Livro Algebra Linear

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Introdu¸c˜ ao ` a ´ Algebra Linear ´cido Francisco de Assis Andrade Pla Universidade Federal do Cear´a Centro de Ciˆencias Departamento de Matem´atica Editora Fundamentos 16 de junho de 2003 Pref´ acio Esse texto foi redigido para atender aos diversos Cursos oferecidos pela Universidade Federal do Cear´ a que possuem na sua integraliza¸c˜ao a disciplina semestral ´ Introdu¸c˜ao `a Algebra Linear. Ela ´e ministrada por professores do Departamento de Matem´atica e sua ementa ´e desenvolvida em 4 h por semana. Embora n˜ ao seja necess´ario, para facilitar a leitura do texto, o aluno precisar´ a de um conhecimento m´ınimo de Geometria Anal´ıtica e determinantes. Os t´ opicos estudados no Ensino M´edio s˜ao mais do que suficientes. O ritmo da apresenta¸c˜ao est´a baseado na experiˆencia de sala de aula e a reda¸c˜ao levou em conta o estudante. Por isso, em alguns momentos, um leitor mais fami´ liarizado com Algebra Linear pode achar o texto lento e simples. Nˆ ao ´e o caso ´ do leitor iniciante. A elegˆancia no desenvolvimento dos t´opicos de Algebra Linear esconde diversos conceitos aparentemente d´ıspares, tornando seu estudo uma descoberta constante para aqueles que nunca tiveram a oportunidade de conhecˆe-la sistematicamente. Sugest˜ oes e cr´ıticas sobre o texto ser˜ao bem-vindas. Pl´ acido Francisco de Assis Andrade [email protected] Fortaleza, 21 de mar¸co de 2003 O autor Pl´ acido Francisco de Assis Andrade ´e Bacharel, Mestre e Doutor em Matem´atica pela PUC-Rio. Foi professor daquela Institui¸c˜ao no per´ıodo 1972/92, transferindo-se para a UFF, Universidade na qual trabalhou por dois anos. A partir de 1994 ´e Professor Adjunto do Departamento de Matem´ atica da UFC e membro da Coordena¸c˜ao de P´ os-gradua¸c˜ao de Matem´atica. Suas ´areas de pesquisa concentram-se em Geometria e Topologia. i S´ımbolos I. Alfabeto grego α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . alfa β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . beta γ, Γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . gama δ, ∆. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .delta , ε . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . epsilon ζ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . zeta η . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .eta θ, Θ, ϑ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . teta ι . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iota κ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . capa λ, Λ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lambda µ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . mu ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ni ξ, Ξ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . qui ø . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .o π, Π,  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pi ρ,  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . rˆ o σ, Σ, ς . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . sigma τ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . tau υ, Υ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . upsilon phi, ϕ, Φ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . fi ψ, Ψ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . psi ω, Ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . oˆmega II. S´ımbolos utilizados v = (x, y). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Vetor v ∈ R2 v = (x, y, z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vetor v ∈ R3 u, v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Produto interno canˆ onico de u, v ∈ Rn v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Norma de um vetor v ∈ Rn θ(u, v) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . aˆngulo entre os vetores u, v ∈ Rn [v1 , v2 , ..., vk ] . . . . . . . . Matriz cujas colunas s˜ ao coordenadas dos vetores vi ∈ Rn [A] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matriz de uma tranforma¸c˜ao linear onica de uma transforma¸c˜ao linear [A(e1 ), A(e2 ), ..., A(en )]. . . . . . . . . .Matriz canˆ det[A] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Determinante da matriz quadrada [A] [[v1 , v2 , ..., vn ]]. . . . . . .Subespa¸co vetorial gerado pelos vetores v1 , v2 , ..., vn ∈ Rn u × v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Produto vetorial de u, v ∈ R3 η . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vetor em R3 normal a um plano Sum´ ario 1 O espa¸ co vetorial Rn 1.1 O conjunto Rn . . . . . . . . . . . 1.2 O espa¸co vetorial Rn . . . . . . . . 1.3 Combina¸c˜ao linear e base canˆ onica 1.4 Outras bases de Rn . . . . . . . . . 1.5 Determinantes . . . . . . . . . . . 1.6 Sistema linear e combina¸c˜ao linear 1.7 Leitura complementar . . . . . . . . . . . . . . 2 2 4 8 10 15 17 22 2 Geomeria Anal´ıtica ´ 2.1 Areas e volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Retas e planos I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 25 27 3 Produto interno 3.1 Produto interno . . . . . . 3.2 Norma de um vetor . . . . ˆ 3.3 Angulo entre dois vetores 3.4 Retas e planos II . . . . . 3.5 Produto vetorial em R3 . 3.6 Leitura complementar . . . . . . . . 32 32 33 35 37 39 43 . . . . . . 46 46 49 51 53 60 61 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Subespa¸ co vetorial 4.1 Subespa¸co e equa¸c˜ao linear homogˆenea 4.2 Subespa¸co e combina¸c˜ao linear . . . . 4.3 O subespa¸co [[v1 , v2 , ..., vn ]] . . . . . . 4.4 Geradores . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Dimens˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . iii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ SUMARIO 5 Transforma¸ c˜ oes lineares 5.1 Transforma¸c˜oes lineares . . . . . . . . 5.2 Matriz de uma transforma¸c˜ao linear . 5.3 Teorema do n´ ucleo e da imagem . . . 5.4 Opera¸c˜oes com transforma¸c˜oes lineares 5.5 Transforma¸c˜oes lineares invert´ıveis . . . . . . . 68 68 73 76 78 80 6 Operadores lineares 6.1 Construindo operadores lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Autovalor e Autovetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Teorema espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 89 91 96 7 Matrizes e determinantes 7.1 Matrizes . . . . . . . . . . . . 7.2 Matrizes quadradas . . . . . . 7.3 Determinantes . . . . . . . . 7.4 Existˆencia . . . . . . . . . . . 7.5 Propriedades e matriz inversa 7.6 Regra de Cramer . . . . . . . 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 104 106 107 108 110 112 Cap´ıtulo 1 O espa¸ co vetorial Rn Esse cap´ıtulo tem dois objetivos. Primeiro, apresentar o espa¸co vetorial Rn , um conjunto alg´ebrico. Segundo, relacionar o plano e o espa¸co Euclidanos com os conjuntos alg´ebricos, R2 e R3 , respectivamente, estabelecendo uma ponte entre esse novo conceito com os conhecimentos adq¨ uiridos pelo leitor desde o Ensino M´edio. Ressaltamos que iremos discorrer sobre trˆes objetos, um deles alg´ebrico, ao geom´etricos, o plano e o espa¸co, conceitos o Rn , enquanto os outros dois ser˜ n˜ ao definidos. Um quarto objeto, a figura desenhada no papel, serve apenas para organizar as id´eias. Nesse texto, os termos fun¸c˜ ao e aplica¸c˜ ao possuem o mesmo significado. 1.1 O conjunto Rn Denotamos por Rn o conjunto das n-uplas ordenadas de n´ umeros reais, ou seja, Rn = {(x1 , x2 , ..., xn ); xi ∈ R para todo inteiro i, 1 ≤ i ≤ n}. Os elementos deste conjunto s˜ao chamados de pontos e, por simplicidade, muitas vezes indicaremos um ponto de Rn como v = (x1 , x2 , ..., xn ). Num primeiro momento, esses s˜ao os conjuntos para os quais voltaremos nosso interesse. Observe que v = (x1 , x2 , ..., xn ) e w = (y1 , y2 , ..., yn ) s˜ao iguais, v = w, se, e somente se, xi = yi para todo i = 1, 2, ..., n. Para organizar a escrita utilizaremos letras min´ usculas para indicar os pontos de Rn . Por exemplo, ao escrevermos p = (z1 , z2 , ..., zn ) estaremos indicando um ponto do Rn . A nota¸c˜ao P (z1 , z2 , ..., zn ) ser´a apresentada logo a seguir e denotrar´ a outro objeto. A maior parte do texto est´a relacionada com os conjunto R2 e R3 , por isso, reservaremos uma nota¸c˜ao especial para indicar seus elementos. Para o primeiro 2 1.1. O CONJUNTO RN conjunto, muitas vezes, indicaremos um par ordenado por v = (x, y) e uma tripla ordenada em R3 ser´a registrada na forma v = (x, y, z). As id´eias de ponto, reta, plano e espa¸co empregadas na Geometria Euclidiana s˜ao auto-explic´aveis, n˜ao suportam uma defini¸c˜ao. Denotaremos uma reta, um plano e um espa¸co Euclidianos por E1 , E2 e E3 , respectivamente. A identifica¸c˜ao entre os conjuntos alg´ebricos R1 , R2 e R3 com aqueles ´e do conhecimento de todos, mas recapitulemos a constru¸c˜ao que justifica a existˆencia da Geometria Anal´ıtica. Observamos que devemos distinguir o conjunto alg´ebrico, o conjunto Euclidiano e as figuras que vocˆe faz no papel. O conjunto das 1-upla ordenadas, R1 = {(x); x ∈ R}, ´e canonicamente identificado com o conjunto dos n´ umeros reais R. N˜ ao distinguiremos uma 1-upla ordenada 1 umero real x ∈ R. Para construir uma correspondˆencia um a um (x) ∈ R de um n´ entre os n´ umeros reais R e os pontos de uma reta Euclidiana E1 , fixamos uma uni´nico n´ umero real, dade e associamos a cada ponto de uma reta Euclidiana E1 um u o qual ´e chamado de abscissa do ponto. Com isso, temos definido uma aplica¸c˜ao P : R → E1 , pela regra P (x) ´e o ponto da reta Euclidiana cuja abscissa ´e x. Seja (x, y) ∈ R2 . Escolhidos dois eixos Cartesianos num plano Euclidiano E2 , digamos ox e oy, definimos P : R2 → E2 , pela regra P (x, y) ´e o ponto do plano Euclidiano cuja abscissa ´e x e a ordenada ´e y. Reciprocamente, cada ponto no plano ´e associado a um u ´nico par ordenado. Fixado o sistema de eixos, o plano Euclidiano passa a ser chamado de plano Cartesiano. Da mesma forma, seja v = (x, y, z) ∈ R3 . Fixados trˆes eixos Cartesianos em E3 , ox, oy e oz, definimos a aplica¸c˜ao P : R3 → E3 por, P (x, y, z) ´e o ponto do espa¸co Euclidiano tal que a abscissa ´e x, a ordenada ´e y e a altura ´e z. Certamente o leitor est´a acostumado com a nota¸c˜ao P (x, y, z). Quando fixamos um sistema de eixos em E3 passamos a cham´a-lo de espa¸co Cartesiano. Indicamos pontos de En , n = 1, 2, 3, por letras mai´ usculas. Por exemplo, U ∈ E2 significa um ponto do plano Euclidiano. Ao escrevermos U (2, 3) estamos supondo que j´ a fixamos os eixos Cartesianos e este ponto ´e imagem do ponto u = (2, 3) ∈ R2 , pela aplica¸c˜ao P : R2 → E2 . Essa ser´a uma regra notacional. O ponto v = (x, y) 3 CAP´ITULO 1. O ESPAC ¸ O VETORIAL RN ter´a sua imagem pela aplica¸c˜ao P indicada por V (x, y) em lugar de P (x, y), o ponto w = (−1, 4) ter´a sua imagem indicada por W (−1, 4), etc. Uma regra notacional similar ser´a utilizada para R3 . Exerc´ıcio 1.1.1 Represente graficamente 1. os pontos P (2, 3), Q(−1, 2), R(−2, −3) e O(0, 0) do plano Cartesiano; 2. os pontos P (2, 3, 1), Q(−1, 2, −1) e R(−2, −3, 1) e O(0, 0, 0) do espa¸co Cartesiano. 1.2 O espa¸ co vetorial Rn Em Rn , definimos duas opera¸c˜oes bin´ arias, a soma de dois elementos e a multiplica¸c˜ ao de um elemento por um escalar. Aqui, o termo escalar significa n´ umero real. As opera¸c˜oes s˜ao definidas pelas seguintes regra. Se v = (x1 , x2 , ..., xn ), w = (y1 , y2 , ..., yn ) ∈ Rn e λ ∈ R estabelecemos que v + w = (x1 + y1 , x2 + y2 , ..., xn + yn ), λv = (λx1 , λx2 , ..., λxn ). Diz-se que as opera¸c˜oes equipam Rn com uma estrutura de espa¸co vetorial. Agora, ao ´e necess´ario que o leitor os pontos do Rn passam a ser chamados de vetores. N˜ tenha familiaridade com essa estrutura alg´ebrica para continuar a leitura do texto, na se¸c˜ao Leitura Complementar desse cap´ıtulo ´e apresentada a defini¸c˜ao de espa¸co vetorial. Utilizamos uma terminologia pr´opria quando estamos falando acerca do espa¸co umero real, como j´ a foi dito. O vetorial Rn . Por exemplo, escalar significa um n´ n vetor nulo ´e o vetor o = (0, 0, ..., 0). Dois vetores v, w ∈ R s˜ao colineares quando existe um escalar λ tal que v = λw ou w = λv. Exemplo 1.2.1 Sejam v = (2, −1) e w = (−4, 7) vetores de R2 . Pela defini¸c˜ao, a soma dos vetores ´e efetuada coordenada a coordenada, v + w = (2, −1) + (−4, 7) = (2 − 4, −1 + 7) = (−2, 6). Se λ = −3 ent˜ ao λv = −3 · (2, −1) = (−6, 3). O vetor u = (−4, 2) ´e colinear com v pois u = −2v. 2 ´ f´ E acil verificar que as duas opera¸c˜oes gozam de v´arias propriedades, como por exemplo, a soma de vetores ´e comutativa, v + w = w + v, ou que a soma de qualquer vetor v com o vetor nulo ´e o pr´ oprio vetor, v +o = v. Novamente, remetemos o leitor 4 1.2. O ESPAC ¸ O VETORIAL RN para a u ´ltima se¸c˜ao desse cap´ıtulo, Leitura Complementar. Observe que 0v = o, isto ´e, um vetor multiplicado pelo escalar zero ´e igual ao vetor nulo. Exerc´ıcio 1.2.1 Sejam 0 ∈ R e v, w ∈ Rn . Mostre que 0 · v + w = w e que o vetor nulo ´e colinear com qualquer vetor. Verifique a igualdade v + (−1)v = 0. 2 Anteriormente, exibimos uma identifica¸c˜ao entre os conjuntos Rn com os conjuntos Euclidianos, En , quando n = 1, 2, 3. Depois, definimos uma opera¸c˜ao de soma de dois elementos e um produto de um elemento por um escalar em Rn , passando a cham´a-los de espa¸co vetorial. Novamente, iremos representar geometricamente os vetores para explicitar a existˆencia da estrutura alg´ebrica em Rn . A diferen¸ca entre o conjunto e o conjunto com a estrutura alg´ebrica (espa¸co vetorial) ´e sutil mas existe, e a diferen¸ca ´e visualizada utilizando-se segmento orientado. Sejam R, S ∈ En . Um segmento orientado em En ´e o par ordenado (R, S) que por conveniˆencias −→ gr´ aficas ´e indicado por RS, em lugar da nota¸c˜ao cl´assica para pares ordenados. Esta grafia registra a id´eia de uma seta com ponto inicial em R e ponto final em S. Dados os pontos R(r1 , r2 , ..., rn ) e S(s1 , s2 , ..., sn ) −→ em En . Diz-se que o segmento orientado RS representa o vetor v = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn se, e somente se, as coordenadas dos pontos e as coordenadas do vetor est˜ao relacinadas pelas equa¸c˜oes ao lado  x1     x2     xn = = .. . s1 − r1 s2 − r2 = sn − rn . Exemplo 1.2.2 Um vetor pode ser representado por v´ arios segmentos orientados diferentes. Vejamos duas representa¸c˜oes para o vetor v = (1, 2) ∈ R2 . Se escolhermos os pontos R(2, 0) e S(3, 2) em E2 , o segmento orientado −→ RS representa v = (1, 2) ∈ R2 pois pela defini¸c˜ao temos as rela¸c˜oes  1 = 3−2 . 2 = 2−0 Se escolhermos os pontos P (1, 1) e −−→ Q(2, 3) o segmento orientado P Q tamb´em representa o mesmo vetor v = (1, 2) ∈ R2 pois  1= 2−1 . 2= 3−1 Fica uma quest˜ao para o leitor: dado T (a, b) ∈ E2 , determine as coordenadas de −→ U ∈ E2 para que o segmento orientado T U seja um representante de v = (1, 2). 2 5 CAP´ITULO 1. O ESPAC ¸ O VETORIAL RN Exerc´ıcio 1.2.2 Sejam P (3, −1) e Q(−4, 3) dois pontos de E2 . Esboce os seguintes segmentos ori−−→ −−→ −−→ −−→ entados, P Q, QP , QQ e OP . Calcule os vetores do R2 representados pelos segmentos orientados. 2 O segmento orientado canˆ onico para representar o vetor v = (x1 , x2 , ..., xn ) ´e aquele que tem como ponto inicial a origem O(0, 0, ..., 0) e ponto final V (x1 , x2 , ..., xn ). Falando numa linguagem informal, obtido um representante do vetor com ponto inicial a origem O(0, 0, ..., 0), qualquer outro representante ´e obtido por transporte paralelo daquele. Feitas essas considera¸c˜oes passemos `as contru¸c˜oes. a) Da mesma forma, definimos uma representa¸c˜ao do espa¸co vetorial R2 estabe→ − −−→ lecendo que P (x, y) ´e o segmento orientado OP cujo ponto inicial ´e a origem e o ponto final ´e P (x, y). b) Similarmente fazemos a representa¸c˜ao do espa¸co vetorial R3 estabelecendo que → − −−→ P (x, y, z) ´e o segmento orientado OP cujo ponto inicial ´e a origem e o ponto final ´e P (x, y, z). ´rio As duas opera¸c˜oes ´algebricas definidas em Rn podem ser visualizadas Comenta quando n = 2 ou n = 3, utilizando segmentos orientados. Apresentemos o caso planar, n = 2, para o caso espacial, n = 3, as constru¸c˜oes s˜ao as mesmas. Desejamos registrar graficamente a opera¸c˜ao v + w, onde v = (3, 1) e w = (−2, 1). N˜ ao podemos somar segmentos orientados quaisquer, mas podemos definir a soma de segmentos orientados quando o ponto final do primeiro ´e o ponto −−→ −−→ −−→ inicial do segundo, OV + V P = OP . 6 1.2. O ESPAC ¸ O VETORIAL RN Para representar o vetor v podemos escolher o segmento orientado com pontos iniciais e finais 0(0, 0) e V (3, 1), respectivamente. Quanto ao vetor w podemos escolher para representante o segmento orientado com pontos iniciais e finais V (3, 1) e P (1, 2), respectivamente. Sendo assim, a soma v + w ´e re−→ presentada por 0P . A representa¸c˜ao gr´ afica ´e v´alida para a soma de trˆes ou mais vetores. Se desejamos representar a soma u + v + w, coloca-se os representantes dos vetores de tal forma que o ponto final de um ´e o −− → −− → −→ −→ ponto inicial do seguinte, P Q + QR + RS = P S. Vejamos a representa¸c˜ao gr´ afica da multiplica¸c˜ao de um vetor por um escalar. Escolhamos v = (3, 1), λ1 = 2 e λ2 = −2. Se o representante escolhido para do vetor v for −−→ P Q, onde P (a, b) e Q(c, d), o representante de −−→ λi v ´e o segmento orientado P
Q
com coordenadas P
(λi a, λi b) e Q
(λi c, λi d). Mais conveniente ´e − − → escolher um representante para v na forma OR, com R(3, 1), pois os m´ ultiplos λi v s˜ao graficamente registrados sobre uma mesma reta que cont´em a origem do plano Cartesiano. 2 Exerc´ıcios propostos 1.2.1 1. Seguindo a nota¸c˜ao do livro texto, quais dos registros s˜ ao v´ alidos: a) v(2, 1) f) (2, 1) ∈ E2 −− → k) v = P Q b) P (2, 1) g) E2 = R2 l) P ∈ E2 c) v = (2, 1) h) P (2, 1) ∈ R2 m) v ∈ R2 d) P = (2, 1) − −→ i) P Q ∈ R2 n) R2 ⊂ R3 e) (2, 1) ∈ R2 −− → j) P Q ∈ E2 o) P (2, 1) ∈ E2 2. Sejam v = (2, −1) e w = (3, −2) vetores em R2 . Calcule 3v − w e v + 2w e represente graficamente os vetores por segmentos orientados com ponto inicial O(0, 0). Represente-os com ponto inicial P (−2, 1). 3. Considere os pontos P (1, −1), Q(−3, 3) e R(2, 2) do plano Cartesiano. −−→ − − → −−→ a) Esboce os segmentos orientados P Q e QR e QQ. b) Determine os vetores u, v e w de R2 representados pelos segmentos orientados −−→ − − → −− → −− → −−→ P Q, QR e QQ. Qual a rela¸c˜ao entre os vetores representados por P Q e QP . c) Represente graficamente a soma u + v por um segmento orientado cujo ponto inicial ´e o ponto P e represente o vetor 2u com ponto final M (2, 2). 7 CAP´ITULO 1. O ESPAC ¸ O VETORIAL RN 4. A partir do esbo¸co das representa¸c˜oes por dos vetores u e v, como indicado em cada figura, determine quais os outros vetores que est˜ao representados. 1.3 Combina¸ c˜ ao linear e base canˆ onica Diz-se que um vetor w ∈ Rn ´e uma combina¸c˜ ao linear dos vetores v1 , v2 , ..., vk ∈ n R se existem escalares a1 , a2 , ..., ak ∈ R, chamados coeficientes da combina¸c˜ao linear, tais que w = a1 v1 + a2 v2 + · · · + ak vk . Exemplo 1.3.1 Dados os vetores v1 , v2 , v3 ∈ R2 onde v1 = (1, 1), v2 = (1, 2) e v3 = (1, −1). O vetor w = (−1, 1) ´e uma combina¸c˜ao linear de v1 e v2 e v3 pois se a1 = −6, a2 = 4 e a3 = −1 verifica-se que w = −6v1 + 4v2 + v3 . O vetor u = (0, −1) tamb´em ´e uma combina¸c˜ao linear de v1 , v2 e v3 pois u = v1 − v2 . Dever´ıamos escrever u = 1v1 + (−1)v2 + 0v3 , mas, como sempre, simplificamos a escrita para tornar a leitura menos cansativa. 2 Exerc´ıcio 1.3.1 Dados os vetores v1 = (1, 2) e v2 = (1, 1) de R2 , calcule o vetor w nas combina¸c˜oes lineares indicadas. a) w = 3v1 − 4v2 . b) w = −v2 + v2 . c) w = 13 v1 − 13 v2 . d) w = 0v1 + v2 . 2 Exerc´ıcio 1.3.2 Dados os vetores v1 = (−1, 2, 0) e v2 = (2, 1, −3) de R3 , calcule o vetor w nas combina¸c˜oes lineares indicadas. a) w = 3v1 − 4v2 . b) w = −v2 + v2 . c) w = 13 v1 − 13 v2 . d) w = 0v1 + v2 . 2 ´rio Para ilustrar a defini¸c˜ao, fa¸camos Comenta uma analogia entre uma combina¸c˜ao linear de vetores e um conceito f´ısico. Dados dois vetores v1 e v2 em R2 , como no exemplo acima, eles determinam no plano Cartesiano duas dire¸c˜oes, indicadas graficamente na figura como retas paralelas. Vamos supor que essas s˜ao as u ´nicas dire¸c˜oes poss´ıveis nas quais podemos caminhar. Para partir da origem e chegar a um ponto W , no caso da figura, devemos percorrer uma trajet´ oria na dire¸c˜ao e sentido determinada por v1 cujo comprimento ´e 2 vezes o oria cujo comprimento de v1 , seguida de uma trajet´ comprimento ´e 75 na dire¸c˜ao e sentido determinado por v2 . Isso ´e sugerido vetorialmente com a combina¸c˜ao linear w = 2v1 + 75 v2 . Nesse caso, n˜ao importa se a 8 ˜ LINEAR E BASE CANONICA ˆ 1.3. COMBINAC ¸ AO trajet´ oria ´e feita em zig-zag ou n˜ao, levando em conta o sentido positivo e negativo das dire¸c˜oes no final teremos a mesma combina¸c˜ao linear. Se consideramos apenas um u ´nico vetor, v1 ∈ R2 , 2 ao dizermos que w ∈ R ´e uma combina¸ca ˜o linear de v1 estamos apenas afirmando que w ´e um m´ ultiplo de v1 , em outras palavras, w = a1 v1 . Temos uma u ´nica dire¸c˜ao no plano Cartesiano. Sendo assim, nem todos pontos do plano podem ser alcan¸cados partindo-se da origem, apenas aqueles que est˜ ao sobre a reta diretriz que passa pela origem. Falta uma dire¸c˜ao transversal para para descrever todas as trajet´orias poligonais poss´ıveis. 2 Defini¸ c˜ ao 1.3.1 Um subconjunto ordenado de n vetores β = {v1 , v2 , ..., vn } ⊂ Rn ´e uma base se qualquer vetor w ∈ Rn ´e uma combina¸c˜ ao linear dos elementos de β. A express˜ao ”subconjunto ordenado” significa que existe um primeiro elemento, e ele est´a indexado por 1, um segundo elemento que est´ a indexado por 2, etc. A defini¸c˜ao de base d´ a origem a um s´erie de perguntas de car´ ater t´ecnico e pr´atico. 1. Existe base para o Rn ? 2. Se w ∈ Rn e β ´e uma base, quais s˜ao e como podemos calcular os coeficientes ai ’s da combina¸c˜ao linear w = a1 v1 + a2 v2 + · · · + an vn ? 3. Quantas bases existem para o Rn ? atico para 4. Dado um subconjunto de n vetores β ⊂ Rn , qual um algor´ıtmo pr´ sabermos se ele ´e uma base? A primeira pergunta tem resposta f´ acil. Existe pelo menos uma base ordenada para o Rn . O subconjunto de n vetores C = {e1 , e2 , ..., en } cujos elementos s˜ao e1 = (1, 0, ..., 0), e2 = (0, 1, ..., 0), ... en = (0, 0, ..., 1). ´e uma base. O subconjunto C ser´a chamado de base canˆ onica pelos seguintes mon tivos. Dado um vetor w = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ R ´e imediato mostrar que w ´e uma combina¸c˜ao linear do vetores de C e quais s˜ao os coeficientes da combina¸c˜ao linear: w = (x1 , x2 , ..., xn ) = x1 e1 + x2 e2 + · · · + xn en . Exemplo 1.3.2 A base canˆonica do R2 ´e um conjunto formado por √ dois2 vetores, C = {e1 , e2 }, onde e1 = (1, 0) e e2 = (0, 1). O vetor v = (− 3, − 4 ) ´e uma combina¸c˜ao linear dos vetores da base canˆ onica, e ´e f´ acil determinar imediatamente √ 2 quais os coeficientes da combina¸c˜ao linear a1 e a2 , v = − 3e1 − 24 e2 . 9 CAP´ITULO 1. O ESPAC ¸ O VETORIAL RN Exemplo 1.3.3 Considere o vetor w = (2, −2, 4) ∈ R3 . A base canˆonica C do R3 ´e formada por trˆes vetores e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0) e e3 = (0, 0, 1). Veja a seguinte seq¨ uˆencia de igualdades, w = = = = (2, −2, 4) (2, 0, 0) + (0, −2, 0) + (0, 0, 4) 2(1, 0, 0) − 2(0, 1, 0) + 4(0, 0, 1) 2e1 − 2e2 + 4e3 . Portanto, na base canˆ onica, as coordenadas do vetor s˜ao os coeficientes da combina¸c˜ao linear! 2 Para a base canˆ onica a segunda pergunta tem resposta r´ apida e precisa. Afirma¸c˜ao Ao escrevermos o vetor w ∈ Rn como uma combina¸c˜ao linear dos elementos da base canˆonia C, os coeficientes da combina¸c˜ao linear s˜ ao u ´nicos. Se n˜ ao, vejamos. Seja w = (w1 , w2 , ..., wn ) ∈ Rn . Escrevamos a combina¸c˜ao uˆencia de igualdades, linear w = a1 e1 + a2 e2 + · · · + an en . Examine a seq¨ (w1 , w2 , ..., wn ) = = = = = w a1 e1 + a2 e2 + · · · + an en a1 (1, 0, ..., 0) + a2 (0, 1, ..., 0) + · · · + an (0, 0, ..., 1) (a1 , 0, ..., 0) + (0, a2 , ..., 0) + · · · + (0, 0, ..., an ) (a1 , a2 , ..., an ). Sendo assim, necessariamente valem as igualdades ai = wi para todo i = 1, ..., n. Temos conclu´ıdo a demonstra¸c˜ao da Afirma¸c˜ao. Em particular, o vetor nulo, o = (0, 0, ..., 0), s´o pode ser escrito por uma u ´nica combina¸c˜ao linear, a saber, o = 0e1 + 0e2 + · · · + 0en . Exerc´ıcio 1.3.3 Quantos elementos possui a base canˆonica do R4 ? Escreva-os. 2 1.4 Outras bases de Rn Passemos `a terceira pergunta da lista apresentada na se¸c˜ao anterior. Existe(m) outra(s) base(s) ordenada(s) para o Rn ? umero infinito de bases ordenaAntecipemos a resposta. Sim, o Rn possui um n´ das al´em da base canˆonica! Mostrar a existˆencia de outras bases ordenadas est´ a relacionada com ◦ determinantes de matrizes quadradas n × n e ◦ resolu¸c˜ oes de sistemas de equa¸c˜ oes lineares n × n. 10 1.4. OUTRAS BASES DE RN Vejamos a rela¸c˜ao. Com um conjunto ordenado de n vetores β = {v1 , v2 , ..., vn } ⊂ Rn , contru´ımos uma matriz quadrada n × n, matriz que denotaremos por [v1 , v2 , ..., vn ]. A nota¸c˜ao indica que as entradas da primeira coluna da matriz s˜ ao as coordenadas do ao as coordenadas do vetor v2 , etc. Observe vetor v1 , as entradas da segunda coluna s˜ que sendo [v1 , v2 , ..., vn ] uma matriz quadrada, podemos calcular o determinante. Exemplo 1.4.1 Vejamos dois exemplos que ilustram a constru¸c˜ao acima. a) Seja β = {v1 , v2 } ⊂ R2 , onde v1 = (1, 1) e v2 = (1, 2). Esse conjunto de dois a origem `a matriz quadrada 2 × 2 vetores do R2 d´   1 1 , [v1 , v2 ] = 1 2 cujo determinante ´e det[v1 , v2 ] = 1 = 0. b) Seja β = {v1 , v2 , v3 } ⊂ R3 , onde v1 = (1, −1, 3), v2 = (0, 1, −2) e v3 = a origem `a matriz quadrada 3 × 3 (2, −3, 8). Esse conjunto de trˆes vetores do R3 d´   1 0 2 1 −3  , [v1 , v2 , v3 ] =  −1 3 −2 8 cujo determinante ´e det[v1 , v2 , v3 ] = 0. 2 O ponto a ressaltar diz respeito ao deteminante da matriz [v1 , v2 , ...vn ] constru´ıda com os n vetores do conjunto ordenado β = {v1 , v2 , ..., vn } ⊂ Rn , ◦ ◦ ao β ´e uma base e se det[v1 , v2 , ..., vn ] = 0 ent˜ ao β n˜ ao ´e uma base. se det[v1 , v2 , ..., vn ] = 0 ent˜ Portanto, temos em m˜aos um algor´ıtmo r´ apido e eficiente para determinar quando o conjunto β ´e, ou n˜ ao, uma base, bem como, construir bases para Rn . Examinaremos com um exemplo esse fato. Exemplo 1.4.2 Seja β = {v1 , v2 } ⊂ R2 onde v1 = (1, 1) e v2 = (1, 2). Observe que a) b) c) para u = (−1, 1) para v = (0, −1) para w = ( x, y) vale a combina¸c˜ao linear u = −3v1 + 2v2 , vale a combina¸c˜ao linear v = v1 − v2 , vale a combina¸c˜ao linear w = (2x − y)v1 + (y − x)v2 . O item c) diz que o conjunto β de dois vetores ´e uma base pois qualquer vetor w = (x, y) do R2 ´e uma combina¸c˜ao linear de v1 e v2 onde os coeficientes da combina¸c˜ao linear dependem das coordenadas do vetor, a1 = 2x − y e a2 = y − x. Como foi determinado os coeficientes da combina¸c˜ ao linear para w = (x, y)? 11 CAP´ITULO 1. O ESPAC ¸ O VETORIAL RN Deixemos claro como a condi¸c˜ao do determinante n˜ ao ser zero, det[v1 , v2 ] = 1 = 0, implica que β = {v1 , v2 } ´e uma base. O elo de liga¸c˜ao entre os dois fatos ´e a regra de Cramer um m´etodo para resolu¸c˜ao de sistemas lineares n × n cuja demonstra¸c˜ao encontra-se no u ´ltimo cap´ıtulo do texto. Para mostrar que β ´e uma base, devemos mostrar que dado um vetor w = (x, y) ∈ R2 existem coeficientes a1 e a2 tais que w = a1 v1 + a2 v2 . Escrevamos essa u ´ ltima igualdade em coordenadas, (x, y) = (a1 + a2 , a1 + 2a2 ) a origem a um sistema de equa¸c˜oes liPortanto, a igualdade w = a1 v1 + a2 v2 d´ neares com duas equa¸c˜oes e duas inc´ognitas, a1 e a2 , escrito na forma usual ou matricialmente como       a1 + a2 = x 1 1 a1 x ou = . 