Margens De Estabilidade

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˜ PAULO UNIVERSIDADE DE SAO ˜ CARLOS ESCOLA DE ENGENHARIA DE SAO ´ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELETRICA Relat´orio 3: Margens de Estabilidade Alunos: Edson Luis Geraldi Junior - 5890563 Gustavo Pereira de Souza - 6446993 Leonardo Augusto Ghessi - 6516375 Prof. Jerson Barbosa de Vargas S˜ ao Carlos 2010 ˜ PAULO UNIVERSIDADE DE SAO ˜ CARLOS ESCOLA DE ENGENHARIA DE SAO ´ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELETRICA Relat´orio 3: Margens de Estabilidade Relat´ orio sobre as pr´ aticas realizadas no Laborat´ orio de Controle abrangendo a an´ alise de estabilidade relativa dos sistemas. S˜ ao Carlos 2010 Sum´ ario Resumo i Abreviaturas ii 1 Introdu¸ c˜ ao 1 2 Procedimento Experimental 2.1 Sistemas de Fase M´ınima . . . . . . 2.1.1 Margens de Ganho e de Fase 2.1.2 M´etodo do Lugar de Ra´ızes . 2.1.3 Diagrama de Nyquist . . . . . 2.2 Sistemas de Fase N˜ao M´ınima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 5 5 6 7 3 Resultados: An´ alise 3.1 Resultados dos Sistemas de Fase M´ınima . . . . . . 3.1.1 Resultados de Margens de Ganho e de Fase 3.1.2 Resultados de Lugar de Ra´ızes . . . . . . . 3.1.3 Resultados de Diagrama de Nyquist . . . . 3.2 Resultados dos Sistemas de Fase N˜ao M´ınima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 9 10 12 12 13 4 Discuss˜ ao 4.1 Discuss˜ao dos Sistemas de Fase M´ınima . . . . . 4.1.1 Discuss˜ao de Margens de Ganho e de Fase 4.1.2 Discuss˜ao de Lugar de Ra´ızes . . . . . . . 4.1.3 Discuss˜ao de Diagrama de Nyquist . . . . 4.2 Discuss˜ao dos Sistemas de Fase N˜ao M´ınima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 16 16 17 18 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Conclus˜ ao 22 Referˆ encias Bibliogr´ aficas 24 A Programas do Matlab A.1 Sistema de Fase M´ınima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2 Sistema de Fase N˜ao M´ınima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 25 26 B Resolu¸ c˜ ao das Quest˜ oes do Livro 28 Lista de Figuras 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Representa¸c˜ ao em blocos dos sistema de terceira ordem. . . . . . . An´alise da Margem de Ganho e Margen de Fase. . . . . . . . . . . Diagrama de blocos montado no Simulink. . . . . . . . . . . . . . . Diagrama de bode para Kmin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diagrama de bode para Kmax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diagrama de Lugar de ra´ızes do sistema de fase m´ınima. . . . . . . Diagrama de Nyquist para Kmin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diagrama de Nyquist para Kmax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Resposta ao degrau para Kmin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Resposta ao degrau para Kmax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lugar de ra´ızes do sistema de fase n˜ ao m´ınima. . . . . . . . . . . . Lugar de Ra´ızes com o compesador de fase. . . . . . . . . . . . . . Diagrama de bode para Kc = 0, 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diagrama de bode para Kc = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diagrama de Nyquist para Kc = 0, 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . Diagrama de Nyquist para Kc = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Simula¸c˜ ao no Simulink para Kc = 0, 4. . . . . . . . . . . . . . . . . Simula¸c˜ ao no Simulink para Kc = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . Diagrama de bode para ωcf = ωcg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lugar de ra´ızes de um sistema Resistor-Indutor-Capacitor (RLC). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 6 8 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 29 30 Lista de Tabelas 1 2 3 4 5 Valores dos componentes dos sistemas de primeira e segunda ordem. . Dados para obten¸c˜ ao do Kmin e Kmax . . . . . . . . . . . . . . . . . . Valores de Margem de Ganho (MG) e Margem de Fase (MF) te´oricos. Valores de MG e MF experimentais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Valores de MG e MF experimentais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 9 11 11 14 Resumo Este relat´ orio trata da an´ alise de margens de estabilidade dos sistemas de fase m´ınima e fase n˜ ao m´ınima, a fim de se desenvolver o conhecimento dos conceitos de estabilidade e instabilidade utilizando as ferramentas de simula¸c˜ ao fornecidas pelo software Matlab. Para os sistemas de fase m´ınima foram feitas as an´ alises te´oricas e experimentais, comparando os resultados obtidos com os esperados. J´ a para o sistema de fase n˜ ao m´ınima, as an´ alises experimentais foram suprimidas, de modo que as ferramentas de an´ alise te´ orica foram predominantes neste sistema. Vale salientar que estas experimenta¸co˜es foram desenvolvidas segundo o cap´ıtulo 2, os resultados alise dos dados obtidos constam no cap´ıtulo 4. obtidos constam no cap´ıtulo 3 e a an´ Enfim, a an´ alise dos sistemas de fase m´ınima e n˜ ao m´ınima nos permite uma compreender melhor a de estabilidade dos sistemas o que ser´ a gradativamente descrito e explanado no corpo deste relat´ orio. i Abreviaturas FT Fun¸c˜ao de Transferˆencia RLC Resistor-Indutor-Capacitor RC Resistor-Capacitor MA Malha Aberta MF Margem de Fase MG Margem de Ganho ii 1 Introdu¸ c˜ ao O controle dos sistemas ´e de fundamental importˆ ancia para in´ umeros processos e a realimenta¸c˜ ao de um sistema ´e importante para a melhoria de seu desempenho, como estudado