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LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS
2 de Dezembro de 2004, a` s 13:06
Exerc´ıcios Resolvidos de Dinˆamica Cl´assica Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de f´ısica te´orica, Doutor em F´ısica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha
Universidade Federal do Rio Grande do Sul Instituto de F´ısica Mat´eria para a QUARTA prova. Numerac¸a˜ o conforme a quarta edic¸a˜ o do livro “Fundamentos de F´ısica”, Halliday, Resnick e Walker.
Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ jgallas
Conte´udo 8
8.1.2
Conservac¸a˜ o da Energia 8.1 Problemas e Exerc´ıcios . . . . . . . . . 8.1.1 Determinac¸a˜ o da Energia Potencial . . . . . . . . . . . . . .
2 2
8.1.3 8.1.4
2
8.1.5
Usando a Curva de Energia Potencial . . . . . . . . . . . . . . Conservac¸a˜ o da Energia . . . . Trabalho Executado por Forc¸as de Atrito . . . . . . . . . . . . Massa e Energia . . . . . . . .
Coment´arios/Sugest˜oes e Erros: favor enviar para
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8 Conservac¸a˜ o da Energia 8.1
Problemas e Exerc´ıcios
8.1.1 Determinac¸a˜ o da Energia Potencial E 8-1 ( na 6 edic¸a˜ o) Uma determinada mola armazena J de energia potencial quando sofre uma compress˜ao de cm. Qual a constante da mola?
Como sabemos que a energia potencial el´astica armazenada numa mola e´ , obtemos facilmente que
! $# %'&)(*"+ N/m " "
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(J (Fig. 8-24). Qual o menor comprimento da rampa para que a velocidade do caminh˜ao chegue a zero antes do final da rampa? As rampas de escape s˜ao quase sempre cobertas com uma grossa camada de areia ou cascalho. Por quˆe? Nota: uso o valor (KI!" km/h da sexta edic¸a˜ o do livro, em vez dos (*" km/h da quarta, j´a que na quarta edic¸a˜ o n˜ao e´ fornecida nenhuma resposta.
Despreze o trabalho feito por qualquer forc¸a de fricc¸a˜ o. Neste caso a u´ nica forc¸a a realizar trabalho e´ a forc¸a da gravidade, uma forc¸a conservativa. Seja ,.- a energia cin´etica do caminh˜ao no in´ıcio da rampa de escape e ,0/ sua energia cin´etica no topo da rampa. Seja 2- e / os respectivos valores da energia potencial no in´ıcio e no topo da rampa. Ent˜ao ,0/ 3
2/6$,.- 3
1-L
Se tomarmos a energia potencial como sendo zero no in´ıcio da rampa, ent˜ao 2/MN709 O , onde O e´ a altura E 8-6 (8-3/6 ) final do caminh˜ao em relac¸a˜ o a` sua posic¸a˜ o inicial. TeUm pedacinho de gelo se desprende da borda de uma mos que ,.-P$7@> , onde > e´ a velocidade inicial do tac¸a hemisf´erica sem atrito com ! cm de raio (Fig. 8- caminh˜ao, e ,0/0Q" j´a que o caminh˜ao para. Portanto 22). Com que velocidade o gelo est´a se movendo ao 7:9 O.R7@> , donde tiramos que chegar ao fundo da tac¸a? S(*I" &T(K" + CI!U"" S >
=U!U I m O: A u´ nica forc¸a que faz trabalho sobre o pedacinho de C9 5 %5 # gelo e´ a forc¸a da gravidade, que e´ uma forc¸a conservativa. Se chamarmos de V o comprimento da rampa, ent˜ao teChamando de ,.- a energia cin´etica do pedacinho de ge- remos que V sen (J)WO , donde tiramos finalmente lo na borda da tac¸a, de ,0/ a sua energia cin´etica no que fundo da tac¸a, de 1- sua energia potencial da borda e de O U!U I 2/ sua energia potencial no fundo da tac¸a, temos ent˜ao VX "U m sen (* J sen (* J , /43 / $, -53 - Areia ou cascalho, que se comportam neste caso como Consideremos a energia potencial no fundo da tac¸a co- um “fluido”, tem mais atrito que uma pista s´olida, ajumo sendo zero. Neste caso a energia potencial no topo dando a diminuir mais a distˆancia necess´aria para parar o ve´ıculo. vale 1-687:9 ; , onde ; representa o raio da tac¸a e 7 representa a massa do pedacinho de gelo. Sabemos que ,.-<=" pois o pedacinho de gelo parte do repouso. Cha- E 8-10 ( na 6 ) mando de > a velocidade do pedacinho de gelo ao atingir o fundo, temos ent˜ao, da equac¸a˜ o da conservac¸a˜ o da Um proj´etil com uma massa de G Y kg e´ disparado para cima do alto de uma colina de ( m de altura, com energia acima que 709;?=7@> , o que nos fornece uma velocidade de (" m/s e numa direc¸a˜ o que faz um aˆ ngulo de Y(*J com a horizontal. (a) Qual a energia >'BA C9 ;D A % #!E " !F$GH( m/s cin´etica do proj´etil no momento em que e´ disparado? (b) Qual a energia potencial do proj´etil no mesmo momento? Suponha que a energia potencial e´ nula na baE 8-8 (8-13/6 ) se da colina (Z$[" ). (c) Determine a velocidade do Um caminh˜ao que perdeu os freios est´a descendo uma proj´etil no momento em que atinge o solo. Supondo que estrada em declive a (*I" km/h. Felizmente a estrada a resistˆencia do ar possa ser ignorada, as respostas acima disp˜oe de uma rampa de escape, com uma inclinac¸a˜ o de dependem da massa do proj´etil? http://www.if.ufrgs.br/ jgallas
