Transcript
1 a1Q1: Seja B = {(1, 0, 0), (1, 1, 0)} ⊆ IR3 e seja S o subespa¸co gerado por B. Ent˜ao B ´e base de S e: a) (3, 1, 0) = (2, 1)B . b) (3, 1, 0) = (2, 1, 0)B . c) (3, 1, 0) = (4, 1, 0)B . d) (3, 1, 0) = (4, 1)B . e) (3, 1, 0) ∈ / S. a1Q2: Para que valores de a o conjunto {(a, 1, 0), (a, 0, a), (−1, 0, a)} ⊆ IR3 ´e base de IR3 ? a) Para a = 0. b) Para a < 0. c) Para a > 0. d) Para a 6= 0. e) Para todo a ∈ IR. a1Q3: Sejam A e B subconjuntos de um espa¸co vetorial V . Podemos afirmar que: a) Se A ⊆ B e B ´e L.D., ent˜ao A ´e L.D.. b) Se A ⊆ B e B ´e L.I., ent˜ao A ´e L.I.. c) Se dim [A] = dim [B], ent˜ao [A] = [B]. d) Se dim [A] = dim [B] = dim V , ent˜ao A = B. e) Se dim [A] = dim [B] = dim V , ent˜ao A e B tˆem o mesmo n´ umero de elementos. a1Q4: Considere o subespa¸co U = [1, cos 2x, sen2 x, cos2 x] de F(IR). Assinale a alternativa correta: a) dim U = 1. b) dim U = 3. c) dim U = 4. d) dim U = 2. e) N˜ao se pode determinar a dimens˜ao de U .
2 a1Q5: Seja V um espa¸co vetorial de dimens˜ao n. Considere as afirma¸c˜oes: (I) Todo subconjunto de V com n vetores ´e base de V . (II) Todo subconjunto de V com menos do que n vetores ´e l.i.. (III) Todo subconjunto de V com mais do que n vetores ´e l.d.. Podemos dizer que: a) Apenas I ´e verdadeira. b) Apenas II ´e verdadeira. c) Apenas III ´e verdadeira. d) Todas as afirma¸c˜oes s˜ao verdadeiras. e) Todas as afirma¸c˜oes s˜ao falsas. a1Q6: Assinale a alternativa falsa: a) Os polinˆomios (1 − t)3 , (1 − t)2 , 1 − t e 1 geram P3 (IR). b) O subespa¸co W = {(0, y, z)|y, z ∈ IR} de IR3 ´e gerado por (0,1,2),(0,2,3) e (0,3,1). c) N˜ao existe k ∈ IR tal que (1, −2, k) ´e combina¸c˜ao linear de (3, 0, −2) e (2, −1, −5). d) W = {(x, y, z)|x, y, z s˜ao racionais} n˜ao ´e subespa¸co de IR3 . e) {(1, −2, 5, −3), (2, 3, 1, −4), (3, 8, −3, −5)} n˜ao pode ser estendido a uma base de IR4 . a1Q7: Seja V = IR2 e considere as opera¸c˜oes de adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao por escalar em V dadas, respectivamente, por: (I) (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 − y2 , −x2 + y1 ); α(x, y) = (αx, αy). (II) (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 , y1 ); α(x, y) = (x, αy). (III) (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 − 1, y1 + y2 − 1); α(x, y) = (αx − α + 1, αy − α + 1). Podemos afirmar que: a) Somente (II) e (III) definem estruturas de espa¸co vetorial em V. b) Somente (I) define uma estrutura de espa¸co vetorial em V . c) Somente (II) define uma estrutura de espa¸co vetorial em V . d) Somente (I) e (III) definem estruturas de espa¸co vetorial em V . e) Somente (III) define uma estrutura de espa¸co vetorial em V .