anteriormente. Entretanto, na pr´ atica n˜ ao se pode fechar a malha de um sistema sem saber se ele se tornar´a inst´ avel. Caso uma realimenta¸c˜ ao torne o sistema inst´ avel, pode ocorrer uma resposta n˜ ao desejada, que pode degradar os equipamentos que fazem parte do processo. Assim, torna-se primordial ter um conhecimento da estabilidade do sistema em malha fechada a partir do sistema em malha aberta. Para tal existem ferramentas como o diagrama de Nyquist, o diagrama de Bode e o gr´ afico do Lugar de Ra´ızes. Apesar de cada uma dessas ferramentas funcionar de uma maneira espec´ıfica e independe das outras, elas s˜ ao equivalentes e fornecem respostas condizentes sobre um mesmo sistema. Este relat´ orio tem por objetivo estudar essas t´ecnicas de an´ alise de sistemas de malha aberta e confirmar na pr´ atica o seu funcionamento. Para se conhecer de forma completa estas t´ecnicas, s˜ ao necess´arios os conceitos de margem de fase, margem de ganho, frequˆencia de cruzamento de fase e de ganho, ganho de malha aberta, dentre outros. Dessa forma, ser´ a descrito de maneira r´ apida o que significa cada conceito. O conceito de margem de fase e margem de ganho est˜ ao relacionados com o diagrama de Bode de um sistema em malha aberta. Margens de ganho e de fase positivas mostram que um sistema ´e est´ avel, e margens de ganho e de fase negativas retratam a instabilidade de um sistema. A frequˆencia de cruzamento de fase ´e a frequˆencia em que o sistema possui uma fase de −180o , nessa frequˆencia ´e medida a margem de ganho de um sistema. A frequˆencia de cruzamento de ganho ´e a frequˆencia em que o sistema possui um ganho de 0dB, e ´e nessa frequˆencia que ´e medida a margem de fase do sistema. De uma maneira simplificada, pode-se dizer que a margem de ganho de um sistema ´e o quanto o ganho do sistema pode ser aumentado sem que este se torne inst´ avel. Apesar de ser facilmente visualizado no diagrama de Bode, pode-se ter uma ideia de quanto ´e o ganho m´ aximo que um sistema pode ter sem que se torne inst´ avel em malha fechada, a partir do gr´ afico do lugar de ra´ızes. Este gr´ afico, por sinal, mapeia os polos de um sistema em malha fechada a partir da varia¸c˜ao do ganho do sistema em malha aberta. O diagrama de Nyquist tamb´em ´e uma ferramenta muito empregada para a an´ alise de estabilidade 1 de um sistema em malha fechada. Nesse diagrama, aparece um caminho fechado no plano complexo. Este caminho pode ou n˜ ao envolver o ponto (-1,0) no sentido hor´ ario ou anti-hor´ ario. Se este ponto for envolvido no sentido hor´ ario, N ser´ a positivo na f´ormula (1). J´ a se for envolvido no sentido anti-hor´ ario, N ser´ a negativo. Na rela¸c˜ao: Z =N +P (1) • Z - representa o n´ umero de polos da fun¸c˜ao de transferˆencia do sistema em malha fechada no semiplano direito (zeros da malha aberta); • P - representa o n´ umero de polos da fun¸c˜ao de transferˆencia do sistema em malha fechada no semiplano direito; Tamb´em s˜ ao importantes os conceitos de sistemas de fase m´ınima e fase n˜ ao-m´ınima. Basicamente, um sistema de fase m´ınima ´e um sistema que possui todos os polos da fun¸c˜ao de transferˆencia de malha aberta no semiplano esquerdo, logo ´e est´ avel nessa situa¸c˜ao. Um sistema de fase n˜ ao-m´ınima ´e aquele que possui algum dos polos de sua fun¸c˜ ao de transferˆencia em malha aberta no semiplano direito, logo ´e inst´ avel em malha aberta. O sistema de suspens˜ ao magn´etica que ser´ a estudado nessa pr´ atica, por exemplo, se trata de um sistema de fase n˜ ao-m´ınima, como ser´ a visto durante a pr´ atica. Os conceitos e ferramentas utilizadas acima ser˜ ao utilizados neste relat´ orio na an´ alise de estabilidade dos sistemas. Em conjunto com esta an´ alise ser˜ ao apresentados m´etodos de estabiliza¸c˜ao dos sistemas quando da existˆencia de polos no semiplano direito do plano complexo, seja por meio do ajuste de ganho proporcional quanto por meio do emprego de compensadores de fase. A organiza¸c˜ ao deste trabalho conta sempre com um paralelo entre o procedimento experimental executado e a teoria, a apresenta¸c˜ ao dos resultados obtidos e posterior discuss˜ao destes resultados obtidos em contraste com os resultados esperados. Isso torna mais claro cada procedimento e evidencia o que foi obtido e quais competˆencias foram desenvolvidas em cada processo. No final, ser´ a apresentada a conclus˜ao geral da pr´ atica realizada. 2 2 Procedimento Experimental Nesta se¸c˜ao ser˜ ao descritos os procedimentos e materiais utilizados para se realizarem a an´ alises experimentais dos sistemas de fase m´ınima e fase n˜ ao-m´ınima. Na descri¸c˜ao dos procedimentos ser˜ ao descritos a sequˆencia executada para a apresenta¸c˜ao dos resultados e posterior discuss˜ao dos dados obtidos em contraste com os valores te´ oricos [1]. Esta se¸c˜ao ser´ a dividida por t´opicos que pertencem a cada an´ alise em particular contendo ainda as instru¸c˜oes de procedimento para an´ alise te´orica dos sistemas atrav´es do uso do software Matlab [2]. Os principais materiais utilizados nas pr´ aticas s˜ ao: • Painel Did´ atico; • Mult´ımetro Digital Minipa Et-2030a; • Fonte sim´etrica de tens˜ ao; • Software Matlab; Nesta pr´ atica foram estudadas os sistemas de fase m´ınima e fase n˜ ao-m´ınima, procurando analisar a estabilidade destes atrav´es da MF e MG, m´etodo do lugar de ra´ızes (comando rlocus) e do diagrama de Nyquist. 