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(a) Se 7 for a massa do proj´etil e > sua velocidade (b) Como a energia mecˆanica e´ conservada, a energia ap´os o lanc¸amento, ent˜ao sua energia cin´etica imediata- da mola comprimida deve ser a mesma que a enermente ap´os o lanc¸amento e´ gia potencial gravitacional no topo do voo. Ou seja, G*lm709 O[ Fi , onde e´ a constante da mola. ( ( Portanto, ,.-\ 7@> Y "!] S(*"! $!G "'&T(K" + J i " %Y #! (b) Se a energia potencial e´ tomada como zero quando RI" N/m " "# o proj´etil atinge o solo e sua altura inicial acima do solo for chamada de O , ent˜ao sua energia potencial inicial e´ Observe que - R7:9 O.^ _G Y E % #!] S(*!F$ %Y &)(*" + J I!" N/m n=I H(D&)(*" N/m =I5o( N/cmg (c) Imediatamente antes de atingir o solo a energia potencial e´ zero e a energia cin´etica pode ser escrita co- que e´ a resposta oferecida pelo livro-texto. mo sendo , / `7@>/ , onde > / e´ a velocidade do proj´etil. A energia mecˆanica e´ conservada durante o voo E 8-13 (8-5/6 ) do proj´etil de modo que , / R7@> / D=, -a3 - donde tiramos facilmente que Uma bola de massa 7 est´a presa a` extremidade de uma b barra de comprimento V e massa desprez´ıvel. A outra ,0- 3 2- extremidade da barra e´ articulada, de modo que a bo>/ 7 la pode descrever um c´ırculo plano vertical. A barra e´ mantida na posic¸a˜ o horizontal, como na Fig. 8-26, at´e b receber um impulso para baixo suficiente para chegar cH !G " 3 G %Y&T(K" +ed f(*% m/s ao ponto mais alto do c´ırculo com velocidade zero. (a) G Y!" Qual a variac¸a˜ o da energia potencial da bola? (b) Qual Os valores de ,.-Lgh,0/5ga 2- e / dependem todos da mas- a velocidade inicial da bola? sa do proj´etil, por´em a velocidade final >/ n˜ao depende (a) Tome o zero da energia potencial como sendo o da massa se a resistˆencia do ar puder ser considerada ponto mais baixo atingido pela bola. Como a bola est´a desprez´ıvel. inicialmente a uma distˆancia vertical V acima do ponObserve que o tal aˆ ngulo de Y(*J n˜ao foi usado para na- to mais baixo, a energia potencial inicial e´ 1-p^7:9GV , da! Talvez seja por isto que este exerc´ıcio j´a n˜ao mais sendo a energia potencial final dada por 2/qR7:9 _Vp . aparec¸a nas edic¸o˜ es subsequentes do livro... A variac¸a˜ o da energia potencial e´ , portanto, r E 8-12 (8-17/6 ) Uma bola de gude de g e´ disparada verticalmente para cima por uma espingarda de mola. A mola deve ser comprimida de # cm para que a bola de gude apenas alcance um alvo situado a " m de distˆancia. (a) Qual a variac¸a˜ o da energia potencial gravitacional da bola de gude durante a subida? (b) Qual a constante da mola?
(a) Neste problema a energia potencial possui dois termos: energia potencial el´astica da mola e energia potencial gravitacional. Considere o zero da energia potencial gravitacional como sendo a posic¸a˜ o da bola de gude quando a mola est´a comprimida. Ent˜ao, a energia potencial gravitacional da bola de gude quando ela est´a no topo da o´ rbita (i.e. no ponto mais alto) e´ Fij=7:9GO , onde O e´ a altura do ponto mais elevado. Tal altura e´ O0" 3 " "#6"5 "!# m. Portanto 1i?B '&T(K"Gk + E % #!] "5 "!#!1R"5 %Y!# J http://www.if.ufrgs.br/ jgallas
s 2/?tu 1-P=C7:9GV)tT7:9Vu=709GVv
(b) A energia cin´etica final e´ zero. Chamemos de ,0-lw7@> a energia cin´etica inicial, onde > e´ a velocidade inicial procurada. A barra n˜ao faz trabalho algum e a forc¸a da gravidade e´ conservativa, de modo que ar energia mecˆ r anica e´ conservada. Isto significa que ,xyt ou, em outras palavras, que tz7@>*Dftz709GV de modo que temos >
A C9Vv
P 8-16 (8-19/6 ) Um bloco de kg e´ encostado numa mola num plano inclinado sem atrito e com uma inclinac¸a˜ o de I" J graus. A mola em quest˜ao, cuja constante vale (*% U N/cm, e´ comprimida " cm sendo depois liberada. A que distˆancia ao longo do plano inclinado e´ arremessado o bloco? P´agina 3 de 12
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Quando o bloco e´ liberado, toda energia potencial (pois e´ perpendicular a` direc¸a˜ o do movimento), de moel´astica armazenada na mola transforma-se em energia do que a energia mecˆanica e´ conservada. Isto significa potencial gravitacional, que e´ usada para levantar o cor- que 7: 9 O0= , donde tiramos que po verticalmente de uma altura O . A conservac¸a˜ o de L( I!'&T(K" E " "!! energia nos diz que { O0 $" H(Y m C7:9 L(*!E %5 # G R709 O| Se o bloco viajasse uma distˆancia } pelo plano inclinado abaixo, ent˜ao } sen I" JO , de modo que Portanto, O:
709
S(K%5 U &T(K"!]E " L ] !E %5 #
}4
O sen I" J
" o(CY 5 =" I! m sen I" J
(b) Imediatamente antes de tocar a mola o bloco dista "5 " m do ponto onde ir´a estar em repouso, e as sim est´a a uma distˆancia vertical de " "!! sen I!"!J6 "5 " ! m acima da sua posic¸a˜ o final. A energia poChamando de } a distˆancia percorrida ao longo do pla- tencial e´ ent˜ao 7:9GOj
L(*] %5 # E "5 " !.NI I J. no, temos que O~s} sen I" J , donde tiramos a resposta Por outro lado, sua energia potencial inicial e´ 7:9GOR procurada: L(*!E %5 # E " H(Yv"5 J. A diferenc¸a entre este dois valores fornece sua energia cin´etica final: ,:/=" zt O I5 I?^(G J. Sua velocidade final e´ , portanto, }v Y m (C sen I!" J b b ,0/ 5 S(G ! >' f(! m/s 7 ( S(K"!K] Y ] S(*" k * $ m
P 8-17 (8-21/6 ) Uma mola pode ser comprimida cm por uma forc¸a de !" N. Um bloco de ( kg de massa e´ liberado a partir do repouso do alto de um plano inclinado sem atrito cuja inclinac¸a˜ o e´ I"!J . (Fig. 8-30). O bloco comprime a mola G cm antes de parar. (a) Qual a distˆancia total percorrida pelo bloco at´e parar? (b) Qual a velocidade do bloco no momento em que se choca com a mola?
