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MTM5801 - H-C´alculo I - 2011/01 Prof. Gilles Gon¸calves de Castro Lista complementar 2
1) Mostre que a soma nos naturais satisfaz: a) m + n = n + m ∀m, n ∈ N (comutatividade), b) m + (n + p) = (m + n) + p ∀m, n, p ∈ N (associatividade), c) 0 ´e u ´nico n´ umero natural que satisfaz m+0 = 0+m = m ∀m ∈ N (elemento neutro), d) se m + p = n + p ent˜ao m = n (lei do cancelamento), e) se m + n = 0 ent˜ao m = n = 0 (e consequentemente 0 ´e o u ´nico elemento com oposto nos naturais). 2) Mostre que o produto nos naturais satisfaz: a) m.n = n.m ∀m, n ∈ N (comutatividade), b) m.(n.p) = (m.n).p ∀m, n, p ∈ N (associatividade), c) 1 ´e u ´nico n´ umero natural que satisfaz m.1 = 1.m = m ∀m ∈ N (elemento neutro), d) Se m.p = n.p e p 6= 0 ent˜ao m = n (lei do cancelamento), e) m.(n + p) = m.n + m.p (distributividade), f) se m.n = 1 ent˜ao m = n = 1 (e consequentemente 1 ´e o u ´nico elemento invers´ıvel nos naturais). 3) Mostre que a rela¸c˜ao ≤ nos naturais satisfaz: a) n ≤ n ∀n ∈ N (reflexiva). b) Se m ≤ n e n ≤ m ent˜ao m = n (anti-sim´etrica). c) Se m ≤ n e n ≤ p ent˜ao m ≤ q (transitiva). d) (Dif´ıcil) Para quaisquer dois naturais n, m temos que m ≤ n ou m ≥ n (total). Note que pode valer as duas desigualdades (ver item b). e) Dados dois naturais n, n ent˜ao ´e v´alida uma e apenas uma das condi¸co˜es: m < n ou m > n ou m = n (tricotomia). f) m ≥ 0 ∀m ∈ N. 1
g) Se m < 1 ent˜ao m = 0 e por consequˆencia n˜ao existe nenhum natural entre 0 e 1. h) Se m ≤ n ent˜ao m + p ≤ n + p ∀p ∈ N. i) Se m ≤ n ent˜ao m.p ≤ n.p ∀p ∈ N. (Observa¸c˜ao: o item e) segue direto do item d), mas tamb´em podemos fazer o contr´ario: mostrar primeiro o item e) e tirar o item d) como consequˆencia.) 4) Mostre que a fun¸ca˜o bijetora f : Na → Nb encontrada no teorema de unicidade dos naturais tamb´em satisfaz: a) f (a + b) = f (a) + f (b) ∀a, b ∈ Na , a) f (a.b) = f (a).f (b) ∀a, b ∈ Na , a) se a < b ent˜ao f (a) < f (b). 5) Mostre que o somat´orio satisfaz as seguintes propriedades: a) n X
ai =
i=1
n−1 X
! ai
+ an
i=1
b) n X
(ai + bi ) =
i=1
n X
ai +
i=1
i=1
c) n X
kai = k
i=1
n X i=1
d) Se ai = a para i = 1, . . . , n ent˜ao n X i=1
2
ai = na
n X
ai
bi
