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HALL. HOLOII'EXKO. LAUGHLIX
ELEITIENTOS ORGÂNICO DE trlÁOUlNAt
(2.a ED,ÇÃoRE
ResuÍÌ|o da Teoria 32() pr.oblemas rêsolvidos 266 probl€Ínas propostos
Ìroduzidooor PAULO MURITO A, DA ROCHA
GOI,EOIO SGIIAUM McCRAW-HILL
ÂLLEN S. HALL, JR" M. S., Ph, D. ALFRED R. HOLOWENKO, M.S. HERMAN G. LAUGHLIN. M. S.
ÌÌCIIÁ (Pre!â.âdo Fro câmÁrâ
ELEMENTOS ORGANICOS DE MA Q UI NA S
I]ATÀLO(}B'(i'rcÀ cenho ae câialoetçáo-ú-'ontë sP) Bra6 êt't tto Ì,|üo
TRA.DUçÃO PATILO MTJRILO ARAUJO DA ROCHA
HâI, Âllen strickrâlit, i917stíckland
têl ÊêrnÀn a
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ENCNIETTO
Rochâ, são Pâdoi P, iÌúst (c!réçÃo schaüú) Projê'o 1Í. IÁusNi. artueô R. ìó. IV. sérl€: schauÉ
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me.ânlce Ensenra.lã : !Ìns€lhEÌts rÌojeto ' me.lnlcd EE€rhâri' : tnsênha.la ttê mÁqutta.
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ilctft I I
MICÂMCO
Do OriÈâl
Ethau,rr't (lutline of Theory and Probl.ems ol Machine Design publicado nc Ë.U.4. pübliúirg por SchM coprÌidt @ 19ót by MccÍM-Hi\-re.
CoptÌisht O 1970 da Fditdr
Mccraw-Hill do B.sit
Co.
üdr.
pâne d$ra publicaçãó podcÌá aí r€pruduid4 erqÌdad. pero sist ma _. I.".t]., -ÌerÉval" ou tÍârsmitidâ (le qlarqud Dodo @ pú qurtqq ourÍo @io, *ir cate
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rorocólia.de sÍÀvâç5o, ou ootroqso DÍéviâturoÌia{ão
5U MÁ R IO
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Scsudâ Edição
fodot o..tit.ilo. ptt. tln|!. Nnúgn.* wn dot pk EOÍÌOBArrcGÊ^W-H[L m AR^Sll- LIDA. Ru Ì.b69ú, 1105 slô P ulo -ESÌADO DÉ SÀO P ULO Ìeblon.:22-295í9 BEIO HORIZOI{ÌE MII{ASGEÂÀS
Cond3 dê BonÍm, r3t^ Ê|o ^( D€JAatEttìo EsÍ^DO @ ÊrOOEJÁ!|E|nO Ì.têlonê:€-5&34 PORÍO ALÊGFE Fb cRÁIIOE t)o SUL
Ar. Joãode B.rbq l-75oJrr
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IltrodúFo Esrudo dar TeDsõs De*nvoÌvidàs eú Elmdt6 Ajulaed e Tolerâncias ilê Peçs MêtáìicâB
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Fl€rão € Fldbagen Prcjero ilê Eld.nros
7 8 9 l0 tl 12 lJ
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ê m El e ftn tc de Máquus
de Máqüms
ilê MáquiB ...,.,.,,. sob a Âçãô d€ Cúgs
nis Máquine úbrição Velaidade CÌíÌica de Eirc! e Áryúes T 'â nsi sã o d . Po l ê b ci a .... .. ,. .., Proieio de AcoplúeDro\ Fskta d ò ............. C h âve l â s, Pi tr o ! e Ár d Ê' PÀrafrac d. Acionuerlo e de União oos Púúusos Edotço\
FE ic .......... 15 Mo lÈ! . . . . . . . . . . 16 t7 - Iorças oa EtrgEnagcn5 18 tue Í eúgds Cilí údr ica . . . . . . . . . . . . . 19 - EolreÈseor Helicoidais... 20 - E úgÍ em eÉr sCônicas. . . . . . . . . . . . . . . 2r - P & a Í úo SeD. I im . . . . . 22 - Múcoie de Rolâúetrro 23 - Proi€toé LubÌificaçãodè Mú@is de Deslimelto por Côr eia! . . . . . . . . . . . 24 A ci om í lo 25 - Solda trdie
Atrúoo
..
D( I 9 33 46 65
119 t44 167 189 217 229 241 260 2:77 298
3m
.-..-.....
346 377 399 4t2 426 438 474 496 517 542 5ó0 581
À SEGUNDAEDIÇÃO PREFÁCIO
coÍtinuâdmente i(Íom, litdarua técnie, em Íi)9 'trriqu@-ç i'e prêfaciiÍ' hoüa â qe m6 couhe c bos púlica4('€s! @mo 6ta @s ^ 'Fas Ìeô aP@Dla4ão Duoâ o liEo haçiÚ* Or DrircÍpios qE norteiú edo_ ptmiÚ táol um â Úodô d' hmôúict - p.ario p.rt;r"-"or. 'i"" o sisieúa úétri@' prcblem4 ile oíg'm' O íaro il,È Dão s obsvâtío plênÚcÍté Essa nos' sAô iutifedas téoi6, oixs @tÍdiando 'Il)tru ât€o.ieiloÍ€s quê s@os ile &t'Y àoP estÍãúeÊto c Ie d. daaeniolvim.úo, idéis c!4 {ra Yivência proÍiisional ê iÚênção de Á obrâ úG tl,á út e obietiva de âprcsêntála" principa&Énte' icquÍvo *m autos m Íom qeÍ.ícic aPticÀção' dc l:m rclâéo @ cinemático' eúático e diI{eüft, ainils, a$éctos d! difercútés Íat@a: oi difereÍte elêperfeita údeiâç59 umâ u ra-,co, ã i-."1 ':tÍe qE @mPGm rmâ m4una "*-,ir meltos úeâDlsói m€.ânic6 e' É foÍEa d' su tratmento' co{dlz @nr sW erpqiçõe loúgo de õ @neza ^o o 6rudaÍG ou o técúi@, aG cílcdos e âo PÍojeto' com *srltanç4 dê oD 6"irado Podli'vo. (tos cmo elementár €m arg$ iL e .prc*otai âp@íÈ À iDPrsão um cútutrto su Do ooFaÍismúq aDt$nlâ-.os, rÍdadc, 8ú16 'on' dâ tôíio êtü'l' ainila dG ngos ü'trc teúito $üstaÍial essÚiaÌqüê eíâ obÌâ' a pÚ
<25 = FË + 5s{ ls/ @'. úo poúüoÁ;
-;=
- 55oLs/ @',e Doí io a;
RESOLYIDOS
e l. Uma peça de 4Ìáquina de 2 pol (5,0 cm) d€ diâúeiÌo como extÌemo' um em f0 pol (25 cm) de compriúento é engastadâ se deteÌumã viea em balanço, e serâ usâda para denonstÌâÌ como paÌa YáÌris a" t .ção, coÉpÌessão e cisâlhâmeÍto' ""t*ço" exempro' neste que' Observar -ioo*ï, tipos iÌe câÌregamerto unianial. a, = 0, nos pontos cÌíticos.
Fie. 2-5 di(báÌ.)
: + ssola/cú'
(r.âÉo @ porto Á)i
d. (níú) - 0 (@ ponto 4); (d polÍô a)i - o 'i(o6!) t'(níú.): - 55{ teicú' (@mpt6ão no ponto a)i r(m&.) = k
t
X 55o - 225 &a/cDz (cisâÌh@oto sc poúto! ,4 ê A).
T..rt , N6te c@, 6 poú16 cíti@
EiE. 2-4
ôcol!ú
2' Diâm. (s,ocm) "
na superrrie etu!.
=' 2.000lb pol. (2s ks:m)
6$?
Oü$:. À soÌÌrção clesteprobÌeúa seráÍeita eú ìrnida'les métÌicâa' 10" (25 cn) NBte .as.
, =i4= '-14
lodd
6 pontos do èÌ6úento 6tão sujeitc
tx25
o,= + A= +ffi
à mêm!
t$íq
rÈ. 2ó
= rq.es*t, ?.
= + 6e,0 k8/cm'; r'(ú&)
2.300X2.5X32 -_. = + 94L&rcE' (íÍâ60);
,
13
14
EÍ,EMÍNIOS (nhJ ', "(nâÌ.)
OBGÂNICOS DE üÍQuDÌIs
c^".
2
lENsõEs
(@npÉeo); 9a ks/d' - = 9aÈs/cn' (cbath@edô).
o,= +7
{d)
DEsEÌ[voLvD.{s
pM.
E]ìr xI,EìrENtDs
Dr !ÍíQÌjrNls
+ó9 t_sso= 6t9ts/@! (úração);
t-i=
t (Dtu.) = r- 619ks/@t (r.â!ão).
o3 po nic4e Bôãodit ic G .
",=+i=+5s0ks/@',
2.0d) lb-pol. (23 2 ' Diâm. (5,0 cn)
.(Dó!) :
600tb (270ks)
", - - $ = - sso t" l " -',
= + X ór9 Bog,s}s/cn' (cüÂth@êÀro).
o' - + PM. -T
' - - $ = l l . r 7 " -',*p " " -
= + ó9 - sso _ 48r keicDt (6Eprèsão)i -
rcÁea: I'E. 2.7
otr{úax., = f-.
+
d"(níú.)
(+)'
: - 225 + 212 4ó7l,sl@2 (heção no lDrto Á);
on(rúD.J - 225 - 242 = - r? k8/cú1 (@úpesão on.fo'Át) 6'(Âit.)
"(mÁt.r íd6r)
(tÌa6o
- 225 + 242 - + r?ks/dnt
ú
!oúr,
B);
- _-= -=-l:l
_ 24: Lc/@' - ,:-
= 242 ks/@'
(t
rc poDro B);
= - 225 - 242 = - 46? ks/@? (@mp{€são m Pont (.isrlhajlblo
(ciÃaÌlallur,o
ú
a8r:2a0,5ts/.e!
(cisarh@nia),
T,!4õô . úso d,ial Os pontos c!íricoe @rrem É süpeútcie €xr€!&
Donro .4):
OìeeÌvaÌ que 6 valoB úslutos d6 teúíê ms pontos Á ê B 3ão 6 eú. Os sinoi6 ds rêGõê romais indicam tração ou coúpÌ€€ão ênqudto qo. o 3iDãl o púieto é b@ario @ *u 'dâ tdÁão dê iúalhamento úão têm imtbrlâei4IDi3
2' Diám. (5,0 clíì
- +.
( EpEsão).
B);
tro poDh a).
600 lb (270 kq)
'(úái)
- - 48rk&'cú,
È ó9 [8/@rr, + | át4= ï: e1\ elú'l
.ô it;;iìo"(-tu.) = + + F qa, = 2a,s F ee,E r34rB/cb'(Lraéo)i ; { (; ) r.(miú.) = 34,5 es,s = ós [c/.bt (@bprseão)r "(náÌ.)
- 995 As/@t
(cis,ttìnpqtó).
2' Diâm.
IP = 3.000 lb (1.360 kq)
2.000 lb pol. {23 ks. m ) P = 3.000 lb
(1.360ks)
Fig. 2-8
I.is. 2_9
k) Flaao, aat eíol . tofio r,, - o n@ pôtrtos èríti@ Á e a.
Á5 tàsõ6
n;-im{a
@rEÌão
M
Íbltc
Á ê B.
ELETTÉÀIIOS OÊCÂNICOS DE MÁQUINÁS
16
Crrr. 2 fEr{sõrs DEsENvoLyrDás EM ÍtÀMEìüFog DE MÁertrNÀs ldÌ FLrão . brçtu (Fis-.z-Ô ú""+7.ó50p6i@Á: d , - - 7.6 5 0 p € i @B;
(1.3@ kq)
Ía= TlJ: 1. 272r ÁisAeBi Fig. 2-10 dn(m''n-) :
',=
+ 3.8% - 4.030 : - !05 Ítsi (compn$ão em Á); ú,(m&.) 3.825 + 4.030 = + 205 p€i (ír!(ã0 em a); = d'(mín.) - 3.825 - 4 030 = - 7.855 psi (onpesão en B)i
+ | - + s5o+ óe- 6reks/cú';
+!
t(Ótu ) =
,*=!=s'wt'"",
íDtu.)
dn(úíú.) = + 309,5- 322,5= - 13ka/@x; .(úáx.) : 32:,5 k8/cm' (cbalha@!ro)' I
EÚt Unidades
(.)
!91 - + esrni,
(F s. 2a)
rry = o úc Fontc
oí0i@s Á è 8.
Ìz!=o" t(84!.) = r/2 {8.604) = 4.302psi (cÈâìháneoio)
ú. = 954 - 7.650 = 6.696 psi (@úpl8ão)
+
(í)
?.ó50 P€i em B;
(c) ToúõÃ siÌkPles (Fie. 24)
dí(náx.)
Ì.!:
2 000 (r) (32)
.
= + r'2?2Psi (tação):
d"(nín.) = - r'2?2Fei (@mpÌ*ão); Í(úÁi)
= 1.2?2 PSi (cisalhâúento)'
-----,
= 0,
d"(-r".1 = 6.696psi {compGÈão)
r{mtu.) = l/2(ô 696) - 3.348 p€i (._6slhúedto).
600(ri)4] (64)= +?.6s0Fei @ 4;
dtr(mir) = 0 eú d,(máÍ.) - + ? 650 p3i (t ação eú l)' ^: da(úl' ) = - ?'65OPsi (comprcssão @ B); dn (úáÌ.) = 0 eú B, (cisalh@e o !6 Dontc Á e B)r(máÌ.) = Ì/2 (? 650) = 3 825 !èi
õ.=o,
- 4030 (cissr}aúenr.oeD ôr;
Fbztú e angd o.iil
dí(úái)
d, :
-
:9í1+ 7.650 - 8 604 p6i (rracão) - PIA + MclI t'(náx.) - d, = 8.604psi (iração)
(ü) Ìrlerao .imPia (Fig. 2_5)
*= ++=
-"
t
di (náx.) = í' = + 954 Psi (l'aeão); 7(rnáx.) = r/2 054) - 4?? psi (cisalhaúeúoì'
,
-;
-
sresas
(a) Caryt azial (Ftc. z-t)
o,:1 !
= + 4.030 rEì r.isalhúDênl,oêo / J:
z-
1'oúÃo . úsa
ozial (Fts. 2-9t
a,: PIA = + 954Én Ìa=i-r.272!6i
7) + t.zzzf-.+n.+-,.",,0=
= ""r--.r S + {(:f)"
=+r $?p3i( t r sdo) : ri{úíú.) + 4?7 - 1.3óO - - 883!€i (@npEâsão) = l-36tt psi (cisÀlhmenÍ,). '(úár) to) Fbáo, tup @ìal e to.Ãr (t'te. Zr0, Á6 Lúõ6
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77
18
ELÍMÍNTS
c^p. 2 ,:ÌNsõEs üBaENvoLüDÁsrú Erúrìúos
ORGÂNIC@ DE ITÁQI'INTA
DE ìríeun{r.ã
19
En poDt6 .o toDso dú |i.ha B-A:
.<"*t - i ;Y- (3i)rl#P - 4Eo e".(cissrham@üo).
