma outra eqüivalente, da forma ax = ay. Para isso use inicialmente as propriedades da potenciação. am . an = am+n am : an = am-n (am)n = am.n Caso isso não seja possível, utilize os artifícios dados nas questões comentadas a seguir. Observação: As equações redutíveis à forma ax = by com a ≠ b você aprenderá a resolver no capítulo sobre logaritmos. 2) Resolva a equação: 2x + 2x + 1 – 2x + 2 + 2x – 1 = -8 1) Resolva a equação: 16x . 4x + 3 – 8x + 2 = 0 Solução 2x + 2x . 2 – 2x . 22 + 2x . 2- 1 = - 8 ; Solução: 16x . 4x + 3 - 8x + 2 ; 16x . 4x + 3 = 8x + 2 ( 24 )x . ( 22 )x + 3 = ( 23 )x + 2 ; 24x . 22x + 6 = 23x + 6 26x + 6 = 23x + 6 → 6x + 6 = 3x + 6 ; x = 0 2x = 24 ; x = 4 Resp: x = 0 Resp: x = 4 4 Matemática - M2 5 cor preto ITAPECURSOS Tecnologia 3) Resolva a equação: 32x + 1 3x =2 Como 32x +5. 4) Resolva a equação: Solução: 7x + 7x – 1 = 8x Solução: 32x .3+5. fizermos 3x – 2 = 0; = (3x)2 , se 7x + 7x 7- 1 = 8x ; 7x . ( 1 + ) = 8x 3x = y obteremos: 3y2 + 5y – 2 = 0, cujas raízes são y= ou y = - 2 Para y = ; x=1 Resp: x = 1 vem: 3x = 3- 1 ; x = -1 Para y = –2 vem: 3x = –2 (não admite solução) Resp: x = –1 5) (MACK–SP) O número de soluções distintas da equação 2x – 2–x = K, K real é: a) 2, qualquer que seja K d) 1, somente se K ≠ 0 b) 2, somente se K > 0 e) 0, somente se K < 0 c) 1, qualquer que seja K Solução: 2x – = K. Seja 2x = y . Então: y - 2 = K ; y – Ky – 1 = 0. Para essa equação ∆ = K2 + 4 > 0. Logo, ela tem duas raízes reais distintas. Além disso, o produto dessas raízes é –1 (relações de Girard). Então, uma delas é positiva e uma é negativa. Como a raiz negativa não fornece solução para x, a resposta correta é C. Resp: c 4- INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS Nas condições impostas à base de uma função exponencial, temos: *Se a > 1, a função é crescente, portanto: ax > ay ↔ x > y ax < ay ↔ x < y *Se 0 < a < 1, a função é decrescente, e então: ax > ay ↔ x < y ax < ay ↔ x > y Resumindo: ao resolver uma inequação exponencial, proceda como nas equações, ou seja, iguale as bases. Mas, ao comparar os expoentes, lembre–se: *Se a > 1, compare os expoentes, mantendo o sentido da desigualdade. *Se 0 < a < 1, ao comparar os expoentes, inverta o sentido da desigualdade. Matemática - M2 5 6 cor preto Tecnologia ITAPECURSOS 1) Resolva a inequação: Solução: Como a base é menor que 1, devemos ter: x2 + 2 ≤ 3x ; x2 – 3x + 2 ≤ 0 raízes: 1 e 2 diagrama: Solução: 1 ≤x≤2 2) Resolva a inequação: 3x + 2 + 3x + 1 – 3x > 33 Solução: 3x . 32 + 3x . 3 – 3x > 33 ; 3x . (9 + 3 – 1) > 33 3x . 11 > 33 ; 3x > 3 ; x > 1 Resp: x > 1 3) Resolva a inequação: x2x – 1 < x3 Solução: 1ª hipótese: x > 1 Nesse caso: 2x – 1 < 3 ; x < 2 A interseção com a condição x > 1 nos dá S1 = {x ∈ R : 1 < x < 2} 2ª hipótese: 0 < x < 1 Teremos 2x –1 > 3 ; x > 2 Como esses valores de x não pertencem a 0 < x < 1, nesse intervalo não temos nenhuma solução. Resp: S = {x ∈ R : 1 < x < 2} 4) (UF–VIÇOSA) Determine os valores de a para que a equação x2 + 2a . x + 1 = 0, admita raízes reais. Solução: Para a equação dada admitir raízes reais, D ≥ 0 . Logo 22a – 4 > 0 ; 22a ≥ 22 ; 2a ≥ 2 ; a≥1 6 Matemática - M2 7 cor preto Tecnologia ITAPECURSOS LOGARITMO 1- DEFINIÇÃO Seja a > 0 , a ≠ 1 e b > 0 . Chama–se logaritmo de b na base a ao número x = logab tal que ax = b Em símbolos a → base logab = x ↔ ax = b b → logaritmando x → logaritmo Exemplos: a) log28 = 3, pois 23 = 8 b) log1/24 = –2, pois ( )–2 = 4 2- CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA a>0ea≠1 Existe logab se e somente se b>0 3- BASES MAIS USADAS 3.1- LOGARITMO DECIMAL Utiliza a base 10. Convenciona-se que, ao omitir a base, seu valor é 10. Assim: log10b = log b 3.2- LOGARITMO NATURAL Usa como base o número e (número de Euler). Anota–se por logeb ou l n b 4- PROPRIEDADES ELEMENTARES Decorrem imediatamente da definição as propriedades a seguir: a) loga a = 1 b) loga 1 = 0 c) loga am = m d) =b É claro que estamos admitindo a > 0, a ≠ 1 e b > 0. 5- PROPRIEDADES OPERATÓRIAS Para a > 0, a ≠ 1 e b > 0, c > 0, temos P.1) loga(b . c) = logab + logac P.2) loga = logab - logac P.3) logabm = m logab , m ∈ R Matemática - M2 7 8 cor preto ITAPECURSOS Tecnologia 1) Sabendo que log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47, calcule: a) log 18 b) log 15 Solução: a) log 18 = log (2.32) = log 2 + log32 = log 2 + 2 log 3 Portanto: log 18 = 0,30 + 2 . 0,47 log 18 = 1,24 b) log 15 = log (3.5) = log 3 + log 5 = log 3 + log ( ) Então: log 15 = log 3 + log 10 – log 2 log 15 = 0,47 + 1 – 0,30 ; log 15 = 1,17 2) (PUC–SP) São dados log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48. Determine o número real x que satisfaz à equação: 4x - 1 = 1125 Solução: 4x - 1 = 1125 ; 22x – 2 = 32 . 53 e daí: log (22x – 2) = log (32 . 53) (2x – 2) . log 2 = 2 log 3 + 3 log 5 Mas log 5 = log ( Logo: ) = log 10 – log 2 = 1 – 0,30 = 0,70 (2x – 2) . 0,30 = 2 . 0,48 + 3 . 0,70 e daí: 2x – 2 = 10,2 ; x = 6,1 3) (VUNESP) A figura representa o gráfico de y = log x. Sabe–se que AO = BC. Então, pode-se afirmar que: a) loga b = c b) a + b = c c) ac = b d) ab = c e) 10a + 10b = 10c Solução: Observe que: OA = log a ; OB = log b e OC = log c Mas BC = OC – OB ; logo BC = log c – log b. Como OA = BC, temos log a = log c – log b ; log a = log Resp: d 8 Matemática - M2 ; ab = c 9 cor preto Tecnologia ITAPECURSOS 6 - MUDANÇA DE BASE Sejam a > 0 , a ≠ 1, c > 0 , c ≠ 1 e b > 0. Então logab = Exemplos: a) log23 = b) log57 = Conseqüências: a) logab = b) ... 7- EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS Assim denominamos as equações que envolvem logaritmos. Para resolvê-las, tenha sempre em mente as condições de existência e procure reduzir a equação dada, usando as propriedades, à forma logaf(x) = logag(x) ou à forma logaf(x) = b. No primeiro caso, lembre–se de que f(x) = g(x). E, no segundo caso, a definição dá que f(x) = ab. 1) Resolva a equação log(x – 2)(x + 4) = 2. Solução: Se você quiser, ache as condições de existência, depois resolva a equação e verifique quais raízes satisfazem às condições de existência. Aqui, no entanto, para economizar tempo, vamos resolver a equação e verificar por substituição direta quais raízes servem. log(x – 2)(x + 4) = 2 ↔ (x – 2)2 = x + 4 o que dá x2 – 5x = 0 cujas raízes são x = 0 e x = 5. Observe que o x = 0 faz a base valer –2, logo não serve. Já o 5 satisfaz às condições de existência e então: S = {5} 2) Resolva: log3(x2 – 1) = log3(x + 1). Solução: De log3(x2 – 1) = log3 (x + 1) vem x2 – 1 = x + 1 ; x2 – x – 2 = 0, cujas raízes são 2 e -1. Dessas, apenas 2 serve. S = {2} 3) log22x – 3log2 x + 2 = 0 Solução: Observe que log22 x = (log2x)2. Seja então log2 x = y. A equação dada fica: y2 – 3y + 2 = 0, cujas raízes são y = 1 e y = 2. Se y = 1, vem : log2 x = 1 ; x = 2 Se y = 2, vem : log2 x = 2 ; x = 4 Como ambas as raízes servem, S = {2, 4}. Matemática - M2 9 10 cor preto Tecnologia ITAPECURSOS 4) Resolva a equação: log2 (3x –1) – log4 (x + 1) = Solução: Inicialmente, coloque todos os logaritmos numa mesma base. log2 (3x – 1) log2 (3x – 1) - (tirando o m.m.c.) 2 log2 (3x – 1) – log2 (x + 1) = 1 ; log2 ; 9x2 – 8x – 1 = 0 cujas raízes são 1 e - . Porém – não convém. Logo, S = {1} 8- INEQUAÇÕES LOGARÍTMICAS Se a > 1 Se 0 < a < 1 Atenção: Não se esqueça de calcular o domínio da inequação. 1) Resolva a inequação: log1/2 (x – 1) > log1/2 (2x + 3). Solução: a) Condição de existência b) Resolução da inequação log1/2 (x – 1) > log1/2 (2x + 3) → x – 1 < 2x + 3 ; x > - 4 c) Resposta final: é obtida fazendo–se a interseção entre os intervalos obtidos em a e b. Faça isso e você terá: S = {x ∈ R : x > 1}. 2) Resolva a inequação: log2x + 2log x – 3 > 0. Solução: a) Domínio: x > 0 b) Resolução: Faça log x = y. Então, y2 + 2y – 3 > 0, que resolvida dá y < –3 ou y > 1. Se y < –3, então log x < –3 ; x < 0,001 Se y > 1, então log x > 1 ; x > 10 c) Resposta: a interseção nos mostra que S = {x ∈ R : 0 < x < 0,001 ou x > 10}. 10 Matemática - M2 11 cor preto Tecnologia ITAPECURSOS 9 - A FUNÇÃO LOGARÍTMICA Como vimos, a função exponencial é bijetora e, portanto, admite inversa. Por outro lado, se logay = x, temos que y = ax, ou seja, a inversa da exponencial é a função logarítmica que definiremos a seguir: Seja a > 0, a f(x) = logax. ≠ 1 e x > 0 números reais. Chama-se função logarítmica à função f: R*+ → R, definida por Como os gráficos de uma função e sua inversa são simétricos em relação à reta y = x, o gráfico da função logarítmica é: 1º caso: a > 1 2º caso: 0 < a < 1 POLINÔMIOS 1 - DEFINIÇÃO Chamaremos de polinômio em R, na variável x, a toda expressão da forma: P(x) = an . xn + an - 1 . xn - 1 + ... + a1 . x + ao, onde n é um número natural, e an ¹ 0. Exemplos: São polinômios: a) P(x) = 5x3 - 4x2 + x - 1 b) P(x) = x2 c) P(x) = -5 Não são polinômios: a) +3 b) Dado o polinômio P(x) = an . xn + an - 1 . xn - 1 + ... + a1 . x + ao com an ¹ 0, n é chamado de grau do polinômio. Assim: a) P(x) = 3x2 - 5x + 1, tem grau 2. b) P(x) = 2x - x3 + 4, tem grau 3. c) P(x) = - 3x + 1, tem grau 1. d) P(x) = 2, tem grau zero. O polinômio P(x) = 0 é chamado de polinômio nulo ou polinômio identicamente nulo. Para ele, não se define o grau. 2 - VALOR NUMÉRICO Se K é um número real, chama-se valor numérico do polinômio P(x) para x = K ao número obtido substituindose x por K e efetuando as operações indicadas. Indicaremos o valor numérico por P(K). Caso P(K) = 0, diremos que K é a raiz ou zero do polinômio. Assim, se P(x) = 3x2 - x + 1 P(2) = 3 . 22 - 2 + 1 = 11 P(0) = 3 . 02 - 0 + 1 = 1 Matemática - M2 11 12 cor preto Tecnologia ITAPECURSOS 3 - IGUALDADE DE POLINÔMIOS Sejam os polinômios: P1(x) = an . xn + an - 1 . xn - 1 + ... + a1 . x + ao P2(x) = bn . xn + bn - 1 . xn - 1 + ... + b1 . x + bo Dizemos que P1(x) = P2(x) se: e an = bn; an - 1 = bn - 1; ..., a1 = b1 e ao = bo 1) Determine a, b, c para que os polinômios P1(x) = (a - 2)x3 + 3x2 + b - 1 e P2(x) = (c + 5)x2 + 3 sejam idênticos. Solução: Queremos que: (a - 2)x3 + 3x2 + b - 1 = 0x3 + (c + 5)x2 +3 Logo: a - 2 = 0; a=2 c + 5 = 3; c = -2 b - 1 = 3; b=4 2) Calcule a e b, de modo que: Solução: 1º modo: 2º modo: Na igualdade: 2x - 6 = a(x + 3) + b (x - 1) faça: x = -3 Õ -12 = a . 0 - 4.b;b =3 e daí vem: 2x - 6 = a(x + 3) + b(x - 1) 2x - 6 = ax + 3a + bx - b 2x - 6 = (a + b)x +(3a + b) e então: a+b=2 3a - b = -6 x = 1 Õ -4 = 4a + b.0; a = -1 Atenção: escolha para x os valores que anulam os denominadores das frações dadas originalmente. cuja solução é a = -1 e b =3 4 - DIVISÃO DE POLINÔMIOS Se A(x) e B(x) são dois polinômios, com B(x) ¹ 0, dividir A por B é encontrar dois outros polinômios Q(x) e R(x), tal que: I) A(x) = B(x) .Q(x) + R(x) II) Grau de R(x) < grau B(x) ou R(x) = 0 Quando R(x) = 0, dizemos que A(x) é divisível por B(x). Observe que o grau de Q(x) é dado pela diferença entre o grau de A(x) e B(x). 12 Matemática - M2 13 cor preto ITAPECURSOS Tecnologia Para efetuar a divisão entre dois polinômios, temos dois métodos: Método da chave Método de Descartes Seja efetuar a divisão (2x3 - x2 + 3) : (x2 -2x + 3) Solução: Façamos a mesma divisão: (2x3 - x2 + 3) : (x2 -2x + 3) Solução: • Inicialmente, ordene o polinômio dividendo em ordem decrescente e complete-o. No caso do divisor, basta que ele esteja em ordem. 2x3 - x2 +0x + 3 x2 -2x + 3 • Divida o primeiro termo do dividendo pelo primeiro termo do divisor para obter o primeiro termo do quociente (2x). • Multiplique o primeiro termo do quociente pelo divisor e subtraia o resultado do dividendo, para obter o resto parcial (3x2 -6x + 3). 2x3 - x2 +0x + 3 -2x3 + 4x2 -6x 3x2 x2 -2x + 3 2x • Inicialmente, determine o grau do quociente. Q(x) é do 1º grau, concorda? Logo Q(x) = ax + b. • O grau do resto, sendo menor que o grau do divisor será um polinômio cujo grau é no máximo 1. Seja então R(x) = cx + d. 2x3 - x2 + 3 cx + d x2 -2x + 3 ax + b Usando a identidade A = B . Q + R obtemos: 2x3 - x2 + 3 = (x2 -2x + 3)(ax + b) + cx + d Efetuando e reduzindo os termos semelhantes, teremos: 2x3 - x2 + 3 = ax3 + (b - 2a)x2 +(3a - 2b + c)x + 3b + d - 6x +3 Portanto: • Se o grau do resto parcial for menor que o grau do divisor, a divisão terminou. Caso contrário, repita as operações acima, usando o resto parcial como dividendo. 2x3 - x2 +0x + 3 -2x3 + 4x2 -6x x2 -2x + 3 2x + 3 3x2 - 6x +3 a=2 b - 2a = -1; b=3 3a - 2b + c = 0; c=0 3b + d = 3; d = -6 Então, finalmente: Q(x) = 2x + 3 R(x) = -6 -3x2 - 6x - 9 -6 5 - O DISPOSITIVO DE BRIOT-RUFFINI Se, numa divisão, o divisor for do 1º grau, além dos métodos dados anteriormente, existe um outro, cuja descrição será feita a seguir. Seja efetuar (2x3 - 3x + 1) : (x - 2) • Desenhe o esquema a seguir • À esquerda do primeiro traço vertical, colocamos a raiz do divisor (no nosso caso, 2). À direita desse traço, colocamos os coeficientes do dividendo (já ordenado), completando com zero os termos faltosos. 2 2 0 -3 1 Matemática - M2 13 14 cor preto Tecnologia ITAPECURSOS • Abaixamos o primeiro desses coeficientes e o multiplicamos pela raiz do divisor (2), somando o resultado obtido (4) ao próximo coeficiente (0) e encontramos 4. 4 2 2 0 2 4 -3 1 • Repita tudo isso, agora, para o 4. Continue até achar o último número (à direita do traço vertical tracejado). 2 4 8 10 2 0 -3 1 2 4 5 11 Q(x) R(x) Observe que o resto será nulo, ou um polinômio de grau zero. No nosso exemplo, R(x) = 11. Como Q(x) é de grau 2, temos: Q(x) = 2x2 + 4x + 5 Atenção: Se o divisor for do tipo ax ± b, proceda como anteriormente. Contudo, na hora de dar a resposta, ao determinar Q(x), divida os coeficientes obtidos no dispositivo por a (apenas os coeficientes reservados a Q(x)). O resto fica inalterado. 