Transcript
Gabarito P3-2011 - MAP2121 NÃO-oficial, NÃO revisada
RAFAEL OLIVEIRA
[email protected]
Enunciados Questão 1 (2.5 pontos) 2
2
Faça a análise harmônica da função 2π-periódica, que em [−π, π] é dada por f (x) = π π−x , até 2 o harmônico de primeira ordem. Para o cálculo das integrais envolvendo f (x) utilize o método de 4−Trapézios. Estime o erro nos valores dos coeficientes obtidos.
Questão 2 (2.5 pontos) R2
f (x)dx usando o método de n-Simpsons, onde f (x) = x5 − x4 + 2. R 2 a) Baseado na fórmula do erro determine α e β positivos tal que α ≤ 1 f (x)dx − S2 ≤ β, onde S2 é o valor obtido pelo método de 2-Simpsons. R 2 b) Qual o menor valor de n que garante 1 f (x)dx − S2 ≤ 10−3 ? Deseja-se aproximar o valor de
1
Questão 3 (2.5 pontos) a)(1.5 ponto) Calcule o polinômio de grau menor ou igual a 4 que interpola a função ex nos pontos xi = i, i = 0, . . . , 4 (use diferenças divididas). Utilize-o para estimar e0.45 , estime o erro e compare a estimativa com o valor realmente obtido. b)(1.0 ponto) Estime o erro que se obteria usando os polinômios cúbicos que se pode extrair da tabela de diferenças do item a) e estime o valor de e0.45 com o melhor deles.
Questão 4 (2.5 pontos) R1 Os polinômios 1, x, x2 − 1/3 e x3 − 3x/5 são ortogonais em relação ao produto interno −1 f (x)g(x)dx. R2 Use-os para obter os polinômios mônicos ortogonais em relação ao produto interno −2 f (x)g(x)dx. Qual o polinômio de grau menor ou igual a 2 que melhor aproxima f (x) = x3 em [−2, 2] em relação a este produto interno? (pense!)
2
Resoluções Questão 1 f (x) = 1 −
x2 → f é par! π2
Como f é par, bn = 0 1 2π
a0 = a1 = 4-Trapézios → h =
1 π
Z
π
Z
1 2π
Z
1 2π
Z
f (x)dx = −π
π
f (x) cos(x)dx = −π
π
(1 −
x2 )dx π2
(1 −
x2 ) cos(x)dx π2
−π π
−π
π 2
" # 1 X π π g(x)dx ' g(−π) + 2 g(i /2) + g(π) 4 −π i=−1
Z
π
|Erro| ≤ Para o cálculo de a0 , temos: Z
π3 max[−π,π |g”(x)| 24
π
(1 − −π
x2 )dx ' 3.927 π2
2 g(x) = f (x) → f ”(x) = 2 ⇒ |Erro| = 0.2618 π Então, o erro para o cálculo do coeficiente será de: Erroa0 = 0.0417 Para o cálculo de a1 , temos: Z
π
(1 − −π
x2 ) cos(x)dx ' 1.5708 π2
2
g(x) = f (x) cos(x) → g”(x) = −
(x + π 2 − 2) cos(x) + 4x sin(x) 2
g”(x) é par, logo, seu máximo em uma lado é o máximo no outro. Entre 0 e π, temos | cos(x)| = 1 em 0 e π e | sin(x)| = 1 em π2 . Em π2 , o primeiro termo vale 0 e o segundo, 2π. Em π, o segundo termo vale 0 e o primeiro vale 2π 2 − 2 > 2π. Logo, max[−π,π] |g”(x)| = |g”(π)| = 2 − 2/π 2 . |Erro| ≤ 2.322 ⇒ Erroa1 = 0.7391
Questão 2 S2 → h = 1/4 = 0.25
3
4 a) f (4) (x) = 5.4.3.2x + 4.3.2 max[1,2] f (4) (x) = f (4) (2) = 264 264 ⇒ −5.729 × 10−3 ≤ Erro ≤ 5.729 × 10−3 2880.24 264 264 × 103 −3 4 b) ≤ 10 ⇒ n ≥ ⇒ n ≥ 3.1 ⇒ nmín = 4 2880 × n4 2880 |Erro| ≤
Questão 3 x 0
ex 1
1
2.718
f [, ]
f [, , ]
f [, , , ] f [, , , , ]
1.718 1.477 4.671 2
7.389
0.846 4.015
12.7 3
20.09
0.363 2.298
10.91 34.51
4
54.6
ex ≈ 1.0 + 1.718x + 1.477x(x − 1.0) + 0.846x(x − 1.0)(x − 2.0) + 0.363x(x − 1.0)(x − 2.0)(x − 3.0) e0.45 ' 1.377
Questão 4 t ∈ [−1, 1], x ∈ [−2, 2] t = x/2 Substituindo em cada polinômio e deixando mônico... x2 /4 − 1/3 ⇒ x2 − 4/3 x3 /43 − 3x/10 ⇒ x3 − 19.2x Logo, os polinômios mônicos para o novo intervalo são: 1, x, x2 − 4/3, x3 − 19.2x O polinômio de grau 2 terá a forma: p2 (x) = a0 × 1 + a1 × x + a2 × (x2 − 4/3) Como x3 é ímpar, já sabemos que a0 = a2 = 0 E como os polinômios da base são ortogonais... 64/5 < x, x3 > = 16 = 2.4 < x, x > /3 Z 2 1 < x, x3 >= 2 x4 dx = 2 25 5 0 Z 2 1 < x, x >= 2 x2 dx = 2 23 3 0
5
p2 (x) = 2.4x Nota do autor: esse arquivo foi feito em LATEX, se você estiver interessado, pode pedir o arquivo .tex que envio por email.