+ T - + 7.6s0+954 - 8.604ÍEi
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'"\ Ì.'=;=r.272rsi
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(c@pr6ão) dn (Eír) = 4. 302 - 4- 480 = - Ì78 !6i-"* 7(úáÌ) - a.a8{ p6i (cisolhaEmta).
o, -
- 7. 6f i+ 9 5 4 -
r - 1.272lAi
*{'a* r = -
u
De5ê Eo.ro, s báriú! rã.ão cisÁlhúre é devida ao ètorço cisaìhetè rla caraa ê o@ft e loqo do eilo @rro &8. 3. Uú ponto cítico de um elemento de máquinâ está süjeito a uú caÌÌegameÍto ÈiaÌiâÌ qüe púdrJz r,, 6! e ,4, como moGtro
- 6 .6 9 6 p d ,
: +{(!'!9Í1" (u Í'u)"+o.r',r: !e6 2
3.348+ 3.581: + 23:t(t aéo)
d"(níú) = - 3. 318 - 3. 581 : - ó.929 p6i (coEpis6ão): 7 (DÁx.) = 3.58Ì!6i (ctuaìh@êÍto).
d, = - 550 +69 = - 481ks/cm'
", r . e . . r-
- l " ' + r/í n Ï' ì +rn " =-2&5+25&5=
a ligura. Determinar m yaloÌes máximo € Ílnimo e o valor márimo ds tansão cisâìLante.
= 18.5ka/cúr (ttàéo) ' = (cú!úedo) 240,5 2s8,5 a99Le/cn' d,(mtu) - ?(úáx.) = 258,5 ks/@'
(cisalhmènto).
Go(nlb
2. Uma üga em balânç.o, de 4 pol de coúprimetrto, tendo uüa Êeção Ìeta de 2 pol X l0 pol suporta üúa carga de 6.000 Ìb. QuaÌ a máxiúa tensão cfualhante e -onde ocorre I Á náriúÀ teú€ãocÈalhútê poilèoc()rú €n pontns úo Ìoneo da liDha À-À ddido {o êm IpÍt4 @Ìnerto fletor, ôu pode oclrÚ aô 6fô.ço cisalhúto da @eú. Em poÍtG
ao lolgo da liDha À-A:
da teúsão noÌinal
Sofúção:
4
I 1".
{
= -@.
'"(-e-)
r'm 2
+./í 'ì\
(-1200)\' 400-+,f
+ (3oo)'
: - 30oFi (eônpÌ6úo) d,(eíL)
r.300 p6i (@Ì'rssão) - -
I'l!.2-tl ao loÍep da linha D-D dcvido
t(oár) '2 -
d'(bíoJ - 0
úúa v€ q@ a t€@id
- - Á{E
têlsão pÌiacipst é = 0.
:1, TÌaçar os dia$smas de momento paÌa os elementos abâixo Ìq)Ésetr t{dos,
20
Er,EMEr{rOS ORCâXr@SDE MíQún{ÀS
oÁp. 2 ÌENsõEs DEsENvoLvrDrsÊú rr,EìrEìr'r,osDx MíQuo.r,ls 61á m ponio -4
Sorucãor À ten6ão cítid
I -
.d164: ,Y164 = o,1aspol'
J = Ìd!32 = Ì2!32 = r,57 rnlr llh 2.000 . P
o ' -+ ' a + ?r
Í4:
/:
(2 000 x l /Ìr
+:oíor" ; -+=;' (r.000) (r) :o ó Íe € l -^-
-+tt8op6i
15?
di(ntu.) - I r. tso/: l v{a rstÉFJ õl_tF - + 3 30sFi (rFsão) Fig. àl4
: 14tlso/ìtT
"(-á'.)
(63?P= l .?r5psi (cisarüanenio).
P.lo tìda@ nÁ!,i@:
I - Ì ( 5t 1ô4=3O . 7cní . ",-
J
- : : r =6r . 4cm l
(900x 2,5){?.s) 90o l 2sÌtr.: iro]]:;-
I r25 L€/.m'
=; ' ry
."r-a'.,= -r- : 4s. ?Ì €hD: ï'.{(+i
(,râçào) f (4r.?},. +2r4Ì€hm,
rt. 2-Ì6
fig. 2-15
5, Uma barra de aço de 2 pol (5 cm) supoÍa 2.000Ib (900kg) e âléú iÌÌsso pstá sujeita a um mometrtode toÌção de 1.000lb-pol
6. Uúa baÌra de ferro lundido de 3 pol de diâúetro está (rujeitâ a um esforço axial de compressão de ì2.000 lb e a um mo-
2.000rh (900kr) Fig. 2-lB
Fig. 2-17
(1.120 kg.cm), como apâieee na Fig, 2-l?e o cilaìhamento máÌimos.
DetermiÂâÌ a tenúo
mento toÌsor de 2.500 lb.pol como âparece nâ Fig. 2-18. Deter&inaÌ as tensões nonnais máxima e mfuuna.
22
cÁp. 2 mNsõEs Dtr&NvoLVrD_Ás rlü EÍ.sMÃrrr!'SDÌ uÍqorNls
EI,EMRNTOS OB4ÂNICOS DE üÍQÚTNTA
8. DeteÌminâÌ a espessüÌa necessária à cantoneira na.S€ção Â-À, quaüdo caÌÌegada coúo mo€tÌa a Fig. 2-20, a Íia de qu€ a máximÀ tatrsãode tÌâçào seja 10-000psi.
(a) n, - - o2 .qìql = - r.?oortsi Í,, -
(2.soo)-{Is)(32)
- 472
't.o(Fth
.
r.822 psr (@úpresão). - -
7, CalculoÌ a úáriúa
-t'r
l.0oo tb
ni
a^(atu.) - - t.zoolz + J\.Í3ooliool?Í@8 = + u2p.i (rra6o) di (Eú!.)
2g
tensão
7tí = 2.m0 lb .pot. .t.000tb Fie. 2-b
il4 : (1.000)(2) : 2.000tb.pól nâ S€{ão A-À P 1.(n0
= ""r^*1 "": nLa!-
Fis. 2-19
ó = 0,35Folrre]sáÌio poraüúite a t€nsãoem t0.000Ísi,
a máÌima tensão cisalhâúte na Seção À-À no elemeúto Ìq)Ì€ent{do na Fig. tl9.
r
rff + 93$fI!13)_,0.**,
9. Á barÌa de ligação lateraÌ das Ìodas de umâ locomotiva pesa 60 lb/pé. O coEprimento dâ maniyelâ OP é de t5 poÌ e o
?'*200X I = ì.600Ìb.!ol ilwida è c&eâ de 20{,lb = 500 tt X I = 4.000lb.pol deyidqs à cúsa {ìe 500tb ì4 = 200 X l0 - 2.ooolb.pol dêvide à cesa de 2lx) ìb. fleto. tolal é o veíor sme da doi5 úúeÍt6 fleto6. 'tr@cmo = 4.4?0tb.ÍDl; ì4(rorãD = y'i.õodJ-ã.ooF M. 5'00 í4.4?0)O) (64) P ú, - - A - -----;t-= -o.s,Fl t ; Tì tnT = (16)(l.600) 14 = j ---;t-= ' .u -* - -.ü O
= - 6-025 psi(6mp.edo) o, (-rn.) = - s.sre/:- VGIõlF-fÌiìzoF .<^*S = .'FntgÌzP + a:
PL"
II"
H6:0 H.. Ha: I
":iE|
que é a deflexão nâ extÌemidade direita da viga. A aplimção de funções €m d€gÌaus paÌa se obteÌ a deformação de uma viga, devida a momento ncüor, eÌig€ apenas a deteminâção de duâs constântes de iniegÌação, nesmo para uma viga sujeita a quâlqueÌ tipo de caregâmento e de seção Ìetâ,
71
i
se r a: a=
fl
I H "tt.e- a)tu- tu J ÉI ç-a)tu: JO _ ,'. f.a- o)"f', . _ -^,L ,
viÌlÁv0|. Se se aplica o método da dupÌa htegração, que comist€ Èrlr li{ìíovcr q equação d€ M/EI paÌa cada seção da viga, é preciso etlr,rlür duqs consiantes de intêgÌação paÌa cada s€ção. *
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-
t, - ü_ J!__!L t c. 2
Erebplo 3: Se a úga tiver seção reta vaÌiáv€I o caminho indicado a seguir é o aconseÌhável. A Fig. 5-4 mostra uma viea teÌdo t.às se6es de difeÌentes momentos de inércia. Ì'1 e tr', são as caÌgaE apücadâs e há apoios em À, e Ãn. À equação de momentos vâida paÌa qualquer s€ção seÌá: M : - Fp + RL(. - a) H".t
Rnl.:.- b) Hu
ETEMEÌfI9S
c,{p. 5 rÍ,Exio È FL MB.{GEM ltf, EE}ÍENros DE MíquÃüs
ORCÁNICOS DE MnqUìrrS
IUas r/1,, o inverso do mornento de inércia de caila seçãoj poderá ser escrito:
r
rr.
-.
- - = ,l r-Iío + t. 1 L
H"
H6
H61
m
m
n -J
?3
diÍ€Ìencial tomedo no eixo que passa pelo cetrtÌo de graúdade do elemetrto, como mostra a Fig. 5-5. dr'
E
=
r. (oo eüo úeutro)
G
VQ^t _1_ u' ^ _lrz
, ut ^ -r_
T
(VeÌ Cspítüìo 2) \
Fig. 5_!t
Daí vem:
tE
- t- F,.Ì | Â. (..- a) H" I Rau _ b)Hal
âï
l , n o.(t -\m
L
:
' F , Ì l Â, (t
o \H " I R a G- b )Ho- r ,,a.( r ít
+ a " r .,- òH ,H ,\* Fú H,(
/
t
;
+'-)' \ f
'
r)+rr,í-' *'ìl: "\ n / nlJ \
\
.t)+nÈ k -b) Hb H, l- - 1 ) /
+ R"t, - a) H " Hb \ ,
+ R R G - b \E b H b l -l +-rl \
' ;*
/'
m
|
-
Fig. í5 r\
+'
)
r\
nt
À dupla integração pode ser completâda como expücâdo âcima, obseryando que I1"I1" : II" e H"& = Ha defonnação devida ao cisaÌhamento pode seÌ impoúâlte, por exemplo, eúi elementos de máquút-'s em que a relação conpúmento- espessuÌa é pequena ou para elementos oco€ de gmnde diâtnetro. Em tais câsos a deflexão d€üda ao cisalhamento deveú óer somada à defonnação dedda ao momento fletoÌ. Istó pode aoa de gratrde importância quaado se câlcula a deÍorúação para a dôtorminação de yelocidades cúticas de elemenros sujeitos a moúmonto de rotação. UEa expÌessão para a flecha yr devida ao oitalhamento pode ser detelÍnitrada conêideralìdo-se um elemetrto
otrde G 6 uma constâüte que leva em conta o ângulo de rotaqão das sêções Ìetâs em Èlação à linla de deíoÌmação nula. (Torlas ae s€6es retss giÌam de um nesmo ângulo.) Integrando, yem: KV.c OA onde: í-lF AC +uÊ+u: Ì< : 4/5 paÌâ seção Ìeta ctucuÌaÌ K : 312 pan seção rcta retângulaÌ. Yt:
(Para a Fig. 5-5, Cr:0. de C'.)
Yer Fig. 5-19 paÌâ esclaÌecimento
o tcorema de Caôtigliano pode ser asado paÌa deteÌúhar a delomação tarto de eleúentos simples como de estruluÌas complexas. Este teoÌeúa é bas€ado em relações eútle defoÌmacões e trabaÌho. Por exemplo, o trabaÌho de deloÌúação U paÌa um
EI,EìtrENToSoBcâNrcos DE MíenrNÀs
74
€leúento de coúprimento Z sujeito apenas à tração, seÌá:
F'L 2AE
c^p. 5 fl,Exio
M'dó .lP'Rdó 2AeE \ 2AE Ìt4] dó
Toúando a derivada parciaì do trâbaÌho de defomâção ü de um elemento sujeito à toÌção, pode seÌ deÍeÌmhado o âüeì o de qEe giÌou uma seção reta de uú eleúento ciÌculaÌ, quando sqieito à ação de um momento de torção ?. T'L
- -"íí
ôU
TL
e fr:
*7:d
-
MP dó
AE- :
(radianos).
O tÌabaÌÀo de deformação para uma viga reta sujeitâ a üú úomento fletor M é:
KV'R dó G
M'dr ,: 'J z E If O trúalho de deÍormação para Uma vla momento lletor M é
u: -
J
:
P'R dÓ : 2AE
Àdmite-se aqui que o material dos elementos condderados aegue a lei de Hooke.
'
75
MP dô\ AE )-
KVR dó 2AG '
onde:
FL AF
zA"E
-, U
ÁeúrNÂa
De acodo com a Fig. 5-6 pode-se escrever que o trabalho elementâÌ âmãzerado em uma seção muito pequena deyido a uú mometrto ÍletoÌ M, a uma força normal P e a um esforço cisalhante I/, seÌá:
derivando parciaünente, a equação, em relação a F determina-eê â delormação ô do elemento na direção da força apücado FôU ôF
E I'r,ÂüBncDú EÌr EÍ,DúENros DE
trúaÌho de deÍoÌmação deyido ünicamente âo mollrento IletoÌ Ì4; irabalho de deformação devido unicamente à Íorçâ P; trabalho de deloÌmação resuÌtante do fato de que a força P tende a güar as laces do elemento confta os momentos Ìeútetrtes M. Nâ Fig. 5-6 este telmo ó negativo uma vez qìre a loÌça P tende a aumentâr o ânguÌo entre as düas Iac€s, enqüanto os momentos M tendem a diminuí-lo. Se o sentido de P fosseo opostodo indicâdo,então tânto P quantô os úomertoÊ M tetrderiâm a diminuir o ângulo entre as faces. trabalho de delormação devido ao esforço cisaÌhanlE V.
curva sujeitâ a um
f M:4ó 24eE
O trúalho de deÍomação para uma üga reta sì{ieita â um €slorço chalhânÍe I/ é
T
KV'dX .ú
O fabaìho de delormação para uma viga curva suj€itâ a um orlorgo cisaÌhante Y é
,=T
KV'ds
Kt4Rdó 2AG
Fie. í6
Fis. í7 Fis.
Á aplicação das equaçõe! acima rcsolyerá os prcbÌemas de deílerão baseando-se ro ieorema de Castigliano que estâbelece que a derivada parcìaÌ do rrúaÌho de deformação em relação a qüalqueÌ
ÌTLEXTENTOSORGÁ-\rCOS DE rríqUrN-ÂS
Iorça (ou conjugado) representa a deÍlexão (ou ânguÌo de deformação), coüespondcnte. Em outÌas paÌavms, se o ÍÌabaÌho totâl de deforúação de um sistemâ lor escúto como Ítração dc uma ou mais Íorças, então a defleìão na direção de {Ìualquer força escolÌìida poderá scr deteminada por meio da derivada paÌcisì do trâbaÌho totâl de defoÌmação em ÌeÌação à Iorçâ selecionada. Tanbém, se o tmbaÌho totâÌ de defomação é Iunção de um conjugado e de uma ou mais fôrças, eütão a dcrivada parcial do i,mbaÌtìo total de deformâção em reÌação ao conjusado dará o ânsuÌo dc rotâção da seçãona quâÌ ele atua. O teoremade Castiglia& pode tambérn ser usado para detcrminar a defÌexão em quaÌquer ponto, mesmo que não hajam cargasneÌeâplicadasna direçãoda deflexãodesejada; empr€ga-seo artifício de âcrescentar uma câÌga Q no ponto escoÌhido e na direçãon qual se des€jadeterminar a delleÌão. Assim,a deúvâda parcial ô U/AQ darâ a defÌexão quando Q íor Ieita isual a zero.
cAP. 5
I'LETIO
T fLAtrlB.lCEìT
ETt ELEtrÍENTOS D! ìÍÁQUN,|S
5. Àúalogaúente' tem-se:
'-2 ":]+ a linha noü â á.ea o,J, = Hç, - 2")' Àssim, das duas âÌeas Ìepresenrâdas'
2" é a soma
pâÌa doft casos: 6. O pÌocedimento acima seÌá itusiÌado S-8(a)l - iliâmeiros co(o) Visa âpoiada nos eì-tremos lFie nhecidos. S-8(ó)i - diâmetlos (à) Yiga coÈ uÉa paÌte em balaúço IFig desconhecidos'
t
90tì
1801b
I
 integ.ação gráficâ é outro método de se obrer a curva de deflexão de uma árvore sujeita a caü€gamentosque produzam flexão. O nétodo ó iÌustrado pelo seeuinteexempÌo,que enì.olve as etapas abaixo (ver Fis. 5-7). r. Dividir a área em seçõescom ordenadas y1, y, erc. Ìros pontos médios dos segmentos11, ,!, etc. pâra ÌocalizaÍ os pontos l, 2 etc. (rÌ não ó nccessariamerteigual a Í, mas para simpÌificar o desenho,normaÌmente se faz ïÌ : r, : .. .). 2. ProjetaÍ os pontos 1, 2 etc. sobÌe qualqueÌ Ìetâ ye.tical ,48, obtendo-seos pontos Ì', 2' etc. De qualquer ponto O' do eixo hoÌizontaÌ (determina-scasúm a distâacia ÌI) tÌaçar os mios O' - 1', O' - 2' etc. .
