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1 Em todas as quest˜oes, est´a fixado um sistema de coordenadas ortogonal (0,~i, ~j, ~k), com base {~i, ~j, ~k} positiva. a2Q1: Considere as retas: r : X = (1, 2, 3) + λ(−2, 1, −3), λ ∈ IR s:
x = −1 − 2λ
y =3+λ
(λ ∈ IR)
z = −3λ
1−x 3−z =y−2= 2 3 Assinale a alternativa correta: t:
a) s 6= r pois (−1, 3, 0) ∈ s mas (−1, 3, 0) ∈ / r. b) ~u = (2, 1, 3) ´e um vetor diretor de t; c) s 6= r pois ~v = (−1, 3, 0) ´e um vetor diretor de s e ~v n˜ao ´e paralelo a r; d) r 6= t pois ~u = (−2, 1, −3) n˜ao ´e paralelo a t; e) r = s = t; a2Q2: A reta que passa por A = (2, −1, 0) e ´e perpendicular ao plano π : X = (1, 3, −1) + λ(1, 0, 1) + µ(−1, 1, 2) ´e: a)
x=2+λ
y = 1 − 3λ
z = −λ
−y − 1 =z 3 c) X = (2, −1, 0) + λ(0, 1, 3) b) 2 − x =
1−y z = 3 2 e) X = (2, −1, 0) + λ(3, 1, −1)
d) 2 − x =
2 a2Q3: O plano π que cont´em a reta r : x−1 2 = y +2 = paralelo ` a reta x=2+λ y = −2λ s: ´e dado por: z =1−λ
z 3
e ´e
a) 2x + y + 3z = 0 x=2+λ−µ y = 1 − 2λ + 2µ b) z =3−λ c) X = (3, −1, 3) + λ(2, 1, 3) + µ(1, −2, −1) d) X = (1, −2, 0) + λ(2, 1, 3) + µ(2, −1, 2) e) 2x + y + 3z + 1 = 0 a2Q4: As retas reversas r : X = (2, 3, 1) + λ(1, −1, 0) e s : X = (1, 1, 1) + λ(0, 0, 1) s˜ao paralelas a um plano π que cont´em o ponto P = (2, 1, −1). Uma equa¸c˜ao geral para π ´e: a) x − 2y + z + 1 = 0 b) x − y + z = 0 c) x + y − z − 4 = 0 d) x + 2y + 2z − 2 = 0 e) x + y − 3 = 0 a2Q5: Sejam π um plano e P um ponto tal que P ∈ / T . Assinale a alternativa FALSA: a) Se A ∈ π, ent˜ao d(P, π) = d(A, π). ~ AC} ~ ´e l.i., ent˜ao d(P, π) ´e a b) Se A, B, C ∈ π s˜ao tais que {AB, altura do tetraedro A, B, C, P . c) Se {~u, ~v } ´e l.i., ~u e ~v s˜ao paralelos a π, w ~ = w ~ ∧ ~v e r ´e a reta dada por r : X = P + λw ~ ent˜ao d(P, π) =k P,~Q k, sendo Q = r ∩ π. d) Se ax + by + cz + d = 0 ´e uma equa¸c˜ao geral para π e r ´e a reta que passa por P e ´e paralela a ~v = (a, b, c), ent˜ao d(P, π) = d(P, Q) sendo Q = r ∩ π. e) Se A ∈ π, {~u, ~v } ´e l.i., ~u e ~v s˜ao paralelos a π e w ~ = ~u ∧~v , ent˜ao ~ d(P, π) =k projw~ AP k
3 a2Q6: Considere os planos π1 : 2x − y + 2z + 9 = 0 e π2 : 4x − 2y + 4z − 21 = 0. Assinale a alternativa CORRETA: a) d(π1 , π2 ) = 15 b) d(π1 , π2 ) =
13 2
c) d(π1 , π2 ) = 8 d) d(π1 , π2 ) = 30 e) d(π1 , π2 ) = 7 a2Q7: Considere as retas x = 1 + 2λ y = −λ r: e z = −5λ Assinale a alternativa FALSA.
