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MAT 2454 - C´ alculo II - POLI a 2 Prova - 25.10.2004 A Nome : No USP : Professor: Assinatura :
Quest˜ ao 1: Seja f (x, y) =
Turma:
Q 1 2 3 Total
2 x sen((x2 + y 2 )2 )
se (x, y) 6= (0, 0)
se (x, y) = (0, 0)
x2 + y 2 0
(0.5) a) Verifique que f ´e cont´ınua em (0, 0). ∂f (x, y), (x, y) ∈ IR2 . (1.0) b) Determine ∂y ∂f (0.5) c) A fun¸c˜ao ´e cont´ınua em (0, 0)? Justifique sua resposta. ∂y (1.5) d) A fun¸c˜ao f ´e diferenci´avel em (0, 0)? Justifique sua resposta.
N
Quest˜ ao 2: xy , caso exista. Se n˜ao existir, justifique. (x,y)→(0,0) x − y 2 (2.5) b) Seja f (u, v) uma fun¸c˜ao de classe C 2 que satisfaz a equa¸c˜ao de Laplace, isto ∂2f ∂2f ´e: + = 0. ∂u2 ∂v 2 ! x2 − y 2 Seja w(x, y) = f , xy . Mostre que w tamb´em satisfaz a equa¸c˜ao de 2 ∂2w ∂2w Laplace, isto ´e: + = 0. ∂x2 ∂y 2 (1.5) a) Calcule
lim
Quest˜ ao 3: Seja f : IR2 → IR de classe C 1 tal que f (2, 4) = 2. Suponha que (x, y) = λ(1, 2), λ ∈ IR, ´e uma equa¸c˜ao vetorial da reta tangente `a curva de n´ıvel de f no ponto (2, 4). Considere g : IR → IR dada por g(t) = tf (t2 − 2, t2 − 5t + 10) (1.0) a) Calcule g 0 (t) em termos de f e de suas derivadas parciais. (2.0) b) Sabendo que g 0 (2) = 8 dˆe a equa¸c˜ao do plano tangente ao gr´afico de f no ponto (2, 4, 2).
MAT 2454 - C´ alculo II - POLI a 2 Prova - 25.10.2004 B Nome : No USP : Professor: Assinatura :
Quest˜ ao 1: Seja f (x, y) =
Turma:
Q 1 2 3 Total
2 y sen((x2 + y 2 )2 )
se (x, y) 6= (0, 0)
se (x, y) = (0, 0)
x2 + y 2 0
(0.5) a) Verifique que f ´e cont´ınua em (0, 0). ∂f (x, y), (x, y) ∈ IR2 . (1.0) b) Determine ∂x ∂f (0.5) c) A fun¸c˜ao ´e cont´ınua em (0, 0)? Justifique sua resposta. ∂x (1.5) d) A fun¸c˜ao f ´e diferenci´avel em (0, 0)? Justifique sua resposta.
N
Quest˜ ao 2: xy , caso exista. Se n˜ao existir, justifique. (x,y)→(0,0) y − x2 (2.5) b) Seja f (u, v) uma fun¸c˜ao de classe C 2 que satisfaz a equa¸c˜ao de Laplace, isto ∂2f ∂2f ´e: + = 0. ∂u2 ∂v 2 ! x2 − y 2 Seja w(x, y) = f , xy . Mostre que w tamb´em satisfaz a equa¸c˜ao de 2 ∂2w ∂2w Laplace, isto ´e: + = 0. ∂x2 ∂y 2 (1.5) a) Calcule
lim
Quest˜ ao 3: Seja f : IR2 → IR de classe C 1 tal que f (4, 2) = 2. Suponha que (x, y) = λ(2, 1), λ ∈ IR, ´e uma equa¸c˜ao vetorial da reta tangente `a curva de n´ıvel de f no ponto (4, 2). Considere g : IR → IR dada por g(t) = tf (t2 − 5t + 10, t2 − 2) (1.0) a) Calcule g 0 (t) em termos de f e de suas derivadas parciais. (2.0) b) Sabendo que g 0 (2) = 8 dˆe a equa¸c˜ao do plano tangente ao gr´afico de f no ponto (4, 2, 2).