DlllÌânr.
'7
_-J
3. TraçaÌ umâ liDha O" - 1" parâlela a O' - 1, e outÍa 1"- 2'l paÌaÌelâ a O' 2'. L ünha rn- l" é proporcionaÌ à tuea I e a linha p - 2" é proporcional à área II, sendo a Ìinha rÌ - 2" pÌoporcional à soma das áreas I e II. 4. A con{irmação do eìTosto acima é obtida dâs prcpriedadeg de triângulos semelÌÌanlcs. Considerem-scos triânsulos O/-Á-1'
'1
I'
n -l "
O-e -O-^ * u-,,
y,
m -l '
^ Y: ! +
Por co seguinte,a ârea xgt: HQn - 1"). Àssim, a distâncìaverticÂl m - l" ê proporcionaÌà área I que ó aproxinadam€nteigual a rúr. Se o vaÌor rr Íor pequeno,a aproximaçãoseÍámuito grande,
It
Fis.
Èr,ErENTosoRcriÌ{rcos DE NíqúNÁs
78
c-rÌ. 5 r|-Ex:io x FrrnlrB.rcErÍ EìÍ ÌL;EìID5\TOSDE ÌúqUNÂS
Exempro (a): Determinar a delormação sob cada carga. UsaÌ duplÊ inÍegrâção gÍáfica.
Resultado:
na cãrsadc q0Lb: r - ro.rsr(S)' DeÍormação
ResÌrltado ! Pam Ì80Ib: Para 90lb:
?9
y : 0,215(0,u92) : 0,005.3pol. y : 0,435(0,019 2) = 0,008.4poÌ.
Dxempro (ò): Determinâr o diârneiro D pa.a ümitâr â defoÌmâçãosob a cârga de 90 Ìb a 0,001". Usâr dupÌa integmçãogÌâfica. O momento de iIércia das seçõesde diâmetro D ê 1.
PâÌa y:0,00Ìpol
vem: I:0,032po1a e r:0,90poÌ
ocorle fÌeqüentemente em elementos de máÁ flúbagem quinas sujeitos a carregâÍÌento axiâÌ. Se o esforço axiaÌ é de tração, ê aplicávcl a equação d : P/á. Se este €sÍorço IoÌ de compressão, há ftcesÊidade do üso de equaçõesprcpdas. À equação de Euler para o caÌÍegâmento critico de colunas €sbeltas de seção traìsye$al ÌmiIoÌme é:
90lb lÍ _ 8rl
(. =e"l
"- " :
&r'EA
(wY'
onde: Dl.!r.m.
canegamento máximo que não produzirá Ílambagenì;
5*211:1"=
C:
lffoor.r= q
c,onstante que depende do tipo de ügação das extremidades (ver Fis. 5-9); módüÌo de €lasticidade psi; ârea da seção transveftql, pol'; compÌimento da coluna, poÌ; pol oúe I ê raio Ll 2, À pÌimena ük€tação dá:
c Ponbs Á e I é:
atre
2 \a L i t
{ô)
., g!
em dc€Íau é b6t€nte simple !€stê cM, pob a Íiga À equaqão de moúdtoq tDde 3er 6oiia:
,u
ur,r**
. or*f'
ns,. u- uzta'-Pt' uLtzt'
Iévúalo m @nr! que dy,/d.: 0 quddô z = r/2, i@{e:C\ f@o o o
eboço e cte
dr -, - t d "À ô€gunda integdção
Ery-
P! q.
PLz
Pl! - Ll2)2 ,, 2
|J.
"L ú -
dá:
Pb 6
t2
a2t ' . . dLtt
PLz ^ - :16-t .r Lr.
Iaedo eú @ntã quê J = 0 qutudo . = 0, reltâ Cr - 0. tituiúdo ,/2 por r, a dêfletão eo z = L/2 r€m püa valoÌ: Fis. í12 qualqü@ sêtão sej{ ieuar à odêlada sá-lô de ial modo que o valor da cdsa em co6id€m s c&Ìsa ra visê M/tI @úo Àpü€cè na Fi8.5-12. ilo diasrde
Er! -
96
32
Y=
-
PL3 l * ,EI
=
PLzl766
EuMENms
86
(d) Usddo o te.da to@ q seguiDte foma:
de CastisliÈno a equação do trúalho
'=I :I* #.I; +l
GTP. 5
oRcÂNrcols DE M-ÁQttrNÀs
ddle€o
dé defo@a6o
" F&ado
ôU : ôP
87
v€'tical é:
0|:
=I*"H**
E:M ELEMEIüTOS DE T'ÁQUINAÉ
É I1,ÀìÍ3ÂGSIÍ
^
li-"Ç àl'*
u=ff"lo.r-to,r=
FT,Exio
Q - q teú+
ôu ôQ
=F
= ..-
fioalmmte Ò,=
FhL,.;;_ + 2QL.l3 zEI a dêflexão vdticsú no pontD P:
2 Ef
.
6. Um eixo ê suportado pr dois mancais em Á e C e recebe cargas de 30 lb (15 kg) nos pontos B e I, como mostra a Fig. 5-14. À parte do eüo compreendida entre os pontos B e C teú um diâ_ metÌo 2D € aE paÍt€6 comprcetrdidas entrc á e B e C e P têú um iliâmetro D. Na rleterminação da yelocidade cútica, deseja-se corheceÌ a deÍlexão do eixo nos pontos B e F UsaÌ o método do mom€nto eslático e coruideraÌ apenas as deÍorÍnações deYidas a
4{,EI
5. Determinar a delÌexão ver[ical, deüda à Ílexão' de.um ponto P de uma viga em balan@ câÌrcgaila com uma caÌga hoÌizontsl F como mosiÉ a Fig. 5-13(a). Desprezar a deÍoÌúação no elemento YeÍtical.
6"(12
Í {
II
r
(ó) Fis, 5-t:! Fis. í'r4
* de CdtiSüaú d6te tiÍb pode ser GoÌüdo pèlo Ie@ú Um prcblda ponto à de * d€ej& detêúidÚ no @de Ío! ãcsceDtqda uúa ca.8a vdiical Q norão. IÌer Fic. $13(ò)1. o t úâlho de detonação é:
u-
Jo
F4tlL+FheL'+eL.E - -' 81
momento lletor. (Ver o capitulo de apurado de dellexões.)
(1) itqs
paÌa um estudo mais
ÈhoaÀ a eláiticÀ psssandô pel6 poatDs dê dêfomeção Nlâ ô reeEntê @ lonto Á.
Á e C o
c-rp. 5 fl,ExÃo E I'I/ÂMBÁGEMEìú Er,EúENms DE MíeuúíÁs
ELEMENTOS OBCÁNICOS DE UìqI,IN!S
88
j}í/EI obsyddo q@ o nonEnra de iúérciú da (2) EsbocaÌ o diaslda seção que pos$i diâmetú 2D ó 16 ve4 Ddor qrc o da erão dlìo diâ@to é DO valor I lefrcse às perB de diâúetú D. (3) Deíerhind Á1 t@aodo o boúdÍo de áÉ do di.s@ ìtlÊ/ @t& G pontos Á è r, @ EIÂção qo ponto i.
oor+ffi) (i) oo- :rp. (#) (f) oi+(-,-4-) ^,-
(4) Dèreúire or portos á e C d
A, tonando o momotô ElaçÃo @ porto C.
d6 ára
do diàglea
MlEl
^ ,=( # ) o r ,o(+ff) $)o, =t gt .
úr.e
^!
L. r=
t8 , E^ ,= -
^.=
Re€olveÌ
?.
o PmbL
de Casügüano.
= u\+ u,+ us,
ó ?8r,75 E]
ttsòarho do keìo t : 0 até z :6i =6 a a ê .- l 2 a tr a ò a l h o d o ke h o . : : l2 úré , = 18. do ü@ho r U! rÌaborhô
Ur: üt:
5.s'lil'75 ax = --E-lt ^tÂr For p!úFor!ão:
., ''
f J.
f at+1e L ô€r lo
oufa' 2EI
s6/er'_ 3ó íP, I P"ìl EI\ 2 t EI
2 26r,
"=(#)(*),,=#180 / 12\ = 1.080 l8{r02) = ü}5 A, = EÌE-t bìt-
Int4sreilo, süherÍutulo È, *.
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_ â7.rt = J'r- Ár _ Ât = (r/EO(1t.rr0 a_G4.r?s)
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êndeü totqÌ ôrá:
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U\+ Uz+ Ux
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u:#ï (P't,P")'+;Èï [" (", ; "')' + rc.(l:-rf
L, - At(16)+ A2\6)=i7 361,'4íll') = :::::
P2'
lr} -------r;t-
B* -:;ço qrd" u,= f'"
Ar = 4r (:8) * Ár (ra) * ,r (8) _ 4r .3 I0 -' EI ^-
ft8
I
Se I é o momdiô dê iúércia da *Éo dó diâm€im D, dtão o monênio dê i!éÌciÀ da s€ção de r - 6 até r = 12, cuio diâmetú é 2D, 3sá ró1. O trabÀlho de dcio@ação ú pete cdÍror, soá:
. 1_08t1 a. = Eì
-
o --teoÌema
"-í
1 lal25 y r= a r_ Â r= _ _ Ìi _ .
\
6 us*ndo
tolal dáüilo à fle!ão É.
O kúalho .Iê defdúqão
,, ur=
Erltão:
47
= - (UEt) lo 0a5 - a r20)
12 - Ãs - \
Errão:
À, . _.38I
9. 045 El
- = i=Â, L"
poÍ púpdrão:
(5) DeteúiÍe
(6) Dêtdniad
n. 73í : 3Er ,t 320 A\ 11)E,
89
-
-ar,"l+$! À d.íteÉo eb Pr qá:
r';+'zs ffi ' ff e,+c;+fiC'++) : #g +re!ã=
90
u,EMENTqS
ORGINTCOS DE rúÍqúEüS
â i, = # ,,,tc d + ffi 1 " ( a ; ! t )(; ) "i'l | 080 3 0 1 ,? 5 2 .l õ0 1.543,?5 7 2 P, et- +
+--E-
Er
=
ENTo8 DE MíQUIN^S
9l
o diaeÌha de momentos foi comtÌuido oütro rú@ilime!ío, 3. Pe ilsttu por pet6, 6mo mostÉ a Fig. 5-r5(d). Ìls p.o@so é de gÌdde vâlia em al8üús cas, Íbis f@ilit! a deteúinação de á.ês e @s c€útrcs de gÂvidade.
À d€flexão sb & s6á.
a-É-=
ÈM EI'E
E I'LÁtrrB'tcE!Í
FLE),ão
cÁp- 5
4.
Nete
@s
À áÌeado seéo t _ (-;
a
06 momêtrios ds seçõêB I e IL
apenas ros úteÌ6Àm
.l (;)
rï
uLl a áu dasecão= (-u" .l (!) u] = * "
8. (o) Empregando o uétodo do momento estátrico, mo6txaÌ que a deflexão ná:xima de uma viga simplesmente apoiada, de comprimento Z, sujeita a um caÌIegâmeÂÍo üDiÍolmementê distÌibuído de $/ lb/pot, ê' ítD La:SMEI. (ó) Idem, empÍegsúdo o teorema de Castiglisno (ver Fig. 5-I5).
A di sr â&isdo c. c. de scçàoI oo ponb B , , ( ; )
=
(:)
:
B é,(+) (+) = + u aoponro c.c. daseção À disrâncis.ro
(# )cï) =#
E'y-(i Í)(:) Eú Ê.: 5úL4
è
r - 3síEíde CütislíMo.
lh) Urmdo o túúa 1. Dêy€* miJM ú nêho
ac6cctrtt uma cdsâ O ãsinilo no ponto ondê s€ al6êiã iÌeté.Fi a . 5 l 5 ( "ì1 . l ve r ,d ) _
por rrpràoó: de d.toÍmâçãô 2. o r.Ìabârho 6quqdÂ
J
*-
i;;
" ^.'"".
da visa o t.abalho de dêfoÍmação é:
l 'Lt' t+r '-.t+ot'
,,
,,
"'- J"
+.;) ,a,
Ud vez que. i.abalho de delormaçãoà esquddÀ é o ú6mo que à di.eiLÀ, a @gic loraì erá: U : 2Ur. f LP t lt úL+O ) t - +úr , ld!
-
Jo t f í uL - ElL\
y
Fig. 5-r5
(d)
U@do
o úllado do MIo
Estpçd
o diasr@â
de tuúdros
@Do !tE@
na IÌs.
ou, &!ilo
I Q \ ! L' /
( úL + Q 'uLa , ut L31 t 2s - 6'r i )
lT. .
úLa
^L' | \t) 4s U - Er LIDL
y=
e.Iótíêo.
TÉçe a roepnte l. E.lDçü a êìástica @úo âpd@e na l"re. trs(ó). holiÉtrtsl no Fouro M. Então, s defldeo t é o momento da áEr do diâ8Ìúa mte os ponto. M ê I, d eÌação ao pouro B, did€ moú€ntô3 dbp.@dida vididr por E/. ,.
AU
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W a carela iotal (W = úr)
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ORGÂNICOS Df, MíQÚTÀ'ÁS
EI,EìÍENTOS
cÀÌ.
5
EII ELEIIENToS
E ÍLAüBÁcElt
FLExão
: =/"+sffiËï# o'ou'Ì'P' Jr"('"órdó *ïï,,*
_ o.oqs.4P, [e4c+*ï= À il€fiexão deüda ao cbaÌh@ento,
jg
"2ffi*.
À ót!ção O Íabstho
t16
Eú qÈlqucr seção de visa definida por um ânsulo ó, íebae: M=P(s O t abalho de defo.@(ão dcvido à fleÌão sdá:
u= [ "
=
fÍ Jo
,_
--
ôU
deYido à dmpÔnentê noÌmâ1, eú pÌença
da
#)u= f":s::tty-
FJ,
- 1i; \ '' (1?5)Ìf= 0,000.0t4.s (r? : 0,0s3 [0,026.5 pol.
EDrão, a deforúação pooieútê
ÍEm
dos tÌò
êsfor@s citados é:
= ô = 0,001.442 + 0.000 048-6 - 0,000 014.5 = 0 001 476' 1 pol
5 poì. - 0,001-
(G+y' í) ":o,or o.,
2ír(r13) 2 5 rP = =;-n"t:' ;;OGiffi;-mE
il€ d.fonação
;(30.r J. '0,,-a-J,i!rï, o.o.op? f_.(sêtre)'de o.o2ò.sp,/,ì au
rP A" E-'
DeteÌminaÌ o deslocall. meDto horizontâl do quadro'represeÍtado na Fig. 5-17. O ÉomeÌr_ to de inércia é o mesmo em tôiÌas as seções. ConsideraÌ apenas as deíorÍnações proYenienies do momento fletor.