6 - TEOREMA DO RESTO OU DE D’ALEMBERT O resto da divisão de um polinômio P(x) por x - a é P(a). Demonstração: Na divisão de P(x) por x - a, seja Q(x) o quociente e R(x) o resto. Observe que o grau de R é zero ou R(x) = 0. P(x) x - a R Q(x) P(x) = (x - a) . Q(x) + R Fazendo x = a, vem: P(a) = (a - a) . Q(a) + R e então P(a) = R 0 Como conseqüência dessa propriedade, um polinômio P(x) é divisível por x - a se e só se P(a) = 0. De modo semelhante, prova-se que: Se o divisor for x + a, o resto é P(-a). Se o divisor for ax - b, o resto é P(b/a). Se o divisor for ax + b, o resto é P(-b/a). 7 - DOIS TEOREMAS IMPORTANTES Daremos, sem demonstrar, dois teoremas que facilitam em muito nosso trabalho com polinômios. Teorema 1: Teorema 2: O polinômio P(x) é divisível pelo produto (x - a)(x - b) com a ¹ b se e só se P(x) é divisível separadamente por x - a e por x - b. 14 Matemática - M2 Se P(x) é divisível por (x - a)(x - b), então P(x) é divisível por x - a, e o quociente dessa divisão é divisível por x - b. 15 cor preto Tecnologia ITAPECURSOS ANÁLISE COMBINATÓRIA 1- PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DE CONTAGEM Consideremos o seguinte problema: • As cidades A e B são interligadas por 3 linhas de ônibus e por 4 companhias aéreas. De quantos modos uma pessoa pode ir de A a B, usando ônibus e voltando de avião? Solução: Observe que o evento, ir de A a B e retornar, pode ser decomposto em duas etapas: 1ª etapa: viagem de ida 2ª etapa: viagem de volta. Como a viagem de ida tem que ser de ônibus, existem três maneiras dessa viagem ser feita. Já para a viagem de volta, temos 4 possibilidades. Como para cada viagem de ida, existem 4 modos de a pessoa fazer a viagem de volta, é fácil ver que a pessoa fará as viagens de ida e volta de 4.3 = 12 modos diferentes. Esse problema ilustra o princípio fundamental de contagem ou Regra do Produto. Se um evento é formado por duas etapas sucessivas e independentes, de tal modo que a primeira etapa se realiza de p modos e a segunda de q modos, então o evento ocorre de p.q maneiras. Podemos estender essa regra a um evento formado por um número K de etapas. 1) Quantos números de três algarismos distintos podemos formar com os algarismos 0,1,2,3,4,e 5 ? Solução: O evento, formar um número de três algarismos, pode ser decomposto em três etapas: 1ª etapa: escolha do algarismo das centenas. 2ª etapa: escolha do algarismo das dezenas. 3ª etapa: escolha do algarismo das unidades. Para a 1ª etapa existem 5 possibilidades (apenas o zero não pode ser escolhido). Para a 2ª etapa existem também 5 possibilidades, pois o número escolhido na 1ª etapa não pode ser repetido, porém o zero já pode ser usado. Para a 3ª etapa, existem 4 possibilidades (só não podemos escolher os dois algarismos que foram escolhidos na 1ª e 2ª etapas. Logo, pela regra do produto podemos formar 5.5.4 = 100 números. 2) Dispõe-se de 6 cores para pintar uma bandeira de 4 faixas. Cada faixa deve ser pintada de uma só cor e duas faixas consecutivas não podem ter a mesma cor. De quantos modos pode ser feita a pintura? Solução: O evento, pintar a bandeira, pode ser decomposto em 4 etapas. Para a 1ª etapa existem 6 possibilidades, pois podemos escolher qualquer uma das 6 cores. Para a 2ª etapa existem 5 possibilidades, pois a cor usada na faixa anterior não pode ser usada. O mesmo número de possibilidades teremos para a 3ª e 4ª etapas. Portanto, a pintura poderá ser feita de: 6.5.5.5 = 750 modos Matemática - M2 15 16 cor preto Tecnologia ITAPECURSOS 3) Quantos números de 5 algarismos distintos formados pelos dígitos 1,3,4,5 e 6 são maiores que 50000? Solução: 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 1ª etapa: 2 possibilidades: 5 ou 6 (só assim o número será maior que 50000) 2ª etapa: 4 possibilidades (lembre-se: os algarismos devem ser distintos) 3ª etapa: 3 possibilidades 4ª etapa: 2 possibilidades 5ª etapa: 1 possibilidade Resposta: 2.4.3.2.1 = 48 2 - UMA NOVA ABORDAGEM Existem alguns problemas de análise combinatória cuja resolução, usando-se a regra do produto, é muito complicada. Para eles, daremos uma nova abordagem. Assim, se num determinado agrupamento cada elemento aparece uma única vez, o agrupamento é simples. Caso contrário, ou seja, se um elemento puder aparecer mais de uma vez, o agrupamento é dito com repetição. Desse modo, se queremos saber quantos números de 3 algarismos distintos existem no sistema decimal, devemos considerar cada número como um agrupamento simples. Caso não aparecesse a palavra distintos no problema, então deveríamos levar em conta todas as possibilidades e teríamos números com ou sem repetição. 3 - TIPOS DE AGRUPAMENTOS Basicamente os agrupamentos que se formam com elementos de um conjunto podem ser classificados em dois tipos. - Arranjos: agrupamentos que se distinguem um do outro pela natureza e pela ordem de seus elementos. - Combinações: agrupamentos que se diferenciam apenas pela natureza de seus elementos. Observação: Se em um agrupamento do tipo arranjo, usarmos todos os elementos do conjunto considerado, o agrupamento passa a ser chamado de permutação. Para fixarmos bem essas noções, vamos classificar os agrupamentos seguintes: a) números formados por 4 algarismos no sistema decimal. Solução: Seja 2315 um tal número. Se mudarmos a ordem de pelo menos dois de seus algarismos, o número muda de valor. Logo, cada número é um arranjo. b) Triângulos formados com os cinco pontos tomados sobre uma circunferência. Solução: Um triângulo é obtido unindo-se três pontos quaisquer dos 5 que foram dados. Como o triângulo ABC e o triângulo ACB ou BAC, etc. são o mesmo triângulo, a ordem dos elementos não muda o agrupamento e temos uma combinação. c) Filas que podemos formar com 4 pessoas Solução: Uma fila se diferencia de outra apenas pela ordem de seus elementos. Além disso, em cada fila todos os elementos à nossa disposição são usados. Logo, cada fila é uma permutação. 16 Matemática - M2 17 cor preto Tecnologia ITAPECURSOS 4- A NOÇÃO DE FATORIAL No próximo item, aprenderemos como calcular o número de agrupamentos que podemos formar com os elementos de um conjunto. Necessitaremos então definir a noção de fatorial. Definição: Seja n um número natural. Então: 0! = 0 1! = 1 n! = n . (n - 1) . ... . 2.1, se n ≥ 2, onde o símbolo n! lê-se fatorial do número n. Veja os exemplos: Observe que: 3! = 3.2.1 = 6 n! = n . (n - 1)! = n . (n - 1) . (n - 2)! = etc. 5! = 5.4.3.2.1 = 120 Assim teremos: 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720 7! = 7 . 6! = 7 . 6 . 5! = 7 . 6 . 5 . 4! = etc. 5- CÁLCULO COMBINATÓRIO - AGRUPAMENTOS SIMPLES 5.1 - Arranjos simples Considere o seguinte problema: quantos números de três algarismos distintos podemos formar com os dígitos 1,2,3,4,5? Solução: Que cada número é um arranjo é óbvio, pois a ordem dos algarismos no número altera o agrupamento. Queremos então saber quantos arranjos tomados 3 a 3 podemos formar com 5 algarismos dados. Esse valor será representado por: .Usando a regra do produto, temos que: 5 Agora, observe: 4 3 De um modo geral, 5.2 Permutação Simples Como já foi dito, o número de permutações de n elementos, (Pn), é igual ao número de arranjos de n elementos tomados n a n. Logo: ,ou seja 5.3 Combinações Simples Representando por o número de combinações simples de n elementos tomados p a p, teremos: Observe que: Matemática - M2 17 18 cor preto Tecnologia ITAPECURSOS 1.(MACK-SP) O total de números, formados com algarismos distintos, maiores que 50000 e menores que 90000 e que são divisíveis por 5 é: a) 1596 b) 2352 c) 2686 Solução: 1ª hipótese _5 _ _ _ 0_ ; d) 2788 e) 4032 2ª hipótese _ _ _ _ _ = ; 3.2. = 2016 6,7 ou 8 0 ou 5 Resposta: 336 + 2016 = 2352 2.(FUVEST-SP) O número de anagramas da palavra FUVEST que começam e terminam por vogal é: a) 24 b) 48 c) 96 d) 120 e) 144 Solução: Existem duas possibilidades: U _ _ _ _ _E _ E _____U _ 2. p4 = 2.4! = 48 3. (UNESP) Sobre uma reta marcam-se 3 pontos e sobre outra reta, paralela à primeira, marcam-se 5 pontos. O número de triângulos que obteremos unindo 3 quaisquer desses 8 pontos é: a) 26 b) 90 c) 25 d) 45 e) 42 Solução: Cada triângulo é uma combinação. Se não houvesse 3 pontos alinhados, os 8 pontos nos dariam Os 3 pontos sobre a primeira reta deixam de determinar determinar triângulos. triângulos e os 5 outros pontos deixam de triângulos. Logo a resposta final será: 6- CÁLCULO COMBINATÓRIO - AGRUPAMENTOS COM REPETIÇÃO 6.1 - Arranjos com repetição Se representa a quantidade de agrupamentos do tipo arranjos com repetição, que podemos formar com os n elementos de um conjunto, tomados p a p, então: 6.2 - Permutação com repetição Uma permutação é dita com repetição se determinados elementos aparecem mais de uma vez. Assim, por exemplo, qualquer anagrama da palavra CASA é uma permutação com repetição, pois a letra A aparece 2 vezes. Prova-se que: n → total de elementos em cada permutação. n1, n2, ..., nk → quantidade de vezes em que os elementos que se repetem aparecem em cada agrupamento. 6.3 - Combinação com repetição representa o número de combinações com repetição de n elementos, tomados p a p, então: Se 18 Matemática - M2 19 cor preto Tecnologia ITAPECURSOS 1. Quantos números de três algarismos podem ser formados com os dígitos de 0 a 9, se o algarismo 5 é sempre o algarismo da centena? Solução: Como o problema não diz que os algarismos do número formado são distintos, isso significa que as repetições são admitidas. Portanto, o total procurado será: 5 2. Quantos são os anagramas da palavra ARARA? Solução: Letras que se repetem: A: 3 vezes R: 2 vezes Logo, o número de anagramas será: 3. Podendo escolher entre os sabores hortelã, laranja e limão, de quantos modos uma criança pode comprar 5 balas? Solução: Cada grupo de 5 balas pode ser considerado como uma combinação de elementos repetidos, escolhidos entre os três sabores. Logo, a resposta será: BINÔMIO DE NEWTON 1 - NÚMERO BINOMIAL Sejam n e p números com p ≤ n. Chamamos de número binomial de numerador n e classe p ao número representado por definido por: Observe que 2 - PROPRIEDADES DOS NÚMEROS BINOMIAIS 2.1 - Propriedades Diretas ; ; Essas propriedades decorrem diretamente da definição de número binomial. 2.2 - Binomiais Complementares Dois binomiais são ditos complementares se tiverem o mesmo numerador e se a soma dos denominadores for igual ao numerador. Assim, são complementares os binomiais: ; Matemática - M2 19 20 cor preto ITAPECURSOS Tecnologia Também são complementares: ; (p + n - p = n) ; (p - 1 + n - p + 2 = n + 1) Aplicando a definição de número binomial a dois binomiais complementares, conclui-se que: Dois números binomiais complementares são iguais. Desse modo: Exemplo: Resolva a equação: Como conseqüência dessa propriedade, temos que: ou p + q = n Solução: 1ª hipótese: 2x - 1 = 3 ; x = 2 2ª hipótese: 2x - 1 + 3 = 10 ; x = 4 Resposta: x = 2 ou x = 4 2.3 - Relação de Stifel Essa relação acontece entre dois binomiais consecutivos. Assim, são consecutivos: e assim por diante. A relação de Stifel nos permite somar dois binomiais consecutivos. Ela pode ser dada de várias formas; uma delas é: Exemplo: a) b) binomiais complementares 2.4 - Relação de Fermat É também uma relação entre binomiais consecutivos. Permite-nos calcular o valor de um binomial em função do binomial “antecedente”. Sua demostração é feita aplicando-se a definição de número binomial. Exemplos: a) b) 20 Matemática - M2 21 cor preto ITAPECURSOS Tecnologia 3 - TRIÂNGULO DE PASCAL Para tornar nosso trabalho mais ameno, vamos dispor os números binomiais na forma seguinte: .............................................. Observe que os números binomiais de mesmo numerador estão na mesma linha, e os números binomiais de mesmo denominador estão na mesma coluna. Além disso, os binomiais da primeira coluna valem 1, pois têm o denominador igual a zero. O mesmo acontece com o último binomial de cada linha, que tem o numerador e denominador iguais. Além disso, a relação de Stifel nos permite calcular os demais elementos do triângulo. Veja no triângulo anterior, onde se mostra que: , e assim por diante. Usando essas propriedades chegamos facilmente aos valores associados ao triângulo, obtendo: linha 0 ; 1 linha 1 ; 1 1 linha 2 ; 1 2 1 linha 3 ; 1 3 3 1 linha 4 ; 1 4 6 4 1 linha 5 ; 1 5 10 10 5 1 ...................................... A partir daí, você pode, usando as mesmas propriedades, obter quantas linhas quiser. 4 - O DESENVOLVIMENTO DO BINÔMIO DE NEWTON Você sabe que: Agora, repare: - Os coeficientes obtidos ao desenvolver esses binômios coincidem com os números das linhas do Triângulo de Pascal. Assim, os coeficientes de (x + a)3, por exemplo, são achados na linha 3 do Triângulo de Pascal. Prova-se que os coeficientes de (x + a)n estão na linha n do Triângulo de Pascal. Além disso, os expoentes de x decrescem de n a 0, e os de a crescem de 0 a n. Essas observações nos permitem então escrever que: Assim, temos que: Usando a linha 4 do Triângulo de Pascal para obter os coeficientes binomiais, teremos: (x + a)4 = x4 - 4x3a + 6x2a2 + 4xa3 + a4 Para desenvolver (x - a)n, use o mesmo procedimento, porém alterne os sinais + e –, começando sempre com o sinal de +. Assim: (x - a)4 = x4 - 4x3a + 6x2a2 - 4xa3 + a4 Matemática - M2 21 23 cor preto ITAPECURSOS Tecnologia 3. Calcule o termo médio, no desenvolvimento de . Solução: No desenvolvimento de , obtemos n + 1 termos. Logo, o binômio dado tem 7 termos, e então o termo médio é o 4º termo. Portanto, p = 3 e teremos: 4. Calcule a soma dos coeficientes no desenvolvimento de (2x2 - 3y)5. Solução: Para obtermos apenas os coeficientes, no desenvolvimento de um binômio, basta fazermos as variáveis que aparecem nele iguais a um. Então, fazendo x = y = 1 teremos: S = (2 . 