1 2 a2 a1 + 2a2 = y y A matriz principal do sistema ´e precisamente [v1 , v2 ] e as matrizes auxiliares s˜ao [w, v2 ] e [v1 , w]. Explicitamente,       1 1 x 1 1 x , [w, v2 ] = , [v1 , w] = . [v1 , v2 ] = 1 2 y 2 1 y Como a matriz principal ´e quadrada com determinante n˜ ao igual a zero, podemos utilizar a Regra de Cramer para determinar as inc´ ognitas a1 e a2 , a1 = det[w, v2 ] = 2x − y det[v1 , v2 ] e a2 = det[v1 , w] = y − x. det[v1 , v2 ] ´nicos pois s˜ ao as u ´nicas Logo, w = (2x − y)v1 + (y − x)v2 e os coeficientes s˜ao u solu¸c˜oes do sistema. Observamos que s´o existe uma combina¸c˜ao linear poss´ıvel para 2 expressar o vetor nulo, qual seja, o = (0, 0), ´e o = 0v1 + 0v2 . Teorema 1.4.1 (Regra de Cramer) Seja β = {v1 , v2 , ..., vn } ⊂ Rn um conjunto ao β ´e base. Mais precisamente, ordenado de n vetores. Se det[v1 , v2 , ..., vn ] = 0 ent˜ se o determinante for diferente de zero, ent˜ ao cada vetor w ∈ Rn expressa-se como u ´nica combina¸c˜ ao linear na forma w = a1 v1 + a2 v2 + · · · + an vn onde os coeficientes s˜ ao dados por a1 = det[w, v2 , ..., vn ] , det[v1 , v2 , ..., vn ] a2 = det[v1 , w, ..., vn ] , det[v1 , v2 , ..., vn ] ··· an = det[v1 , v2 , ..., w] ; det[v1 , v2 , ..., vn ] Em particular, a u ´nica combina¸c˜ ao linear com os elementos de β para expressar o vetor nulo tem coeficientes todos iguais a zero. 12 1.4. OUTRAS BASES DE RN Prova Vamos supor que det[v1 , v2 , ..., vn ] = 0. Dado w ∈ Rn ele pode ser expresso como uma combina¸c˜ao linear do vetores de β como w = a1 v1 + a2 v2 + · · · + ´ltimo cap´ıtulo do livro. an vn . Essa afirma¸c˜ao encontra-se demonstrada no u Para mostrar que os coeficientes s˜ao aqueles indicados pelas f´ ormulas ´e f´ acil. Por linearidade do determinante temos que (veja na se¸c˜ao seguinte algumas propriedades de determinantes que s˜ ao do conhecimentos do leitor desde o Ensino M´edio) det[v1 , ...vi−1 , w, vi+1 , ..., vn ] = Σnj=1 aj det[vi , v2 , ..., vi−1 , vj , vi+1 , ..., vn ]. No membro direito, a u ´nica parcela da soma que n˜ ao ´e nula ´e precisamente quando j = i, pois para ´ındices diferentes de j duas colunas da matriz s˜ ao iguais. Portanto, det[v1 , ...vi−1 , w, vi+1 , ..., vn ] = ai det[vi , v2 , ..., vi−1 , vi , vi+1 , ..., vn ]. ao ´e zero, conclu´ımos que ai necesComo o determinante da matriz [v1 , v2 , ..., vn ] n˜ sariamente ´e como descrito no enunciado. Os coeficientes para expressar o vetor nulo o = (0, 0, ..., 0) como combina¸c˜ao linear necessariamente deve ser ai = 0, para todo i, pois o numerador da fra¸c˜ao ´e o determinante de uma matriz com uma coluna igual a zero. 2 Exemplo 1.4.3 Mostremos que β = {v1 , v2 , v3 } ⊂ R3 ´e uma base, onde v1 = (1, 1, 0), v2 = (1, 0, 1) e v3 = (0, 1, 1). Basta considerar a matriz   1 1 0 [v1 , v2 , v3 ] =  1 0 1 , 0 1 1 ao ´e zero, e calcular seu determinante det[v1 , v2 , v3 ] = −2. Como o determinante n˜ segue que β ´e uma base do R3 . Expressemos w = (3, −2, 3) por uma combina¸c˜ao linear dos vetores de β, w = a1 v1 + a2 v2 + a3 v3 . Substituindo obtemos (3, −2, 3) = (a1 + a2 , a1 + a3 , a2 + a3 ), de onde segue o sistema linear  = 3  a1 + a2 a3 = −2 a1 +  3 a2 + a3 =  ou     1 1 0 a1 3  1 0 1   a2  =  −2  . 0 1 1 a3 3 Para calcular os coeficientes a1 ’s, precisaremos das matrizes auxiliares,  3 1 [w, v2 , v3 ] =  −2 0 3 1     0 1 3 0 1 1  , [v1 , w, v3 ] =  1 −2 1  , [v1 , v2 , w] =  1 1 0 3 1 0 13  1 3 0 −2 , 1 3 CAP´ITULO 1. O ESPAC ¸ O VETORIAL RN e de seus determinantes, det[v1 , w, v2 ] = −8, det[w, v2 , v3 ] = 2, det[v1 , v2 , w] = 2. Agora, podemos calcular os coeficientes procurados pela regra de Cramer, a1 = det[w,v2 ,v3 ] det[v1 ,v2 ,v3 ] = 1, a2 = det[v1 ,w,v2 ] det[v1 ,v2 ,v3 ] = −4, a3 = det[v1 ,v2 ,w] det[v1 ,v2 ,v3 ] = 1. Portanto, w = (3, −2, 3) expressa-se como a combina¸c˜ao linear w = v1 − 4v2 + v3 . Mais geralmente, mostre que um vetor w = (x, y, z) expressa-se nessa base como 2 a combina¸c˜ao linear w = (−y + z)v1 + (−x + y − z)v2 + (x − y − z)v3 . A demonstra¸c˜ao da rec´ıproca da regra de Cramer ficar´ a para uma se¸c˜ao futura pois envolve outros conceitos. Mas de qualquer forma antecipamos a informa¸c˜ao: quando o conjunto β = {v1 , v2 , ..., vn } ⊂ Rn ´e uma base ent˜ao det[v1 , v2 , ..., vn ] = 0. Exerc´ıcios propostos 1.4.1 1. Calcule as combina¸c˜oes lineares onde v1 = (1, 2, 3), v2 = (0, 1, 2) e v3 = (0, 0, 1) s˜ao vetores do R3 . b) w = xv1 + (y − 2x)v2 + (x − 2y + z)v3 . a) w = 3v1 + 0v2 − v3 . c) w = 0v1 + 0v2 + 0v3 . w = 0v1 + 1v2 + 0v3 . 2. Verifique quais dos conjuntos ordenados β = {v1 , v2 } ⊂ R2 ´e uma base. Caso seja, expresse w = (x, y) por uma combina¸c˜ao linear com vetores da base. a) v1 = (3, −1), c) v1 = (−1, 2), v2 = (1, 2). v2 = (2, −4). b) v1 = (2, 1), d) v1 = (1, 0), v2 = (1, 2). v2 = (1, −1). 3. Verifique quais dos conjuntos ordenados β = {v1 , v2 , v3 } ⊂ R3 ´e uma base. Caso seja, expresse w = (x, y, z) por uma combina¸c˜ao linear de vetores da base. a) b) c) d) v1 = (0, 3, −1), v1 = (2, 1, 1), v1 = (1, 1, 2), v1 = (1, 1, 1), v2 v2 v2 v2 = (1, 1, 2), = (3, −1, 2), = (2, 0, 0), = (3, −2, 1), v3 v3 v3 v3 = (1, 1, 1). = (0, 0, 0). = (0, 1, 1). = 2v1 − v2 . 4. Complete o conjunto de vetores para obter uma base do espa¸co indicado. a) α = {v1 , v2 } ⊂ R2 , onde v1 = (3, 4). b) β = {v1 , v2 , v3 } ⊂ R3 , onde v1 = (1, 1, 1) e v2 = (1, 0, 0). b) γ = {v1 , v2 , v3 } ⊂ R3 , onde v1 = (−1, −3, 1). 5. Se β = {v1 , v2 , ..., vn } uma base de Rn . Escreva vi como uma combina¸c˜ao linear dos vetores de β. Escreva o vetor nulo o como uma combina¸c˜ao linear dos vetores de β. 14 1.5. DETERMINANTES 1.5 Determinantes ´ A t´ecnica b´asica para estudar problemas de Algebra Linear ´e a resolu¸c˜ao de sistemas lineares. Existem muitos m´etodos para resolu¸c˜ao: m´etodo de Gauss, escalonamento de matrizes, substitui¸c˜ao, etc. Nesse texto utilizaremos, preferencialmente, a regra de Cramer, m´etodo mais claro e apropriado para o estudo dos espa¸cos R2 e R3 . Como necessitaremos de determinantes para a resolu¸c˜ao de sistemas lineares faremos uma breve apresenta¸c˜ao do t´ opico ficando as demonstra¸c˜oes no cap´ıtulo final. No que segue o s´ımbolo [A] = [v1 , v2 , ..., vk ] indica uma matriz quadrada k × n onde as colunas s˜ ao as coordenadas de um vetor vi ∈ Rn . Nessa nota¸c˜ao a matriz identidade n × n escreve-se como [I] = [e1 , e2 , ..., en ], onde ei indica o i-´esimo elemento da base canˆonica do Rn . O determinante de uma matriz 2 × 2 Sejam v1 = (a, b) e v2 = (c, d) vetores do R2 . Definimos   a c = ad − bc. det[v1 , v2 ] = det b d Exerc´ıcio 1.5.1 Dados os vetores v1 = (1, −2) e v2 = (4, 5) em R2 . Verifique as igualdades. a) det[e1 , e2 ] = 1. b) det[v1 , v2 ] = 13. c) det[v1 , v1 ] = 0 = det[v2 , v2 ]. O item a) mostra que o determinante da matriz identidade ´e igual a 1. O item c) ilustra o fato: quando dois vetores colunas de uma matriz s˜ ao iguais, o determinante ´e zero. Agora, considere o vetor w = (−3, 1). Verifique as igualdades. e) det[v1 , v2 + 3w] = det[v1 , v2 ] + 3 det[v1 , w]. f) det[v1 − 2w, v2 ] = det[v1 , v2 ] − 2 det[w, v2 ]. Com isso, ilustramos o fato do determinante ser linear ao fixamos uma coluna. 2 O determinante de uma matriz 3 × 3 ´e definido pela regra conhecida como desenvolvimento de Laplace pela primeira coluna. A partir do determinante de matrizes 2 × 2 define-se o determinante de matrizes 3 × 3. Sejam v1 = (a, b, c), ao v2 = (d, e, f ) e v3 = (g, h, i), ent˜  a d  det[v1 , v2 .v3 ] = det b e c f  e h = a det f i 15  g h  i      d g d g − b det + c det . f i e h CAP´ITULO 1. O ESPAC ¸ O VETORIAL RN Certamente o leitor aprendeu algum algor´ıtmo na Escola para calcular o determinante de uma matriz 3 × 3. Todas elas s˜ao varia¸c˜oes da defini¸c˜ao acima, utilize a mais confort´avel, a resposta ´e a mesma. Exerc´ıcio 1.5.2 Dados os vetores v1 = (0, −2, 1) e v2 = (1, 1, 0) e v3 = (3, 1, 1) em R3 . Verifique as igualdades. a) det[e1 , e2 , e3 ] = 1. b) det[v1 , v2 , v3 ] = 1. c) det[v1 , v1 , v3 ] = 0 = det[v1 , v2 , v2 ]. O item a) mostra que o determinante da matriz identidade ´e igual a 1. O item c) ilustra o fato: quando dois vetores colunas de uma matriz s˜ ao iguais, o determinante ´e zero. Agora, considere o vetor w = (1, 1, 2). Verifique as igualdades. e) det[v1 , v2 − w, v3 ] = det[v1 , v2 , v3 ] − det[v1 , w, v3 ]. f) det[v1 , v2 , v3 + 2w] = det[v1 , v2 , v3 ] + 2 det[v1 , v2 , w]. Com isso ilustramos o fato do determinante ser linear ao fixarmos duas colunas. 2 O determinante de uma matriz n × n O determinante ´e definido como uma fun¸c˜ao dos espa¸co das matrizes n × n nos reais possuindo trˆes propriedades: 1. det[e1 , e2 , ..., en ] = 1; (determinante da identidade) 2. det[v1 , ..., vi , vi+1 , ..., vn ] = 0 se vi = vi+1 ; (colunas adjacentes iguais) 3. det[v1 , ..., vi + λw, ..., vn ] = det[v1 , ..., vi , ..., vn ] + λ det[v1 , ..., w, ...vn ] para qualquer w ∈ Rn e qualquer λ ∈ R. (multilinearidade) Embora seja enfadonho, verifica-se que determinantes de matrizes 2 × 2 e 3 × 3 possuem essas propriedades. Para definirmos o determinante de matrizes 4 × 4 utiliza-se o determinante de matrizes 3 × 3 pelo desenvolvimento de Laplace pela primeira coluna. Deixamos para leitura complementar a constru¸c˜ao do determinante de matrizes n × n com n ≥ 4. Um teorema central da teoria estabelece uma rela¸c˜ao entre o determinante ser igual a zero e combina¸c˜oes lineares de colunas (ou de linhas). Teorema 1.5.1 Seja [A] = [v1 , v2 , ..., vn ] uma matriz quadrada n × n. As seguintes afirma¸c˜ oes s˜ ao eq¨ uivalentes: 1. det[A] = 0; 2. existe um vetor coluna que ´e combina¸c˜ ao linear dos outros vetores colunas; 3. existe um vetor linha que ´e combina¸c˜ ao linear dos outros vetores linhas. 16 ˜ LINEAR 1.6. SISTEMA LINEAR E COMBINAC ¸ AO Exerc´ıcio 1.5.3 Mostre que cada    2 1 1 3  a) , b) −1 3 2 6 1 3 matriz tem determinante   3 1 0   2 , c) 1 −1 4 3 −2 nulo e justifique.  2 3 . 8 2 Proposi¸ c˜ ao 1.5.1 Valem as seguintes afirma¸c˜ oes sobre o determinante de uma matriz [A] = [v1 , v2 , ..., vn ]. ao det[v1 , v2 , ..., vn ] = 0. 1. Se algum vi ´e o vetor nulo ent˜ 2. det[v1 , ..., vi , ..., vj , ..., vn ] = 0, se vi = vj , i = j. 3. det[v1 , ..., vi , vi+1 , ..., vn ] = −det[v1 , ...vi+1 , vi , ...vn ]. Prova 1. Se vi = 0, ele ´e uma combina¸c˜ao linear dos outros vetores colunas, a saber, vi = 0v1 + · · · + 0vi−1 + 0vi+1 + · · · + 0vn . Isso implica que o determinante ´e igual a zero. 2. O argumento ´e o mesmo. Se duas colunas s˜ ao iguais, digamos, vi = vj , o vetor coluna vi ´e uma combina¸c˜ao linear dos outros vetores colunas, a saber, vi = 0v1 + · · · + 0vi−1 + 0vi+1 + · · · + 1vj + · · · + 0vn . 3. Observe que det[v1 , ..., vi + vi+1 , vi + vi+1 , ..., vn ] = 0, pois duas colunas adjacentes s˜ao iguais. Utilizando a linearidade do determinante mostramos a igualdade desejada. 2 Exerc´ıcios propostos 1.5.1 1. Calcule o determinante de cada matriz.    2 0 2 −2 a) [A] = . b) [A] =  −1 3 4 1 −1 2   1 0 0 1  2  1 −1 2 . d) [N ] =   0 −2 0 −2  1 0 2 3    2 1 3 4 0 . 1  . c) [A] =  1 −1 0 1 −2 −1  1 e) [N ] =  1 1  2 3 2 1 . 0 1 2. Sejam v e w vetores do R2 . Sabendo-se que det[v, w] = −2, calcule a) det[2v, w]. b) det[−3v, 4w]. c) det[w, v]. d) det[v + w, w]. 1.6 Sistema linear e combina¸ c˜ ao linear ´ conveniente dividir o estudo de sistemas lineares com m equa¸c˜oes e n inc´ E ognitas em trˆes casos: 17 CAP´ITULO 1. O ESPAC ¸ O VETORIAL RN 1o o n´ umero de equa¸c˜oes ´e igual ao n´ umero de inc´ ognitas; 2o o n´ umero de equa¸c˜oes ´e menor que o n´ umero de inc´ ognitas; umero de equa¸c˜oes ´e maior que o n´ umero de inc´ ognitas. 3o o n´ Cada caso depender´ a de um espec´ıfico determinante ser igual a zero, ou n˜ ao. Exemplo 1.6.1 Dado   a1 + a2 a3 a +  1 a2 + a3 o sistema escrito na forma  = 1 ou  = 2 = 0 usual ou matriciamente como     1 1 0 a1 1     1 0 1 a2 = 2  . 0 1 1 a3 0 A primeira quest˜ ao ´e sobre o significado da express˜ ao ”resolver o sistema”. A quest˜ao ser´a colocada em termos de combina¸c˜ao linear, ponto de vista que nos interessa. Consideramos o vetor w = (1, 2, 0) ∈ R3 e procuramos determinar os escalares a1 , a2 e a3 tais que w ´e a combina¸c˜ao linear com esses coeficientes, w = a1 v1 + a2 v2 + a3 v3 , onde os vetores v1 ’s s˜ao os vetores coluna da matriz dos coeficientes, v1 = (1, 1, 0), v2 = (1, 0, 1), v3 = (0, 1, 0). Como det[v1 , v2 , v3 ] = −1 = 0 o conjunto ordenado β = {v1 , v2 , v3 } ´e uma base de R3 e pela regra de Cramer determinamos os valores a1 = 3, a2 = −1 e a3 = 1.2 Exemplo 1.6.2 Dado o sistema escrito na forma usual ou matriciamente como     a    1 2 0  1  = 2 2 a1 + 2a2 ou a2 = . 1 2 1 a1 + 2a2 + a3 = −1 −1 a3 A quest˜ao sobre o termo ”resolver o sistema” ´e a mesma. Dado o vetor w = (2, −1) ∈ R2 desejamos determinar escalares a1 , a2 e a3 tais que w ´e uma combina¸c˜ao linear com esses coeficientes, w = a1 v1 + a2 v2 + a3 v3 , onde os vetores v1 ’s s˜ao os vetores coluna da matriz dos coeficientes, v1 = (1, 1), v2 = (2, 2), v3 = (0, 1). N˜ao podemos utilizar imediatamente a regra de Cramer pois a matriz principal ´ necess´ario uma ao sendo quadrada, n˜ ao existe determinante. E [A] = [v1 , v2 , v3 ] n˜ adapta¸c˜ao. Escolhemos a maior submatriz quadrada de [A] com determinante diferente de zero e resolvemos o subsistema correspondente. Expliquemos melhor o procedimento. Existem trˆes submatrizes quadradas 18 ˜ LINEAR 1.6. SISTEMA LINEAR E COMBINAC ¸ AO  [v1 , v2 ] = 1 2 1 2   , [v1 , v3 ] = 1 0 1 1   , [v2 , v3 ] =  2 0 , 2 1 e somente as duas u ´ltimas tˆem determinante diferente de zero. Resolvamos o subsistema correspondene a` segunda submatriz cujo determinante ´e det[v1 , v3 ] = 1,       = 2 − 2a2 1 0 a1 2 − 2a2 a1 + ou = . a1 + a3 = −1 − 2a2 a3 −1 − 2a2 1 1 Para calcular os coeficientes pela regra de Cramer precisaremos das matrizes auxiliares,     2 − 2a2 0 1 2 − 2a2 , , [v1 , w − a2 v2 ] = [w − a2 v2 , v3 ] = 1 −1 − 2a2 −1 − 2a2 1 e de seus determinantes, det[w − a2 , v3 ] = 2 − 2a2 , det[v1 , w − a2 v2 ] = −3. Agora, calculando os coeficientes pela regra de Cramer encontramos a1 = det[w−a2 v2 ,v3 ] det[v1 ,v3 ] = 2 − 2a2 , a3 = det[v1 ,w−a2 v2 ] det[v1 ,v3 ] = −3. Portanto, w = (2, −1) expressa-se como a combina¸c˜ao linear w = (2 − 2a2 )v1 + a2 v2 − 3v3 . Isto ´e, n˜ ao existe unicidade de combina¸c˜ ao linear, para cada valor de a2 escolhido a combina¸c˜ao linear para expressar w ´e diferente: ◦ ◦ ◦ w = 2v1 + 0v2 − 3v3 w = 0v1 + 1v2 − 3v3 w = 3v1 − 1v2 − 3v3 se a2 = 0 se a2 = 1 se a2 = −1 2 Exemplo 1.6.3 Nos dois exemplos acima, os sistemas s˜ao sol´ uveis. No primeiro exemplo existe apenas uma solu¸c˜ao, isto ´e, uma u ´nica combina¸c˜ao linear para expressar o vetor w. No segundo exemplo existem infinitas solu¸c˜oes, o vetor w pode ser expresso por uma infinidade de combina¸c˜oes lineares diferentes. Quando o n´ umero de equa¸c˜oes ´e maior que o n´ umero de inc´ ognitas, o sistema linear pode ser sol´ uvel, ou n˜ ao. Dado o sistema 3 × 2,       1 2  1 1  a1 + 2a2 = a1 1  a1 + a2 = −1 ou  1 =  −1  . a2  2 −3 2a1 − 3a2 = −2 −2 Em liguagem vetorial, desejamos saber se existem escalares a1 e a2 que sejam os coeficientes de uma combina¸c˜ao linear dos vetores colunas para expressar o vetor w = (1, −1, 2) ∈ R3 , w = a1 v1 + a2 v2 , onde v1 = (1, 1, 2) e v2 = (2, 1, −3). N˜ao podemos utilizar imediatamente a regra de Cramer pois a matriz princi19 CAP´ITULO 1. O ESPAC ¸ O VETORIAL RN pal [A] = [v1 , v2 ] n˜ ao ´e quadrada. Procedemos da mesma forma, escolhemos a maior submatriz quadrada de [A] com determinante diferente de zero e resolvemos o subsistema correspondente. Existem tˆes submatrizes quadradas       1 2 1 2 2 1 , [A]2 = , [A]3 = , [A]1 = 1 1 2 −3 2 −3 todas elas com determinantes diferentes de zero. Resolvamos o subsistema correspondente a` primeira submatriz cujo determinante ´e det[A]1 = −3, (a u ´ltima equa¸c˜ao est´a por enquanto suprimida)       1 2 a1 1 1 a1 + 2a2 = ou = . 1 1 a2 a1 + a2 = −1 −1 Para calcular os coeficientes pela regra de Cramer precisaremos das matrizes auxiliares e de seus determinantes,     1 2 1 1 det = 3, det = −2, −1 1 1 −1 obtendo a1 = 1 e a2 = 23 . Mas ainda resta saber se esses valores encontrados satisfazem a equa¸c˜ao que foi suprimida do sistema. Obviamente n˜ ao satisfaz, pois com uma substitui¸c˜ao obtemos o absurdo 0 = 2. Em resumo, n˜ ao podemos expressar o vetor w = (1, −1, 2) por uma combina¸c˜ao linear de v1 = (1, 1, 2) e v = (2, 1, −3). Agora observe que se perguntarmos se u = (1, −1, 0) ´e uma combina¸c˜ao linear dos vetores v1 e v2 a resposta ´e sim. O sistema linear que devemos estudar ´e       1 2  1 1  a1 + 2a2 = a1 ou  1 1  a1 + a2 = −1 =  −1  . a2  0 2 −3 2a1 − 3a2 = 0 A resolu¸c˜ao ´e idˆentica `aquela feita anteriormente, encontrando os valores a1 = 1 ´ltima equa¸c˜ao n˜ ao obtemos contradi¸c˜ao alguma, e a2 = 23 . Ao substituirmos na u ´nica. 2 0 = 0. Logo, u = a1 v1 + a2 v2 e essa combina¸c˜ao linear ´e u Exemplo 1.6.4 Examinemos sistemas lineares n × n cujo determinante da matriz dos coeficientes ´e zero.       1 1 0 a1 = 1 1  a1 + a2 a3 = 2 a1 + ou  1 0 1   a2  =  2  .  2 1 1 a3 2a1 + a2 + a3 = −4 −4 Nesse caso det[v1 , v2 , v3 ] = 0. Tamb´em n˜ao podemos utilizar regra de Cramer, pois n˜ ao existe divis˜ao por zero. Como sabemos, deve existir um vetor linha do determinante que ´e combina¸c˜ao linear dos outros vetores linhas. Nesse caso v3 = v1 + v2 . Resolvemos o subsistema obtido por supress˜ao dessa equa¸c˜ao, 20 ˜ LINEAR 1.6. SISTEMA LINEAR E COMBINAC ¸ AO  a1 + a2 a1 + a3  = 1 = 2 ou 1 1 0 1 0 1      a1  a2  = 1 . 2 a3 Tendo a solu¸c˜ao do subsistema verificamos se ela satisfaz a equa¸c˜ao eliminada. 2 Um caso particular, mas importante, ´e um sistema linear homogˆeneo. Um sistema linear homogˆeneo sempre tem solu¸c˜ao! A justificativa para essa afirma¸c˜ao ´e bem simples. Um sistema linear homogˆeneo tem origem na pergunta: dados os vetores v1 , v2 , ..., vk ∈ Rn existem escalares ´ claro que a resposta ´e sim, a1 , a2 , ..., ak tais que o = a1 v1 + a2 v2 + · · · + ak vk ? E basta tomar a1 = a2 = · · · = ak = 0. A pergunta nos leva a um sistema linear com n equa¸c˜oes e k inc´ ognitas. Resta estudar se essa ´e, ou n˜ ao, a u ´nica solu¸c˜ao. Exerc´ıcios propostos 1.6.1 1. Resolva os sistemas em duas inc´ognitas, coloque o problema em linguagem de combina¸c˜ao linear e estude a unicidade da combina¸c˜ao linear.     2a1 − 6a2 = 0  2a1 − 6a2 = 0 2a1 + 2a2 = 5 4a1 + 5a2 = 0 4a1 + 5a2 = 4 c) b) a) 6a1 − a2 = 1   3a1 + 4a2 = 0 3a1 + 4a2 = 1 2. Resolva os sistemas em trˆes inc´ ognitas, coloque o problema em linguagem de combina¸c˜ao linear e estude a unicidade da combina¸c˜ao linear.     2a1 + 2a2 + a3 = 5  2a1 − a2 + a3 = 0 2a1 − 6a2 − a3 = 0 − a3 = 0 6a1 − a2 + 2a3 = 1 b) a1 a) c) 4a1 + 5a2 + 3a3 = 11   2a1 − 4a2 2a1 − a2 + a3 = 0 =0 3. Se poss´ıvel, escreva o vetor w ∈ R2 como combina¸c˜ao linear de v1 = (1, 1), v2 = (2, 1) ao. e v3 = (1, −1) e estude se existe unicidade de combina¸c˜ao linear ou n˜ a) o = (0, 0) b) w = (0, 1) c) w = (2, −3) d) w = v1 e) w = (−1, 1) 4. Se poss´ıvel, escreva o vetor w ∈ R3 como combina¸c˜ao linear de v1 = (1, 1, 1), v2 = (2, 1, 0) e estude se existe unicidade de combina¸c˜ao linear ou n˜ ao. a) o = (0, 0, 0) b) w = (1, 2, 1) c) w = (1, 2, 3) d) w = v2 d) w = (4, 2, −1) 5. Se poss´ıvel, escreva cada vetor w ∈ R3 como combina¸c˜ao linear de v1 = (1, 1, 1), v2 = (2, 1, 0), v3 = (0, 1, 2) estude se existe unicidade de combina¸c˜ao linear ou n˜ ao. a) w = (1, 2, 3) b) w = (1, 2, 1) c) w = (0, 0, 0) d) w = v3 d) w = (4, 2, −1) 6. Sejam v1 = (3, 1), v2 = (−1, 2) e v3 = (0, 7) vetores do R2 a) Mostre que β = {v1 , v2 } ´e uma base do R2 . b) Mostre que todo vetor (x, y) ∈ R2 escreve-se como uma combina¸c˜ao linear dos vetores de γ = {v1 , v2 , v3 }, mas n˜ao existe apenas uma combina¸c˜ao linear para expressar o vetor. 21 CAP´ITULO 1. O ESPAC ¸ O VETORIAL RN c) Mostre que existem vetores de R2 que n˜ ao s˜ao escritos como combina¸c˜ao linear do vetor de α = {v1 }. 1.7 Leitura complementar 1. Defini¸ c˜ ao de Espa¸ co Vetorial Um espa¸co vetorial real consiste de I Um conjunto V cujos elementos s˜ao chamados de vetores; II O corpo R cujos elementos s˜ao chamados de escalares; III Uma opera¸c˜ao chamada de adi¸c˜ao de vetores em que cada par de vetores u, v ∈ V ´e associado ao vetor u + v ∈ V , chamado de soma de u e v, satisfazendo os seguintes axiomas: a) b) c) d) a adi¸c˜ao ´e comutativa, u + v = v + u; a adi¸c˜ao ´e associativa, (u + v) + w = u + (v + w); existe um u ´ nico elemento 0 tal que v + 0 = v para todo v ∈ V ; para cada vetor v ∈ V existe um u ´nico vetor −v ∈ V tal que v + (−v) = 0; IV Uma opera¸c˜ao chamada de multiplica¸c˜ao por escalar em que um vetor v ∈ V e um escalar λ ∈ R s˜ao associados ao vetor λv ∈ V , chamado de produto de v por λ, satisfazendo os seguintes axiomas: a) 1v = v para todo v ∈ V ; b) a multiplica¸c˜ao por escalar ´e associativa, λ1 (λ2 v) = (λ1 λ2 )v; c) a multiplica¸c˜ao por escalar ´e distributiva em rela¸c˜ao a` adi¸c˜ao de vetores, λ(u + v) = λu + λv; d) a multiplica¸c˜ao por escalar ´e distributiva em rela¸c˜ao a` adi¸c˜ao de escalares, (λ1 + λ2 )v = λ1 v + λ2 v; 2. Determinante de matrizes n × n Seja [A] uma matriz quadrada n × n. esima matriz reduzida de [A], isto significa que a Indicamos por [A]ji  a ji -´ e a matriz (n − 1) × (n − 1) obtida de [A] por supress˜ao da matriz [A]ji  ´ j−´esima linha e da i-´esima coluna. Por exemplo, uma matriz 3 × 3 tem nove ma  a d g trizes reduzidas. Seja [A] = [v1 , v2 , v3 ], onde [A] =  b e h  v1 = (a, b, c), v2 = (d, e, f ) e v3 = (g, h, i), c f i ent˜ ao trˆes delas s˜ao obtidas da seguinte forma       e h d g d g , [A] , [A] . [A] 11 = 21 = 31 = f i f i e h 22 1.7. LEITURA COMPLEMENTAR O determinante de [A] foi definido utilizando-se essas submatrizes 2 × 2 e uma constru¸c˜ao chamada de desenvolvimento de Laplace pela primeira coluna, 2+1 3+1 b det[A] c det[A] det[A] = (−1)1+1 a det[A] 11 + (−1) 21 + (−1) 31 . Essa ´e a regra para definirmos o determinante de uma matriz n×n conhecendose o determinante para matrizes (n − 1) × (n − 1). Se [A] = [v1 , v2 , ..., vn ], onde v1 = (v11 , v12 , ..., v1n ) definimos 2+1 v 2 det[A] n+1 v n det[A] . det[A] = (−1)1+1 v11 det[A]   1 1 11 + (−1) 21 + · · · + (−1) n1 Respostas e sugest˜ oes Se¸ c˜ ao 1.2 1) V=v´ alido, N=n˜ ao v´ alido. a) N. b) N. c) V. d) V. i) N. j) N. k) N. l) V. e) V. m) V. f ) N. n) N. g) N. o) V. h) N. 2) 3v − w = (3, −1) e v + 2w = (8, −5). Representantes com ponto inicial a origem s˜ ao, −→ −−→ respectivamente, OA e OB, onde A(3, −1) e B(8, −5). Representantes com ponto −→ −→ inicial P (−2, 1) s˜ao, respectivamente, P R e P S, onde R(1, 0) e S(6, −4). 3) b) S˜ ao representantes, respectivamente, de u = (−4, 4), v = (5, −1) e w = (0, 0). O −− → segmento orientado QP representa −u. −→ −−→ c) A soma u + v ´e representado por P T onde T (2, 2) e 2u ´e representado por N M onde N (10, −6). 4) Observe que as diagonais de um paralelogramo intercetam-se no ponto m´edio. Se¸ c˜ ao 1.4 1) a) w = (3, 6, 8). b) w = (x, y, z). c) w = (0, 0, 0). d) w = v2 . 2) Ser´ a uma base de R2 se det[v1 , v2 ] = 0. Somente os vetores em c) n˜ ao formam uma base. 2x−y 2y−x a) (x, y) = −x+2y v1 + x+3y 7 7 v2 . b) (x, y) = 3 v1 + 7 v2 . d) (x, y) = (x−y)v1 −yv2 . 3) Ser´ a uma base de R3 se det[v1 , v2 , v3 ] = 0. Somente os vetores em a) e c) formam uma base. 4) a) Qualquer vetor v2 = (a, b) tal que det[v1 , v2 ] = 0, por exemplo, v2 = (−2, 1). b) Qualquer vetor v3 = (a, b, c) tal que det[v1 , v2 , v3 ] = 0. c) A solu¸c˜ao segue o mesmo roteiro. 5) a) vi = 0v1 + · · · + 1vi + · · · + 0vn . b) o = 0v1 + 0v2 + · · · + 0vn . Se¸ c˜ ao 1.5 1) a) det[A] = 10. b) det[A] = −2. c) det[A] = −1. d) det[A] = 0 pois o u ´ltimo vetor coluna ´e combina¸c˜ao linear dos outros vetores colunas, v4 = v1 + v2 + v3 . e) det[A] = −4. 23 CAP´ITULO 1. O ESPAC ¸ O VETORIAL RN 2) a) det[2v, w] = −4. b) det[−3v, 4w] = 24. c) det[w, v] = 2. d) det[v + w, w] = −2. Se¸ c˜ ao 1.6 1) a) Combina¸c˜ao linear em R2 . Expressar o vetor w = (5, 1) como combina¸c˜ao linear de ´ poss´ıvel pois a matriz dos coeficientes v1 = (2, 6) e v2 = (2, −1), w = a1 v1 + a2 v2 . E n˜ ao ´e nula, det[v1 , v2 ] = −14. Utilizando regra de Cramer encontramos a1 = 12 e ´ nica. a2 = 2. A combina¸c˜ao linear ´e u b) Combina¸c˜ao linear em R3 . Expressar o vetor nulo o = (0, 0, 0) como combina¸c˜ao ´ claro que a1 = 0 e linear de v1 = (2, 4, 3) e v2 = (−6, 5, 4), o = a1 v1 + a2 v2 . E a-los, devemos suprimir uma equa¸c˜ao, por exemplo a2 = 0 s˜ao solu¸c˜oes. Para encontr´ au ´ ltima pois o determinante da matriz dos coeficientes n˜ ao ´e igual a zero, resolver o subsistema por regra de Cramer, encontrando os valores a1 = 0 e a2 = 0. Verificamos que esses valores satisfazem a equa¸c˜ao suprimida. A combina¸c˜ao linear ´e u ´ nica. c) Combina¸c˜ao linear em R3 . Escrever o vetor w = (0, 4, 1) como combina¸c˜ao linear de a-los, devemos suprimir v1 = (2, 4, 3) e v2 = (−6, 5, 4), w = a1 v1 + a2 v2 . Para encontr´ uma equa¸c˜ao, por exemplo a u ´ ltima pois o determinante da matriz dos coeficientes n˜ ao ´e igual a zero, resolver o subsistema pela regra de Cramer, encontrando os valores 4 ao satisfazem a equa¸c˜ao suprimida. a1 = 12 17 e a2 = 17 . Verificamos que esses valores n˜ N˜ ao podemos expressar w como combina¸c˜ao linear de v1 e v2 . 2) a) Combina¸c˜ao linear em R3 . Expressar o vetor w = (5, 1, 0) como combina¸c˜ao linear de v1 = (2, 6, 2) e v2 = (2, −1, −4) e v3 = (1, 2, 0), w = a1 v1 + a2 v2 + a3 v3 . Como det[v1 , v2 , v3 ] = 2 = 0, os vetores formam uma base de R3 . Pela regra de Cramer ´e poss´ıvel encontrar uma u ´ nica express˜ao para o vetor w como combina¸c˜ao linear de v1 , v2 e v3 . b) Combina¸c˜ao linear em R2 . Expressar o vetor w = (0, 11) como combina¸c˜ao linear de v1 = (2, 4) e v2 = (−6, 5) e v3 = (−1, 3), w = a1 v1 + a2 v2 + a3 v3 . Para encontr´ alos, devemos escolher uma maior submatriz quadrada com determinante diferente de zero, por exemplo [v1 , v2 ] (formam uma base de R2 ) resolver o subsistema w − a3 v3 = a1 v1 + a2 v2 , por regra de Cramer, encontrando os valores que dependem de a3 , a 22−6a3 3 c˜ao saber, w = 66−a 34 v1 + 34 v2 . Logo, para cada valor de a3 , existe uma combina¸ linear diferente para expressar w, n˜ ao existe unicidade de combina¸c˜ao linear. c) Combina¸c˜ao linear em R3 . Expressar o vetor nulo o = (0, 0, 0) como combina¸c˜ao linear de v1 = (2, 1, 2) e v2 = (−1, 0, −1) e v3 = (1, −1, 1), w = a1 v1 + a2 v2 + a3 v3 . Como det[v1 , v2 , v3 ] = 0, (v3 = v1 − 3v2 ) n˜ ao podemos utilizar imediatamente a regra de Cramer. Logo, devemos considerar a maior submatriz quadrada com determinante diferente de zero, e resolver o subsistema. Uma das solu¸c˜oes ´e 0 = a3 v1 +3a3 v2 +a3 v3 . N˜ao existe unicidade de combina¸c˜ao linear. 3) Todos os vetores s˜ao expressos por uma por uma combina¸c˜ao linear dos vetores v1 , v2 e v3 , mas n˜ao existe unicidade de combina¸c˜ao linear. 4) Os vetores dos itens a), c) e d) s˜ao expressos de maneira u ´nica por uma combina¸c˜ao linear de v1 e v2 . Os vetores dos ´ıtens b) e e) n˜ ao podem ser expressos. 5) Como det[v1 , v2 , v3 ] = 0 os trˆes vetores formam uma base do R3 . Logo, qualquer vetor ´e expresso de maneira u ´ nica por uma combina¸c˜ao linear de v1 , v2 e v3 . 24 Cap´ıtulo 2 Geomeria Anal´ıtica Como aplica¸c˜ao da teoria j´ a vista faremos uma breve apresenta¸c˜ao de Geometria Anal´ıtica com tratamento vetorial. Destacaremos as equa¸c˜oes de retas e planos em R2 e R3 em cujas constru¸c˜oes ser˜ao utilizadas o conceitos de ´area e volume. 2.1 ´ Areas e volumes Dentre as muitas utilidades do determinante, existe uma interpreta¸c˜ao geom´etrica bastante u ´til. ´ Area de paralelogramo Fixados os vetores u = (1, 1) e v = (2, 5) em R2 , podemos construir um paralelogramo OU V P num plano Cartesiano da seguinte forma. As coordenadas dos v´ertices s˜ao O(0, 0), U (1, 1), V (2, 5) e P (3, 6). Observe −−→ −−→ que os segmentos orientados OU e V P s˜ao dois representantes do vetor u e os −−→ −− → segmentos orientados OV e U P s˜ao dois representantes do vetor v. Calculemos o determinante det[u, v],   1 2 det[u, v] = det = 3. 