A detlexão Ía diÌeção dq .arga P:
;r
ile uúa seção deüdo âo 6forço norúal é combatida peÌo moEc!ío
T.. ,s scnó) íp smórdó = o.ozo.se" f",..^ç,,a+.
'
tP2 A"d'
O yalor dê ., dÈiâaci! do eixo quê pass pelo C. G. ao cixo @tÍo' uúa sqão retâ circular,é:
(\/; + \/;)' ^ 4 "=^ -
Ía direção de íorça, é.
r = 0,000048.6pol. _ 0,08!rPr _ 0,088.1ir75)
,=[l# p
sm ó),
À defl€xão na dir€ção da csisâ P ó: ôU = 2í 2 ôP
(+)
dú a defledo de 0,001-442 poì devida aph$ à ÍI€xão' Coúpde (ô) À @mpo|@te noÌúar de P que púduz aloDgàsento em qualquêr s€ção
Ú' P. "6L/. ú - Ú 6 6
(rP sn ó):dC 23 - 4 24"8
$3
r =f e'"*ea'"*'*)= "- Ji "Hu^(^u"
9. Deteminâr a defìexão horizontâÌ no ponto Á de uúâ vigâ culYa,de aço,de 2 pol de diâmetm, terdo um raio de cuffatura interrìo de 4 pol e câÌregadacomo mostra a Fig. 5-16. ConsideÌar apenasa flexão.
fig.
DE ì[ÍQurNÂs
: 0001.442 Por'
10, Para o ProbÌ. 9, deterninar a delorrnação devila: (a) ao cisalhamento; (ò) à ação combinada de momen[o tletor, cisaÌhamento e caÍga normal.
Fis. 5-17 (a) Dn qualqu4 seção o vàlo. do cisathamefto tÌâsvqsaÌ O trabÀlho de defoÌmação é:
Àplicândo o rêoremâ de C6tisü3rc, nos o irúatho r0' V = O,2P - l,2PHú, oíÀe I{
r",a".9:4#@
*Cr
r Kv\
, * r , ( . ic . 1 , , , .
.c,+ ( - ;;
ro)+cr'+c'l' ,o," 1,2Hú+Ç\Jdx-#$24- r.2tr10('"=$f
de (9) e (8) en (7), ten-se:
r s p ç t| .| :( ;' r ,,
Jo
^ ú r t| I Jto - 2^r ;
+üt "'
r ,,,,
I
ll. Usando as equãçõc (r0) traçâr o diagrama dos 6fo.ços cortanta e $ÌF súaìs na oluação. Uda derlèÌão ütuir o sforço coÌtantc om os rapetiyos positiÌâ sienüica dcflexno púa búüo e uma n.satiÌa sigÍifi.e pd ciú{-
0 e Ct =0' Td+e qú: t :o qúeilo t: Y=0quúdoz=l0eCr=-0'' l2Hoír-l0ì Porianlo: r=+ilo'2r-
0 2r1'
= -\#' ' À ir€íÌcúo Ío ÍDnto cú qúe ' = r2por ê' t sob 15. DeteÌminar a dellexão deYi'la apenas ao €isaìhamento (o) 5'2fl Fie' da apoiada' â cÀrgâ P paÌa a úga simplesment'e
t4. DeteÌminar a fÌecha deyida apenas ao cisaÌhamento nâ direção dâ Íorça P (Fig. 5-20): (a) apÌicando o teorema de Casti-
t0
gliano; (ò) âplicando a equâçãodo cisâlhamentotransyeNal,com-
Fis. $ 21 (ò) usando a equação urondo o métoiÌo clo tÌabâlho aledefoÌmação; (c) uôando as Iunções dr deílexão provenienie do cisâlhamentô' cm degaau,
Er,rúENÌos
98
oRcÂÌ{Ì@s
DE M.íqsrN
CÀÌ" 5
s
fl,NÌio
EIí ET'EúEì{IOS
E FIÁìIBIGE!Í
99
DE MÁQÚINÂS
Iúrãg@dô, Ím: (d)
=+kl' ) a','('- l)) +c"- c'' '
d@iü @ cisqüuttnaro;
TÌcholho tdat, ü üJqtutur
=# {+). # (+). , : | * tttu_tz uI;. t,"";T,i"
que dá C! - 0' Qüúò r = o, t - 0, o : Q@iio t dêÍleÉo no Porro - + é: ' ^
À defleÌão @b a caisâ P erá:
__êu-KPL+KPL,IKPL l64G ôP 0AC ' (bt
tt$súeaúl:
d êqdarão do .ísdlhtnento
Uffitlo
' -# (+ " )-# (+ )+ o = js '
l6AG
r. l*ã0 Ll2.
'
^
& -3P= 8oo,b
2.AtO KIAG
| '-"; ffi
I
I I I
ric
*'ïï''' o=':ï^. ''.-.'"'---"W..,,, ' "-o*
lc) Utanno at lunaõ.. ú destuú.
pús a D.üração scrá.t io' * fr = ff A oqusçõo
Cr = 0' Cr : 0 e
Fot r docr - cr =0úequ'do( r ) ê |@lveído pãÉ a denÈào Do potrto i - 2pol. rPmae:
sA c+ 2 A ct 2 +r= - ÍÃF.
KV
de {1) - Y de (2) quaúdô . = 2!,ol.
Çt -
dê O):
-
iúPõem:
t.
Daí Ìem quê:
3KPL sAc.
À deflexão no polto , - t/2 pode sd ddhÀda
r=\-
0<,<2
Às côndiçõ6 do Psbl@n
o=(c,-K 41A qL+C, q'*4.,
daidõ do cíú111@8to ê:
I
= 0, ], = 0, e ão de (I) Ym:
o: (c\+ KPI2AG)o +C, . . C,:0. Quodo
dcJfuada ^
*.'orrr - (c,- {fr)" +c,.
tüdà qE:
lem{e
(.)
,a. v- - *_ t*r-ço.'"*-
2. Pús; 24! ol è: Í<24 oo lQ Y = 1 125 - l00t + Ì 8?5Ìt!a' ilo
p'nèíimte
u 3 . 3 t a f r =c , +Ã l - r q .
'iqalh@drD
^toK^ r=G*--ìFr+.+
(3)
YeE:
t = f6l
Pea s
G' tx' - ** + 1 s?5(' - %)Ìr'rÌ + cr' +
T€ú -& aioila qÚ: quÚdo t - 0'
e q @ i l o '- 2 4 't '-0
( r ) r - c r z +0+c '
Ot r = C Ê+l t+q.
e
p 6', -É- 1r'tzs - r00r È l rÌ5 H!r)+cr-
-0;
poíro - 12Dolé: ' c, - 1!!', c, = o. À deroma€o!o 7 moK " Ë (r2 )+ o = --Á c +-; +o] sotr2)r r -;[-lt.rr.strzl -
osin'
103
18. Det€rmilìaÌ a flexão proveniente do cisalharnênto úos pontos de aplicação das caÌgas Pl e Pr, como aparece na Fig. 5-24. Usar a equaçãode deflexão provenienLr rlo cisal[amenr,o {v
2 r3 . < 50
o |Áíút, ê B = 0,A5-
à fadisa pa.a cÀrgas axiàb é á - 0,?, da rsistência à fâdiaa pa.! o ramÂnho, admirindo
O fal,Ì dc corrcéo dã.eshtência à lÃdiga par sup€rfries usinâdtu ó C - O,g. que ìão hãju con hr.ação d€ tensõÉ! r, Àdúitirdo - 1, vem:
1 _ú^ + Kt o, N ov drABC
Ì : n,
o) (1) (.10.000) Íd, {ï?.500)í0,?)(0.85){0,8)
tI : l,66pol
i :o*
o!
.l = l
pol-
(D (4) (Ì8.000) rdr (5.425)(0,?l(u,851(0,u)
2. Uma baÌm de aço ÀISI 1025, Ìaminadaa qüente, está suj eita a um eslorçode torçãoque vaÍia de - 1.000lb .pol a 4.000lb .po1. DeterminaÌ o diâmetro da barra sendo N : Ì,?5.
Âs prcpnedadG dét
úatoial
são:
r, = ó?.000psi;
d, = 45.000psi.
qüe í. : à 6?.000 : 33.500 psi púa flqão g:lternada e quc a Âdmite+ tc6ão de ecomerúo sb cisâlhamenro é 0,6 da sò 6fo.ço norÍnal: de, - (0,6) (4;.000) : 27.000psi. tmbém que não há cÕq.enr,reção de t€Nõe, KJ = L ^dmitiÌ O fator d€ dE€ção püâ o limire de réisrência à fadisa sb momeíro de ro.ção ó ,,1 - 0,6. O fato. de co.reção pea o tiDite de r6isrên.ia à fadigÈ, pú! o iamúlfo, admirindo-sed > 1, Fl e:B : 0.A5. O fâto. de comrqão pú.a o limitê de .6islê&ia à tadjsà para maloiais lãmintulor Í qu€ntê c t@do d, - 6?.000psié C = 0.68. te6õê média e vúúv€t 6ã0 füçõe! do6 momenrG nódio e yaiáyet. ^s O moDeÍto médio é:
7- = à l"(mâx.)+ r(nín.)] - àt4.oo0+( o nomenco leiáyel 'I,
- à l7(má'.) -
r.000)l= r.5o0lb.pôÌ.
é: "(-íú.)l
= à [4.ooo- (- ].000)l : !.500lb.pot.
cnl,. 6
ELEMriNros oBcÂNrcos DE rÍÁqulN:rs
128
Então
Então, para qualqür lonto da su!€ ície eÌt@a. teq4: lõÍ16 X 1.500 24.(D0 T^c
j
'*-
Tn
Er,Ei{ENlros soB Á Âção DÌ cÁnc-{s v,rRrÍvErs
r(min.) : (8Ì,5)(-5t) : 407.51c d(máÌ.) = (81,5)(lsF) = 1.222,5F 6-: + Ir.222,sF + (- q7,5i.)l = 4o7.sF-
=-;d .---_ -'/,'-;r 16 Y 2.501
16I"
o, : t 1r.222,5F - (_ 4n1,sa)_ stsa_
'Í).{l0O
Suü€íiruin4o 6rs
vslorcs
Substituiódo no equcão dp pÍojelo. vcm: I
d-.
|
Atou
Ì _@1I4r 2 68.000
2'Í.000 (dr) 27.000
ú(míL-) -
_l
que este eleÍnento pode suporta. pâÌa vida iüíinÍa' âdmitindo N:2. A aüáÌise fotoelástica de um modeÌo indicou rr : \42 e q : o'9 para adoçamentos de rl8 poÌ de râio. ÀnaÌisar apenas o ponto de úudança de seção. 6 prcPriedâd6:
Éi - 68,000 pois o cìcmento 6tá 6uj€ito a mommto Iletor - I, do d@tD = 0,85, foíoÌ de cor€Éo què IeYa eú dDta o tmdho = 0,88, Iator de conegão q@ Ìera d .ont o a@bmeDto spnfEial.
O mommÍo fletor na mnddça de seção vdiâ dê coú6potrdeÍtê Do ponio Á eú fução do momdn flPLÌ
52Ìtt
: a!5[t
1\
= S4 + - !-L da
úa AEC
rt.38'{8tf,Fì (40.000, (0,85)Lo,ggr d_ = +Í441,sF + (,1.222,5F)-1= _ 4ô7,5F
ú,:+14ô7,iF
(_ 1.22r,sr,) = +stsa.
êo *- ! : +J! *subsür,ub do e ob€r t údo que o! r pr 6 sinat n. g€úvo paú dnMdd @m o siúsÌ neeâtivo iÌa ÍeÍ6ão mêdia, pode* (É@t?.: t_ 2
1o7. 5F í t , 38) ( 8t 'f l | ó8.000 {40,0001 (0,8S)(0,88) ' '
'
4. Uma ba.Ìa de seção circuJar de açô G1025, estirado a Íúo, está sujeita a ÌÌm momento netor vaÌiarldo de S.000lb.poÌ a 10.000 Ìb.pol (5.?50 kg.cm a 11.500 kg-cú) e a um esforqo axial vaìiando de 1.000 lb a 3.000 lb (4S0 ks a 1.850 kg). O momento ÍletôI máximo ocorre no mêsmo instarte que o csforço axial máxirno. DetexminâÌ o diâmetÌo da bana, admitindo um Íator de segürança N: 2. DesFezar a concentâção ate teDsões e o eÍeito de flambagen e basear os cálculos na mánima tensão cisalhante. PaÌa o aço C-I025, etiÌado
a ÍÌio, teú-se:
ú" : 80.000psi (5.680kc/cm') B : 0,85, IatoÌ de correçãodo râmanho r, : 68.000psi (4.?90ks/cm,) C : 0,88, ÍatoÌ de correçãodo acúamento supeúicial d" : 40.000psi (2.820ks/cÍr,) á : Ì,00, paÌa JÌ€xão
& =L
- l) : I,3a K1 = I +4(r. - l) - r + 0,9(1,42 B Ç
\222,5F
: +,()7,5r d{mtu.)
3. Uma viga em balanço, feitâ de aço G1025, estirado a ftio' tem seção circÌilaÌ e esiá sujeita à ação de uma caÌga que varia de - F a 3F, como mostÉ a Fig. 6-?. DeteÌminâÌ o eúorço máximo
O !ço C-10:5, Glirâdo q frio. pcsi
:
Àmlisadc 6 úètr6õs do ponb B rm-&:
(r) (40.000) . (0.68) ' LÍdr)(33.540) t0.ó){0.85) e d = 1.34pol. Usd d = rtó pol.
Fig. G7
"-
5f â Ì5P. ó
À teEão
Á : 0,?0 para carga axrâÌ Déldúitrscão
dá reÍsão tumsJ equj , atflü , (a) Os nomentG nédio e yÈiáyel, il€yidos à flexãq são:
I4r :; (5.000+ 10.000)- 7.500lb.pol M, = + (10.000- 5.000)- 2.500lb.pot.
t30
ú- -
-"'
dLEúENTOS
I
ORCÂNICOS DE ]IíQÚINÁ.S
U. = x2r,I = (32)(?.s00) M. = 12!í -Ìd ? -' -" d" r nal ""='"
q{P.
ErrEÀÍE\'llos soB Á ,{-Ão Dn crRcÁs vÂRrÁvDÌs
6
rrzÌ e.s00)
. d- üobr -
" -. rõ8.000, í3 2 rr7 .5 0 0 ,, t1)(32)(2.500) ( t) (0.85J Ìd i fd r(40.000) (0,88)-
, o tK!o " o"4BC
-;-
(D) Ás foÍça6 úédia c yariável, desidas ão 6forçs aiàj,
são:
= 9.000Ìb ; r', - à (5,000- t-000)- 1.000tb. ìc- : + (r.000+ 3_000) ( 2. 00 0 )(4 )
;r(.)
(6 8 .0 0 0 )(1 .0 00)
(oisl ú.?o)O.e5,
-;ttúoior,/
Tensão no.úal
Isuãlando
3.020
= -ri -:
-
2.3e5.
'1 ,1 2 @.