2.1 Sistemas de Fase M´ınima O circuito de terceira ordem analisado ´e composto por um sistema de 1a ordem Resistor-Capacitor (RC) em s´erie com um sistema de segunda ordem RLC conforme a Figura 1 e cujos valores dos componentes se encontram na Tabela 1. u(s) K 1 Ls + 1 y(s) Isolador RLC Circuito Passivo Circuito Passivo Figura 1: Representa¸ca˜o em blocos dos sistema de terceira ordem. Ainda, tˆem-se a Fun¸c˜ ao de Transferˆencia (FT) do sistema de fase m´ınima segundo a equa¸c˜ao (2). G= k.ωn2 (T s + 1)(s2 + 2.ξ.ωn .s + ωn2 ) 3 (2) Tabela 1: Valores dos componentes dos sistemas de primeira e segunda ordem. 1a Ordem C = 22 nF R = 6,8 kΩ 2a Ordem L = 534,7 mH C = 69,7 nF R = Vari´ avel Neste circuito, foi ajustado o valor do resistor segundo a equa¸c˜ao (3), para se obter um fator de amortecimento ξ = 0, 7. Com isso, tamb´em foi calculado o valor da frequˆencia natural de ressonˆancia (ωn ) atrav´es da equa¸c˜ ao (4). r 1 R ⇒ R = 2.ξ. .L 2.ξ.ωn = L LC ωn = r 1 LC (3) (4) Al´em disso, observa-se no diagrama de blocos da Figura 1 que o ganho K ´e colocado antes dos sistemas de 1a e 2a ordem. E que entre estes sistemas de 1a e 2a ordem h´ a um isolador que serve para que um sistema passivo n˜ ao enxergue a impedˆ ancia do outro. O procedimento inicialmente tomado foi levantar o Kmin e o Kmax do painel did´ atico, aplicando-se um sinal de entrada no bloco do ganho K e verificando em seu curso m´ınimo e seu curso m´ aximo quais os valores de sa´ıda, assim o ganho (K) pode ser obtido pela equa¸c˜ao (5) e os valores encontrados est˜ ao na Tabela 2. K= Vo Vi (5) O objetivo ´e analisar para quais valores de K ´e poss´ıvel fechar o sistema realizando a realimenta¸c˜ ao negativa do sistema a partir da sa´ıda (um valor de realimenta¸c˜ao H=-1). Usando o controlador proporcional K para estabiliza¸c˜ ao do sistema de malha fechada. No entanto, ´e importante analisar previamente o comportamento do sistema de malha fechada com o controlados proporcional, analisando a estabilidade do sistema em fun¸c˜ao da varia¸c˜ao do parˆ ametro K do sistema. Assim, foram utilizados trˆes m´etodos para verificar se ´e poss´ıvel fechar a malha sem que haja uma 4 instabilidade do sistema. Os trˆes m´etodos empregados foram: an´ alise de margem de ganho e de fase, o m´etodo do lugar de ra´ızes e o diagrama de Nyquist. 2.1.1 Margens de Ganho e de Fase Para a an´ alise da margem de ganho e de fase ´e necess´ario que se monte o diagrama de bode levantado atrav´es da equa¸c˜ ao (2), da FT do sistema analisado, utilizando o comando bode no Matlab, conforme consta no anexo A. Inicialmente foi analisado o diagrama de bode do sistema de malha aberta para o Kmin , usando o comando margin. Este comando do matlab exibe a MG e MF do sistemas. A Figura 4 exibe o gr´ afico obtido. Em seguida foi repetido o mesmo procedimento para o Kmax , utilizando tamb´em o comando margin, e o gr´ afico obtido para an´ alise da MG e MF ´e o da Figura 5. Com isso, atrav´es da an´ alise das margens de estabilidade ´e poss´ıvel determinar a estabilidade do sistema. Tem-se ent˜ ao para isso que um sistema est´ avel tem a frequˆencia de cruzamento de ganho (ωcg ) menor que a frequˆencia de cruzamento de fase (ωcf ), desta maneira MG e MF s˜ ao positivas. Em contrapartida, um sistema inst´ avel tem (ωcg ) maior do que (ωcf ) e assim tamb´em teremos MG e MF negativas, conforme Figura 2. Atrav´es desta an´ alise podemos ent˜ ao determinar a estabilidade do sistema. Al´em disso, foi levantado as margens de ganho e de fase experimentais atrav´es da figura de Lissajous no oscilosc´ opio, levantando os parˆ ametros: MG, MF, ωcg e ωcf . Os dados obtidos constam na Tabela 4. 2.1.2 M´ etodo do Lugar de Ra´ızes Como o m´etodo do diagrama de bode ´e aplicado para valores de K determinados, faz-se necess´ario que se possa conhecer melhor qual a faixa de valores de ganho (K ) resultam em um sistemas est´ avel. Para tanto empregamos o m´etodo do lugar das ra´ızes. A partir dele, ´e poss´ıvel ent˜ ao especificar quais os valores de K colocam o sistema de malha fechada em situa¸c˜ao de estabilidade ou instabilidade. Esta an´ alise ´e feita no Matlab atrav´es do comando rlocus. afico do lugar de Desta maneira utiliza-se a FT do sistema de terceira ordem. E obtˆem-se o gr´ 5 Ganho (dB) MG1 Wcg MG2 W(rad/s) Fase (º) Wcf1 Wcf2 W(rad/s) MF2 -180º MF1 Figura 2: An´alise da Margem de Ganho e Margen de Fase. ra´ızes que consta na Figura 6. A partir dele podemos dizer para quais valores de K as ra´ızes do sistema ficam do lado esquerdo do eixo imagin´ ario no plano complexo, desta maneira consistindo em um sistema est´ avel. Foi ent˜ao analisado o sinal de sa´ıda do sistema em contraposi¸c˜ao com o sinal de entrada, ajustandose o ganho de Kmin a Kmax analisando onde ocorreria a situa¸c˜ao de instabilidade. Assim anotando-se o ganho para o qual o sistema estaria inst´ avel e analisando-se seu comportamento com o esperado. 2.1.3 Diagrama de Nyquist Ap´os estas an´ alises, ´e feita ent˜ ao a an´ alise experimental. Nesta an´ alise os sistema de terceira ordem foi excitado com um sinal de onda quadrada de baixa frequˆencia (entre 50Hz e 100Hz), isso porque 6 segundo o diagrama de bode do sistema (Figura 2), para altas frequˆencias existe uma maior atenua¸c˜ ao do sinal devido a contribui¸c˜ ao dos trˆes p´ olos, onde haveria uma atenua¸c˜ao de 60dB/dec´ ada. Feito isso, foi plotado o diagrama de Nyquist do sistema, este diagrama ´e obtido atrav´es do comando nyquist no Matlab. Foi simulado o diagrama para os valores de Kmin e Kmax verificando-se o envolvimento do ponto -1, o que determina a estabilidade do sistema. 