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MAT 2454 - C´ alculo II - POLI Prova Substitutiva - 13.12.2004
Nome : No USP : Professor: Assinatura :
Turma:
Q 1 2 3 4 Total
N
Quest˜ ao 1: (2.0) Sabe-se que a curva γ(t) = (t2 + 1, t3 + t2 + t) ´e uma curva de n´ıvel da fun¸c˜ao f : IR2 → IR de classe C 2 , com f (γ(t)) = 2 ∀t ∈ IR. Determine todos os pontos (x0 , y0 ) ∈ Imγ tais que o plano tangente ao gr´afico de f em (x0 , y0 , 2) seja paralelo ao plano x+y−z =0
Quest˜ ao 2: (2.0) A temperatura no ponto (x, y, z) ´e dada (em o C) pela fun¸c˜ao T (x, y, z) = 10x2 yz. Determine as temperaturas m´axima e m´ınima no conjunto {(x, y, z) ∈ IR3 /x2 + y 2 + z 2 ≤ 4}.
Quest˜ ao 3: (3.5) Seja F (u, v) = u G(u2 + 1, −v) onde G : IR2 → IR ´e uma fun¸c˜ao de classe C 2 . a) Determine as derivadas parciais de F em fun¸c˜ao das derivadas parciais de G. b) Sabe-se que (2, 1) ´e ponto cr´ıtico de G e que G(2, 1) = 0. Determine dois pontos cr´ıticos de F . c) Sabe-se que, utilizando o crit´erio da 2a derivada, ´e poss´ıvel determinar que (2, 1) ´e m´aximo local de G. Classifique os pontos cr´ıticos de F encontrados no item anterior.
Quest˜ ao 4: (2.5) Seja f (x, y) =
3 3 x +y
x2 + y 2 0
se (x, y) 6= (0, 0) se (x, y) = (0, 0)
a) (0.5) Determine os pontos de continuidade de f . Justifique. b) Para cada ~u = (a, b) com a2 + b2 = 1, determine a derivada direcional D~u f (0, 0) c) A fun¸c˜ao f ´e diferenci´avel em (0, 0)? Justifique.