1 5 O valor obtido, 3, ´e definido como o valor da a´rea do paralelogramo, OU V P , constru´ıdo com os segmentos orientados que representam os vetores u e v. Geralmente. Aos vetores u = (u1 , u2 ) e v = (v1 , v2 ) em R2 , associamos um parelogramo num plano Cartesiano, OU V P , cujos v´ertices s˜ao O(0, 0), U (u1 , u2 ), V (v1 , v2 ) e P (u1 +v1 , u2 +v2 ). −−→ −−→ Observe que os segmentos orientados OU e V P s˜ao dois representantes do vetor u e os segmentos −−→ −−→ orientados OV e U P s˜ao dois representantes do vetor v. O valor absoluto do 25 CAP´ITULO 2. GEOMERIA ANAL´ITICA determinante da matriz cujas entradas s˜ ao as coordenadas dos vetores como indicado anteriormente, | det[u, v]|, ´e definido como o valor da a´rea do paralelogramo. Quando o determinante ´e nulo, significa que o paralelogramo ´e degenerado, n˜ ao tem o comprimento ou n˜ao tem altura. Mais ainda, a a´rea de um paralelogramo obtido por transposte paralelo daquele constru´ıdo com um dos v´ertices na origem O(0, 0) tem a mesma ´area. Observe que uma das diagonais do paralelogramo representa o vetor soma u + v. Exerc´ıcio 2.1.1 Dados os vetores v = (2, −1) e w = (3, 3) em R2 . Determine o outro v´ertice de um paralelogramo no plano Cartesiano E2 conhecendo-se os trˆes v´ertices O(0, 0), V (2, −1) e W (3, 3). Calcule a sua a´rea. Determine os v´ertices do paralelogramo QRST , onde Q(1, −2) e os segmentos − − → −→ orientados QR e QS representam os vetores, v e w, respectivamente. Calcule sua area. ´ 2 Volume de paralelep´ıpedo Da mesma forma, dados trˆes vetores do R3 , digamos que sejam u = (u1 , u2 , u3 ), v = (v1 , v2 , v3 ) e w = (w1 , w2 , w3 ). Com esses trˆes vetores podemos construir uma matriz quadrada 3 × 3 de tal modo que as entradas por colunas sejam as coordenas dos vetores,   u1 v1 w1 [u, v, w] =  u2 v2 w2  . u3 v3 w3 m´etrica O valor absoluto do determinante dessa matriz, |det[u, v, w]|, tamb´em admite uma interpreta¸c˜ao geosimilar. Por defini¸c˜ao, ele ´e o volume de um paralelep´ıpedo do espa¸co Cartesiano ao obtidas pelo transporte paralelo E2 , constru´ıdo de tal forma que suas arestas s˜ dos segmentos orientados representando os trˆes vetores. Observe que uma diagonal do paralelep´ıpedo representa a soma dos trˆes vetores, u + v + w. Exerc´ıcio 2.1.2 Dados os vetores u = (1, 0, 2), v = (2, 1, 1) e w = (−1, 3, 3) em R3 . Determine os outros v´ertices de um paralelep´ıpedo no espa¸co Cartesiano E3 conhecendo-se os quatro v´ertices O(0, 0, 0), U , V e W . Calcule o seu volume. 2 Exerc´ıcios propostos 2.1.1 1. Esboce o paralelogramo com os v´ertices P , Q, R e S do plano Cartesiano e calcule sua a´rea, quando 26 2.2. RETAS E PLANOS I a) P (0, 0), Q(1, 2), R(1, 3) e S(2, 5). b) P (1, 1), Q(3, 2), R(7, 7) e S(5, 6). 2. Esboce um paralelogramo no plano Cartesiano associado aos vetores v, w ∈ R2 , onde v = (1, 2) e w = (1, 3) e calcule sua ´area. 3. Sejam v, w ∈ R2 , onde v = (−1, 2) e w = 2v. Calcule e interprete, geometricamente, o valor do determinante det[v, w]. 4. Sejam u, v, w ∈ R3 , onde u = (−1, 2, 1) e v = (2, 1, 1) e w = −u + 2v. Calcule e interprete, geometricamente, o valor do determinante det[u, v, w]. 5. Considere os pontos do plano Cartesiano P (1, 1), Q(3, −3) e R(5, −2). (a) Esboce os pontos e determine os vetores u e v representados pelos segmentos −−→ − − → orientados P Q e QR, respectivamente. (b) Represente graficamente os vetores u + v e u − v por segmentos orientados com ponto inicial P . (c) Determine um ponto S(a, b) com a > 0 tal que P QRS seja um paralelogramo e calcule sua ´area. (d) Dˆe as coordenadas dos pontos A e B sobre o segmento QR tal que esses pontos dividem o segmento QR em trˆes partes iguais. 6. Calcule o volume de um paralelep´ıpedo do espa¸co Cartesiano cujas arestas s˜ao segmentos orientados que representam os vetores u = (1, 1, 1), v = (−2, 1, 4) e w = (1, 0, 4). Qual o motivo para dizermos de um e n˜ao do? 2.2 Retas e planos I Nesse texto, n˜ao estudaremos Geometria Anal´ıtica, mas lan¸caremos m˜ao de uns poucos resultados dessa disciplina que s˜ ao do conhecimento de todos com a finalidade de ilustrar a teoria. No desenvolvimento do texto nos depararemos com v´ arios 2 subconjuntos Γ ⊂ R definidos por uma equa¸c˜ao linear. Retas em E2 Por exemplo, um conjunto definido na forma Γ = {(x, y) ∈ R2 ; x − 3y = 0} tˆem como imagem pela aplica¸c˜ao P : R2 → E2 , uma reta que cont´em a origem do plano Cartesiano cuja equa¸c˜ao linear ´e a mesma, {P (x, y) ∈ E2 ; x − 3y = 0}. A identifica¸c˜ao ´e t˜ao natural que continuaremos a designar pela mesma letra a sua imagem, Γ = {P (x, y) ∈ E2 ; x − 3y = 0}, embora os dois sejam subconjuntos de conjuntos diferentes. 27 CAP´ITULO 2. GEOMERIA ANAL´ITICA Relacionaremos equa¸c˜oes lineares com duas vari´ aveis x e y com retas no plano Cartesiano. Um u ´nico exemplo deixar´a claro a rela¸c˜ao. Como sabemos, dois pontos P e Q no plano Euclidiano determinam uma u ´nica reta Γ. Vamos supor que tenhamos fixados eixos Carteisanos no plano e que nesse sistema de eixos obtivemos P (2, 1) e Q(−3, −2). Um ponto A(x, y) pertence `a reta Γ se, e somente se, o paralalelogramo no qual duas de suas arestas s˜ao QA e QP , tem ´area nula, pois est´a contido na reta Γ. Para calcularmos a ´area devemos ter em m˜aos vetores representados pelos segmentos orientados correspondentes. Ou seja, ter em m˜aos os vetores v = (x + 3, y + 2) e w = (5, 3), respectivamente. Logo, a ´area fica sendo   x+3 5 0 = det[v, w] = det = 3x − 5y − 1. y+2 3 Sendo assim, a reta determinada pelos pontos P e Q de E2 pode ser descrito como Γ = {A(x, y) ∈ E2 ; 3x − 5y = 1}. Seguindo a nota¸c˜ao, diremos que o conjunto correspondente em R2 ´e uma reta e denotamos tamb´em por Γ = {(x, y) ∈ R2 ; 3x − 5y = 1}. Planos em E3 Do mesmo modo, subconjuntos do R3 definidos por uma equa¸c˜ao linear em trˆes vari´ aveis, por exemplo, Γ = {(x, y, z) ∈ R2 ; x + y + z = 0}, tˆem uma imagem pela aplica¸c˜ao P : R3 → E3 um conjunto definido pela mesma equa¸c˜ao linear, {P (x, y, z) ∈ E3 ; x + y + z = 0}. Esse u ´ltimo conjunto ´e um plano que cont´em a origem do espa¸co Cartesiano. Tamb´em indicaremos a imagem de Γ pela mesma letra, Γ = {P (x, y, z) ∈ R3 ; x + y + z = 0}. Vejamos um modo de estabelecer a rela¸c˜ao entre planos no espa¸co Cartesiano e equa¸c˜oes lineares com trˆes vari´aveis, x, y e z. Comos sabemos, trˆes pontos n˜ ao 3 ´nico plano colineares, digamos P , Q e R, no espa¸co Euclidiano E determinam um u Γ. Vamos supor que tenhamos fixados eixos Cartesianos no espa¸co e que nesse sistema de eixos obtivemos P (2, 1, 0), Q(−3, −2, 1) e R(1, 1, 1). Um ponto A(x, y, z) pertence ao plano Γ se, e somente se, o paralep´ıpedo no qual trˆes de suas arestas s˜ao RA, RP e RQ tem volume zero, pois est´a contido no plano Γ. Os segmentos orientados correspondentes representam os vetores, u = (x − 1, y − 1, z − 1) v = (1, 0, −1) e w = (−4, −3, 0), respectivamente. Logo, o volume do paralelep´ıpedo fica sendo 28 2.2. RETAS E PLANOS I   x−1 1 −4 0 = det[u, v, w] = det  y − 1 0 −3  = −3x + 4y − 3z + 2. z − 1 −1 0 Sendo assim, o plano de E3 determinado por P , Q e R pode ser descrito como Γ = {A(x, y, z) ∈ E3 ; 3x − 4y + 2z = 2}. Seguindo a conven¸c˜ao notacional, diremos que o conjunto correspondente em R3 ´e um plano e denotamos tamb´em por Γ = {(x, y, z) ∈ R3 ; 3x − 4y + 2z = 2}. Retas em E3 Na Geometria Euclidiana espacial, dois pontos distintos, digamos P ´nica reta Γ ⊂ E3 e a reta ´e a interse¸c˜ao de dois planos e Q em E3 , determinam uma u distintos Γ1 e Γ2 , onde cada um deles cont´em os pontos dados, isto ´e, Γ = Γ1 ∩ Γ2 . Tais postulados, indicam que podemos utilizar duas equa¸c˜oes lineares para descrever o conjunto Γ. Apresentemos um procedimento para descrever por equa¸c˜oes lineares a reta que cont´em P e Q. Suponha que ao fixarmos um sistema de eixos Cartesiano em E3 tenhamos P (2, 1, 0) e Q(−3, −2, 1). Para determinar um plano Γ1 que contenha esses pontos basta escolher um terceiro ponto que n˜ ao esteja sobre a reta definida por P e ao Q, e considerar o plano Γ1 determinado pelos trˆes pontos, P , Q e R. Para n˜ alongarmos as manipula¸c˜oes alg´ebricas, escolhamos o terceiro ponto como sendo R(1, 1, 1). Como vimos acima, a equa¸c˜ao do plano j´ a foi calculada, Γ1 = {A(x, yx) ∈ E3 ; 3x − 4y + 2z = 2}. Agora, devemos escolher qualquer ponto que n˜ ao perten¸ca `a Γ1 para determinar ositos, pois n˜ao pertence ao o segundo plano Γ2 . O ponto S(0, 0, 0) serve aos prop´ plano Γ1 . Como sempre, consideremos um ponto gen´erico A(x, y, z) ∈ Γ2 e os segmentos orienta−→ −→ −→ dos SA, SP e SQ, representante dos vetores u = (x, y, z), v = (2, 1, 0) e w = (−3, −2, 1), respectivamente. Calculando o volume do paralelep´ıpedo cujas arestas s˜ao paralelas a aqueles segmentos obtemos 0 = det[u, v, w] = x − 2y − 3z. Logo, Γ2 = {A(x, y, z) ∈ E2 ; x − 2y − 3z = 0} e a reta fica determinada por duas equa¸c˜oes lineares, Γ = {A(x, y, z) ∈ E2 ; x − 2y − 3z = 0 e 3x − 4y + 2z = 2}. Para finalizar, deixamos um resumo dos fatos sobre equa¸c˜oes lineares homogˆeneas e Geometria Anal´ıtica que foram estudados nessa se¸c˜ao. 1. Um reta em E2 fica determinada por uma equa¸c˜ao linear em x e y. 29 CAP´ITULO 2. GEOMERIA ANAL´ITICA 2. Um plano em E3 fica definido por uma equa¸c˜ao linear em x, y e z. 3. Uma reta em E3 fica definida por duas equa¸c˜oes lineares em x, y e z. ´ necess´ario N˜ ao faz sentido falar em esbo¸car o gr´afico da equa¸c˜ao 2x − y = 0. E informar, de algum modo, quantas vari´ aveis est˜ao envolvidas na equa¸c˜ao, pois ela poderia ser, por exemplo, 2x − y + 0z = 0. Exerc´ıcios propostos 2.2.1 1. Determine a equa¸c˜ao da reta determinada pelos pontos P e Q do plano Cartesiano. a) P (1, 1), Q(0, 3). b) P (−1, 2), Q(2, −1). c) P (1, 1), Q(1, 5). d) P (−3, 4), Q(3, 4). e) P (0, 0), Q(1, 1). f ) P (0, 0), Q(−2, 1). 2. Determine a equa¸c˜ao do plano determinado pelos pontos P , Q e R em E3 . a) P (1, 0, 1), Q(0, 3, 2), R(1, −1, 1). b) P (0, −1, 2), Q(1, 2, −1), R(0, 0, 0). c) P (1, −2, 1), Q(0, 1, 5), R(1, 0, 0). d) P (0, 0, 0), Q(1, 1, 1), R(1, 1, 0). e) P (0, 0, 1), Q(0, 1, 0). R(0, 0, −1). 3. Determine as equa¸c˜oes da reta determinada pelos pontos P e Q em E3 . a) P (1, 0, 1), Q(0, 3, 2). b) P (0, −1, 2), Q(1, 2, −1). c) P (1, −2, 1), Q(0, 1, 5). d) P (0, 0, 0), Q(1, 1, 1). e) P (0, 0, 1), Q(0, 1, 0). Respostas e sugest˜ oes Se¸ c˜ ao 2.1 1) a) a ´rea = 1. b) a ´rea = 3. 2) a ´rea = 1. 3) a ´rea = 0. 4) volume = 0. 5) a) u = (2, −4) e v = (2, 1). b) u + v = (4, −3) e u − v = (0, −5) s˜ao representados, −→ −→ respectivamente, pelos segmentos orientados P S e P T , onde S(5, −2) e T (1, −4). c) 7 −2 13 −7 S(3, 3) e a ´rea = 8. d) A( 3 , 3 ) e B( 3 , 3 ). 6) volume = 15. Existem infinitos paralelep´ıpedos cujas arestas s˜ ao segmentos orientados que representam os vetores. Se¸ c˜ ao 2.2 1) a) E : 2x + y − 3 = 0. d) E : y − 4 = 0. 2) a) E : x + z − 2 = 0. d) E : y − x = 0. b) E : 3x + 3y − 3 = 0. c) E : x − 1 = 0. e) E : x − y = 0. f ) E : x + 2y = 0. b) E : −3x + 2y + z = 0. e) E : x = 0. 30 c) E : 9x + y + 2z + 11 = 0. 2.2. RETAS E PLANOS I 3) Como uma reta fica definida pela interse¸c˜ao de dois planos, escolhemos o primeiro plano definido pelos pontos P QR, onde R est´a indicado no exerc´ıcio anterior. Depois escolhemos um ponto S fora desse plano e calculamos a equa¸c˜ao do plano P QS. Cada reta ´e determinada por duas equa¸c˜oes. a) E : x + z − 2 = 0 e 3x + 2y − 3z = 0. 31 Cap´ıtulo 3 Produto interno No primeiro cap´ıtulo estudamos um conjunto alg´ebrico formado pelas n-´ uplas ordenadas, Rn , e induzimos no conjunto uma estrutura de espa¸co vetorial real. Tamb´em relacionamos o conjunto R2 e R3 com a Geometria Euclidiana, plana e espacial, respectivamente. Nesse cap´ıtulo, para compreender melhor os conjuntos alg´ebricos, continuaremos a relacion´ a-los com os conjuntos geom´etricos. Para isso, ´e convenia ente introduzir uma fun¸c˜ao bilinear, chamada de produto interno em Rn que servir´ para estabelecer conceitos geom´etricos tais como comprimento, distˆancia e ˆangulo a a nossa r´egua e compasso. em Rn . O produto interno ser´ 3.1 Produto interno Sejam v = (x1 , x2 , ..., xn ) e w = (y1 , y2 , ..., yn ) dois vetores de Rn . A aplica¸c˜ao  ,  : Rn × Rn → R v, w = x1 y1 + x2 y2 + · · · + xn yn , definida por ´e chamada de produto interno do Rn . Para simplificar a escrita, diremos apenas produto interno, ficando impl´ıcito que estamos trabalhando com aquela fun¸c˜ao.1 Exemplo 3.1.1 Dados os vetores v = (1, −3) e w = (−1, 1) em R2 , o produto internos dos vetores ´e v, w = 1 · (−1) + (−3) · 1 = −4. Verifique que 2v, w = 2v, w. Da mesma forma, o produto interno dos vetores v = (2, 1, −3) e w = (0, −1, 1) de R3 ´e v, w = 2 · 0 + 1 · (−1) + (−3) · 1 = −4. Verifique que v, o = 0, para todo vetor v. 2 O produto interno possue trˆes propriedades b´ asicas que registraremos numa proposit¸c ˜ao cuja demonstra¸c˜ao ficar´ a aos cuidados do leitor. 1 Alguns textos tamb´em referem-se ao produto interno como produto escalar 32 3.2. NORMA DE UM VETOR Proposi¸ c˜ ao 3.1.1 O produto interno  ,  : Rn × Rn → R possui as seguintes propriedades para quaisquer vetores u, v, w ∈ Rn e qualquer escalar λ ∈ R, P1 v, v ≥ 0 e v, v = 0 ⇔ v = 0; (positiva definida) P2 v, w = w, v; (sim´etrica) P3 v + w, u = v, u + w, u; (linear) P4 λv, w = λv, w. (linear) Exerc´ıcios propostos 3.1.1 1. Calcule o produto interno a) v1 = (2, 2), b) v1 = (1, −1, 2), c) v1 = (−1, −1, 2, 0), vi , vj , i, j = 1, 2, 3, 4, onde v2 = (−3, 1), v3 = (1, 3) v2 = (0, −2, −1), v3 = (0, 0, 0) v2 = (0, −3, 2, 1), v3 = (3, 0, 0, 0) s˜ao vetores do R2 . s˜ao vetores do R3 . s˜ao vetores do R4 . 2. Seja η = (3, 2) ∈ R2 . Identifique o conjunto Γ = {v ∈ R2 , η, v = 0}. 3. Seja η = (1, −2, 1) ∈ R3 . Identifique o conjunto Γ = {v ∈ R3 , η, v = 0}. 4. Mostre que o produto interno tamb´em possui as propriedades: a) v, w + u = v, w + v, u. b) v, w = v, u para todo v ⇔ w = u. c) v = v, e1 e1 + · · · + v, en en . 3.2 Norma de um vetor Definido o produto interno, podemos iniciar a transposi¸c˜ao dos conceitos de comprimento e aˆngulo origin´ arios na Geometria. Iniciaremos o estudo da aplica¸c˜ao  v = v, v.   : Rn → [0, +∞), O seu valor num vetor v ∈ Rn ser´a chamado de norma de um vetor. Se desejarmos escrevˆe-la utilizando coordenadas, v = (x1 , x2 , ..., xn ), obtemos a express˜ao  v = (x1 )2 + (x2 )2 + · · · + (xn )2 . Exemplo 3.2.1 Para calcular a norma do vetor a defini¸c˜ao, v = (3, R2 basta aplicar √ −5) em  v, v = (3)2 + (−5)2 = 34. Desev = jamos agregar √ um conte´ udo geom´etrico ao n´ umero obtido, v = 34, para isso, utilizaremos segmentos orientados. Observe que ao representarmos o −−→ vetor por um segmento orientado P Q, digamos que P (2, 6) e Q(5, 1), o Teorema de Pit´agoras nos diz que v corresponde exatamente ao comprimento 2 do segmento P Q. 33 CAP´ITULO 3. PRODUTO INTERNO O valor v ´e interpretado, geometricamente, como o comprimento de um seg−−→ mento orientado P Q que representa o vetor v ∈ Rn . 3 Exemplo  calcular a norma do√vetor w = (3, −1, 2) de R , efetuamos  3.2.2 Para 2 2 2 w = v, v = (3) + (−1) + (2) = 14. Da mesma forma, o valor w = √ 14 corresponde ao comprimento de qualquer segmento orientado representando w. Quais s˜ ao as normas dos vetores 2w, −2w e do vetor nulo o = (0, 0, 0)? 2 Exemplo 3.2.3 Diremos que um vetor u ´e unit´ ario quando u = 1. √  ario pois u = u, u = 1. Por exemplo, o vetor u = ( 23 , 35 ) ∈ R2 , ´e unit´ ) ∈ R3 ´e unit´ ario. Da mesma forma verificamos que o vetor u = ( √110 , 0, √−3 10 Para construir vetores unit´ arios basta normalizar um vetor n˜ ao nulo, isto ´e, 1 v. Esse foi o m´etodo dividir um vetor n˜ ao nulo v ∈ Rn por sua norma, u = v que utilizamos para construir os exemplos acima. Para construir o vetorunit´ ario 3 , consideramos o vetor v = (1, 0, −3), calculamos sua norma, v = v, v = u ∈ R  √ 1 2 2 2 √ (1) + (0) + (−3) = 10, e dividimos o vetor por sua norma u = 10 (1, 0, −3). Fica como exerc´ıcio mostrar que o processo sempre produz um vetor unit´ ario. 2 A aplica¸c˜ao norma possui as seguintes propriedades para quaisquer vetores v, w ∈ Rn e qualquer escalar λ ∈ R, N1 v
0 e v = 0 ⇔ v = 0; (positiva definida) N2 λv = |λ| v; N3 v + w ≤ v + w. (desigualdade triangular) Recordamos que |λ| indica o valor absoluto de um n´ umero real, isto ´e,  λ se λ ≥ 0 |λ| = −λ se λ < 0 Para mostrar que a aplica¸c˜ao v possui essas propriedades necessitamos de uma das mais importante desigualdades associadas a um produto interno. Teorema 3.2.1 (Desigualdade de Cauchy-Schwarz) Sejam   ,  : Rn × Rn → n ao R o produto interno e   : R → R a norma associada, v = v, v. Ent˜ n para quaisquer v, w ∈ R vale a desigualdade | v, w |≤ vw, e a igualdade ocorre se, e somente se, v e w s˜ ao vetores colineares. 34 ˆ 3.3. ANGULO ENTRE DOIS VETORES Prova Se um dos vetores, v ou w, ´e o vetor nulo, eles s˜ao colineares e a demonstra¸c˜ao reduz-se a verificar a igualdade, zero igual a zero. Suponha que v seja um vetor n˜ ao nulo. Temos pela propriedade P1 do produto interno, que para qualquer escalar t ∈ R e qualquer vetor w ∈ Rn , vale a desigualdade tv − w, tv − w ≥ 0, e ocorre a igualdade se, e somente se, w = t0 v, para algum escalar t0 . Sendo assim, desenvolvendo o produto interno acima, p(t) = tv − w, tv − w = t2 v2 − 2tv, w + w2 , obtemos um polinˆ omio quadr´ atico p(t) ≥ 0. Isso implica que o seu discriminante ´e menor ou igual a zero, i.e. 4v, w2 − 4v2 w2 ≤ 0. Conseq¨ uentemente, v, w2 ≤ v2 w2 . De onde segue imediatamente que |v, w| ≤ vw, como desej´avamos. Agora, se vale a igualdade ent˜ ao p(t) possui uma u ´nica raiz real λ com multiplicidade dois, ou seja p(λ) = λv − w, λv − w = 0. A propriedade P1 garante que isto ocorre se, e somente se, w − λv = 0, isto ´e, v e w s˜ao colineares. 2 Exerc´ıcios propostos 3.2.1 1. Calcule a norma e identifique os vetores unit´ arios. a) b) c) v = (1, 2); v = (0, −2, 1); v = (0, 2, 12 , 1); w = (−2, 3); w = √114 (2, −1, 3); √ w = (− 2, −1, 3, 1); u = (1, 0) u = (0, 1, 0) u = (0, 0, 0, 1) vetores de R2 . vetores de R3 . vetores de R4 . −− → 2. Determine o comprimento do segmento orientado P Q. Os pontos da primeira linha est˜ao no plano Cartesiano e os da segunda linha, no espa¸co Cartesiano. a) P (1, 2) e Q(4, 6). d) P (−1, 0, 2) e Q(3, −2, 0). b) P (1, 0) e Q(0, 1). e) P (0, 0, 0) e Q(0, 1, 0). c) P (1, 1) e Q(−1, −1). f ) P (0, 0, 0) e Q(1, 1, 1). − → 3. Represente por um segmento orientado 0P o vetor u = (cos θ, sen θ) ∈ R2 . Qual a norma de u? Esboce no plano Euclidiano todos os pontos P (cos θ, sen θ). 3.3 ˆ Angulo entre dois vetores A desigualdade de Cauchy-Schwarz, permite demonstrar que a norma associada ao produto interno ´e de fato uma norma (Veja a leitura complementar desse cap´ıtulo). Com a norma transpomos para o Rn a id´eia de comprimento. Al´em disso, ela 35 CAP´ITULO 3. PRODUTO INTERNO tamb´em permite transpor o conceito de ˆangulo. A u ´nica informa¸c˜ao extra que necessitaremos ´e bem conhecida, para cada t ∈ [−1, 1] existe um u ´nico θ ∈ [0, π] tal que cos θ = t. Sendo assim, dados dois vetores n˜ ao nulos v e w em Rn , desde que v = 0 e w = 0, a desigualdade de Cauchy-Schwarz pode ser reescrita, nesse caso, como |v, w| ≤ 1. vw ou equivalentemente, −1≤ v, w ≤ 1. v w Logo, podemos garantir que existe um u ´nico θ ∈ [0, π], o qual ser´ a chamado de ˆngulo entre os vetores n˜ a ao nulos v e w, tal que cos θ = v,w v w . Portanto, para dois vetores n˜ ao nulos, v e w, uma bela f´ ormula que relaciona produto interno, norma (comprimento) e aˆngulo, v, w = v wcosθ onde θ ∈ [0, π] ´e o ˆangulo entre os dois vetores. Muitas vezes, para deixar claro que o aˆngulo considerado ´e aquele formado pelos vetores v e w, escrevemos θ(v, w). Exemplo 3.3.1 Calculemos o ˆangulo entre os vetores n˜ ao nulos v = (2, −1, −1) e 3 w = (−1, −1, 2) de R . Pela defini¸c˜ao, v, w = v wcosθ. Calculando, √ √ e w = 6. v, w = −3, v = 6 √ √ ˆngulo entre os Da igualdade −3 = 6 6cos θ, obtemos cos θ = −1 2 . Portanto, o a . 2 vetores ´e θ = 2π 3 Exemplo 3.3.2 Geralmente, n˜ ao ´e poss´ıvel explicitar exatamente o valor do aˆngulo entre dois vetores, necessitamos de uma m´aquina de calcular para conhecer aproximadamente qual o valor do aˆngulo. Se v = (−1, 2, 1) e w = (3, −1, 3) s˜ao ormula calcula indiretamente vetores do R3 , a f´ √ √ o aˆngulo entre os vetores pois . Dev, w = v wcos θ, implica que −2 = 6 19cos θ. Logo, cos θ = √−2 114 . vemos procurar o valor aproximado de θ = arccos √−2 114 2 ao perpendiculares ou orDefini¸ c˜ ao 3.3.1 Diz-se que dois vetores v e w em Rn s˜ togonais, quando v, w = 0. O vetor nulo o ∈ Rn ´e perpendicular a qualquer outro vetor. Conv´em observar que quando dois vetores n˜ ao nulos s˜ao ortogonais estamos exigindo que o ˆangulo entre eles seja um ˆangulo reto, pois se v = 0 e w = 0, as igualdades 36 3.4. RETAS E PLANOS II 0 = v, w = vw cos θ implicam que cos θ = 0. Como θ ∈ [0, π], conclu´ımos que o ˆangulo entre os dois vetores ´e reto, θ = π/2. Exemplo 3.3.3 Os vetores v = (1, 2), w = (−4, 2) ∈ R2 s˜ao ortogonais pois o produto interno ´e zero, v, w = 1·(−4)+2·2 = 0. Em E2 quaisquer dois segmentos orientados com mesmo ponto inicial −−→ −→ representando os vetores, digamos P Q e P R, s˜ao perpendiculares. 2 Um processo pr´atico para construir um vetor perpendicular a um vetor n˜ ao nulo v = (a, b) ∈ 2 ⊥ R ´e considerar o vetor v = (−b, a) ∈ R2 . Exerc´ıcios propostos 3.3.1 1. Calcule o aˆngulo entre os vetores u e v. b) u = (2, a) u = (−3, −3), v = (0, 4) ∈ R2 √ 2, 2),√ c) u = (10, −3), v = (3, 10) ∈ R2 d) u = ( 2, 2, 2), 3 v = (1, √ −1, 0) √∈R 3 v = ( 3, 0, 3), ∈ R . 2. Determine o valor da coordenada para que os aˆngulos entre os vetores do R3 seja o angulo pedido. ˆ a) v = (−1, 2, 1), w = (x, 1, 2), θ(v, w) = π3 . b) v = (0, 1, 0), w = (1, y, 4), θ(v, w) = − π4 . 3. Determine um vetor ortogonal ao vetor η ∈ R2 . Descreva o conjunto Γ de todos os vetores que s˜ao ortogonais ao vetor η e verifique que o conjunto ´e uma reta. a) η = (−2, 3). b) η = (3, 3). c) η = (1, −1). 4. Calcule um vetor unit´ ario u ∈ R3 simultaneamente ortogonal aos vetores v = (2, 1, 0) e w = (1, −1, 2). 5. Determine o aˆngulo entre o vetor v = (−3, 2, 3) ∈ R3 e cada um dos vetores da base canˆonica. 3.4 Retas e planos II Recordamos que no cap´ıtulo anterior estudamos subconjuntos Γ ⊂ Rn , n = 2, 3 definidos por equa¸c˜oes lineares. Para isso, utilizamos o conceito de ´areas e volumes. Agora, examinaremos a rela¸c˜ao entre equa¸c˜oes lineares com o produto interno. Retas em E2 Seja η = (3, −2) um vetor em R2 . Escolhido um ponto no plano Cartesiano, digamos P (1, 2), podemos representar o vetor η por um segmento ori−−→ entado P Q e definir uma reta Γ da seguinte forma: 37 CAP´ITULO 3. PRODUTO INTERNO Γ =: conjunto dos pontos A(x, y) ∈ E2 tais que o −→ segmento orientado P A ´e perpendicular ao −−→ segmento orientado P Q. Os vetores η = (3, −2) e v = (x − 1, y − 2) s˜ao representados pelos segmentos orientados, portanto a condi¸c˜ao de serem perpendiculares significa que v, η = 0. Efetuando o produto interno obtemos 3x − 2y = −1. Isso significa que a reta ´e descrita por uma equa¸c˜ao linear, a saber, Γ = {A(x, y) ∈ E2 ; 3x − 2y = −1}. Iremos nos referir a essa reta como a reta que passa pelo ponto P ∈ E2 e tem vetor normal η. Observamos que coeficientes da equa¸c˜ao linear s˜ ao precisamente as coordenadas do vetor normal η. Isso nos indica qual o caminho inverso da constru¸c˜ao acima. Exemplo 3.4.1 A reta Γ = {A(x, y) ∈ R2 ; 2x − y = 1}, ´e a reta que passa por P (1, 1) e tem vetor normal η = (2, −1). Vejamos essa afirma¸c˜ao. ´ claro que P ∈ Γ pois suas coordenadas satisfazem a equa¸c˜ao linear que define E a reta Γ. Seja η = (2, −1). Considere os pontos A(x, y) ∈ E2 , tais que o segmento −→ −−→ orientado P A ´e perpendicular ao segmento orientado P Q que representa η. O primeiro segmento orientado representa o vetor v = (x − 1, y − 1). A condi¸c˜ao de perpendicularismo significa que 0 = v, η = 2x − y − 1. 2 Planos em E3 Ampliemos a id´eia utilizada no plano Cartesiano. Sejam η um vetor de R3 e P um ponto do espa¸co Cartesiano E3 . Com um exemplo, daremos significado a` terminologia o plano que passa por P e tem como vetor normal η. Vamos supor que η = (1, −1, 2) ∈ R3 seja o vetor normal dado e que P (2, −1, 1) ∈ E3 seja o ponto considerado. Representemos o vetor normal por −−→ ´ P Q. E claro que Q(3, −2, 3). O plano com vetor normal η passando pelos ponto P ´e o conjunto Γ formado por todos os pontos A(x, yz) ∈ E3 tais −→ −−→ que os segmentos orientados P A e P Q s˜ao perpendiculares. Descrevamos a condi¸c˜ao de perpendicularismo com o produto interno. 38 3.5. PRODUTO VETORIAL EM R3 −→ Como o segmento orientado P A representa o vetor v = (x − 2, y + 2, z − 1), temos que 0 = v, η = x − 2 − y − 2 + 2z − 2. Logo, o plano ´e descrito como Γ = {A(x, y, z) ∈ E3 ; x − y + 2z = 6}. Novamente, os coeficientes da combina¸c˜ao linear s˜ ao as coordenadas do vetor η, indicando como devemos transcrever um plano definido por uma equa¸c˜ao linear para um plano que passa por um ponto e tem um vetor normal espec´ıfico. Exemplo 3.4.2 O leitor pode verificar que o plano Γ = {A(x, yz) ∈ E3 ; 2x − 3z = 0} ´e o plano que cont´em o ponto P (3, −2, 2) e tem vetor normal η = (2, 0, −3). Ele tamb´em ´e o plano que cont´em o ponto R(6, 0, 4) e tem como vetor normal η. 2 Exerc´ıcios propostos 3.4.1 1. Descreva o conjunto Γ ⊂ R3 de todos os vetores que s˜ao ortogonais ao vetor η ∈ R3 . a) η = (−2, 3, 0). b) η = (3, 3, 1). c) η = (0, 1, 0) 2. Determine a medida dos aˆngulos formados pelas retas do plano Cartesiano. a) Γ1 = {A(x, y) ∈ E2 ; x − 2y = 0} e Γ2 = {A(x, y) ∈ E2 ; 2x + y = 3}. b) Γ1 = {A(x, y) ∈ E2 ; x − y = 0} e Γ2 = {A(x, y) ∈ E2 ; y = −6}. 3.5 Produto vetorial em R3 O espa¸co Euclidiano R3 admite uma opera¸c˜ao especial com dois vetores chamado de produto vetorial. Sejam v e w vetores de R3 . O produto vetorial de v por w denotado por v × w ´e o vetor em R3 tal que para qualquer vetor u ∈ R3 , vale a identidade u, v × w = det[u, v, w]. O produto vetorial goza de v´ arias propriedades importantes. A seguir, mostraremos algumas delas e um algoritmo para calcular o produto vetorial de vetores. ao Proposi¸ c˜ ao 3.5.1 Sejam v = (a, b, c) e w = (d, e, f ) vetores de R3 . Ent˜ i) v × w ´e perpendicular aos vetores v e w, simultaneamente; ii) o produto vetorial de v por w ´e calculado pelo algoritmo        b e a d a d v × w = det , − det , det ; c f c f b e iii) v × w2 = det[v, w, v × w] ≥ 0. 39 CAP´ITULO 3. PRODUTO INTERNO Prova i) Por defini¸c˜ao temos que v, v × w = det[v, v, w]. Isto implica que a matriz [v, v, w] tem duas linhas iguais. Como sabemos, nestas condi¸c˜oes, podemos garantir que o seu determinante ´e zero. Portanto, o produto interno de v por v × w ´e zero, significando que v ´e perpendicular ao vetor v × w. O mesmo argumento vale para w e v × w. Assim fica mostrado o item i). ii) Utilizaremos propriedades conhecidas de combina¸c˜ao linear de vetores na base canˆonica, v × w = e1 , v × we1 + e2 , v × we2 + e3 , v × we3 = det[e1 , v, w]e1 + det[e2 , v, w]e2 + det[e3 , v, w]e3 = det[e1 , v, w], det[e2 , v, w], det[e3 , v, w] . Agora, ´e suficiente observarmos que as coordenadas s˜ao obtidos por     1 a d b e   , det[e1 , v, w] = det 0 b e = det c f 0 c f     0 a d a d   , det[e2 , v, w] = det 1 b e = − det c f 0 c f     0 a d a d . det[e3 , v, w] = det  0 b e  = det b e 1 c f Temos demonstrado o item (ii). iii) Provemos que det[v, w, v × w] ≥ 0. Desenvolvendo este determinante pela terceira coluna (desenvolvimento de Laplace) obtemos   a d bf − ce det[u, v, v × w] = det  b e cd − af  c f ae − bd = (ae − bd)2 + (af − cd)2 + (bf − ce)2 = v × w2 ≥ 0, 2 provando o que quer´ıamos. 40 3.5. PRODUTO VETORIAL EM R3 Exemplo 3.5.1 Apresentaremos um procedimento para avaliar mais rapidamente o produto vetorial e diminuir os erros de c´ alculo. Sejam v = (3, 1, −4) e w = (0, 2, 1) 2 dois vetores do R . Para avaliarmos v ×w, calculamos, formalmente, o determinante de uma matriz do tipo [e, v, w], onde esse s´ımbolo significa   e1 3 0 1 2 . [e, v, w] =  e2 e3 −4 1 Portanto, ao desenvolver o determinante pela primeira coluna ´e obtido v × w = det[e, v, w] = 9e1 − 3e2 + 6e3 = (9, −3, 6). Verifica-se facilmente que v, v × v = 0 e que w, v × w = 0. Examinemos o u ´ltimo item da proposi¸c˜ao, v × 2 w = det[v, w, v × w] = 126. Como comentado anteriormente, det[v, w, v × w] ´e o volume do paralelep´ıpedo no espa¸co Cartesiano constru´ıdo de tal forma que as arestas s˜ao segmentos orientados representando os vetores v, w e v × w. Observe que o segmento orientado representando o vetor v × w ´e perpendicular a` base e esta ´e o paralelogramo cujos lados s˜ao segmentos orientados representando os vetores v e w. Sendo assim, como o volume ´e a ´area da base multiplicado pela altura h = ||v × w|| e o volume ´e v × w2 , segue que, geometricamente, a norma ao segmentos do vetor v × w ´e a ´ area de um paralelogramo em R3 cujos lados s˜ orientados representando v e w. 2 Proposi¸ c˜ ao 3.5.2 (F´ ormula de Lagrange) Para quaisquer dois vetores v e w 3 do R vale a identidade v × w2 = v2 w2 − v, w2 . Em particular, se θ(v, w) ´e a medida do ˆ angulo entre os vetores v e w, ent˜ ao v × w = v wsen θ(v, w). Prova Sejam v = (a, b, c) e w = (d, e, f ). A demonstra¸c˜ao ´e de fato uma verifica¸c˜ao. Calculando    v2 w2 − v, w2 = a2 + b2 + c2 d2 + e2 + f 2 − (ad + be + cf )2 41 CAP´ITULO 3. PRODUTO INTERNO = (ae)2 + (af )2 + (bd)2 + (bf )2 + (cd)2 + (ce)2 −2 (abde + acdf + bcef ) = (ae − bd)2 + (af − cd)2 + (bf − ce)2 . Mas esse u ´ltimo membro das igualdades ´e precisamente v × w2 . Portanto, v × w2 = v2 w2 − v, w2 , provando a F´ ormula de Lagrange. A segunda parte da proposi¸c˜ao fica como exerc´ıcio. 2 O resultado acima e a desigualdade de Cauchy-Schwarz implicam que ao v × w = 0 se, e somente Corol´ ario 3.5.1 Dados os vetores v e w em R3 , ent˜ se, v e w s˜ ao colineares. Prova A desigualdade de Cauchy-Schwarz nos garante que v2 w2 − v, w2 ≥ 0 e ocorre igualdade se, e somente se, v e w s˜ao colineares. Logo, pela F´ ormula de 2 2 2 2 Lagrange podemos afirmar que v × w = v w − v, w = 0 se, e somente se, v e w s˜ao colineares. 