5. O eüo Sr €sú dmndo ro seEtido dos pont€iros do rclógio à razão de 1.200 Ì.p.m. e suportâ uÌÈa caÌga concentrada üão-bâlanc€ada W : 8lb, cujo centÌo de gravidade descreve uma cir_ cunÍeÉncia de 2 pol de laio; eÂta carga está situaila a meiadistância ent,t€os epoio€Á e I, como Eostm a Fig. ó-g. L ma carga verticsl
c
6.690 . (pera cúsd dúr). -7-
equivar€úe íot"l
d d rrc .a r): (d)
:
+
-: d:
134.000
"'
t54.000
131
o Ìaìor
134_000 6,690 +-
âcimâ a
Ì34-000
6,690
-;á''T-ty-
d-
68.000
z
€ dài tira-sé, por tentariva, o yolor d : 1,625po1, Pelo sisbr.a mêIrico: IÌomÊnto devido à tlexão
Fis. G8
Mã : +(5?,5+ 11;)x r0' : A.625ks.@ M, = + (r15 - 5?,5)X tot : 2.8;5ks.cD. 32(4,625)
3212.8?5ì -
32{8,62s) ttrr
Ìd'
4,i90 (l) t32r lt_8?5) (lJ (U,85)(0,8a) fd,,12.820)
32 Ì1"
W&
C a p ítu l o
Frs. 7-rO
8
4,77 râd.ls.
la. Para o sisteúa da Fis. 7-20, oÍde {4 : n, : 0,9Ib.s':/poÌ ê Ë1 : Èt : À. À fnqüêí.ia naiual de vib.âí-ão (r.o modo) é r?,54 Ed.Á. Quar o valor dè Ël ÌÌ.q.. 160 Dh.Ì. 19- Um yeútilâdor d*. se. moÍhdo detrte de um epú€rho de d EfrigÈ rado, @mo most.a a FÈ. ?-2r. O vmliìador (@m o Eolor) p6a 20 lb. À düd p€a 50 Ìb. Às molas usadtu püa isld o yentilâdo. da caüa têm uma oGrdre torql de 100 lb/pol. Âs molàs uadas pdâ ield a cãixú do slo têú Ima @Dstete Há algüm poieo, e o toial de 200 lb/pol, O'veniiÌâdor opêra a 4{0 Ì.p,n. sisramâ vibru do l.o modol Usú o úélodo da eú6si4.
FiE. 7-21
o l:
VelocidodeCriticade Eixose Arvores
Dcformaçõês de eüos e áryores. Todos os eixoe ou árvores, mesmo na ausência de caÌga €xteÌna, dellete$ duúnte a rotaçãorÀ dellexão depende da úgidez da peçâ, de seu! suportes, das masaa! pr6prias e dos elementos anexos, do desequilíbrio d€ mâssas em telação ao eüo ile .otação e alo âmortecimento do sistema.  dellexão, considerada como Íunção da reÌocidâde, passâ por valoÌes máximoe nas ,ebcidad€s crtricdr. PaÌâ qìralquer árvore há uma ilúinidade de veÌocidades críticas, mas apenâs a úâis baüa deÌas furimeiÌa) e ocasionaìmente a segunda são de rnteÌe6s€ do pmjetista. Às oütras serão, em geraÌ, tão âÌtas que estaÌão ÍoÌâ da gama de velocidades normâis de operação. yelocidâde critica a deflexão da árvore será Na pÌimciÌs possíyeÌ. Na seganda, a delÌexão seÌá de Íorma mais simpÌes o de Íorma ligeinmente mais complicâda. Por exempÌo, uma árvore su_ poÌtada tros extreúos e sob a ação de duas graÌdcs massa8 (comparadas com a da própria árvore) soÍÌerâ âs deflexões indicadas úa Fig. B-r(c) e &r(à) para a púmeira e segrnda reÌocidades críticâ8, trE)ectivamerte.
Àsp.: Não. À Aêqüência úatü.s] é aprciiúada|'hte I,5 Ed-,ts Fqn é rÌe 41,8 ÌÍd.É. modo de vibrâção e a vel@idade dô ÌdtiladoÍ
a). À frcqüênch d€ vibnção |i1G de um sistema é iÌe 12 .ad./s. |''F tdte de mola e a mÀcsâ são pe.teitâm@È @ìh@ids e t@lr@do daí q@ ^@':15 rad./s. (a) Qüâl o valor de Êl (ò) À q@ rreqúàcie poílo* 6pêrsÍ úôp|ihrile márina das Ìibraçõ€ foçad6 sê ! fGçú dlmd é do tipo f. @ô,1 (o) E : 0,6; (ò) o-Á-. r : 7,95 Éd.ÀÀ.rp.:
^a.' 2
Flg. &r (.)
.| freqüônciâ natuÌâÌ de uma áÌvoÌe gujeita à Íl€Ião é mui{.o do veÌocidade crítica e seus vaÌores são usualmente cotrttúIiúo I Notâ do T.adutoi, Sãá úada a pâÌsEa ôwÌ. pea sien'{icd turon ô aUo aôoprsgue o asunro €qlobü a due sigrificaoõe.
ELE\rENTosoRc,iNlcos Dn MíenD{ns
168
fundidos. Há uma diferença, geralmentê muito pequetra, devida à ação giroscópicâ das massas. ú2
crP. I
vtracDrDD
,. :
{!
constanie de mola da ârvore (força necessária para produzir detlerào uoit.6ria no ponto onde esú siruadâ a mas6a). Esta relação independe da incÌinação da árvore (horizontal. Terticql ou p6ições inteÌmediârias), O síüìolo X, úa Fig. g-2, repÌ€s€nta a deflexão da áÌvore, duÌanÍ€ a Ìotâção, no ponto onde e.stá siturada a massa. Também poilemos rcr: d. :
*u.ru"tu'uc ilc tempo,
160
Ë :
Fie. 8_r(4,) Para uma árvore suportando apenas umâ massa (Fiç. 8-2 e 8-3) e se €sla é muil.o grandc, compaÍada com â da própria áwore, a primeira v€Ìocidade critica pode seÌ caÌcuÌada, apmximâdarnente, peÌa fórmula:
cRÍarcÀ DE EEos Í íRvoBEs
t; 1ï
Ìad./unidade de rempo.
onde: ô:
deÍlexão estâticâ (deflexão, ao ponto onde esú situarla a massa, que seÌia causadâ pela {orça W : rrg); g : âceleÉQãoda srayidade (32,2 pés/s'ou 386 poÌ/s,). (No Jstema métúco , : 9,81 ú{s,.) PsÌa unâ áaore de seção r€ra constante! simpl€smente apoiada nas extremidades, Bem outm maasa que a pÌópria, a pdmeim velociü/ô = (50)(0,0012) + (100)(0,000.s) >Wô, - (50)(0,001.2f+ (100){0,000.3Ì-81X r0r lb.poP
= -
{$
- i+*p
= 6ssra.,./s - 6 2501p.n.
íoI(Á de bola Sue o eüo exfte na massa, seDdo Ë a constete de moÌa úa rbnb de aplicaçãô da mNa, isto é, a Io.çá nec€sária a prcdui. deto@aéo mitária tr6te ponro;
(-t+.)o2
: aeÌdação
R@Ìyendo
peâ
do c€útrc de slayidÈdê dâ mdsá.
-r, a dêÍloxão do oiro ú .'.
'\( k- tu 1 ) =tu @2 Sob 6
cdsidâàçõe
ÍêitG,
Íero
x -
a dôIlcxão lí
onde êÈrÁ ôiluada a easss
.^ ""
tomas
-^. muiiô
glarde
quúdo
r-
A vefeidadêq ica ó o! porlturo. Ã,n - 1 ;t ú8. n - wl : k4!W : slô- (Po delinição, a detleÌão Grática ô ó a quc Èeie causadapêÌs
fr I'is. 8-ó >ltlá = (22.?)(0,003)+ (45,4)(0.0008) :0,r04ks-cm
@..
Ídça B/. r.so,
;
: ó.)
= 2,33x 10 . ks cm' (o,oo3)e >lyô, : {22,?) + (45,1)(0,000.08):
", - 1@
:
lgP'i*l,
: 66rÌair/s =63,0..p.ú.
2. Deduzir a equação ô, : 16lA quc dá a yelocidade critica de um eiÌo supoÉando Ìrma única massa concelÌ1rada (Yer a Fig.8-7).
"": 3.
Deduzir a equaçãoro.:
Jst6q2W6
II'ó? -*cidade crítica de uma árvore que Buporta vfuias
tradas
(Yer lÌt.
a pdmeiÌa Yelo-
&8).
Sc.ão dsp.ezodos: â peluenâ inclinação da m.sa e ôs êfeitos do at iü) e admitida { eisiêrcia de uda peqÉna eicent.icidade e do ccnírc dê s.âÌidade
lìe. &a Fig' a-7 dn úâ$a cn relà{ão âo eixo dc snação. Asir',
ElboOaae a áúore ee üúa posiqão de yibração Da fÍeqüêúcia fundúental ., (l.o modo de ürì.aÉo), @mo mctra a Fis. 8-8. À tuersin poremial úáximo arEÍrooqdâ trâ &vore dcve s6 ÈuaÌ à enersia cinótica dG masÈas em movimento.
E.c.íúáú.) - +mrv?j- +n,v,, + ...
r74
EÍ]EMENTOS
OBCâìÌICOS
cÀe. 8
DE üÁQÚÊJlS
paÌq qualqu sdá senoidar. À vêtocidadê báiiM O úoyimênio ds úN6 *ráX"@.onde '{n é a Ámpltiude do noünento da mNa 6úidoade. ds ms4
VET,OCIDÁDECBTTÌCÂ DE ED(OS E .ÃRVOEES
dqs deflexões, os coeÍicientes de influência enconhados foram: ar:2 X 10-6polilb, ale : 12 X 10 6povlb, 4 X 10{ poÌi4b.
E.c. (mtu.) = à a1 (x1o)' + ï + .. : i @'>n"x^'. ^r 62.)' À enersia lolenciat úáÌimÈ afuadailâ definidâpek c*áÌio p$aÌeyálÀ sübafoma
Da á8ore é ieual ú trúìqÌho É amptiludë Xr,.f2 etq Portur.:
116
a primeira velocidade critica, desprezando a massa da
DeteminaÌ
: à è1xl +à k'x,' + ... : t>knxn' E.P.(úáx.) (c)
@mo sè s€suq d€ moÌÀ dja d€Íinição pode s sDlidda onde È é a coútútê @ I' etc.. sejd 4 forças que, asiÍdo simült€4deúte Âilnite4e que ,'r,fr,f3 O dd Xr, .trt etc. fomâto púdüzan s defÌ6õ6, 9,3 eic., rGpectivammte, -trt deíonâção da árEre depetrdê po.6m dst6 fo.çN e não aê @mo são âplicadGPodê 6q suposto, por exemplo, que I'1 foi apticada primeim, depob F.' m sêeDidâ rr, ..., de qualqüd modo aÌbitÌáÌio que @ deie; no cN s fGçc sêrão c@ialdâd6 @no âplicedas sinultãncament€, a panir de zm ê euaÌdúdD @ú É lâção lineqÌ lÍm as defl€xõ8, nG lontc delua apÌicâção. no O tiabalho @Iizdo dâ Fis- 8{Ver 6 diasraDs {o.çaìefoÍnação potrto de âplicÀção ale cada foÍçe é ÌepÌ6@tado peÌq á@ smb@dâ sh a reL. Isuãlado
G €ndgis
Íbten.iâÌ
e cinéticã máidmG,
I (ó)
s>w"ü " :Ã"ô"' - -tw;t:d'='2n^ô^' w-
"r"
e hnoa -
w".
t+l _
'"
I
= | '2wõ ' '' l.nü â\ - Wraú + W2a* = (r4o)(2)Ì0i + (60)(4)r0-ú : (5,20)r0r pol, õz: waa2r+ wraa: 60) GA rF + (140)(4)r0 6 = (rt,8q r0r{Pol.
w6 (r) (r40)(5,20) rr
(7.28)1o-,
: 0,68) r0-' > : (14,96) lo_' Ib.pol
(60)G2,80)rr
(l)
(?,20 (r0-,) (5.20)(rr)
(2)
(ro3) : l9grlllq1 (?,60(ro ,) (12,80)
wr
= (37,9)r0-ó
t-: (Ú6.2) lo'a lb PoP ( 10 ' I 3Só,( 14- 16' --.
''-{ffi -ost"ai ''
e êquação dè DuD du4 slüçõ6 são òfamra, @mo era de se 6pdd: ú Ìear e â de Râ eish-R,tz dá vâÌor6 suPe.io.6. lüÌey ^s {ìâ valoé iDfdid6 êntre 62r e 6sl rÂd-/ô. O vdú Ìeal 6Ìá compÌmdido
á
4. Duss massas tnr e m2 suDoÌtaalas pela áÌYoÌe da Fk' 84 p€sâm, lespectivamente, t40 1b e 60 lb' PoÌ meio de ümâ análisê
:
(2)
Ur@út a quaaão d4lr.qúôneíc
k
Frs.8-t
I
+
U@tllo a .qüaaão.le Raieisn-Rí|.:
â freqüênch natúal de übÌação o' isúal à vel@idâde cíticâ Aa-itioao ' o írdice t pd siúpÌicidsde dá, fiÍalmmte: e de Íoiação @. abadoúddo
s>wõ = ->wr-
*1 - " 'n 'o o ,
={
aem:
Supondo aeora quo a fomâ que a áÌwre adquie dt'@t€ a vib'â{ão ê a = m6ma que a produzidâ peÌÀ ilêfldão ëtática, isto @í6ponde a e re -{r à reaüdâ{Ìê m3 @ dá não cor6ÍbÍde = C6r, Xz = C62 et{. Tâl dúcluão úa apronúÀção reoáYel. Àsim:
: --
d. DunheÌlcr:
", {í ={- t
zkíx.N
pois
Ur@tdo d eqdrtu
I a*nà
-t "- ,
a,
+ ía r a ,2 - o t'6 ìn t
(ou + de h!) - (2)(r{ts) t;;, '|,
n '- 0 .
+ ('r) (rüir (ì;,
Gtazl- aaozt)mro'z:If"l Orl - tnltrl I !4#E : (0,45r) u-D.
= (2.se,r0 6.
176
c,rP. 8
IìI-EìIENTOS ORGÂNTCOSDE }'íqUFIÀS
eo"tunr.,1l - {z,sll lau 4 + {o"ts,)ro' - o n-u a quala mdoÌ mü posiiiva é a, = 624md./s.
0" (25í cr|})
0:' (25,acm)
5. À árvore de aço da Fig. 8-10 suporta duas engrenagene pesando 50 lb (22,7 kg) e 100 lb (45,4 kg). Desprezandoa massu da árvore, calcular a primeira velocidade crítica.
ustudoa €quação d. Ralhisr,-ni''.. - t/ , t 3tíof " ',**"
= 1 ()0 l b (45, 4 k9)
siste na deterúinação grlìl@ da Eis. 8-10.
i = 50 l b
(2,7 ke)
dG ô.
O prcc6so ê esuir
.r".
"".-
se.á o que mosr.a os diá_
(r) Supor cúr€gamenb estátis com forç4 iemis a Iyr e nr, e com ràis sdridos que a á.vorc se cu.ve adqui.iÂdo â fo.ma mais simpì6. tcm-se â.$im o diÂgÌâ@ de cdregúenke.
2" (5,1 cm)
(2) Càlcula B.eaçõ6
lb (45,4 ks) 70 lb (31,7ôkg)
L71
vEi-ocrD-rDE cRÍTrc-r D! Erxos E ÁRvoBEs
700 lb.pol. :lO0 lb pol. (161 kg.cm)
nos ndcais-
(3) Dètcmiotu
os momentl)s flerore
(4)
Dctc.minü
e defÌciõ6
(d)
ZrDl
:
eoúenro
e 6boqa.
o diàelaDa.
ôr e ô2, uando lor eÌcDpto, o mórodo .lo mo_
da á.eas ár, Á, e 43 eú tomo ile e
lru'; uu'l(r0
ï)
F(r0,(a00.,s,
n0ìi100) (m)
-
= ?6.66? lb pol.;
(ò) zLEI = 76.667(19) =:o:::u.nr,;
zsEr- 76 661(ff) (d)
4El
D.fl.Ii.