2.2 Sistemas de Fase N˜ ao M´ınima Agora ser˜ ao estudados os sistemas cujos p´ olos de malha aberta encontram-se no semi-plano direito no plano complexo, sendo assim, o fechamento da malha acarreta em um sistemas inst´ avel, e portanto n˜ ao pode ser feito sem a aprecia¸c˜ ao adequada. Desta maneira foram iniciados os estudos de como mover os p´ olos dos sistemas atrav´es de controladores proporcionais (ganho) e compensadores de fase. Para tanto, os conceitos obtidos de MG e MF, lugar de ra´ızes e o diagrama de nyquist s˜ ao ent˜ao fundamentais para que se possa estabilizar os sistemas afim de que se possa fechar a malha com seguran¸ca. O sistema estudado ser´ a o sistema de suspens˜ ao magn´etica, ser´ a feita a an´ alise das margens de estabilidade e do lugar de ra´ızes. E assim ser´ a projetado o controlador para que se possa fechar a malha resultando em um sistema est´ avel. Primeiramente, na f´ormula Gma do sistema de suspens˜ ao magn´etica, tentou-se encontrar um ganho K que tornasse o sistema em malha fechada est´ avel. Ent˜ao foi desenhado o lugar de ra´ızes do sistema atrav´es do comando rlocus e verificou-se o posicionamento dos p´ olos no semiplano esquerdo. Como verificou-de que o sistema ´e de fase n˜ ao-m´ınima, e portanto que n˜ ao seria poss´ıvel posicionar os polos da FT em malha fechada no semiplano esquerdo apenas com o controlador proporcional (ganho K variando). Ent˜ ao procura-se realizar a estabiliza¸c˜ao do sistema atrav´es do emprego do compensador de fase, cuja FT ´e dada pela equa¸c˜ao (6). Gc = Kc .α. Ts + 1 α.T s + 1 (6) Ent˜ao foi novamente tra¸cado o lugar de ra´ızes da FT com o compensador de fase, G(s) = Gc (s).Gma (s) , com Gc (s), sendo que o ganho total do sistema passa a ser Kp = Kc .α.Kma . 7 A partir ent˜ ao do lugar de ra´ızes, procura-se o valor de Kp que posiciona os polos do sistema no semiplano esquerdo do plano complexo. Ap´os verificado o intervalo de Kp , escolhe-se um valor de Kp , e com isso ´e gerado o diagrama de bode do sistema compensado atrav´es do comando margin para a verifica¸c˜ao da MG e MF, e tamb´em verifica¸c˜ao de ωcg , ωcf . Este valores te´ oricos foram anotados na Tabela 5. Em seguida faz-se o diagrama de nyquist deste sistema atrav´es do comando nyquist no matlab para Kc = 0, 4 e Kc = 1. Estes gr´ aficos te´ oricos constam nas Figuras 15,16. Por fim, montamos o sistema compensado no Simulink segundo o diagrama de blocos da Figura 3, para enfim obter a resposta ao degrau do sistema de suspens˜ ao magn´etica ap´ os o fechamento da malha. Primeiramente fechou-se o sistema compensado com ganho Kc = 0, 4 e posteriormente com ganho Kc = 1 conforme Figuras 17,18 respectivamente. scope Clock t to workspace tz.s+1 tp.s+1 Ka 1 R+L.s 1 m.s² K1 degrau(-0,1V) K2 K1 C1 Figura 3: Diagrama de blocos montado no Simulink. 3 Resultados: An´ alise Nesta se¸c˜ao ser˜ ao apresentados os resultados obtidos nas an´ alises sobre as margens de estabilidade dos sistemas. Ser˜ ao apresentados os resultados medidos em pr´ atica, bem como gr´ aficos confeccionados com os dados experimentais em compara¸c˜ao com os resultados te´oricos esperados. Procura-se ent˜ ao obter os resultados experimentais o mais pr´ oximo poss´ıvel dos resultados te´oricos ´ importante ainda salientar que na gera¸c˜ao dos gr´ esperados. E aficos expostos nesta se¸c˜ao, sempre haver´ a um paralelo entre as curvas obtidas experimentalmente com as curvas te´oricas ideais, onde a 8 curva te´orica ´e constitu´ıda por uma linha cont´ınua e a curva experimental por pontos discretos. Esta configura¸c˜ao permitir´a uma maior facilidade na discuss˜ ao dos resultados, quando da discuss˜ao dos resultados [3]. 3.1 Resultados dos Sistemas de Fase M´ınima Inicialmente para o sistema de fase m´ınima, foi calculado o resistor para ter ξ = 0, 7 atrav´es da equa¸c˜ao (3) e a frequˆencia de ressonˆancia (Wn ) atrav´es da equa¸c˜ao (4), como se segue: r r 1 1 R ⇒ R = 2.ξ. .L ⇒ R = 2.0, 7. = 3, 877kΩ 2.ξ.ωn = −3 L LC 534, 7.10 .69, 7.10−9 ωn = r 1 = LC r 1 534, 7.10−3 .69, 7.10−9 = 5180rad/s (7) (8) Atrav´es da varia¸c˜ ao do potenciˆ ometro e do sinal de entrada, obtˆem-se os valores de tens˜ ao de entrada Vi e Vo segundo a tabela 2. Tabela 2: Dados para obten¸ca˜o do Kmin e Kmax Kmax Sa´ıda 20,0 V Entrada 0,43 V Kmin Sa´ıda 880 mV Entrada 440 mV Assim utilizando a equa¸c˜ ao (5) podemos calcular o Kmin e o Kmax : Vo 880mV =2 = Vi 440mV (9) 20V Vo = 46, 5 = Vi 0, 43V (10) Kmin = Kmax = Assim temos definidos os limites de K que o controlador proporcional pode oferecer. Partimos ent˜ao para a an´ alise da estabilidade do sistema, partindo inicialmente para a an´ alise das margens de estabilidade. 9 3.1.1 Resultados de Margens de Ganho e de Fase Tem-se ent˜ao o levantamento do diagrama de bode do sistema para o valore encontrado de Kmin , o gr´ afico obtido consta na Figura 4. Diagrama de Bode MG=7.7dB (em 8.68e+003 rad/s), MF=43.2graus (em 5.62e+003 rad/s) 20 Magnitude (dB) 0 −20 −40 −60 Fase (deg) −80 0 −90 −180 −270 2 3 10 4 10 5 10 10 Freq. (rad/sec) Figura 4: Diagrama de bode para Kmin . Onde a frequˆencia de cruzamento de ganho (ωcg ) ocorre antes da frequˆencia de cruzamento de fase avel. (ωcf ), o que proporciona MG e MF positivas determinando um sistema est´ Em seguida ´e feito o levantamento do diagrama de bode para Kmax , cuja curva esta apresentada no gr´ afico da Figura 5. Onde ao contr´ ario do gr´ afico anterior temos a frequˆencia de cruzamento de fase (ωcf ) ocorrendo antes da frequˆencia de cruzamento de ganho (ωcg ) o que propicia MG e MF negativas e portanto o sistema fica inst´ avel. Assim os valores obtidos deste