2 Exerc´ıcios propostos 3.5.1 1. Seja C = {e1 , e2 , e3 } a base canˆ onica do R3 . Verifique as identidades e observe a ciclicidade na primeira linha. a) e1 × e2 = e3 . b) e2 × e3 = e1 . c) e3 × e1 = e2 . d) e2 × e1 = −e3 . e) e3 × e2 = −e1 . f) e1 × e3 = −e2 . 2. Calcule o produto vetorial v × w e w × v dos vetores de R3 . Calcule v, v × w e w × v × w a) v = (1, −1, 1) e w = (2, 0, −1). b) v = (−2, 1, 3) e w = (0, 0, 1). c) v = (−1, 1, 0) e w = (−2, 2, 0). d) v = (3, 1, 1) e w = (1, 0, 0). 3. Determine o vetor normal do plano detefinido pelos pontos P , Q e R em E3 . a) P (1, 0, 1), Q(0, 3, 2), R(1, 1, 1). b) P (0, −1, 2), Q(1, 2, −1), R(0, 0, 0). c) P (1, −2, 1), Q(0, 1, 5), R(1, 0, 0). d) P (0, 0, 0), Q(1, 1, 1), R(1, 1, 0). 4. Mostre as identidades envolvendo produto vetorial. a) u × (v + w) = u × v + u × w. b) u × v = −v × u. c) v × w = v wsenθ. d) v × w, u = v, w × u. 5. Dado o vetor u ∈ R3 , determine dois vetores, digamos v e w, tal que o conjunto β = {u, v, w} ´e uma base ortonormal do R3 , isto ´e, seus elementos s˜ao dois a dois ortogonais e unit´ arios. a) u = (1, 1, 1). b) u = (−2, 0, 1). c) u = (0, −5, 0). 42 3.6. LEITURA COMPLEMENTAR 6. Calcule a a´rea do paralelogramo em R3 cujos lados s˜ao segmentos orientados que representam os vetores v e w, onde a) v = (1, −1, 1) e w = (2, 0, −1). b) v = (−2, 1, 3) e w = (0, 0, 1). c) v = (−1, 1, 0) e w = (−2, 2, 0). d) v = (3, 1, 1) e w = (1, 0, 0). 7. Sejam u e v vetores do R3 , unit´ arios e perpendiculares. Mostre que β = {u, v, u × v} ´e uma base ortonormal. 8. Dados quatro vetores t, u, v, w ∈ R3 , ´e verdade que (t×u)×(v ×w) = (t×v)×(u×w)? 9. Demonstre as rela¸c˜oes entre os produtos vetorial e interno. a) (u × v) × w = u, wv − v, wu. b) u, v × w = w, u × v = v, w × u. (Produto vetorial duplo) (Identidade c´ıclica) 10. Sejam u, v, w ∈ R3 vetores n˜ao nulos e tais que u = 1, u ⊥ v e u ⊥ w. Mostre que oˆ angulo entre os vetores v e w ´e igual ao aˆngulo entre os vetores u × v e u × w, em outras palavras, θ(v, w) = θ(u × v, u × w). Interprete geometricamente fazendo uma ´ necess´ario que u seja unit´ario? E ´ necess´ario que u figura. Generalize o resultado. E seja perpendicular aos outros dois vetores? 3.6 Leitura complementar 1. Norma associada ao produto interno Proposi¸ c˜ ao 3.6.1 (Norma associada) Seja  ,  : Rn × Rn → R o produto interno. A aplica¸c˜ ao a seguir ´e uma norma, √   : Rn → R, v = < v, v >. Prova As duas primeiras propriedades, N1 e N2 , s˜ao imediatas e suas demonstra¸c˜oes ser˜ao deixadas aos cuidados do leitor. Mostremos a desigualdade triangular, N3 . Observemos inicialmente as igualdades, v + w2 = v + w, v + w = v2 + w2 + 2v, w. Por outro lado, por Cauchy-Schwarz podemos escrever v, w ≤ |v, w| ≤ vw. Sendo assim, v + w2 = v2 + w2 + 2v, w ≤ v2 + w2 + 2vw = (v + w)2 . 43 CAP´ITULO 3. PRODUTO INTERNO Como ambos membros da desigualdade s˜ao quadrados de n´ umeros positivos, ao extra´ırmos a raiz quadrada conclu´ımos a demonstra¸c˜ao. 2 Exerc´ıcio 3.6.1 Mostre que para quaisquer v, w ∈ Rn vale a segunda desigualdade triangular, |v − w| ≤ v − w. 2 Respostas e sugest˜ oes Se¸ c˜ ao 3.1 1) Aplicando a defini¸c˜ao de produto interno obtemos os valores, a) v1 , v1  = 8, b) v1 , v1  = 6, c) v1 , v2  = 7. v1 , v2  = v2 , v1  = −4, v1 , v2  = v2 , v1  = 0, v2 , v1  = 7 v1 , v3  = v3 , v1  = 8. vi , v3  = v3 , vi  = 0. 2) Γ = {(x, y) ∈ R2 ; 3x + 2y = 0} corresponde a uma reta que cont´em a origem de E 2 e o ponto P (−2, 3). 3) Γ = {(x, y, z) ∈ R3 ; x − 2y + z = 0} corresponde a um plano que cont´em a origem de E 3 e os pontos P (2, 1, 0) e Q(1, 0, −1). Se¸ c˜ ao 3.2 √ √ √ √ w = 13, u = 1. 2) a) 5.√ b) 2. c) 2√ 2. 1) a) v = √5, b) v = √ 5, w = 1, u = 1. d) 2 6. e) 1. f) 3. √ 21 c) v = 2 , w = 13, u = 1. 3) O vetor ´e unit´ario. O segmento orientado que representa u com ponto inicial a origem faz um aˆngulo θ com o eixo ox, medido no sentido anti-hor´ ario. O esbo¸co de todos os pontos ´e um c´ırculo de raio r = 1 centrado na origem. Se¸ c˜ ao 3.3 1) Nenhum vetor ´e o vetor nulo. N˜ ao existe obstru¸c˜ao para calcular o aˆngulo entre os vetores dados. Veja a f´ ormula que relaciona produto interno, norma e cosseno do angulo entre vetores n˜ao nulos. ˆ a) θ= 3π 4 b) θ= π 2 c) π 2 θ= d) θ= π 4. 2) Veja a f´ ormula que relaciona produto interno, norma e cosseno do ˆangulo entre vetores n˜ ao nulos. a) x = 1 ou x = −17. b) y = 0 ou y = 2. 3) Dado η = (a, b), um vetor perpendicular ao vetor η ´e v = (−b, a). Qualquer vetor perpendicular ao vetor η, v = (x, y), deve ter coordenadas que satisfazem a equa¸c˜ao (a, b), (x, y) = 0 = ax + by. Logo temos as respostas, a) b) c) v = (3, 2), v = (−3, 3), v = (1, 1), Γ = {(x, y) ∈ R2 ; −2x + 3y = 0}. Γ = {(x, y) ∈ R2 ; 3x + 3y = 0}. Γ = {(x, y) ∈ R2 ; x − y = 0}. 44 3.6. LEITURA COMPLEMENTAR 4) Um vetor u = (x, y, z), simultaneamente ortogonal aos vetores dados, deve satisfazer as equa¸c˜oes u, v = 0 = 2x + y e u, w = 0 = x − y + 2x. Logo, os u ´ nicos vetores unit´arios que satisfazem a essas equa¸c˜ao s˜ao u = ( √229 , − √429 , − √329 ) ou −u. . 5) θ(e1 , v) = arccos √−3 23 Section 3.4) 1) a) Γ = {(x, y, z) ∈ R3 ; −2x + 3y = 0}. c) Γ = {(x, y, z) ∈ R3 ; y = 0}. 2) Examine o aˆngulo entre os vetores normais. a) θ1 = θ2 = π2 . b) θ1 = π4 e θ2 = 3π 4 . Section 3.5 2) Para todos os pares de vetores vale a igualdade v × w = −w × v e a) v × w = (1, 3, 2). b) v × w = (−2, 11, −5). c) v × w = (0, 0, 0). d) v × w = (1, −1, 0). −−→ −→ 3) Sejam v e w vetores cujos representantes s˜ao, respectivamente, P Q e P R. Um vetor normal ao plano definido pelos pontos P , Q e R ´e η = v × w. a) η = (1, 0, −1). b) η = (−3, 2, 1). c) η = (−11, −1, −2). d) η = (−1, 1, 0). 5) Escolhemos qualquer vetor v n˜ ao nulo e pependicular ao vetor u, consideramos w = u × v e normalizamos cada vetor, u, v e w. a) √13 (1, 1, 1); v = 12 (1, −1, 0), w = √16 (1, 1, −2). 6) A ´ area de um paralelogramo cujos lados s˜ ao segmentos orientados representanto v e w ´e igual ao valor v × w. √ √ √ a) v × w = 14. b) v × w = 140. c) v × w = 0. d) v × w = 2. 8) N˜ ao ´e verdadeira. Verifique para t = e1 , u = e1 , v = e2 e w = e3 . 45 Cap´ıtulo 4 Subespa¸co vetorial Dentre todos os subconjuntos de Rn alguns s˜ ao especiais, n˜ao apenas para a com´ preens˜ao do texto, mas para a Algebra Linear como um todo. S˜ ao os chamados subespa¸cos vetoriais, subconjunto que s˜ ao eles mesmo espa¸co vetorias. Para melhor entendimento do espa¸co Rn ´e conveniente estud´a-los. 4.1 Subespa¸ co e equa¸ c˜ ao linear homogˆ enea Defini¸ c˜ ao 4.1.1 Diz-se que um subconjunto Γ ⊂ Rn ´e um subespa¸co vetorial quando 1. Γ ´e um conjunto n˜ ao vazio; 2. se v, w ∈ Γ ent˜ ao v + w ∈ Γ; (fechado em rela¸c˜ ao ` a soma de vetores) 3. se v ∈ Γ e λ ∈ R ent˜ ao λv ∈ Γ. (fechado em rela¸c˜ ao ao produto por escalar) O termo subespa¸co vetorial est´a bem empregado. O leitor pode verificar que Γ satisfaz todas as condi¸c˜oes listadas na defini¸c˜ao de espa¸co vetorial, ficando o termo subespa¸co por conta de Γ ser um subconjunto de Rn . Naquela defini¸c˜ao ´e exigido que o conjunto tenha um elemento neutro em rela¸c˜ao a` soma de vetores. De fato, um subespa¸co Γ cont´em o vetor nulo. Se n˜ ao, vejamos. Como Γ ´e n˜ ao vazio, escolhemos um vetor qualquer v ∈ Γ e o escalar λ = 0. Pelo item 3, podemos garantir que o produto λv = o ∈ Γ. Por simplicidade, muitas vezes diremos que Γ ´e um subespa¸co em lugar de subespa¸co vetorial. Destacamos dois exemplos de subespa¸cos de Rn , a saber, o subespa¸co trivial constitu´ıdo apenas pelo vetor nulo, Γ = {o}, e aquele formado por todos os vetores, ´ claro, que estaremos tamb´em interessados em estudar os subespa¸cos Γ = Rn . E pr´ oprios, aqueles que satisfazem a condi¸c˜ao {o}
Γ
Rn . 46 ˜ LINEAR HOMOGENEA ˆ 4.1. SUBESPAC ¸ O E EQUAC ¸ AO O s´ımbolo
significa que o subconjunto est´ a contido mas n˜ ao ´e igual ao conjunto. Empregaremos duas t´ecnicas para descrevˆe-los,   equa¸c˜oes lineares homogˆeneas subespa¸cos definidos por  combina¸c˜oes lineares Exemplo 4.1.1 Ilustremos com um exemplo qual ´e o significado de um subespa¸co ser definido por uma equa¸c˜ao linear homogˆenea. Dado o subconjunto Γ = {(x, y, z) ∈ R3 ; x − 2y + 3z = 0} ⊂ R3 . A senten¸ca que define o conjunto, x − 2y + 3z = 0, ´e uma equa¸c˜ao linear homogˆenea e o conjunto Γ correspondente a um plano em E2 que cont´em a origem. Verifiquemos que ele ´e um subespa¸co do R3 mostrando que ele satisfaz as trˆes condi¸c˜oes enumeradas na defini¸c˜ao de subespa¸co. 1. Γ ´e n˜ ao vazio pois (4, 2, 0) ∈ Γ. 2. Sejam v = (x1 , y1 , z1 ) e w = (x2 , y2 , z2 ) vetores em Γ. Sendo assim, x1 − 2y1 + 3z1 = 0 e x2 − 2y2 + 3z2 = 0. Desejamos mostrar que a soma v + w = (x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2 ) pertence ao conjunto Γ. Fazendo a substitui¸c˜ao na equa¸c˜ao linear homogˆenea obtemos x1 + x2 − 2(y1 + y2 ) + 3(z1 + z2 ) = (x1 − 2y1 + 3z1 ) + (x2 − 2y2 + 3z2 ) = 0+0 = 0. Portanto, v + w ∈ Γ. 3. Sejam v = (x1 , y1 , z1 ) ∈ Γ e λ ∈ R. Por defini¸c˜ao de Γ sabemos que x1 − 2y1 + 3z1 = 0. Desejamos verificar que λv = (λx1 , λy1 , λz1 ) tamb´em pertence a Γ. Substituindo na equa¸c˜ao linear homogˆenea temos λx1 − 2λy1 + 3λz1 = λ(x1 − 2y1 + 3z1 ) = λ0 = 0. Isso mostra que λv ∈ Γ. Podemos afirmar algo mais. O subespa¸co Γ ´e pr´ oprio pois {o}
Γ, desde que 3 / Γ. 2 (4, 2, 0) ∈ Γ, bem como, Γ
R pois o vetor v = (1, 1, 1) ∈ Exerc´ıcio 4.1.1 Siga o mesmo roteiro do exemplo acima para mostrar que os conjuntos s˜ao subespa¸cos. 1. Γ = {(x, y) ∈ R2 , 2x − 3y = 0}. O conjunto correspondente no plano Cartesiano ´e uma reta que cont´em a origem. 47 CAP´ITULO 4. SUBESPAC ¸ O VETORIAL 2. Γ = {(x, y, z) ∈ R3 ; x − z = 0 e 2x − y + z = 0}. O conjunto correspondente no espa¸co Cartesiano ´e uma reta que cont´em a origem. ao a interse¸c˜ao 3. Mostre que se Γ1 e Γ2 s˜ao dois subespa¸cos vetoriais de Rn , ent˜ Γ1 ∩ Γ2 tamb´em o ´e. 2 Exerc´ıcios propostos 4.1.1 1. Verifique quais dos vetores, u = (2, 0, 2), v = (8, −2, 4) e w = (1, 1, 6), pertencem ao subespa¸co Γ = {(x, y, z) ∈ R3 ; x + 2y − z = 0}. 2. Considere o subespa¸co Γ = {(x, y, z) ∈ R3 ; −x + 4y + z = 0}. Escolhidos trˆes vetores distintos, u, v e w, nesse subespa¸co, como vocˆe justifica, geometricamente que det[u, v, w] = 0? 3. Quais dos subconjunto ´e um subespa¸co pr´oprio? Esboce-os. a) Γ = {(x, y) ∈ R2 ; x = 0}. c) Γ = {(x, y) ∈ R2 ; 0x + 0y = 0}. b) Γ = {(x, y, z) ∈ R3 ; y = 0}. d) Γ = {(x, y, z) ∈ R3 ; y = 0 e z = 0}. 4. Mostre que o conjunto Υ = {t(1, 2, 1), t ∈ R} (os m´ ultiplos de v = (1, 2, 1)) ´e um subespa¸co. 5. Mostre que os subespa¸cos Γ = {(x, y, z) ∈ R3 ; x − 2y + 3z = 0 e x − y + z = 0} e Υ = {t(1, 2, 1), t ∈ R} s˜ao iguais. 6. Esboce o conjunto no plano Cartesiano correspondente ao subespa¸co Γ = {(x, y) ∈ R2 ; x − 2y = 0 e 2x − 3y = 0}. 7. Um subespa¸co pode ser definido por v´ arias equa¸c˜oes lineares homogˆeneas. Mostre que o subconjunto Γ ⊂ R3 ´e um subespa¸co, onde Γ = {(x, y, z) ∈ R3 ; x − 2y + 3z = 0 e x − y + z = 0}. Verifique que esse subespa¸co ´e representado no espa¸co Cartesiano por uma reta que cont´em a origem. Quais dos vetores, v = (1, 2, 1) e w = (0, 2, 2) pertencem a Γ? Expresse o subespa¸co como uma interse¸c˜ao de subespa¸cos, Γ = Γ1 ∩ Γ2 . 8. Mostre que o subconjunto Π = {(x, y) ∈ R2 ; x2 −y = 0} n˜ ao ´e um subespa¸co (encontre um item da defini¸c˜ao de subespa¸co que n˜ ao seja v´ alido para o conjunto). 9. O fato da equa¸c˜ao linear ser homogˆenea ´e crucial. (a) Verifique que Π = {(x, y) ∈ R2 ; 2x − y = 4} n˜ ao ´e um subespa¸co. (b) Esboce no plano Cartesiano os conjuntos Γ = {P (x, y) ∈ E2 ; 2x − y = 0} e Π = {P (x, y) ∈ E2 ; 2x − y = 4}. 48 ˜ LINEAR 4.2. SUBESPAC ¸ O E COMBINAC ¸ AO 4.2 Subespa¸ co e combina¸ c˜ ao linear Para apresentar uma segunda maneira de descrever um subespa¸co recorremos ao conceito de combina¸c˜ao linear. Antes fixemos uma nota¸c˜ao. O conjunto formado por todos os vetores que s˜ao combina¸c˜oes lineares dos vetores v1 , v2 , ..., vk ∈ Rn ser´a indicado por [[v1 , v2 , ..., vk ]] ⊂ Rn , formalmente, [[v1 , v2 , ..., vk ]] = {w ∈ Rn ; w = a1 v1 + a2 v2 + · · · + ak vk , ai ∈ R}. Observe que [[v1 ]] ´e o conjunto de todos os m´ ultiplos de v1 . Exemplo 4.2.1 Sejam v1 = (1, −2, 1) e v2 = (1, 0, 1) vetores em R3 . Veja as afirma¸c˜oes, ◦ ◦ ◦ u = (−1, −2, −1) ∈ [[v1 , v1 ]] v = (4, −6, 4) ∈ [[v1 , v1 ]] w = (a1 + a2 , −a2 , a1 + a2 ) ∈ [[v1 , v1 ]] pois pois pois u = v1 − 2v2 ; v = 3v1 + v2 ; w = a1 v1 + a2 v2 ; A quest˜ao ´e saber responder se um dado vetor, por exemplo, w = (0, −1, 2) ∈ R3 , ao. Para isso, necessitaremos de um pouco mais pertence ao conjunto [[v1 , v2 ]], ou n˜ de teoria que ser´a desenvolvida a seguir. 2 Antes de demonstrarmos que os conjuntos formado pelas combina¸c˜oes lineares de vetores s˜ao subespa¸cos, relacionemos os dois tipos de defini¸c˜oes. Exemplo 4.2.2 Consideremos um subespa¸co definido por uma equa¸c˜ao linear homogˆenea, digamos que seja Γ = {(x, y, z) ∈ R3 ; x − y + 3z = 0}. Um vetor w = (a1 , a2 , a3 ) pertence a Γ se, e somente se, {a1 − a2 + 3a3 = 0 . Resolvendo esse sistema, a1 = a2 − 2a3 , podemos afirmar que v ∈ Γ, se, e somente se, w = (a2 − 3a3 , a2 , a3 ) = (a2 , a2 , 0) + (−3a3 , 0, a3 ) = a2 (1, 1, 0) + a3 (−3, 0, 1). Portanto, w ∈ Γ se, e somente se, w ´e uma combina¸c˜ao linear dos vetores v1 = (1, 1, 0) e v2 = (−3, 0, 1). Logo, Γ = [[v1 , v2 ]]. Observe que os dois vetores encontrados pertencem ao subespa¸co Γ. Se apelarmos para a nossa intui¸c˜ao f´ısica, de fato, dever´ıamos ter encontrar pelo menos dois vetores para indicar as duas dire¸c˜oes no plano Γ que permitem fazer todas trajet´ orias poss´ıveis da origem a um outro ponto sobre ele. 49 CAP´ITULO 4. SUBESPAC ¸ O VETORIAL Mas na resolu¸c˜ao do sistem {a1 − a2 + 3a3 = 0 poder´ıamos ter escolhido a2 = a1 + 3a3 . Sendo assim, seguindo o mesmo roteiro ter´ıamos, v ∈ Γ, se, e somente se, v = a1 (1, 1, 0) + a3 (0, 3, 1). Isto ´e, Γ = [[w1 , w2 ]], onde w1 = (1, 1, 0) e w2 = (0, 3, 1). Observe que a dupla de vetores n˜ ao ´e igual a` dupla anterior. Um mesmo subespa¸co pode ser descrito como o subespa¸co de combina¸c˜ oes lineares utilizando v´ arias cole¸c˜ oes de vetores, n˜ ao existe apenas uma cole¸c˜ao. 2 Exemplo 4.2.3 Seja Γ = {(x, y, z) ∈ R2 , x−y+2z = 0 e x+y+z = 0}. Mostremos que Γ = [[v1 ]], onde v1 = (−3, 1, 2). Solu¸ c˜ ao Observe que w = (a1 , a2 , a3 ) ∈ Γ se, e somente se,     a1    1 −1 2  0 a1 − a2 + 2a3 = 0  ou a2 = . 1 1 1 a1 + a2 + a3 = 0 0 a3 N˜ao podemos utilizar regra de Cramer para resolver o sistema pois matriz principal n˜ ao ´e quadrada. Devemos escolher uma maior submatriz quadrada com determinante n˜ ao igual a zero, e resolver o sistema cuja matriz principal ´e essa submatriz. As submatrizes 2 × 2 do sistema s˜ao       1 −1 1 2 −1 2 , , . 1 1 1 1 1 1 Como qualquer uma delas tem determinante diferente de zero, escolhamos uma, por exemplo, a segunda. Logo o sistema que devemos resolver fica sendo       a2 1 2 a1 −a2 a1 + 2a3 = ou = , a1 + a3 = −a2 a3 a2 1 1 de onde obtemos a1 = 3a2 e a3 = 2a2 . Portanto w ∈ Γ se, e somente se, w = (3a2 , a2 , 2a2 ) = a2 (3, 1, 2). Isso mostra que Γ = [[v1 ]], onde v1 = (3, 1, 2). Caso tiv´essemos escolhido a primeira submatriz ter´ıamos outro subsistema       −1 2 a2 −a1 − a2 + 2a3 = −a1 ou = , a2 + a3 = −a1 a3 −a1 1 1 cuja solu¸c˜ao seria a2 = 13 a1 a3 = 23 a1 . e Isso mostra que Γ = [[w1 ]], onde w1 = (1, 13 , 23 ). Observe que v1 = 3w1 , portanto, 50 4.3. O SUBESPAC ¸ O [[V1 , V2 , ..., VN ]] ultiplos de w1 n˜ ao faz afirmar que Γ ´e formado pelos m´ ultiplo de v1 ou pelos m´ diferen¸ca, o conjunto ´e o mesmo. 2 Exerc´ıcios propostos 4.2.1 Mostre a igualdade dos conjuntos (subespa¸cos). 1. {(x, y) ∈ R2 , 3x − y = 0} = [[v1 ]] onde v1 = (1, 3). 2. {(x, y, z) ∈ R3 ; x − 2y + z = 0} = [[v1 , v2 ]], onde v1 = (2, 1, 0) e v2 = (−1, 0, 1). 3. {(t, x, y, z) ∈ R4 ; t + 2y = 0} = [[v1 , v2 , v3 ]], onde v1 = (−2, 0, 1, 0), v2 = e2 e v3 = e4 . 4. {(x, y) ∈ R2 , 3x + 4y = 0 e x − y = 0} = {o} = [[o]] onde o = (0, 0). 5. {(x, y, z) ∈ R3 ; 2x − 2y − z = 0 e y = 0} = [[v1 ]], onde v1 = (1, 0, 2). 6. {(t, x, y, z) ∈ R4 ; t + 2y = 0 e 2x + 3y + z = 0} = [[v1 , v2 ]], onde v1 = (−2, 0, 1, 0) e v2 = (0, 1, 0, −3). 7. Considere Γ = {(x, y, z) ∈ R3 ; 2x + 2y + 2z = 0 e x + y + z = 0}. Esse subespa¸co corresponde a uma reta ou a um plano no espa¸co Cartesiano? 4.3 O subespa¸co [[v1, v2, ..., vn]] A nota¸c˜ao para o conjunto de combina¸c˜oes lineares de vetores ´e extremamente compacta, ela possui uma s´erie de informa¸ c˜oes agregadas e n˜ao explicitadas. Por √ a sabemos que ele ´e um subconjunto exemplo, escrevendo [[(1, 0), (1, 1), (− 2, 1)]] j´ 2 do R (na verdade, como veremos, ´e um subespa¸co) pois ´e formado por todos √ os vetores do tipo v = a1 v1 + a2 v2 + a3 v3 , onde v1 = (1, 0), v2 = (1, 1) e v3 = (− 2, 1) s˜ao vetores do R2 . Ao escrevermos o s´ımbolo [[(2, 12 , −5)]] estamos indicando um subconjunto do R3 formado por todos os vetores w = a1 v1 , onde v1 = (2, 12 , −5). Portanto, o conjunto ´e formado pelos m´ ultiplos do vetor v1 . Exemplo 4.3.1 Algumas vezes podemos identificar imediatamente qual o conjunto indicado. Ao escrevermos [[(1, −1), (2, 4)]], sabemos que [[(1, −1), (2, 4)]] ⊂ R2 . Observando que o determinante da matriz formada pelos vetores v1 = (1, −1) e ao ´e zero, det[v1 , v2 ] = 6, conclu´ımos que β = {v1 , v2 } ´e uma base v2 = (2, 4) n˜ 2 de R . Recordando a defini¸c˜ao de base, podemos afirmar que todo vetor w ∈ R2 escreve-se como uma combina¸c˜ao linear w = a1 v1 +a2 v2 . Logo, w ∈ [[(1, −1), (2, 4)]], significando que R2 = [[(1, −1), (2, 4)]]. Mais geralmente, dado [[v1 , v2 , ..., vn ]], com vi ∈ Rn , se det[v1 , v2 , ..., vn ] = 0, 2 conclu´ımos que Rn = [[v1 , v2 , ..., vn ]]. 51 CAP´ITULO 4. SUBESPAC ¸ O VETORIAL Da nota¸c˜ao seguem outras informa¸c˜oes. Por exemplo, v1 ∈ [[v1 , v2 , ..., vn ]] pois vale a combina¸c˜ao linear v1 = 1v1 + 0v2 + · · · + 0vn . Da mesma forma, qualquer vi pertence ao subconjunto. O vetor nulo o = (0, 0, ..., 0) tamb´em pertence pois vale a combina¸c˜ao linear o = 0v1 + 0v2 + · · · + 0vn . oes lineares Proposi¸ c˜ ao 4.3.1 Sejam v1 , v2 , ..., vk ∈ Rn . O conjunto das combina¸c˜ desses vetores, [[v1 , v2 , ..., vk ]] = {w ∈ Rn ; w = a1 v1 + a2 v2 + · · · + ak vk , ai ∈ R}, ´e um subespa¸co vetorial de Rn . Prova Devemos mostrar que o conjunto possui as trˆes propriedades exigidas na defini¸c˜ao de subespa¸co. 1. O conjunto n˜ ao ´e vazio pois vi ∈ [[v1 , v2 , ..., vk ]], 2. Sejam v, w ∈ [[v1 , v2 , ..., vk ]]. Por defini¸c˜ao de conjunto das combina¸c˜oes lineares, existem escalares a1 , a2 , ...,ak e b1 , b2 , ...,bk tais que v = a1 v1 + a2 v2 + · · · + ak vk e w = b1 v1 + b2 v2 + · · · + bk vk . Sendo assim, a soma v + w pertence ao conjunto [[v1 , v2 , ..., vk ]] pois essa soma ´e uma combina¸c˜ao linear com coeficientes ci = ai + bi , isto ´e, v + w = (a1 + b1 )v1 + (a2 + b2 )v2 + · · · + (ak + bk )vk . 3. Seja λ um escalar. Ent˜ ao λv pertence ao conjunto [[v1 , v2 , ..., vk ]] pois ele ´e uma combina¸c˜ao linear dos vi com coeficientes di = λai , explicitamente, 2 λv = λa1 v1 + λa2 v2 + · · · + λak vk . A proposi¸c˜ao ensina um pouco mais: ´e muito f´ acil construir subespa¸cos vetoriais, basta escolher uma cole¸c˜ao n˜ ao vazia de vetores, v1 , v2 , ..., vk ∈ Rn , e considerar o oximo conjunto de todas combina¸c˜oes lineares desses vetores, [[v1 , v2 , ..., vk ]]. O pr´ exemplo nos ensina como devemos redefinir um subespa¸co de combina¸c˜oes lineares utilizando equa¸c˜oes lineares homogˆeneas. Exemplo 4.3.2 Seja Γ = [[v1 , v2 ]] ⊂ R4 o subespa¸co das combina¸c˜oes lineares dos vetores v1 = (1, 2, 1, −2) e v2 = (1, 1, −1, 1). Por defini¸c˜ao, um vetor w = (t, x, y, z) ∈ Γ se, e somente se, existem escalares a1 e a2 tais que (t, x, y, z) = a1 v1 + a2 v2 . Desejamos determinar os dois escalares em fun¸c˜ao de t, x, y e z. A igualdade acima nos leva ao sistema linear 4 × 2, 52 4.4. GERADORES     a1 2a1 a1    −2a1 + + − + a2 a2 a2 a2 = t = x = y = z   1 1  t   a1  2  x 1     1 −1  a2 =  y −2 1 z  ou    .  Para resolver por regra de Cramer, podemos considerar somente as duas primeiras equa¸c˜oes, isto ´e, suprimir por um momento as duas u ´ltimas,       a1 + a2 = t 1 1 a1 t ou = . 2 1 a2 2a1 + a2 = x x Obtemos os valores a1 = −t + x e a2 = 2t − x. Mas esses valores devem satisfazer tamb´em as duas equa¸c˜oes suprimidas, logo por substitui¸c˜ao devemos ter   (−t + x) − (2t − x) = y a1 − a2 = y , . −2(−t + x) + (2t − x) = z −2a1 + a2 = z Portanto, um vetor (t, x, y, z) ∈ Γ se, e somente se, suas coordenadas satisfazem as equa¸c˜oes, −3t + 2x − y = 0 e 4t − 3x − z = 0. Logo, o subespa¸co pode ser redefinido 2 como Γ = {(t, x, y, z) ∈ R4 ; −3t + 2x − y = 0 e 4t − 3x − z = 0}. Exerc´ıcios propostos 4.3.1 1. Para cada subespa¸co, redefina-o utilizando equa¸c˜oes lineares homogˆeneas. a) [[(−2, 5)]]. b) [[(−2, 1, 0), (1, 1, 1)]]. c) [[(0, 1, −2), (1, 0, 1)]]. d) [[(−1, 2, −1)]]. e) [[(−2, 1, 0)]]. f ) [[(1, 1, 1), (2, 2, 2)]]. g) [[(0, 1, −3, 2) (1, −1, 1, 3)]] h) [[(2, 1, 1, −3)]] 2. Expresse os vetores de R2 como combina¸c˜ao linear de v1 = (1, 4) e v2 = (1, 5). a) u = (4, 1). b) v = (2, 3). c) w = (−1, 2). d) t = (1, 4). 3. Expresse os vetores do R3 como combina¸c˜ao linear de v1 = (1, 0, 2), v2 = (−2, −1, 0) e v3 = (−1, 2, 1). a) u = (−8, 4, 1). b) v = (0, 2, 3). c) w = (−1, 2, 1). 4. Quais dos vetores pertencem ao subespa¸co [[(1, −1, 1), (0, 2, 1)]]? a) u = (2, 0, 3). b) v = (3, 7, 8). c) w = (4, 1, 6). d) t = (1, 0, 0). 4.4 Geradores ´ claro que n˜ E ao existem apenas essas duas formas, com equa¸c˜oes lineares homogˆeneas ou com combina¸c˜oes lineares, para definir um subespa¸co. Existem in´ umeras outras. Um ponto importante da teoria ´e simplificar o estudo mostrando que seja qual for o subespa¸co Γ ⊂ Rn ele sempre pode ser descrito como o espa¸co de combina¸c˜ oes lineares de vetores, isto ´e, Γ = [[v1 , v2 , ..., vk ]]. Esse ´e o nosso objetivo. O conjunto de tais vetores recebem um nome especial. 53 CAP´ITULO 4. SUBESPAC ¸ O VETORIAL Um subconjuto β = {v1 , v2 , ..., vk } ⊂ Rn ´e um conjunto ordenado de geradores do subespa¸co Γ ⊂ Rn se Γ = [[v1 , v2 , ..., vk ]]. Nesse caso diz-se que β gera Γ. Exemplo 4.4.1 O conceito de geradores n˜ao ´e novo. J´ a vimos anteriormente que qualquer base ordenada β = {v1 , v2 , ..., vn } de Rn ´e um conjunto de geradores para Rn . Vimos e revimos que Rn = [[v1 , v2 , ..., vn ]], at´e foi exibido um conjunto especial de geradores, a base canˆonica C = {e1 , e2 , ..., en }. Base ´e um caso especial de geradores, da mesma forma que elefantes africanos s˜ao um tipo especial de elefante, pois existem outros tipos, como elefantes indianos. 2 Ao descrevermos o subespa¸co na forma Γ = [[v1 , v2 , ..., vk ]], ´e sup´erfluo perguntar por geradores, ele j´ a est´a definido por geradores. Com outro tipo de defini¸c˜ao, por exemplo, por equa¸c˜oes lineares homogˆeneas, faz sentido perguntar por geradores do subespa¸co. Um subespa¸co pode ter duas cole¸c˜ oes distintas de geradores! Isto ´e, ocorrer que ao Γ = [[v1 , v2 , ..., vk ]] = [[w1 , w2 , ..., wl ]], onde os vetores e a quantidade deles n˜ s˜ao iguais. Tais fenˆomenos j´a foram comentados em exemplos de se¸c˜oes anteriores. Como veremos, aumentar o n´ umero de vetores na cole¸c˜ao β ou diminu´ı-los sem modificar o subespa¸co diz respeito apenas ao conceito de combina¸c˜ao linear. Se eliminarmos um vetor da lista, digamos que seja o u ´ltimo vetor, vn , fica valendo a inclus˜ ao, [[v1 , v2 , ..., vn−1 ]] ⊂ [[v1 , v2 , ..., vn−1 , vn ]]. De fato, cada vetor pertencente ao primeiro subespa¸co ´e um vetor pertencente ao segundo subespa¸co. Se n˜ ao, vejamos. Afirmar que w ∈ [[v1 , v2 , ..., vn−1 ]] significa que w = a1 v1 + a2 v2 + · · · + an−1 vn−1 . Mas ao somarmos o vetor nulo o = 0vn ao vetor w obtemos ainda o vetor w. Logo, w = a1 v1 +a2 v2 +· · ·+an−1 vn−1 +0vn . Mas a express˜ao est´a indicando que w ´e uma combina¸c˜ao linear dos n vetores, logo, w ∈ [[v1 , v2 , ...vn−1 , vn ]]. Portanto, ao eliminarmos o elemento vi da lista, fato que indicaremos simboliao de subespa¸cos camente como [[v1 , v2 , ..., vi , ..., vn ]], vale a inclus˜ [[v1 , v2 , ..., vi , ..., vn ]] ⊂ [[v1 , v2 , ..., vi , ..., vn ]]. Mas n˜ ao podemos concluir que vale a inclus˜ ao pr´ opria, [[v1 , v2 , ..., vi , ..., vn ]]
[[v1 , v2 , ..., vi , ..., vn ]]. Algumas vezes, ao eliminarmos um vetor da lista, continuamos com o mesmo conjunto! Outras vezes, obtemos um subconjunto pr´ oprio. Tal comportamento est´ a relacionado com o conceito de combina¸c˜ao linear e ser´a discutido na pr´ oxima proposi¸c˜ao. Exemplo 4.4.2 Seja Γ = [[v1 , v2 , v3 ]] ⊂ R3 , onde v1 = (5, −1, 0), v2 = (2, 2, −2) e v3 = (−1, −7, 6). Consideremos o vetor w ∈ Γ, w = 2v1 − v2 − v3 = (9, 3, −4). O 54 4.4. GERADORES fato do terceiro vetor do conjunto de geradores ser uma combina¸c˜ao linear dos dois primeiros vetores, v3 = v1 − 3v2 , nos permite escrever que w = 2v1 − v2 − v1 + 3v2 = v1 + 2v2 . Logo, w ∈ [[v1 , v2 ]]. Essas contas num´ericas indicam que ao suprimirmos um vetor do conjunto de geradores que seja combina¸c˜ao linear dos outros vetores do conjunto de geradores o subespa¸co gerado ´e o mesmo. Deixemos registrado esse fato no principal teorema do cap´ıtulo. 2 Deste ponto em diante, a menos que seja dito explicitamente o contr´ario, passamos ao s˜ao o subespa¸co trivial e os a supor que os subespa¸cos considerados Γ ⊂ Rn n˜ ao nulos. conjuntos ordenados β = {v1 , v2 , ..., vk } s˜ao formados por vetores n˜ A seguir, apresentaremos trˆes afirma¸c˜oes eq¨ uivalentes. Isso significa que quando ocorre uma delas as outras duas tamb´em ocorrem. Tal como raio, relˆampago e trov˜ ao, que s˜ ao fenˆ omenos sincrˆonicos. oes s˜ ao eq¨ uivaTeorema 4.4.1 Dado o subespa¸co [[v1 , v2 , ..., vk ]] ⊂ Rn . As afirma¸c˜ lentes. ao linear dos outros vetores da lista; 1. Algum vetor vi ´e uma combina¸c˜ 2. [[v1 , ..., vi , ...vk ]] = [[v1 , ..., vi , ...vk ]]. ( vi indica que o vetor foi suprimido) 3. O conjunto ´e linearmente dependente (l.d.), isto ´e, o vetor nulo expressa-se por uma combina¸c˜ ao linear o = a1 v1 + a2 v2 + · · · + ak vk , onde os coeficientes ao s˜ ao todos iguais a zero. ai ’s n˜ Prova 1. ⇒ 2.) Sem perder a generalidade, podemos supor que seja vk o vetor que ´e uma combina¸c˜ao linear dos outros vetores da lista, vk = c1 v1 + c2 v2 + · · · + ck−1 vk−1 . J´ a sabemos que [[v1 , ..., vk−1 , vk ]] ⊂ [[v1 , ..., vk−1 , vk ]]. Para mostrar a igualdade devemos mostrar a inclus˜ao oposta. Considere um vetor w = a1 v1 +a2 v2 +· · ·+ak vk em [[v1 , v2 , ..., vk ]]. Substituindo vk por sua combina¸c˜ao linear e reagrupando as parcelas obtemos w = (ak c1 + a1 )v1 + (ak c2 + a2 )v2 + · · · + (ak ck−1 + ak−1 )vk−1 . Claramente, w ∈ [[v1 , v2 , ..., vk ]] pois ´e uma combina¸c˜ao linear dos k − 1 primeiros vetores. 2. ⇒ 3.) A hip´ otese [[v1 , ...vk−1 , vk ]] = [[v1 , ..., vi , ...vk ]] implica que o vetor ao todos iguais a zero (pois vk ∈ [[v1 , v2 , ..., vk−1 ]]. Logo, existem coeficientes ai ’s n˜ ao ´e o vetor nulo) tais que vk = a1 v1 + a2 v2 + · · · + ak−1 vk−1 . Portanto o vetor vk n˜ nulo expressa-se como o = a1 v1 + · · · + ak−1 vk−1 − vk , onde os coeficientes n˜ao s˜ao todos iguais a zero. 55 CAP´ITULO 4. SUBESPAC ¸ O VETORIAL 3. ⇒ 1.) Deixaremos como exerc´ıcio. 2 A proposi¸c˜ao estabelece um crit´erio simples para detetar quando o subespa¸co Γ = [[v1 , v2 , ..., vk ]] est´a sendo descrito com excesso de geradores. Basta examinar se o vetor nulo tamb´em tem excesso de combina¸c˜oes lineares para descrevˆe-lo. Ou falando tecnicamente, examinar se o conjunto β = {v1 , v2 , ..., vk } ´e lineamente dependente. A proposi¸c˜ao demonstrada tem uma vers˜ao na forma contrapositiva (negando todas as afirma¸c˜oes). oes s˜ ao equivaTeorema 4.4.2 Dado o subespa¸co [[v1 , v2 , ..., vk ]] ⊂ Rn . As afirma¸c˜ lentes. 1. Nenhum vetor vi ´e uma combina¸c˜ ao linear dos outros vetores da lista; 2. [[v1 , ..., vi , ...vk ]]
