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Lista E – Laboratório de PME2371 Suspensão veicular – Modelo de ½ de carro Para esta lista considere o modelo desenvolvido na lista D:
lA
M = 200 kg; J = 512 kgm2; lA = 0,8 m; lB = 0,8 m; kA = 10.000 N/m; kB = 10.000 N/m; bA = 200 Ns/m; bB = 200 Ns/m; vH = 10 m/s;
lB M, J
vH
A
vA
vB
B
G kA
bA C
vC
kB
bB
D
vD
Modelo da dinâmica vertical: A dinâmica referente ao movimento horizontal do centro de massa é desprezada, ou seja, a velocidade horizontal de G (vH ) é constante, logo o modelo deve ter 4 variáveis de estado: - velocidade vertical vG do centro de massa G. - velocidade angular ω de AB em torno de G. - elongação xA da mola de rigidez kA. - elongação xB da mola de rigidez kB. Entradas: velocidades verticais (vC e vD) dos pontos C e D. Saídas: velocidade vertical vG do centro de massa G e velocidade angular ω de AB em torno de G. Hipóteses simplificadoras: - Movimento apenas no plano da página. - AC e BD permanecem sempre na vertical. - Considere molas e amortecedores lineares. - O deslocamento angular do segmento AB é pequeno (tal que senα ≅ tanα ≅ α e cosα ≅ 1). Representação no espaço de estados:
x A x Vetor de estados: x = B v G ω
v Vetor de entradas: u = C v D v Vetor de saídas: y = G ω
Estrutura do modelo matemático: x& = A ⋅ x + B ⋅ u
y =C⋅x + D⋅u
Lista E – Laboratório de PME2371 Conversão de modelos, função de transferência Sistema representado no espaço de estados. Considere as matrizes A, B, C e D. Exemplo: Considere o seguinte sistema (não é o modelo de ½ carro): A 44 B 64 47 8 } 1 x1 0 x&1 0 ⋅ + ⋅u & = − 3 x2 1 ou, usando uma notação mais compacta: x2 − 2 x1 y = [1 0] ⋅ + [ 0 ]⋅ u 142 4 43 4 x2 {
x& = A ⋅ x + B ⋅ u y = C⋅ x + D⋅u
D
C
Construção do modelo no Scilab: // Definicao das Matrizes do Sistema: A=[0 1;-2 -3]; B=[0;1]; C=[1 0]; D=0; // Construcao do sistema: sistema=syslin('c',A,B,C,D); Determine a função de transferência entre a saída y e a entrada u: Exemplo: G=ss2tf(sistema) No espaço de estados, podemos escolher outro conjunto de variáveis para representar o sistema. Escolhendo as variáveis z1 e z2, tais que: z1 = x1 − x2 z 2 = x1 + x2 ou seja: − 1 x1 z1 1 ⋅ = 1 1 x2 z 2 1 4243
⇒
T −1
0,5 z1 x1 0,5 ⋅ = − 0,5 0,5 z 2 x2 1 44244 3
,
ou seja:
z = T −1 ⋅ x
⇒
x = T⋅z
T
Derivando a equação temos: z = T −1 ⋅ x ⇒ z& = T −1 ⋅ x& mas sabemos que x& = A ⋅ x + B ⋅ u , logo: z& = T −1 ⋅ x& ⇒ z& = T −1 ⋅ (A ⋅ x + B ⋅ u ) ⇒ z& = T −1 ⋅ A ⋅ x + T −1 ⋅ B ⋅ u como x = T ⋅ z : z& = T −1 ⋅ A ⋅ T ⋅ z + T −1 ⋅ B ⋅ u , que podemos escrever como z& = A T ⋅ z + B T ⋅ u Da mesma forma: , ou seja: y = CT ⋅ z + DT ⋅ u y = C⋅ x + D⋅u ⇒ y = C⋅T⋅z + D⋅u Resumindo: z& = A T ⋅ z + B T ⋅ u
A T = T −1 ⋅ A ⋅ T B T = T −1 ⋅ B y = CT ⋅ z + DT ⋅ u CT = C ⋅ T DT = D Como as variáveis y e u não foram trocadas, a relação entre elas, que é a função de transferência, permanece a mesma. Verifique calculando a função de transferência usando o sistema com as variáveis de estado z1 e z2: com:
Ti=[1 –1;1 1]; T=inv(Ti); AT=Ti*A*T; BT=Ti*B; CT=C*T; DT=D; // Construcao do sistema convertido: sistemaT=syslin('c',AT,BT,CT,DT); // Funcao de transferencia do sistema convertido: GT=ss2tf(sistemaT)
Compare
sistema
com
sistemaT
e compare
G
com
GT.