12 + 3 . 1)5; S = 55; S = 3125 MATRIZ 1- DEFININDO MATRIZ Sejam m e n inteiros positivos. À tabela formada por m . n elementos dispostos em m linhas e n colunas chamamos de matriz m x n (lê-se matriz m por n). ou M = (aij) m x n Observação: aij representa o elemento que está na linha i e coluna j. Exemplo: ; uma matriz 3 por 2 (3 linhas e 2 colunas) Para ela, temos: a12 = 1 ; a21 = 3 ; a31 = 0 ; Essa matriz pode também ser representada dos modos a seguir: 2- PRINCIPAIS TIPOS DE MATRIZES a) Matriz Linha É aquela que tem uma única linha. A = (-1 2 3), B=[ 1 b) Matriz coluna É aquela que tem uma única coluna. 1] Matemática - M2 23 24 cor preto Tecnologia ITAPECURSOS c) Matriz Quadrada Toda matriz cujo número de linhas é igual ao número de coluna. Exemplo: Os elementos aij de uma matriz quadrada com i = j formam a diagonal principal. A outra diagonal é a diagonal secundária. Assim, para a matriz anterior: diagonal principal: 1, 4 , 0 diagonal secundária: 2, 4, 5 d) Matriz Diagonal e) Matriz Identidade Matriz quadrada cujos elementos situados fora da diagonal principal são nulos. É toda matriz diagonal cujos elementos da diagonal principal são iguais a 1. Uma matriz identidade de ordem n é representada por In. g) Matriz Nula f) Matriz Triangular Matriz quadrada na qual todos os elementos colocados em um mesmo lado da diagonal principal são nulos. Todos os seus elementos são nulos. 3 - IGUALDADE DE MATRIZES Definição Duas matrizes A e B são iguais (A=B) se forem de mesma ordem e se seus elementos correspondentes forem iguais. Observação: Elementos correspondentes são elementos de mesmo índice. Em símbolos: Se A = (aij)mxn e B = (bij)m xn, então: A = B ↔ aij = bij, para i ∈ { 1, 2, ..., m } e j ∈ { 1, 2, ..., n } Desse modo, temos que se , então: A = B, porém A ≠ C (pois a23 ≠ c23) e 4 - MATRIZ TRANSPOSTA Dada uma matriz A = (aij)m x n, chama-se transposta de A, à matriz At = (bij)n Exemplos: então a) Se 24 Matemática - M2 x m tal que bij = aji 22 cor preto Tecnologia ITAPECURSOS 5 - UM RESULTADO INTERESSANTE Já vimos que: Fazendo x = a = 1, obtemos: Isso significa que a soma dos elementos da linha n no Triângulo de Pascal é 2n. 6 - O TERMO GERAL É muito raro necessitarmos do desenvolvimento completo do Binômio. O que geralmente ocorre é precisarmos determinar um termo do Binômio que apresente alguma característica como, por exemplo, o termo em x7, ou o termo independente de x, e assim por diante. Para resolvermos um tal problema, não precisamos de todo o desenvolvimento, mas sim do termo genérico do Binômio. Se você observar mais uma vez a fórmula do Binômio de Newton, verá que cada termo é da forma: Além disso, se p = 0, temos o primeiro termo; se p = 1, temos o segundo termo; e assim sucessivamente. Logo: representa o termo que ocupa a posição (p+1), e é a fórmula do termo geral do binômio (x + a)n, segundo as potências decrescentes de x. Nessa fórmula, observe que: n: representa o expoente do binômio x: representa o primeiro termo do binômio a: representa o segundo termo do binômio p: número que é igual à posição do termo, menos um. Assim, se queremos Para o binômio (x - a)n, temos 1. Calcule o 10º termo no desenvolvimento de Solução: Como queremos o 10º termo (T10), p = 9. Além disso, o primeiro termo é 2x2, o segundo é x e n = 12. Logo, pela fórmula do termo geral temos: Solução: Termo independente é o termo em x 0. Logo, queremos que: - 8 + 3 p = 0; p = 2. Calcule, se existir, o termo independente de x, no desenvolvimento de: 22 . Matemática - M2 Como é natural, tal resposta não satisfaz, e então o binômio dado não apresenta termo independente de x. Observação: Se fosse pedido, por exemplo, o termo em x7, o raciocínio seria semelhante, simplesmente colocaríamos - 8 + 3p = 7, teríamos p, e então bastaria substitui-lo na expressão do termo geral. 25 cor preto Tecnologia ITAPECURSOS b) Se Uma matriz quadrada A se diz simétrica se At = A. Se A for simétrica, os elementos colocados simetricamente em relação à diagonal principal devem ser iguais. 5 - ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE MATRIZES Definição 1 Se A = (aij)m x n e B = (bij)m x n, soma de A e B é a matriz C = (cij)m x n , tal que cij = aij + bij. Definição 2 Se A = (aij)m x n, chama-se oposta de A, a matriz -A = (-aij)m x n Definição 3 Se A = (aij)m x n e B = (bij)m x n então A - B = A + (-B). As principais propriedades da adição são I) A + B = B + A II) (A + B) + C = A + (B + C) III) A + 0 = A IV) A + (-A) = 0 Observação: A e B são matrizes m x n e 0 é a matriz nula m x n Se A é matriz quadrada com At = -A, dizemos que A é anti-simétrica. 6 - MULTIPLICAÇÃO DE UMA MATRIZ POR UM NÚMERO REAL Definição Seja A = (ai j)m x n e K ∈ IR Então: K . A = (bi j)m x n tal que bi j = k . ai j Assim, se teremos e 7 - MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES a) Multiplicação de uma Matriz Linha por uma Matriz Coluna Seja A1 x m e Bm x 1 onde o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B. Definimos o produto de A por B como sendo a matriz C1 x 1, obtida multiplicando-se o 1º elemento da linha de A pelo 1º elemento da coluna de B, o 2º elemento da linha de A pelo 2º elemento da coluna de B e assim sucessivamente até o último, e somando-se os produtos assim obtidos. Exemplo: Seja A = ( 1 2 3 ) e Para achar A . B, calculamos: 1 . 4 + 2 . (-1) + 3 . (-2) = 4 - 2 - 6 = -4 , logo C = (-4) Matemática - M2 25 26 cor preto Tecnologia ITAPECURSOS b) Multiplicação de Matrizes - Condição de existência: Se Am x p e Bq x n, só existe A . B se p = q. O produto será m x n. Para efetuar o produto, multiplicamos cada linha de A por cada coluna de B, como já mostrado no item A. Exemplo: e Se A x B será 2 x 2 e então C11 = 2 . 1 + 1 . 7 + (-3) . 0 = 9 C12 = 2 . (-2) + 1 . 1 + (-3) . 3 = -12 C21 = 0 . 1 + 4 . 7 + (-2) . 0 = 28 C22 = 0 . (-2) + 4 . 1 + (-2) . 3 = -2 Então: c) Propriedades da Multiplicação I) A multiplicação de matrizes não é comutativa. Se A . B = B . A, diremos que A e B comutam. II) (A .B) . C = A . (B . C); III) A . (B + C) = A . B + A . C IV) A . I = I . A = A V) Se A . B = 0 não se pode concluir que A = 0 ou B = 0 VI) Não vale a lei do corte, ou seja se A . B = A .C não se pode concluir que B = C. 8 - MATRIZ INVERSA Seja uma matriz quadrada de ordem n. Chama-se inversa de A (se existir) à matriz representada por A-1 tal que A . A-1 = A-1 . A = In. Exemplo: Ache, se existir, a inversa de A = Solução: Se existir, Como queremos que A . A-1 = I, teremos: e então: Resolvendo esses sistemas, teremos: a = -3 , b = 2 , c = 2 , d = -1 26 Matemática - M2 e então 27 cor preto Tecnologia 9 - PROPRIEDADES DA INVERSA 10 - PROPRIEDADES DA TRANSPOSTA a) (A-1)-1 = A a) (At)t = A b) (At)-1 = (A-1)t b) (A + B)t = At + Bt c) (A . B)-1 = B-1 . A-1 c) (A . B)t = Bt . At d) (K . A)-1 = ITAPECURSOS . A-1 DETERMINANTE 1- DEFINIÇÃO DE DETERMINANTE Chamamos de determinante de uma matriz quadrada A ao número associado a A e definido a seguir. a) Determinante da 1ª ordem Se A = (a11), então o determinante de A, que indicaremos por det A ou |a11|, será: det A = a11 b) Determinante de 2ª ordem então Se det A = a11 . a22 - a21 . a12, ou seja, det A é o produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária. Exemplo: c) Determinante de 3ª ordem - Regra de Sarrus Repetimos a 1ª e a 2ª colunas. Multiplicamos os elementos da diagonal principal e os elementos das diagonais que lhe são paralelas e somamos. Multiplicamos os elementos da diagonal secundária e das diagonais que lhe são paralelas. Somamos esses produtos e subtraímos da soma achada anteriormente. Exemplo: Solução: Calcule 2 - DEFINIÇÃO GERAL DE DETERMINANTE Para definir determinante de ordem n qualquer, precisamos antes entender o que é cofator. - Cofator: seja A uma matriz quadrada de ordem n ≥ 2 e aij um elemento de A. Chama-se cofator de aij e representa-se por Aij ao número definido por: Aij = (-1)i + j. Dij, onde Dij é o determinante da matriz obtida suprimindo-se de A, a linha i e a coluna j. Exemplo: Seja então: Matemática - M2 27 28 cor preto ITAPECURSOS Tecnologia Podemos agora definir o determinante de ordem n, o que é feito pelo: - Teorema de Laplace O determinante de uma matriz quadrada A, de ordem n ≥ 2, é igual à soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna), pelos respectivos cofatores. Exemplo: Calcule Solução: É vantajoso tomarmos uma fila que tenha o maior número possível de zeros. Usaremos então a 3ª coluna detA = a13 . A13 + a23 . A23 + a33 . A33 = 3 . A 13 + 0 . A23 + 0 . A33 = 3 . A13 Como A13 = (-1)1 + 3 . = 17, teremos: det A = 3 . 17 = 51 Sugiro que você, utilizando o teorema de Laplace, prove que, se A é uma matriz triangular, seu determinante é obtido multiplicando-se os elementos da diagonal principal. 3- PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES Os cálculos envolvendo determinantes ficam muito mais simples se usarmos as propriedades a seguir. P.1) O determinante de uma matriz é igual ao determinante de sua transposta: det A = det At P.2) Se uma matriz quadrada tem uma linha ou coluna de zeros, seu determinante é nulo. P.3) Seja A uma matriz quadrada de ordem n ≥ 2. Se a matriz B é obtida de A, trocando de posição duas linhas (ou duas colunas) quaisquer, então: det B = - det A P.4) Se uma matriz A possui duas linhas (ou colunas) iguais então det A = 0. P.5) Multiplicando-se uma linha (ou coluna) de uma matriz A, por um número real K, não nulo, seu determinante fica multiplicado por K. Conseqüência: det (K.A) = Kn . det A P.6) Se uma matriz possui duas linhas (ou colunas) proporcionais, então det A = 0. P.7) Teorema de Cauchy A soma dos produtos dos elementos de uma linha (ou coluna) de uma matriz pelos respectivos cofatores de outra linha (ou coluna) é igual a zero. P.8) Teorema de Jacobi Se multiplicarmos uma linha (ou coluna) de uma matriz A por um número diferente de zero e adicionarmos o resultado a outra linha (ou coluna), obtemos uma matriz B, tal que det A = det B. P.9) Teorema de Binet Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem, então det (A . B) = det A . det B. Essa última propriedade tem uma conseqüência importante. Seja A uma matriz inversível. Então: A . A-1 = I. Logo: det (A . A-1) = det I e usando P.9 e lembrando que det I = 1, teremos: det A . det A-1 = 1 Portanto, se A admite inversa, det A ≠ 0, e nesse caso, det 28 Matemática - M2 . 29 cor preto Tecnologia ITAPECURSOS 4 - ABAIXAMENTO DA ORDEM - REGRA DE CHIÓ Seja A = (aij)n x n uma matriz quadrada, e apq um elemento de A, tal que apq = 1. Para calcular o det A, pela regra de Chió, procede-se do seguinte modo: - suprime-se a linha p e a coluna q. - dos elementos restantes subtraímos o produto dos elementos que se encontram nas perpendiculares traçadas do elemento considerado às filas que foram suprimidas. - formamos uma matriz B com as diferenças assim obtidas. - det A = (-1) p+q . detB. Observação: Se na matriz A não houver nenhum elemento igual a 1, usando as propriedades é possível fazer tal elemento aparecer. Exemplo: Calcule, usando CHIÓ Solução: 5- MATRIZ DE VANDERMONDE Uma matriz quadrada, de ordem n, se diz matriz de Vandermonde se ela for da forma: - os elementos de uma mesma coluna formam uma P.G. - os elementos da 2ª linha são chamados de elementos característicos. Se x1 , x2, ..., xn são elementos característicos de uma matriz de Vandermonde, seu determinante é obtido multiplicando-se todas as diferenças xi - xj com i > j. Exemplo: Calcule Solução: Como as colunas formam uma P.G., trata-se de uma matriz de Vandermonde, de elementos característicos 2, -1, 3, 1. Então: D = (-1 - 2) (3 - 2) (3 + 1) (1 - 2) (1 + 1) (1 -3) = -48 Matemática - M2 29 30 cor preto Tecnologia ITAPECURSOS SISTEMAS LINEARES 1 - EQUAÇÃO LINEAR Chamamos de equação linear a toda equação da forma a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b Uma seqüência (a1, a2, ..., an) é uma solução da equação. Se a substituição de x1, por a1, x2 por a2, xn por an tornar a sentença verdadeira. Exemplo: Seja a equação linear x - 2y - z = 7 (1, 1, -8) é solução pois 1 - 2 . 1 - (-8) = 7. Já (0, -1, 3) não é solução pois 0 - 2 . (-1) - 3 = -1 e - 1 ¹ 7. Observe que: - a equação 0x1 + 0x2 + ... + 0xn = b, com b ¹ 0 não admite solução. - a equação 0x1 + 0x2 + ... + 0xn = 0, tem qualquer seqüência (a1, a2, ..., an) como solução. 2 - SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES Chamamos de sistema de equações lineares ou sistema linear a um conjunto de duas ou mais equações lineares. Exemplo: A seqüência (a1, a2, ..., an) é solução do sistema S, se for solução de todas as equações de S. Um sistema se classifica em: A) Sistema possível ou compatível: é aquele que possui solução. - se essa solução é única, o sistema é compatível determinado. - se tivermos mais de uma solução, o sistema é indeterminado. B) Sistema impossível ou incompatível: é aquele que não possui solução. - Se todos os termos independentes de um sistema (bj) forem nulos, o sistema se diz homogêneo. - Se um sistema é homogêneo, a seqüência (0, 0, ..., 0) é solução, chamada solução trivial. 3 - REGRA DE CRAMER A regra de Cramer é uma técnica que nos permite resolver apenas sistemas quadrados, ou seja, sistemas em que o número de equações é igual ao número de incógnitas. Seja o sistema: Chamaremos de D ao determinante formado pelos coeficientes de cada equação do sistema. 