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RESUMO
Um fluido ao contrário de um sólido é uma substância que escoa. O princípio
de Arquimedes afirma que quando um corpo esta total ou parcialmente
submerso em um fluído, o fluído ao redor exerce uma força de empuxo sobre o
corpo. Quando um corpo é mais denso que um líquido e está totalmente imerso
nesse líquido, o valor do seu peso dentro desse líquido é aparentemente
menor que no ar. Este trabalho teve por objetivo determinar a massa
específica de um de um corpo de imersão e de uma solução saturada e água e
sal através do princípio de Arquimedes. Utilizou-se um sistema contendo uma
proveta de 1000 ml, um dinamômetro de mola 2N e um corpo de imersão. O
resultado obtido da massa específica do corpo de imersão foi 1223,04361
kg/m³, e da solução saturada de água e sal foi 1256,428571 kg/m3.
1. INTRODUÇÃO
1.1 Fluídos
Um fluido em contraste com um sólido é uma substância que pode escoar.
Fluidos se ajustam aos limites de qualquer reservatório em que os
coloquemos. Eles se comportam dessa forma porque não conseguem suportar uma
força tangencial a sua superfície (ou seja, uma tensão cisalhante).
Para encontrarmos a massa específica ρ de um fluido em qualquer
ponto, isolamos um pequeno elemento de volume V ao redor desse ponto e
medimos a massa m do fluido contida dentro desse elemento. A massa
específica é então:
ρ = m/ V
A massa específica em qualquer ponto em um fluido é o limite desta
razão quando o elemento de volume V nesse ponto é cada vez menor. Na
prática, supomos que uma amostra de fluido é grande comparada com as
dimensões atômicas e, portanto é ''suave'' (com massa específica uniforme),
e não ''pedaçuda'' com átomos. Esta hipótese nos permite escrever:
ρ =m/V (massa específica uniforme)
onde m e V são a massa e o volume da amostra.
A massa específica é uma propriedade escalar; sua unidade SI é o
quilograma por metro cúbico kg/m3.
A diferença entre densidade e massa específica fica bem clara quando
falamos de objetos ocos. Neste caso a densidade leva em consideração o
volume completo e a massa específica apenas a parte que contêm substância.
A densidade da salmoura é de 1230 Kg/cm3 á temperatura de 15oC.
O princípio de Arquimedes afirma que quando um corpo está total ou
parcialmente submerso em um fluído, o fluido ao redor exerce uma força de
empuxo Fe sobre o corpo. A força está dirigida para cima e possui uma
densidade igual ao peso mfg do fluido que foi deslocado pelo corpo.
Fe=mfg (força de empuxo),
Onde mf é a massa do fluido que é deslocado pelo corpo.
Quando um corpo está totalmente imerso num líquido qualquer, podemos ter as
seguintes condições:
se ele permanece parado no ponto em que foi colocado, a intensidade da
força de impulsão é igual a intensidade da força peso;
se ele afundar, a intensidade da força de impulsão é menor que a
intensidade da força peso;
se ele for levado para a superfície, a intensidade da força de impulsão é
maior do que a intensidade da força peso.
O princípio de Arquimedes se resume a:
Como a força peso do corpo é dada pelo produto da massa pela aceleração da
gravidade mg. Podemos enunciar o seguinte critério:
Vρ < m O corpo afunda,
Vρ = m o corpo fica em equilíbrio metaestável,
Vρ > m o corpo sobe à tona.
Quando um corpo mais denso que um líquido é totalmente imerso nesse
líquido, observamos que o valor do seu peso, dentro desse líquido, é
aparentemente menor que no ar. A diferença entre o valor do peso real e do
peso aparente corresponde à impulsão exercida pelo líquido:
Peso Aparente = Peso real – Impulsão (ou intensidade da força de empuxo)
Se a massa do corpo imerso for expressa como o produto de sua densidade
média ρc por seu volume V, então o critério de Arquimedes assume a seguinte
forma:
ρ < ρc O corpo afunda,
ρ = ρc o corpo fica em equilíbrio metaestável,
ρ > ρc o corpo sobe à tona.
F1 é a forca exercida da água acima sobre a
Superfície do filete de água.
F2 é a forca exercida pela água na parte de baixo do filete.
MG é o peso do filete de água.
F1=P1.Área F2= P2.Área
F2=F1+mg
A massa do filete de água é dado por: M=D.V
onde D= densidade e V= volume.
Volume= Área.(y1-y2)
Então: M=D.Área (y1-y2)
F2=P1.Área +D.Área(y1-y2)
P2Área =P1Área +D.Área (y1-y2)
Divide ambos os lados por 1/Área
P2=P1+D(y1-y2)
Esta equação pode ser usada para encontrar a pressão em um liquido em
função da profundidade ou também, na atmosfera em função da altitude.