3 a1Q8: Considere IR3 munido das opera¸c˜oes α(x, y, z) = (αx, αy, z) (x, y, z) + (x0 , y 0 , z 0 ) = (x + x0 , y + y 0 , z + z 0 ). onde α ∈ IR, (x, y, z) e (x0 , y 0 , z 0 ) ∈ IR3 . Ent˜ao podemos afirmar que com essas opera¸c˜oes IR3 : a) N˜ao ´e espa¸co vetorial pois u + (v + w) 6= (u + v) + w para algum u, v, w ∈ IR3 . b) N˜ao ´e espa¸co vetorial pois α(βu) 6= (αβ)u para algum α, β ∈ IR e u ∈ IR3 . ´ espa¸co vetorial pois a soma ´e igual `a soma em IR3 . c) E d) N˜ao ´e espa¸co vetorial pois (α + β)u 6= αu + βu para algum α, β ∈ IR e algum u ∈ IR3 . e) N˜ao ´e espa¸co vetorial pois α(u + v) 6= αu + αv ∀α ∈ IR ∀u, v ∈ IR3 . a1Q9: Qual dos seguintes conjuntos ´e uma base para S = {p ∈ P2 (IR) : p(1) = p(0)}? a) {0, x − x2 }. b) {x2 − x, x3 − x}. c) {1}. d) {1, −x + x2 , 1 + x − x2 }. e) {1, −x + x2 }. a1Q10: Qual dos conjuntos abaixo n˜ ao ´e base de P2 (IR)? a) {2x2 + x, x2 + x + 1, x + 2}. b) {1 − x, 1 + x + x2 , 1 − x − x2 }. c) {x2 − x, x − 1, x}. d) {1, x + 1, 1 + x + x2 }. e) {2x2 + x, x2 + x + 1, x − 2}.
4 a1Q11: Seja V um espa¸co vetorial e sejam u, v Considere as afirma¸c˜oes:
e w ∈ V.
(I) {u, v} ´e l.d. ⇐⇒ u = αv ou v = βu, para algum α, β ∈ IR. (II) {u} ´e l.d. ⇐⇒ u = 0V . (III) {u, v, w} ´e l.d. ⇐⇒ w = αu + βv, para algum α, β ∈ IR. Podemos dizer que: a) Apenas I e II s˜ao verdadeiras. b) Apenas II e III s˜ao verdadeiras. c) Apenas I e III s˜ao verdadeiras. d) Todas as afirma¸c˜oes s˜ao verdadeiras. e) Todas as afirma¸c˜oes s˜ao falsas. a1Q12: Sejam B1 e B2 duas bases distintas de um espa¸co vetorial V . Assinale a alternativa falsa: a) B1 e B2 s˜ao L.I.. b) B1 ∪ B2 ´e L.I.. c) B1 ∪ B2 gera V . d) B1 ∩ B2 ´e L.I.. e) B1 e B2 tˆem o mesmo n´ umero de elementos. a1Q13: Sejam U = {(x, y, z, t) ∈ IR4 : y + z + t = 0} e W = {(x, y, z, t) ∈ IR4 : x + y = 0, z = 2t}. Assinale a alternativa correta: a) dim U = 3, dim W = 2 e dim (U ∩ W ) = 0. b) dim U = 3, dim W = 2 e dim (U ∩ W ) = 2. c) dim U = 1, dim W = 2 e dim (U ∩ W ) = 1. d) dim U = 3, dim W = 2 e dim (U ∩ W ) = 1. e) dim U = 1, dim W = 2 e dim (U ∩ W ) = 0.