gr´ afico obtido teoricamente est˜ ao contidos na tabela 3. Tabela 3: Valores de MG e MF te´oricos. K 2 46,5 MF (o ) 43,2 -50,1 MG (dB) 7,7 -19,6 ωcf (rad/s) 8,68.103 8,68.103 10 ωcg (rad/s) 5,62.103 1,99.103 Diagrama de Bode MG=−19.6dB (em 8.68e+003 rad/s), MF=−50.1graus (em 1.99e+004 rad/s) 40 Magnitude (dB) 20 0 −20 −40 Fase (deg) −60 0 −90 −180 −270 2 3 10 4 10 5 10 10 Freq. (rad/sec) Figura 5: Diagrama de bode para Kmax . Foi tamb´em realizado um levantamento pr´ atico das margens de ganho e de fase para Kmin e Kmax atrav´es do uso do oscilosc´ opio. Os valores obtidos constam na tabela 4. Tabela 4: Valores de MG e MF experimentais. K 2 46,5 MF (o ) 53,13 -39,5 MG (dB) 9,9 -18,1 ωcf (rad/s) 9,435.103 8,778.103 ωcg (rad/s) 5,189.103 19,79.103 Logo nota-se a necessidade de determinar os valores de K que posicionam os p´ olos no semiplano esquerdo complexo, sendo assim, proporcionando um sistema est´ avel em malha fechada. Na an´ alise pr´ atica o que se fez foi excitar o sistema com a onda quadrada de baixa frequˆencia descrita na se¸c˜ ao 2 e variar o potenciˆ ometro do ganho K at´e que o sistema apresente instabilidade. O valor experimental encontrado para o Kmax ´e de 6,87. Para a an´ alise te´orica realiza-se ent˜ao a an´ alise do lugar de ra´ızes. 3.1.2 Resultados de Lugar de Ra´ızes ´ levantada ent˜ E ao a curva do lugar de ra´ızes do sistema de terceira ordem para conhecer os valores de K que colocam o sistema em estabilidade. Atrav´es do comando rlocus no Matlab, ´e encontrado o gr´ afico da Figura 6. 11 4 Lugar de Raíz x 10 2 1.5 Eixo Imaginário 1 0.5 0 −0.5 −1 −1.5 −2 −3 −2.5 −2 −1.5 −1 Eixo Real −0.5 0 0.5 1 4 x 10 Figura 6: Diagrama de Lugar de ra´ızes do sistema de fase m´ınima. Atrav´es deste gr´ afico pode-se determinar o m´ aximo valor de K em que o sistema ´e est´ avel, o valor te´orico encontrado para Kmax ´e de 4,85. 3.1.3 Resultados de Diagrama de Nyquist Al´em disso, os diagramas de nyquist para Kmin e Kmax foram tra¸cados para se verificar tamb´em a estabilidade do sistema segundo os crit´erios de nyquist, onde verifica-se o envolvimento do ponto -1, e o sentido deste envolvimento. O gr´ aficos das figuras 7,8 apresentam os resultados te´oricos obtidos. Al´em dos gr´ aficos de nyquist, foram tamb´em levantados as curvas de resposta ao degrau para Kmin e Kmax (Figuras 13,14), como uma maneira de evidenciar o comportamento de estabilidade e instabilidade deste sistemas para os valores m´ınimos e m´ aximo de K. 3.2 Resultados dos Sistemas de Fase N˜ ao M´ınima Ser˜ ao aqui apresentados os resultados da an´ alise dos sistemas de fase n˜ ao-m´ınima. Inicialmente s˜ ao levantadas as margens de estabilidade para an´ alise da FT. Procurou-se encontrar um ganho K que estabilizasse o sistemas, desta maneira foi levantado o gr´ afico de lugar de ra´ızes atrav´es do rlocus, segundo o gr´ afico da Figura 11. 12 Diagrama de Nyquist do ganho mínimo 2 1.5 Eixo Imaginário 1 0.5 0 −0.5 −1 −1.5 −2 −1 −0.5 0 0.5 Eixo Real 1 1.5 2 Figura 7: Diagrama de Nyquist para Kmin . Diagrama de Nyquist para o Kmax 40 30 Eixo Imaginário 20 10 0 −10 −20 −30 −40 −20 −10 0 10 20 30 40 50 Eixo Real Figura 8: Diagrama de Nyquist para Kmax . Atrav´es deste gr´ afico ´e poss´ıvel observar que nenhum K posiciona os p´ olos da FT no semiplano esquerdo do plano complexo, e assim, o controlador proporcional ´e ineficaz para tratar de sistemas de 13 Resposta ao degrau com ganho Kmin 1.2 1 Tensão (V) 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 0.5 1 1.5 2 Tempo (s) 2.5 3 3.5 4 −3 x 10 Figura 9: Resposta ao degrau para Kmin . Resposta ao Degrau Kmax 4 3 2 Tensão de Saída (V) 1 0 −1 −2 −3 −4 −5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 Tempo (s) 3 3.5 Figura 10: Resposta ao degrau para Kmax . 14 4 4.5 −4 x 10 Lugar de Raíz sem o controlador de avanço de fase 150 100 Eixo Imaginário 50 0 −50 −100 −150 −200 −150 −100 −50 Eixo Real 0 50 100 Figura 11: Lugar de ra´ızes do sistema de fase n˜ ao m´ınima. fase n˜ ao m´ınima. Sendo assim, utiliza-se o compensador de fase como forma de posicionar os p´ olos para que o sistema seja est´ avel. Foi ent˜ao empregado o compensador de fase para estabilizar o sistema. Assim, novamente foi tra¸cado o gr´ afico lugar de ra´ızes para o sistema compensado que se encontra na Figura 12. Assim observa-se que temos ganhos do compensador que ainda colocam o sistema em estabilidade ou instabilidade, assim, foram tra¸cados novamente os diagramas de bode para Kc = 0, 4 e 1, que constam nos gr´ aficos das Figuras 13,14. Uma vez que foi observado no gr´ afico da Figura 12 que o intervalo de Kc que posiciona os p´ olos no semiplano esquerdo em malha fechada ´e de 0, 281 < Kc < 0, 497. Com isso foi levantado experimentalmente os valores das margens de estabilidade para relaciona-los com os valores te´ oricos obtidos. Os valores constam na tabela 5 Tabela 5: Valores de MG e MF experimentais. K 0,4 1 MF (o ) 1,87 -6,09 MG (dB) 3,26 -10,3 ωcf (rad/s) 37,8 82,7 15 ωcg (rad/s) 48,6 48,6 Lugar de Raíz com o controlador de avanço de fase 500 400 300 200 Eixo Imaginário 100 0 −100 −200 −300 −400 −500 −700 −600 −500 −400 −300 −200 Eixo Real −100 0 100 200 Figura 12: Lugar de Ra´ızes com o compesador de fase. Foram tamb´em levantadas as curvas de nyquist para Kc = 0, 4 e Kc = 1 conforme gr´ aficos das Figuras 15,16. Usando o Simulink, podemos simular o fechamento da malha aberta do sistema de suspens˜ ao magn´etica (Figura 3), para os ganho Kc = 0, 4 e Kc = 1. A resposta ao degrau da malha fechada para Kc = 0, 4 esta representada pelo gr´ afico da Figura 17 e atrav´es dele percebe-se que com este ganho pode-se fechar a malha, pois o sistema ´e est´ avel. E ao fechar a malha com o ganho Kc = 1, a resposta ao degrau do sistema de malha fechada do sistema de suspens˜ ao magn´etica, conforme o gr´ afico da Figura 18, ´e inst´ avel. Logo n˜ ao se pode fechar a malha com este ganho. Esta an´ alise est´ a compat´ıvel com que foi visto anteriormente, onde foram usadas t´ecnicas em malha aberta para verificar a estabilidade do sistema, como o lugar de ra´ızes e os diagramas de Bode e Nyquist. Pois como descrito acima, tanto com estas ferramentas, como para a simula¸c˜ao no Simulink, o sistema de avel para Kc = 1 (Figura 18). suspens˜ ao magn´etica ser´ a est´ avel para Kc = 0, 4 (Figura 17) e inst´ 16 Diagrama de Bode para ganho kc=0.4 MG=1.87 dB (em 48.6 rad/s), MF=3.26 graus (em 37.8 rad/s) 50 Magnitude (dB) 0 −50 −100 Fase (graus) −150 −135 −180 −225 −270 0 10 1 10 2 10 3 10 4 10 Freq. (rad/sec) Figura 13: Diagrama de bode para Kc = 0, 4. Diagrama de Bode para ganho kc=1 MG=−6.09 dB (em 48.6 rad/s), MF=−10.3 graus (em 82.7 rad/s) 50 Magnitude (dB) 0 −50 −100 Fase (graus) −150 −135 −180 −225 −270 0 10 1 10 2 10 3 10 Freq. (rad/sec) Figura 14: Diagrama de bode para Kc = 1. 17 4 10 Diagrama de Nyquist para ganho kc=0.4 1 0.8 0.6 0.4 Eixo Imaginario 0.2 0 −0.2 −0.4 −0.6 −0.8 −1 −1.5 −1 −0.5 0 Eixo Real Figura 15: Diagrama de Nyquist para Kc = 0, 4. Diagrama de Nyquist para ganho kc=1 1 0.8 0.6 0.4 Eixo Imaginario 0.2 0 −0.2 −0.4 −0.6 −0.8 −1 −4 −3.5 −3 −2.5 −2 −1.5 −1 Eixo Real Figura 16: Diagrama de Nyquist para Kc = 1. 18 −0.5 0 −4 6 x 10 Resposta ao degrau para um ganho kc=0.4 Tensão de Saída (V) 5 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 Tempo (s) Figura 17: Simula¸ca˜o no Simulink para Kc = 0, 4. Resposta ao degrau para um ganho kc=1 0.15 Tensão de Saída (V) 0.1 0.05 0 −0.05 −0.1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Tempo (s) Figura 18: Simula¸ca˜o no Simulink para Kc = 1. 19 1 4 Discuss˜ ao Nesta se¸c˜ao ser˜ ao discutidos os resultados obtidos, evidenciando as contraposi¸c˜ao dos resultados medidos com os te´ oricos (esperados) atrav´es da analise dos valores obtidos de forma a conhecer o comportamento dos sistemas de Malha Aberta (MA) e MF [4, 5]. 4.1 4.1.1 Discuss˜ ao dos Sistemas de Fase M´ınima Discuss˜ ao de Margens de Ganho e de Fase A partir dos gr´ aficos te´ oricos obtidos no Matlab para o sistema de terceira ordem com o ganho K vari´ avel, pode-se verificar os aspectos de estabilidade da malha quando da sua realimenta¸c˜ao. Quando o ganho de entrada foi ajustado para o seu valor m´ınimo, verificou-se que a realimenta¸c˜ao unit´ aria negativa da sa´ıda do sistema era realiz´ avel, isto ´e, o sistema em malha fechada n˜ ao se desestabilizaria. Isto pode ser visto a partir do gr´ afico (Figura 4), em que as margens de ganho e de fase s˜ ao positivas, com a frequˆencia de cruzamento de ganho sendo menor do que a frequˆencia de cruzamento de fase. J´ a quando o ganho do sistema foi ajustado para o seu valor m´ aximo, verifica-se no gr´ afico (Fiao negativas, com a frequˆencia de cruzamento de fase gura 5) que as margens de ganho e de fase s˜ antecedendo a frequˆencia de cruzamento de ganho. Isso demonstra que para o ganho m´ aximo n˜ ao ´e poss´ıvel realimentar negativamente o sistema com a sa´ıda e ganho de realimenta¸c˜ao unit´ ario. Essa realimenta¸c˜ao torna o sistema em malha fechada inst´ avel. Os valores obtidos na pr´ atica para as frequˆencias de cruzamento de ganho e de fase e das margens de ganho e de fase, tanto para Kmin quanto para Kmax foram compat´ıveis com as te´oricas, com uma diferen¸ca de valores pequena e justific´ avel pela imprecis˜ao dos equipamentos e pelo ajuste possivelmente impreciso do potenciˆ ometro do circuito de segunda ordem, que define o valor de ξ desse sistema. 4.1.2 Discuss˜ ao de Lugar de Ra´ızes A an´ alise do sistema a partir do lugar de ra´ızes foi realizada para verificar a faixa de ganho K do sistema que torna poss´ıvel a realimenta¸c˜ao do sistema sem que este se torne inst´ avel. A partir do gr´ afico (Figura 6) verificou-se que para o ganho m´ınimo ajust´avel no painel did´ atico, o sistema em malha fechada (com realimenta¸c˜ ao negativa da sa´ıda) ´e est´ avel. Isso pode ser justificado pelo fato de os polos estarem localizados no semiplano esquerdo para o ganho m´ınimo. 20 J´ a para o ganho m´ aximo, verificou-se que os polos complexos conjugados est˜ ao localizados no semiplano direito, o que faz com que a realimenta¸c˜ao n˜ ao seja realiz´ avel, j´a que polos no semiplano direito significa que o sistema em malha fechada ´e inst´ avel. O procedimento realizado na pr´ atica, de aumentar o ganho do sistema em malha fechada at´e se verificar a sua instabilidade mostrou que para um ganho maior do que 6,97 o sistema se desestabiliza. Assim, os polos complexos conjugados da fun¸c˜ao de transferˆencia migram para o semiplano direito para valores de K maiores do que 6,97. J´ a a partir do gr´ afico (Figura 6), verificou-se que esse valor de K est´ a em torno de 4,85. Essa diferen¸ca existe pela imperfei¸c˜ao do sistema pr´ atico, mas a existˆencia de tal valor confirma o que se esperava. 