A informac¸a˜ o dada na primeira frase nos permite calcular a constante da mola:
P 8-18 ( na 6 )
Um proj´etil de " e´ lanc¸ado da borda de um penhasco com uma energia cin´etica inicial de (" J e, no ponto mais alto da trajet´oria, est´a a (KY!" m acima do ponto de lanc¸amento. (a) Qual a componente horizontal da velocidade do proj´etil? (b) Qual a componente vertical da velocidade do proj´etil no momento do disparo? (c) Em um certo instante, a componente vertical da velocidade do proj´etil e´ U! m/s. Neste momento, a que altura ele se encontra acima ou abaixo do ponto de lanc¸amento? !C"
f( I!q&T(K" N/m (a) A energia cin´etica inicial do proj´etil e´ ,0-M "5 " 7@>- , e a energia potencial gravitacional e´ tomada co(a) Considere agora o bloco deslizando para baixo. Se mo sendo zero. No topo da trajet´oria a velocidade do ele parte do repouso a uma altura O acima do ponto proj´etil apenas possui a componente horizontal da veloonde ele para momentaneamente, sua energia cin´etica cidade, que chamamos { de{ > . Portanto e´ zero e sua energia potencial gravitacional inicial e´ 7:9GO , onde 7 e´ a massa do bloco. Tomamos o zero 7@> - 7@> 3 7:9Z max g da energia potencial gravitacional como sendo o ponto onde o bloco para. Tomamos tamb´em a energia poten- donde tiramos que cial inicial armazenada na mola como sendo zero. Su> > - tX9Z max ponha que o bloco comprima a mola uma distˆancia b antes de parar momentaneamente. Neste caso a ener,.gia cin´etica final e´ zero, a energia potencial gravitacio tX9Z max 7 nal final e´ zero, e a energia potencial final da mola e´ b . O plano inclinado n˜ao tem atrito e a forc¸a nor _] S(*!" tX % #!] S(]Y "!1=Y m/s mal que ele exerce sobre o bloco n˜ao efetua trabalho "5 ! http://www.if.ufrgs.br/ jgallas
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(b) Quando a bola se move com uma velocidade > a uma distˆancia OT^I m abaixo da janela, sua energia potencial e´ menor que o seu valor inicial, a diferenc¸a sendo { igual a tz7:9GO . Conservac ¸{ a˜ o da energia ent˜ao fornece
(b) A componete vertical e´ dada por >
> - tT> b
,.tT> 7
b
] S(" tYq= m/s "
(c) No tal instante a energia { cin´etica , { ,
7@>
{ 7Nc > t)> d
do proj´etil e´
" ! Y 3
U e
(K%!UY J
7:>
7@> tT7:9GO\g
donde obtemos >'B > 3 9 O.
A # 3
!E % #!E I!1^(( m/s
(c) e (d) Da express˜ao para > acima, fica bem claro que > n˜ao depende nem da massa da bola nem do aˆ ngulo inicial. P 8-20 ( na 6 )
A mola de uma espingarda de mola tem uma constanChamemos de o deslocamento vertical desde o ponto te de ( N/cm. Quando a espingarda faz um aˆ ngulo de ` uma bala de " g I!" J para cima em relac¸a˜ o horizontal, inicial at´e o instante em quest˜ao. Ent˜ao, { e´ disparada e atinge uma altura de m acima do cano da espingarda. (a) Qual a velocidade da bala ao deixar -< 7@> - =, 3 R, 3 709G5g o cano? (b) De quanto a mola estava comprimida no momento do disparo? o que nos fornece {
(a) Chamando-se de >C o m´odulo da velocidade ini( cial da bala de massa 7 , temos que a componente ho 7:> - t, 7:96 rizontal da velocidade e´ > 8>C<E!5I" J . No topo da ( trajet´oria, a bala tem apenas velocidade horizontal. Por("t(K%!UY "5 !] % #!| { { energia mecˆanica nos diz que tanto, a conservac ¸a˜ o da tCU5 # m 7:> { 7@> 3 709Z max J Portanto o ponto em quest˜ao encontra-se ABAIXO da 7 > E!5I" J 3 709Z max posic¸a˜ o inicial de lanc¸amento. o que nos fornece b P 8-19 ( na 6 ) 9Z max > (ztE! I" J Uma bola de " g e´ arremessada de uma janela com uma
velocidade inicial de # m/s e um aˆ ngulo de I" J para ciA !E % #!E _ ma em relac¸a˜ o a` horizontal. Determine (a) a energia =Y¡ % #6f(G m/s cin´etica da bola no ponto mais alto da trajet´oria e (b) a sen I!" J sua velocidade quando se encontra a I m abaixo da ja(b) A mola estava comprimida de tal que, pela nela. A resposta do item (b) depende (c) da massa da { { conservac¸a˜ o da energia, tenhamos bola ou (d) do aˆ ngulo de arremesso?