[[v1 , ..., vi , ...vk ]], para qualquer vetor vi ; ´nica combina¸c˜ ao para 3. O conjunto ´e linearmente independente, (l.i) isso ´e, a u expressar o vetor nulo ´e aquela com todos os coeficientes iguais a zero, o = 0v1 + 0v2 + · · · + 0vk . Como uma primeira aplica¸c˜ao da proposi¸c˜ao, veremos que s´ o precisamos de um n´ umero de vetores no conjunto degeradores menor ou igual a n para gerar qualquer a a ferramenta utilizada para verificar essa subespa¸co Γ ⊂ Rn . O determinante ser´ propriedade. O determinante de uma matriz quadrada ´e igual a zero se, e somente se, uma coluna ´e combina¸c˜ao linear de outras colunas. Exemplo 4.4.3 Dado o subespa¸co Γ = [[v1 , v2 , v3 ]] ⊂ R2 , onde v1 = (1, 1), v2 = (1, 2) e v3 = (−1, 1). Como o determinante da matriz 2 × 2 cujas colunas s˜ ao os dois primeiros vetores n˜ ao ´e igual a zero, det[v1 , v2 ] = 1, esses dois vetores formam uma base para o R2 . Logo, o terceiro vetor v3 ´e uma combina¸c˜ao linear dos dois primeiros, calculando obtemos que w = −3v1 + 2v2 . Pela proposi¸c˜ao podemos eliminar o terceiro vetor que continuaremos com um conjunto de geradores para o subespa¸co, Γ = [[v1 , v2 ]]. Ilustremos um pouco mais a proposi¸c˜ao. Na verdade, Γ = R2 , pois qualquer vetor de R2 ´e uma combina¸c˜ao linear de v1 e v2 . Para determinar os coeficientes da combina¸c˜ao linear para expressar o terceiro vetor, devemos escrever v3 = a1 v1 + a2 v2 e resolver o sistema       1 1 a1 a2 = −1 −1 a1 + ou = . 1 1 2 a2 a1 + 2a2 = 1 56 4.4. GERADORES A regra de Cramer nos d´ a imediatamente que a1 = −3 e a2 = 2. ao ´e linearmente independente, o vetor Como o conjunto de trˆes vetores em R2 n˜ nulo o = (0, 0) n˜ ao tem unicidade de combina¸c˜ao linear, ◦ ◦ ◦ o = 0v1 + 0v2 + 0v3 , (essa combina¸c˜ao sempre existe) o = −3v1 + 2v2 − v3 , (obtida da combina¸c˜ao linear para v3 ) o = −3a3 v1 + 2a3 v2 − a3 v3 . (pois a3 o = o) Continuemos ilustrando a proposi¸c˜ao. Se o vetor nulo n˜ ao se expressa de maneira u ´nica utilizando combina¸c˜ao linear dos trˆes vetores, v1 , v2 e v3 , o mesmo ocorre com qualquer vetor. Vejamos essa afirma¸c˜ao. Um vetor w = (x, y) ∈ R2 , expressa-se como a combina¸c˜ao linear dos dois primeiros vetores como w = (2x−y)v1 +(y−x)v2 . Logo, somando o vetor nulo a ambos os membros, obtemos as igualdades w + o = 2 w = (2x − y − 3a3 )v1 + (y − x + 2a3 )v2 − a3 v3 . ´rio Novamente, fa¸camos uma analogia Comenta entre dependˆencia (ou independˆencia) linear de vetores e um conceito f´ısico. Suponha que s˜ ao dados trˆes vetores que fixam as dire¸c˜oes poss´ıveis num plano Cartesiano nas quais podemos caminhar para sair da origem O e chegar a um ponto W , como na figura. Podemos percorrer uma trajet´ oria sugerida pela combina¸c˜ao linear w = 37 v1 + 83 v2 , ou seguir uma trajet´oria do tipo w = v3 + 43 v2 − 17 v1 . Fato: n˜ ao s˜ao necess´arias trˆes dire¸c˜oes para sair da origem e chegar a qualquer ponto do plano. Bastam duas dire¸c˜oes, digamos, aquelas indicadas por v1 e v2 , a terceira dire¸c˜ao ´e desnecess´aria. Esse fenˆ omeno pode ser captado examinando apenas trajet´orias que partem da origem e chegam `a origem, por exemplo, aquela sugerida por, o = 27 v1 + 4 ao linearmente dependentes. 2 3 v2 − v3 . Nesse exemplo os vetores s˜ Exemplo 4.4.4 Considere o subespa¸co Γ = [[v1 , v2 , v3 , v4 , v5 ]] ⊂ R3 onde v1 = (1, 0, 1), v2 = (−2, −1, 0), v3 = (1, 1, −1) v4 = (4, 2, 0) e v5 = (2, 2, −2). Se, por acaso, para trˆes vetores da lista o determinante da matriz correspondente n˜ ao fosse zero, os trˆes vetores formar´ıam uma base do R3 , portanto, os outros vetores restantes ser´ıam expresso por uma combina¸c˜ao linear dos trˆes vetores encontrados e mais, Γ = R3 . Mas esse n˜ao ´e o caso. Como det[v1 , v2 , v3 ] = 0, um desses vetores ´e combina¸c˜ao linear dos outro dois vetores, portanto, o vetor nulo tem uma outra combina¸c˜ao linear para express´ a-lo al´em da combina¸c˜ao linear trivial, o = 0v1 + 0v2 + 0v3 , os trˆes s˜ao linearmente 57 CAP´ITULO 4. SUBESPAC ¸ O VETORIAL dependentes. Encontremos as outras combina¸c˜oes lineares para o pois ela nos dir´ a qual o vetor que podemos eliminar da lista. Escrevendo o = a1 v1 + a2 v2 + a3 v3 , obtemos o sistema linear       1 −2 1 a1 0  a1 − 2a2 + a3 = 0 − a2 + a3 = 0 ou  0 −1 1   a2  =  0 .  − a3 = 0 1 0 −1 a3 a1 0 N˜ ao podemos utilizar regra de Cramer pois j´a sabemos que a matriz principal (dos coeficientes) tem determinante igual a zero. Devemos suprimir uma equa¸c˜ao resolver o subsistema obtido e verificar se a solu¸c˜ao satisfaz a equa¸c˜ao suprimida. Quando suprimimos a u ´ltima equa¸c˜ao, obtemos duas equa¸c˜oes com trˆes inc´ognitas,     a1    1 −2 1  0 a1 − 2a2 + a3 = 0  ou a2 = . 0 −1 1 − a2 + a3 = 0 0 a3 Como sempre, devemos escolher uma maior submatriz quadrada com determinante diferente de zero e resolver o sistema que depender´ a de um coeficiente,       1 −2 a1 −a3 a1 − 2a2 = −a3 ou = . − a2 = −a3 a2 −a3 0 −1 ´ imediato concluir que a1 = a3 e a2 = a3 e a solu¸c˜ao satisfaz a equa¸c˜ao suprimida. E Portanto, o = a3 v1 + a3 v2 + a3 v3 , ou seja, uma combina¸c˜ao linea para cada escolha de a3 . Para a3 = 1, segue que v1 ´e a combina¸c˜ao linear dos outros vetores, v1 = −v2 − v3 . Logo, podemos eliminar v1 dos geradores do subespa¸co que ele continua sendo gerado pelos outros vetores, Γ = [[v2 , v3 , v4 , v5 ]]. Como det[[v2 , v3 , v4 ]] = 0, um dos vetores ´e combina¸c˜ao linear dos outros dois. Com os mesmos procedimentos conclu´ımos que o = 2a4 v2 + 0v3 + a4 v4 . Logo, como v4 = −2v2 + 0v3 ele pode ser eliminado obtendo Γ = [[v2 , v3 , v5 ]]. Finalmente, ´e vis´ıvel que v5 = 2v3 , ou seja, ele ´e a combina¸c˜ao linear dos outros dois vetores, v5 = 0v2 + 2v3 . Logo, Γ = [[v2 , v3 ]]. N˜ ao podemos mais reduzir o conjunto de geradores pois ele ´e linearmente independente. Para mostrar esse fato, n˜ ao existe mais o crit´erio do determinante ser ou n˜ ao igual a zero, pois n˜ ao podemos formar uma matriz quadrada 3 × 3 utilizando dois vetores do R3 . Devemos mostrar que s˜ao l.i. pela defini¸c˜ao. Escrever a combina¸c˜ao linear o = a2 v2 + a3 v3 resolver o sistema correspondente e verificar que o existe a combina¸c˜ao linear o = 0v2 + 0v3 . 2 a2 = a3 = 0. Portanto, s´ ao o Proposi¸ c˜ ao 4.4.1 Seja Γ = [[vi , v2 , ..., vk ]] ⊂ Rn um subespa¸co. Se k > n ent˜ conjunto de geradores ´e linearmente dependente. Em particular, existe um subconjunto de no m´ aximo n vetores de {v1 , v2 , ..., vk } que geram Γ. 58 4.4. GERADORES Prova Como k > n podemos formar matrizes n × n cujos vetores colunas s˜ao elementos do conjunto de geradores. Se alguma matriz formada por n vetores do conjunto de geradores tiver determinante diferente de zero, os vetores colunas formam uma base para o Rn , Γ = Rn , e os outros vetores da lista s˜ao combina¸c˜oes lineares dos vetores encontrados, logo, o conjunto com k > n vetores ´e linearmente dependente e Γ ´e gerado por essa base do Rn . Terminamos a demonstra¸c˜ao. Resta o caso de qualquer matriz formada por n vetores do conjunto de geradores ter determinante igual a zero. Consideramos o conjunto {v1 , v2 , ..., vn }, como algum vetor ´e combina¸c˜ao linear dos outos, o conjunto de geradores ´e linearmente dependente. Eliminado dessa lista um vetor que seja combina¸c˜ao linear dos outros vetores, temos agora o subespa¸co Γ gerado por k − 1 ≥ n vetores. Podemos continuar eliminando vetores do conjunto de geradores enquanto tivermos um n´ umero de vetores maior ou igual a n utilizando o crit´erio do determinante ser igual a zero. Isso termina a demonstra¸c˜ao. 2 Exerc´ıcios propostos 4.4.1 1. Expresse os vetores o = (0, 0, 0) e w = (2, 3, 1) por duas combina¸c˜oes lineares distintas dos vetores v1 = (1, 1, 1), v2 = (1, 2, 0) e v3 = (2, 3, 1). 2. Considere o subespa¸co Γ = [[v1 , v2 , v3 ]] ⊂ R2 , onde v1 = (1, 1), v2 = (3, −1) e v3 = (2, 1). Verifique quais dos vetores pertence ao subespa¸co e estude a unicidade da combina¸c˜ao linear. a) e1 = (1, 0). b) u = (−2, 1). c) w = (1, 1). 3. Considere o subespa¸co Γ = [[v1 , v2 , v3 ]] ⊂ R3 , onde v1 = (1, 0, 1), v2 = (3, 2, 3) e v3 = (0, 1, 0). Determine quais dos vetores pertencem ao subespa¸co e estude a unicidade da combina¸c˜ao linear. a) e1 = (1, 0, 0). b) u = (−3, 4, 3). c) w = (1, 1, 1). 4. Seja a) b) c) Γ = [[v1 , v2 , v3 ]]. v1 = (−2, 3), v1 = (2, 2), v1 = (−1, 4), Extraia um conjunto de geradores l.i. da lista. v2 = (−1, 1), v3 = (0, 1). v2 = (1, 1), v3 = (−2, −2). v2 = (3, 2), v3 = (1, 0). 5. Seja Γ[[v1 , v2 , v3 ]]. Extraia um conjunto de geradores l.i. para Γ e identifique quais dos subespa¸co s˜ao iguais ao espa¸co R3 . a) v1 = (1, 1, 0), v2 = (−1, 1, 1), v3 = (0, 1, 0). b) v1 = (2, 1, −1), v2 = (1, 0, 1), v3 = (3, 2, 0). c) v1 = (2, 1, −1), v2 = (−2, 1, −1), v3 = (1, −1, 4). 6. Determine um conjunto de geradores l.i. para cada subespa¸co. a) Γ = {(x, y) ∈ R2 ; 2x − 5y = 0}. b) Γ = {(x, y, z) ∈ R3 ; 2x − 5y = 0 e y = 0}. c) Γ = {(x, y, z) ∈ R3 ; y − z = 0}. d) Γ = {(x, y, z) ∈ R3 ; x + 2y − z = 0}. 59 CAP´ITULO 4. SUBESPAC ¸ O VETORIAL 4.5 Base Anteriormente, utilizamos o conceito de combina¸c˜ao linear para dar significado aos termos ”β = {v1 , v2 , ...vk } ´e um conjunto ordenado de geradores de um subespa¸co vetorial Γ”. O passo seguinte foi classificar os conjuntos ordenados de geradores em dois tipos: 1. aqueles conjuntos com os quais escrevemos cada vetor do espa¸co de maneira u ´nica, tecnicamente falando, os linearmente independentes, 2. e aqueles que n˜ ao possuem essa propriedade, os linearmente dependentes. Combinando os dois conceitos, geradores e independˆencia linear, definimos base ordenada de um subespa¸co,   Conjunto ordenado de geradores Base ordenada .  Conjunto linearmente independente Defini¸ c˜ ao 4.5.1 Um conjunto ordenado β = {v1 , v2 , ..., vk } ⊂ Rn ´e uma base para o subespa¸co Γ se 1. Γ = [[v1 , v2 , ..., vk ]]; (geradores) 2. β ´e linearmente independente. (l.i.) Quando o subespa¸co j´a est´a definido por um conjunto de geradores, desse conjunto podemos extrair uma base utilizando reiteradamente a proposi¸c˜ao da se¸c˜ao anterior. Corol´ ario 4.5.1 Dado o subespa¸co Γ = [[v1 , v2 , ..., vk ]] ⊂ Rn , podemos escolher um subconjunto α ⊂ {v1 , v2 , ..., vk } que ´e uma base ordenada do subespa¸co. Prova Se o conjunto de geradores for linearmente independente, terminamos o problema, pois ele ´e uma base. Caso contr´ario, se o conjunto for linearmente dependente, diminu´ımos o n´ umero de vetores do conjunto ordenado de geradores β = {v1 , ..., vi , ..., vk } retirando do conjunto um elemento vi que seja combina¸c˜ao linear dos outros, conclu´ımos que o subespa¸co das combina¸c˜oes lineares de βi = {v1 , ..., vi , ..., vk } ´e o mesmo, [[v1 , ..., vi , ..., vk ]] = [[v1 , ..., vi , ..., vk ]]. Ao conjunto ordenado de geradores βi , aplicamos o mesmo processo, retiramos um os um n´ umero finito de elemento vj que seja combina¸c˜ao lineares dos outros. Ap´ 60 ˜ 4.6. DIMENSAO etapas menor que k, temos constru´ıdo um conjunto ordenado de geradores, digamos α, contendo pelo menos um vetor e gerando o mesmo subespa¸co original. No conjunto α, um vetor qualquer n˜ ao ´e combina¸c˜ao linear dos outros. Logo, ´e um conjunto de geradores linearmente independente, isto ´e, uma base. 2 Chamamos a aten¸c˜ao para um caso particular. Quando o conjunto ordenado ´e constitu´ıdo de um u ´nico vetor n˜ ao nulo, β = {v1 }, ele ´e linearmente independente ao a1 = 0. Por exemplo, para β = {(1, −1, 3)} ⊂ R3 , temos que pois se o = a1 v1 ent˜ ao a1 = 0. se (0, 0, 0) = a1 (1, −1, 3) = (a1 , −a1 , 3a1 ) ent˜ Exerc´ıcios propostos 4.5.1 1. Justifique as respostas dadas. a) O conjunto de geradores de Γ = [[v1 , −3v1 ]] ⊂ Rn ´e uma base? Resp.: N˜ao. b) Um conjunto de geradores de um subespa¸co, linearmente independente, pode conter dois vetores iguais? Resp.: N˜ao. 2. Quais dos conjuntos abaixo s˜ ao linearmente independente? Extraia um conjunto linearmente independente do conjunto dado. a) β = {(4, 1, 0), (−2, 1, 2), (1, −3, 2), (2, 0, 1)} ⊂ R3 . b) β = {(1, 1, 0), (0, −3, 4), (1, −4, 4)} ⊂ R3 . 3. Para cada subespa¸co, descreva-o como o subespa¸co de combina¸c˜oes linerares de uma base. Encontrado a base de Γ estenda-a a uma base do espa¸co. a) Γ = {(x, y) ∈ R2 ; x − 2y = 0}. b) Γ = {(x, y, z) ∈ R3 ; x − 2y + z = 0}. c) Γ = {(t, x, y, z) ∈ R4 ; x − 2y = 0, 2x − 3y = 0}. d) Γ = {(s, t, x, y, z) ∈ R5 ; x = 0}. 4. Encontre uma base para cada um dos subespa¸cos e estenda-a a uma base do espa¸co. a) Γ = [[(−4, 8), (2, −4), (−1, 2)]]. b) Γ = [[(−2, 1, 0), (1, 1, 1)]]. c) Γ = [[(0, 1, −2), (−3, 2, −7), (1, 0, 1)]]. d) Γ = [[(−1, 2, −1)]]. e) Γ = [[(−2, 1, 0)]]. f ) Γ = [[(1, 1, 1), (2, 2, 2)]]. g) Γ = [[(−2, 2, 0), (1, −1, 0), (1, 1, 1)]]. 4.6 Dimens˜ ao Aprendemos que s´o ´e poss´ıvel diminuir o n´ umero de vetores de um conjunto de geradores de um subespa¸co quando ele ´e linearmente dependente. A id´eia principal dessa se¸c˜ao ´e, de certa forma, percorrer o caminho inverso. Dado um subespa¸co qualquer Γ ⊂ Rn , iremos escolher, sucessivamente, vetores v1 , v2 ,...,vk em Γ, linearmente independentes, at´e obter uma base ordenada e concluir que Γ = [[v1 , v2 , ..., vk ]]. Como isso, chegamos ao nosso objetivo, todo subespa¸co 61 CAP´ITULO 4. SUBESPAC ¸ O VETORIAL as, podemos construir muitas bases distintas n˜ ao trivial do Rn possui uma base, ali´ aplicando os procedimentos indicados no seguinte lema. Lema 4.6.1 Seja {v1 , v2 , ..., vk } uma base do subespa¸co Γk = [[v1 , v2 , ..., vk ]]. Se / Γk = [[v1 , v2 , ..., vk ]] ent˜ ao {v1 , v2 , ..., vk , vk+1 } ´e uma base do subespa¸co vk+1 ∈ Γk+1 = [[v1 , v2 , ..., vk , vk+1 ]]. ao o vetor Prova Suponha, por absurdo, que os geradores de Γk+1 sejam l.d. Ent˜ nulo tem uma express˜ ao do tipo o = a1 v1 + a2 v2 + · · · + vk vk + ak+1 vk+1 onde os ao s˜ao todos iguais a zero. Logo, ak+1 vk+1 = −a1 v1 − a2 v2 − · · · − coeficientes ai ’s n˜ vk vk . Se o coeficiente ak+1 for igual a zero, como nem todos os coeficientes s˜ao iguais a zero, o vetor nulo ´e expresso por uma combina¸c˜ao linear com coeficientes nem todo iguais a zero, o = −a1 v1 − a2 v2 − · · · − vk vk , de onde segue que os geradores de Γk n˜ ao s˜ao linearmente independente, uma contradi¸c˜ao. Portanto, ak+1 = 0. Sendo assim, a1 a2 ak v1 + v2 + · · · + vk . vk+1 = ak+1 ak+1 ak+1 ao Isso implica que vk+1 ∈ Γk = [[v1 , v2 , ..., vk ]], uma contradi¸c˜ao. Portanto, n˜ podemos supor que os k + 1 vetores s˜ao linearmente dependente, eles s˜ao l.i. 2 Exemplo 4.6.1 Ilustraremos com um exemplo como o lema indica um processo para constru¸c˜ao de uma base para um subespa¸co. Dado o subespa¸co pr´ oprio Γ = {(t, x.y.z) ∈ R4 ; 2t − x − 3y + z = 0} ⊂ R4 . Primeiro, escolhemos um vetor n˜ao nulo, digamos v1 = (1, 2, 0, 0) ∈ Γ, e consideramos o subespa¸co Γ1 = [[v1 ]] ⊂ Γ. / Γ1 = [[v1 ]], por Segundo, escolhemos outro vetor n˜ ao nulo v2 ∈ Γ mas com v2 ∈ ao ser m´ ultiplo de v1 e pertencer ao subespa¸co Γ. exemplo v2 = (0, −1, 3, 0), basta n˜ Constru´ımos o subespa¸co Γ2 = [[v1 , v2 ]] ⊂ Γ. Observe que Γ1 ⊂ Γ2 ⊂ Γ. / Γ2 = [[v1 , v2 ]], por exemplo Terceiro, escolhemos um vetor v3 ∈ Γ mas com v3 ∈ v3 = (0, 1, 0, 1) (pertence a Γ mas n˜ao pode ser combina¸c˜ao linear dos outros dois primeiros desde que sua u ´ltima coordenada n˜ ao ´e igual a zero e a u ´ltima coordenada de v1 e de v2 s˜ao iguais a zero). Consideramos Γ3 = [[v1 , v2 , v3 ]] ⊂ Γ. O processo termina aqui, isto ´e, Γ3 = Γ. Deixemos essa afirma¸c˜ao para o pr´ oximo teorema. 2 ao trivial. Ent˜ ao existe uma base Teorema 4.6.1 Seja Γ ⊂ Rn um subespa¸co n˜ ordenada α = {v1 , v2 , ..., vk } ⊂ Γ. Al´em de Γ = [[v1 , v2 , ..., vk ]] podemos afirmar: a) o n´ umero de elementos de uma base ordenada de Γ ´e menor ou igual a n; 62 ˜ 4.6. DIMENSAO b) se o n´ umero de elementos de uma base ordenada de Γ ´e igual a n ent˜ ao Γ = Rn . c) se k < n, ent˜ ao a base α = {v1 , v2 , ..., vk } pode ser estendida a uma base β = {v1 , ...vk , vk+1 , ..., vn } de Rn . Prova Iniciemos com a constru¸c˜ao de uma base ordenada para Γ. Como Γ ´e n˜ ao trivial podemos escolher um vetor n˜ao nulo v1 ∈ Γ e considerar o subespa¸co Γ1 = [[v1 ]] ⊂ Γ. Se vale a igualdade dos conjuntos terminamos, pois α1 = {v1 } ´e um conjunto ordenado linearmente independente. / [[v1 ]]. Pelo Se n˜ ao vale a igualdade, existe um outro vetor n˜ ao nulo v2 ∈ Γ e v2 ∈ ao o lema, o conjunto α2 = {v1 , v2 } ´e linearmente independente. Consideramos ent˜ subespa¸co Γ2 = [[v1 , v2 ]] ⊂ Γ. Se vale a igualdade, terminamos. Se n˜ ao, continuamos com o mesmo procedimento. O processo acaba ap´os um n´ umero de etapas menor ou igual a n, pois sendo o conjunto αk linearmente independente, ele n˜ ao pode conter mais de n vetores. Fica demonstrado o item a). A demonstra¸c˜ao do item b) repete a mesma id´eia. Seja αn = {v1 , v2 , ..., vn } ´e uma base ordenada de Γ com n elementos. Por absurdo, assuma que Γ
Rn . Escolha um / Γ. Necessariamente este vetor ´e n˜ ao nulo e αn+1 = {v1 , v2 , ..., vn , vn+1 } vetor vn+1 ∈ ´e um conjunto linearmente independente em Rn com mais de n elementos. Uma constradi¸c˜ao. Logo, Γ = [[v1 , v2 , ..., vn ]] = Rn Exerc´ıcio: demonstre o item c) acrescentando vetores fora do subespa¸co. 2 O n´ umero m´ınimo de vetores que geram um subespa¸co Γ chama-se de dimens˜ ao de Γ. Na l´ıngua portuguesa, dependendo do contexto, a palavra dimens˜ ao transmite a no¸c˜ao de comprimento, largura e altura. Fisicamente, diz-se que um segmento de reta tem comprimento; uma figura plana como um retˆ angulo tem comprimento e largura; um s´ olido como um paralelep´ıpedo tem comprimento, largura e altura. A no¸c˜ao de dimens˜ ao de um subespa¸co transfere essas sensa¸c˜oes f´ısicas para a Matem´atica, mas para transfer´ı-la precisamos de toda a teria apresentada at´e o momento. Corol´ ario 4.6.1 As bases de um subespa¸co n˜ ao trivial Γ ⊂ Rn tˆem o mesmo n´ umero de elementos. Prova Suponha que α = {v1 , v2 , ..., vk } e β = {w1 , w2 , ..., wl } sejam duas bases de ´ claro que k ≤ n e l ≤ n. Vamos supor, por absurdo, que um subespa¸co Γ ⊂ Rn . E k = l, digamos que k < l. Sabemos que Γ = [[v1 , v2 ..., vk ]] = [[w1 , w2 , ...wl ]]. Se acrescentarmos um vetor / Γ ` a lista de geradores teremos duas bases de um subespa¸co contendo Γ, vk+1 ∈ 63 CAP´ITULO 4. SUBESPAC ¸ O VETORIAL [[v1 , v2 ..., vk , vk+1 ]] = [[w1 , w2 , ...wl , vk+1 ]]. Por esse processo, escolhendo sucessivamente vetores n˜ao pertencente ao novo subespa¸co constru´ıdo, obtemos ap´ os n − k n etapas uma base para o R , Rn = [[v1 , v2 ..., vk , vk+1 , ..., vn ]] = [[w1 , w2 , ...wl , vk+1 , ..., vn ]]. Uma constradi¸c˜ao, pois o conjunto de geradores {w1 , ..., wl , vk+1 , ..., vn } tem mais de n vetores, ele n˜ao pode ser linearmente independente. Logo l = k. 2 O corol´ario acima permite a seguinte defini¸c˜ao. umero de Defini¸ c˜ ao 4.6.1 A dimens˜ ao de um subespa¸co n˜ ao trivial Γ ⊂ Rn ´e o n´ elementos de uma de suas bases. A dimens˜ ao do espa¸co trivial ´e zero, por defini¸c˜ ao. ´rio As dimens˜oes poss´ıveis para subespa¸cos n˜ao triviais do Γ ⊂ R2 , s˜ao Comenta poucas. Como todo subespa¸co possui uma base ordenada β e mais de dois vetores em R2 s˜ao linearmente dependentes, segue que o conjunto linearmente independente β tem um ou dois vetores n˜ao nulos. Quando β = {v1 } diz-se que Γ = [[v1 ]] tem dimens˜ ao um. Sua representa¸c˜ao no plano Cartesiano ´e uma reta que cont´em a origem. Caso β = {v1 , v2 } podemos afirmar que Γ = R2 . Recordamos que a base canˆ onica de R2 tem dois elementos, logo sua dimens˜ao ´e dois. As dimens˜oes poss´ıveis para os subespa¸cos n˜ao triviais Γ ⊂ R3 s˜ao 3. Se β ´e uma base ordenada de Γ, β n˜ ao pode ter mais de trˆes vetores pois ´e l.i. Quando β = {v1 }, ao um. Sua representa¸c˜ao gr´ afica no espa¸co Cartesiano ´e uma Γ = [[v1 ]] tem dimens˜ reta que cont´em a origem. Quando β = {v1 , v2 }, o subespa¸co Γ = [[v1 , v2 ]] tem dimens˜ ao dois. A representa¸c˜ao gr´ afica Γ ´e um plano que cont´em a origem. Da 2 mesma forma, se β tem trˆes elementos sabemos que Γ = R3 . Exerc´ıcio 4.6.1 Qual a dimens˜ao do subespa¸co Γk = [[e1 , e2 , ..., ek ]] ⊂ Rn ? Exemplo 4.6.2 Sejam Γ1 = {(x, y, z) ∈ R3 ; x − y + z = 0} e Γ2 = {(x, y, z) ∈ R3 ; 2x + y + z = 0} dois subespa¸cos do R3 . Como sabemos eles tˆem dimens˜ao dois (plano) e s˜ ao formado por vetores ortogonais aos vetores η1 = (1, −1, 1) e η2 = (2, 1, 1), respectivamente. A interse¸c˜ao Γ1 ∩ Γ2 tamb´em ´e um subespa¸co e tem dimens˜ao um (reta) e seus vetores s˜ao simultaneamente orotogonais aos vetores normais η2 e η2 . Logo, qualquer vetor na interse¸c˜ao ´e colinear com o produto vetorial η2 ×η2 = 2 (−2, 1, 3). Portanto, Γ1 ∩ Γ2 = [[η1 × η2 ]]. 64 2 ˜ 4.6. DIMENSAO Corol´ ario 4.6.2 Dado um conjunto ordenado de n vetores β = {v1 , v2 , ..., vn } ⊂ Rn . As seguintes afirma¸c˜ oes s˜ ao equivalentes. i) β = {v1 , v2 , ..., vn } ´e uma base ordenada de Rn ; ii) det[v1 , v2 , ..., vn ] = 0; iii) β ´e linearmente independente. A base ordenada ´e positiva ou tem orienta¸c˜ao positiva se det[v1 , v2 , ..., vn ] > 0, caso contr´ario diremos que ela tem orienta¸c˜ao negativa. Exerc´ıcios propostos 4.6.1 As afirma¸c˜oes s˜ao verdadeira. Mostre-as. a) Γ = {(t, x, y, z) ∈ R4 ; x − 2y + z = 0}. Tem dimens˜ ao 3. b) Γ = {(t, x, y, z) ∈ R4 ; x − 2y + z = 0 e t − x + z = 0}. Tem dimens˜ ao 2. 4 c) Γ = {(t, x, y, z) ∈ R ; x − 2y + z = 0, t − x + z = 0 e t − z = 0}. Tem dimens˜ ao 1. d) Γ = {(t, x, y, z) ∈ R4 ; x − 2y + z = 0, t − x + z = 0 e z = 0}. Tem dimens˜ ao 1. e) [[(1, 0, 0, 1), (1, 1, 0, 1), (2, 1, 0, 2)]]. Tem dimens˜ao 2. f) [[(1, 1, 1, 1) (2, 2, 2, 2), (3, 3, 3, 3)]]. Tem dimens˜ ao 1. Respostas e sugest˜ oes Se¸ c˜ ao 4.1 1) Substitua as coordenadas de cada vetor na equa¸c˜ao. Resposta: u e v. 2) O paralelep´ıpedo est´a contido num plano, ele n˜ ao possui volume positivo. 3) a) Subespa¸co pr´oprio, corresponde ao eixo oy. b) Subespa¸co pr´oprio corresponde ao plano determinado pelas retas (eixos) ox e oz. c) N˜ao ´e subespa¸co pr´oprio, Γ = R2 . d) Subespa¸co pr´oprio correspondente ao eixo ox. 5) Por regra de Cramer, verificamos que os vetores em Γ s˜ao os m´ ultiplos do vetor v = (1, 2, 1) 6) O ponto O(0, 0) ∈ E2 . 7) Γ1 = {(x, y, z) ∈ R3 ; x + 2y − 3z = 0} e Γ2 = {(x, y, z) ∈ R3 ; x − y + z = 0}. Como ´e a interse¸c˜ao de dois planos, Γ corresponde a uma reta que cont´em a origem O(0, 0, 0). 8) O vetor v = (1, 1) ∈ Π, mas um m´ ultiplo, por exemplo, 3v n˜ ao pertence a Π. 9) a) O ponto v = (3, 2) ∈ Π, mas seu m´ ultiplo 2v n˜ ao pertence. b) Corresponde a duas retas paralelas do plano Cartesiano, uma delas passando pela origem o(0, 0). Se¸ c˜ ao 4.2 65 CAP´ITULO 4. SUBESPAC ¸ O VETORIAL 7) Corresponde a um plano. As equa¸c˜oes definem um mesmo plano em R3 . Se¸ c˜ ao 4.3 1) Vocˆe pode ter encontrado outras equa¸c˜oes mas o n´ umero delas s˜ ao iguais. De qualquer forma, verifique se os vetores dados satisfazem as equa¸c˜oes encontradas por vocˆe. a) Γ = {(x, y) ∈ R2 ; 5x + 2y = 0}. b) Γ = {(x, y, z) ∈ R3 ; x + 2y − 3z = 0}. c) Γ = {(x, y, z) ∈ R3 ; x + 2y − z = 0}. d) Γ = {(x, y, z) ∈ R3 ; 2x + y = 0 e y + 2z = 0}. e) Γ = {(x, y, z) ∈ R3 ; x + 2y = 0 e z = 0}. f ) Γ = [[(1, 1, 1)]], Γ = {(x, y, z) ∈ R3 ; x − y = 0 e y − z = 0}. g) Γ = {(t, x, y, z) ∈ R4 ; 2t + 3x + y = 0 e − 5t − 2x + z = 0}. h) Γ = {(t, x, y, z) ∈ R4 ; t − 2x = 0, x − y = 0 e 3y + z = 0}. 2) Como det[v1 , v2 ] = 1 = 0 v1 e v2 formam uma base do R2 . Por regra de Cramer, ´ nico modo, (x, y) = (5x − y)v1 + expressamos qualquer vetor v = (x, y) ∈ R2 de um u (x − 4y)v2 . Resta particularizar para os vetores dados, u, v, w e t. 4) Solu¸c˜ao semelhante ao do item anterior. Como det[v1 , v2 , v3 ] = −11 = 0, os vetores formam uma base do R3 e cada vetor ´e expresso por (x, y, z) = −1 11 (−x + 2y − 5z)v1 + −1 −1 (2x + 3y − 2z)v + (2x + 4y − z)v . Resta particularizar para os vetores dados. 2 3 11 11 5) Somente u e v pertencem ao subespa¸co. Se¸ c˜ ao 4.4 ao l.d. Na verdade, v3 = v1 + v2 . Logo, o = 0v1 + 1) Como det[v1 , v2 , v3 ] = 0, eles s˜ 0v2 + 0v3 e o = v1 + v2 − v3 . Para o vetor w podem ser as combina¸c˜oes lineares w = v1 + v2 + 0v3 ou w = w + o = 2v1 + 2v2 − v3 . 2) Como det[v1 , v2 ] = 0, os dois vetores formam uma base para o R2 . Logo, Γ = [[v1 , v2 ]] = R2 e o terceiro vetor escreve-se como v3 = 54 v1 + 14 v2 . Dessa igualdade segue que o vetor nulo, ou qualquer outro vetor, n˜ ao tem unicidade de combina¸c˜ao ao w = w + o = linear com os trˆes vetores dados, o = 54 v1 + 14 v2 − v3 . Se w = (x, y) ent˜ 1 1 (x + 3y + 5)v + (x − 2y + 1)v − v . Todos os vetores pertencem ao subespa¸co 1 2 3 4 4 Γ = R2 . 3) Como det[v1 , v2 , v3 ] = 0 eles s˜ao l.d. Verifica-se que v2 = 3v1 + 2v3 . Logo, Γ = [[v1 , v3 ]]
R3 . Somente u e w pertencem ao subespa¸co Γ. 4) a) Como det[v2 , v3 ] = 0, β = {v2 , v3 } ´e um conjunto de geradores l.i. Observe que Γ = [[v2 , v3 ]]. b) Como det[vi , vj ] = 0, eliminamos dois vetores. Escolha β = {v1 } como o conjunto de geradores. 5) Utilize o crit´erio do determinante. a) e b) s˜ao linearmente independente e Γ = R3 . c) Γ = [[v1 , v3 ]]
R3 . 6) a) β = {(5, 2)} b) β = {(5, 2, 0)} c) β = {(1, 0, 0), (0, 1, 1)} d) β = {(1, 0, 1), (0, 1, 2)} Se¸ c˜ ao 4.5 66 ˜ 4.6. DIMENSAO 2) a) L.d. pois s˜ ao quatro vetores do R3 . Tome os trˆes primeiros vetores de β. c) S˜ ao l.d. pois o determinante da matriz formada pelos vetores ´e igual a zero. Escolha os dois primeiros vetores. 3) Para construir uma base do espa¸co Rn escolha vetores que n˜ao estejam em Γ. a) Γ = [[(2, 1)]] e R2 = [[(2, 1) (1, 0)]]. b) Γ = [[(2, 1)]] e R2 = [[(2, 1) (1, 0)]]. c) Γ = [[e2 , e3 ]] e R4 = [[e1 , e2 , e3 , e4 ]]. d) Γ = [[e1 , e2 , e4 , e5 ]] e R5 = [[e1 , e2 , e3 , e4 , e5 ]]. 4) Acrescente o(s) vetor(es) indicado(s) para construir uma base do Rn . Utilizamos o crit´erio do determinante para escolher os vetores para formar uma base. Vocˆe pode ter encontrado outra base. a) Γ = [[(−4, 8)]], v1 = (8, 4). b) Γ = [[(−2, 1, 0), (1, 1, 1)]], v1 = (0, 0, 1). c) Γ = [[(0, 1, −2), (−3, 2, −7)]], v1 = (1, 0, 0). d) Γ = [[(−1, 2, −1)]], v1 = (1, 0, 0), v2 = (0, 1, 0). e) Γ = [[(−2, 1, 0)]], v1 = (1, 0, 0), v2 = (0, 0, 1). f ) Γ = [[(1, 1, 1), ]], v1 = (1, 0, 0), v2 = (0, 1, 0). g) Γ = [[(−2, 2, 0), (1, 1, 1)]], v1 = (1, 0, 0). 67 Cap´ıtulo 5 Transforma¸ c˜ oes lineares O leitor j´ a deve ter visto algumas vezes nos cursos de C´alculo, perguntas sobre existˆencia de fun¸c˜oes do tipo: Existe uma fun¸c˜ao f : R → R tal que f