4.1.3 Discuss˜ ao de Diagrama de Nyquist O diagrama de Nyquist foi empregado para se verificar a equivalˆencia deste m´etodo com o m´etodo de margens de ganho e de fase e com o m´etodo do lugar de ra´ızes. Assim, antes de ser empregado, j´a se esperava que ele demonstrasse que para o ganho m´ınimo do sistema a realimenta¸c˜ao ´e poss´ıvel e para o ganho m´ aximo a realimenta¸c˜ ao torna o sistema em malha fechada inst´ avel. E foi exatamente isso que ocorreu. Para o ganho Kmin , foi obtido o diagrama de Nyquist da Figura 7. Pode-se verificar que o caminho percorrido no sentido hor´ ario n˜ ao envolve o ponto (-1,0). Assim, conforme a teoria, conta-se o n´ umero de envolvimentos como sendo zero. A partir do gr´ afico do lugar de ra´ızes, verifica-se que os polos da fun¸c˜ao de transferˆencia em malha aberta encontram-se todos no semiplano esquerdo (polos para k=0, marcados com um X). Assim, a partir da f´ormula (Z = N + P ), verifica-se que ´e nula a quantidade de polos no semiplano direito do sistema em malha fechada. Portanto, o sistema ´e est´ avel para o valor de ganho Kmin . Para o ganho Kmax , foi obtido o diagrama de Nyquist da Figura 8. Pode-se verificar que o caminho percorrido no sentido hor´ ario envolve o ponto (-1,0 ). Percebe-se ainda que este caminho envolve este ponto duas vezes, assim o n´ umero de envolvimentos no sentido hor´ ario ´e dois. Como os polos da FT em malha aberta encontram-se todos no semiplano esquerdo, verifica-se a partir da f´ormula (Z = N + P ) que a quantidade de polos do sistema em malha fechada no semiplano direito ´e dois. Assim, com dois polos no semiplano esquerdo (como j´a se sabe s˜ ao polos complexos conjugados), o sistema 21 em malha fechada ´e inst´ avel. 4.2 Discuss˜ ao dos Sistemas de Fase N˜ ao M´ınima Os sistemas de fase n˜ ao-m´ınima, como visto anteriormente, se caracterizam por apresentar polos da FT de malha aberta no semiplano direito. Entretanto, quando se trata de tornar o sistema de malha fechada est´ avel, o objetivo ´e o mesmo do de fase m´ınima, ou seja, posicionar os polos da FT do sistema em malha fechada, no semiplano esquerdo. Contudo, foi verificado atrav´es do lugar de ra´ızes do sistema de suspens˜ ao magn´etica, que n˜ ao existe um ganho proporcional capaz de tornar isso poss´ıvel. Foi por esse motivo que o emprego de um controlador de avan¸co de fase foi necess´ario. A partir do gr´ afico (Figura 12) com controlador de fase), percebe-se que quando utilizado um controlador de avan¸co de fase, ´e poss´ıvel posicionar os polos da fun¸c˜ao de transferˆencia do sistema de suspens˜ ao magn´etica no semiplano esquerdo atrav´es do ajuste do ganho Kc . Entretanto, isso n˜ ao altera o fato desse sistema ser de fase n˜ ao-m´ınima. O gr´ afico (Figura 13) mostra que ao se ajustar o ganho Kc em 0,4, as margens de fase e de ganho s˜ ao positivas, com a frequˆencia de cruzamento de ganho antecedendo a frequˆencia de cruzamento de fase. Isso confirma a estabilidade do sistema de malha fechada. O diagrama de Nyquist da Figura 13, mostra que para Kc = 0, 4, existe apenas um envolvimento em torno do ponto (-1,0) no sentido anti-hor´ ario (N=-1 ). Como existe um polo da fun¸c˜ao de transferˆencia do sistema em malha aberta no semiplano direito (P=1 ), ent˜ao n˜ ao existe nenhum polo da fun¸c˜ ao de transferˆencia de malha fechada no semiplano direito (Z=0 ), conforme a f´ormula (Z = N + P ). Isso est´ a de acordo com o esperado, j´a que para Kc = 0, 4 o sistema ´e est´ avel. O gr´ afico da Figura 14 mostra que ao se ajustar o ganho Kc = 1, as margens de fase e de ganho s˜ ao negativas, com a frequˆencia de cruzamento de fase antecedendo a frequˆencia de cruzamento de ganho. Isso implica na instabilidade do sistema de malha fechada. O diagrama de Nyquist da Figura 14 mostra que para Kc = 1 existe apenas um envolvimento em torno do ponto (-1,0) no sentido hor´ ario (N=1 ). Como existe um polo da FT do sistema em malha aberta no semiplano direito (P=1 ), ent˜ ao existem dois polos da FT de malha fechada no semiplano a de acordo com o esperado, j´a que para Kc = 1 o direito (Z=2 ), conforme a F´ormula 1. Isso est´ 22 sistema ´e inst´ avel. A partir das an´ alises feitas acima, verifica-se ent˜ao que o diagrama de Nyquist, o diagrama de Bode e o gr´ afico do lugar de ra´ızes est˜ ao de acordo em rela¸c˜ao a estabilidade do sistema. 5 Conclus˜ ao A partir da pr´ atica realizada pode-se verificar que a an´ alise das margens de fase e de ganho no diagrama de Bode, o gr´ afico do lugar de ra´ızes e o diagrama de Nyquist s˜ ao ferramentas eficientes na an´ alise da estabilidade de um sistema de malha fechada, conhecendo-se apenas o comportamento do sistema em malha aberta. Assim, o software Matlab mostrou-se mais do que necess´ario nesta pr´ atica, j´a que ele possui essas trˆes ferramentas de simula¸c˜ao. O Matlab tamb´em possui a ferramenta Simulink, u ´ til para a simula¸c˜ ao do sistema de suspens˜ ao magn´etica. O controlador proporcional, utilizado para a estabilizar o sistema mostrou ser eficiente para tornar o sistema de fase m´ınima desta pr´ atica est´ avel. Entretanto, ele n˜ ao foi eficiente para estabilizar o sistema de suspens˜ ao magn´etica. Nesse caso foi utilizado um compensador de avan¸co de fase, que mostrou ser eficiente para aumentar a margem de fase do sistema e assim fazer com que a frequˆencia do cruzamento de ganho anteceda a frequˆencia de cruzamento de fase, caracter´ıstico de um sistema est´ avel. A an´ alise da margem de estabilidade a partir do diagrama de Bode mostrou ser eficiente para um ganho K conhecido. Assim, para v´arios ganhos diferentes, torna-se necess´ario utilizar v´arios diagramas de Bode para saber a situa¸c˜ ao do sistema em cada caso. J´ a o m´etodo do lugar de ra´ızes mostrou ser eficiente para saber a situa¸c˜ ao do sistema em malha fechada para todos os ganhos K. Assim, o m´etodo do lugar de ra´ızes ´e mais aplicado em situa¸c˜oes em que deseja aumentar o K para diminuir o erro de regime permanente, mas mantendo a estabilidade do sistema. O diagrama de Nyquist tamb´em mostrou ser uma ferramente eficiente na an´ alise da estabilidade de um sistema em malha fechada, conhecendo-se apenas o sistema em malha aberta. Essa pr´ atica foi muito importante para confirmar os m´etodos de an´ alise de estabilidade de um sistema em malha fechada. 