:
z5
Zí81 :
: roz.:aru.,.r,,
moo"Dr. íli ürP! 4L êm lom dp p = í10)íì00\ / ì0\ "- i ( J, f - t r . 66?lb poÌ : : moúenío ds árcs Ár, /, e,4, em rorno de U -
1to t ;J | 'r o,r 4oo,'r 1, * !q#q (!)
üEI
= ZIEI
õt EI = Z6EI
(5) IÌs. 8-10 E3ie ó o vaÌo. r@l dâ velocidade c.ítica (d@íÉ da pÌeiúo da.ésú a equr6. de DinÈdley trs dá eelhd culo). Púa ete ce pïíicììa. maçõo que a de RaJl€rgh-fttz,
,-
(6) ôr de cálaprcn-
T
( ,n ï)
r Ì9
ZIEI : 3A.t33 ZxEI - 157- a76
, ,, ( h) - r ;r z r or rp.r
tt.661 :26.666: 10?. 334: 49. 88: .
=" :;! - o.;ai púrr'.- Ìr r 0.ai ( z r 49.AA2
(3) (107) (0, i85)
: (:,118)10 r pôI,
pol' a : 1')#ffr6r, - rr'''2)ro-3
. ,o- !a) ,* " ..
vEocD.lDE
EI,EMEìI'IOS OEGÂNÚOS D4 ìtrÁQÚNÂS
1?8
w\ ô\t = (2,24x)W
(?) Iy1ôr = (50)(2,rr8)loi = (r0,59)(rt
> = (r,520t(r
|,zw6
(3) (ò 4 Er= ë1ë]4! (,',' +#)
r.
46rlg cm
+t'.nrtlerr($)
+
+ c",,o (+)] - s?o.oooks'cm!; : t t...o'
{.) zrEr= 5e6000ffi)
t* *' - ooo.ooo
- (2r,9r)ro1
cúTrcÀ DE ED(os E íÌvoÊEs
e segtmda yelocidâdes críúcas parâ
a equa6o da tuqúâich:
(otr,'h + da Dr. l ;.
_ + (afl
"n
O úaid tÌabatho c@ist iÀ derad!À6o bíE€ & {ìêÍqõ6. da6m m Í€irs.
- ou o'ì)4lna-0. dê ar1' d!! ô dlr = d,1. Dú{s
2. Püa e detãmiDü ao e q podesÈ .plicaiÌa l,@ Éaa de r lb Da poôiíão d! @sa númm r, qchdd(E êú 6€suidúe dêíexõe eb s úNsB r e 2 (vE l"rg- &lr). AuloAúdte p6ú â delerúinação de d2, ê au apti.ose Me cüea de r lb !o l@al dtr bG& núm 2 ô e achaú 6 dêfldõq {,lrcDonddres úb s |.* 2 e I, Gpèrivâl'urè F.@do à D*Í€ G cálcuto6,G rdulüdos oE - dl " (9,5o)t0. povlb. d11: (r5,3S)rrpoub, .tr = (?,ri) l0{pol,'Ìb.
(?95 =s66001*'.-',
(e) ZíEI - 555.Mo +390 000 + 163.000+ 63 '140= I u0 000l(g cú3; : U) 6zEI = ZeEI - ZaEI:284.000 - 86 600 197.4001a_cú' ôltI = r.l?0.000 800.000= 370 000ks cmt. ( 41
Ì = - :-:::-= 3 3 ,2 c ó r. E = 2r X 10ókg.cnt. 370.000 3 3 ,2 X2 1 X l G
a,- =,urlfi.' (6)
Fig. 8-rl
: 2,8ó x ro-t@.
Wr6L - Q2,7)(5,30) r0-r : 0'r2r ks'@' }yr ôr = (45,.Í)(2,86) l0'r : 0,130kc'cm' ttYô = 0,25r kc cm.
(?) W1ôrr : 0,640X r0-'kc'@', IY' ôr! = 0,370 X 1F ka cnz, >Wôt = r,010 X 10_tLs.cm'?,
t.,tôt + a^n,- (2i.35)rr" ($) (dlra' -ar
+rz,ooro-"(j$): rr.rupo-.,
o't arzÈ = tes,35)(7,04- (4í,]l - (3,59)r0-tt.
j - o,u"roo"l j + ose)ro-u= o
Er,EMENrosoRcâxrco$ DE ìríQDrNÁs
180
c,\P. 8
rÌr,ocrD-rDDcRíTrcÁDÈ llxos E tRvoREs
À neÌibilidade
que iem como mízG Í6i[iYas:
dG suporíe (4fi '
o.. - 483 rad /s oq = r ' 090ÌadJs?. Os mâIÌcatu do eixo ÌepreserÌtado na Fig. 8-12 têm fleÌibiÌidade €qÌìivalente a uma constante de moÌâ È de 250 000 lb/poì
rcdtrz a vetocidade cirica
3q5' 46a::
181
de
,^^1007.ô l57a "
8. DeduziÍâ equaçào de Íreqüência j + ),-A,,^,+*"^l + (ar1a,,- &v a'ì m1n, = 0, pâÌa um sistemade duasmassas.
q=a' b- ro'
Fis.
&lj
l. V6 a Fis. &13. CdsiddaÌ o ei- em noÌtnenío e ófÌddo deflêxões .D virhde das füçs eenhíuS:s níro1 e Dú,ot, úos potrio! onde 6rã0 fi_ t\ : a1tryJ\62 + a\rnztzé, r t- a 2 2 n {4 t2 +d t\m g p ,.
fig. a-l2
2.
Dõ €qu$õ€
ao eüo. DeYido à caÌga' o eixo em qualqueÌ diÌeção peryendicú sofre uma dcÍtexão ôu:0,00r.8po1 sob a carga de 3001b' Qual p o eíeito da fÌexibiüdade ús mancâis na Yelocidade cúüca
tuiúa, @locaDdo rÌ e r, eú €vidência e dividindo por oq,
( d u n t'
t,
(2,, ni)r, l.
fo$en
Se os supoft6
"" -
Ìigidos a vel@idadè dicica sie:
3.
R€olvmdo
y'g.ror: r/:oeloPot.o - 4ó:-a,,,".
2. A fleÌibilidâde dos süpôú6 âunmla â defldão no !onr, de apticâção Prâ câÌila caraa, medida em relação à linha de centÌo do eiÌo dBcaÍesailo. coÌar a vel@idade citica, !ôd€ er úada:
mt "" -,fotu
rt;
j:
=(ó,7)r(rpol
àô+ ò. : (r8,0+ ó,?)10é = (24'7)Ì0r Pol'
a\\m\
tt
_ (o? n, ;)
- o
y! = o.
Dâs equaçõê âcim!:
JJ. = =; ;aen2 t!a'
e
!! !2
-
rla'z- ca2n, a2t h\
Enüo: a12nt
_ 116, - at nz
'a d.Íl
y1 : i?l/Ë= 100/250.000:4XlF tDl = 8 X 10-4pol y, = À2/È: 200/250.000 ô,=\+t$
pera h/t,
I
Y, + ( d r ? n tr ,
ã
1.
- ( a ú 'a
l a g n t) - è
Podqia sd @lüdo
| ta n a n - a b d 2 ú m t.
mâiÊ simpl€mente,
n 2 =o .
po meio dê um derermiÍúre
(*^-*) =0.
Eítão: ." = y':s6í2a,?xro-') : ecs.'a./*.
(**-à)
182
xr,EMúNl$,S
ORCÂNTCOSDE ìúÁQI'INÁS
núúdo a €qua6o de fteqüêÍcia' havddo !m o'id 5. PÀÌd d6eíÉÌver qúom! l3r@endo memo raciocínio' pode o *r ôêcúdo dê nasss eúlüd6, equaçõ6 eja que d€ iÌe o sistena À fim masa sob .adâ pea a dêfldão ção sâtióioito, o iletêrminaúie fomado peÌG co€ficidra dG v d*e s Íülo'
PaÌíiíilo
r.
| lada22
r"oox\,,t-
aadt)fr.'a
1Ì
oq
*"
é 8.rãlm"nlê
1t
muil.o Daior
a":, oo,o.i^a.n
Yêloddad6 que @.'
cÍíti6'
Porrâtlo:
rh I,=
ó
É!erivll!d&' -+
sá
"ilo
4. Tmbém se tem: d\rr{= anwlc eo\\Wr= ò!, n deÍerão etática eb â mNâ núúdo I, caNada Pc Itlt lsiÍdo wiÚha PoÍtarto: at1m1 = áu/0 = r/@1, ondq @r: Yd@idadè círid $É êÚstiria e âpd@ 6liYe9 númm l. ÀÍatrogammtet a8m2 = Vtt'a' u **"ão -*. s. Àsim. ---.1" = -- + - ,, qu. é a equâção p€dida.
' z' possú uma velocidade D o 10, Um eüo de aço de diâmet intemo iliâmeho Se o eixo Íosse oco, com crítica de 1.200 r.p.m. iguâl a 3/4 D, qual seria a Yelocidade cútica I
@.i = v€l@idade ditic. @d = vel@idâdo ditica
Pân o dxo @l pülo €üo maciço;
de
-
t;)
(,r)
ê reduido .â reão:
ü - \ lt t Di = ì ?s azih' tem-sêl
= r . s62eod
-..,\
ó"ôr
I : 00\ - - , ô2-
PROBLEìITAS PROI'OSTOS ll. Um eixo simpÌeútute apoiado em dois mancais septuâdosde 20 lol (50cD) supo.rôun lolanle de 80 lb (36 ke)  ? poÌ {r7,5cm) à di.eira do úancal ÊquÈdo. cuúa de defleÌão pas p€ìG porios: ^ 6
8
0,005 0-007 20
| oqn' -
'' " =9""a* ' ,o
e a.igidêZ, afetaúdo Nim,
A Ìedução dâ n6sa tcDde â aum€rrar  vclocidãdec.ír,ica enquanio que a .igidez tade a diúinui-la. À massa6ofe m{ior redução que a.isidezi o eteito Íinal, po.ranto, é um âumerco {ìa yeÌ@idadec.ii!€.
É 6. ÀsorÀ ficq didedé p@ quê â êqu'{ão de DonkÈlêr d dá târ(E eqüado admik -+ - oú rr + ' n* q." o Faì pm a rel@idsde siricâ. ^ + ann, e aa Eaüdade6e tôú:
o; 6 ptoporciooala Vô; atão,+
ao mesoo poDro.
: 1.500r,p.m.
1 @ q z :a tL tu + a ú n t '
l.
corcpobdendo
3. Cono ô é pÌopoÌcional a lÍl,
*,
Ì1 ;F = * ^
dcflexõe
O momdto de iné.cia I da seçãol.mÌe.sal
- o
ì; e ses:rda
6
2. l'lnndo o ci&, redu@-se o seu pe dois mdc, a detlexão O pëo é reduzido na Ìeão:
: a\tmL + aún'
+-;7
";" oúde, o', e ô., são a p.iúeta
defleúo 6rática pata o €iÌo máciço; deÍleião eiática paÌa o eüo o@.
rr/^ Dt (tl4 D)' 7 w,:a -'lr''
o âg'@ddsÌâi6 2. Em qualquer êquaÉo ile f(ma I + òz + ': dâ íftqiiêúia: equado = nca !a z\ + .t - b. Àsiú' - ò. Poriaú:
^,t-
Oó3.: Àmb6
: :
8:
úo Pmhl'
ddivada
dâ equ&ção de fftdêlcia .- (dtr''ì
;{
3.
ôr ô,
Deduzir a equação de DunkeÌÌ€v pâra um útema de duas
9.
irr,ocDrnE cBíTrc DE rrxos E ÁRvoREs
ciP. 8
0,010 . 0, 0141 0, 01610, 0Ì B D.t rúi(d
a vclocida.re c.iri€. Â6J).: 2.,t00 r.p.m. (2.500 ..p.m. no sisl,emamér.i@), ^prcimãdamênie 12. Uma árÌ'o.e dc âço de,ú pol de @mp.imenro 6rá simplemenre apoisda Drl .xtrefridad6 e tem üm diâmctú de 3 pÒl n6 90 pot c€nrrois e diâmerrD de S,5 pol no 6tmÍe. Nos rúntc dc mudanç! dc diâne.ro r,emosdus massasde 100 lb ccda. D€púzado a mGsa da árvore e úúdo a equação .le Royleish.Rlk, cllcuÌa. r p.imeüa lelocid{de c.íiica. Aap.: ôÌ = ô.:0,004.:5poli o. = 30 úd./s.
184
EI-ETTENTOS
DE }1ÁqUINÁS
ORGô-ICOS
13. Determüe a yclocidade ,rÌiücâ púa o cixo dê a(! da [ig prezü a úsa do eüo.
cÀP. 8 814.
l?.
YET{CIDÁDE cRíalcÀ DètEmi@ Àetp.:
{ *lociitlde
DE Elxos
E íRvoREs
185
cdLicÀ do eixo de aço da Fis. &u.
1.480 r-p.d.
Ãetp.: 1.900 r'P.m.
Fis' a-14 14. A árvor. (prdeniada psi). Deicrmi.àf *d diânei.o *ja sDperior a iì ó00 r.P-rì. À4 P:
Fis. 8_l?
na !'rg. &15 é de eço úoridárel (&: 26 X 106 de raÌ úodo quc süa primci.a felocidade diticâ
i, : : 1/ 1! ol
r0- O €jxo dê açó da Fis. 8-ts devê !6 pmjetado de ral moalo que su velo_ cidadê ciüca &ja supãior a l_800 r-p.m. Det€lmioú o meúor diâaerro que s[iefa{a à údi(ão iúFostâÀap.:
2 pol.
5
Fie. 8-15 t'is. 15. Púa a á.vo.e de aço da Fig. 8-16 dêie.miod c.írica, usando â €quação de Du.kerley. Ãúrp,: 1.800 r.p.d.
8_la
a prümi.a 19- Ue ên@ retn ì'@ ÉIocidade críiica de 800 Lp.m. iloì@.to, qual sá tì F velocidade dirica I Àril'-: 1.6m r.p.D.
í
40-
Fis. a-ú t6.
Idem pda a áÌ!o.e da Fig. 8-10-
Fis- a-19 Z). Uú eirc 3uporta du6 Dss r apéns, âs defletõ6 8ob â6o da nlg
ieuaô, @ú@ntradáE Doô poÍtôs t é 2. em I é 2 são, rereiivamenre, 0,00g pol
crP. 8
Et tMEÌvros oRcÂNrcosDE lrÁQrrrì{ls
186
, s defleÌõ€ et6tica o I e e 0,00? Fol, Se apeDe a nassa 2 6ÍiYd prest a prinena *I@idade ! sõo, r6p€cíivÂmdte, 0,007 pol è 0,010 pol. Detdúiú
VEIOSIDÁDEc[ÈÍTÌcÁ DE EÃos E fuvoREs
t8?
tÉ. lo) Dete.min8 a pÌineira wlociitad€ cÌítica FâÌa o eúo FiA. 8-21.
Ì?esp.: 1.400 ..p.ú. (Duíkerley); 1.480 Ì.p.b. @aflekh-Rilz). 2r. Púa o eixo do Prebl. ?0 detmine c.iti.6, pêÌa eqúção de freqütu iâ. (Ohseúd : ln$ ar\ - 0,0071ns: d12idr2 o,orolús.) Ã.sp,: 22.
1.480 r.!.ú. e 4.280 r,P.ú.