30 Matemática - M2 31 cor preto Tecnologia ITAPECURSOS D(xi) é o determinante da matriz que se obtém, substituindo-se a coluna i de D, pela coluna dos termos independentes. A regra de Cramer afirma que, se D ¹ 0, então Exemplo: Resolver o sistema Solução: Como D ≠ 0, o sistema é compatível e determinado. Logo: Resposta: (1, -5, 2) 4 - O MÉTODO DO ESCALONAMENTO O método do escalonamento é um método geral de resolução de sistemas lineares, não apresentando as restrições da Regra de Cramer. Um sistema se diz escalonado quando aumenta de uma equação para a seguinte o número de coeficientes iniciais nulos, até que sobrem, eventualmente, equações onde todos os coeficientes iniciais são nulos. Num sistema escalonado, uma equação do tipo 0x1+ 0x2 + 0xn = 0 pode ser suprimida, pois qualquer seqüência (a1, a2, ..., an) é solução. Já se num sistema tivermos uma equação do tipo 0x1+ 0x2 +... + 0x = b, com b ¹ 0, o sistema é incompatível, pois tal equação não tem solução. Num sistema escalonado, as incógnitas que não aparecem no início de nenhuma das equações são chamadas de variáveis livres, e a quantidade delas chama-se grau de indeterminação do sistema. Exemplo: Seja o sistema: Esse sistema está escalonado, x2 é variável livre, e o seu grau de indeterminação é 1. Dois sistemas S1 e S2 são equivalentes (S1 - S2) se possuem o mesmo conjunto solução. Para obtermos sistemas equivalentes, usamos as transformações elementares, que são operações efetuadas sobre as equações do sistema, que o transformam em outro equivalente. São elas: T.1) Trocar a ordem das equações. T.2) Trocar a ordem das incógnitas. T.3) Multiplicar uma das equações do sistema por um número não nulo. T.4) Substituir uma das equações do sistema, pela soma dela com uma outra, previamente multiplicada por um número não nulo. Matemática - M2 31 32 cor preto ITAPECURSOS Tecnologia 1. Resolva o sistema Solução: Inicialmente troque de posição a 1ª e a 3ª equações, pois assim o primeiro elemento da 1ª equação será 1. ; Agora, para zerar os termos em x na 2ª e 3ª equação, multiplicamos a 1ª equação por -4 e somamos com a 2ª e depois multiplicamos a 1ª equação por -2 e somamos com a 3ª equação. -2 -4 ; Daí vem: ; -1 ; 7 De 26z = 26 vem z = 1 e substituindo em y + 4z = 0, obtemos, y + 4 = 0, y = -4 e daí: x + y + z = 1; x - 4 + 1 = 1; x = 4 Resposta: (4, -4, 1) Solução: Trocando a 1ª e 3ª equação de posição vem: -2 -4 ; a última equação mostra que o sistema é incompatível. 32 Matemática - M2 1 ; 33 cor preto Tecnologia ITAPECURSOS 3. Resolva: Solução: -2 -3 ; 1 ; Logo, o sistema tem uma variável livre, que é z. Se fizermos z = a, teremos: -y + 2a = -2; y = 2 + 2a x + 2 . (2 + 2a) + 3a = 3; x = -1 - 7a Logo a solução é: (-1 - 7a, 2 + 2a, a) 5- DISCUSSÃO DE SISTEMAS LINEARES Discutir um sistema é classificá-lo em determinado, indeterminado ou incompatível, em função do(s) parâmetro(s) que aparece(m) nas equações do sistema. Para discutir um sistema, utilizaremos o escalonamento. Veja alguns exemplos: a) Discutir o sistema: Solução: -2 -3 -1 Logo: Se 9 - m ¹ 0 ou seja, se m ¹ 9, o sistema é incompatível. Se 9 - m = 0, ou seja, se m = 9, o sistema terá uma variável livre e será compatível indeterminado. b) Discutir o sistema Solução: -1 -2 Como o sistema já está escalonado, temos: • Para a - 2 ¹ 0, ou seja, para a ¹ 2, o sistema será compatível e determinado com z = e daí tira-se x e y. • Se a - 2 = 0, ou seja, se a = 2, a última equação se transforma em 0 = 4b - 8. Logo: Se 4b - 8 ¹ 0, ou seja, se b ¹ 2, o sistema é incompatível. Se 4b - 8 = 0, ou seja, se b = 2, o sistema é indeterminado. Em resumo: Se a ¹ 2, o sistema é compatível determinado. Se a = 2, e b = 2, o sistema é indeterminado. Se a = 2 e b ¹ 2, o sistema é incompatível. Matemática - M2 33 34 cor preto Tecnologia ITAPECURSOS PROGRESSÃO ARITMÉTICA E PROGRESSÃO GEOMÉTRICA 1 - SEQÜÊNCIA DE NÚMEROS REAIS Informalmente falando, uma seqüência é um conjunto cujos elementos são considerados em ordem. Exemplo: a) (1, 3, 5, 7, 9...) ® seqüência dos números ímpares. b) (0, 2, 4, 6, 8, 10) ® seqüência dos números naturais pares menores que 12. 2 - REPRESENTAÇÃO GENÉRICA DE UMA SEQÜÊNCIA (a1, a2, a3, ..., an) a1: indica o 1º termo. a2: indica o 2º termo. .. ... ... ... ... an: indica o enésimo termo. Exemplos: Seja a seqüência (-3, 5, 4, 11, 13, 0), temos que: a1 = -3; a4 = 11; a6 = 0 3 - TERMOS EQÜIDISTANTES DOS EXTREMOS Dois termos de uma seqüência são eqüidistantes dos extremos se o número de termos que antecedem o primeiro é igual ao número de termos que seguem o segundo. É fácil perceber que dois termos são eqüidistantes dos extremos se a soma de seus índices é igual à soma dos índices dos termos extremos. Exemplo: Seja a seqüência (a1, ..., a20) a5 e a16 são eqüidistantes dos extremos pois 5 + 16 = 1 + 20 a8 e a11 não são eqüidistantes dos extremos pois 8 + 11 ¹ 1 + 20 4 - REPRESENTAÇÃO DE UMA SEQÜÊNCIA Uma seqüência pode ser dada através da fórmula do termo geral ou através de uma fórmula de recorrência. Veja: a) Escreva os três primeiros termos da seqüência, cujo termo geral é: an = 3n - 1 Solução: a1 = 3 . 1 - 1 = 2, a2 = 3 . 2 - 1 = 5 a3 = 3 . 3 - 1 = 8 Resposta: a1 = 2, a2 = 5, a3 = 8 b) Seja a seqüência tal que a1 = 2 e an = an-1 . 3. Escreva os três primeiros termos dela. Solução: a1 = 2 a2 = a1 . 3 = 2 . 3 = 6 a3 = a2 . 3 = 6 . 3 = 18 Resposta: a1 = 2, a2 = 6, a3 = 18 34 Matemática - M2 35 cor preto ITAPECURSOS Tecnologia 5 - PROGRESSÃO ARITMÉTICA (P.A.) Definição Chamaremos de progressão aritmética (P.A.) à seqüência onde cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior somado com uma constante, que denominaremos de razão (r) da P.A. Exemplos: a) (3, 7, 11, 15,...) P.A. de razão r = 4 b) (6, 4, 2, 0, -2,...) P.A. de razão r = -2 c) (2, 2, 2,...) P.A. de razão r = 0 Observe que, se (a1, a2, ..., an) é uma P.A., então: r = a2 - a1 = a3 - a2 = ... = an - an-1 Além disso, pela definição dada, teremos: a2 = a1 + r a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r e de um modo geral: an = a1 + (n -1) . r ® fórmula do termo geral. Podemos achar uma outra fórmula mais geral. Seja (a1, a2, ..., ak, ..., an) uma P.A. de razão r. Pela fórmula do termo geral temos: Portanto: an - ak = a1 + nr - r - a1 - kr + r ou an = ak + (n - k) . r Exemplos: A primeira fórmula nos permite escrever: a7 = a1 +6r, a10 = a1 + 9r etc. A segunda nos permite escrever: a5 = a3 + 2r, a9 = a6 + 3r, a4 = a7 - 3r, etc. 6 - PROPRIEDADES DE UMA P.A. P.1) Dados três termos consecutivos de uma P.A., o termo do meio é média aritmética dos outros dois. Demonstração: Sejam x, y, z termos consecutivos de uma P.A. de razão r. Então, pela definição, teremos: y=x+r y=z-r Somando m.a.m. essas igualdades, encontramos: 2y = x + z ou y = P.2) A soma de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos de uma P.A. Demonstração: Dada a P.A. (a1, ..., ap, ..., aq, ..., an) sejam ap e aq termos eqüidistantes dos extremos. Então, teremos p + q = 1 + n ou p - 1 = n - q (I). Além disso: ap = a1 + (p - 1) r an = aq + (n - q) r = aq + (p - 1) r, pois n - q = p - 1 Logo, subtraindo m.a.m., obteremos: an - ap = aq + (p - 1) r - a1 - (p - 1) r ou an - ap = aq - a1 e daí an + a1 = ap + aq Matemática - M2 35 36 cor preto Tecnologia ITAPECURSOS Conseqüências dessas propriedades: 1ª) Se p + q = r + s então ap + aq = ar + as Assim, podemos escrever: a2 + a5 = a4 + a3 = a1 + a6 2ª) Numa P.A. finita, com um número ímpar de termos, o termo central é média aritmética entre os extremos, ou entre qualquer par de termos eqüidistantes dos extremos. 7 - SOMA DOS TERMOS DE UMA P.A. Seja a P.A. (a1, a1 + r, a1 + 2r, ..., an - 2r, an - r, an). Então: Sn = a1 + a1 + r + a1 + 2r + ... + an - 2r + an - r + an ou Sn = an + an - r + an - 2r + ... + a1 + 2r + a1 + r + a1 Somando m.a.m. obtemos: 2Sn = (a1 + an) + (a1 + an) + ... + (a1 + an) n parcelas Logo: 2Sn = (a1 + an) . n e então . 8 - PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (P.G.) Definição Chama-se progressão geométrica (P.G.) a toda seqüência onde cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior, multiplicado por uma constante, que chamaremos de razão (q) da P.G. Exemplos: (3, 6, 12, 24, ...), P.G. de razão q = 2. (1, -3, 9, -27, ...), P.G. de razão q = -3. (18, 6, 2, , ...), P.G. de razão q = . (2, 2, 2, ...) P.G. de razão q = 1. Observação: Para se achar a razão de uma P.G., basta dividir um termo qualquer pelo anterior. Se (a1, a2, ..., an) é uma P.G. temos: a2 = a1 . q a3 = a2 . q = (a1 . q) . q = a1 . q2 a4 = a3 . q = (a1 . q2) . q = a1 . q3 e notando que o expoente da razão é sempre uma unidade menor que o índice do termo em questão, teremos: an = a1 . qn-1 ® termo geral da P.G. De modo análogo ao que fizemos para a P.A., prova-se que: Veja: a7 = a1 . q6 , a5 = a1 . q4 a9 = a4 . q5 , a3 = a7 . q-4 36 Matemática - M2 an = ak . qn-k . 37 cor preto ITAPECURSOS Tecnologia 9 - PROPRIEDADES DE UMA P.G. P.1) Dados três termos de uma P.G., o termo do meio é média geométrica entre os outros dois. Ou seja: Se a, b, c estão em P.G., b2 = ac. P.2) O produto de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual ao produto dos extremos de uma P.G. Conseqüências de P.2. 1ª) Se p + r = s + t então ap . ar = as . at 2ª) Em uma P.G. de número ímpar de termos, o termo central é média geométrica entre os extremos, ou entre dois termos eqüidistantes dos extremos. Tente provar essas propriedades. As demonstrações são parecidas com o que fizemos para as P.As. 10- SOMA DOS TERMOS DE UMA P.G. FINITA Seja (a1, a2, a3, ..., an-2, an-1, an) uma P.G. finita de razão q ¹ 1. Então: Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-2 + an-1 + an Multiplicando por q, obtemos: qSn = a1q + a2q + a3q + ... + an-2 . q + an-1 . q + an . q ou qSn = a2 + a3 + a4 + ... + an-1 + an + anq Portanto: qSn - Sn = anq - a1, e daí vem: Usando a fórmula an = a1 . qn-1, prova-se também que: 11- SOMA DOS TERMOS DE UMA P.G. INFINITA Seja (a1, a2, ..., an, ...) uma P.G. infinita cuja razão q é tal que |q| < 1. Já sabemos que: . Fazendo n tender a infinito. qn tenderá a zero e Sn tende a: Lembre-se: essa fórmula só vale para P.Gs. onde |q| < 1. Matemática - M2 37 38 cor preto ITAPECURSOS Tecnologia GEOMETRIA ESPACIAL I - PRISMA 1- DEFINIÇÃO P’ β Sejam α e β dois planos paralelos, R uma região poligonal em α, e r uma reta cuja interseção com α é um ponto exterior a R. Chama-se prisma, à reunião de todos os segmentos PP’ paralelos a r, com P em R e P’ em β. P α R r 2- ELEMENTOS DE UM PRISMA C’ Elementos: ABC e A’B’C’: bases β A’ AB é uma aresta da base (quais são as outras?) B’ h AA’ é uma aresta lateral (quais são as outras?) C AA’BB’ é uma face lateral (quais são as outras?) h é a altura do prisma (distância entre os planos da base) A B Obs.: Se as arestas laterais são oblíquas em relação aos planos da base, o prisma é um prisma oblíquo. Se as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases o prisma é um prisma reto (h = aresta lateral) α h 3- CLASSIFICAÇÃO Prisma triangular: as bases são triângulos Prisma quadrangular: as bases são quadriláteros Prisma pentagonal: as bases são pentágonos e assim por diante. Prisma regular: é o prisma reto, cujas bases são polígonos regulares. Prisma regular triangular Prisma regular pentagonal 4- SECÇÕES - Secção transversal de um prisma: é a interseção desse prisma com um plano paralelo às bases. - Secção reta de um prisma: é a interseção desse prisma com um plano perpendicular às suas arestas laterais. 38 Matemática - M2 39 cor preto Tecnologia ITAPECURSOS 5- PARALELEPÍPEDO - Paralelepípedo é o prisma cuja base é um paralelogramo. - Paralelepípedo retângulo (ou reto-retângulo ou ortoedro) é um prisma reto, cuja base é um retângulo. - Cubo é um paralelepípedo retângulo no qual todas as seis faces são quadrados. Exemplos: Paralelepípedo oblíquo As seis faces são paralelogramos Paralelepípedo reto Faces laterais - retângulos bases: paralelogramos Paralelepípedo retângulo As seis faces são retâgulos Cubo As seis faces são quadrados 6- DIAGONAL DE UM PARALELEPÍPEDO RETÂNGULO Sejam a, b, c as dimensões do paralelepípedo retângulo. No triângulo ABC, temos: d2f = a2 + b2 No triângulo ACC’, temos: d2 = d2f + c2 e substituindo: d2 = a2 + b2 + c2. Logo: 7- ÁREA TOTAL DE UM PARALELEPÍPEDO RETÂNGULO (St ) St é a área de 6 retângulos 2 com dimensões a, b 2 com dimensões a, c 2 com dimensões b, c Logo: Matemática - M2 39 40 cor preto Tecnologia ITAPECURSOS 8 - VOLUME DO PARALELEPÍPEDO RETÂNGULO (V) Um paralelepípedo retâgulo de dimensões a, b, c, tem um volume dado por: V = a . b. c 9 - DIAGONAL, ÁREA TOTAL E VOLUME DE UM CUBO Como um cubo é um caso especial de paralelepípedo retângulo, as fórmulas anteriores são válidas para ele, bastando fazer b = c = a. Teremos então: , , Obs.: a é a aresta do cubo. 10 - VOLUME DE UM PRISMA QUALQUER O volume de um prisma qualquer é igual ao produto da área da base (B) pela altura (h) 11 - LEMBRETES IMPORTANTES A) Altura e área de um triângulo equilátero B) Área de um hexágono regular A área do hexágono é seis vezes a área do triângulo equilátero de lado a , C) Apótema do hexágono regular (m) O apótema do hexágono regular coincide com a altura de um triângulo equilátero. II - PIRÂMIDE 1- DEFINIÇÃO E ELEMENTOS Definição: Seja α um plano, R uma região poligonal em α e V um ponto não pertencente a α. Chama-se pirâmide à reunião de todos os segmentos com uma das extremidades num ponto de R e a outra no ponto V. - Elementos Vértice: é o ponto V. Base: é o polígono ABCDE Arestas da base: são os lados da base: AB, BC, ... Arestas laterais: VA, VB, ...VE Faces laterais: são os triângulos VAB, VBC, ... Altura: é a distância do vértice ao plano da base. 40 Matemática - M2 V=B.h 41 cor preto Tecnologia ITAPECURSOS 2- CLASSIFICAÇÃO Pirâmide triangular ou tetraedro: a base é um triângulo. Pirâmide quadrangular: a base é um quadrilátero. Pirâmide pentagonal: a base é um pentágono e assim por diante. Se a base é um polígono regular, e a projeção ortogonal do vértice sobre o plano da base for o centro desse polígono, a pirâmide é uma pirâmide regular. Numa pirâmide regular, as faces laterais são triângulos isósceles congruentes. A altura de uma face lateral de uma pirâmide regular em relação ao lado da base chama-se apótema da pirâmide. VO = altura (h) OM = apótema da base (n) Observe que: m2 = h2 + n2 VM = apótema da pirâmide (m) 3- VOLUME DE UMA PIRÂMIDE Em uma pirâmide cuja área da base é B e a altura é h, o volume é: 4- SECÇÃO TRANSVERSAL DE UMA PIRÂMIDE Chama-se secção transversal de uma pirâmide à interseção da pirâmide com um plano paralelo à base. Sendo h a altura da pirâmide V(ABCD) e d a distância da secção transversal ao vértice V da pirâmide, temos: a) b) c) d) Observação: As relações acima são válidas para qualquer pirâmide. 