23 Referˆ encias [1] V. A. Oliveira, M. L. Aguiar, and J. B. Vargas, Sistemas de Controle - Aulas de Laborat´ orio. 2005. EESC-USP, [2] T. M. W. Inc., “The student guide for matlab,” 1971. [3] D. C. H. e Benjamin Kuo, Matlab tools for control Systems Analysis and Design. Prentice Hall, 1995. [4] M. I. Ribeiro, “Analise de sistemas lineares,” 1971. [5] D. K. Z. R. B. Anand, Introduction to Control Systems. Butterworth-Heinenmann, 1995. Apendice A Programas do Matlab Nesta se¸ca˜o se encontram os c´ odigos dos programas em Matlab utilizados para a confec¸ca˜o dos gr´aficos atrav´es dos dados obtidos, ou seja, os dados experimentais e tamb´em da elabora¸ca˜o dos gr´aficos te´oricos esperados para posterior an´alise dos resultados obtidos em rela¸ca˜o aos resultados te´oricos esperados. Os programas utilizados s˜ao os que se seguem. A.1 Sistema de Fase M´ınima kmin = 2; kmax = 46.5; L = 534.7e-3; C1 = 69.7e-9; wn = 1/(sqrt(L.C1)); zeta = 0.7; R = 6.8e3; C = 22e-9; T = R.C; nummin=(kmin.wnˆ 2); nummax=(kmax.wnˆ 2); a=[T 1]; b=[1 2.zeta.wn wnˆ 2]; den=conv(a,b); gmin = tf(nummin,den); figure(1) margin (gmin); grid gmax = tf(nummax,den); figure(2) margin (gmax); grid figure(3) num = wnˆ2; g = tf(num,den); k = 2:(47-2)/100:47; rlocus(g,k) grid %Usando o contorno de Nyquist figure(4) nyquist(gmin) grid figure(5) nyquist(gmax) grid Tmin = feedback(gmin,1) Tmax = feedback(gmax,1) vomin = step(Tmin); vi=ones(size(vomin)); vomax = step(Tmax); figure(6) plot (vomin,’b’) hold plot(vi,’r’) figure(7) plot (vomax,’b’) hold plot(vi,’r’) A.2 Sistema de Fase N˜ ao M´ınima %Estabilidade de fase n˜ ao min´ıma %Definir se pode controlar s´o variando o ganho k (n˜ao ´e poss´ıvel estabilizar o sistema) m = 22.6e-3; R = 19.9; L = 520e-3; Lo = 24.9e-3; K1 = 0.77; K2 = 39.6; Ka = 2.1; C1 = -1.7361e3; num = -Ka*K1*C1; den = [L*m R*m -K2*L -K2*R]; Gma = tf(num,den); figure(1) rlocus (Gma) %Controlador de avan¸co de fase (fase n˜ ao minima) tz = 0.04; tp = 0.004; num = [tz 1]; den = [tp 1]; Gco = tf(num,den); Gav = series(Gma,Gco); figure(2) rlocus (Gav) kc1=0.4; Gav2 = kc1*Gav; figure(3) margin(Gav2) figure(4) nyquist(Gav2) kc2=1; Gav2 = kc2*Gav; figure(5) margin(Gav2) figure(6) nyquist(Gav2) B Resolu¸c˜ ao das Quest˜ oes do Livro ao est˜ ao Nesta se¸ca˜o ser˜ao discutidos algumas das quest˜ oes que o livro roteiro prop˜ oe [1]. Os pontos que n˜ listados nesta se¸ca˜o foram previamente detalhados no corpo do relat´ orio. Existem dois tipos de estabilidade, estabilidade absoluta e relativa. Quando se fala em estabilidade absoluta, apenas se classifica um sistema em est´ avel ou inst´avel. J´a a estabilidade relativa se refere a quanto devem ser alterados os parˆ ametros do sistema para que ele se torne est´ avel ou inst´avel. As margens de fase e de ganho estudadas nesta pr´atica dizem sobre a estabilidade relativa de um sistema. Em se tratando de polos da FT de um sistema, pode-se dizer que estabilidade absoluta apenas considera as posi¸co˜es dos polos no semiplano direito ou esquerdo, enquanto que a estabilidade relativa analisa o qu˜ao pr´oximo os polos est˜ ao do eixo imagin´ ario. Normalmente, os sistemas costumam operar com uma margem de estabilidade segura. Essa margem de estabilidade pode variar de um sistema para outro, contudo todas devem garantir a estabilidade de seus respectivos sistemas quando da varia¸ca˜o de seus parˆ ametros. Al´em disso, existe um compromisso entre a eficiˆencia e a estabilidade do sistema, como por exemplo o erro de regime. A partir dos diagramas de Bode analisados nesta pr´atica e dos conhecimentos adquiridos, conclui-se que em um sistema est´ avel, a frequˆencia de cruzamento de ganho ´e menor do que a frequˆencia de cruzamento de fase, com margens de ganho e de fase positivas. J´a em sistemas inst´aveis, a frequˆencia de cruzamento de fase (ωcf ) antecede a frequˆencia de cruzamento de ganho (ωcg ), com margens de ganho e de fase negativas. Entretanto, existe uma situa¸ca˜o cr´ıtica de estabilidade, em que os polos complexos conjugados da FT de um sistema de malha fechada est˜ ao exatamente sobre o eixo imagin´ario. Nesse caso, no diagrama de Bode, as frequˆencias de cruzamento de fase (ωcf ) e de ganho (ωcg ) s˜ao coincidentes, com uma consequente margem de ganho e de fase nulas conforme Figura 19. Para um circuito RLC, n˜ ao existe nenhum valor para o ganho proporcional K que fa¸ca com que o sistema em malha fechada (com realimenta¸ca˜o negativa) fique inst´avel. Isso porque para qualquer valor de K positivo que for ajustado, os polos da fun¸ca˜o de transferˆencia do sistema em malha fechada estar˜ ao localizados no semiplano esquerdo. Isso foi verificado matematicamente a partir da dedu¸ca˜o dos polos do sistema RLC em malha fechada e tamb´em simulado no Matlab com o comando rlocus conforme Figura 20. Ganho (dB) Wcg W(rad/s) Fase (º) Wcf W(rad/s) -180º Figura 19: Diagrama de bode para ωcf = ωcg . Lugar de Raízes 25 20 15 10 Eixo Imaginário 5 0 −5 −10 −15 −20 −25 −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 Eixo Real −3 −2 Figura 20: Lugar de ra´ızes de um sistema RLC. −1 0 1