5 a1Q14: Considere o subconjunto A de IR4 dado por: A = {(1, 2, 0, 0), (0, a, 1, 0), (0, −1, 0, a), (0, 0, 1, 2)}, onde a ∈ IR. Podemos afirmar que: a) A ´e l.i. para todo a 6= ±1. √ b) A ´e l.i. para todo a 6= ± 2. √ c) A ´e l.d. se e somente se a = 2. d) A ´e l.d. se e somente se a = ±1. e) A ´e l.d. se e somente se a = ±2. a1Q15: Considere as seguintes afirma¸c˜oes: (I) Os conjuntos A = {(1, 1, 0), (0, 1, 0)} e B = {(1, 0, 0), (0, −1, 0)} geram o mesmo subespa¸co de IR3 . (II) Os conjuntos C = {(sen2 x, cos2 x, sen x cos x} e D = {1, sen 2x, cos 2x} geram o mesmo subespa¸co de F(IR). (II) Os conjuntos D = {1, 2−t, 1+t2 , 1−t+t2 } e E = {1, t, t2 , t3 } geram o mesmo subespa¸co de P3 (IR). Temos ent˜ao que: a) Somente (I) e (III) s˜ao verdadeiras. b) Somente (II) e (III) s˜ao verdadeiras. c) Somente (I) e (II) s˜ao verdadeiras. d) As afirma¸c˜oes (I), (II) e (III) s˜ao verdadeiras. e) As afirma¸c˜oes (I), (II) e (III) s˜ao falsas. a1Q16: Seja A = {u, v, w, z} um subconjunto de P2 (IR). Ent˜ao podemos afirmar que: a) {u, v, w} ´e L.I. b) {u, v, w, z} ´e L.I. c) existe B ⊆ A tal que B ´e base de P2 (IR). d) existe C ⊆ A tal que C gera P2 (IR). e) {u + v, u − v, u + w, v − w} ´e L.D.
6 a1Q17: Sejam A = {(3, 1, −1), (2, −2, 2)} e e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0) e e3 = (0, 0, 1). Ent˜ao: a) A ∪ {e1 }, A ∪ {e2 } e A ∪ {e3 } s˜ao bases de IR3 . b) A ∪ {e2 } e A ∪ {e3 } s˜ao bases de IR3 mas A ∪ {e1 } n˜ao ´e base de IR3 . c) A ∪ {e1 } e A ∪ {e2 } s˜ao bases de IR3 mas A ∪ {e3 } n˜ao ´e base de IR3 . d) A ∪ {e1 } e A ∪ {e3 } s˜ao bases de IR3 mas A ∪ {e2 } n˜ao ´e base de IR3 . e) A ∪ {e2 } ´e base de IR3 mas A ∪ {e1 } e A ∪ {e3 } n˜ao s˜ao bases de IR3 . a1Q18: Se e1 , e2 , e3 e v s˜ao vetores de um espa¸co vetorial V tais que {e1 , e2 , e3 } ´e L.I. e {e1 , e2 , e3 , v} ´e L.D., ent˜ao podemos afirmar que: a) {e1 , e2 , v} ´e L.D.. b) v n˜ao ´e combina¸c˜ao linear de e1 , e2 , e3 . c) {v} ´e L.D.. d) [e1 , e2 , e3 ] = [e1 , e2 , e3 , v]. e) {e1 − v, e2 + v, e3 } ´e L.I.. a1Q19: Qual dentre os conjuntos abaixo pode ser reunido ao conjunto A = {2 − 7x − 5x2 + 2x3 , 3 − 4x + 3x2 + 3x3 , 1 − 2x + 3x2 + x3 } de modo a constituir uma base de P3 (IR)? a) φ. b) {0}. c) {x}. d) {x2 }. e) {1}. a1Q20: Seja V um espa¸co vetorial com pelo menos dois elementos distintos. Assinale a afirma¸c˜ao falsa. a) Se λ ∈ IR e u ∈ V , temos λu = 0V se e somente se u = 0V . b) Se u, v, w ∈ V s˜ao tais que u + w = v + w, ent˜ao u = v. c) Se u + v = u + v 0 para todo u ∈ V , ent˜ao v = v 0 . d) Se u + v = 0V e u + v 0 = 0V , ent˜ao v = v 0 . e) V tem infinitos elementos dois a dois distintos.