Dete.mint ndr.:
a pímeira e s.4onda vel@idade que: nl : m! - n; au = 0,008/
a prinei.a
e seguda vel@idadd c.itic6
aü!6tõ.: C.pidoü a nNa ire caíla l0 pot ilê ei]o colchrrada ceutÌo de gdüdade. Usd a equaçÃo íte natìêish türz,
340 rad./s e 660 rãd./s.
23. D€t€rúina. a primêirâ ÌcÌ@idadê c.ítica pea €úi.csâ.do a equação dc Dunkerle]. Ã.sp,:
a á(oE
da Ijg.
&19
303 .ad.ls.
2!t. ConstaLu sê. püa a árvo.e da Hg.8-20, deYidas à fl€xão, sã6:
Íis. a_rl
púa À ánorc de
que 6
deüeIõÈ 6[áücc
eú seu
(ú) P@ o ného eko, cosiderü uma aploÌ;uâcão mai6 s.6eira, ou seja, com üm sistema dè tuê! m66, adníi,.tos€ con, nos centrcs de sÌ{yidade ds porçõ€s de êixo de drâ-d-" 3 Ì.r, ó p"r ::i;:Ì:as nesp.: (a) ?-ó .ad./s (usúdo E : 30 X rÉ psi ê pêso ép&ífi.o aço _ : o,28j lb/poli). (ó) M6no yator rÌe (d) mm a apoximaçn-o aa Ìésuâ de cálc,ìlo. o vald dc (ó) ó un pouco nenor que o dê (a) mas e rqua de ., lìsct:.ão. cá|.'r|o nio trc ilá peisào púa que iôro scjo ohs\â.1o. psra Grimsr vcloci_ oao6 s'hc* de qdêm suppÌinr à priDeiÌ.. dp\pmq tuc. ãnrcúDâçòe DaL Oòr.: Ìsro nútén â ãtetrãaiya ur€.io. ile qw m6Ès disrribuídss lodêm, a eco hodo, M strLstiruídàs !o. nNN @nccDtradas pea derminâção ds qír,ica veleidade de FineiÌâ ord@. - Paâ ertuplo de pújero de áÌvoÌe na quat o dií&io ìabcidade oítica, yq o prcbÌ. 12 ito Cap. 9. DerêÌmhú .-,ãt. laoa om dc mrqe
de seleção sejÀ s
a Fltridrde úithâ pqâ o @mpEsor.te ú ds Fie. &22. p6a 80 tb cú.toindo t/a do pê6o da áruoE,. {, 6;voF é
Fis. 8-20 ór : 0, 000. 9I bI . ôr = 0,003.0po|, ôi = 0,001 3 Íú1. Os úúcais têD uma flexibüdade ne dneção veticâl equivalotê a ì)@ de mola È = 200.000 lb/pol, porén, xa dircção horüontal, ÍDdeú 66 @lstule cÌiíical @úsiderados .igid@. Qual o priúei.o nodo de vün(ão Àerr.: Pode hav€r dois modos dê übração na prineiÉ vdftidade c!írica, um no quaÌ âs dellexõ€s veúi@is r€ndd a sd eÌmda e o Á veoutro em que s defldõ€ hôrizonlsis é que úo stud6locidad.ts c.ltic6, €lcüÌÂdas peta equà(ão dc Rayl€ish_rìÍz são, 3ó2 rad./s e 428 rad./s. BrÉctivamentq
Fis. 8-t2 j:::::3g:!!!rü
o al@tô
eÌreEo de 6 rDÌ è m inremod€ 5,5pL
"jlmerm de Ìisid@ p.oduiilo
rÉ16 rc1o6.
Dê.
188
Er,Eu}ì{r9s
oRclìIlcos
DE xíQúINrA
ígida (I €ldado) tN de peq@t s4ção A âwre ê bstete Dú.aão: kt4 6eu diâneho *teú. ci!@ v|* é de a!@6 trâD6v€Bat. O @Dplimúto dc Ì6te& impoÌtâncnì pMãidte do cisalhmflto s dellqÃo tomú condiçõ€ !o cáldt . do ci'qlhúato. (a) D6p!@údo e ilenêÉo pddidtô Àár.: rd@8: .r. : 1.4:n).&L/buâddo â €quatão de Rad€ieh-Rit' e Eú; . do .isdh@dto (ô) C@sideimdo àeom a d.Íldão pro6i6t€ @. _ e equaéo de Revretsh_Riút' oòt6o4ê: do momoto fleror ô âitda úudo
Transmissão de Potência C a,pÍtul o
9
O pÌojeto de áúoÌes consiste, em prinúio, na deteÌminação dê Beu diâmetro coÌreto paÌa gârantir Ìesistôncia c rigidez sarisfaúô.ias quândo elas transnitem potência sob deteÌminadas condições de operâção € carrcgamento. Às áÌvor€s têm, em gerâI, seçãotuaìsversaÌ circuÌa., podeldo ser maciça.s ou oca6. O pmjeto de ár]rores de mateúais dúcteis,. bâseaatona resistência, é contÌoÌado pela r€oria do cisaÌbamcnto máximo. O que se seguedü Ìespeitô a áryoÌes de materiâl dircül e seçãoreta circular. Ás áryoreg de materiais quebndiços seÌão pÌojetadas haseanilo_se o cáÌcuìo na tcoria do esÍorço normal máximo. As árvores são, DormaÌnrente, sujeil†a esloÌçoÊ de toÌção, cisalharnento e àxiais. PaÌa árvoÌes sujeitas apenas à torção, a tensão de cisaÌhamenio é: Mt . | 16M. t4 para ánorcs ma.iças, ,_ - _ _-'' r-
-
rÁM,.I':,; ,-i.'
7f\4"-
-
4,. )
para árrore.socas.
'
PaÌâ áÍvoÌes sujeitâs à fleÌão: ct : 6b -
Mtr I
32Mb
32MÉd" T@"1 _ o\\
para á.vores maciças,
PaÌâ arïores ocas.
Para árvorer sujeiias a eslorços axiâis, tem-se: d.:
IF +
c. :
- .-; T\a;
rara árvores nacicas4F _-L;-dÍ)
para árvores ocas. -
E 190
EI]EITEN?OS
A equação que dá o diâmetro rÌe uúa árvoÌe ocâ, sujcitâ a $foÌços de toÌQão, flexão e axiâis e levando em conta os eÍeitos de choque, Iadiga e {Iâúbagem, de acordo com as noÌmas da ÀSIvlE é a sesuiote:
16
*
ra, (1 - K\) {["'',
qE"a,o. + Kx)
f" *w,rt'.
Para árvore maciça suiêita a pequeno ou nenbun esforço axial' a equação se Ìeduz a: dx -
:L
\J/ 6bMhf
Mb: d;: F":
l,ensão de cisaÌhamento produzido pelâ torção (psi); momento de torção, lb'pol; monent,o lletor, Ìb pol; diâmetÌo extemo da áwore, poÌ; diâúdtro intemo da áwore, pol; carga axial, lb;
K:
&: &:
{atoÌ que Ìeya em conta o úoque e â Iadiga, apìicado ao momento íletor; ÍatoÌ que leya eú conta o choque e a Íadiga aplicado ao momento de toÌção.
Pan eixos eslacionâ.ríos: Carga gradualmente âplicada Cârga sulritamente aplicaila
Kx
r,0 1,5a 2,0
KI
1,0 1,5a 2,0.
Pota ômorcsoa eitus Erc gÚanl
r,5 Carga $adualmente aplicada (Pe_ Carga subitâmente apücada 1,5 a 2,0 queno choque) Carga subitaúente apÌicâda GraBA0 a 3,0 de choque)
1,0 1,0a 1,5 1,5 â 3,0.
dò = tensão de lÌexão (tÌaçâo ou coúpres€o) psi; do : teneão axial (|,Ìaçào ou compÍessão) p8i.
1g1
De acordo com o ÀSME pafa aços comerciais de árvores, d, (peÌmissiy€Ì): chaveta);
8.000 psi (eüos ou árvores sem rasgo de
í', (pemissivel) : cbaveta).
6.000 psi (eixos ou áÌvoÍeB com rasgo cle
O ÀSÀ{E estabeÌece tam}óm, para aços compúdos sob espe_ ciÍicâções que: t, (pemissíveÌ): 30% l87o da teNão dê rasgo de chaveta. de 2570 se houver
+ tKM)'
onde: M .:
aRrNstrrssio DE porôNcrÂ
cAÌ'. I
DE ìÍíqUINAS
ORGÍNICOS
d :
do limite €Iástico mas não mais que Ìu?tura à tação, paÌa árvores e€m Estes valores devem s€Í ÌealÌrzidos rasgo;
ÍatoÌ d€vido à âção de flambagen. (Il : I para tração.) Para compressão, a é deÍerúinâdo por:
1 - 0,004.4(Llh)
ou." 9.
": #ír(+)' "".u f
rt s, t ls,
:
I paÌa ext{emidades articuÌadas;
:
2,25 paÌa extÌeúidade6 ÍiÌas;
:
1,6 paÌa extÌ€nidades com movimeútos paÍciaìmeúte Ìestritos, como em mancais;
k = raio de eiração : V4a pol; I : momenÌo de inércia, pol{; áreâ da Beção|.ransì,ersâlda árvore, pol,: tensão de cscoünml,o em compressão,psi. O pÌojeto de árores levando êm conta â Ìiaidez à toÌção 6 baseado na deflexão angulaÌ pelmisÊível. À d€Ilexão anguìaÌ márima peunitida deperde do c€so considendo e varia de cerca de 0,08 graus por pé pâÌa árvores de máquinas de um modo geml, âté 1,0 grau por pé psÌa áívore de tÌatrsmissào.
0= v^ -
5A4MtL C ld"l -
584ML Cd,
d)
para árvores circuÌaÌes, ocas;
para Ar}orcs cúnulâÌPs. maciças:
102
DLEII IìNTOS ORO,TNICOSDE ìíÁQUS_-ÁS
ondo: = deflexão an$ÌÌar, gÉus; , f, = coúprimento da árvore, pol; M, = momeÍto de toÌção, lb pol; G : módulo de elasticidade tÌansYerÉal, p8i; d : diâmetro da árvoÌe, Pol. O pÌojeto de árvores levândo em conta a Ìisidez À defoF trrâção poì fleÌão ê baseado na defÌexão latêÌaì perdssível pâÌa opeÌação ad€quâdâ dos mancais, tmbaÌho preciso das máquinas ÍerÌaúentas, ação satisfatória dos dentes de engrenagem, aÌhhamento de fuvores etc. À d€fÌexão pode ser deteÍminada poÌ duas integraçõessucessiYasde: d\ dr'
_M6 El
Má = momenio lletor, lb pol; ã : módulo de elasticidade, psi; 1 : momento de inércia, pol'Se a áwore tem seção tranwersaÌ variáyel, ê mais prático usar uma soÌução gráfica para a equação âcima (ver Cap' 5)' Os rliânehos de írvores padronizados pelo "Àmeritán Enginecing StandaÍds Committee" são:
'
ÌR.Âìsìllssío
DE PorÊNcrÂ
PaftL ónorcs de baúntssãol
ts1t6:t 3lt6; r 1116;r 1l/Ì6; I r5,/Ì6i2 gll6i 2 7lr6i 4 7116;4151Ì.6" 5 7116e 5l5ir6. 2 l1lle 3 7ll6i 3 151161 2. Paru ânorcs de mâquirus: de 1/2 pol a 2 U2pol yariando de lll6polì Os compr;mentos de 2 5/8pol a 4pol variardo de I/8pol i pâüorizadossão: de 4 I,/4pol a ópo! variandode ìiapol ,l t6,20 e 24 pë*.
Os molnelltos fÌetores e de toÌção são os fatorcs mâis impoÌtentes no prcjeto de ìnnâ 6ÌvoÌe' Um dos primeims passosno pm_ jeto consist€ eÍn elrboçar o diagrama de momenios fÌetoÌes que pode ser simples eu combiÈado, depeúdendo do caücgâmentc agir em um
193
ou mais planos. Â parti! desie diagrana pode-se aleteminÀr os ponios cíticoE que ocoüem duranle a fÌeìão. O momento de rorção agindo em uma árvore poale sff al€teÌ.
9 x3 3 .o o o x1 2
M_
2rr.p.m-
63.000I ,, Ì.p.m.
PâÌa um acioÌìâmetrto por correias o momento de torção é datlo por: M,:
(\-
?,) Ã Ìb.poÌ,
onde: ?r : ?, : Ã :
tensâo no Ìado tenso da coneia, lb; tensão ao ìado lrouxo da correia, lb; Ìaio da poÌia, pol.
Pâìa um acionamento por meio de cugÌenagens o de toÌção ê dado poÌi
onile:
l.
clP. I
mom€nto
M:F''R, onde: f,
:
n
:
força langencial agindo na circunferência primitiva, Ìb; raio da circunÍerência primitiva, poì. PROBLEMAS RESOLYIDOS
f. Uma árvore, de aço comeÌciaÌ, de 3 pés de comprimento, tem transmiJir 50 Lp a 9.600 Ì.p.m., poÌ meio de uà acopÌa_qüe metrto fl€xíveì, de Ìrm motor de corÌente âÌtemada pura on ge.odo. de coÌÌeate contínua. DeteÌminar seu aliâmetÍo.
N6te ce â áÌyore 6tá âpeqõ suÌJúêriita a €JôÌço ile toÌqão e, aCnirindo que a csea é s"aduaÌúture apticada, fu+e & = r. = 6-000 psi (de aco.do @m o ÀSME pea o, (pctuisíycl) á.yo.6 con .aso de chavera); o. rpq-isÍ"eÌ)
=
Ë.
t6 x 50x ó3.ooo . 6.000= 3_600r ;d-
d = 0,905 rbl.
crP. I
trÌ-ioMEÌìTOB ORCiNÌCOS DE ÌÍíqÚE{ÀS
104
Usd umÀ âNore de iliâmet.o supúior ao Yalor aclado. Pelo titttua
TRÀNsMrssÃo DE porÊNcrÁ
105
15/16 Fol quê ê a padÌ@izãdà im€diarâ@ote DetmináÉo
marí@:
{ieror e de ioÌqão nárinc.
I,rr(náI.) : r ooo)+:eÌ00'-
.","-.
* o =" vì#jq(*),,.-=n
dos môDdtos
Mr(mát.)=::--::-:::=
dr - 72,2
22.700th.pol;
tb pol, - 8.,ro0
r' (pchissível) = 6.000 lEi
2. Uma árvore de aço comerciaì, de 5 pés (150 cú) de compÌimento, supoÌta, no seu ponto médio, uma poÌia de 200 lb (90 kg)' como mostÌa a Fig, 9-1. À poüa é €nchavetâda à árvore e Ìecebe 20 hp a t50 Ì.p.m. que são irâÌìsmiúdoç a uú acoplâmento flexíYel' imediatameúle à direil,a do mâÌìcaì rÌiÌerio. O acionameDt, por 30" (75 cmÌ.i-
.F=: ! lKbllbf 16_-
d = 3,l2pol. Usd d = 3rl8!ol; A _
" "r
+ ?2 = l .50Ol b (675 ks)
- =- - - -
V(1.5 X 22.700)': + lÌ.5 X L 400f ó.000 ' X .-;F
.'-
(75 .m 30" (75
+t &M üz -
'A4M cd, \ L,
_ 584X8 400yxo
Ìr2 x ro")r.jiú
= 0,128".
Pelo sistend ÌrtlÌi@.
Mò(-á*.) = -v{t3?t, + (25J00Ì = 25.600kg.cn;
| 100 lb ( 45 k s )
,oo,o ,no*n, 3 .0 0 0l b .p o l . (3.375kg cm)
M
1 .$ 0 l b (675 ks)
760tb (337,5 ks)
9rrrcg.m.nto ÊÍtic.l
d!(p€rm.)