Para o 1° caso, supondo que a incógnita seja a pressão a uma certa
profundidade abaixo do líquido, escolhemos o nível 1 como a superfície do
liquido e o nível dois estando a uma distancia h abaixo do nível 1 e P0
representa a pressão atmosférica sobre a superfície.
Y1=o; P1=P0; Y2=-h e P2=P
tem-se portanto:
P=P0+Dg.h
sendo a pressão dependente da profundidade e não da largura do objeto.
1.2 FLUTUAÇÃO
Quando soltamos um bloco de madeira acima da água, este se move para dentro
da água por que a Força gravitacional que age sobre ele puxa o bloco para
baixo. A medida que o bloco desloca mais água, a intensidade da força de
empuxo para cima que age sobre o corpo aumenta até que a força de empuxo
seja suficientemente grande para se igualar a intensidade da força
gravitacional para baixo e o bloco entre em equilíbrio estático e diz-se
que ele está flutuando.
Neste caso tem-se:
Fe=Fg
Fe= Massa do fluido.g
Fg= Massa do fluido.g
Então um corpo flutuante desloca o seu próprio peso de fluido.
OBJETIVOS
Determinar a massa especifica de um corpo de imersão e de uma solução
saturada de água e sal através do princípio de Arquimedes.
MATERIAIS E MÉTODOS
Em uma proveta de 1000 ml foram adicionados 700 ml de água salina saturada.
Fixou-se um dinamômetro de mola (de incerteza+- 0,05 N) à haste de um
suporte com garra, deixando a escala do mesmo visível para leitura.
Utilizando-se o parafuso na parte superior do dinamômetro ajustou-se o
valor de 0N na parte inferior o mesmo, no local da leitura.
O corpo de imersão foi pendurado no gancho do dinamômetro e centralizado
sobre a proveta.
Mergulhou-se o corpo de imersão sustentado pelo dinamômetro gradualmente no
líquido.
Para cada graduação no corpo de imersão, foi anotado o peso aparente,
indicado no dinamômetro, e o volume do líquido deslocado, indicado na
proveta.
A figura a seguir representa um diagrama esquemático do experimento.
Figura 2: Diagrama esquemático do experimento.
RESULTADOS E DISCUSSÃO
"Marca no corpo de "Volume na proveta "Peso aparente (N) "Empuxo "
"imersão (cm) "(ml) "±0,01 N "±0,06 N "
" "± 1,0 ml " " "
"0,0 Cm "700 ml "1,69 N "0,00 N "
"1,0 Cm "712 ml "1,60 N "0,09 N "
"2,0 Cm "728 ml "1,30 N "0,39 N "
"3,0 Cm "740 ml "1,26 N "0,43 N "
"4,0 Cm "750 ml "1,00 N "0,69 N "
"5,0 Cm "765 ml "0,85 N "0,84 N "
"6,0 Cm "779 ml "0,71 N "0,98 N "
"7,0 Cm "790 ml "0,54 N "1,15 N "
"8,0 Cm "800 ml "0,40 N "1,29 N "
"9,0 Cm "815 ml "0,30 N "1,39 N "
"10,0 Cm "829 ml "0,12 N "1,57 N "
"Todo "839 ml "0,00 N "1,69 N "
Os valores de empuxo foram calculados a partir da equação:
Peso aparente = Peso real – Intensidade da Força de Empuxo
O Gráfico abaixo é de Pressão aparente em função do volume deslocado:
Gráfico 1: Pressão aparente (N) X Volume (m³)
No gráfico a linha vermelha é a linha de tendência.
Durante a prática não foi medido o peso do objeto de nylon, mas este foi
determinado pelo método gráfico, fazendo uso da equação da reta f(x) =
-123123x + 1,6826
Através da equação da reta pode-se determinar o Peso do objeto:
f(x) = -123123x + 1,6826
Para obter se o peso real do objeto este deveria estar fora do liquido,
portanto o volume lido no liquido foi de 700 ml.
f(x) = -123123(0,0) + 1,6826
f(x)= 1,6826
Correspondendo à 1,6826 N o peso do objeto antes do objeto estar submerso.
Como o dinamômetro dava precisão em duas casas após a virgula foi utilizado
para métodos de cálculos apenas 2 casas após a virgula este valor de peso,
correspondendo a 1,68 N
Fez-se os cálculos da propagação de incerteza da seguinte forma:
Figura 3 – dados para calculo de incerteza
Figura 4 – dados para calculo de incerteza
Obs.: a figura 3 e 4 são continuações, portanto a ultima linha de dados
corresponde ao somatório dos demais dados.
Os valores dos coeficientes A e B podem ser calculados pelas seguintes
equações:
entretanto, estes não foram calculados. Ao invés de calcular, foi utilizado
o mesmo valor da equação da reta de tendencia do grafico, que deve
coincidir com estes valores.