5- TRONCO DE PIRÂMIDE A secção transversal de uma pirâmide a divide em dois outros sólidos. O que contém o vértice é uma nova pirâmide. O que contém a base é um sólido que chamaremos de tronco de pirâmide. Base maior: é a base da pirâmide original Representaremos sua área por B. Base menor: é a secção transversal. Sua área será representada por b. Altura do tronco: é a distância entre os planos das bases (h). O volume do tronco de cone é: Matemática - M2 41 42 cor preto Tecnologia ITAPECURSOS 6- TETRAEDRO REGULAR Chamamos de tetraedro regular à pirâmide regular na qual as quatro faces são triângulos equiláteros congruentes. - Área total do tetraedro regular ( St ) St = 4 vezes a área de um triângulo equilátero de lado a. ou Portanto - Altura do tetraedro regular (h) Seja a aresta do tetraedro. Como o tetraedro é regular, o ponto O é o baricentro do triângulo ABC, e como esse triângulo é equilátero teremos: No triângulo VOA, temos: e daí vem - Volume do tetraedro regular (V) , onde B é a área da base. Mas ; então III - CILINDRO 1- DEFINIÇÃO E ELEMENTOS - Definição: Sejam α e β planos paralelos, C um círculo contido em α e r uma reta que intercepta α em A e β em B. Chama-se cilindro à reunião de todos os segmentos congruentes e paralelos a AB, que têm uma extremidade no círculo C e outra no plano β. - Elementos de um cilindro Bases: são os círculos de centro O e O’. Altura (h): é a distância entre os planos das bases. Eixo: é a reta OO’ que contém os centros das bases. Geratriz: qualquer segmento paralelo ao eixo e com extremidades nas circunferências das bases. 2- CLASSIFICAÇÃO Cilindro reto: as geratrizes são perpendiculares aos planos da base. g=2r=h Cilindro oblíquo: as geratrizes não são perpendiculares aos planos da base. Observação: O cilindro reto é também chamado de cilindro de revolução. Cilindro reto 42 Matemática - M2 Cilindro oblíquo Cilindro equilátero 43 cor preto Tecnologia ITAPECURSOS - Secção Meridiana É a interseção de um cilindro reto com um plano que contém o eixo. A secção meridiana geralmente é um retângulo. Se ela for um quadrado, o cilindro é chamado cilindro equilátero. 3- ÁREA LATERAL Se você “abrir” o cilindro obterá um retângulo de base 2πr e altura h. h 2πr Logo, a área lateral do cilindro será SI = 2πr 4- ÁREA TOTAL É a área lateral acrescida da área das duas bases. Logo: St = 2πrh + 2πr2 ou: St = 2πr(h + r) 5- VOLUME DE UM CILINDRO É dado por: V = πr2 . h IV - CONE 1- DEFINIÇÃO - ELEMENTOS - Definição: Seja C um círculo de centro O e raio r, contido num plano α , e V um ponto fora desse plano. Chamamos de cone circular ou cone à reunião de todos os segmentos cujos extremos são o ponto V e um ponto do círculo. - Elementos: Vértice: ponto V Base: círculo de centro O Altura: distância de V ao plano da base Eixo: reta VO Geratriz: segmentos com extremos em V e num ponto da circunferência da base. o Matemática - M2 43 44 cor preto Tecnologia ITAPECURSOS 2- CLASSIFICAÇÃO Cone oblíquo: o eixo é oblíquo à base Observação: Cone reto: o eixo é perpendicular à base Cone oblíquo 1) O cone reto também é chamado de cone de revolução. Ele pode ser gerado pela rotação completa de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos. Cone reto Observação: 2) Num cone reto temos: g2 = h2 + r2 - Secção meridiana: é a interseção do cone com um plano que contém o eixo. A secção meridiana de um cone reto é um triângulo isósceles. Cone equilátero: é o cone cuja secção meridiana é um triângulo equilátero. Num cone equilátero g = 2r e h = r 3- ÁREA LATERAL E ÁREA TOTAL DE UM CONE - Área lateral Destacando a base de um cone, cortando-o na direção de uma geratriz, obtemos uma planificação do cone que será um setor circular de raio g e cujo arco tem comprimento 2πr. r 2πr Da geometria plana, sabemos que a área de um setor circular de raio r e arco de comprimento l é Portanto, a área lateral do cone será: - Área total 44 Matemática - M2 45 cor preto Tecnologia ITAPECURSOS 4- VOLUME DO CONE , r = raio da base e h = altura 5- SECÇÃO TRANSVERSAL DE UM CONE É a interseção de um cone com um plano paralelo ao plano de sua base. Uma secção transversal divide o cone em duas partes: um cone menor e um tronco de cone. São válidas as relações: b) a) secção c) onde: V1 = volume do cone de altura h r V2 = volume do cone de altura H 6- TRONCO DE CONE Como já dissemos anteriormente, é uma das partes em que o cone fica dividido por uma secção transversal. Se o cone original que foi seccionado for um cone reto, o tronco é chamado tronco de cone reto de bases paralelas. - Área lateral de um tronco de cone reto de bases paralelas Seja Sit a área lateral do tronco, Sl a área lateral do cone de geratriz G e S’l a área lateral do cone de raio da base r. Então: Slt = Sl - S’l Slt = π RG = π r(G - g) = π RG - π rG + πrg Slt = π(RG - rG + rg) = π[G(R - r) + rg] Da semelhança dos triângulos VAO’ e VBO, tiramos: ou vem e daí A . Substituindo e então: - Área total de um tronco de cone reto de bases paralelas. Mostre você que: - Volume do tronco de cone reto de bases paralelas. Matemática - M2 45 46 cor preto ITAPECURSOS Tecnologia V - ESFERA 1- ESFERA É o conjunto dos pontos do espaço, cuja distância a um ponto dado O, é menor ou igual a R, onde R > O é o raio da esfera. 2 - SUPERFÍCIE ESFÉRICA É o conjunto dos pontos do espaço, cuja distância a um ponto dado O, é igual a R, sendo R > O, o seu raio. Observação: A superfície esférica é a “casca” da esfera. 3 - SECÇÃO - CÍRCULO MÁXIMO Secção da esfera: é a interseção da esfera com um plano secante. A secção de uma esfera é um círculo. Círculo máximo: é a interseção da esfera com um plano secante que passa pelo seu centro. d = distância do centro O ao plano secante Observe que: R = raio da esfera r = raio da secção 4 - PÓLOS, EQUADOR, PARALELOS E MERIDIANOS Pólos: São as interseções da superfície esférica com o eixo (P1 e P2) Equador: é a secção perpendicular ao eixo que passa pelo centro da superfície esférica (circunferência máxima) Paralelo: é toda secção da superfície esférica paralela ao equador. Meridiano: é uma secção da superfície esférica, cujo plano passa pelo eixo (é também uma circunferência máxima) 5 - DISTÂNCIAS POLARES Chama-se distância polar à distância de um pólo a um ponto qualquer de um paralelo. Exemplo: P1A = p e P2A = p’ são distâncias polares. Cálculo da distância polar. Sejam: R: o raio da esfera d: distância do centro da esfera ao plano da secção. O triângulo P1AP2 é retângulo. Então, usando as relações métricas nos triângulos retângulos obtemos: 46 Matemática - M2 47 cor preto Tecnologia ITAPECURSOS 6 - O VOLUME DA ESFERA O volume de uma esfera de raio R é: 7 - ÁREA DA SUPERFÍCIE ESFÉRICA A área da superfície esférica de raio R é: 8 - FUSO ESFÉRICO É a superfície obtida pelo giro de a graus (0º < a < 360º) em torno do eixo de uma semicircunferência com extremidades nos pólos. - Área do fuso esférico Como o fuso é “uma parte” da superfície esférica, podemos calcular sua área por uma regra de três. Basta observar que, se a = 360º (ou a = 2πrad), o fuso se transforma na superfície esférica. A) a é dado em graus. 360º - 4pR2 a - S B) α é dado em radianos 2prad - 4pR2 a S Observação: O fuso é a “casca” de um gomo de laranja. 9 - CUNHA ESFÉRICA Se na definição anterior, substituirmos a semi-circunferência por um semi-círculo obtemos um sólido que é chamado de cunha esférica (gomo de laranja). - Volume da cunha A) a é dado em graus. 360° a - V B) a é dado em radianos 2πrad a - V Matemática - M2 47 48 cor preto ITAPECURSOS Tecnologia MATEMÁTICA I FUNÇÃO EXPONENCIAL 1) (PUC-MG) A exponencial (a + 3) x é função decrescente. O número real a + 2 pertence ao intervalo: a) ]0,1[ b) ]-2,-1[ c) ]-1,-1[ d) ]-2,0[ e) ]-1,0[ 2) (UNA-MG) O tempo necessário, em segundos, para um computador resolver um sistema linear de n equações a n incógnitas é T(n) = n + 2n. O tempo que essa máquina levará para resolver um sistema linear de 10 equações a 10 incógnitas será: a) menor que 5 minutos. b) maior que 5 minutos mas menor que 15 minutos. c) maior que 15 minutos mas menor que 1 hora. d) superior a 1 hora. 3) (PUC-MG) Sabe-se que a população de certa cidade cresce exponencialmente de acordo com a função p = f(t) do gráfico abaixo, onde t é o tempo em anos e p, a população em milhares de habitantes. De acordo com as informações desse gráfico, o valor aproximado de t, para que se tenha p = 160, é: 4) (PUC-MG) A população de uma cidade é dada pela equação y = 250 . 1,02x, em que y é a população em milhares de habitantes e x é o tempo, em anos, contado a partir de janeiro de 1997. O número provável de habitantes dessa cidade, em janeiro do ano 2000, seria aproximadamente: a) 250.000 b) 255.000 c) 260.000 5) (PUC-MG) Considere as funções f( x ) = 3 x e g ( x ) = x2 + x . A soma das raízes da equação f( g(x) ) = 9 é: a) –2 b) 20 c) 24 c) e) 32 48 d) Matemática - M2 c) 0 d) 1 e) 2 7) (N.Paiva-MG) Considere a equação exponencial 2k + 2-k = 3k, onde k é um número real. Os valores de k para os quais a equação exponencial admite raízes reais são: b) d) 28 b) –1 6) (UFOP-MG) O valor de x que satisfaz a equação seguinte é um número: 4x - 15 . 2x - 16 = 0 a) ímpar d) primo b) irracional e) par c) negativo a) a) 16 d) 265.000 e) 270.000 49 cor preto Tecnologia 8) (Univ. Itaúna-MG) O par (x , y) é solução do sistema . O valor de a) 2/5 9) b) 1/5 c) 3/5 (FAFEOD-MG) O , então a) 1 domínio da função é: a) b) R_ c) R+ d) e) R 10) (UFJF-MG) O conjunto solução, em R, da inequação é: a) d) b) e) 11) (PUC-MG) O par ordenado (-1,5) pertence ao gráfico da função f(x)= a x. O valor de f (1) é: b) 0,2 c) 0,3 d) 0,4 e) 0,5 12) (FMTM-MG) Seja a o menor número real que é . Pode-se solução da equação a) natural b) primo c) irracional b) 500 c) 600 d) 700 e) 800 14) (UFOP-MG) A soma das raízes da equação 9x + 81 = 3x . 30 é: c) 27/28 d) 4 17) (Fund. João Pinheiro-MG) Uma população, a partir de 1995, tem a seguinte lei de formação: Estima-se que, em certo ano, essa mesma população será 32 vezes a de 1995. Assim sendo, esse ano seria: a) 1998 b) 1999 c) 2000 d) 2002 e) 2004 é: a) (-1,0) b) (0,-1) c) (0,1) d) (1,0) e) (1,1) 19) UFMG) Observe a figura. Nessa figura, está representado o gráfico da função c) 36,5 °C d) 56,5 °C f(x) = b x , b > 0. Se , a única afirmativa VERDA- DEIRA sobre o valor de b é: e) 30 15) (FCMMG) Suponha que a temperatura de um corpo, colocado num instante t = 0 em um meio mais frio, obedeça à seguinte lei: T(t) - A = B.e -k.t, em que A é a temperatura do meio ambiente, T(t) é a temperatura do corpo no instante t, B e K são constantes e e é aproximadamente 2,7. Suponha ainda que no instante t = 0 o corpo tenha temperatura de 36,5 °C, e que este se encontre em uma sala mantida a 20 °C. O valor de B é: a) 16,5 °C b) 28,25 °C d) 3/2 d) complexo e) divisível por 5 13) (Fund. João Pinheiro-MG) Certo fenômeno é regido pela lei f(x) = a .10 b.x . Sabe-se que f(0) = 0,01 e f(1) = 10.000. Nesse caso, o quociente b/a deve ser igual a: a) 1 b) 81/28 c) 1/2 é um número: afirmar que a) 400 b) 0 é igual a: 18) (CEFET-MG) O ponto de interseção das curvas c) a) 0,1 16) (Fac. Milton Campos-MG) Se a é raiz da equação é: d) 4/5 ITAPECURSOS a) d) 1 < b < 4 b) e) 4 < b < 9 c) 20) (PUC-MG) O número de raízes reais da equação é: a) 1 b) 2 c) 3 Matemática - M2 d) 4 e) 5 49 50 cor preto ITAPECURSOS Tecnologia LOGARITMO 1) (UFMG) Seja o valor de y é: a) 35 b) 56 . Nesse caso, c) 49 d) 70 2) (UFMG) Observe a figura. Fazendo a correspondência entre as funções e os gráficos, assinale, dentre as alternativas abaixo, a seqüência correta: a) I-B , II-D , III-A , IV-C b) I-A , II-D , III-C , IV-B c) I-A , II-B , III-C , IV-D d) I-C , II-B , III-A , IV-D e) I-B , II-C , III-D , IV-A 5) (Fund. João Pinheiro-MG) Considere a,b,c, três e números positivos tais que . Nessas condições, log bc é igual a: a) –6,8 Nessa figura, os pontos B e C estão sobre o ; os pontos A e D têm gráfico da função abscissas iguais a 8/3 e 12, respectivamente, e os segmentos AB e CD são paralelos ao eixo y. Então, a área do trapézio ABCD é: a) 64/3 b) 70/3 c) 74/3 d) 80/3 3) (UNA-MG) A calculadora de um aluno possui a tecla ln e não possui a tecla log. Ele deseja calcular log 2 em sua máquina. Para tal ele deve: a) calcular ln 2 , calcular ln 10 e somar o primeiro com o segundo. b) calcular ln 2 , calcular ln 10 e subtrair o primeiro do segundo . c) calcular ln 2 , calcular ln 10 e multiplicar o primeiro pelo segundo . d) calcular ln 2 , calcular ln 10 e dividir o primeiro pelo segundo. 