100lb (45 ks)
Dli!r.m.
_" d'_
dG m.|||ctto.
: ó.000 rEi (430 ks/cm!);
,_16íÌ 5ì v(2s (4toj
600): + í9.?oo)r;
d :7 ,8 8 cm Ê8 cm ; 4 _ s84ío ?00ì (75) _ iôo ^ (3,tr X 105)(8f
C.]r€irm€.úo
ho]itonül
22.500lb Pol. 7$ lb (337,5ks) (25.300 kg Gm)
@$M
M,ínár.)= -'i-so"-, _ 9 700[s.cm.
Di.lrrnrt
dê moÍr.nt6
Fis. 9-1 coÌreia é horizontâÌ € a soma das tensões 6 de r.500 Ib (675 kg)DeterminaÌ o diâmetÌo da áÌvoÌe e a deflexão angular entre os : mancais com G = 12 X 106psi (8,6 X 106kgllcB'?) e admititrdo K, = Kb : I,5.
3. Uma árvore de aço, süpoÌtando duas engrenagens, está sujeita à aCãodas lorçâs Ìepresertad†ìa Fig. 9-2. Ás engrenâgeng estão enchayctâdas em B e D. A e C são os mancais de desÌizam€nlo. potência tÌansmirida é de 9 hp a 650 r.p.m.  tensão ^ para uma seção sem rasgo de chaveta é de 12.000 psipermissíyel
: r. : 1,5. ÁdmitiÌ ,a<à
(o) Esboçar os diagrama! de momcntos lletores [orizontal, vertical e combinado, dando os valores alos momentos nos pontos. caracterGticos. (ò) DeteÌminaÌ o diâmetro da árvorc trecessária com pÌecisão de 0,01 poÌ, indicando a seção díiica.
ET,EITENTOS ORCÂNTCOSDE ÌÍ-íQrí\.!s
,t/i(m:ix.) = :::::i::
cÁ?. I
= IiJ tlb.pol:
Í X 6. 000
(r,5x 1.6J2)1 +{r,5 xB73f
1$7
DE POTôNCIÁ
M!(Dáx.) : (rt ì2 = (1.900_ 400)t2 = 9_600lb.potr "t : t.r.ssorì.pol; Mò(úáx-) = r{rtil6tl-(8.s65ì, t, i!.ÌmÈsivet)= 6.000Fsi
,1t, (Ìnáx.) = 1.63:1tÌ pol.
tr (1: 000)
TRÁìÌSÀ1iSSÃO
d:
( 2X14 850) '+O , sX9. 600Ì =28
1,0?pol
400tb
G.E!r
1. 920 lb
.nto rêrti..l
Fis. 9_2 Inediatãn€nte à dr.eira da cneÍenagemB:
Fie. ç3
r'l4r(dáx.) - 873Ìb pol; Mó (dáx.) - r 132lb-Êol; tÁ _ d' = ; ( o, it-' (l z o 0 0 r
v (1 5 x I
l J 2 ì: ' rl 5\87r' ?
d = 1,07 p0Ì-
Oòs.j trmòoú o monenlo fleroÌ cm À *ja mcnoÌ que em C, o diâúerio dÀ tuvore loi o m6mo, pôis tcmos .6so de chaÌerâ em 8.
4. úna polia de 14 poÌ d{r diâÌnerro âcionadâ pí,r uma coÍreia lìorizonlâI, tmnsmitc potôucia ârravés dc uma árvore maciça a um pinhão de l0 pol de diámetro, qìre por süa ycz aciotra uma ouha engrenagem. À polia pesa 300 Ìb. dìsposição dos elementos é a indicada na Iìg. 9-3. DeteÌmirÌaÌ o^ diâmerÌo da áryore ale acoÌdo com o ÀSNíE, admitindo I(à : 2 e &: r,5.
5.  áNore da Fig. 94 gtua a 600 r.p.m. Uma potênciâ de 20 àp é fomecida à áÌ}.ore através uma polia de 1g pol de diâúetro, 6ituâda 10 poÌ à diÌ€ita do mâncal diÌeiro. A tuïorc rransmire a potência reccbida atÌavés uma engrenagem cilíúd ca de donres Ìetos de I pol, ôituada 10 pol à direira do mâncat csquerdo. A correia acionadoÌa Iaz um ângulo de 60" com a horizontaÌ, como mostÌa a figura. À poÌia pesa 200 lb. À reÌação entre as tensõ€s nos Ìamos da c,oüeia é de 3:Ì. A engrenagemtem âÍgulo atepressão de 20" e engrena com outra situada imêdiatamente acìma dâ árvoro. Se a ten6ãode ruptum do mâteÌiaÌ da árvore é de ?0.000 Dsi c d de csmamenl,o é de 4ô.000 psi. derêrminâÍo diám.rro da irvoro, de acordo com o ÀSlíE, usando K6 = 1,5 e K = l,O.
I08
EI/EMTNTOS ORCÂNICOS DE MÁQIIINÁS
y, - il}91i91
10$
lhatrte rnâ\ima na árvore usando a equa€o do ÀS\ÍE aspecto mais geÍal. .\üÌtitir Kó: I,5 e 1(,: Ì,0.
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TBÁNsiÍrss^-oDE porÊNcra
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por: M'(*í'.) : + : ljf!+X r1q- 4;0000rb : 5 040 : A!!Sff.!!l .000 rbpútl u, 1-e*.y
e, porroto, ?! - 3,t8lb; : rr6b; (4 + ?2) :464Ih! ",
r2') : o gro pot.:
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f : Dla.rm.
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do mo|n.|rtot
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= m: . rrt. r,o"runt.,
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aF",t"(r+ Kì)
"-*i
-lt{ttls
+ (1 X 5 040 000)'z= 3 800Írn'
4Ft = 2.roo , . F!= 525lbl
16!!9Ìt6!9I= 510.000kc cm;
.F' = 595tc 20o = r9r lb;
u,1.a..;-ff:
18% X ?0.000- 12-ó00!6i; 30% X 46.000= Ì3.800 psi;í' (pmissíYel): = ? 5 % X 1 2 .6 0 0= 9 .4 50p6i ;
0o Y 72 6m Lg , nr,r-,i,"r - 8 - 5.8ro.ooo 100 "n
lb.pol; uu (na-r.)= y'r.trso,+ z.z:tor= 3.360 dt =;
rïr.o
Vrs JÒ0< 15,
(: l00rj
1' - tr 1 5 1 1 ô4
3 s,1
á - + 60'
30) - r.?óo "-'i
- A,D 6 l :;l ìo
- Btxt0 ",
l-14'roúd=ìspol
6, Uma árvore oca de 20 poÌ (50 cm) de diâmetÌo extemo e 12 poi (30 cDr) de diâmctro interno, é suportâda por dois marcais separadG de 20 pés (ó00 cn). À turore é acionadâ poÌ um acoplamento flcrdyel em una das extremidades e movimerta uma Lélice dc navio a 100 r.p.m. O empuxo máximo pÌoduzido.pela hóüce ó de 120.000tb (55-000ks), quando se está traúsmil,indo8.000 hp. À áÍvore pesa 15.000 lb (6.800 kg). DeteminâÌ a tcnsão dsa-
_ l, + 6.M,),
x asooool + t?!3}J!9!$r?91I1-9Í)]'.''
= Fis. 9_4
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30
--
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ITBÀNSì
SSIO
201
DE PII/IôNCI^
de pesô; 03 10 hp r€tsntes são rcirÌÀdos ehâvés de uma manivela cuj; braço é de I pol. À t€núo tro ramo t€nso da coÍente é repo. 7.; a do ramo Írowo pode ser dcsprezada' A oÃ*ud" ielacão entre as tensõesnos ramos da coneia é de 4:l' A árÌore estí gimÍdo a 300 r.p.m. Os choques poden ser consideÌâdos m&ià e, portanto, Ko=z e K= l'5. DetêÌminaÍ o diâmetÌo ria árvore se o, (adrds6ív€t) = 8 000 psi Àdmitü que a Ìoda dentada e a potia eão encbavetâdas à árvore.
6. = 210kslcú,7. Uúâ áffore de 48 pol de comprimento recebe üm momeÀto de torção de 10.000 Ìb.pol de uma poÌie locaÌizada tro seu potrto maio, coÍdo mostra a Fig. 9-5. lÍ, = 10.@0
d. ím
DLdn
c.Ftr|Iú
r = 6,000 lb pol.
c i'Ü..l. hoirrtltl
ÌÍ = 4.000 lb po
I
oL&-r
d. ffi|6
Fis' 9-5
'
ümâ etrglenagem na extremidade esquerda da árvore transmite 6.000 lb pol enquahto que o momento restânte é transmitido poÌ outra engrenagem siluada na extremidads dtÌeitâ da árvoÌe. CatculaÌ â dellexão anguJar da extr€midaÍl€ esque*la ern reÌação à direita, admitindo que a árvore é de aço e têm 2 poÌ de (MmeÍro. Desprezar o efeito dâs chavetas. Soluçãô:
Fig. ló Sôìução:
Í (rr - r,) 11 : 4.2(O Do tslo LPú-r: I ?,, 4r, e. porranro:?L = 4òõlhr ?t =11?Ì b; 4+4=5831b; f
= -: :r:
: 2ô3lb-
Àt,lÌodãdmt.dâ) : IjF
À deflexão ansuh de Ime dt.emidâde ên reÌa€o à oürE *rá i€uat â dife lcnça enr.e as deflcxões anAulares das extÉúidadd eú relaéo e @r@. Asim:
sM x6ooo/ 24 üd
-
'-
s84x 1.000x24 --=
584X 24X í6 000- 4.000) ,__^ - --- "- '€1 \', íloË, (r') 8. Uma Ìoda deDtada de 30 pot de diâmetm Ìeceb€ uma potência de 30 hp, atrâvés de uma coÌrcnte, como mostra a Fig. 9-6. Vinte hp são retimdos por uma polia de 24 pol de diâúetro e I . 000 lb
= 6 300lb Pol;
M, (polia) = 2Mr (maniYelÀ)= 4 900tb pol; : 2.100Ib Pol; lr4(màniYelà) y't-2ssP + 3 r20' = 4.490lb poì, ne poliã; Mà(-á'.) : rr4 (náÍ.) - 6.3001bFI, ú Polia: ê = -
tKbMh)'+ (Át Ylr =
-:-! (2Xa.a90f+(r,sx63001 Í(8 .00o)(0,?5) d = 2,23po1. U!ú d = 2 3/16rDl.
11,06;
ELEMÈNrosoac;Nrcos DÊ üÁertDlÀs
2VÀ
cÁ?. I
9. Det€rmineÌ o diAúetro de uma áÌvorê maciça sujeiÍs à torção, setrdo a deflexão anguloÌ o ÍatoÌ dê pÍojeto. Á tetrgo de cisâìhamento permissível é de B . 000 psi e a deÍleúo angular niÍiha é dê 1/12 de grau por pé. DesprezaÌ o elêito de Ìaggg de chsvel& G - 12 X l0'psi.
Mt n^ Snae CD :3X Mt n áÌvoie 4,B. Cham!úilo o tliÀoctrc de .{a = dl ê o dê CD t.tdlJ tó dr :2!ol,
e, cúo
. ,. dr (pso6rvêr r =
16Vt
i u(I@rveu ^,
. ,, = - SA4M|L r @r
i',ti = ff,
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0.ItG = .innt-
16
'
G/rD(d.)(r2 x r0.) 5A4)( 12
ú,rd,' l6x3
dr = 2,88rDl
naciar, sjeira a 6fo.çc
de to.ção ô flexão, a rasão d€
deoho d. aaúõo Dq-
o. =- - +
Dtruo,
-
- dr. Bulra:
DesenìolyeÌ uma expressão para determina! a percentagem ll. de Ìedução de peso que ee obseÌva quando se sústitui uma árvoÌe mâciça Imr oul,Ìa ocâ, de igual resislênciâ. P@ qEa átu
Mt =
203
ABÀNSüTSSIO DE PoTÊì{CIÀ
VM b, I M t , ,
Pea rn& árde
8.ü,(, 16-.F
cotrdiçõF, lem+e: o' -' ;r\d;
\,/Mb'1Í ui
_ ai,)
. . d = l Ì ID I. ì4Ü ltt do di
10. Às árvores ,48 e CD Bão ligadas por meio de engrctrâgens cilíììdricas de dentes Ìetos, como úo8tm a Fig. q?. Um momento aplicado em ,4 induz uma teDsão tra áÌvorc de 8.000 I)3i. DeteÌ-
: : = :
momdto úomdlo diârelb diâúetrc
fleto. na seção cÌírica, Ìb,pol: dc torção na s€rão críii.a, lb.poÌ; dtano da áÌyo.e oea, pol: iúr.Ìno dâ á.vore oca, pol,
Cmo 4 árvoÍ,s devcn ter â maru 16
rpnidènciÀ:
16l^
;F - "u^ a,r
/ì\t
'
/,t\.
(;;,f - (;,,1
(r)
o pêo da á.vorc,ô.,sr6 isuslso dâ mrci(d.murripü*a.o'. (r fi) otd€, lV é a per@ntaeetu de Ìeìução de peso obridà .ou
4-@.'-dÌ)L^ =||-+|:d'zÀ
:( t
a mrdeça.
ou (4"
4"r= (2)
ì*J"
Fis. ç? ,
minar o diâmetÌo da árìrore CD, de lal modo que a teúsão cisalhânte não exceda 8.000 psi. DesprezaÌ o efeito dos rasgos de chayeta e de Íle).ão da:s ánores. C 12 X loópsi,
:
ompÍimdto da árvore, Dol; p€o epeífi@ do Da.erial dà árvo.c, lttloF.
^ Suhsli0uindo o Íalq
ale di d€ (l) en {2) e r6ôlÌcndo
N = Ir - (üd), + 1/4iliÍ
pârâ rVì íem-s:
iJ.tl roo.
204
ErrEìtütNtgsonoâÌÌÌcos DE üíeurNrs
12. À árvorê da Fig. g-S(d) deve ser projelarla levanrlo-se em coDta s Ìesistência, veÌocidade críticâ e Ìigidez. Á ptêacia 6 ÍoÌnecid à árvore atúvós de uúa polia p e una correia plana e é retirada poÌ meio de uma engrenagem cilindrica de dertes retos G. À árvore é supoÌtâala por dois mancais de rolamento.
cr}. I
lrrÂNsMrssÃoDE PorÊNo^
205
Às Íorçâs na corÌèia são perpendiculaÌes ao plano do pâpel, sendo ?r a temão no Ìamo t€nso e ?, a no fmuxo. Á Ío.çâ iang€DciâÌ úa engÌenagem é F, e é rambém perpendicular ao pÌano do papeÌ. À Íorçâ radiâì é 1,. Limilâções imposl,as: (c)  árvore, ro ponto de liyação da €ngrenagem, não pode eoÍrer deflexão anguÌar maior que 0,001 pol. (ò) À inclinação da árvore, nos mancais, não pode ulrrapas3Ar l"(c) À veÌocidade da árvore não poderá ulrÌâpassar 60% da pÍimeira YeÌocidade cíticâ.
O cuho d! ergMaeem e o da loüa ótrtrihuem pdâ uD aunenro de rieidez da án@: paÍÉl úátogo lem e pisÍâ int€.na dos mucais de Etrmenü)_ Se o cühú é Elalivammle lorso, 6eu efeiro é difc.enr€ do què e ete é .urro. O p.ojero .Èrá beailo no dê6Lo simDlificndo dÀ Fis. 9-s{ò) e t€yará cm óÍtn nerede do cômpriDhto dos orbo6 e múncais. PrideirrDqr., *rá .l€roídnado o rtiâ, ÍEcrc iÌa áÌyore visândo ap€ns à Éisrêícia, sesundo o O none