(x) = f (x) e f (0) = 1? A resposta ´e sim e s´o existe uma, denominada de fun¸c˜ao exponencial, f (x) = ex . Se o valor exigido no ponto x = 0 fosse f (0) = 3 a fun¸c˜ao seria f (x) = 3ex . Nesse cap´ıtulo iremos estudar fun¸c˜oes, chamadas de transforma¸c˜oes lineares, A : Rm → Rn , satisfazendo duas condi¸c˜oes listadas a seguir. Cada transforma¸c˜ao linear fica completamente determinada definindo o seu valor na base canˆ onica do dom´ınio, valores esses, que ser˜ao guardados numa matriz, possibilitando estabelecer v´ arios e importantes algor´ıtmos. 5.1 Transforma¸c˜ oes lineares Diz-se que uma aplica¸c˜ao A : Rn → Rm ´e uma transforma¸c˜ ao linear se para quaisquer vetores v, w ∈ Rn e para qualquer escalar λ ∈ R as seguintes condi¸c˜oes s˜ao verificadas, a) A(v + w) = A(v) + A(w), b) A(λv) = λA(w). Mostrar que transforma¸c˜oes lineares existem, constru´ı-las ou identific´ a-las ´e simples. Suponha que A : Rm → Rn seja uma transforma¸c˜ao linear. Um vetor v = (x1 , x2 , ..., xm ) do dom´ınio ´e uma combina¸c˜ao linear dos elementos da base canˆ onica, a saber, v = x1 e1 + x2 e2 + · · · + xm em . Pela defini¸c˜ao de transforma¸c˜ao linear seguem as igualdades, A(x1 , x2 , ..., xm ) = = = A(x1 e1 + x2 e2 + · · · + xm em ) A(x1 e1 ) + A(x2 e2 ) + · · · + A(xm em ) x1 A(e1 ) + x2 A(e2 ) + · · · + xm A(em ). 68 ˜ 5.1. TRANSFORMAC ¸ OES LINEARES V´ arias informa¸c˜oes sobre uma transforma¸c˜ao linear podem ser obtidas da igualdade A(x1 , x2 , ..., xm ) = x1 A(e1 ) + x2 A(e2 ) + · · · + xm A(em ). 1o Para construir uma transforma¸c˜ao linear basta especificar quais s˜ao seus valores na base canˆonica do dom´ınio e definir a transforma¸c˜ao linear pela combina¸c˜ao linear a` direita da igualdade. 2o Para identificar uma transforma¸c˜ao linear ´e suficiente que a imagem de um vetor v = (x1 , x2 , ..., xm ) seja uma combina¸c˜ao linear como al´ı descrito. 3o Quando duas transforma¸c˜oes lineares assumem os mesmos valores na base canˆ onica elas s˜ao idˆenticas. 4o Como veremos logo a seguir, dela obteremos informa¸c˜oes, a respeito da injetividade e sobrejetividade da transforma¸c˜ao linear. a construir uma matriz que ser´a chamada de ma5o A igualdade nos permitir´ triz canˆ onica da transforma¸c˜ao linear da qual podemos obter muitas outras informa¸c˜es sobre a transforma¸c˜ao. Exerc´ıcio 5.1.1 Vamos construir uma transforma¸c˜ao linear A : R2 → R2 . Escolhamos os valores de A na base canˆ onica para ser A(e1 ) = (−1, 0) e A(e2 ) = (0, 3). Portanto, a express˜ao para a transforma¸c˜ao linear em termos de coordenadas ser´a A(x, y) = (−x, 3y) pois A(x, y) = xA(e1 ) + yA(e2 ) = x(−1, 0) + y(0, 3) = (−x, 3y). Falta verificar que essa aplica¸c˜ao A ´e uma transforma¸c˜ao linear, isto ´e, ela satisfaz as condi¸c˜oes listadas na defini¸c˜ao. Seguimos os seguintes c´alculos que s˜ao procedimentos de rotina. Considere dois vetores v = (x1 , y1 ) e w = (x2 , y2 ) em R2 e um escalar λ ∈ R. Calculemos   A(λv) = A(λx, λy) A(v + w) = A(x1 + x2 , y1 + y2 )         = (−λx, 3λy) = (−x1 − x2 , 3y1 + 3y2 ) = λ(−x, 3y) = (−x1 , 3y1 ) + (−x2 , 3y2 )         = λA(x, y). = A(v) + A(w), Esse exemplo ilustra uma proposi¸c˜ao que ser´a enunciada posteriormente e cuja demostra¸c˜ao ser´a deixada como exerc´ıcio. 2 Exemplo 5.1.1 Para construir uma transforma¸c˜ao linear A : R2 → R3 basta especificar os valores na base canˆonica do dom´ınio C = {e1 , e2 }. Por exemplo, se desejamos que A(1, 0) = (1, −1, 2) e A(0, 1) = (2, 0, 3), ent˜ ao constru´ımos a transforma¸c˜ao linear como indicado, 69 ˜ CAP´ITULO 5. TRANSFORMAC ¸ OES LINEARES A(x, y) = = = xA(1, 0) + yA(0, 1) x(1, −1, 2) + y(2, 0, 3) (x + 2y, −x, 2x + 3y). Portanto, em coordenadas temos que A(x, y) = (x + 2y, −x, 2x + 3y). 2 Exemplo 5.1.2 A aplica¸c˜ao A : R3 → R3 , A(x, y, z) = (2x − y + 3z, 4y + 2z, 2x − y) ´e uma transforma¸c˜ao linear. Se n˜ ao vejamos, A(x, y, z) = = = (2x − y + 3z, 4y + 2z, 2x − y) (2x, 0, 2x) + (−y, 4y, −y) + (3z, 2z, 0) x(2, 0, 2) + y(−1, 4, −1) + z(3, 2, 0). Verifica-se que A(e1 ) = (2, 0, 2), A(e2 ) = (−1, 4, −1) e A(e3 ) = (3, 2, 0). 2 ao A : Rm → Rn , Proposi¸ c˜ ao 5.1.1 Sejam v1 , v2 ,...,vm vetores do Rn . A aplica¸c˜ ao definida por A(x1 , x2 , ..., xm ) = x1 v1 + x2 v2 + · · · + xm vm ´e uma transforma¸c˜ linear. Mais ainda, essa ´e a u ´nica transforma¸c˜ ao linear A : Rm → Rn tal que A(ei ) = vi . Uma transforma¸c˜ao linear possui duas propriedades b´ asicas, quais sejam, A(o) = o e A(−v) = −A(v). Para verific´ a-las, basta considerar λ = 0 e w = −v = (−1)v e fazer a avalia¸c˜ao A(λv) = λA(v) e A(w) = A(−v). Exemplo 5.1.3 Seguem exemplos para o leitor familiarizar-se com o conceito. ao identidade, ´e 1. A aplica¸c˜ao Id : Rn → Rn , Id(v) = v, chamada de aplica¸c˜ uma transforma¸c˜ao linear. Em termos de coordenadas fica Id(x1 , x2 , ..., xn ) = (x1 , x2 , ..., xn ). Observe que Id(x1 , x2 , ..., xn ) = x1 e1 + x2 e2 + · · · + xn en . 2. Chamaremos de transforma¸c˜ ao linear identicamente nula de Rm em Rn a aplica¸c˜ao A(v) = o para qualquer v ∈ Rm . Em termos de coordenadas, A(x1 , x2 , ...xm ) = (0, 0, ..., 0). Nesse caso, A(x1 , x2 , ..., xn ) = x1 o + x2 o + · · · + xn o. Exerc´ıcio 5.1.2 A aplica¸c˜ao A : R2 → R3 , A(x, y) = (3x + y, x − y, x + y), ´e uma transforma¸c˜ao linear. 2 Dada uma fun¸c˜ao, muitas vezes ´e conveniente conhecer duas informa¸c˜oes sobre ela, acerca da injetividade e sobrejetividade. No caso de uma transforma¸c˜ao linear, A : Rm → Rn , tais informa¸c˜oes s˜ao obtidas examinando-se dois subespa¸cos, um no contradom´ınio e o outro no dom´ınio, chamados de imagem e n´ ucleo da transforma¸c˜ao linear. S˜ ao eles, respectivamente, 70 ˜ 5.1. TRANSFORMAC ¸ OES LINEARES a) Im (A) = {w ∈ Rn ; w = A(v) para algum v ∈ Rm }; b) N uc (A) = {v ∈ Rm ; A(v) = o}. Exerc´ıcio 5.1.3 Examinemos uma transfroma¸c˜ao linear A : R3 → R2 . Digamos que seja A(x, y, z) = (x + y − z, 3x − 2y). Como sabemos, podemos escrever que A(x, y, z) = xA(e1 ) + yA(e2 ) + zA(e3 ), onde A(e1 ) = (1, 3), A(e2 ) = (1, −2) e A(e3 ) = (−1, 0). Imagem A igualdade acima nos diz que o subespa¸co imagem ´e um subespa¸co de combina¸c˜oes lineares com geradores A(e1 ), A(e2 ) e A(e3 ), ou seja, Im(A) = [[A(e1 ), A(e2 ), A(e3 )]]. Mostremos essa afirma¸c˜ao. Um elemento da imagem A(v) ∈ Im(A) escreve-se como uma combina¸c˜ao linear do tipo A(v) = xA(e1 ) + yA(e2 ) + zA(e3 ), onde v = (x, y, z). Logo, esse elemento tamb´em pertence ao subespa¸co [[A(e1 ), A(e2 ), A(e3 )]], isso mostra que a imagem est´ a contida nesse u ´ltimo subespa¸co. Reciprocamente, dado um elemento de w ∈ [[A(e1 ), A(e2 ), A(e3 )]], por defini¸c˜ao de subespa¸co das ´ combina¸c˜oes lineares, podemos afirmar que w = a1 A(e1 ) + a2 A(e2 ) + a3 A(e3 ). E claro que A(v) = w onde v = (a1 , a2 , a3 ). a a desN´ ucleo A apresenta¸c˜ao da transforma¸c˜ao linear em coordenadas nos d´ cri¸c˜ao do n´ ucleo utilizando equa¸c˜oes lineares homogˆeneas. Observe que o vetor v = (x, y, z) est´a no n´ ucleo se, e somente se, A(x, y, x) = (0, 0). Portanto, as coordenadas de um vetor do n´ ucleo satisfazem as equa¸c˜oes lineares homogˆeneas x + y − z = 0 e 3x − 2y = 0. Logo, N uc(A) = {(x, y, z) ∈ R3 ; x + y − z = 0 e 3x − 2y = 0}. 2 Registremos numa proposi¸c˜ao dois fatos simples mas de bastante utilidade. ao linear ent˜ ao Proposi¸ c˜ ao 5.1.2 Se A : Rm → Rn uma transforma¸c˜ a) A ´e injetiva ⇔ N uc(A) = {o}; b) A ´e sobrejetiva ⇔ Im A = Rn . Prova a) Suponha que A ´e injetiva. Como A(o) = o, somente o vetor nulo, e nenhum outro vetor, pode assumir o valor o ∈ Rn , mostrando que N uc(A) = {o}. Vamos supor que N uc(A) = {o}. Sejam v, w ∈ V vetores tais que A(v) = A(w). Por linearidade obtemos A(v − w) = o. Como o n´ ucleo ´e trivial concluimos que v − w = 0, isto ´e, v = w, mostrando a injetividade. A demonstra¸c˜ao do segundo item ´e trivial. 2 71 ˜ CAP´ITULO 5. TRANSFORMAC ¸ OES LINEARES Nesse texto reservamos um cap´ıtulo para transforma¸c˜oes lineares do Rn para o isto ´e, A : Rn → Rn . Para enfatizar que o dom´ınio e o contradom´ınio s˜ ao iguais, n chamaremos a transforma¸c˜ao linear de operador linear em R . Rn , Exerc´ıcios propostos 5.1.1 1. Verifique quais das aplica¸c˜oes s˜ao transforma¸c˜oes lineares. a) A : R2 → R2 , A(x, y) = (xy, y). b) A : R3 → R2 , A(x, y, z) = 3(x − y, x + 2y + z). c) A : R2 → R2 , A(x, y) = (3 − x + y − 1, x − 3y + 2). d) A : R3 → R2 , A(x, y, z) = (x − 3z, y + 2z − 3x). 2. Dado o conjunto ordenado de vetores γ = {w1 , w2 , w3 } ⊂ Rn . Para cada item encontre a transforma¸c˜ao linear A : R3 → Rn satisfazendo as condi¸c˜oes A(ei ) = wi . a) γ = {(1, 1), (1, −1), (2, 1)} ⊂ R2 . b) γ = {(2, −3, 1), (0, 1, 0), (1, −1, 4)} ⊂ R3 . c) γ = {(1, 1, 0, 1), (0, 1, 0, 1), (1, 2, 0, 2)} ⊂ R4 . 3. Determine uma base para o n´ ucleo da transforma¸c˜ao linear, se ela n˜ ao for injetiva. a) A : R2 → R2 , A(x, y) = (x + y, y). b) A : R2 → R3 , A(x, y) = (2x + y, 4y + 2y). c) A : R3 → R2 , A(x, y, z) = (x + y, y − z). 4. Construa um operador linear A : R2 → R2 com a propriedade pedida. a) A reflete cada vetor em rela¸c˜ao ao eixo ox. b) A reflete cada vetor em rela¸c˜ao ao eixo oy. c) A reflete cada vetor em relac˜ao ao subespa¸co Γ = {(x, y) ∈ R2 ; x − y = 0}. d) A rotaciona cada vetor no sentido anti-hor´ ario por um aˆngulo de π 2. 5. Construa uma transforma¸c˜ao linear com a propriedades pedida. a) A : R3 → R2 tal que Im (A) = [[v1 , v2 ]], onde v1 = (1, 2) e v2 = (1, 1). b) A : R2 → R3 tal que Im (A) = [[v1 ]], onde v1 = (0, 3, −1). c) A : R3 → R2 tal que Im (A) = {(x, y) ∈ R2 ; 2x − y = 0}. d) A : R3 → R3 tal que Im (A) = {(x, y, z) ∈ R3 ; 2x + 3y + z = 0}. e) A : R3 → R2 tal que Im(A) = {(x, y) ∈ R2 ; x − y = 0}. 6. Construa uma transforma¸c˜ao linear com a propriedades pedida. a) A : R3 → R2 tal que N uc (A) = {(x, y, z) ∈ R3 ; x − y + 2z = 0}. 72 ˜ LINEAR 5.2. MATRIZ DE UMA TRANSFORMAC ¸ AO b) c) d) e) f) A : R2 A : R3 A : R3 A : R3 A : R2 → R3 → R2 → R3 → R2 → R2 tal tal tal tal tal que que que que que N uc (A) = {(x, y) ∈ R2 ; x = 0}. N uc (A) = {(x, y, z) ∈ R3 ; 2x − y = 0}. Im (A) = {(x, y, z) ∈ R3 ; 2x + 3y + z = 0 e x − z = 0}. N uc (A) = {(x, y, z) ∈ R3 ; x + y = 0 e z = 0}. N uc (A) = {o}. 7. Fixados os vetores v1 , v2 ∈ R2 defina a aplica¸c˜ao A : R2 → R2 , A(x, y) = xv1 + yv2 . a) Verifique que A ´e um operador linear. b) Demonstre que u e v s˜ao linearmente independente ⇔ a aplica¸c˜ao ´e injetiva. 8. Prove utilizando conjunto de geradores que uma transforma¸c˜ao linear A : R3 → R2 , n˜ ao pode ser injetiva. 9. Fixado λ0 ∈ R. A aplica¸c˜ao A : Rn → Rn , A(v) = λ0 v, ´e um operador linear chamado de homotetia. Mostre que ele ´e uma transforma¸c˜ao linear e descreva-o utilizando coordenadas. 5.2 Matriz de uma transforma¸ c˜ ao linear Como vimos, uma transforma¸c˜ao linear A : Rm → Rn fica completamente determinada quando conhecemos os valores de A na base canˆonica, A(e1 ), A(e2 ),...,A(em ). Por esse e outros motivos, guardamos os valores A(ei ) numa matriz. ao linear. A matriz canˆonica Defini¸ c˜ ao 5.2.1 Seja A : Rm → Rn uma transforma¸c˜ associada a A ´e a matriz n × m [A] definida por [A] = [A(e1 ), A(e2 ), ..., A(em )]. Exemplo 5.2.1 Seja A : R3 → R3 , A(x, y, z) = (x − z, −2x + 2y + 4z, −y + 2z). N˜ao ´e dif´ıcil mostrar que A ´e um operador linear. A matriz 3 × 3 do operador linear ´e obtida avaliando   A(1, 0, 0) = ( 1, −2, 0), A(0, 1, 0) = ( 0, 2, 1),  A(0, 0, 1) = (−1, 4, 2).  Logo, a matriz ´e  1 0 −1 [A] =  −2 2 4 . 0 −1 2 Ressaltamos que conhecida a matriz [A] recuperamos a transforma¸c˜ao. 2 Exemplo 5.2.2 Se a matriz de uma transforma¸c˜ao linear A : Rm → Rn ´e    10 −1  1. A : R2 → R3 , 2 ent˜ ao [A] =  −2 31  ,  2. A(x, y) = (10x − y, −2x + 31y, 5y). 0 5 73 ˜ CAP´ITULO 5. TRANSFORMAC ¸ OES LINEARES Exemplo 5.2.3 Seja A : R3 → R2 , A(x, y, z) = (x − 2y + 5z, 2x − z). Sua matriz canˆ onica [A] ´e 3 × 2   1 −2 5 [A] = . 2 0 −1 Qual a matriz da identidade Id : Rn → Rn ? 2 Exemplo 5.2.4 Calculemos a matriz canˆonica associada ao operador linear A : R3 → R3 , A(x, y, z) = (2x − 3y, x + y − z, y − 4z). Como A(x, y, z) = x(2, 1, 0) + y(−3, 1, 1) + z(0, −z, −4z) obtemos a matriz 3 × 3   2 −3 0 [A] =  1 1 −1  . 0 1 −4 Avancemos um pouco mais. Considere os vetores u, v e w e suas avalia¸c˜oes u = (1, 1, 0), A(u) = (−1, 2, 1), w = (0, 3, −2), A(w) = (−9, 5, 11). v = (−1, 2, 1), A(v) = (−8, 0, −2), Vejamos uma rela¸c˜ao entre as trˆes matrizes [A(u), A(v), A(w)], [A] e [u, v, w]. Observe a seq¨ uˆencia de igualdades matriciais,   −1 −8 −9 [A(u), A(v), A(w)] =  2 0 −2  . 1 −2 11    1 −1 0 2 −3 0 =  1 1 −1   1 2 3  0 1 −2 0 1 −4 = [A][u, v, w]. Esse ´e um algor´ıtmo que ser´ a explorado posteriormente. 2 ao linear e u1 , u2 , ..., um ∈ Proposi¸ c˜ ao 5.2.1 Seja A : Rm → Rn uma transforma¸c˜ m oes. R . Valem as seguintes afirma¸c˜ a) [A(u1 ), A(u2 ), ..., A(um )] = [A][u1 , u2 , ..., um ]. b) Se m = n ent˜ ao as matrizes descritas no item anterior s˜ ao quadradas e det [A(u1 ), A(u2 ), ..., A(un )] = det [A] det[u1 , u2 , ..., un ]. 74 ˜ LINEAR 5.2. MATRIZ DE UMA TRANSFORMAC ¸ AO Prova A demonstra¸c˜ao do item a) ´e combinat´ oria e o segundo item ´e uma conseq¨ uˆencia imediata do primeiro, pois o determinante do produto de duas matrizes n × n ´e o produto dos determinantes de cada matriz. 2 ´rio O u Comenta ´ltimo ´ıtem da proposi¸c˜ao cont´em uma informa¸c˜ao geom´etrica relacionada com operadores lineares que n˜ ao est´a explicitada no enunciado. Examinemos o caso do operador linear A : R2 → R2 , A(x, y) = ´ f´ (2x − y, x + y). E acil calcular o determinante de [A], seu valor ´e det[A] = 3. Esse ´e o fator de transforma¸c˜ao de ´area, no seguinte sentido. Considere a a´rea de um paralelogramo cujas arestas s˜ao segmentos orientados que representam os vetores v e w. Como sabemos o valor dessa ´area ´e |det[v, w]|. O operador linear A transforma esse paralelogramo num outro cujas arestas s˜ao representantes dos vetores A(v) e A(w). A a´rea desse u ´ltimo paralelogramo ´e |detA(V ), A(W )]|. O determinante det[A] = 3 ´e o fator que relaciona as a´reas do paralelogramo no dom´ınio e a a´rea do paralelogramo imagem, |detA(V ), A(W )]| = |det[A] det[v, w]|. Para operadores lineares A : R3 → R3 , a interpreta¸c˜ao ´e semelhante. O valor |det[A]| ´e o fator de transforma¸c˜ao de volumes quando consideramos um paralelep´ıpedo cujas arestas s˜ao segmentos orientados representando os vetores 2 u, v, w ∈ R3 . ´ poss´ıvel calcular a matriz de uma transforma¸c˜ao linear A : Exemplo 5.2.5 E m n R → R utilizando o produto interno. Mostre que as entradas da matriz [A] = [aij ] s˜ao determinadas por aij = ei , A(ej ). Primeiro, fa¸ca o exerc´ıcio numericamente com a transforma¸c˜ao linear A : R2 → R3 , A(x, y) = (x−y, 2x−3y, −x+4y). Depois fa¸ca o caso geral. 2 Exerc´ıcios propostos 5.2.1 1. Determine as matrizes das seguintes transforma¸c˜oes lineares. a) A : R3 → R3 , A(x, y, z) = (6x + y − 3z, z − y, 2x − z). b) A : R2 → R3 , A(x, y) = (x + y, 2x − y, y − 2x). c) A : R3 → R2 , A(x, y, z) = (x + y + z, x + y + z). d) Id : R3 → R3 , Id(x, y, z) = (x, y, z). e) A : R2 → R4 , A(x, y) = (0, 0, 0, 0). 3 3 f) A : R → R , A(x, y, z) = (0, y, 0). 75 (Identidade) (identicamente nula) (proje¸c˜ao sobre o eixo y) ˜ CAP´ITULO 5. TRANSFORMAC ¸ OES LINEARES 2. Sabendo-se que a matriz na base canˆ onica de uma transforma¸c˜ao liner ´e [A], dˆe o dom´ınio, contradom´ınio, a rela¸c˜ao, uma base para a imagem e uma base para o n´ ucleo (se n˜ao for trivial).       −2 −4 1 −1 1 −1 0     1 2 2 −2 a) [A] = b) [A] = c) [A] = 1 2 3 1 2 −1 0 5.3 Teorema do n´ ucleo e da imagem Para avan¸car no entendimento de transforma¸c˜oes lineares precisaremos de um resultado, conhecido como Teorema do n´ ucleo e da imagem, do qual decorrem muitos corol´ arios. Intuitivamente falando, a dimens˜ ao do n´ ucleo de A : Rm → Rn , est´a medindo o quanto de dimens˜ ao foi perdida quando transformamos linearmente o m R no subespa¸co Im(A) do contradom´ınio Rn . Teorema 5.3.1 (Teorema do n´ ucleo e da imagem) Seja A : Rm → Rn uma transforma¸c˜ ao linear. Ent˜ ao dim Rm = dim N uc(A) + dim Im(A). ´ claro que k ≤ m. Inicialmente Prova Vamos assumir que dim N uc(A) = k. E considere uma base ordenada β = {v1 , ..., vk , vk+1, ..., vm } para Rm na qual os k primeiros elementos formam uma base para o n´ ucleo de A. Afirma¸c˜ao 1: Vale a igualdade entre os subespa¸cos Im(A) = [[A(vk+1 ), A(vk+2 ), ..., A(vm )]]. ao Como cada A(vi ) ∈ Im(A) ´e imediato conclu´ırmos a inclus˜ [[A(vk+1 ), A(vk+2 ), ..., A(vm )]] ⊂ Im(A). Examinemos a inclus˜ ao oposta. Por defini¸c˜ao, dado um vetor w ∈ Im(A) existe um vetor v ∈ Rm tal que w = A(v). Escrevamos o vetor v como uma combina¸c˜ao linear dos vetores da base β, v = x1 v1 + x2 v2 + · · · + xm vm . Levando-se em conta que os k primeiros vetores de β pertencem ao n´ ucleo de A, avaliemos, w = A(v) = A(x1 v1 + x2 v2 + · · · + xn vn ) = xk+1 A(vk+1 ) + xk+2 A(vk+2 ) + · · · + xm A(vm ). ao De onde conclu´ımos que v ∈ [[A(vk+1 ), A(vk+2 ), ..., A(vm )]], mostrando a inclus˜ oposta e terminando a prova da afirma¸c˜ao. 76 ´ 5.3. TEOREMA DO NUCLEO E DA IMAGEM Afirma¸c˜ao 2: A(β) = {A(vk+1 ), A(vk+2 ), ..., A(vm )} ´e um conjunto linearmente independente. Em particular dim Im(A) = n − k. Consideremos a combina¸c˜ao linear o = yk+1 A(vk+1 ) + yk+2 A(vk+2 ) + · · · + ´ltima equa¸c˜ao como ym A(vm ). Por linearidade de A podemos reescrever esta u o = A(yk+1 vk+1 + yk+2 vk+2 + · · · + ym vm ). Isto significa que o vetor yk+1 vk+1 + yk+2 vk+2 + · · · + ym vm ∈ N uc(A). Logo, este u ´ltimo vetor tamb´em ´e uma combina¸c˜ao linear dos k primeiros vetores da base ordenada β, pois tais vetores formam uma base para o n´ ucleo de A, isto ´e, yk+1 vk+1 + yk+2 vk+2 + · · · + ym vm = x1 v1 + x2 v2 + · · · + xk v, ou equivalentemente, x1 v1 + x2 v2 + · · · + xk vk − yk+1 vk+1 − yk+2 vk+2 − · · · − ym vm = 0. Como β ´e linearmente independente, todos os coeficientes dessa combina¸c˜ao linear s˜ao nulos, em particular, yk+1 = yk+2 = · · · = ym = 0, mostrando que o conjunto A(β) ´e linearmente independente. Como A(β) ´e um conjunto ordenado de geradores, significa que A(β) ´e uma base ordenada de Im(A), de onde segue que dim Im(A) = n − k. Temos provado a afirma¸c˜ao. Sendo assim dim Rm = k + (m − k) = dim N uc(A) + dim Im (A). Isto termina a demostra¸c˜ao do teorema. 2 Exerc´ıcios propostos 5.3.1 1. Determine as uma base para a imagem e uma base para o n´ ucleo, quando ele for n˜ao trivial, das seguintes transforma¸c˜oes lineares. Verifique o Teorema do n´ ucleo e da imagem. a) A : R3 → R3 , A(x, y, z) = (6x + y − 3z, z − y, 2x − z). b) A : R2 → R3 , A(x, y) = (x + y, 2x − y, y − 2x). c) A : R3 → R2 , A(x, y, z) = (x + y + z, x + y + z). d) Id : R3 → R3 , Id(x, y, z) = (x, y, z). e) A : R3 → R3 , A(x, y, z) = (0, z − y, 0). f) A : R2 → R4 , A(x, y) = (x + y, x + y, x + y, x + y). 2. Para cada item determine a transforma¸c˜ao linear A : R3 → Rn satisfazendo as condi¸c˜oes A(ei ) = wi , em que γ = {w1 , w2 , w3 } ⊂ Rn e encontre uma base do n´ ucleo e uma base da imagem para cada uma das transforma¸c˜oes lineares. a) γ = {(1, 1), (1, −1), (2, 1)} ⊂ R2 . b) γ = {(2, −3, 1), (0, 1, 0), (1, −1, 4)} ⊂ R3 . 77 ˜ CAP´ITULO 5. TRANSFORMAC ¸ OES LINEARES c) γ = {(1, 1, 0, 1), (0, 1, 0, 1), (1, 2, 0, 2)} ⊂ R4 . 3. Construa uma transforma¸c˜ao linear A : R3 → R3 satisfazendo a condi¸c˜ao dada. a) Im (A) ´e gerado por ε = {(2, −1, 1), (1, 0, 1)}. b) N uc(A) ´e gerado por ε = {(2, −1, 1), (1, 0, 1)}. c) Im(A) ⊂ N uc(A). 4. Seja A : Rm → Rn uma transforma¸c˜ao linear. Prove as afirma¸c˜oes. a) Se m < n ent˜ ao A n˜ ao ´e sobrejetiva. b) Se m > n ent˜ ao A n˜ ao ´e injetiva. 5. Existe uma transforma¸c˜ao linear A : R11 → R11 tal que Im(A) = N uc(A)? Justifique sua resposta. 5.4 Opera¸ c˜ oes com transforma¸ c˜ oes lineares Nessa se¸c˜ao definiremos trˆes opera¸c˜oes envolvendo transforma¸c˜oes lineares, ◦ ◦ ◦ soma de transforma¸c˜oes lineares; multiplica¸c˜ao de uma transforma¸c˜ao linear por um escalar; composi¸c˜ao de transforma¸c˜oes lineares. Dados duas transforma¸c˜oes lineares com os mesmos dom´ınio e contradom´ınio, digamos A, B : Rm → Rn , definimos a aplica¸c˜ao soma das transforma¸c˜oes lineares como A + B : Rm → Rn , (A + B)(v) = A(v) + B(v). A nova aplica¸c˜ao assim constru´ıda ´e tamb´em uma transforma¸c˜ao linear pois (A + B)(v + w) ≡ A(v + w) + B(v + w) = A(v) + A(w) + B(v) + B(w) = (A + B)(v) + (A + B)(w). De modo semelhante mostramos que (A + B)(λv) = λ(A + B)(v). Dado um escalar µ ∈ R, definimos a aplica¸c˜ao multiplica¸c˜ao µA : Rm → Rn , ´ rotina verificar que µA ´e uma transforma¸c˜ao linear. por (µA)(v) = µA(v). E Exemplo 5.4.1 Sejam A, B : R3 →R2 duas transforma¸c˜oes lineares definidas por A(x, y, z) = (2y, z − x) e B(x, y, z) = (x − z, z). Calculemos A − 2B : R3 → R3 . Pelas defini¸c˜oes, obtemos (A − 2B)(x, y, z) = (2y, z − x) − 2(x − z, z) = (2y − 2x + 2z, −z − x). 78 ˜ ˜ 5.4. OPERAC ¸ OES COM TRANSFORMAC ¸ OES LINEARES Esse c´alculo fica bastante simplificado com matrizes. Calculemos a matriz de A−2B tendo em mente as regras para a soma de matrizes e a multiplica¸c˜ao de uma matriz por um escalar, [A − 2B] = [(A − 2B)(e1 ), (A − 2B)(e2 )] = [A(e1 ) − 2B(e1 ), A(e2 ) − 2B(e2 )] = [A(e1 ), A(e2 )] − 2[B(e1 ), B(e2 )] = [A] − 2[B]. Registraremos uma proposi¸c˜ao cuja demonstra¸c˜ao ser´a deixada como exerc´ıcio. 2 oes lineares e λ ∈ R. Proposi¸ c˜ ao 5.4.1 Sejam A, B : Rm → Rn duas transforma¸c˜ Ent˜ ao vale a rela¸ca ˜o matricial [A − λB] = [A] − λ[B]. Uma outra opera¸c˜ao que efetuamos com transforma¸c˜oes lineares ´e a composi¸c˜ ao. Se A : Rm → Rn e C : Rn → Rk s˜ao duas transforma¸c˜oes lineares, constru´ımos uma outra transforma¸c˜ao linear denotada por C ◦ A : Rm → Rk , chamada de composta de C e A, definindo C ◦ A(v) = C(A(v)) para cada vetor v ∈ Rm . Para efetuar a opera¸c˜ao de composi¸c˜ao ´e necess´ario que o contradom´ınio de A seja o dom´ınio de C. A composta ´e tamb´em uma transforma¸c˜ao linear pois se u, v ∈ Rm e λ ∈ R, as igualdades abaixo s˜ ao justificadas pelas defini¸c˜oes j´a apresentadas, C ◦ A(u + λv) = C(A(u + λv)) = C(A(u) + λA(v)) = C(A(u)) + λC(A(v)) = C ◦ A(u) + λC ◦ A(v). A C Exemplo 5.4.2 Calculemos a composta R3 −→ R2 −→ R2 onde A(x, y, z) = (y, z) e C(x, y) = (y, x − y). Primeiro observe que C ◦ A : R3 → R2 , C ◦ A(x, y, z) = C(A(x, y, z)) = C(y, z) = (z, y − z). Levando em conta a u ´ltima proposi¸c˜ao da se¸c˜ao anterior, a matriz da composta ´e [C ◦ A] = [C(A(e1 )), C(A(e2 )), C(A(e3 ))] = [C][A(e1 ), A(e2 ), A(e3 )] = [C][A]. Isto ´e, a matriz da composta ´e o produto das matrizes. 79 2 ˜ CAP´ITULO 5. TRANSFORMAC ¸ OES LINEARES oes Proposi¸ c˜ ao 5.4.2 Sejam A : Rm → Rn e C : Rn → Rk duas transforma¸c˜ lineares. Ent˜ ao a composta C ◦ A : Rm → Rk ´e uma transforma¸c˜ ao linear e sua matriz ´e [C ◦ A] = [C][A]. Exerc´ıcios propostos 5.4.1 1. Para cada item, calcule, quando poss´ıvel, 2A − B e as compostas A ◦ B, B ◦ A, A2 e B 2 em que A e B s˜ao as transforma¸c˜oes lineares dadas. Efetue as opera¸c˜oes expl´ıcita e matricialmente. a) A : R2 → R2 , A(x, y) = (2x, y − x) B : R2 → R2 , B(x, y) = (x − y, −y). b) A : R2 → R3 , A(x, y) = (3y, y − 2x, y − x) B : R3 → R3 , B(x, y, z) = (x − y, y, 2x). c) A : R2 → R2 , A(x, y) = (2x + 2y, y − x) B : R2 → R2 , B(x, y) = (x − y, y). 2. Efetue o produto das seguintes matrizes na ordem poss´ıvel    1 2 1   [A] = 0 −1 e [B] = 2 3 0 1 0  . Dˆe as transforma¸c˜oes lineares que elas definem (dom´ınio, contradom´ınio e rela¸c˜ao). 3. Efetue a composta A2 = A ◦ A, onde A : R2 → R2 , A(x, y) = (−2x + 4y, −x + 2y). Qual a rela¸c˜ao de inclus˜ao entre N uc(A) e Im(A)? 5.5 Transforma¸c˜ oes lineares invert´ıveis A opera¸c˜ao de composi¸c˜ao nos permite fixar um novo conceito. Uma transforma¸c˜ao linear A : Rm → Rn ´e invert´ıvel se existe uma aplica¸c˜ao denotada por A−1 : Rn → Rm tal que   A−1 ◦ A = Id : Rm → Rm  A ◦ A−1 = Id : Rn → Rn Quando existe uma tal aplica¸c˜ao diremos que A−1 ´e a inversa de A. Exemplo 5.5.1 Alguns exemplos deixar˜ ao clara a defini¸c˜ao. 1. A aplica¸c˜ao identidade Id : Rn → Rn ´e uma transforma¸c˜ao linear invert´ıvel e a sua inversa ´e ela pr´ opria. 80 ˜ 5.5. TRANSFORMAC ¸ OES LINEARES INVERT´IVEIS 2. A transforma¸c˜ao linear A : R2 → R2 , A(x, y) = (x − y, y), ´e invert´ıvel e tem como aplica¸c˜ao inversa A−1 : R2 → R2 , A−1 (x, y) = (x + y, y). Verifique e observe que a inversa ´e tamb´em uma transforma¸c˜ao linear. 2 Da Teoria de conjuntos sabemos que uma fun¸c˜ao entre dois conjuntos ´e invert´ıvel se, e somente se, a fun¸c˜ao ´e injetiva e sobrejetiva. Logo, por um crit´erio estabelecido na se¸c˜ao 5.1, podemos afirmar que uma transforma¸c˜ao linear A : Rm → Rn ´e invert´ıvel se, e somente se, Im(A) = Rn e N uc(A) = {o}. Pelo teorema do n´ ucleo e da imagem, segue que m = n. Temos provado a Proposi¸ c˜ ao 5.5.1 Uma transforma¸c˜ ao linear A : Rm → Rn , ´e invert´ıvel, se, n Im(A) = R e N uc(A) = {0}. Em particular, se A ´e invert´ıvel ent˜ ao m = n. Por essa proposi¸c˜ao conclu´ımos que quando A : Rn → Rn ´e invert´ıvel, sua matriz [A] ´e uma matriz quadrada n × n.   No que segue, desejamos relacionar trans1 0 ··· 0 forma¸c˜oes lineares invert´ıveis com matrizes qua 0 1 ··· 0  . dradas invert´ıveis. Uma matiz quadrada n × n, [M ][N ] =    ··· digamos [M ], ´e invert´ıvel quando existe uma ma0 0 ··· 1 triz n × n, [N ], tal que o produto de ambas, n˜ ao importa a ordem, ´e a matriz identidade n × n, [M ][N ] = [Id] = [N ][M ]. Nesse caso, seguiremos a nota¸c˜ao [N ] = [M ]−1 . Apresentemos a rela¸c˜ao entre transforma¸c˜oes lineares invert´ıveis e matrizes invert´ıveis. ao valem as afirma¸c˜ oes: Teorema 5.5.1 Se A : Rn → Rn ´e invert´ıvel, ent˜ a) s´ o existe uma inversa para A; ao linear; b) a inversa A−1 ´e uma transforma¸c˜ c) a matriz de A ´e uma matriz invert´ıvel n × n e [A−1 ] = [A]−1 . Prova a) Isto ´e um fato da Teoria de Conjuntos. Uma fun¸c˜ao invert´ıvel entre dois conjuntos s´ o possui uma fun¸c˜ao inversa. b) Dados os vetores w1 , w2 ∈ Rn e o escalar λ ∈ R, como A ´e sobrejetiva ´e poss´ıvel determinar dois vetores v1 , v2 ∈ Rm tais que A(v1 ) = w1 e A(v2 ) = w2 . Sendo assim temos A−1 (w1 + λw2 ) = A−1 (A(v1 ) + λA(v2 )) = A−1 (A(v1 + λv2 )) = v1 + λv2 = A−1 (w1 ) + λA−1 (w2 ). 81 ˜ CAP´ITULO 5. TRANSFORMAC ¸ OES LINEARES c) Que a matriz ´e quadrada n × n, ´e ´obvio, pois o dom´ınio e o contradom´ınio s˜ao iguais. Calculemos a matriz da composta A−1 ◦ A = Id, lembrando-se que [Id] ´e a matriz identidade n × n, [Id] = [A−1 ◦ A] = [A−1 (A(e1 )), A−1 (A(e2 )), ..., A−1 (A(en ))] = [A−1 ][A(e1 ), A(e2 ), ..., A(en )] = [A−1 ][A]. Da mesma forma mostramos que [A][A−1 ] = [Id]. Conclu´ımos que [A] ´e uma matriz 2 invert´ıvel e que [A]−1 = [A−1 ]. O u ´ltimo item do teorema aponta como explicitar a inversa de uma transforma¸c˜ao linear invert´ıvel. Devemos ter em m˜aos a matriz da transforma¸c˜ao linear [A] que ´e quadrada, inverter a matriz, [A]−1 e recuperar a transforma¸c˜ao linear A−1 . Informamos que uma matriz quadrada ´e invert´ıvel se, e somente se, o seu determinante ´e n˜ ao nulo. Caso o leitor deseje conhecer a demonstra¸c˜ao do fato, indicamos o u ´ltimo cap´ıtulo. Inverter uma matriz quadrada 2×2 ´e simples e de f´acil memo  riza¸c˜ao. No algoritmo, percebe-se claramente a necessidade a b do determinante ser diferente de zero. Consideremos a matriz [A] = . c d dada ao lado. Chamamos de matriz adjunta cl´ assica de [A] a` matriz 2 × 2 definida por   d −b adj [A] = . −c a Efetuando a multiplica¸c˜ao das duas matrizes obtemos     1 0 ad − bc 0 [A] · adj([A]) = = det[A] . 0 ad − bc 0 1 Essa conta mostra como devemos demonstrar a proposi¸c˜ao a seguir para matrizes 2 × 2. O caso geral encontra-se no u ´ltimo cap´ıtulo. Proposi¸ c˜ ao 5.5.2 Uma matriz n×n, [A], ´e invert´ıvel se, e somente se, det[A] = 0. E mais, se ela ´e invert´ıvel ent˜ ao [A]−1 = 1 det[A] adj([A]) det[A]−1 = (det[A])−1 e Exerc´ıcio 5.5.1 Examinemos a invertibilidade da transforma¸c˜ao linear A : R2 → a apresentamos, sabemos que a R2 , A(x, y) = (2x − y, 4x + 1y). Por tudo que j´ matriz de [A] na base canˆ onica ´e 82 ˜ 5.5. TRANSFORMAC ¸ OES LINEARES INVERT´IVEIS  [A] = 2 −1 4 1  . Como o determinante de [A] n˜ ao ´e zero, det [A] = 6, a matriz ´e invert´ıvel e sua inversa e o determinante da inversa s˜ ao, respectivamente,  1 1    6 6 1 1 1 −1 , = det[A]−1 = 16 . [A] = 6 −4 2 2 4 −6 6 Sabendo que [A]−1 = [A−1 ], recuperamos imediatamente a transforma¸c˜ao linear 2 inversa, A−1 : R2 → R2 , A−1 (x, y) = ( 16 x + 16 y, − 46 x + 26 y). Precisamos explicar qual o significado de adjunta cl´ assica, adj [A], para matrizes quadradas em geral. Dada uma matriz quadrada n × n, com n > 1, digamos [A] = [aji ], (o ´ındice superior indica a linha e o inferior indica a coluna da entrada), chamamos de ji-´esima matriz reduzida de [A] a matriz (n − 1) × (n − 1) obtida por supress˜ao da j-´esima linha e da i-´esima coluna de [A]. Denotaremos essa matriz esimo cofator da matriz [A] = [aji ] ´e o escalar reduzida por [A]ji  . O ji-´ cji = (−1)j+i det[A]ji , e a adjunta cl´ assica de [A] ´e a matriz transposta da matriz dos cofatores, ad[A] = [cji ]t . Exemplo 5.5.2 Ilustremos o algor´ıtmo para  1 2  [A] = 1 4 −1 0 invers˜ oes de matrizes com a matriz  0 3 . 2 Esta matriz d´ a origem `a 9 matrizes reduzidas, uma para cada ´ındice ji. Explicitemos quatro delas,         4 3 1 0 2 0 1 4 , [A] , [A] , [A] . [A] 11 = 32 = 21 = 13 = 0 2 1 3 0 2 −1 0 Para calcular a adjunta cl´ assica da matriz [A], calculamos a matriz dos cofatores e consideramos sua transposta,  t   8 −4 6 det[A] det[A] 11 − det[A] 12 13  =  −5 adj [A] =  − det[A] det[A] 2 −3  . 21 22 − det[A] 23 det[A] det[A] 4 −2 2 31 − det[A] 32 33 Observe que det[A] = −2. Calculando diretamente o produto das matizes obtemos a matriz adj [A] · [A] = det[A] [Id], onde [Id] ´e a matriz identidade 3 × 3. 