G 7@> g (a) No topo da trajet´oria, a componente vertical da velocidade da bola e´ zero enquanto que sua componente donde obtemos horizontal continua sendo > s>C\E I" J , onde >C e´ o b b m´odulo da velocidade da bola. A energia cin´etica , da 7 "5 " " @> f L(*G R"5 # m bola de{ massa 7 { e´ , portanto, (K"!" ,
7>
_" &T(K" k +]' # E E!I" J f( J
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P 8-21 ( na 6 ) P´agina 5 de 12
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Uma bala de morteiro de kg e´ disparada para cima com uma velocidade inicial de (*"" m/s e um aˆ ngulo de IYJ em relac¸a˜ o a` horizontal. (a) Qual a energia cin´etica da bala no momento do disparo? (b) Qual e´ a variac¸a˜ o na energia potencial da bala at´e o momento em que atinge o ponto mais alto da trajet´oria? (c) Qual a altura atingida pela bala?
(a) Seja 7 a massa da bala e > sua velocidade inicial. A energia cin´etica inicial e´ ent˜ao
Qual e´ a velocidade da bola (a) quando est´a passando pelo ponto mais baixo da trajet´oria e (b) quando chega ao ponto mais alto da trajet´oria depois que a corda toca o pino?
Chame de ¥ o ponto mais baixo que a bola atinge e de ¦ o ponto mais alto da trajet´oria ap´os a bola tocar no pino. Escolha um sistemas de coordenada com o eixo Z originando-se no ponto ¥ e apontando para cima. A energia inicial da bola de massa 7 no campo gravitacional da Terra antes de ser solta vale 7:9GV . ( ( Conservac ¸a˜ o da energia fornece-nos ent˜ao uma equac¸a˜ o ,.-\ 7:> !E S(*"" $ q&(K" J para a velocidade > da bola em qualquer lugar especifi(b) Tome o zero da energia potencial gravitacional como cado pela coordenada Z : sendo o ponto de tiro e chame de / a energia potencial ( =709GVu 7:> 3 7:9Z no topo da trajet´oria. / coincide ent˜ao com a variac¸a˜ o { da energia potencial deste o instante do tiro at´e o instante em que o topo da trajet´oria e´ alcanc¸ada. Neste ponto (a) Com Z§ls" em 709GVM 7:>§ 3 7:9 Z§ , obtemos a velocidade da bala e´ horizontal e tem o mesmo valor facilmente que que tinha no in´ıcio: > s>C\]!G¢ , onde ¢ e´ o aˆ ngulo > § A 9GV A ] %5 # E S(! !1RY # m/s de tiro. A energia cin´etica no topo e´ (
,0/
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Como a energia mecˆanica e´ conservada (
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Portanto (
2/
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7@> S(ztE! ¢
(
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# &)(*" + J
(b) Importante aqui e´ perceber que o tal ponto mais alto da trajet´oria depois que a corda toca o pino n˜ao e´ o ponto V t' (como a figura parece querer indicar) mas sim o ponto Z¨l$ V@t@ , pois a bola tem energia suficiente { para chegar at´e ele! E´ neste detalhezito que mora o perigo... :-) Substituindo Z¨ em 7:9Vl 7:>¨ 3 7:9 Z!¨ , obtemos ent˜ao facilmente que > ¨
A 9© DtTVpª
A % #!Ec " «!|tM( d Y m/s
Qual a raz˜ao deste u´ ltimo valor ser a metade do anterior?... P 8-25 (8-25/6 )
(c) A energia potencial no topo da trajet´oria e´ tamb´em Deixa-se cair um bloco de kg de uma altura de Y!" cm dada por /£7:9GO , onde O e´ a altura (desn´ıvel) do sobre uma mola cuja constante e´ f(*%U" N/m (Fig. 8topo em relac¸a˜ o ao ponto de tiro. Resolvendo para O , 32). Determine a compress˜ao m´axima da mola.
encontramos: Seja 7 a massa do bloco, O a altura da queda e a compress˜ ao da mola. Tome o zero da energia potencial / G # &T(K" + O0 ^(KU!" m como sendo a posic¸a˜ o inicial do bloco. O bloco cai uma 7:9 _] % #! distˆancia O 3 e sua energia potencial gravitacional final e´ tz709© O 3 . Valores positivos de indicam ter havido compress˜ao da mola. A energia potencial da mola P 8-23 (8-23/6 ) e´ inicialmente zero e C no final. A energia cin´etica A corda da Fig. 8-31 tem VMQ(*" cm de comprimento e´ zero tanto no in´ıcio quanto no fim. Como a energia e´ e a distˆancia at´e o pino fixo ¤ e´ de cm. Quando conservada, temos a bola e´ liberada em repouso na posic¸a˜ o indicada na fi( "6^tz709© ¬ 3 3 gura, descreve a trajet´oria indicada pela linha tracejada. http://www.if.ufrgs.br/ jgallas
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As soluc¸o˜ es desta equac¸a˜ o quadr´atica s˜ao
7:9?
A 709 3 C7:9GO
(*% Uz A
S(K%5 U 3 L(K% U!] _#Y (K%!U"
que fornece dois valores para : "5o(*" m ou tv" "#!" m. Como procuramos uma compress˜ao, o valor desejado e´ " H(K" m. P 8-27 (8-27/6 ) Duas crianc¸as est˜ao competindo para ver quem consegue acertar numa pequena caixa com uma bola de gule disparada por uma espigarda de mola colocada sobre uma mesa. A distˆancia horizontal entre a borda da mesa e a caixa e´ de m (Fig. 8-34). Jo˜ao comprime a mola (H( cm e a bola cai ! cm antes do alvo. De quando deve Maria comprimir a mola para acertar na caixa?
A distˆancia que a bola de gude viaja e´ determinada pela sua velocidade inicial, que e´ determinada pela compress˜ao da mola. Seja O a altura da mesa e a distˆancia horizontal at´e o ponto onde a bola de gude aterrisa. Ent˜ao m> *® e Om9 ® K , onde >C e´ a velocidade inicial da bola de gude e ® e´ o tempo que ela permanece no ar. A segunda equac¸a˜ o fornece ®
A !O9
de modo que
@ A O *9
{
{ { ent˜ao > ° ±} *} S> . Combinando isto com o resul { { tado anterior encontramos } [ } . Tomando agora ² " tM"5 )[( %I m, } [(H(K" cm, e $ m, encontramos a compress˜ao } desejada: " m S(!o(*" cmf( cm } (! %!I m
P 8-31 (8-26/6 ) Tarzan, que pesa U!## N, decide usar um cip´o de (K# m de comprimento para atravessar um abismo (Fig. 8-36). Do ponto de partida at´e o ponto mais baixo da trajet´oria, desce I5 m. O cip´o e´ capaz de resitir a uma forc¸a m´axima de %!" N. Tarzan consegue chegar ao outro lado?