Para calcular a incerteza dos coeficientes A e B da equação da reta
utilizou-se as seguintes equações:
Primeiro calculou-se o σ:
σ = (0,022575547 / 12-2)¹/²
σ = 0,047513731
Posteriormente calculou-se σa e σb:
σa = {[(0,047513731)² * (0,000000083)] / [(12*0,000000083) –
(0,000847)²]}¹/²
σa = 0,025933843
σb = {[(12)*(0,047513731)²] / [(12)*(0,000000083) – (0,000847)²]}¹/²
σb = 377,8359718
Portanto
y= a +bx
f(x) = 1,6826 -123123x
f(x) = 1,6826 (+-0,025933843) -123123x (+-377,8359718)
f(x) = 1,68 (+-0,0260) -123x10³x (+-378)
Pode se determinar a massa do cilindro de nylon apenas conhecendo seu peso
real:
P = m.g
1,6826 kg.m/s² (+- 0,05 kg.m/s²) = m . 9,81m/s²
m = 0,171518858 kg (± 5,10x10-3 kg) Incerteza apenas do peso já que a
incerteza de g varia dependendo do método aplicado para sua determinação,
portanto foi adotado como constante já que por sua vez não foi determinado
durante a prática.
Quando o corpo estava boiando ele encontrava-se sobre ação da força de
empuxo que o sustentava na superfície. Portanto como o corpo não afundava
tem-se a força de empuxo era igual ao peso real do objeto, portanto tem-se
o mesmo calculo e o mesmo resultado se for determinado a massa do objeto,
variando apenas a incerteza que será de (± 0,06) devido a incerteza do
empuxo ser esta.
No momento em que o corpo estava totalmente sobre a ação do empuxo, este
permaneceu boiando e não afundou completamente, dando assim a incerteza na
medida do volume do corpo pelo método de Arquimedes, já que o cilindro de
nylon tem densidade menos do que a densidade da solução de água saturada
com sal. Para poder determinar-se o volume do cilindro de nylon, utilizou-
se o método matemático através da equação:
Volume = Área da base X Altura
Área da base = Pi X R²
Portanto o volume é:
V= Pi X R² X H
Estas medidas foram cedidas pelo professor e a incerteza delas é de 0,05 mm
Diâmetro = 40,40 mm
Comprimento= 109,40 mm
V= Pi X (20,2 mm)² X 109,40mm
V= Pi X (0,0202 m)² X 0,1094 m
V= 1,40239364x10-4 m³ +- 5,959x10-8
Com o volume do objeto calculado e a massa, pode se determinar a densidade
do objeto pela equação da densidade:
Densidade = massa x volume-1
D = 0,171518858 kg (± 5,10x10-3 kg) / 1,40239364x10-4 m³ (+-5,959x10-8 m³)
D = 1223,04361 kg/m³
Convertendo se em g/ml, tem se 1,22304361 g/ml
A partir do coeficiente angular da reta pode se obter a densidade da
solução, dividindo-se o coeficiente angular pela aceleração gravitacional.
12313 kg m/s² / 9,81m/s² m³
Equivalendo a 1256,428571 kg/m3 a densidade da mistura de água e sal ou
1,256428571 g/ml, chegando próximo ao valor tabelado.
Como a densidade da solução e a densidade do objeto eram muito próximas, o
objeto acabou boiando. Caso a densidade do nylon fosse maior do que da água
este afundaria, mas como a densidade da solução é um pouco superior a do
nylon este bóia perto da superfície.
O fator que influenciou negativamente nos resultados obtidos foi a proveta
que tinha uma incerteza de 10 ml para mais ou para menos, sendo necessário
um "chute" de valor entre uma graduação e outra da proveta. Se uma proveta
de precisão maior tivesse sido utilizada, com certeza teria sido diminuindo
as incertezas e o valor de densidade da solução que já está bem preciso
comparado com o tabelado chegaria mais próximo do valor real.
CONCLUSÃO
A partir do princípio de Arquimedes foi possível calcular as massa
específicas do corpo de imersão e do fluido desejados. A falta de precisão
da proveta causou possíveis erros nos efetuados. Concluiu-se desta forma
que para maior eficiência do experimento há necessidade de equipamentos
mais precisos.
REFERÊNCIAS
HALLIDAY, D.; RESNICK,R.;WALKER, J. Fundamentos de Física. Vol 2. 6 Ed. Rio
de Janeiro: Editora LTC, 2002
Disponível em:
Acesso em: 20 junho 2010
UNIVERSIDADE ESTADUAL DO OESTE DO PARANÁ - Unioeste
CENTRO DE ENGENHARIAS E CIÊNCIAS EXATAS
MASSA ESPECÍFICA DE UM LÍQUIDO
TOLEDO-PR
22 DE JUNHO DE 2010