(
s:
x − 2y + z = 0 . 2x + y + z = 0
a) w ~ = (−3, 1, 5) ´e um vetor diretor de s. b) o plano π que cont´em o ponto A = (0, 0, 0) e a reta r ´e perpendicular ` a reta s. c) ~u = (−3, 1, 5) ´e paralelo a s. d) ~v = (1, −2, 1) ´e ortogonal a s. e) r e s s˜ ao reversas. a2Q8: As retas r : X = (1, m, 3) + λ(m, 0, 1) e s : X = (2, n, 4) + λ(1, 0, 2) s˜ao reversas se, e somente se, a) n = m ou n = 12 b) m = n = 12 c) m 6= 12 e n 6= m d) n = m ou m = 12 e) n 6= 12 e n 6= m
4 ~ = (1, −1, 2) + t(0, 2, 1) ´e perpendicular `as a2Q9: A reta r : X retas: z−3 x−1 =1−y = p: m 2 (
q:
y = mx − m − 3, z = −4x + 5
e intersecta elas se: a) m =
3 2
b) m = −1 c) m = 2 d) m = 3 e) m =
2 3
a2Q10:Considere a reta r : X = (1, 2, 3) + λ(1, −1, 2) e o plano π : x − y − z + 2 = 0. Assinale a alternativa correta: a) o ˆangulo entre a reta r e o plano π ´e π3 b) o ˆ angulo entre a reta r e o plano π ´e π4 c) r e π s˜ ao perpendiculares. d) r est´ a contida em π. e) existe uma reta s paralela `a reta r e contida no plano π. a2Q11: Sejam a, b, c, d ∈ IR tais que a2 + b2 + c2 = 6. Para que a medida do ˆangulo entre os planos π1 : ax + by + cz + d = 0 e π2 : x − y + 2z + 3 = 0 seja π3 , os coeficientes a, b, c e d devem satisfazer: a) b = a + c + d ou b = −a − c − d b) b = 2a + c − 2 ou b = 2a + c + 2 c) b = a + 2c − 3 ou b = a + 2c + 3 d) b = a + 2c + d ou b = −a − 2c − d e) b = a + 2c + 1 ou b = a + 2c − 1
5 a2Q12: A distˆancia do ponto P π : x − 2y + z + 3 = 0 ´e: a)
=
(1, 0, 1) ao plano
√6 √5 5 6 √
b) c) 5√ 6 d) 56 e) √56 a2Q13: O plano x + 2y − mz = 0 ´e paralelo `as retas r e s, r : x − 2y = z − 2x = 2z − y x−1 1−y = = kz + 2 2 3 se e somente se: 3 a) m = e k=5 2 b) m = −10 e k = 8 c) m = 5 e k = 27 d) m = −13 e k = 13 4 e) m = −11 e k = 11 2 a2Q14: Assinale a alternativa FALSA: a) Se π1 : a1 x + b1 y + c1 z + d1 = 0 e π2 : a2 x + b2 y + c2 z + d2 = 0 s˜ao dois planos concorrentes, ~n1 = (a1 , b1 , c1 ), ~n2 = (a2 , b2 , c2 ) e r = π1 ∩ π2 , ent˜ao r ´e uma reta e ~n1 ∧ ~n2 ´e um vetor paralelo a r; b) Se π1 : a1 x + b1 y + c1 z + d1 = 0 e π2 : a2 x + b2 y + c2 z + d2 = 0 s˜ao dois planos concorrentes, ~n1 = (a1 , b1 , c1 ) e ~n2 = (a2 , b2 , c2 ), ent˜ ao ~n1 ∧ ~n2 ´e um vetor paralelo a π1 ; c) O plano π : ax + by + cz + d = 0 e a reta r : X = (x0 , y0 , z0 ) + λ(m, n, p) s˜ao perpendiculares se, e somente se, existe α ∈ IR tal que a = αm, b = αn e c = αp; d) O plano π1 : a1 x + b1 y + c1 z + d1 = 0 ´e perpendicular ao plano π2 : a2 x+b2 y +c2 z +d2 = 0 se, e somente se, a1 a2 +b1 b2 +c1 c2 = 0. e) Se ~n1 , ~n2 e ~n3 s˜ao vetores normais aos planos π1 , π2 e π3 , respectivamente, sendo {~n1 , ~n2 , ~n3 } um conjunto l.i., ent˜ao π1 ∩ π2 ∩ π3 ´e vazio;
6 a2Q15: A reta s:
x = 2 + 3λ
y = 1 + 2λ
z=λ
est´a contida no plano π : ax + by + cz + d = 0 se, e somente se, a) 2a + b + d = 0 b) 2a + b + d 6= 0 c) 2a + b + d = 0 d) 2a + b + d = 0 e) 2a + b + d = 0
e e e e e
3a + 2b + c + d 6= 0 3a + 2b + c = 0 3a + 2b + c = 0 3a + 2b + c 6= 0 3a + 2b + c + d = 0
a2Q16: A reta s que passa pelo ponto P = (1, 2, −1), ´e paralela ao plano π : x − 2y − 3z + 1 = 0 e concorrente com a reta r : X = (1, 0, −1) + λ(2, −1, 1) ´e: a) −x − 1 = y + 2 = −z + 1 b) s : X = (1, 2, −1) + λ(1, −1, 1) c) s : X = (1, 2, −1) + λ(2, 1, 0) x−1 y−2 z+1 d) = = 3 2 2 x = 1 − 4λ y =2+λ e) s : z = −1 − 2λ a2Q17: O ponto Q do plano π : x − 2y + z − 1 = 0 mais pr´oximo do ponto P = (1, 1, −1) ´e: a) Q = (0, 1, 3) 3 b) Q = ( −1 2 , 0, 2 )
c) Q = (3, 1, 0) d) Q = (1, 1, 2) e) Q = ( 32 , 0, −1 2 )
7 a2Q18: As retas x+1 y z−1 = = 2 3 2 s : X = (1, 1, 1) + λ(1, 2, 0) t : X = (0, 1, −1) + λ(1, 1, m) s˜ao paralelas a um mesmo plano se, e somente se: r:
a) m = −1 b) m = 3 c) m = 2 d) m = −2 e) m = 1 a2Q19: A distˆancia do ponto P = (1, 1, 1) `a reta (
r:
x − y + 2z = 0 3x − y − 2z = 0
´e
√
a) b)
2 3
q
2 3
√
c) d) e)
3 2 2 3
q
3 2
a2Q20: O plano π que cont´em o ponto A = (2, 1, 0) e ´e perpendi cular aos planos π1 : x+2y −3z +4 = 0 e π2 : 8x−4y +16z −1 = 0 ´e dado por: a) X = (2, 1, 0) + α(1, 2, −3) + β(2, −1, 4), α, β ∈ IR b) 2x − y − 3 = 0 c) x + y + z − 3 = 0 d) −x + 2y + z = 0 e) 3x − 2y + z − 4 = 0