4) (UNA-MG) Considere as seguintes funções reais e os seguintes gráficos: (I) f(x) = 5x (II) f(x) = (III) f(x) = (A) (B) (C) (D) 50 (IV) f(x) = log x Matemática - M2 b) –2,2 c) –2,4 d) 2,5 e) 6,6 6) (PUC-MG) Se log4 (x + 2) + log2 (x + 2) = 3, o valor de x é: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 7) (UNIMONTES-MG) Hoje, graças ao aprimoramento das técnicas de previsão, podemos responder a questões como: quantos habitantes há no nosso planeta ?; em que ano a população de um determinado estado, país ou continente estará duplicada?. A população de um continente cresce de acordo com a equação P(t) = P 0 . e it , onde P 0 é a população no instante em que se inicia a contagem, t é dado em anos e i é a taxa de crescimento anual da população. Sabendo que loge2 = 0,693 e que a população do nosso continente cresce à taxa de 3,5% ao ano, então ela se duplica depois de: a) 19,8 anos b) 1,98 anos c) 0,198 anos d) 0,0198 anos 8) (FAFEOD-MG) Na tabela abaixo, estão discriminados cinco números reais e seus respectivos logaritmos decimais: Número a b c d r Logaritmo Decimal 0,699 0,301 0,477 0,431 0,602 Analise as seguintes alternativas: I. II. III. IV. V. a . b= 10 b2 – r = 0 os números a e r são menores que 1 c>d 2,5 ≤ a . b . c . d . r ≤ 10 51 cor preto Tecnologia 15) (PUC-MG) O valor de N = log2 25 - log2 100 é: Assinale a alternativa CORRETA: a) todas as afirmativas são falsas. b) apenas as afirmativas III e IV são verdadeiras. c) apenas as afirmativas III e V são falsas. d) todas as afirmativas são verdadeiras. 9) (UNI-BH) O intervalo que NÃO está contido no conjunto solução da inequação log x - 1 5 < log x - 1 2 é: 2 a) [ ,1 [ b) ] -1, ] ITAPECURSOS 2 c) ] 0,1 [ d) ] [ a) –6 b) –5 c) –4 d) –3 e) –2 16) (PUC-MG) Sabe-se que y é um número positivo e . O valor de y é: que a) b) c) 10) (Fund. João Pinheiro-MG) O montante M de um capital C aplicado à taxa de i% ao mês, durante n meses consecutivos, é dado pela fórmula M = C (1 + i)n. A partir dessa fórmula e utilizando-se logaritmos, obtém-se para n a expressão: d) 17) (UFLA-MG) O valor de x na expressão é: a) log 2 a) b) 0 c) 2 b) d) log 8 c) e) –3 18) (CEFET-MG) O valor de y que satisfaz a equação é: d) a) 3 e) 11) (Itaúna-MG) Sendo valor de –x2 y é: a) –3 b) –2 e y = log3 = c) 4 d) 2 b) 10n c) 10n d) n10 d) 5x = -4y e) 20x = -y e) 54 19) (UFLA-MG) Sabendo-se que logx a = 2, logx b = 3 e logx c = 5, com a, b, c > 0 e 0 < x ≠ 1, então vale: a) 10 b) 5 c) 0 d) -5 e) -10 é: a) b) c) d) e) 14) (PUC-MG) A raiz quadrada de a) p b) 2p c) 3p d) 30 20) (PUC-MG) A raiz da equação e) n/10 13) (CEFET-MG) Sabendo que loga3 = x, logb3-5 = y e que b = a4, pode-se afirmar que: a) 4x = -5y b) x = -5y c) x = -20y c) 18 a expressão , o valor de 12) (PUC-MG) Se p é: a) n ,o b) 9 é: d) 4p e) 5p Matemática - M2 51 52 cor preto ITAPECURSOS Tecnologia POLINÔMIOS 1) (PUC-MG) A igualdade a ( x + 2 ) + b ( x – 1 ) = 3 é verificada para qualquer valor de x. O valor do número b é: a) –1 b) –1/2 c) 1/2 , com 2) (IH-MG) Dada a igualdade a) –3 b) –2 d) 1 c) 1 e) 2 , o valor de A – B é: d) 3 e) 4 e , 3) (UFMG) Considere os polinômios em que a, b, c e d são números reais. Sabe-se que P(x) = Q(x) para todo x Î R. Assim sendo, o número d é igual a: a) 1/8 b) 2/3 c) 4/5 d) 3 4) (UFJF-MG) Ao dividirmos um polinômio p(x) por outro polinômio q(x) encontramos um resto r(x) = x – 1. É CORRETO afirmar que: a) o grau de p(x) é igual a 2. b) o grau de q(x) é igual a 2. c) o grau de q(x) é maior que 1. d) o grau de p(x) é igual a1. 5) (PUC-MG) O polinômio P(x)= x 3 – 4x 2 + 5x + m – 3 , é divisível por x + 1. O valor de m é: a) 1 b) 13 c) 4 d) 14 e) 22 6) (FMTM-MG) Dividindo-se o polinômio P(x) por 3x – 2 obtém-se quociente Q(x)= x Se P(2) = 20 , então o valor de r é: a) 0 b) 2 c) 4 d) 5 b) c) 8) (UFMG) Sejam P( x ) é: a) –x –2 – 2x + 5 e resto r. e) 20 , nota-se que P ( 1 ) = Q ( 1 ) = 0. A 7(PUC-MG) Sendo forma mais simples da fração é: a) 2 d) e) , onde Q (2) = 0. O resto da divisão de Q( x ) por b) 9x – 18 c) x + 2 d) 0 e) –9x + 18 9) (FAFEOD-MG) Considere os polinômios, P(x) = 5x 5 + ax 3 + bx 2 + 3x + 250, Q(x) = x-2 e T(x) = 5x4 +cx3 + dx2 + kx + 375, sendo a, b, c, d e k constantes reais. Se o quociente da divisão de P(x) por Q(x) é T(x), então o resto dessa divisão é igual a: a) –850 b) –500 c) 750 d) 1.000 10) (PUC-MG) O polinômio P ( x ) = x 3 + x 2 – 10x + 8 é tal que P ( a ) = P ( b ) = P ( 2 ) sendo a > b. O valor de a – b é: a) 3 b) 5 c) 6 d) 9 e) 11 11) (PUC-MG) O polinômio P(x) = ax3 + bx2 + cx + d é idêntico ao polinômio Q(x) = x3 – 2x + 4. O valor de a + b + c + d é: a) 2 52 b) 3 Matemática - M2 c) 4 d) 5 53 cor preto Tecnologia ITAPECURSOS 12) (PUC-MG) O valor de B na identidade 4x + 1 = A (2x + 3) + B é: a) –5 b) –4 c) –3 d) –2 e) –1 13) (UFMG) Sejam A e B números reais que satisfazem à igualdade para todo valor de x que não anula nenhum dos denominadores. A soma A + B é: a) –1 b) c) 0 d) e) 14) (UFJF-MG) O polinômio p(x), quando dividido por x3 + 1, fornece o resto x2 – 2. O resto da divisão de p(x) por x + 1 é: a) –2 b) –1 c) 0 d) 1 e) 2 15) (Fac. N.Paiva-MG) Considere os polinômios A(x) = x 4 + 2x 3 + 3x 2 + ax + b e B(x) = x 2 - 1. Suponha que A(x) seja divisível por B(x). Então, é correto afirmar: a) a + b = 6 b) A soma dos coeficientes de [B(x)]2 é 4. c) a – b = 4 d) a2 + b2 = 20 e) 2a + b = 0 ANÁLISE COMBINATÓRIA 1) (UNIMONTES-MG) Considere E={ 1,2,3 } e F={ 1,2,3,4,5 }.O número de funções injetoras de E em F é: a) 15 b) 60 c) 20 d) 125 2) (FCMMG) Observe a figura. Nela está representada a planta de um cômodo contendo 3 portas na primeira parede, 5 na segunda e 4 na terceira. Uma pessoa deseja chegar ao ponto B, partindo do ponto A, passando exatamente por três das portas indicadas na figura. O número de maneiras distintas que ela pode fazer isso é: a) 11 b) 23 c) 32 d) 60 Matemática - M2 53 54 cor preto ITAPECURSOS Tecnologia 3) (FMTM-MG) Os clientes de um banco devem escolher uma senha, formada de 4 algarismos de 0 a 9 de maneira que não haja algarismos repetidos em duas posições consecutivas. As senhas 0780 e 1212, por exemplo, são possíveis, enquanto que as senhas 7228 e 1169 não são. O número de senhas válidas é: a) 5.040 b) 7.290 c) 8.100 d) 9.000 e) 10.000 4) (Fund. João Pinheiro-MG) Em um torneio de tênis de mesa, havia 11 participantes. Cada um deles jogou uma única vez com os demais. Portanto, ao final do torneio, foram disputados a) 11 jogos b) 22 jogos c) 44 jogos d) 55 jogos e) 66 jogos 5) (UEMG) Um homem, vistoriando seu guardaroupa, percebeu que o número de calças é o triplo do número de camisas. Sabendo-se que, com as peças de roupas do guarda-roupa, ele consegue fazer 147 combinações do tipo calça e camisa, é CORRETO afirmar que o total de peças de roupas, entre calças e camisas existentes no guarda-roupa é: a) 32 b) 29 c) 28 d) 24 6) (Univ. Itaúna-MG) Se A n . 3 = 4C valor de n ! é: a) 3 b) 2 c) 6 n.2 , então o d) 24 , quando 7) (PUC-MG) A expressão simplificada, resulta em: a) n+1 b) n+2 c) n+3 d) n e) 2n 8) (UFLA-MG) Um banco adotou para os seus clientes um sistema de senhas de quatro letras, permitindo-se a repetição de letras (por exemplo: gbbm, aaaa, ddde). Como o alfabeto tem 26 letras, o número de senhas diferentes neste sistema é: a) . b) permutação de 26 elementos. c) arranjo simples de 26 elementos tomados quatro a quatro. d) 264. e) combinação de 26 elementos tomados quatro a quatro. 9) (UFMG) Formam-se comissões de três professores escolhidos entre os sete de uma escola. O número de comissões distintas que podem, assim, ser formadas é: a) 35 Matemática - M2 c) 210 d) 73 e) 7 ! 10) (UFMG) Um clube resolve fazer uma Semana de Cinema. Para isso, os organizadores escolhem sete filmes, que serão exibidos um por dia. Porém, ao elaborar a programação, eles decidem que três desses filmes, que são de ficção científica, devem ser exibidos em dias consecutivos. Nesse caso, o número de maneiras diferentes de se fazer a programação dessa semana é: a) 144 b) 576 c) 720 d) 1.040 11) (CEFET-MG) A quantidade de números ímpares de três algarismos distintos que se pode formar com os números 2, 3, 5, 6, 7 e 8 é: a) 15 b) 30 c) 60 d) 120 e) 360 12) (PUC-MG) Uma jarra cilíndrica deve ser pintada com três faixas de cores diferentes usando as tintas disponíveis verde, vermelha, amarela, azul e preta. O número de jarras que se pode pintar, com padronagens diferentes é: a) 120 b) 100 c) 90 d) 70 e) 60 13) (UNI-BH) Em uma sala de aula há 20 alunos, sendo 11 homens e 9 mulheres. Elegeu-se um homem como representante de turma e uma mulher para vice-representante. O número de possíveis chapas vencedoras é: a) menor que 100. b) maior que 100 e menor que 1.000. c) maior que 1.000 e menor que 10.000. d) maior que 10.000. 14) (PUC-MG) Em um campeonato de futebol, cada um dos 24 times disputantes joga contra todos os outros uma única vez. O número total de jogos desse campeonato é: a) 48 54 b) 45 b) 96 c) 164 d) 276 55 cor preto ITAPECURSOS Tecnologia 15) (Fund. João Pinheiro) Uma escola de computação oferece aos alunos seis cursos básicos e cinco cursos de extensão. Pelo total cobrado, cada aluno tem direito a fazer um pacote de sete cursos, dos quais, no mínimo, quatro têm que ser básicos. Nesse caso, o número total de pacotes distintos de cursos disponíveis aos alunos é: a) 140 b) 168 c) 210 d) 215 e) 840 16) (Fac. Newton Paiva-MG) Seja . O número de frações diferentes de 1 que se podem formar com os elementos de A é: a) 42 b) 56 c) 82 d) 84 e) 112 17) (FCMMG) Um laboratório dispõe de 5 camundongos machos e n fêmeas. Se existem 360 maneiras de selecionar dois machos e duas fêmeas para uma experiência, o número n é igual a: a) 6 b) 9 c) 10 18) (FMTM-MG) O primeiro robô resultado de filmes de ficção científica chamava-se “TOBOR”, nome este originado pela inversão da palavra “ROBOT”. Seguindo os princípios da contagem, o número de anagramas distintos, utilizando as cinco letras que formam estas palavras, é: a) 30 c) 60 d) 120 e) 240 19) (FMTM-MG) Em uma festa de aniversário havia n pessoas. Cada uma cumprimentou as outras com um aperto de mão. Sabendo-se que houve ao todo 45 apertos de mão, pode-se afirmar que: a) n é um número primo. b) n é um número ímpar. c) n é divisor de 15. d) n é divisor de 5. e) n é múltiplo de 5. 20) (UFJF-MG) O conjunto X tem 4 elementos e o conjunto Y tem 7 elementos. O número de funções f : X ® Y que se pode definir é: a) 24 b) 28 d) 12 b) 40 c) 840 d) 2.401 e) 16.384 BINÔMIO DE NEWTON 1) (IH-MG) No binômio , o termo independente de x é: a) –30240 b) -252 e) 30240 é: b) 8x3 e) 54 b) d) 3 a) 0 ou 10 b) –2 ou –1/2 c) –2 ou 10/3 d) 1 e) 1 ou 13/3 7) (PUC-MG) O 6º termo no desenvolvimento do 4) (UFOP-MG) Para que se tenha um dos termos do desenvolvimento do binômio de Newton (x + a)11 igual a 1.386x5 , o valor de a deve ser: c) d) quadrado perfeito. e) maior que 20. são: d) 540x-3 c) c) 1.400 d) 700 a) a) primo. b) divisível por 2. c) múltiplo de 3. 6) (UNI-BH) Os valores de x que verificam a identidade 3) (UFU-MG) O termo racional no desenvolvimento é: de a) 350 b) 64 é: da equação c) 45 d) 252 2) (UNI-BH) O termo central do binômio a) 20 5) (UNIFOR-CE) O número natural n que é solução e) segundo as potências binômio decrescentes de x, é se, e somente se, k for igual a: a) 6 b) 4 c) 2 Matemática - M2 d) 1/2 55 e) 1/4 56 cor preto ITAPECURSOS Tecnologia para x ≠ 0, é: 8) (UFV-MG) O coeficiente do termo independente de x, no desenvolvimento de a) 28 b) 56 c) 3 d) 0 e) 36 MATRIZ 1) (PUC-MG) Considere as matrizes O valor de n é: a) 3 b) 4 . c) 8 d) 14 e) 22 . 