Chamando de 7 a massa do Tarzan e de > a sua velocidade no ponto mais baixo temos que (
7@> 7:9GO\g
onde O e´ a altura que Tarzan desce. Desta express˜ao tiramos que > =C9GO. I 9'$U Y9 Por outro lado, no ponto mais baixo temos, da segunda lei de Newton, que a forc¸a centr´ıpeta est´a relacionada com a tens˜ao no cip´o atrav´es da equac¸a˜ o 7
> ³W=´£tT709 g
A distˆancia at´e o ponto de aterrisagem e´ diretamente ³ { { proporcional a` velocidade inicial pois Q[>C ® . Seja onde e´ o raio da trajet´oria. Portanto, temos que >C a velocidade inicial do primeiro tiro e a distˆancia > U5 Y!709 horizontal at´e seu ponto de aterrisagem; seja >C a velo³ ´RR 709 3 7 ³ 7:9 3 cidade inicial do segundo tiro e a distˆancia horizontal U5 Y at´e seu ponto de aterrisagem. Ent˜ao U#!# ( 3 { (K# { > > %I G U N Quando a mola e´ comprimida a energia potencial e´ Como ´`µ% " N, vemos que Tarzan consegue atra }]C¯ , onde } e´ a compress˜ao. Quando a bola de gude vessar, por´em estirando o cip´o muito perto do limite perde contato da mola a energia potencial e´ zero e sua m´aximo que ele ag¨uenta! energia cin´etica e´ 7@> . Como a energia mecˆanica e´ conservada, temos P 8-32 (8-29/6 ) ( ( 7@> } g Na Fig. 8-31 mostre que se a bola fizer uma volta com pleta em torno do pino, ent˜ao $¶mI!Vp . (Sugest˜ao: de modo que a velocidade inicial da bola de gude e´ dire- A bola ainda deve estar se movendo quando chegar ao { tamente proporcional a` compress˜ao original da mola. Se ponto mais alto da trajet´oria. Vocˆe saberia explicar por } for a compress˜ao do primeiro tiro e } a do segundo, quˆe?) http://www.if.ufrgs.br/ jgallas
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Antes de mais nada, este problema e´ uma continuac¸a˜ o t6 7»Vº¼9 Z6!Z . A energia potencial total e´ do problema 8-23. Releia-o antes de continuar. 7 ( 7 V Use conservac¸a˜ o da energia. A energia mecˆanica deve sft 9v½u¾5¿ ZG!Z t 9 ser a mesma no topo da oscilac¸a˜ o quanto o era no in´ıcio V V Y do movimento. A segunda lei de Newton fornece a ve( t 709GVv locidade (energia cin´etica) no topo. No topo a tens˜ao I! ´ na corda e a forc¸a da gravidade apontam ambas para baixo, em direc¸a˜ o ao centro do c´ırculo. Note que o raio O trabalho necess´ario para puxar a corrente para cima da mesa e´ , portanto, t =7:9VCI! . do c´ırculo e´ ;D$VTtT , de modo que temos ´ 3 7:9 R7
> g VtT
onde > e´ a velocidade e 7 e´ a massa da bola. Quando a bola passa pelo ponto mais alto (com a menor velocidade poss´ıvel) a tens˜ao e´ zero. Portanto, 7:9M 7@> G V)t e temos que >' A 9© Vt . Tome o zero da energia potencial gravitacional como sendo no ponto mais baixo da oscilac¸a˜ o. Ent˜ao a energia potencial inicial e´ 7:9V . A energia cin´etica inicial e´ " pois a bola parte do repouso. A energia potencial final, no topo da oscilac¸a˜ o, e´ 7:9G5 Vt e a energia cin´etica final e´ 7@>*6=7:9 Vth . O princ´ıpio da conservac¸a˜ o da energia fornece-nos 709GVuR7:9G5 VTt 3
(
7:9 VtTe
Desta express˜ao obtemos sem problemas que q
+· Vv
P 8-37¸ (8-35¸ /6 ) Um menino est´a sentado no alto de um monte hemisf´erico de gelo (iglu!) (Fig. 8-39). Ele recebe um pequen´ıssimo empurr˜ao e comec¸a a escorregar para baixo. Mostre que, se o atrito com o gelo puder ser desprezado, ele ³ perde o contato com o gelo num ponto cuja altura e´ I . (Sugest˜ao: A forc¸a normal desaparece no momento em que o menino perde o contato como o gelo.)
Chame de À a forc¸a normal exercida pelo gelo no menino e desenhe o diagrama de forc¸as que atuam no menino. Chamando de ¢ o aˆ ngulo entre a vertical e o raio que passa pela posic¸a˜ o do menino temos que a forc¸a que aponta radialmente para dentro e´ 7:9p]!G¢2tÀ que, de acordo com a segunda ³ lei de Newton, deve ser igual a forc¸a centr´ıpeta 7@>* , onde > e´ a velocidade do menino. No ponto em que o menino se desprende do gelo temos ÀmR" , de modo que
> Se for maior do que I!Vp , de modo que o ponto mais 9E G¢ ³= alto da trajet´oria fica mais abaixo, ent˜ao a velocidade da bola e´ maior ao alcanc¸ar tal ponto e pode ultrapassa-lo. Precisamos agora determinar a velocidade > . Tomando Se for menor a bola n˜ao pode dar a volta. Portanto o a energia potencial como zero quando o menino est´a no valor IV e´ um limite mais baixo. topo do iglu, teremos para ¢! a express˜ao ³ ¢ ftz7:9 L(tT]!G¢!E P 8-35¸ (8-33¸ /6 ) Uma corrente e´ mantida sobre uma mesa sem atrito com um quarto de seu comprimento pendurado para fora da mesa, como na Fig. 8-37. Se a corrente tem um comprimento V e uma massa 7 , qual o trabalho necess´ario para pux´a-la totalmente para cima da mesa?
