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1a Prova de MAT 2454 - Clculo II POLI - 13/08/2004
A Nome : No¯ USP : Turma : Professor :
Q 1 2 3 Total
N
1. (a) (1,5) Determine o polinmio de Taylor de ordem 3 da funo f (x) = ex cos x em torno de x0 = 0. ! 2 x6 x8 (x ) 2 2 (b) (1,0) Mostre que e cos(x ) − 1 + x − ≤ para todo x ∈ [−1, 1]. 3 2
2. Seja f (x, y) = 4x2 − 9y 2 . (a) (1,0) Esboce as curvas de nvel de f para os nveis 0,1 e -1. (b) (1,5) Considere a superfcie 4x2 + 4x + 9y 2 = 0. D uma parametrizao para a interseco dessa superfcie com o grfico de f . (c) (1,5) Encontre todos os pontosda curva do item b) nos quais a reta tangente paralela √ 1 1 , 2(1 − 2) . ao vetor − , 2 3
3. Considere a curva γ : IR → IR2 dada por γ(t) = (x(t)), y(t)) onde x(t) = t4 − 2t2 e y(t) = t3 − 12t. (a) (1,0) Estude o sinal do x0 (t) e y 0 (t) e determine os pontos da curva onde o vetor tangente horizontal ou vertical. (b) (1,0) Determine os pontos em que a curva cruza os eixos, os pontos de auto-interseco e estude os limites de x(t) e y(t) para t → +∞ e t → −∞. (c) (1,5) Esboce a imagem da curva γ.
1a Prova de MAT 2454 - Clculo II POLI - 13/08/2004
B Nome : No¯ USP : Turma : Professor :
Q 1 2 3 Total
N
1. (a) (1,5) Determine o polinmio de Taylor de ordem 3 da funo f (x) = ex cos x em torno de x0 = 0. ! 2 x6 x8 (x ) 2 2 (b) (1,0) Mostre que e cos(x ) − 1 + x − ≤ para todo x ∈ [−1, 1]. 3 2
2. Seja f (x, y) = 4y 2 − 9x2 . (a) (1,0) Esboce as curvas de nvel de f para os nveis 0,1 e -1. (b) (1,5) Considere a superfcie 9x2 + 4y + 4y 2 = 0. D uma parametrizao para a interseco dessa superfcie com o grfico de f . (c) (1,5) Encontre todos os pontosda curva do item b) nos quais a reta tangente paralela √ 1 1 , − , 2(1 − 2) . ao vetor 3 2
3. Considere a curva γ : IR → IR2 dada por γ(t) = (x(t)), y(t)) onde x(t) = t3 − 12t e y(t) = t4 − 2t2 . (a) (1,0) Estude o sinal do x0 (t) e y 0 (t) e determine os pontos da curva onde o vetor tangente horizontal ou vertical. (b) (1,0) Determine os pontos em que a curva cruza os eixos, os pontos de auto-interseco e estude os limites de x(t) e y(t) para t → +∞ e t → −∞. (c) (1,5) Esboce a imagem da curva γ.