2) (PUC-MG)Considere as matrizes O valor de p é: a) 4 b) 6 c) 7 d) 8 e) 10 3) (UFLA-MG) Seja A={ a i j } uma matriz 3x3 dada por b) a) . A matriz pode ser escrita como: c) d) e) 4) (Fac. M.Campos-MG) A soma dos elementos da segunda linha da matriz M = (a ij)3 x 2 definida por é igual a: a) 4 b) 2 5) (PUC-MG) A matriz a) 8 c) 0 d) –2 é quadrada de ordem 3 e b) 9 c) 10 . O valor de d) 11 é: e) 12 e M = AB + 3C. 6) (PUC-MG) Considere as matrizes A matriz M é igual a: a) b) 7) (PUC-MG) A matriz inversa de b) a) 56 Matemática - M2 c) d) e) c) d) e) é: 57 cor preto Tecnologia 8) (UNA-MG) Na matriz A2x2 temos que o elemento aij = i + a) b) 2j. A matriz A2 c) ITAPECURSOS vale: d) 9) (UNA-MG) Uma revendedora comercializa 4 produtos e possui 4 filiais. Na matriz o elemento que está na linha i e coluna j representa o estoque do produto i na filial j , por exemplo , existem 14 unidades do produto 1 na filial 4. A filial que possui maior estoque do produto 2 é a: a) filial 1 b) filial 2 c) filial 3 d) filial 4 10) (PUC-MG) A matriz é a inversa de . O valor do número real b é: a) –1 b) 1/4 c) 1/2 e) 2 então xy é igual a: 11) (PUC-MG) Se a) –6 d) 1 b) –5 c) –1 d) 1 e) 6 12) (Fund. João Pinheiro-MG) Considere a matriz A = (aij) tal que a11 = -1, a12 = 1, a21= 1 e a22 = . Nessas condições, a soma de todos os elementos da inversa da matriz A deve ser igual a: a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 13) (UFJF-MG) Três vereadores foram designados para compor a Comissão de Orçamento do Município para o ano de 1994. Eles devem escolher entre si o presidente para a referida comissão, sendo que cada vereador pode votar em até dois nomes. Cada um recebeu um número de um a três e os votos foram tabulados conforme a matriz A, dada a seguir. Então, o número do candidato mais votado e o número de candidatos que votaram em si mesmos são, respectivamente: a) 1 e 3 b) 2 e 2 c) 3 e 1 d) 2 e 3 e) 3 e 2 14) (UFV-MG) Seja a equação matricial A.B + X = Ct onde Ct é a matriz transposta de C. Se A e B são matrizes de tipos 3x4 e 4x2, respectivamente, então para que exista uma matriz X, solução da equação, a matriz C deve ser do tipo: a) 2x3 b) 2x4 c) 3x2 e) 3x4 . Se AX = B, então X é: 15) (UNA-MG) Sejam a) d) 3x3 b) c) d) e) Matemática - M2 57 58 cor preto ITAPECURSOS Tecnologia DETERMINANTE 1) (CEFET-MG) O valor do determinante a) –11 b) –1 é: c) 0 e) 11 , o determinante da matriz 2) (UNI-BH) Sabendo-se que b) 3x a) d) 1 c) 9x é: d) 27x 3) (PUC-MG) Considere o triângulo retângulo de vértices V1 , V2 , V3 da figura . O determinante da matriz A = (aij)3x3 em que aij = distância Vi Vj, é igual a: a) 0 c) b) d) 4) (UFJF-MG) Sendo e) , então podemos afirmar que: a) X é uma matriz quadrada de ordem 4. b) X é uma matriz diagonal. c) d) o determinante do dobro da matriz X é o dobro do determinante da matriz X. . e) a matriz inversa de X é 5) (UFLA-MG) Sendo A uma matriz real quadrada de ordem 3, cujo determinante é igual a 6, qual o valor de x na equação det (2 A-1 . At) = 4x ? a) 72 b) 18 6) (UFOP-MG) Sendo a matriz c) 12 d) 2 , onde e) 1/2 , podemos afirmar que o determinante de M é: a) xy b) 2xy 58 d) e) , então o determinante de A . Bt, onde Bt é a transposta de B, vale: 7) (UNI-BH) Se a) –16 c) b) –15 Matemática - M2 c) 15 d) 16 59 cor preto ITAPECURSOS Tecnologia , o valor do determinante da matriz B = A2 é: 8) (UFV-MG) Considerando a matriz a) (x2 + y2)2 b) y4 – x4 c) (y2 – x2)2 – 4x2y2 d) (y2 – x2)2 e) y4 + x4 9) (PUC-MG) Sejam A e B matrizes quadradas de ordem 2. Se det A = 5 e , então, podemos afirmar que det B é: a) –5 b) –2 c) 2 d) 5 o valor do número real 2a – 3b2 será: 10) (CEFET-MG) Sabendo-se que a) –89 e) 10 b) –61 c) –81 d) –69 e) 81 SISTEMAS LINEARES 1) (CEFET-MG) Se o sistema a) 2mn tem solução única, então: b) m - 2n c) m - 2n = 0 d) m + 2n = 0 e) m + 2n 2) (Fund. João Pinheiro – MG) O sistema , nas variáveis x e y, é indeterminado. Nesse caso, a diferença m – n é: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 3) (UNIMONTES-MG) cujas equações são planos paralelos distintos, é classificado, quanto O sistema linear ao número de soluções, como sendo: a) inadequado para análise. b) possível e determinado. c) possível e indeterminado. d) impossível. 4) (UFJF-MG) Faz-se um primeiro e um segundo lançamento consecutivo de um dado de forma a escolher, respectivamente, os parâmetros a e b para o sistema . A probabilidade de o sistema obtido ser indeterminado é: a) 1/12 b) 1/6 c) 1/4 d) 2/3 5) (ESPCEX) O sistema admite mais de uma solução se, e somente se: a) k = 7/6 b) k = 7/5 ou k = 2 c) k = 7 ou k = - 2 d) k = 2/3 ou k = 1/2 Matemática - M2 59 e) k = 0 60 cor preto ITAPECURSOS Tecnologia 6) (ESPCEX) A soma das soluções do sistema a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 é: e) 8 7) (FDV-ES) Pedro, Maria e Rogério saíram pelo trânsito da cidade, arrecadando dinheiro para a festa de formatura da turma. No final do dia, juntos, eles somaram R$ 150,00. Quando souberam que a festa estava cancelada, os três resolveram dividir igualmente o dinheiro arrecadado. Dessa forma, Pedro ficou com o dobro do que arrecadou, Maria com R$ 5,00 a menos do que arrecadou e Rogério com R$ 20,00 a menos do que arrecadou. Pedro, Maria e Rogério arrecadaram, em reais, respectivamente: a) 25, 45 e 80 b) 30, 50 e 70 c) 50, 25 e 75 d) 50, 45 e 55 e) 25, 55, e 70 8) (UERJ) Observe os pesos P1, P2 e P3 que possuem, cada um, uma quantidade inteira em kg. Colocando-se um, dois ou os três pesos em um mesmo prato de uma balança, pode-se equilibrar, no outro, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ou, no máximo, 7 kg de batatas. Entre P1, P2 e P3, o mais pesado mede, em kg: a) 3 b) 4 c) 5 d) 9 tem mais de uma 9) (MACK-SP) A soma de todos os valores de k, para os quais o sistema solução, é: a) 10 b) 14 c) 18 d) 12 e) 20 verificamos que ele é: 10) (UFU-MG) Estudando o sistema linear a) homogêneo indeterminado. b) possível e determinado. c) possível e indeterminado. d) impossível e indeterminado. e) impossível e determinado. 11) (UFJF-MG) Um sistema linear homogêneo com m equações lineares e n incógnitas: a) é sempre possível. b) é possível somente quando m < n. c) é possível somente quando m = n. d) nem sempre é possível. e) é possível somente quando m > n. valor de 12) (PUC-MG) O par ordenado (a,b) é solução do sistema a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25 13) (UNA-MG) O valor de m de modo que (2,-1) seja solução do sistema a) 0 60 b) 1 Matemática - M2 c) 2 d) 4 é: e) d é: 61 cor preto Tecnologia 14) (PUC-MG) O sistema a) –3 é indeterminado. O valor de a + b é: b) –2 c) –1 b) 3 d) 1 e) 2 não tem solução quando m é igual a: 15) (Fac. Milton Campos) O sistema a) –2 ITAPECURSOS c) 1 d) 2 e) –3 PROGRESSÃO ARITMÉTICA E PROGRESSÃO GEOMÉTRICA 1) (PUC-MG) O centésimo primeiro termo da seqüência ( -3, -1, 1, 3, ...) é igual a: a) 197 b) 203 c) 213 d) 215 e) 217 2) (Fund. João Pinheiro-MG) Paguei uma dívida durante 14 meses consecutivos, desta forma: no primeiro mês, R$ 350,00; no segundo, R$ 400,00; no terceiro, R$ 450,00 e assim sucessivamente, ou seja, a cada mês, paguei R$ 50,00 a mais do que no mês anterior. Então, o valor total da dívida que paguei foi: a) R$ 9.450,00 b) R$ 9.540,00 c) R$ 9.560,00 d) R$ 9.650,00 e) R$ 9.660,00 3) (N. Paiva – MG) Sabendo-se que, em uma progressão aritmética, o primeiro termo é 1, o último termo é n2, e são inseridos outros n termos, pode-se dizer que a razão da P.A será uma função de n, na forma: a) n – 1 b) n2 + 1 d) n2 – 1 c) n + 1 4) (ITA-SP) O valor de n que torna a seqüência 2 + 3n, -5n, 1 – 4n, uma progressão aritmética pertence ao intervalo: a) [-2, -1] b) [-1, 0] c) [0,1] d) [1, 2] e) [2, 3] é igual a 2k. O valor de k 5) (PUC-MG) O trigésimo primeiro termo da progressão geométrica é: a) –14,0 b) –14,5 c) –15,0 d) –15,5 e) –16,0 6) (Provão) Se a população de certa cidade cresce 2% ao ano, os valores da população a cada ano formam uma progressão: a) geométrica de razão 1,2. b) geométrica de razão 1,02. c) geométrica de razão 0,02. d) aritmética de razão 1,02. e) aritmética de razão 0,02. 7) (UFLA-MG) Sabendo-se que os números a0, a1, 75, a3 e 1875 estão em progressão geométrica, o valor de a3 é: a) 100 b) 1.500 c) 225 d) 375 é: 8) (PUC-MG) O valor de x que verifica a equação a) 12 b) 14 c) 16 e) 1.125 d) 18 e) 28 Matemática - M2 61 62 cor preto ITAPECURSOS Tecnologia 9) (UFOP-MG) As medidas dos lados de um triângulo são expressas por x + 1, 2x e x2 – 5, que formam, por sua vez, uma progressão aritmética, nessa ordem .O perímetro do triângulo mede: a) 4 b) 6 c) 8 d) 12 e) 24 10) (FMTM-MG) Na progressão geométrica (3logx, 3logy, 3logz) , sendo x , y e z números reais positivos, o valor de y é: a) x + z d) x . z b) x – z e) c) 11) (Unimontes – MG) Uma Progressão Harmônica é uma seqüência de números tais que seus inversos formam uma Progressão Aritmética. O segundo, terceiro e quarto termos de uma Progressão Harmônica são 2, 3 e 6, respectivamente. A soma dos quatro primeiros termos da Progressão Harmônica é: a) 11 b) 25 c) 5/3 d) 25/2 12) (N. Paiva – MG) Um professor de matemática que amava igualmente a literatura descobriu que reunia em sua biblioteca particular 70 autores diversos, entre prosadores e poetas. Denotando por A o conjunto dos poetas e por B o conjunto dos prosadores, ele verificou que as quantidades A – B , A Ç B e B – A constituíam uma progressão geométrica. Sabendo-se que, do conjunto dos poetas, apenas 10 nunca haviam escrito obra em prosa, quantos autores escreviam prosa e poesia? a) 12 b) 15 c) 20 d) 30 e) 35 13) (UFV-MG) Usando-se um conta gotas , um produto químico é misturado a uma quantidade de água da seguinte forma : a mistura é feita em intervalos regulares , sendo que no primeiro intervalo são colocadas 4 gotas e nos intervalos seguintes são colocadas 4 gotas mais a quantidade misturada no intervalo anterior. Sabendo-se que no último intervalo o número de gotas é 100, o total de gotas do produto misturadas à água é: a) 1100 b) 1300 c) 1600 d) 900 e) 1200 14) (UFOP-MG) Três polígonos têm o número de lados definidos em P.A de razão 3. Sabe-se que a soma de todos os ângulos internos desses polígonos é 3240°. O número de lados de cada polígono é, respectivamente: a) 4 , 7 , 10 b) 9 , 12 , 15 c) 3 , 6 , 9 d) 5 , 8 , 11 e) 6 . 9 . 12 15) (UFOP) A figura mostra um triângulo retângulo cujos lados formam uma P.G. de razão q. Então a razão q vale: a) d) b) e) c) 62 Matemática - M2 63 cor preto ITAPECURSOS Tecnologia MATEMÁTICA II PRISMA 1) (FMTM-MG) Se a área da base de um prisma aumenta 20% e a altura diminui 10%, seu volume: a) aumenta 8% b) aumenta 10% c) aumenta 108% d) diminui 8% e) diminui 10% 2) (CEFET-MG) Se as áreas das faces de um paralelepípedo retângulo medem 6 cm2, 9 cm2 e 24 cm2 , então o volume desse paralelepípedo, em cm3, é: a) d) 39 b) e) 1296 6) (PUC-MG) A figura representa uma caixa com tampa e que tem a forma de um paralelepípedo retângulo de base quadrada com lado medindo x; a altura da caixa mede y, e sua área total mede 100 m2. A função que expressa o volume V dessa caixa, em função de x, é: a) b) c) c) 36 3) (CEFET-MG) Um tanque na forma de um paralelepípedo retângulo tem por base um retângulo de lados 0,8 m e 1,2 m. Se um objeto é mergulhado totalmente nesse tanque e faz o nível da água subir 0,075 m , então o volume do objeto, em m3, é: a) 0,066 b) 0,072 c) 0,096 d) 0,600 e) 1,000 4) (UNI-BH) De um paralelepípedo conhecem-se duas das suas dimensões, 3 cm e 4 cm , e a diagonal, cm. A dimensão desconhecida é, em centímetros: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 5) (UEMG) Uma piscina tem a forma do sólido, conforme a figura. Sendo suas medidas dadas em metros, pode-se afirmar que a capacidade dessa piscina, em litros, é de: a) 55.000 c) 72.000 d) e) 7) (ESPCEX) Uma piscina em forma de paralelepípedo retângulo tem largura de 6 metros, diagonal do fundo com 10 metros e diagonal da face que contém o comprimento igual a metros. Para enchê-la com água será utilizado um caminhão tanque com capacidade de 6 000 litros. O número de cargas completas , desse mesmo caminhão , necessárias para que a piscina fique completamente cheia é: a) 24 b) 28 c) 32 d) 54 e) 80 8) (PUC-MG) Na figura , o cubo tem aresta de 4 cm e BP = 2 cm está sobre o prolongamento da aresta AB. A medida do segmento PG , em centímetros , é: a) 6 b) c) d) e) 8 b) 58.000 d) 92.000 9) (UNA-MG) Uma piscina olímpica possui a forma de um prisma reto de base retangular de 50 m de comprimento, por 25 m de largura, por 2 m de profundidade. O número de litros de água necessários para enchê-la totalmente é: a) 2,5 x 102 b) 2,5 x 103 c) 2,5 x 105 d) 2,5 x 106 Matemática - M2 63 64 cor preto ITAPECURSOS Tecnologia 10) (UFMG) Todos os possíveis valores para a distância entre dois vértices quaisquer de um cubo de aresta 1 são: a) 1 e b) 1, e2 c) 1, e d) 1, e3 11) (UFLA-MG) Num prisma triangular, regular e reto, todas as arestas têm a mesma medida, e o volume é de 0,375 m3. A aresta, medida em metros, é igual à raiz cúbica de: a) 1 b) 1/3 c) d) e) 1/2 12) (UFOP-MG) Uma caixa d’água, em forma de paralelepípedo retângulo, tem dimensões de 1,8m, 15 dm e 80 cm. Sua capacidade é: a) 2,16 L b) 21,6 L c) 216 L d) 1080 L e) 2.160 L 13) (UbNESP) Se um tijolo, dos usados em construção, pesa 4 kg, então um tijolinho de brinquedo feito do mesmo material e cujas dimensões sejam 4 vezes menores, pesará: a) 62,5 g b) 250 g c) 400 g d) 500 g e) 1.000 g 14) (UFPA) Um prisma hexagonal regular tem para altura a diagonal de um cubo de aresta a. Se o volume do cubo é igual ao do prisma, a aresta da base do prisma mede: a) b) c) d) e) 15) (UFLA-MG) De um prisma retangular reto recorta-se um outro prisma retangular reto, cujas dimensões valem exatamente a metade das medidas das dimensões do sólido inicial. Assim o volume do prisma menor representa uma porcentagem do volume do prisma maior. Essa porcentagem é de: a) 12,5% b) 0,125% c) 1,25% d) 50% e) 5% 64 Matemática - M2 65 cor preto ITAPECURSOS Tecnologia PIRÂMIDE 1) (Univ. Itaúna- MG) Uma pirâmide, cuja base é um quadrado de lado 2a, tem o mesmo volume que um prisma, cuja base é um quadrado de lado a. A razão entre as alturas da pirâmide e do prisma é: a) 4/3 b) 3/2 c) 1/4 d) 3/4 2) (PUC-MG) Na figura, o prisma ABCDEF é reto e sua base é um triângulo retângulo de catetos AC = 3 m e BC = 4 m; a altura desse prisma mede 5 m. A partir desses dados, pode-se afirmar que a medida do volume da pirâmide de vértice E e cuja base é o triângulo de vértices B, D e F, em metros quadrados, é: a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13 b) a) 8,7 m b) 12,0 m d) c) 4) (CEFET-MG) Uma pirâmide tem como base um polígono regular. As arestas da base medem 2 m e as arestas que passam no vértice medem 3 m. A soma de todos os ângulos internos das faces (incluindo a base) é igual a 10π radianos. A altura da pirâmide, em metros, é de: a) c) b) d) e) 5) (ESPCEX) Uma pirâmide hexagonal regular tem área da base igual a . Sabendo-se que sua altura é igual ao triplo do apótema da base, então seu volume é: e) 16,0 m b) 1/3 c) 1/2 d) 2 a) 180 b) 200 c) 212 d) 225 e) 288 9) (PUC-MG) Em uma pirâmide regular de 12 cm de altura tendo como base um quadrado de lado igual a 10 cm, a área lateral é: c) 340 cm2 d) 400 cm2 e) 210 cm2 10) (CEFET-MG) ABCD é face de um cubo cujas arestas medem 36 cm. Seja X um ponto da aresta AE. Qual a medida de AX para que o volume da pirâmide XABCD seja 1/9 do volume do cubo? a) 4 cm b) 6 cm c) 12 cm d) 18 cm e) 24 cm 11) (MACK-SP) Uma pirâmide cuja base é um quadrado de lado 2a tem um mesmo volume que um prisma cuja base é um quadrado de lado a. A razão entre as alturas da pirâmide e do prisma, nessa ordem é: a) 3/4 b) 3/2 c) 1/4 d) a/3 e) 3a 12) (UFPA) Uma pirâmide regular, cuja base é um , e a altura igual a quadrado de diagonal 2/3 do lado da base, tem área total igual a: a) 36 m3 d) a) d) b) e) b) 252 cm2 e) 576 cm2 c) e) 3 8) (PUC-MG) Cortando-se uma pirâmide de 30 dm de altura por um plano paralelo à base e distante 24 dm do vértice, obtém-se uma secção cuja área mede 144 dm2. A medida da área da base de tal pirâmide, em dm2, é: a) 240 cm2 b) 260 cm2 e) c) 13,9 m d) 15,0 m 7) (PUC-MG) Em um cubo de aresta a, ligam-se os vértices A, B, C, e D de uma face ao centro I da face oposta. A razão entre o volume da pirâmide assim obtida e o volume do cubo é: a) 1/4 3) (PUC-MG) A base de uma pirâmide é um hexágono regular inscrito em uma circunferência de raio r. A altura da pirâmide é h = 3r. A função que expressa o volume V da pirâmide em função do raio r é: a) 6) (UFES) Um grupo de esotéricos deseja construir um reservatório de água na forma de uma pirâmide de base quadrada. Se o lado da base deve ser 4/ 5 da altura e o reservatório deve ter capacidade para 720 m 3 , qual deverá ser a medida aproximada do lado da base? c) 288 cm2 Matemática - M2 65 66 cor preto ITAPECURSOS Tecnologia 13) (PUC-SP) Um projetor está a uma distância de 2 metros de uma parede. A que distância da parede deve ser colocado o projetor, para que a área de um quadrado projetado aumente 50%? b) a) c) 3 m d) 4,5 m e) 14) (PUC-MG) Para que o volume de um cubo de aresta a seja igual ao volume de uma pirâmide cuja base é um quadrado de lado a, a altura da pirâmide é: a) a/3 b) 3/a c) 3a/4 d) 4a/3 e) 3a 15) (M.Campos) Uma pirâmide de chumbo é mergulhada num tanque cúbico de aresta 1m, cheio d’água até a borda. Se a base da pirâmide é um triângulo retângulo cujos catetos medem 0,5 m e se sua altura também é de 0,5 m, então o volume de água derramada foi: a) 1/12 m3 b) 1/24 m3 c) 1/36 m3 d) 1/48 m3 e) 1/64 m3 CILINDRO 1) (Fac. M.Campos-MG) Em um laboratório, um cilindro de vidro com 10 cm de raio contém água até 10 cm de altura. Um objeto irregular colocado dentro desse cilindro fica totalmente imerso e faz o nível d’água subir para 18 cm. Considerando π = 3,14, o volume desse objeto é de: a) 3140 cm3 b) 2512 cm3 c) 5652 cm3 d) 2009,6 cm3 2) (Univ. Itaúna - MG) Para se calcular o volume de um sólido, o mesmo é colocado em um recipiente cilíndrico de 5 cm de raio, que contém água até um certo nível. Se o nível da água subir 1 cm, o volume do sólido deverá ser de: a) 5π cm3 b) 10π cm3 c) 50π cm3 d) 25π cm3 3) (PUC-MG) A região plana, limitada pelo retângulo ABCD, gira em torno do lado AB e gera um cilindro de volume V1. A mesma região, ao girar em torno do lado BC, gera um outro cilindro de volume V2. Se AB = 4 cm e BC = 6 cm, é CORRETO afirmar que: a) V1 = V2 b) 2V1 = V2 c) V1 = 3V2 d) 2V1 = 3V2 e) V1 = 2V2 4) (Fund. João Pinheiro-MG) Dois cilindros são obtidos girando-se, sucessivamente, um retângulo ABCD em torno dos lados AB e BC. O produto dos números que representam a medida dos volumes dos cilindros é 216p2. Assim sendo, a área do retângulo é igual a: a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 14 5) (Fac. Newton Paiva-MG) Um reservatório, em forma de cilindro, cujas dimensões internas são metros de raio e 0,018 m de altura, contém vinho até 2/3 de seu volume. A quantidade de vinho, em litros, contida no reservatório é de: a) 84 b) 840 c) 8400 d) 12.600 6) (PUC-MG) Enrolando-se um tapete quadrado, obtém-se um sólido que tem a forma de um cilindro circular reto, cuja área da base mede 4πdm2 e cujo volume mede 120π dm3. A medida da área do tapete, em metros quadrados, é: a) 3 b) 4 c) 9 d) 16 e) 25 7) (FMTM-MG) Um cilindro circular reto tem altura igual a 80 cm e o diâmetro da base é igual a 3 m. A respeito desse cilindro, pode-se afirmar que: a) A área de uma seção meridiana é igual a 2,4 m2 e a área de uma seção transversal, 9π m2. b) A área lateral é igual a 2,4π m2 e a área de uma seção transversal, 9π m2. c) A área lateral é igual a 2,4π m2 e a área de uma seção meridiana, 2,4 m2. d) A área lateral é igual a 4,8π m2 e a área de uma seção meridiana, 2,4π m2. e) A área de uma seção meridiana é igual a 2,4π m2 e a área de uma seção transversal, 2,25π m2. 66 Matemática - M2 67 cor preto Tecnologia 8) (N. Paiva - MG) Uma lata cilíndrica de 0,8 m de altura e 40 cm de diâmetro contém água até 1/5 de sua capacidade. Essa água será despejada numa outra lata cilíndrica de mesma altura que a primeira, mas que tem 20 cm de diâmetro. A altura alcançada pela água na lata menor será, em cm, de: a) 16 b) 24 c) 32 d) 64 9) (ESPCEX) Num recipiente em forma de cilindro circular reto, com raio da base 2 cm e altura cm (dimensões internas) há um volume de . O maior ângulo a que o água de plano da base do cilindro pode fazer com a horizontal para que a água não derrame ao se inclinar o cilindro é de, aproximadamente: a) 30° b) 40° c) 50° d) 60° e) 70° ITAPECURSOS 12) (N.Paiva) A área lateral de um cilindro de revolução é metade da área da base. Se o perímetro de sua seção meridiana é 18 m, o volume vale: a) 8π m3 b) 10π m3 c) 12π m3 d) 16π m3 e) 20π m3 13) (UFMG) Um cilindro circular reto, de ouro maciço, tem o raio da base igual a 2 cm e altura igual a 10 cm. Sendo a densidade do ouro 19 g/cm3, a massa total do cilindro, em gramas, é: a) 950π b) 760π c) 570π d) 380π e) 190π 14) (FMTM) A área total de um cilindro vale 48π m2 e a soma das medidas do raio da base e da altura é igual a 8m. Então, em m3, o volume do sólido é: Dados (aproximados) tg 30° = 0,58 tg 40° = 0,84 tg 50° = 1,19 10) (CEFET-MG) Na figura, o quadrado de lado a gira em torno de um eixo paralelo ao seu lado e que dista deste de b unidades. O volume do sólido gerado é dado por: a) b) c) d) a) 75π b) 50π c) 45π d) 25π e) 15π 15) (PUC-SP) Se triplicarmos o raio da base de um cilindro, mantendo a altura, o volume do cilindro fica multiplicado por: a) 3 b) 6 c) 9 d) 12 e) 15 e) 11) (Univ. Itaúna) Um cilindro circular reto tem o raio igual a 2 cm, e altura 3 cm. Sua superfície lateral mede: a) 6π cm2 b) 9π cm2 c) 12π cm2 d) 15π cm2 e) 16π cm2 Matemática - M2 67 68 cor preto ITAPECURSOS Tecnologia CONE 1) (UFMG) Um reservatório de água tem forma de cone circular reto, de eixo vertical e vértice para baixo. Quando o nível de água atinge a metade da altura do tanque, o volume ocupado é igual a p. A capacidade do tanque é: a) 2p d) 6p b) 4) (UFOP-MG) Um triângulo retângulo possui catetos de comprimento a e b. Sejam os volumes dos cones obtidos pela rotação do triângulo em torno , respectivamente, dos catetos a e b. O quociente vale: a) d) b) e) e) 8p c) 4p 2) (FCMMG) Observe a figura. c) 5) (FCMMG) Observe a figura. Essa taça, cujo interior tem a forma de um cone, contém suco até a metade da altura do cone interno. Se o volume do cone interno é igual a V, então o volume do suco nele contido é: a) c) O cilindro circular reto da figura é obtido seccionando-se o cone circular reto por um plano paralelo à base e a uma distância H/3 desta. A razão entre os volumes do cone de altura H e do cilindro, nesta ordem, é: b) d) a) 9/4 3) (FAFEOD – MG) Observe a figura a seguir: Sendo S a região hachurada, é CORRETO afirmar b) 27/4 c) 9 d) 27 6) (UFJF-MG) O volume do sólido de revolução gerado por um triângulo eqüilátero de lado 2 cm, que faz uma rotação de 360° em torno de um de seus lados, é, em cm3: a) 2π c) b) d) 4π e) 6π 7) (PUC-MG) A região plana limitada pelo triângulo ABC faz um giro de 60° em torno da reta AB. Sendo AB = 2AC = 6 m, o volume do sólido gerado, em m3, é: que o volume aproximado do sólido gerado pela rotação de S em torno do eixo x é, em centímetros cúbicos, igual a: a) 28,2 b) 84,8 68 c) 56,5 d) 48,2 Matemática - M2 a) b) c) d) e) 3π. 4π. 5π. 6π. 7π. 69 cor preto Tecnologia 8) (UFOP) Num cone circular reto de volume V = 3π cm3 e área da base Ab = 9π cm2, podemos afirmar que o produto do raio pela altura desse cone, em cm2, vale: a) 2/3 b) 1 c) 2 d) 9/4 a) d) 2π. b) e) 3π. 11) (UFOP-MG) Um cone circular reto tem por base uma circunferência de comprimento igual a 6π cm e sua altura é 2/3 do diâmetro da base. Posto isso, sua área lateral é: a) 5π cm2 b) 9π cm2 c) 12π cm2 e) 3 9) (PUC-MG) Um sólido S é gerado por uma região plana limitada por um triângulo retângulo cujos catetos medem, respectivamente, 3 m e 4 m, que gira em torno do maior cateto, segundo um ângulo de 60°. A medida do volume do sólido S, em metros cúbicos, é: ITAPECURSOS d) 15π cm2 e) 36π cm2 12) (UFJF) Um cone eqüilátero tem de área da base 4π cm2. Qual sua área lateral? a) 2π cm2 b) 4π cm2 c) 8π cm2 d) 16π cm2 e) 32π cm2 13) (UFU) A área da base de um cone reto é igual à área da secção meridiana. Se o raio da base vale R, a altura do cone valerá: a) 2πR/3 b) πR/2 c) πR c) π 10) (MACK-SP) No cálice da figura, que tem a forma de um cone reto, colocou-se um volume de água igual a 1/8 do volume do cálice. A altura h da água é: d) 2πR e) 3πR/2 14) (UFPA) Qual o volume de um cone circular reto de diâmetro da base igual a 6 cm e de geratriz 5 cm? a) 12π cm3 b) 24π cm3 c) 36π cm3 a) 9/2 b) 3/2 c) 9/8 d) 48π cm3 e) 96π cm3 15) (UFLA) O diâmetro da base de um cone circular reto mede 12 cm. Se a área da base é 3/8 da área total, o volume desse cone, em cm3, é: d) 7/8 e) 5/8 a) 48π b) 96π c) 144π d) 198π e) 288π ESFERA 1) (UFJF-MG) Dois cubos de metal de arestas de comprimento p e 2p, respectivamente em centímetros, fundem-se para formar uma esfera. O comprimento do raio dessa esfera é, em cm: a) 3π. b) c) d) 2) (Fac. M. Campos-MG) O volume de uma esfera é: circunscrita em um cubo de aresta a) b) c) d) 3) (PUC-MG) Três bolas metálicas e de mesmo diâmetro, quando jogadas dentro de um tambor cilíndrico cujo raio mede 24 cm , ficam totalmente submersas e fazem o nível da água, no interior do tambor, subir 12 cm. A medida do raio de cada esfera, em centímetros, é: a) 4 b) 6 c) 8 d) 12 e) 16 4) (Fac. Newton Paiva- MG) Uma fábrica de biscoitos é contratada para fabricar casquinhas de sorvetes. Como os sorvetes são vendidos na forma esférica, com 4 cm de diâmetro, foi proposta à fábrica de biscoitos que: 1. As casquinhas sejam cones ocos, com 4 cm de diâmetro na base. 2. Como as casquinhas devem comportar duas bolas de sorvete, o cone comporte, no mínimo, 3/4 do sorvete, caso este derreta. O menor valor da altura permitido para o cone será: a) igual ao diâmetro. b) o dobro do diâmetro mais um terço dele. c) 2 vezes e meia o diâmetro. d) 3 vezes o diâmetro. e) o dobro do diâmetro. Matemática - M2 69 70 cor preto ITAPECURSOS Tecnologia 5) (UFMG) Dois cones circulares retos de mesma base estão inscritos numa mesma esfera de volume 36π. A razão entre os volumes desses cones é 2. A medida do raio da base comum dos cones é: a) 1 b) c) d) 2 e) 6) (UNI-BH) O volume do sólido gerado pela rotação completa, em torno da reta r, da região entre as semicircunferências indicada na figura a seguir é: a) b) c) d) 7) (ITA-SP) Um cone circular reto com altura de cm e raio da base de 2 cm está inscrito numa esfera que, por sua vez, está inscrita num cilindro. A razão entre as áreas das superfícies totais do cilindro e do cone é igual a: b) a) c) d) e) 8) (UFOP-MG) Um plano intercepta uma superfície esférica segundo uma circunferência de de comprimento. Sendo a distância do centro da esfera ao centro da circunferência igual a 3 cm, o raio da esfera é: a) 4 cm b) 5 cm c) 6 cm d) 7 cm e) 8 cm 9) (UFJF) Uma laranja pode ser considerada uma esfera de raio R, formada por 12 gomos exatamente iguais. A superfície total de cada gomo é: a) 2πR2 b) 4πR2 c) d) 3πR2 e) 10) (Univ. Itaúna) A área da superfície de uma esfera é 16π cm2. Qual o diâmetro da esfera? a) 1 cm b) 2 cm c) 4 cm d) 6 cm e) 8 cm 70 Matemática - M2 71 cor preto Tecnologia ITAPECURSOS MATEMÁTICA I Função Exponencial 1) e 2) c 11) b 12) d Logaritmo 1) d 2) b 11) b 12) c Polinômios 1) a 2) a 11) b 12) a Análise Combinatória 1) b 2) d 11) c 12) e Binômio de Newton 1) b 2) d Matriz 1) c 2) e 11) a 12) b Determinante 1) b 2) a Sistemas Lineares 1) e 2) d 11) a 12) a P.A e P.G 1) a 2) a 11) d 12) c 3) a 13) c 4) d 14) d 5) b 15) a 6) e 16) c 7) b 17) c 8) c 18) c 9) a 19) b 10) e 20) c 3) d 13) d 4) a 14) c 5) b 15) e 6) c 16) d 7) a 17) c 8) c 18) b 9) d 19) e 10) b 20) e 3) a 13) d 4) c 14) b 5) b 15) d 6) a 7) c 8) b 9) d 10) b 3) d 13) a 4) d 14) d 5) c 15) d 6) d 16) b 7) a 17) b 8) d 18) c 9) a 19) e 10) c 20) d 3) d 4) a 5) a 6) d 7) d 8) a 3) b 13) e 4) b 14) a 5) b 15) c 6) b 7) b 8) c 9) a 10) b 3) e 4) e 5) d 6) a 7) b 8) a 9) c 10) c 3) c 13) d 4) a 14) a 5) b 15) d 6) a 7) e 8) b 9) b 10) c 3) a 13) b 4) b 14) d 5) b 15) e 6) b 7) d 8) a 9) e 10) e MATEMÁTICA II Prisma 1) a 11) c Pirâmide 1) d 11) a Cilindro 1) b 11) c Cone 1) e 11) d Esfera 1) d 2) c 12) e 3) b 13) a 4) b 14) d 5) d 15) a 6) e 7) c 8) a 9) d 10) c 2) b 12) c 3) d 13) a 4) a 14) e 5) d 15) d 6) b 7) b 8) d 9) b 10) c 2) d 12) d 3) d 13) b 4) a 14) c 5) a 15) c 6) c 7) c 8) d 9) d 10) c 2) b 12) c 3) c 13) c 4) c 14) a 5) b 15) b 6) a 7) a 8) e 9) d 10) a 2) a 3) d 4) d 5) e 6) b 7) d 8) c 9) e 10) c Matemática - M2 71 72 cor Anotações