2 83 ˜ CAP´ITULO 5. TRANSFORMAC ¸ OES LINEARES ao linear. Ent˜ ao as seguintes Corol´ ario 5.5.1 Seja A : Rn → Rn uma transforma¸c˜ afirma¸c˜ oes s˜ ao equivalentes. a) b) c) d) A ´e invert´ıvel; N uc(A) = {0}; Im(A) = Rn ; a imagem por A de uma base de Rn ´e uma base de Rn . Prova a) ⇒ b) Se A ´e invert´ıvel ent˜ ao A ´e injetiva, portanto N uc(A) = {0}. b) ⇒ c) Se N uc(A) = {0}, pelo Teorema do n´ ucleo e da imagem segue imediatamente que dim Im(A) = dim Rn . Desde que Im(A) ⊂ Rn ´e um subespa¸co com a mesma dimens˜ao de Rn , conclu´ımos que Im(A) = Rn . ´ f´ acil mosc) ⇒ d) Considere uma base ordenada β = {v1 , v2 , ..., vn } de Rn . E trar que o conjunto ordenado A(β) = {A(v1 ), A(v2 ), ..., A(vn )} ´e um conjunto de geradores com n elementos de Im(A) = Rn . Portanto podemos afirmar que A(β) ´e uma base de Rn = Im(A). d) ⇒ a) Vamos supor, por absurdo, que o n´ ucleo de A ´e n˜ ao trivial. Considere uma base ordenada β = {v1 , ..., vk , vk+1 , ..., vn } de Rn na qual os k primeiros vetores formam uma base para o n´ ucleo de A, com k > 0. Por hip´ otese, a transforma¸c˜ao linear A aplica bases de Rn em bases de Rn , portanto o conjunto de vetores A(β) = {A(vk+1 ), A(vk+2 ), ..., A(vn )} ´e uma base de Rn de onde conclu´ımos que dim Rn = ucleo ´e trivial, n − k < dim Rn , uma contradi¸c˜ao. Logo k = 0, significando que o n´ em outras palavras, A ´e injetiva. Pelo Teorema do n´ ucleo e da imagem temos que n = dim Rn = dim Im(A). Como o subespa¸co imagem de A tem a mesma dimens˜ao do contradom´ınio, obtemos que Im(A) = Rn , isto ´e, A ´e sobrejetiva. Em resumo, A ´e injetiva e sobrejetiva, portanto ela ´e invert´ıvel. 2 Exerc´ıcio 5.5.2 Se A, C : Rn → Rn s˜ao dois operadores lineares invert´ıveis, prove 2 que a composta C ◦ A ´e invert´ıvel e que (C ◦ A)−1 = A−1 ◦ C −1 . Exerc´ıcios propostos 5.5.1 1. Apenas uma das condi¸c˜oes exigidas na defini¸c˜ao de uma transforma¸c˜ao linear invert´ıvel n˜ ao ´e suficiente para garantir a invertibilidade da transforma¸c˜ao. Dadas as transforma¸c˜oes lineares e B : R3 → R2 , B(x, y, z) = (x, y). A : R2 → R3 , A(x, y) = (x, y, 0), Verifique que B ◦ A = Id : R2 → R2 mas A ◦ B n˜ ao ´e a identidade do R3 . 2. Se A : R2 → R2 for invert´ıvel, calcule sua inversa. a) A(x, y) = (2x, y − x). b) A(x, y) = (2x − 4y, x + 2y). c) A(x, y) = (2x + 4y, x + 2y) d) A(x, y) = (x + y, x − y). 84 ˜ 5.5. TRANSFORMAC ¸ OES LINEARES INVERT´IVEIS 3. Se A : R3 → R3 , for invert´ıvel, calcule a sua inversa. a) A(x, y, z) = (x + y + z, 3x + 4y + 3z, 3x + 3y + 4z). b) A(x, y, z) = (2x + y + z, x + 2z, 3x + y + 2z). c) A(x, y, z) = (2x − 3y + 7z, x + 3z, 2y − z). d) A(x, y, z) = (x, x + y, x + y + z). e) A(x, y, z) = (z, x, y). 4. Calcule a adjunta c´ assica, o determinante e a inversa, se existir, da matriz.       2 0 5 2 10 3 1 −1 3 2 3 . [A] =  1 2 1  . [B] =  0 1 3  . [C] =  4 −3 1 3 0 0 2 5 1 6 5. Determine a inversa das seguintes matrizes.  −1 1 1 1 [A] =  −1 1  0 [D] =  1 1 2 1 0  1 1 . 2  1 1 . 3  2 [B] =  1 0  1 [E] =  1 1 1 0 −1  1 1 . 3 1 1 −1  1 2 . −1  0 [C] =  1 1  1 [F ] =  1 1 1 0 −1  1 1 . 3 1 1 −1  1 2 . 3 6. Calcule uma f´ ormula para a potˆencia k das matrizes e verifique que todas s˜ao invert´ıveis. Calcule a inversa da potˆencia k.       1 1 1 1 1 cos t −sent   [A] = . [B] = 0 1 1 . [C] = . 0 1 sent cos t 0 0 1 7. Se a transforma¸c˜ao linear A : Rn → Rn tem uma inversa `a esquerda, prove que A ´e invert´ıvel. 8. Assuma que β = {v1 , v2 } ´e uma base de R2 . Defina a aplica¸c˜ao A : R2 → R2 por A(x, y) = xv1 + yv2 . Prove que A ´e invert´ıvel. Respostas e sugest˜ oes Se¸ c˜ ao 5.1 1) a) N˜ ao. b) Sim. c) N˜ao. d Sim. 2) a) A(x, y, z) = (x + y + 2z, x − y + z). b) A(x, y, z) = (2x + z, −3x + y − z, x + 4z). c) A(x, y, z) = (x + z, x + 2y + z, 0, x + y + 2z). 3) a) A ´e injetiva, N uc(A) = {o}. b) N uc(A) = [[(1, −2)]]. c) N uc(A) = [[(−1, 1, 1)]]. 85 ˜ CAP´ITULO 5. TRANSFORMAC ¸ OES LINEARES 4) Defina a transforma¸c˜ao na base canˆonica como indicado e escreva em coordenadas. a) A(e1 ) = e1 , A(e2 ) = −e2 , A(x, y) = (x, −y). b) A(e1 ) = −e1 , A(e2 ) = e2 , A(x, y) = (−x, y). c) A(e1 ) = e2 , A(e2 ) = e1 , A(x, y) = (y, x). A(e2 ) = −e1 , A(x, y) = (y, −x). d) A(e1 ) = e2 , 5) Defina a transforma¸c˜ao na base canˆonica como indicado e escreva em coordenadas. A(e2 ) = v2 , A(e3 ) = v1 , a) A(e1 ) = v1 , A(x, y) = (x + y + z, 2x + y + z). A(e2 ) = v1 , b) A(e1 ) = v1 , A(x, y) = (0, 3x + 3y, −x − y). A(e2 ) = (0, 1, −3), A(e3 ) = o, c) A(e1 ) = (1, 0, −2), A(x, y, z) = (x, y, −2x − 3z). d) A(e1 ) = (1, 1), A(e2 ) = (1, 1), A(e3 ) = o, A(x, y) = (x + y, x + y). Os trˆes u ´ ltimos exemplos foram constru´ıdos calculando uma base para a imagem. 6) Vocˆe pode ter encontrado outras transforma¸c˜oes lineares. a) A(x, y, z) = (x − y + 2z, x − y + 2z) b) A(x, y, z) = (x, 2x, 3x) c) A(x, y, z) = (2x − y, 0) d) A(x, y, z) = (x + 3y + z, x − y, 2x − y) e) A(x, y, z) = (x + y, z) f ) A(x, y, z) = (z, x, y) 8) b) Por absurdo, suponha que a transforma¸c˜ao linear A seja sobrejetiva. Isto ´e, Im(A) = [[A(e1 ), A(e2 )]] = R3 . Sendo assim, o espa¸co vetorial R3 ´e gerado por dois vetores, uma contradi¸c˜ao. 9) A(x1 , x2 , ..., xn ) = (λ0 x1 , λ0 x2 , ..., λ0 xn ). Se¸ c˜ ao 5.2  1) a)    e)   6 0 2 0 0 0 0   1 −3 1 1 −1 1 . b)  2 −1 0 −1 −2 1  0 0 0 0 0  .  0 1 0 f ) 0  0 0 0 0  . c)   1 1 1 1 1 1   1 . d)  0 0  0 0 1 0 . 0 1 . 2) Vocˆe pode ter encontrados outras vetores para as bases. A(x, y) = (−2x + 4y, x + 2y, x + 2y), a) A : R2 → R3 , N uc(A) = [[2e1 − e2 ]], Im (A) = [[A(e1 )]]. b) A : R2 → R3 , N uc(A) = {o}, A(x, y) = (x − y, 2x − 2y, −x), Im (A) = [[A(e1 ), A(e2 )]]. c) A : R3 → R2 , N uc(A) = [[(3, 3, −3)]], A(x, y, z) = (x − y, x + 2y + 3z), Im (A) = [[A(e1 ), A(e2 )]] = R2 . Se¸ c˜ ao 5.3 86 ˜ 5.5. TRANSFORMAC ¸ OES LINEARES INVERT´IVEIS 1) Vocˆe pode ter encontrado outros vetores para a) Im(A) = [[A(e1 ), A(e2 ), A(e3 )]] = R3 , dim Im(A) = 3, b) Im(A) = [[A(e1 ), A(e2 )]], dim Im(A) = 2, c) Im(A) = [[A(e1 )]], dim Im(A) = 1, d) Im(A) = [[A(e1 ), A(e2 ), A(e3 )]], dim Im(A) = 3, e) Im(A) = [[A(e2 )]], dim Im(A) = 1, e) Im(A) = [[A(e1 )]], dim Im(A) = 1, as bases. N uc(A) = {o}, dim N uc(A) = 0. N uc(A) = {o}, dim N uc(A) = 0. N uc(A) = [[e1 − e2 , e1 − e3 ]], dim N uc(A) = 2. N uc(A) = {o}, dim N uc(A) = 0. N uc(A) = [[e1 , e2 + e3 ]], dim N uc(A) = 2. N uc(A) = [[e1 − e2 ]], dim N uc(A) = 1. 2) Vocˆe pode ter encontrado outros vetores para as bases. N uc(A) = [[4e1 − 2e3 ]], a) Im(A) = [[A(e1 ), A(e2 )]] = R2 , A(x, y, z) = (x + y + 2z, x − y + 2z). b) c) Im(A) = [[A(e1 ), A(e2 ), A(e3 )]] = R3 , A(x, y, z) = (2x + z, −3x + y − z, x + 4z). Im(A) = [[A(e1 ), A(e2 )]], A(x, y, z) = (x + z, x + y + 2z, 0, x + y + 2z). 3) Vocˆe pode ter encontrado outras transforma¸c˜oes. a) A(x, y, z) = (2x + y, −x, x + y). b) A(x, y, z) = (x + y − z, x + y − z, x + y − z). N uc(A) = {o}, N uc(A) = [[e1 − e2 ]], c) A(x, y, z) = (0, 0, x + y). 4) a) Suponha, por absurdo, que A seja sobrejetiva, isso ´e equivalente a dizer que Rn = Im(A) = [[A(e1 ), A(e2 ), ..., A(em )]]. Logo, o espa¸co Rn teria um conjunto de geradores com um n´ umero de vetores m < n. Uma contradi¸c˜ao. b) Suponha, por absurdo, que A seja injetiva, isso ´e equivalente a dizer que Rn = Im(A) = [[A(e1 ), A(e2 ), ..., A(em )]]. Logo, o espa¸co Rn teria uma base com um n´ umero de vetores m > n. Uma contradi¸c˜ao. 5) N˜ ao pode, caso contr´ ario, pelo teorema do n´ ucleo e da imagem ter´ıamos 11 = 2dim Im(A), mas 11 n˜ ao ´e par. Se¸ c˜ ao 5.4 1) Est˜ ao omitidos os c´alculos. a) (2A − B)(x, y) = (3x + y, −2y + 3x). B ◦ A(x, y) = (3x − y, x − y). B ◦ B(x, y) = (3x − y, x − y). A ◦ B(x, y) = (x − 2y, −x). A ◦ A(x, y) = (4x, −3x + y). b) (2A − B) n˜ ao existe. B ◦ A(x, y) = (2x + 2y, −2x + y, 6y). B ◦ B(x, y) = (x, y, 2x − 2y). A ◦ B(x, y) n˜ ao existe. A ◦ A(x, y) n˜ ao existe. c) (2A − B) = (3x + 5y, −2x + y). B ◦ A(x, y) = (3x + y, −x + y). B ◦ B(x, y) = (x − 2y, y). A ◦ B(x, y) = (2x, −x + 2y). A ◦ A(x, y) = (6y, −3x − y). 87 ˜ CAP´ITULO 5. TRANSFORMAC ¸ OES LINEARES 2) S´ o podemos efeturar a multiplica¸c˜ao na ordem [A] [B]. Portanto, o produto matricial corresponde `a matriz da composta A ◦ B onde A : R2 → R3 , A(x, y) = (x + y, −y, 3x) e B : R2 → R2 ´e definida por B(x, y) = (x + y, 2x). 3) A2 (x, y) = (0, 0) (identicamente nula), logo, Im (A) ⊂ N uc (A). Na verdade, nesse exemplo a imagem e o n´ ucleo s˜ao iguais. Se¸ c˜ ao 5.5 1) B ◦ A(x, y) = (x, y, 0) e A ◦ B(x, y, z) = (x, y, 0). ´ invert´ıvel quando det[A] = 0. 2) E a) A−1 (x, y) = ( 12 x, 12 x + y). b) A−1 (x, y) = (x − 2y, − 21 x + y). c) N˜ao ´e invert´ıvel. c) A−1 (x, y) = ( 12 x − 12 y, 12 x − 12 y). 3) Todas s˜ao invert´ıveis pois det[A] = 0. a) A−1 (x, y, z) = (7x − y − z, −3x + y, −3x + z). b) A−1 (x, y, z) = (−2x − y + 2z, 4x + y − 3z, x + y − z). c) A−1 (x, y, z) = (6x − 11y + 9z, −x + 2y − z, −2x + 4y − 3z). d) A−1 (x, y, z) = (x, −x + y, −y + z). e) A−1 (x, y, z) = (y, z, x). 5) Todas s˜ao invert´ıveis. [A]−1   1 3 −2  3 1 −2  . = −1 4 −2 −2 0 [B]−1  [C]−1  1 4 −1  −2 −1 1 . = −1 2 −1 1 −1   [D]−1  [E]−1  1 −4 1  −3 6 −1  . = −1 2 −1 2 −1  3 −6 1  −2 −1 1 . = −1 5 −1 2 −2   1 0 1 = 12  3 −2 −1  . −2 2 0 [F ]−1  5 −4 1 = 12  −1 2 −1  . −2 2 0 6) Todas s˜ao invert´ıveis e o determinante ´e 1, para qualquer k.       1 −k k(k−1) 2 1 −k cos kt sen kt . [B]−k =  0 . [A]−k = 1 −k . [C]−k = 0 1 −sen kt cos kt 0 0 1 88 Cap´ıtulo 6 Operadores lineares Uma transforma¸c˜ao linear cujo dom´ınio e contradom´ınio s˜ ao iguais, A : Rn → Rn , ´e chamada de operador linear. Esse cap´ıtulo ´e dedicado aos operadores lineares e tem como objetivo final apresentar o Teorema espectral, u ´ ltimo teorema de qualquer ´ livro texto introdut´ orio a` Algebra Linear. Antes, veremos como podemos contruir operadores lineares especificando seus valores numa base qualquer, e n˜ ao apenas na base canˆonica. 6.1 Construindo operadores lineares Para construir um operador linear A : Rn → Rn basta estabelecer os valores de A nos vetores da base canˆonica C = {e1 , e2 , ..., en }. Recapitulemos os procedimentos com um exemplo. Exemplo 6.1.1 Se desejarmos contruir um operador linear A : R3 → R3 tal que A(e1 ) = (1, 2, −1), A(e2 ) = (1, 0, 1) e A(e3 ) = (2, 2, 0) basta definir o operador linear pela matriz   1 1 2 [A] = [u, v, w] =  2 0 2  . −1 1 0 Observe que este operador linear n˜ ao ´e invert´ıvel pois det[A] = 0, isto significa que os vetores u = (1, 2, −1), v = (1, 0, 1) e w = (2, 2, 0) n˜ ao formam uma base de R3 . 2 Portanto o n´ ucleo de A n˜ ao ´e trivial, nem a imagem de A ´e o R3 . Podemos ir um pouco mais longe com a constru¸c˜ao. Coloquemos a quest˜ao. ˜o Construir um operador linear C : R3 → R3 que aplica uma base Questa ordenada α = {u, v, w} num conjunto ordenado β = {u
, v
, v
}. ˜o Basta seguir os seguintes procedimentos. Soluc ¸a 89 CAP´ITULO 6. OPERADORES LINEARES 1o Constru´ımos um operador linear A que aplica a base canˆonica C = {e1 , e2 , e3 } na base α = {u, v, w}. Nesse caso, como sabemos, a matriz ´e [A] = [u, v, w]. 2o Constru´ımos um operador linear B que aplica a base canˆonica C = {e1 , e2 , e3 } no conjunto ordenado β = {u
, v
, v
}. Nesse caso, a matriz ´e [B] = [u
, v
, v
]. onica ´e [C] = [B][A]−1 . 3o Consideramos o operador linear cuja matriz na base canˆ Exemplo 6.1.2 O conjunto de vetores em R3 , {u, v, w}, onde u = (0, 1, 1), v = (1, 0, −1), w = (2, 1, 0), R3 ´e uma base de pois det[u, v, w] = 0. Contruiremos um operador linear C : R3 → R3 que aplica essa base, na ordem apresentada, no conjunto ordenado de trˆes vetores {u
, v
, w
}, onde u
= (2, 0, −1), v
= (1, 2, −1), w
= (2, 1, 2). O operador linear A : R3 → R3 que aplica e1 , e2 e e3 nos vetores u, v e w ´e invert´ıvel e sua matriz e de sua inversa s˜ao, respectivamente,     −1 2 −1 0 1 2 2 −2  . [A] =  1 0 1 , [A]−1 =  −1 1 −1 1 1 −1 0 O operador linear B : R3 → R3 que aplica e1 , e2 e e3 em u
, v
e w
tem matriz   2 1 2 [B] =  0 2 1 . −1 −1 2 Logo, o operador linear C : R3 → R3 ´e definido pela matriz [C] = [B][A]−1 . Um c´alculo simples mostra que      2 1 2 −1 2 −1 −1 4 −2 2 1   −1 2 −2  =  −1 3 −3  . [C] = [B][A]−1 =  0 −1 −1 2 1 −1 1 4 −6 5 Deixaremos para o leitor verificar que o operador linear C(x, y, z) = (−x + 4y − 2z, −x + 3y − 3z, 4x − 6y + 5z) de fato aplica os vetores como pedido, C(u) = u
, C(v) = v
e C(w) = w
. 2 Exemplo 6.1.3 Os mesmos procedimentos s˜ao seguidos para construir operadores lineares em qualquer espa¸co Rn . Vejamos um exemplo quando desejamos construir um operador A : R2 → R2 tal que Exerc´ıcios propostos 6.1.1 90 6.2. AUTOVALOR E AUTOVETOR 1. Construa um operador linear A : R2 → R2 que assume os seguintes valores. (a) C(1, 1) = (−1, 1) e C(−1, 1) = (−1, −1). (b) C(3, 1) = (2, 1) e C(3, 2) = (2, 1); (c) C(−2, 1) = (1, 1) e C(1, 1) = (1, −1). 2. Construa um operador linear A : R3 → R3 que assume os seguintes valores. (a) C(1, 1, 1) = (−1, 1, 0), C(−1, 0, 1) = (−1, −1, 2) e C(0, 2, 0) = (0, 0, 0). (b) C(1, 1, 1) = (1, 1, 1), C(1, 0, 1) = (1, 0, 1) e C(0, 0, 1) = (0, 0, 1). (c) C(1, −2, 0) = (1, 1, 0), C(−1, 0, 1) = (1, 1, 2) e C(0, 2, 1) = (1, 0, 0). 6.2 Autovalor e Autovetor Nesta se¸c˜ao responderemos `a seguinte pergunta. Dado um operador linear A : Rn → Rn . Existe um vetor n˜ ao nulo v ∈ Rn e um escalar λ ∈ R tal que A(v) = λv? Antes de tudo, fixemos alguns termos. Quando existe um vetor n˜ ao nulo v ∈ Rn e existe um escalar λ ∈ R tais que A(v) = λv, diremos que o vetor v ´e um autovetor de A associado ao autovalor λ.1 Exemplo 6.2.1 Considere o operador linear A : R2 → R2 , A(x, y) = (3x − 2y, 4y). O vetor v = (1, 0) ´e um autovetor associado ao autovalor λ1 = 3 pois A(v) = A(1, 0) = (3, 0) = 3(1, 0) = 3A(v). O vetor w = (−2, 1) ´e autovetor associado ao autovalor λ2 = 4 pois A(w) = A(−2, 1) = (−8, 4) = 4(−2, 1) = 4A(w). O leitor pode verificar que qualquer m´ ultiplo de v ´e um autovetor associado ao ultiplo de w ´e um autovetor associado ao autovalor λ1 = 3, bem como, qualquer m´ autovalor λ = 2. 2 Mas como conseguimos determinar os autovetores e autovalores no exemplo acima? Existe um procedimento padr˜ ao aplicado a qualquer operador linear A : n n R → R para calcular seus autovalores e seus autovetores associados. Consideramos o operador identidade Id : Rn → Rn e fazemos uma pergunta equivalente aquela feita no in´ıcio da se¸c˜ao. ` Existe um escalar λ tal que o n´ ucleo de λId − A : Rn → Rn ´e n˜ ao trivial? 1 Em alguns livros encontramos a terminologia valor pr´ oprio e vetor pr´ oprio 91 CAP´ITULO 6. OPERADORES LINEARES De fato, se o n´ ucleo de λId − A ´e n˜ ao tivial, existe um vetor n˜ao nulo v pertencente ao n´ ucleo tal que λId(v)−A(v) = 0, de onde conclu´ımos que A(v) = λv. A rec´ıproca tem verifica¸c˜ao imediata. Nesta altura da teoria, temos condi¸c˜oes de responder `a u ´ltima pergunta. Existir´ a um escalar λ se, e somente se, λId − A ´e um operador n˜ ao invert´ıvel! Em outras palavras, podemos responder da seguinte forma: Existir´ a um escalar λ se, e somente se, det[λId − A] = 0! Para continuar, fixemos mais duas terminologias. a) O n´ ucleo do operador linear λId − A : Rn → Rn , ´e chamado de autoespa¸co associado a λ, e iremos registr´a-lo como Vλ = {v ∈ Rn ; A(v) = λv}. b) O polinˆ omio de grau n, p(λ) = det[λId − A], ´e chamado de polinˆ omio caracter´ıstico de A. Fixados os termos, reescrevamos a resposta da seguinte forma: Existir´ a um vetor n˜ ao nulo v ∈ Rn tal que A(v) = λv se, e somente se, λ for uma raiz real do polinˆ omio caracter´ıstico de A! Exemplo 6.2.2 Seja A : R2 → R2 , A(x, y) = (4x + 12y, 12x − 3y). Para o c´ alculo dos autovetores e autovalores seguimos o seguinte roteiro. 1o Consideramos a identidade Id : R2 → R2 e contru´ımos as matrizes       4 12 1 0 λ − 4 −12 [A] = , [Id] = , [λ Id − A] = . 12 −3 0 1 −12 λ + 3 2o Calculamos o polinˆomio caracter´ıstico   λ − 4 −12 p(λ) = det[λId − A] = det = λ2 − λ − 156. −12 λ + 3 omio caracter´ıstico que s˜ao os autovalores de A. 3o Calculamos as ra´ızes do polinˆ p(λ) = 0 se, e somente se, λ1 = −12 e λ2 = 13. 4o Calculamos os autovetores associados ao autovalor λ1 = −12. Desejamos determinar vetores v = (x, y) tais que λ1 (x, y)−A(x, y) = (0, 0). Essa equa¸c˜ao vetorial d´ a origem a um sistema de equa¸c˜oes lineares, a saber,  16x + 12y = 0 12x + 9y = 0 ´ imediato concluir que o vetor procurado ´e do tipo v = (x, − 4 x). O autoE 3 espa¸co associado ´e descrito por 92 6.2. AUTOVALOR E AUTOVETOR Vλ1 = {(x, y) ∈ R2 ; 4x + 3y = 0} = [[(−3, 4)]]. 5o Calculamos os autovetores associados ao autovalor λ2 = 13. Desejamos detera minar vetores v = (x, y) tais que A(x, y) = λ2 (x, y). Essa equa¸c˜ao vetorial d´ origem a um sistema de equa¸c˜oes lineares, a saber,  9x − 12y = 0 −12x + 16y = 0 Logo, o autoespa¸co associado ´e o subespa¸co Vλ1 = {(x, y) ∈ R2 ; 3x − 4y = 0} = [[(4, 3)]]. 2 Exerc´ıcio 6.2.1 O operador linear A : R2 → R2 , A(x, y) = (x, x + y) tem apenas ao um autovalor com repeti¸c˜ao dois, λ1 = λ2 = 1 e um autoespa¸co Vλ1 de dimens˜ um. Verifique a afirma¸c˜ao. 2 Recordando que, sendo Vλ um subespa¸co, podemos encontrar uma base ordenada de autovetores, isto ´e, podemos escrever Vλ = [[v1 , v2 , ..., vk ]], onde A(vi ) = λvi e αλ = {v1 , v2 , ...vk } ´e uma base ordenada para o subespa¸co. ´ o Exemplo 6.2.3 Pode ocorrer que um operador linear n˜ ao tenha autovetores. E 2 2 caso do operador A : R → R , A(x, y) = (−y, x). Observe que A transforma um vetor n˜ ao nulo em um vetor perpendicular a ele, portanto a imagem nunca pode ser colinear com o vetor. Este fato ´e detetado algebricamente com o polinˆ omio caracter´ıstico,   λ − 0 −1 det[λId − A] = det = λ2 + 1. 1 λ0 Como o polinˆ omio caracter´ıstico n˜ao tem raiz real, o n´ ucleo do operador linear 2 2 2 λId − A : R → R ´e trivial, qualquer que seja o escalar λ. Sendo o polinˆ omio caracter´ıstico de um operador linear A : Rn → Rn um polinˆ omio com grau n, pode ocorrer que suas ra´ızes reais sejam distintas ou n˜ao. Portanto, contada as repeti¸c˜oes, pode ocorrer um n´ umero de autovalores entre 0 e n, inclusive. Exerc´ıcio 6.2.2 Defimos o tra¸co de uma matriz quadrada como a soma das entradas da diagonal principal. Se a matriz ´e 2 × 2,   a b [A] = , c d temos que tr [A] = a + d. 93 CAP´ITULO 6. OPERADORES LINEARES 1. Mostre que o polinˆ omio caracter´ıstico de uma matriz 2 × 2 ´e p(λ) = λ2 − tr[A]λ + det[A]. omio 2. Seja [A] uma matriz 3 × 3. Mostre que o coeficiente do termo λ2 do polinˆ caracter´ıstico de [A] ´e −tr[A] enquanto que o termo independente ´e − det[A]. 2 Exemplo 6.2.4 Seja A : R3 → R3 , A(x, y, ) = (x+ 2y, y, x+ y + 2z). Para o c´ alculo dos autovetores e autovalores seguimos o seguinte roteiro. 1o Consideramos a identidade Id : R3 → R3 e contru´ımos as matrizes  1 [A] =  0 1   2 0 1 1 0  , [Id] =  0 1 2 0 0 1 0   0 λ−1 0  , [λ Id − A] =  0 1 −1  −2 0 λ−1 0 . −1 λ − 2 2o Calculamos o polinˆomio caracter´ıstico   λ − 1 −2 0 p(λ) = det[λId − A] = det  0 λ−1 0  = λ3 − 4λ2 + 5λ + 2. −1 −1 λ − 2 omio caracter´ıstico que s˜ao os autovalores de A. 3o Calculamos as ra´ızes do polinˆ Como p(λ) = (λ − 2)(λ − 1)(λ − 1), os autovalores s˜ao λ1 = 2 e λ2 = 1 = λ3 . 4o Calculamos os autovetores associados ao autovalor λ1 = 2. Desejamos determinar vetores v = (x, y, z) tais que λ1 (x, y, z) − A(x, y, z) = (0, 0, 0). Essa equa¸c˜ao vetorial d´ a origem a um sistema de equa¸c˜oes lineares, a saber,  = 0  x − 2y y = 0  −x − y = 0 ´ imediato concluir que o vetor procurado ´e do tipo v = (0, 0, z). O autoespa¸co E associado ´e descrito por Vλ1 = {(x, y, z) ∈ R2 ; x = 0, e y = 0} = [[(0, 0, 1)]]. 5o Calculamos os autovetores associados ao autovalor λ2 = 1. Desejamos determinar vetores v = (x, y, z) tais que A(x, y, z) = λ2 (x, y, z). Essa equa¸c˜ao vetorial d´ a origem a um sistema de equa¸c˜oes lineares, a saber,  − 2y = 0  0= 0  −x − y − z = 0 Logo, o autoespa¸co associado ´e o subespa¸co Vλ2 = {(x, y, z) ∈ R2 ; x + z = 0} = [[(1, 1, 0) (0, 1, 1)]]. 94 2 6.2. AUTOVALOR E AUTOVETOR Lema 6.2.1 Sejam A : Rn → Rn um operador linear e β = {v1 , v2 , ..., vk } um conjunto formado por autovetores de A associados aos autovalores λ1 , λ2 , ..., λk , respectivamente. Se os autovalores s˜ ao distintos dois a dois ent˜ ao β ´e um conjunto linearmente independente. Prova Assuma, por absurdo, que o conjunto de autovetores ´e linearmente dependente. Seja vi+1 o primeiro autovetor que ´e uma combina¸c˜ao linear dos anteriores, vi+1 = a1 v1 + a2 v2 + · · · + ai vi . ao ´e nulo pois vi+1 n˜ ao ´e o vetor nulo. A menos de Recordamos que algum escalar ai n˜ uma reordena¸c˜ao dos i primeiros elementos do conjunto β podemos supor que ai = 0. Avaliando o operador linear A em cada membro da igualdade e multiplicando ambos os membros da igualdade por λi+1 obtemos duas outras igualdades, λi+1 vi+1 = λ1 a1 v1 + λ2 a2 v2 + · · · + λi ai vi , λi+1 vi+1 = λi+1 a1 v1 + λi+1 a2 v2 + · · · + λi+1 ai vi . Subtraindo chegamos a` combina¸c˜ao linear 0 = (λi+1 − λ1 )a1 v1 + (λi+1 − λ2 )a2 v2 + · · · + (λi+1 − λi )ai vi . Por hip´ otese os autovalores s˜ao distintos dois a dois, λi+1 − λj = 0, garantimos que vi ´e uma combina¸c˜ao linear dos anteriores, a saber, vi = λi+1 − λ1 λi+1 − λ2 λi+1 − λi−1 a1 v1 + a2 v2 + · · · + ai−1 vi−1 . λi+1 − λi λi+1 − λi λi+1 − λi ao linearmente indepenIsto contradiz a escolha de vi+1 . Portanto, os autovetores s˜ dentes. 2 ao Exerc´ıcio 6.2.3 Mostre que se um operador linear A : Rn → Rn ´e invert´ıvel ent˜ 1. todos autovalores s˜ao diferentes de zero e 2. os autovalores da inversa A−1 s˜ao os inversos dos autovalores de A. Exerc´ıcios propostos 6.2.1 1. Verifique se o vetor v ´e autovetor do operador A : R3 → R3 onde a) A(x, y, z) = (x + y + z, 2y + z, 2y + 3z) e v = (1, 1, 2); b) A(x, y, z) = (−2x + 3y − z, y − z, x + 2y − 2z) e v = (−2, 1, 3). 2. Determine os autoespa¸cos do operador linear A : R2 → R2 quando a) A(x, y) = (−3x + 4y, −x + 2y); b) A(x, y) = (4x + 5y, 2x + y); c) A(x, y) = (2x + 2y, x + y); d) A(x, y) = (2x − 4y, x − 2y); e) A(x, y) = (x, x + y); f ) A(x, y) = (x − y, x + y). 95 2 CAP´ITULO 6. OPERADORES LINEARES 3. Determine os autoespa¸cos do operador linear A : R3 → R3 quando a) A(x, y, z) = (3x + y − z, x + 3y − z, −x − y + 5z); b) A(x, y, z) = (x + y + z, 2y + z, 2y + 3z); c) A(x, y, z) = (2z, −y, 2x); d) A(x, y, z) = (3x − y − 3z, 2y − 3z, −z); e) A(x, y, z) = (x, −2x − y, 2x + y + 2z). f) A(x, y, z) = (2x + 2z, −2y, −2x + 2z). g) A(x, y, z) = (x − y, 2x + 2y + 2z, x + y + z). h) A(x, y, z) = (x, x + y − 2z, y − z). i) A(x, y, z) = (3x + 3y − 2z, −y, 8x + 6y − 5z). 4. Mostre que um operador linear A : R3 → R3 sempre possui pelo menos um autovalor. 5. Um operador linear A : Rn → Rn n˜ ao ´e invert´ıvel se, e somente se, λ = 0 ´e raiz do polinˆ omio caracter´ıstico de [A]. Mostre a afirma¸c˜ao. 6.3 Teorema espectral Existe uma classe de operadores lineares A : Rn → Rn cujo polinˆ omio caracter´ıstico possui todas as ra´ızes reais. Para descrevˆe-los, necessitamos do produto interno. Para cada operador linear A : Rn → Rn , desejamos construir um outro operador linear, chamado de operador transposto de A, denotado por At : Rn → Rn , que possua a popriedade v, A(w) = At (v), w, para quaisquer v, w ∈ Rn . Para identificar matricalmente o operador linear At , observamos que as entradas da matriz [A] = [aji ] s˜ao determinadas por aji = ej , A(ei ). Logo, as entradas bji da matriz [At ] devem ser bji = ej , At (ei ) = At (ei ), ej  = ei , A(ej ) = aij . Portanto, a matriz do operador transposto de A ´e a transposta da matriz de A, notacionalmente registramos esta afirma¸c˜ao como [At ] = [A]t . Como existe uma correspondˆencia biun´ıvoca entre operadores lineares em Rn e matrizes n×n, tamb´em mostramos que o operador transposto de A ´e u ´nico. Exemplo 6.3.1 Seja A : R2 → R2 o operador linear A(x, y) = (x − 4y, −2x + y). Para determinar um operador linear At : R2 → R2 tal que v, A(w) = At (v), w para quaisquer vetores v, w ∈ R2 ´e suficiente considerar a matriz de A e sua transposta, ou seja, 96 6.3. TEOREMA ESPECTRAL  [A] = 1 −4 −2 1   , [A]t = 1 −2 −4 1  , e definir At (x, y) = (x − 2y, −4x + y). 2 Defini¸ c˜ ao 6.3.1 Diz-se que um operador linear A : Rn → Rn ´e sim´etrico se v, A(w) = A(v), w para quaisquer dois vetores v, w ∈ Rn . Segue dos coment´arios acima que se A ´e sim´etrico se, e somente se, sua matriz [A] ´e sim´etrica, [A] = [A]t . Exemplo 6.3.2 Seja A : R3 → R3 , o operador linear A(x, y, z) = (7x − 2y, −2x + 6y − 2z, −2y + 5z). Para verificar que v, A(w) = A(v), w para quaisquer vetores v, w ∈ R3 ´e suficiente examinar a matriz   7 −2 0 [A] =  −2 6 −2  = [A]t . 0 −2 5 Como a matriz ´e simetrica (em rela¸c˜ao a` diagonal principal), o operador linear ´e sim´etrico. 2 Na u ´ltima se¸c˜ao, tomamos conhecimento que autovetores associados a autovalores distintos s˜ ao linearmente independentes. Quando o operador ´e sim´etrico podemos afirmar mais. Lema 6.3.1 Sejam A : Rn → Rn um operador linear sim´etrico e β = {v1 , v2 , ..., vk } um conjunto formado por autovetores de A associados aos autovalores λ1 , λ2 , ..., λk , respectivamente. Se os autovalores s˜ ao distintos dois a dois ent˜ ao os vetores de β s˜ ao ortogonais dois a dois. Prova Seja i = j. Observe a seguinte seq¨ uˆencia de igualdades, λi ui , uj  = λi ui , uj  = A(ui ), uj  = ui , A(uj ) = ui , λj uj  = λj ui , uj . Portanto, (λi − λj )ui , uj  = 0. Como λi = λj segue que ui , uj  = 0. 2 Teorema 6.3.1 (Teorema espectral em R2 ) Se o operador linear A : R2 → R2 ´e sim´etrico ent˜ ao a) o polinˆ omio caracter´ıstico do operador linear, p(t) = det[tId − A], possui 2 ra´ızes reais, contando as repeti¸c˜ oes, {λ1 , λ2 }; b) existe uma base ortonormal de R2 formada por autovetores, β = {u1 , u2 }, onde A(ui ) = λi ui . 97 CAP´ITULO 6. OPERADORES LINEARES Prova Como o operador linear ´e sim´etrico, ent˜ ao A(x, y) = (ax + by, bx + cy) pois sua matriz na base canˆonica ´e sim´etrica,   a b [A] = . b c Calculando o polinˆ omio caracter´ıstico de [A] obtemos   λ − a −b p(t) = det[λId − A] = = λ2 − (a + c)λ + (ac − b2 ). −b λ − c Como o discriminante do polinˆomio caracter´ıstico p(λ), de uma matriz sim´etrica 2 × 2 n˜ ao ´e negativo, ∆ = (−a − c)2 − 4(ac − b2 ) = (a − c)2 + 4b2 ≥ 0, p(t) admite duas ra´ızes reais, que ser˜ao distintas se, e somente se, ∆ > 0, e ter´a uma raiz com repeti¸c˜ao 2 se, e somente se, ∆ = 0. Examinemos os dois casos. 1o Quando ∆ = 0, significa que a = c e b = 0. Logo, a matriz [A] ´e uma matriz diagonal, a saber   a 0 [A] = . 0 a Sendo assim A(x, y) = (ax, ay) = a(x, y). Isto significa que qualquer vetor de R2 ´e um autovetor associado ao autovalor λ = a, seguindo nossa nota¸c˜ao arios escrevemos R2 = Vλ . Portanto, escolhidos quaisquer dois vetores unit´ mutuamente ortogonais, β = {u1 , u2 } formamos uma base ortonormal para o arios. R2 com autovetores unit´ 2o Quando ∆ > 0 teremos dois autovalores distintos, digamos λ1 e λ2 . Sejam arios associados aos autovalores λ1 e λ2 , respecu1 e u2 dois autovetores unit´ tivamente. Como vimos na u ´ltima se¸c˜ao o conjunto β = {u1 , u2 } ⊂ R2 ´e linearmente independente, portanto, β ´e uma base ortonormal. 2 A existˆencia de uma base ortonormal de autovetores de um operador linear ´ sim´etrico ´e um dos importantes teoremas de Algebra Linear e ´e um resultado v´ alido em qualquer dimens˜ao. Deixaremos o enunciado do teorema mas sem a demonstra¸c˜ao pois a argumenta¸c˜ao utilizada, quando o operador linear sim´etrico ´e em Rn , n > 2, foge do material apresentado neste texto. Teorema 6.3.2 (Teorema espectral) Se o operador linear A : Rn → Rn ´e sim´etrico ent˜ ao a) o polinˆ omio caracter´ıstico do operador linear, p(t) = det[tId − A], possui n ra´ızes reais, contando as repeti¸c˜ oes, {λ1 , λ2 , ..., λn }; 98 6.3. TEOREMA ESPECTRAL b) existe uma base ortonormal de Rn formada por autovetores, β = {u1 , u2 , ..., un }, onde A(ui ) = λi ui . Exemplo 6.3.3 Considere a matriz sim´etrica  1 −1 [A] =  −1 1 1 1 [A],  1 1 . 2 Como a matriz ´e sim´etrica o operador linear que ela define em R3 ´e sim´etrico. Pelo Teorema Espectral, podemos garantir que A possui trˆes autovalores reais e podemos determinar trˆes autovetores associados, um para cada autovalor, que s˜ao ortogonais dois a dois. Se calcularmos as ra´ızes do polinˆ omio caracter´ıstico de A, pA (t) = det [tId − A] obtemos os autovalores √ √ λ2 = 1 + 3 > 0, λ3 = 1 − 3 < 0. λ1 = 2 > 0, Observe que a matriz [A] ´e n˜ ao singular, isto ´e equivalente a dizer que det [A] = 0, de fato vale a propriedade det[A] = λ1 λ2 λ3 . Com um pouco de esfor¸co o leitor pode determinar os seguintes autovetores associados, √ √ √ √ v2 = (−1+ 3, −1+ 3, 1), v3 = (−1− 3, −1− 3, 1). v1 = (−1, 1, 0), Verifique que eles s˜ao dois a dois ortogonais. 2 Um operador linear sim´etrico A : Rn → Rn , ´e dito ser positivo quando v, A(v) > 0, qualquer que seja o vetor n˜ ao nulo v ∈ Rn . Exerc´ıcio 6.3.1 Mostre que um operador linear sim´etrico ´e positivo se, e somente se, todos os seus autovalores s˜ao positivos. Sugest˜ ao Seja β = {u1 , u2 , ..., u3 } uma base ortonormal de autovetores, relemao nulo v como combina¸c˜ao brando, ui , uj  = δij e A(ui ) = λi ui . Escreva um vetor n˜ linear dos vetores da base e fa¸ca a avalia¸c˜ao v, A(v) > 0. Definimos um operador linear sim´etrico negativo de forma an´ aloga e conclu´ımos que todos os autovalores s˜ao negativos. Exerc´ıcios propostos 6.3.1 1. Dado o operador linear A : R3 → R3 , calcule o operador transposto. a) A(x, y, z) = (x + y − z, 2x − 2y + z, x − y). b) A(x, y, z) = (x + 2y + 4z, 2x + 3y − z, 4x − y − 2z). 