O trabalho necess´ario e´ igual a` variac¸a˜ o da energia potencial gravitacional a medida que a corrente e´ puxada para cima da mesa. Considere a energia potencial como sendo zero quando toda a corrente estiver sobre a mesa. Divida a parte pendurada da corrente num n´umero grande de segmentos infinitesimais, cada um com comprimento Z . A massa de um tal segmento e´ _¹=CVºLZ e a energia potencial do segmento a uma distˆancia Z abaixo do topo da mesa e´ G [ http://www.if.ufrgs.br/ jgallas
O menino inicia seu movimeno do repouso e sua energia cin´etica na hora que se desprende vale 7:>* . Portanto, a conservac¸a˜ o da energia nos fornece " 7:>Cjt ³ 7:9 L(tT]!G¢! , ou seja, ³ > 9 S(tT]!G¢ e Substituindo este resultado na express˜ao acima, obtida da forc¸a centr´ıpeta, temos 9ºE G¢$C9 L(tT]!G¢!Eg ou, em outras palavras, que E G¢ I
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A altura do menino acima do plano horizontal quando 8.1.3 Conservac¸a˜ o da Energia se desprende e´ 8.1.4 Trabalho Executado por Forc¸as de Atrito ³ ³ ]!G¢ I 8.1.2 Usando a Curva de Energia Potencial
E 8-45 (8-48/6 )
Aproximadamente :&M(K" Á kg de a´ gua caem por segundo nas cataratas de Ni´agara a partir de uma altura de P 8-39 (8-37/6 ) " m. (a) Qual a energia potencial perdida por segunA energia potencial de uma mol´ecula diatˆomica (H ou do pela a´ gua que cai? (b) Qual seria a potˆencia gerada O , por exemplo) e´ dada por por uma usina hidrel´etrica se toda a energia potencial { ¥ ¦ da a´ gua fosse convertida em energia el´etrica? (c) Se a t companhia de energia el´etrica vendesse essa energia pe; ;CÁ onde ; e´ a distˆancia entre os a´ tomos que formam a lo prec¸o industrial de ( centavo de d´olar por quilowattmol´ecula e ¥ e ¦ s˜ao constantes positivas. Esta energia hora, qual seria a sua receita anual? potencial se deve a` forc¸a que mant´em os a´ tomos unidos.
(a) O decr´escimo na energia potencial gravitacional (a) Calcule a distˆancia de equil´ıbrio, isto e´ , a distˆancia por segundo e´ entre os a´ tomos para a qual a forc¸a a que est˜ao submetidos e´ zero. Verifique se a forc¸a e´ repulsiva (os a´ tomos G '&T(K" Á E %5 # E _"!2$G«q&)(*"Å J tendem a se separar) ou atrativa (os a´ tomos tendem a se aproximar) se a distˆancia entre eles e´ (b) menor e (c) (b) A potˆencia seria maior do que a distˆancia de equil´ıbrio.
(a) A forc¸a e´ radial (ao longo a line que une os ¤f^ _G«q&)(*" Å JE L( s= q&T(K" Å W a´ tomos) e e´ dada pela derivada de em relac¸a˜ o a ; : { G (*¥ U!¦ (c) Como a energia total gerada em um ano e´ ft t ; ; + ;Â { $¤ ® q&T(K" Á kWE L( ano] #CU" h/ano A separac¸a˜ o ; de equil´ıbrio e´ a separac¸a˜ o para a qual G Y&)(*" kWÃ hg temos ; =" , ou seja, para a qual (¥MtTU!¦6; Á $" o custo anual seria { Portanto a separac¸a˜ o de { equil´ıbrio e´ dada{ por _G Y&)(*" E " " (*2$G Y&)(*" Ä d´olaresg ¥ ¥ Á Á ; ¿ f(!o( ¿ ¦ ¦ ou seja, Y!" milh˜oes de d´olares. (b) A derivada da forc¸a em relac¸a˜ o a ; , computada na separac¸a˜ o de equil´ıbrio vale { (Ã(KI!¥ Y¦ E 8-50 ( na 6 ) t 3 !; ; ;C Ä { Um menino de ( kg sobe, com velocidade constante, L(*U¥Mt)Y¦; Á J por uma corda de U m em (*" s. (a) Qual o aumento da t ; { energia potencial gravitacional do menino? (b) Qual a ¥ potˆencia desenvolvida pelo menino durante a subida? t g
; (a) onde usamos o fato que, do item anterior, sabemos que r R7:9 O.^ _G(*] %5 # E U 1=I5 " &T(K"!+ J ; Á
¥?C¦ . A derivada e´ negativa, de modo que a forc¸a e´ positiva se ; for um pouco menor que ; , indicando uma forc¸a de repuls˜ao. (b) (c) Se ; for um pouco maior que ; a forc¸a e´ negativa, r I"!"" indicando que a forc¸a e´ de atrac¸a˜ o. ¤s RI!"" W ® (*" http://www.if.ufrgs.br/ jgallas
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E 8-51 ( na 6 )
P 8-66 (8-51/6 ) Uma mulher de kg sobe correndo um lance de escada de Y5 m de altura em I5 s. Qual a potˆencia desenvol- Um bloco de I kg e´ empurrado a partir do repouso por uma mola comprimida cuja constante de mola e´ UY " vida pela mulher?