Lista E – Laboratório de PME2371 Considerando o sistema do exemplo: 1 x1 0 x&1 0 ⋅u ⋅ + x& = − 3 x2 1 2 − 2 x y = [1 0] ⋅ 1 + [ 0 ] ⋅ u x2 Escolhendo as variáveis z1 e z2, tais que: z1 = x1 − x 2 z − 1 ⋅ x1 ou seja: 1 = 1 − 2 1 x z 2 = −2 ⋅ x1 + x 2 z 2 142 4 43 4 2 T −1
−1
z = T ⋅x
⇒
⇒
x1 − 1 − 1 ⋅ z1 x 2 = − 2 − 1 z 2 142 4 43 4 T
x = T⋅z
Determine o sistema convertido. Existe algo de particular neste sistema convertido? Determine os autovetores da matriz A. Existe alguma relação entre a matriz T-1 e os autovetores da matriz A? Determine as funções de transferência do sistema e do sistema convertido, e compare. Determine os autovalores e autovetores da matriz AT e compare com os autovalores e autovetores da matriz A.
Conversão de modelos – modelo de ½ carro Obtenha o modelo do sistema de suspensão convertido com a seguinte escolha de variáveis de estado (use o procedimento visto no exemplo anterior, iniciando pela determinação das matrizes T−1 e T): Novo conjunto de variáveis de estado: 1 1 xG = x A + x B 2 2 vG 1 1 xA + x θ =− (l A + l B ) (l A + l B ) B
ω
Determine as funções de transferência do sistema de suspensão e do sistema de suspensão convertido e compare. Determine os autovalores e autovetores da matriz A. Determine os autovalores e autovetores da matriz AT e compare com os autovalores e autovetores da matriz A.
Tarefa Extra: Considere o sistema com o novo conjunto de variáveis de estado. Modifique-o definindo também como novas saídas xG e θ, e definindo ainda como novas entradas as variáveis vx e vθ , e considere que haja simetria (kA = kB = k , bA = bB = b, lA = lB = l ) 1 M 1 v x = − v C + v D 2 2 2 k 1 1 J vθ = − − v C + v D 2 2l 2l 2kl Determine as funções de transferência do sistema. Mostre que a estrutura peculiar das funções de transferência só é obtida com as modificações feitas se houver simetria. Modifique as funções de transferência do sistema considerando novas entradas ux e uθ : u x = v& x uθ = v&θ
Lista E – Laboratório de PME2371 Simulação do modelo de ½ carro Simule o sistema de suspensão para entrada do tipo degrau. Considere condições iniciais nulas e tempo de simulação de 4 segundos. 0 se t < 0 vC = v 1 se t ≥ 0 u= C 0 se t < t d v D vD = 1 se t ≥ t d Explique o tipo de obstáculo físico que é representado pela entrada degrau, e explique por que a entrada vD ocorre td segundos após a entrada vC (deve-se calcular td antes de se fazer a simulação). Mostre os gráficos das saídas pelo tempo. Simule o sistema de suspensão convertido para entrada do tipo seno (use o modelo convertido). Considere condições iniciais nulas. Simule por tempo suficiente para mostrar cerca de 20 períodos. vC = v D = sen (9,8995t ) Entradas (observe que são duas simulações diferentes): vC = −v D = sen (4,9875t ) Repita as simulações para valores maiores e menores de freqüência. Compare os resultados. Mostre os gráficos das saídas pelo tempo. Calcule os coeficientes de amortecimento, as freqüências naturais, as freqüências naturais amortecidas e as freqüências de ressonância.
Análise de resposta em freqüência Obtenha os diagramas de Bode do sistema de suspensão e interprete os resultados.
Tarefa Extra: Matriz de Transição de Estados Desenvolva um algoritmo de solução numérica de um sistema de equações diferenciais ordinárias de 1a ordem, lineares, a parâmetros constantes e homogêneas, que use o conceito de matriz de transição de estados. Implemente o algoritmo na forma de função do Scilab (arquivo do tipo sci), em que os dados fornecidos sejam a matriz A do sistema, as condições iniciais x0, e um vetor t de números correspondentes a instantes igualmente espaçados. Sintaxe: [x]=integrador(A,t,x0)