99 CAP´ITULO 6. OPERADORES LINEARES 2. Verifique que o operador linear A : R3 → R3 ´e sim´etricos e determine uma base de autovetores. a) A(x, y) = (10x + 6y, 6x + 10y). b) A(x, y) = (4x + 4y, 4x + 10y) c) A(x, y) = (6x − 2y, −2x + 6y). d) A(x, y) = (5x + 3y, 3x + 5y) 3. Verifique que o operador linear A : R3 → R3 ´e sim´etrico e determine uma base de autovetores. a) A(x, y, z) = (2z, −y, 2x). c) A(x, y, z) = (x + 3y, 3x + 9y, 0). b) A(x, y, z) = (x + z, −y, x + z). d) A(x, y, z) = (−7x, −7y, 2z). 4. Construa um operador linear sim´etrico A : R2 → R2 , tal que a) A(−1, 2) = (2, −4) e A(2, 1) = (6, 3). b) A(3, 1) = (0, 0) e A(−1, 3) = (1, −3). c) A(1, 2) = (2, 4) e que possua λ = −1 como autovalor. 5. Determine os autovalores e autovetores da Id : R3 → R3 . Respostas e sugest˜ oes Se¸ c˜ ao 6.1 1) O operador C(x, y) ´e a composta B ◦ A−1 (x, y). a) C(x, y) = (−y, x), B(x, y) = (−x − y, x + y), A−1 (x, y) = 12 (x + y, −x + y). b) C(x, y) = 13 (2x, x), B(x, y) = (2x + 2y, x + y), A−1 (x, y) = 13 (2x − y, −x + 3y). c) C(x, y) = 13 (3y, −2x − y), B(x, y) = (x + y, x − y), A−1 (x, y) = 13 (−x + y, x + 2y). 2) O operador C(x, y, z) ´e a composta B ◦ A−1 (x, y, z). a) C(x, y, z) = (−z, x, − 21 x − 32 z), B(x, y, z) = (−x − y, x − y, x + 2y, 0), A−1 (x, y, z) = 14 (2x + 2z, −x + 2z, −x + 2y − z). b) C(x, y, z) = (x, y, z), B(x, y, z) = (x + y, x, x + y + z), A−1 (x, y, z) = (y, x − y, −x + z). c) C(x, y, z) = 14 (2x − y + 6z, −2y + 4z, −4x − 2y + 4z), B(x, y, z) = (x + y + z, x + y, 2y), A−1 (x, y, z) = 14 (2x − y + 2z, −2x − y + 2z, 2x + y + 2z). Se¸ c˜ ao 6.2 ´ suficiente fazer a avalia¸c˜ao. 1) E a) A(v) = 4v, 100 b) A(v) = −2v. 6.3. TEOREMA ESPECTRAL 2) Apresentamos o polinˆ omio caracter´ıstico decomposto em produtos de parcelas indecompon´ıveis, os autovalores e autoespa¸cos associados com uma base, respectivamente. a) p(λ) = (λ − 1)(λ + 2), λ1 = 1, λ2 = −2. Vλ1 = {(x, y) ∈ R2 ; x − y = 0} = [[(1, 1)]], Vλ2 = {(x, y) ∈ R2 ; x − 4y = 0} = [[(4, 1)]]. b) p(λ) = (λ − 6)(λ + 1), λ1 = 6, λ2 = −1. Vλ1 = {(x, y) ∈ R2 ; 2x − 5y = 0} = [[(5, 2)]], Vλ2 = {(x, y) ∈ R2 ; −x − y = 0} = [[(1, 1)]]. c) p(λ) = (λ − 0)(λ − 3), λ1 = 0, λ2 = 3. Vλ1 = {(x, y) ∈ R2 ; −x − y = 0} = [[(−1, 1)]], Vλ2 = {(x, y) ∈ R2 ; x − 2y = 0} = [[(2, 1)]]. d) p(λ) = (λ − 0)(λ − 0), λ1 = 0 = λ2 . Vλ1 = {(x, y) ∈ R2 ; x − 2y = 0} = [[(2, 1)]], e) p(λ) = (λ − 1)(λ − 1), λ1 = 1 = λ2 . Vλ1 = {(x, y) ∈ R2 ; x = 0} = [[(0, 1)]], f) p(λ) = λ2 − 2λ + 2, n˜ ao tem autovalor. 3) Apresentamos o polinˆ omio caracter´ıstico decomposto em produtos de parcelas indecompon´ıveis, os autovalores e autoespa¸cos associados com uma base, respectivamente. a) p(λ) = (λ − 2)(λ − 3)(λ − 6), λ1 = 2, λ2 = 3, λ3 = 6. Vλ1 = {(x, y, z) ∈ R3 ; x + y − z = 0 e x + y − 3z = 0} = [[(1, −1, 0)]], Vλ2 = {(x, y, z) ∈ R3 ; x − z = 0 e y − z = 0} = [[(1, 1, 1)]]. Vλ3 = {(x, y, z) ∈ R3 ; 3x − y + z = 0 e x − 3y − z = 0} = [[(1, 1, −2)]]. b) p(λ) = (λ − 1)(λ − 1)(λ − 4), λ1 = 1 = λ2 , λ3 = 4. Vλ1 = {(x, y, z) ∈ R3 ; y + z = 0} = [[(1, 0, 0) (0, 1, −1)]], Vλ3 = {(x, y, z) ∈ R3 ; 3x − y + z = 0 e 2y − z = 0} = [[(1, 1, 2)]]. c) p(λ) = (λ + 1)(λ − 2)(λ + 2), λ1 = −1, λ2 = −2, λ3 = 2. Vλ1 = {(x, y, z) ∈ R3 ; x + 2z = 0 e 2x + z = 0} = [[(0, 1, 0)]], Vλ2 = {(x, y, z) ∈ R3 ; y = 0 e x − z = 0} = [[(1, 0, 1)]], Vλ3 = {(x, y, z) ∈ R3 ; y = 0 e x + z = 0} = [[(1, 0, −1)]]. d) p(λ) = (λ − 3)(λ − 2)(λ + 1), λ1 = −3, λ2 = 2, λ3 = 1. Vλ1 = {(x, y, z) ∈ R3 ; y + 3z = 0 e z = 0} = [[(1, 0, 0)]], Vλ2 = {(x, y, z) ∈ R3 ; z = 0 e y + 3z = 0} = [[(1, 1, 0)]], Vλ3 = {(x, y, z) ∈ R3 ; −4x + y + 3z = 0 e − 3y + 3z = 0} = [[(1, 1, 1)]]. e) p(λ) = (λ − 1)(λ + 1)(λ − 2), λ1 = 1, λ2 = −1, λ3 = 2. Vλ1 = {(x, y, z) ∈ R3 ; 2x + 2y = 0 e − 2x − y − z = 0} = [[(1, −1, 1)]], Vλ2 = {(x, y, z) ∈ R3 ; x = 0 e 2x + y + 3z = 0} = [[(0, −3, 1)]], Vλ3 = {(x, y, z) ∈ R3 ; x = 0 e 2x + 3y = 0} = [[(0, 0, 1)]]. f) p(λ) = (λ + 2)(λ2 + 2λ + 2), λ1 = −2. Vλ1 = {(x, y, z) ∈ R3 ; −4x − 2z = 0 e 2x − 4z = 0} = [[(0, 1, 0)]], g) p(λ) = (λ − 0)(λ2 − 4λ + 5), λ1 = 0. Vλ1 = {(x, y, z) ∈ R3 ; −x + y = 0 e − x − y − z = 0} = [[(1, 1, −2)]], 101 CAP´ITULO 6. OPERADORES LINEARES h) p(λ) = (λ − 1)(λ2 + 1), λ1 = 1. Vλ1 = {(x, y, z) ∈ R3 ; −x + 2y = 0 e − y + 2z = 0} = [[(4, 2, 1)]], i) p(λ) = (λ + 1)(λ + 1)(λ + 1), λ1 = λ2 = λ3 = 1. Vλ1 = {(x, y, z) ∈ R3 ; −4x − 3y + 2z = 0} = [[(1, 0, 2) (0, 1, 3/2)]], 4) O polinˆ omio caracter´ıstico de um operador linear em R3 tem grau 3. Todo polinˆ omio de grau ´ımpar com coeficientes reais tem pelo menos uma raiz real, e a raiz do polinˆ omio caracter´ıstico ´e um autovalor. O resultado ´e o mesmo para qualquer operador linear num espa¸co R2k+1 (dimens˜ao ´ımpar). 5) Se o operador A n˜ ao for invert´ıvel, ele n˜ao ´e injetor, logo, seu n´ ucleo ´e n˜ao trivial. Logo, existe um vetor n˜ ao nulo v ∈ N uc(A) tal que A(v) = o. Isso significa que v ´e um autovetor associado ao autovalor λ = 0. Reciprocamente, se λ = 0 ´e um autovalor, ent˜ ao existe um autovetor associado a esse autovalor, digamos que seja o vetor n˜ ao nulo v. Sendo assim, A(v) = o. Portanto, o n´ ucleo de A ´e n˜ ao trival, implicando que A ´e n˜ao invert´ıvel. Se¸ c˜ ao 6.3 1) Devemos considerar a matriz [A], construir a matriz transposta, [A]t e recuperar o operador transposto. a) At (x, y, z) = (x + 2y + z, x − 2y − z, −x + y). b) At (x, y, z) = (x + 2y + 4z, 2x + 3y − z, 4x − y − 2z) 2) Cada operador linear ´e sim´etrico pois sua matriz ´e sim´etrica, [A]t = [A]. Pelo Teorema espectral podemos determinar uma base de R2 formada por autovetores. Para cada operador apresentamos o polinˆ omio caracter´ıstico decomposto em fatores lineares e a base de R2 formada pelos autovetores correspondente aos autovalores. √ , √1 )} a) p(λ) = (λ − 16)(λ − 4), β = {( √12 , √12 ), ( −1 2 2 b) p(λ) = (λ − 12)(λ − 2), −2 ), ( √25 , √15 )} β = {( √15 , √ 5 c) p(λ) = (λ − 8)(λ − 4), √ , √1 )} β = {( √12 , √12 ), ( −1 2 2 d) p(λ) = (λ − 0)(λ − 10), , √310 ), ( √−3 , √−1 )} β = {( √−1 10 10 10 2) Cada operador linear ´e sim´etrico. Para cada operador apresentamos o polinˆ omio caracter´ıstico decomposto em fatores lineares e a base de R3 formada pelos autovetores correspondente aos autovalores. √ , 0, √1 )}. a) p(λ) = (λ − 1)(λ − 2)(λ + 2), β = {(0, 1, 0), ( √12 , 0, √12 ), ( −1 2 2 1 −1 1 1 b) p(λ) = (λ − 0)(λ − 2)(λ + 1), β = {( √2 , 0, √2 ), ( √2 , 0, √5 ), (0, 1, 0))}. c) p(λ) = (λ − 0)(λ − 0)(λ − 10), , √110 ), (0, 0, 1), ( √−1 , √−3 , 0)}. β = {( √−3 10 10 10 d) p(λ) = (λ + 7)(λ + 7)(λ − 2), β = {e1 , e2 , e3 }. 4) a) Como A(−1, 2) = 2(−1, 2), A(2, 1) = 3(2, 1), e os vetores v1 = (−2, 1) e v2 = (1, 2) s˜ao ortogonais (o produto interno v1 , v2  = 0), podemos utilizar o processo descrito 102 6.3. TEOREMA ESPECTRAL na Se¸c˜ao 1 desse cap´ıtulo para construir um operador linear tal que A(v1 ) = 2v2 e 2 2 11 A(v2 ) = 3v2 . Obtemos o operador linear sim´etrico A(x, y) = ( 14 5 x + 5 y, 5 x + 5 y). b) Como A(3, 1) = 0(3, 1), A(−1, 3) = −(−1, 3), e os vetores v1 = (3, 1) e v2 = (−1, 3) s˜ao ortogonais podemos utilizar o processo descrito na Se¸c˜ao 1 desse cap´ıtulo para construir um operador linear tal que A(v1 ) = 0v2 e A(v2 ) = −v2 . Obtemos o operador 1 3 1 3 linear sim´etrico A(x, y) = (− 10 x + 10 y, 10 x − 10 y). c) Como A(1, 2) = 2(1, 2) devemos definir num vetor perpendicular, digamos v2 = (−2, 1) o valor A(−2, 1) = −(−2, 1). Agora, podemos utilizar o processo descrito na Se¸c˜ao 1 desse cap´ıtulo para construir o operador linear A(x, y) = (− 25 x+ 65 y, 65 x− 75 y). 5) O polinˆ omio caracter´ıstico da identidade ´e p(λ) = (λ − 1)n . Todos os n autovalores s˜ao iguais a λ = 1 e todos os vetores do Rn s˜ao autovetores associados. 103 Cap´ıtulo 7 Matrizes e determinantes Aqu´ı est˜ao relacionadas as defini¸c˜oes e propriedades utilizadas no texto. Uma matriz ´e um objeto matem´atico cuja existˆencia ´e independente do conceito de transforma¸c˜ao linear, embora possua uma rela¸c˜ao estreita com elas. Tamb´em s˜ao largamente utilizadas para c´alculos em v´arias ´areas do Conhecimento. 7.1 Matrizes Uma matriz m × n com entradas entradas reais ´e uma sequˆencia de escalares [N ] =  1  v1 v21 · · · vn1 [vij ], com vij ∈ R, organizada na forma ao  v2 v2 · · · v2  n  2  1 a a linha na lado. O ´ındice j de vij indicar´ [N ] =  . .. ..  . .  . qual a entrada encontra-se e o ´ındice i in. .  m m dica a coluna. Consideramos dois tipos de v1 v2 · · · vnm j j j j vetores, o vetor v = (v1 , v2 , ..., vn ) cujas coordenadas s˜ ao as entradas da linha j da matriz [N ] e o vetor vi = (vi1 , vi2 , ..., vim ) formado pelas entradas da i -´esima coluna da matriz [N ]. Utilizaremos freq¨ uentemente a nota¸c˜ao para a matriz indicando suas colunas, na forma, [N ] = [v1 , v2 , ..., vn ] Induzimos uma estrutura de espa¸co vetorial no conjunto das matrizes m × n, (m linha por n coluna) conjunto este denotado por M (m × n, R), definindo a adi¸c˜ao de matrizes e a multiplica¸c˜ao de uma matriz por um escalar, respectivamente por   [N ] + [P ] = [v1 + w1 , ..., vi + wi , ..., vn + wn ] ,  λ[N ] = [λv1 , ..., λvi , ..., λvn ] em que [N ] = [v1 , v2 , ..., vn ], [P ] = [w1 , w2 , ..., wn ] s˜ao matrizes m × n e λ ∈ R. O 104 7.1. MATRIZES vetor nulo do espa¸co ´e a matriz identicamente nula, isto ´e, a matriz com todas as entradas nulas. Com esta estrutura M (m × n, R) torna-se um espa¸co vetorial de dimens˜ ao mn. Defini¸ c˜ ao 7.1.1 Seja [N ] = [vij ] uma matriz m × n. A matriz transposta de [N ] ´e a matriz n × m denotada e definida por [N ]t = [wij ] onde wij = vji . Dadas uma matriz m × n, [N ] = [v1 , v2 , ...vn ], e uma matriz n × r, [P ] = [w1 , w2 , ..., wr ], utilizamos o fato dos comprimentos das colunas de [N ] ser igual ao comprimento das linhas de [P ], para construir uma matriz m × r, [N ][P ] = [uji ], chamada de produto de [N ] por [P ], cujas entradas s˜ ao definidas pela regra (com a simbologia de produto interno: um vetor linha da primeira com um vetor coluna da segunda) uji = v1j wi1 + v2j wi2 + · · · + vnj win = v j , wi . Exerc´ıcio 7.1.1 Quando for poss´ıvel efetuar as opera¸c˜oes, demonstre as seguintes identidades matriciais, onde N ,P e Q s˜ao matrizes com entradas reais e λ ∈ R. a) [N ]([P ] + [Q]) = [N ][P ] + [N ][Q]. b) ([P ] + [Q])[N ] = [P ][N ] + [Q][N ]. c) ([N ][P ])[Q] = [N ]([P ][Q]). d) (λ[N ])[P ] = λ([N ][P ]) = [N ](λ[P ]). Solu¸ c˜ ao Ilustremos a t´ecnica de demonstra¸c˜ao provando a). Suponhamos que [N ] = [vij ] ∈ M (m × n, R) e que [P ] = [wij ], Q = [uji ] ∈ M (n × r, R). Pelas defini¸c˜oes de soma e de produto de matrizes sabemos que [N ]([P ] + [Q]) = [dji ] onde dji = v j , vi + ui . Desenvolvendo o u ´ltimo produto interno temos as igualdades dj1 = v j , wi  + v j , ui . No membro direito da igualdade, a primeira parcela da soma ´e a ji-´esima entrada de [N ][P ] e a segunda ´e a ji-´esima entrada de [N ][Q]. Portanto, vale a igualdade matricial [N ]([P ] + [Q]) = [N ][P ] + [N ][Q]. 2 Exemplo 7.1.1 Demonstremos a identidade matricial ([N ][P ])t = [P ]t [N ]t em que [N ] = [v1 , v2 , ..., vn ] e [P ] = [w1 , w2 , ..., wr ] s˜ao matrizes m × n e n × r, respectivamente. Inicialmente escrevamos [N ][P ] = [aji ] = [v j , wi ]. Por defini¸c˜ao de transposta, valem as rela¸c˜oes ([N ][P ])t = [uji ] = [aij ] = [v i , wj ]. Por outro lado, calculando [P ]t [N ]t = [wj , v i ]. Donde segue a identidade. 105 2 CAP´ITULO 7. MATRIZES E DETERMINANTES 7.2 Matrizes quadradas Uma matriz quadrada ´e uma matriz com o n´ umero de linhas igual ao n´ umero de colunas. Simplificamos a nota¸c˜ao indicando o espa¸co vetorial das matrizes n × n por M (n, R). Tais espa¸cos s˜ao mais ricos em propriedades alg´ebricas do que os espa¸cos de matrizes n˜ao quadradas, a diferen¸ca fica por conta do produto de matrizes. Ao efetuarmos um produto de dois elementos de M (n, R) obtendo uma outra matriz neste mesmo espa¸co. Observamos que o produto de matrizes ´e n˜ ao comutativo. Al´em disso a forma quadrada permite destacar v´ arios tipos especiais de matrizes, como veremos na sequˆencia. A diagonal de uma matriz quadrada n × n [N ] ´e  1  v1 0 · 0 a subsequˆencia formada pelas ii-´esimas entradas,  0 v22 · 0  (v11 , v22 , ..., vnn ). Diremos que [N ] ´e uma matriz . [N ] =   · · · ·  diagonal quando toda entrada n˜ ao pertencente 0 0 · vnn a diagonal tem o valor zero. Esquematicamente ` uma matriz diagonal tem a forma ao lado. Um tipo particular e importante de uma matriz diagonal ´e a matriz identidade cujas colunas correspondem ao vetores da base canˆonica do Rn , [I] = [e1 , e2 , ..., en ]. Para enfatizar o tamanho n × n da matriz identidade utilizamos uma indexa¸c˜ao da forma [I]n . Um outro modo pr´ atico para indicar as entradas da matriz identidade ´e com o uso do delta de Kronecker, [I]n = [δij ].   1 0 · 0  0 1 · 0   [I]n =   · · · · . 0 0 · 1 Exemplo 7.2.1 A matriz identidade [I]n tem uma propriedade especial. Para qualquer matriz quadrada n × n, N = [v1 , v2 , ..., vn ], valem as identidades matriciais [N ][I] = [N ] = [I]n [N ]. A demonstra¸c˜ao segue diretamente da defini¸c˜ao de produto de matrizes. Provaremos apenas a igualdade [N ][I] = [N ], a segunda igualdade ´e feita de modo an´ alogo. Escrevamos [N ][I]n = [v j , ei ] = [vij ] = [N ]. 2 Defini¸ c˜ ao 7.2.1 Uma matriz n × n, [N ] ´e invert´ıvel ou n˜ ao singular, se existir uma matriz n × n, [P ] tal que [P ][N ] = [I] = [N ][P ]. Quando existe, a matriz [P ] 2 ´e chamada de inversa de [N ] e denotada por [N ]−1 . Exerc´ıcio 7.2.1 Mostre as seguintes afirma¸c˜oes sobre matrizes invert´ıveis. a) Quando uma matriz quadrada tem inversa, a inversa ´e u ´nica. 106 7.3. DETERMINANTES b) [N ] e [P ] invert´ıveis implica que [N ][P ] ´e invert´ıvel e ([N ][P ])−1 = [P ]−1 [N ]−1 . c) [N ][P ] = [I] ⇔ [I] = [P ][N ]. 2 As afirma¸c˜oes sobre determinantes contidas nesse par´agrafo est˜ ao demonstradas na pr´ oxima se¸c˜ao. Proposi¸ c˜ ao 7.2.1 Uma matriz [N ] ´e invert´ıvel se, e somente se, det[N ] = 0. Defini¸ c˜ ao 7.2.2 Sejam [N ] e [P ] duas matrizes n×n. Diremos que [N ] ´e conjugada a [P ] quando existe uma matriz n × n invert´ıvel [R] tal que [P ] = [R][N ][R]−1 . ` Defini¸ c˜ ao 7.2.3 Diz-se que [N ], uma matriz n × n, ´e sim´etrica quando [N ]t = [N ]. 7.3 Determinantes O restante desse cap´ıtulo ´e dedicado a` constru¸c˜ao do determinante. A demonstra¸c˜ao da existˆencia do determinante ´e indutiva e a apresenta¸c˜ao escolhida est´ a baseada num elegante tratamento dado por Artin [02]. N˜ ao nos ocuparemos da unicidade. Defini¸ c˜ ao 7.3.1 Uma aplica¸c˜ ao D : M (n, R) → R ser´ a chamada de determinante se satisfaz as seguintes condi¸c˜ oes: 1. D[e1 , e2 , ..., en ] = 1; 2. D[v1 , ..., vi , vi+1 , ..., vn ] = 0 se vi = vi+1 para algum i; 3. D[v1 , ..., vi + λw, ..., vn ] = D[v1 , ..., vi , ..., vn ] + λD[v1 , ..., w, ...vn ]. para qualquer w ∈ Rn e qualquer λ ∈ R. Posteriormente demonstraremos que para cada espa¸co M (n, R) existe uma u ´nica aplica¸c˜ao satisfazendo essas trˆes condi¸c˜oes. Antes vejamos algumas propriedades conhecidadas sobre o c´alculo de determinantes que s˜ ao consequˆencias da defini¸c˜ao. Proposi¸ c˜ ao 7.3.1 Suponha uma aplica¸c˜ ao D : M (n, R) → R satisfaz as condi¸c˜ oes ao valem as afirma¸c˜ oes. da Defini¸c˜ ao determinante. Seja [N ] = [v1 , v2 , ..., vn ]. Ent˜ 1. Se algum vetor coluna ´e o vetor nulo ent˜ ao D[N ] = 0. 2. O valor D[N ] troca de sinal quando duas colunas adjacentes s˜ ao permutadas. 3. Quando duas colunas de [N ] s˜ ao iguais, o seu determinante ´e nulo. 107 CAP´ITULO 7. MATRIZES E DETERMINANTES 4. Se [P ] ´e uma matriz obtida somando-se a uma coluna de [N ] uma combina¸c˜ ao linear de outras colunas, ent˜ ao D[P ] = D[N ]. 5. Se uma coluna de N ´e combina¸c˜ ao linear de outras colunas ent˜ ao D(N ) = 0. Prova 1. Se o vetor coluna ´e vi = o, seguem da propriedade 3 as igualdades, D[v1 , ..., o, ..., vn ] = D[v1 , ..., o + o, ..., vn ] = 2D[v1 , ..., o, ..., vn ]. De onde obtemos que D[N ] = 0. ao 2. Observamos que D[v1 , ..., vi + vj , ..., vj + vi , ..., vn ] = 0 pois duas colunas s˜ iguais. Utilizando-se da propriedade 2 e 3, ao desenvolvermos esse determinante obtemos apenas duas parcelas, pois as outras duas s˜ao iguais a zero, 0 = D[v1 , ..., vi , ..., vj , ..., vn ] + D[v1 , ..., vj , ..., vi , ..., vn ] = 0. demonstrando a afirma¸c˜ao 2. 3. Suponha que os vetores colunas vi e vj da matriz [N ] s˜ao iguais. Com uma sequˆencia de transposi¸c˜ao de colunas ´e poss´ıvel colocar essas duas colunas iguais em posi¸c˜oes adjacentes. Pelo item anterior, o determinante da matriz [P ] obtida no final das transposi¸c˜oes difere do determinante de [N ] possivelmente por sinal. Como D[P ] = 0, ent˜ ao D[N ] = 0. 4. Fixemos o vetor coluna vi . Consideremos a matriz obtido ao somarmos ao vi uma combina¸c˜ao linear dos outros vetores colunas com ceficientes cujos coeficientes s˜ao a1 , ..., ai−1 , ai+1 , ..., an ∈ R,  [P ] = [v1 , ..., vi + k=i (vi + ak vk ), ..., vn ]. Avaliemos o determinante de [P ], levando-se em considera¸c˜ao a linearidade,  D[P ] = D[N ] + k=i ak D[v1 , ..., vk , ..., vn ]. a na coluna i Examinemos as parcelas do somat´orio. Como o vetor coluna vk que est´ ´e igual a uma outro vetor coluna, pelo item anterior, conclu´ımos que o determinante de cada parcela do somat´ orio ´e zero, portanto, D[P ] = D[N ]. 5. Vamos assumir que o vetor coluna vi da matriz [N ] ´e uma combina¸c˜ao linear de outras colunas, vi = k=i ak vk . Para anular a i-´esima coluna basta somar uma combina¸c˜ao linear conveniente das outras colunas, obtendo uma matriz [P ] cujo determinante ´e igual ao determinante de [N ] e tem uma como i-´esimo vetor coluna o vetor nulo. Logo, o determinante ´e zero. 2 7.4 Existˆ encia Para construir um determinante det : M (n, R) → R necessitaremos de algumas nota¸c˜oes. Indicaremos por [N ]ij a matriz (n − 1) × (n − 1) obtida de [N ] = [vij ] 108 ˆ 7.4. EXISTENCIA esima por supress˜ao da j-´esima linha e da i-´esima coluna. Chamaremos [N ]ji  de ij-´ matriz reduzida de N . Reveja a defini¸c˜ao de determinante de uma matriz 2 × 2 e 3 × 3 no cap´ıtulo 1. Proposi¸ c˜ ao 7.4.1 Para cada inteiro n > 0 existe uma aplica¸c˜ ao determinante. Prova A existˆencia de um determinante para cada inteiro positivo n ´e indutiva. J´ a sabemos que existem determinantes em M (2, R) e M (3, R) (veja cap´ıtulo 1). Vamos supor por indu¸c˜ao que j´ a tenhamos mostrado a existˆencia de um determinante em cada espa¸co M (r, R), 2 ≤ r ≤ n − 1. Defina uma aplica¸c˜ao det : M (n, R) → R pela regra conhecida como desenvolvimento de Laplace pela primeira coluna, 2+1 v 2 det N + · · · + (−1)n+1 v n det N . det[N ] = (−1)1+1 v11 det N   1 1 11 + (−1) 21 n1 Mostremos que essa aplica¸c˜ao ´e um determinante. e a matriz identidade 1. Se [I]n = [δij ] ´e a matriz identidade ´e evidente que [I] 11 ´ (n − 1) × (n − 1) (δji ´e o delta de Kronecker). Portanto, 1+2 1+n δ12 det[I] δ1n det[I]1n det[I]n = (−1)1+1 δ11 det[I] . 11 + (−1) 12 + · · · + (−1) Como δ11 = 1 e todos os outros deltas s˜ao iguais a zero, o determinante da otese matriz [I]n reduz-se ´a det[I]n = det[I]n−1 . Logo, det In = 1, desde que por hip´ de indu¸c˜ao vale det In−1 = 1. 2. Suponha que dois vetores coluna da matriz [N ] sejam iguais, digamos vi = vi+1 . Sendo assim, se k = i as jk-´esimas matrizes reduzidas de N possuem duas colunas iguais, implicando por hip´ otese de indu¸c˜ao que 1+2 1 1+n 1 v2 det[N ] vn det[N ]1n det[N ] = (−1)1+1 v11 det[N ]  11 + (−1) 12 + · · · + (−1) 1 = (−1)1+i vi1 det[N ]1i + (−1)1+i+1 vi+1 det[N ]1(i+1)
. A igualdade entre os vetores colunas vi = vi+1 implica na igualdade entre as entradas 1 e na igualdade das matrizes reduzidas [N ]1i vi1 = vi+1  = [N ]1(i+1)
. Examinando os sinais de (−1)1+i e (−1)1+i+1 conclu´ımos que det[N ] = 0. 3. Mostremos a multilinearidade da aplica¸c˜ao. Dados um escalar λ ∈ R, uma matriz quadrada [N ] = [v1 , v2 , ..., vn ] e a w ∈ Rn calculemos o determinante de [Q] = [uji ] = [v1 , v2 , ..., vi + λw, ..., vn ]. Para isto, identifiquemos as parcelas das matrizes reduzidas de [Q]. Seja [P ] = [o, o, ..., w, ..., o], onde o ´e o vetor nulo. Sendo assim, temos as matrizes [Q]1k  = [N ]1k  + λ[P ]1k  se k = i, = [N ]1i Q]1i  . 109 CAP´ITULO 7. MATRIZES E DETERMINANTES A hip´ otese de indu¸c˜ao sobre a multilinearidade do determinante para matrizes (n − 1) × (n − 1) justifica as igualdades  (−1)1+k u1k det[Q]1k det[Q] =  k=1,n       1+k 1 = (−1) vk det [N ]1k + (−1)1+i (vi1 + λw1 ) det[N ]1i   + λ[P ]1k    k=i     = (−1)1+k vk1 det[N ]1k + λ det[v1 , ..., wi , ..., vn ]    k=1,n = det[N ] + λ det[v1 , ..., vi , ..., vn ]. 2 Proposi¸ c˜ ao 7.4.2 (Unicidade) Para cada inteiro n ≥ 1 s´ o existe uma aplica¸c˜ ao no espa¸co das matrizes n × n satisfazendo as condi¸c˜ oes listadas na Defini¸c˜ ao 6.4.1. Exemplo 7.4.1 Na demonstra¸c˜ao da proposi¸c˜ao de existˆencia, definimos indutivamente o determinante em cada espa¸co de matizes utilizando o algoritmo chamado desenvolvimento de Laplace pela primeira linha. Mas tamb´em poder´ıamos ter definido o determinante indutivamente pelo desenvolvimento de Laplace pela primeira coluna, 2+1 v 2 det[N ] +· · ·+(−1)n+1 v n det N , det[N ] = (−1)1+1 v11 det[N ]   1 1 11 +(−1) 21 n1 pela unicidade do determinante, a aplica¸c˜ao ´e a mesma. Tamb´em poder´ıamos ter escolhido para a demonstra¸c˜ao o desenvolvimento de Laplace pela j-´esima linha ou i-´esima coluna. 2 7.5 Propriedades e matriz inversa Provaremos nessa se¸c˜ao algumas propriedades de determinantes bastante conhecidas e utilizadas anteriormente ao longo do texto, inclusive em demonstra¸c˜oes de proposi¸c˜oes. Iniciaremos mostrando que Proposi¸ c˜ ao 7.5.1 O determinante da transposta de uma matriz ´e igual ao determinante da matriz, isto ´e, det[N ] = det[N ]t . Prova A demonstra¸c˜ao ´e indutiva. Verifica-se facilmente que vale a firma¸c˜ao para n = 1, 2. Supondo verdadeiro para n − 1. Seja [N ] uma matriz n × n. Observe ao iguais. Agora, calculando o que [N ]tij = [N ]ij , portanto, seus determinantes s˜ determinante de [N ]t pelo desenvolvimento de Laplace pela primeira coluna ´e o 110 7.5. PROPRIEDADES E MATRIZ INVERSA mesmo que fazer o desenvolvimento de Laplace de [N ] pela primeira linha. Isso ´e a demonstra¸c˜ao da proposi¸c˜ao. 2 Novamente, na demonstra¸c˜ao da proposi¸c˜ao a seguir utilizamos os mesmos argumentos, desenvolvimento de Laplace e identifica¸c˜ao das parcelas envolvidas. Proposi¸ c˜ ao 7.5.2 O determinante do produto de matrizes ´e igual ao produto do determinantes, isto ´e, det[N ][P ] = det[N ] det[P ]. Indicamos por [N ]ji esima matriz reduzida de [N ], isto significa que a  a ji -´ e a matriz (n − 1) × (n − 1) obtida de [N ] por supress˜ao da j−´esima matriz [N ]ji  ´ linha e da i-´esima coluna. umero real O ji-´esimo cofator da matriz quadrada N = [v1 , v2 , ..., vn ] ´e o n´ definido como cji = (−1)j+i det[N ]ji . Tais n´ umeros s˜ao as entradas de uma outra matriz, chamada de adjunta cl´ assica de [N ], que por defini¸c˜ao ´e a matriz transposta da matriz formada pelos cofatores, adj[N ] = [cji ]t . Exerc´ıcio 7.5.1 Verifique que (adj[N ])t = adj([N ]t ). [N ]tji .  = [N ]ij Sugest˜ ao: Observe que 2 A proposi¸c˜ao a seguir descreve rela¸c˜oes matriciais envolvendo uma matriz, sua adjunta cl´ assica e seu determinante, com v´arias e importantes consequˆencias. Proposi¸ c˜ ao 7.5.3 adj[N ] · [N ] = (det[N ]) · [I]n = [N ] · adj[N ]. Prova Escrevamos a ki-´esima entrada do produto adj[N ] · [N ] = [dki ], onde [N ] = [v1 , v2 , ..., vn ] e adj[N ] = [cki ]t , dki = ck , vi  2+k 2 n+k n vi [N ]2k vi [N ]nk = (−1)1+k vi1 [N ]1k  + (−1)  + · · · + (−1) . ´ltima membro ´e o Da´ı conclu´ımos que se k = i, temos o valor dii = det[N ] pois o u desenvolvimento de Laplace do determinante de [N ] pela i-´esima coluna. Vejamos o caso k = i. Fixemos a coluna k. Denote por [P ] = [v1 , ..., vk−1 , vi , vk+1 , ..., vi , ..., vn ], isto ´e, [P ] ´e a matriz obtida de [N ] substituindo-se a coluna vk pela coluna vi . = N para todo 1 ≤ j ≤ n. Sendo assim, valem as igualdades, det[P ] = 0 e [P ] jk jk 111 CAP´ITULO 7. MATRIZES E DETERMINANTES Calculemos o determinante de [P ] com o desenvolvimento pela k−´esima coluna, recordando que vk = vi , 0 = det[P ] 2+k 2 n+k n vk det N2k vk det Nnk = (−1)1+k vk1 det N1k  + (−1)  + · · · + (−1)  2+k 2 n+k n = (−1)1+k vi1 det N1k vi det N2k vi det Nnk  + (−1)  + · · · + (−1)  = ck , vi  = dki . Isso mostra que adj[N ] · [N ] ´e uma matriz diagonal e todas as entradas da diagonal s˜ao iguais a det[N ], como desej´avamos demonstrar. Para provar a igualdade (det[N ]) · [I]n = [N ] · adj[N ], utilizamos o mesmo tipo de argumento. 2 Corol´ ario 7.5.1 Uma matriz quadrada [N ] ´e invert´ıvel ⇔ det[N ] = 0. Mais ainda, se [N ] ´e invert´ıvel ent˜ ao 1.) 7.6 [N ]−1 = 1 det[N ] adj[N ]; 2.) det([N ]−1 ) = (det[N ])−1 . Regra de Cramer Coloquemos o seguinte problema: dados os vetores v1 , v2 , ...vn , w ∈ Rn , determinar n escalares a1 , a2 , ..., an tais que a1 v1 + a2 v2 + · · · + an vn = w. Se escrevemos vi = (vi1 , v 2 , vi , ..., vin ) e w = (w1 , w2 , ..., wn ), a pergunta acima nos leva a um sistema de n equa¸c˜oes e n inc´ ognitas (os ai ’s).  1  1 v1 a1 + v21 a2 + · · · + vn1 an = w1 v1    2  v12 v1 a1 + v22 a2 + · · · + vn2 an = w2 ,   ···    n v1 a1 + v2n a2 + · · · + vnn an = wn v1n v21 v22 v2n  · · · vn1 a1  a2 · · · vn2    · ··· an · · · vnn    w1   w2  =    · . wn Em resumo, escrevemos [N ][a] = [w], onde [N ] = [v1 , v2 , ..., vn ] e a = (a1 , a2 , ..., an ). Proposi¸ c˜ ao 7.6.1 (Regra de Cramer) Suponha que [N ][a] = [w] ´e um sistema ao o sistema admite linear n × n em R, onde [N ] = [v1 , v2 , ..., vn ]. Se det[N ] = 0 ent˜ uma u ´nica solu¸c˜ ao (a1 , a2 , ..., an ) e ai = det[v1 , ..., vi−1 , w, vi+1 , ...vn ] . det[v1 , ..., vi−1 , vi , vi+1 , ..., vn ] 112 7.6. REGRA DE CRAMER Prova Que o sistema tem solu¸c˜ao ´e facil, pois o determinante sendo diferente de zero, a matriz dos coeficientes ´e invert´ıvel, seguindo que a solu¸c˜ao ´e [a] = [N ]−1 [w]. O c´alculo dos coeficientes ai ’s segue como na demonstra¸c˜ao da regra de Cramer feita no primeiro cap´ıtulo. 2 113 ´Indice Remissivo A Abscissa ˆ Angulo entre dois vetores Aplica¸ca ˜o conceito identidade ´ Area de um paralelogramo Autoespa¸co Autovalor Autovetor Base canˆ onica do Rn ordenada orotonormal positiva Combina¸ca ˜o linear Comprimento de um seg. orientado Coeficientes da combina¸ca ˜o linear Composi¸ca ˜o Conjunto ordenado de geradores Conjunto linearmente independente ortonormal Delta de Kronecker Desenvolv. de Laplace Desigualdade de Cauchy-Schwarz Escalar Espa¸co conceito vetorial F´ ormula de Lagrange Fun¸ca ˜o Homotetia Identidade c´ıclica de Apolonius de Lagrange de polariza¸ca ˜o ij-´esima matriz reduzida Im(A) Imagem transf. linear Lei do paralelogramo Matriz adjunta cl´ assica canˆ onica associada ` aA de uma transf. linear dos cofatores invert´ıveis quadrada sim´etrica transposta Norma associada de um vetor N uc(A) N´ ucleo transf. linear Operador linear linear sim´etrico sim´etrico negativo sim´etico positivo transposto Ordenada Plano, conceito Ponto, conceito Polinˆ omio caracter´ıstico Produto escalar interno vetorial vetorial duplo Rn Representa¸ca ˜o de um vetor Reta, conceito Segmento orientado Segunda desigualdade triangular Soma de transforma¸co ˜es lineares Subespa¸co 2 36 1 44 8 66 66 66 B 27 27 37 30 C 11 33 11 55 15 21 37 D 37 88 34 E 4 2 4F 41 1H 45 I 43 35 43 35 60 114 46 46 L 35 M 58, 61 48 48 61 56 78 71 70 N 35 33 46 46 O 47 71 73 73 70 2P 2 2 67 32 32 38 43 R 1 5 2S 5 35 54 ´INDICE REMISSIVO trivial vetorial vetorial pr´ oprio Transforma¸ca ˜o linear identicamente nula injetora inversa invert´ıvel sobrejetora Teorema espectral do n´ ucleo e da imagem Trac co de uma matriz Vetor conceito normal a um subespa¸co nulo unit´ ario Vetores ortogonais perpendicluares Volume de um paralelep´ıpedo 10 9 10 bf T 44 45 46 56 56 46 71, 73 52 68 V 4 37 4 34 36 36 9 115 Referˆ encias Bibliogr´ aficas [01] ´ Andrade, Pl´ acido; Um curso de Algebra Linear; pr´e-print UFC (2002). 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