N/m (Fig. 8-45). Depois que a mola se encontra totalmente relaxada, o bloco viaja por uma superf´ıcie hori !E % #!] Y5 zontal com um coeficiente de atrito dinˆamico de "5 ! , ¤s $U%!I W I percorrendo uma distˆancia de # m antes de parar. (a) Qual a energia mecˆanica dissipada pela forc¸a de atrito? (b) Qual a energia cin´etica m´axima possu´ıda pelo bloE 8-55 ( na 6 ) co? (c) De quanto foi comprimida a mola antes que o Um nadador se desloca na a´ gua com uma velocidade bloco fosse liberado? m´edia de " m/s. A forc¸a m´edia de arrasto que se op˜oe
(a) A magnitude da forc¸a de fricc¸a˜ o e´ É@RÊ\ËCÀ , onde a esse movimento e´ de ((K" N. Qual a potˆencia m´edia deÊ\Ë e´ o coeficiente de atrito dinˆamico e À e´ a forc¸a norsenvolvida pelo nadador? mal da superf´ıcie sobre o bloco. As u´ nicas forc¸as verti
Para nada com velocidade constante o nadador tem cais atuantes no bloco s˜ao a forc¸a normal, para cima, e que nadar contra a a´ gua com uma forc¸a de (!(K" N. Em a forc¸a da gravidade, para baixo. Como a componente relac¸a˜ o a ele, a a´ gua passa a "5 ! m/s no sentido dos vertical da acelerac¸a˜ o do bloco e´ zero, a segunda lei de seus p´es, no mesmo sentido que sua forc¸a. Sua potˆencia Newton nos diz que ÀmR709 , onde 7 e´ a massa do bloe´ co. Portantor É~Ê Ë 7:9 . A energia mecˆanica dissipada e´ dada por ÌÉ}ÍÎÊ Ë 709 } , onde } e´ a distˆancia ¤fRÆMÃEÇ) ^ L((K" E " FCY W que o bloco anda antes de parar. Seu valor e´ 6È r B "5 !E I ] % #!] _G # P$UU5 #!# J E 8-64 (8-43/6 ) Um urso de kg escorrega para baixo num troco de a´ rvore a partir do repouso. O tronco tem ( m de altura e a velocidade do urso ao chegar ao ch˜ao e´ de G U m/s. (a) Qual a variac¸a˜ o da energia potencial do urso? (b) Qual a energia cin´etica do urso no momento em que chega ao ch˜ao? (c) Qual a forc¸a m´edia de atrito que agiu sobre o urso durante a descida?
(a) Considere a energia potencial gravitacional inicial como sendo 1-^" . Ent˜ao a energia potencial gravitacional final e´ / ftz7:9GV , onde V e´ o comprimento da a´ rvore. A variac¸a˜ o e´ , portanto, 2/?tu 1-\^tz709GV
t6 _] %5 # E S(
t4 %Y'&T(K" + J
(b) O bloco tem sua energia cin´etica m´axima quando perde contato com a mola e entra na parte da superf´ıcie onde a fricc¸a˜ o atua. A energia cin´etica m´axima e´ igual a` energia mecˆanica dissipada pela fricc¸a˜ o: UU5 #!# J. (c) A energia que aparece como energia cin´etica estava ariginalmente armazenada como energia r potencial el´astica, da mola comprimida. Portanto * , onde e´ a constante da mola e e´ a compress˜ao. Logo, b b r 5 U!U ##! @ $" Y ! m n=Y!U cm UY!"
P 8-69 (8-55/6 )
Dois montes nevados tˆem altitudes de # " m e " m em relac¸a˜ o ao vale que os separa (Fig. 8-47). Uma pis( ( ta de esqui vai do alto do monte maior at´e o alto do , 7:> !E _G U! =I% J monte menor, passando pelo vale. O comprimento to(c) De acordo com a Eq. 8-26, a variac¸a˜ o da energia tal da pista e´ I km e a inclinac¸a˜ o m´edia e´ I"!J . (a) mecˆanica e´ igual a t4É V , onde É e´ a forc¸a de atrito Um esquiador parte do repouso no alto do monte maior. m´edia. Portanto Com que velovidade chegar´a ao alto do monte menor r r sem se impulsionar com os bast˜oes? Ignore o atrito. (b) , 3 I% t%Y!" É@ft t G(K" N Qual deve ser aproximadamente o coeficiente de atrito V (* (b) A energia cin´etica e´
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dinˆamico entre a neve e os esquis para que o esquiador pare exatamente no alto do pico menor?
(a) Tome o zero da energia potencial gravitacional como estando no vale entre os dois picos. Ent˜ao a energia potencial e´ - 7:9 O - , onde 7 e´ a massa do esquiador e O - e´ a altura do pico mais alto. A energia potencial final e´ / ^7:9 O / , onde O / e´ a altura do pico menor. Inicialmente o esquiador tem energia cin´etica , - " . Escrevamos a energia cin´etica final como , / 7@> , onde > e´ a velocidade do esquiador no topo do pico menor. A forc¸a normal da superf´ıcie dos montes sobre o esquiador n˜ao faz trabalho (pois e´ perpendicular ao movimento) e o atrito e´ desprez´ıvel, de modo que a energia mecˆanica e´ conservada: 2- 3 ,0-1° 2/ 3 ,0/ , ou seja, 7:9GO-\R7:9 O/ 3 7@> , donde tiramos >'
C9 _O5- tXO/!
m A 5 %5 # E # "jtu" 1YY s
(b) Como sabemos do estudo de objetos que deslizam em planos inclinados, a forc¸a normal da superf´ıcie inclinada dos montes no esquiador e´ dada por À 7:9lE! ¢ , onde ¢ e´ o aˆ ngulo da superf´ıcie inclinada em relac¸a˜ o a` horizontal, I" J para cada uma das superf´ıcies em quest˜ao. A magnitude da forc¸a de atrito e´ dada por É~Ê\ËCÀNÊ\Ë*7:9M]!G¢ . A energia mecˆanica dissipada pela forc¸a de atrito e´ É}jsÊ\Ë7:9!}~]!G¢ , onde } e´ o comprimento total do trajeto. Como o esquiador atinge o topo do monte mais baixo sem energia cin´etica, a energia mecˆanica dissipada pelo atrito e´ igual a` diferenc¸a de energia potencial entre os pontos inicial e final da trajet´oria. Ou seja, Ê\Ë*7:9 }:E G¢q7:9 _O - tO / Eg donde tiramos Ê Ë : Ê Ë
O-©tO/ }@]!G¢ #!"tu" $" "IU5 I5 '&T(K" + 'E 'I!" J
P 8-74 ( na 6 )
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l²( " . Em seguida, a part´ıcula e´ liberada sem velocidade inicial. Calcule sua velocidade no instante em que a distens˜ao da mola diminuiu para w"5 m. (c) A forc¸a exercida pela mola e´ conservativa ou n˜aoconservativa? Explique sua resposta.
(a) Para distender a mola aplica-se uma forc¸a, igual em magnitude a` forc¸a da mola por´em no sentido oposto. Como a uma distens˜ao no sentido positivo de exerce uma forc¸a no sentido negativo de , a forc¸a aplicada tem que ser BG # 3 I# Y , no sentido positivo de . Ð O trabalho que ela {erealiza e´ Ï
½
Ð
!G # 3 I#5 Y! e{ Ð L · Ð I5 # Y !G # 3 + · = I5( " J I
(b) A mola faz I ( J de trabalho e este deve ser o aumento da energia cin´etica da part´ıcula. Sua velocidade e´ ent˜ao b b , 5 I5( "! >' = I m/s 7 GH( { (c) A forc¸a e´ conservativa pois o trabalho que ela faz { quando a part´ıcula vai de um ponto para outro pon{ to depende apenas de e , n˜ao dos detalhes do movimento entre e . P 8-79 (8-61/6 ) Uma pedra de peso Ñ e´ jogada verticalmente para cima com velocidade inicial >C . Se uma forc¸a constante É devido a` resistˆencia do ar age sobre a pedra durante todo o percurso, (a) mostre que a altura m´axima atingida pela pedra e´ dada por O0
> C9 L( 3 | É CÑ
(b) Mostre que a velocidade da pedra ao chegar ao solo e´ dada por { > R>C
Ñ=tXÉ Ñ 3 É
¿
Uma determinada mola n˜ao obedece a` lei de Hooke. A forc¸a (em newtons) que ela exerce quando distendida de uma distˆancia (em metros) e´ de G # 3 I!# Y , (a) Seja O a altura m´axima alcanc¸ada. A energia no sentido oposto ao da distens˜ao. (a) Calcule o traba- mecˆanica dissipada no ar quando a pedra sobe at´e a altur lho necess´ario para distender a mola de u"5 m at´e ra O e´ , de acordo com a Eq. 8-26, ^t4É©O . Sabemos ^`(! " m. (b) Com uma das extremidades da mola que mantida fixa, uma part´ıcula de GH( kg e´ presa a` our tra extremidade e a mola e´ distendida de uma distˆancia B ,0/ 3 2/ Pt ,.- 3 1-eg http://www.if.ufrgs.br/ jgallas
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onde ,.- e ,0/ s˜ao as energias cin´eticas inicial e final, e 1- e 2/ s˜ao as energias poetenciais inicial e final. Escolha a energia como sendo zero no ponto de lanc¸amento da pedra. A energia cin´etica inicial e´ ,.-Ò7@> , a energia potencial inicial e´ - " , a energia cin´etica final e´ , / 8" e a energia potencial final e´ / ÎÑO . Portanto t4É©O:ÑO.t)7@> , donde tiramos J 7@> Ñv> > O0 g Ñ 3 É© 9© Ñ 3 É© C9 L( 3 É|Ñj
8.1.5 Massa e Energia E 8-92 ( na 6 )
(a) Qual a energia em Joules equivalente a uma massa de (*"! g? (b) Durante quantos anos esta energia atenderia a` s necessidades de uma fam´ılia que consome em m´edia ( kW?
(a) Usamos a f´ormula R7ÍÔE : { onde substituimos 7 por Ñ?*9 e dividimos numerador e denominador por Ñ . · J f " H(K"!!E _G %%#q&T(K" Ä =% H(&)(*" (b) Note que a forc¸a do ar e´ para baixo quando a pedra sobe e para cima quando ela desce. Ela e´ sempre (b) Usamos agora R¤ ® , onde ¤ e´ a taxa de consumo oposta ao sentido da velocidade. A energia dissipada r Ót4!É©O . A ener- de energia e ® e´ o tempo. Portanto,{ durante o trajeto no ar todo e´ · gia cin´etica final e´ , / B7@> C , onde > e´ a velocida% H(&T(K" de da pedra no instante que antecede sua colis˜ao com ® { ¤ (D&)(*" + o solo. A energia potencial final e´ / ²" . Portanto t4É©O.=7@> 5tv7:> . Substituindo nesta express˜ao % H(&T(K" segundos a express˜ao encontrada acima para O temos · G % (?&T(K" anos! É> ( ( t 7:> t 7@> C9 L( 3 É|CÑ Deste resultado obtemos > => t
É> 7:9 L( 3 | É CÑ
> t > >
É> Ñ S( 3 É|CÑ (zt
!É Ñ 3 É
ÑRtXÉ Fg Ñ 3 É
{ de onde obtemos o resultado final procurado: >'=>
ÑRtXÉ ¿ Ñ 3 É
Perceba que para ÉRÎ" ambos resultados reduzem-se ao que j´a conheciamos, como n˜ao podeia deixar de ser.
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P 8-96 ( na 6 ) {
Os Estados Unidos produziram cerca de G I (@&(*" kWÃ h de energia el´etrica em 1983. Qual a massa equivalente a esta energia?
Para determinar tal massa, usamos a relac¸a˜ o 7ÍÔE , onde ÔB %!%#&l(K" Ä m/s e´ a velocidade da luz. Primeiro precisamos converter kWÃ h{ para Joules: { { I5(&T(K" kWÃ h G I (?&T(K" S(K" + WE IU"!" s # I!q&T(K" Ä J {
Portanto 78
Ô
#5 I &T(K" Ä $%! kg _G %%#q&T(K" Ä
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