Lista De Exercicios De Eletromagnetismo 1

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LISTA DE EXERCÍCIOS CAPÍTULO I – ÁLGEBRA VETORIAL 1. Determine o vetor unitário ao longo da linha que une o ponto (2,4,4) ao ponto (-3,2,2). → → → 2. Se A = 5âx + 3â y + 2â z , B = −âx + 4â y + 6â z e C = 8â x + 2â y , determine os → → → valores de α e β, tais que α A+ β B + C seja paralelo ao eixo y. → → 3. Dados os vetores T = 2âx − 6â y + 3â z e S = âx + 2â y + â z , determine: → → a. A projeção escalar de T sobre S . → → b. O vetor projeção de S sobre T . → → c. O menor ângulo entre T e S . → 4. Calcule os ângulos que o vetor H = 3â x + 5â y − 8âz faz com os eixos x, y e z. 5. Os pontos P, Q e R estão localizados em (-1,4,8), (2,-1,3) e (-1,2,3), respectivamente. Determine: a. A distância entre P e Q. b. O vetor distância de P até R. c. O ângulo entre QP e QR. d. A área do triângulo PQR. Eletromagnetismo 1 1 ELET0030 – Turma EB LISTA DE EXERCÍCIOS e. O perímetro do triângulo PQR. → 6. Dado A = x 2 yâx − yzâ y + yz 2 âz , determine: → a. A magnitude de A no ponto T(2,-1,3). b. O vetor distância de T até S, caso S esteja a 5,6 unidades de distância afastado de T e com a mesma → orientação de A em T. c. O vetor posição de S. Eletromagnetismo 1 2 ELET0030 – Turma EB LISTA DE EXERCÍCIOS CAPÍTULO II – SISTEMAS E TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS 1. Se a. V = xz − xy + yz , expresse V em coordenadas cilíndricas. b. U = x 2 + 2 y 2 + 3z 2 , expresse U em coordenadas esféricas. 2. Converta os seguintes vetores para os sistemas cilíndrico e esférico → 1 a. F = x2 + y2 + z 2 x2 + y2 → b. G = x2 + y2 + z2 (xâ x + yâ y + 4â z ) . (xâ x + yâ y + zâ z ) . → 3. Seja A = ρ cosθâρ + ρz 2 senφâz , → a. Transforme A para coordenadas retangulares e determine sua magnitude no ponto (3,-4,0). → b. Transforme A para coordenadas esféricas e determine sua magnitude no ponto (3,-4,0). 4. Dados os vetores → A = 2â x + 4â y + 10âz e → B = −5âρ + âφ − 3âz , determine: → → a. A+ B em P(0,2,-5). Eletromagnetismo 1 3 ELET0030 – Turma EB LISTA DE EXERCÍCIOS → → b. O ângulo entre A e B em P. → → c. A componente escalar de A ao longo de B em P. → ( ) A = ρ z 2 − 1 âρ − ρz cos φâφ + ρ 2 z 2 â z 5. Seja → B = r 2 cos φâr + 2rsenθâφ , e calcule em T(-3,4,-1): → → a. A e B . → → b. A componente vetorial de A ao longo de B em T, em coordenadas cilíndricas. → → c. O vetor unitário perpendicular tanto a A quanto a B em T, em coordenadas esféricas. 6. Um campo coordenadas vetorial é dado em por um → G= “misto” x cos φ ρ âx + de variáveis  x2   â + 1 − y  ρ 2 â z . ρ2   2 yz → Expresse G , de maneira completa, em um sistema esférico. Eletromagnetismo 1 4 ELET0030 – Turma EB LISTA DE EXERCÍCIOS CAPÍTULO III – CÁLCULO VETORIAL → 1. Dado que H = x 2 â x + y 2 â y , calcule → → ∫ H ⋅ d l , considere L ao longo L da curva y = x 2 , de (0,0) a (1,1). 2. A temperatura em um auditório é dada por T = x 2 + y 2 − z . Um mosquito localizado em (1,1,2), dentro do auditório, deseja voar em uma orientação tal que ele se aqueça o mais rápido possível. Em qual orientação ele deve voar? 3. Se U = xz − x 2 y 2 + y 2 z 2 , calcule ∇⋅  ∇U  . → →  →  4. Se F = x 2 âx + y 2 â y + (z 2 − 1)â z , encontre → → ∫ F ⋅ d S , onde S é definido S por ρ = 2 , 0 < z < 2 e 0 ≤ φ ≤ 2π . 5. Encontre → T= o fluxo do 1 cos θâr + rsenθ cos φâθ + cos θâφ r2 rotacional do campo através do hemisfério r = 4 e z ≤ 0. → 6. Se o campo vetorial T = (αxy + βz 3 )â x + (3x 2 − γz )â y + (3xz 2 − y )â z é → → irrotacional, determine α, β e γ. Encontre ∇⋅ T em (2,-1,0). Eletromagnetismo 1 5 ELET0030 – Turma EB LISTA DE EXERCÍCIOS CAPÍTULO IV - CAMPOS ELETROSTÁTICOS LISTA A 1. Duas cargas pontuais Q1=5mC e Q2=-4mC estão localizadas nos pontos (3,2,1) e (-4,0,6), respectivamente. Determine a força sobre Q1. 2. Duas cargas pontuais Q1 e Q2 estão localizadas em (4,0,-3) e (2,0,1), respectivamente. Se Q2=4nC, determine Q1 tal que: → a. O campo E em (5,0,6) não tenha componente em z. b. A força sobre uma carga de teste em (5,0,6) não tenha componente em x. → 3. Seja E = xyâx + x 2 â y determine: a. O vetor densidade de fluxo elétrico. b. A densidade volumétrica de cargas. 12 ρnC/m 3 ; 1 < ρ < 2 , determine 0 ; fora desse intervalo  4. Dado que ρ v =  → D em qualquer ponto. Eletromagnetismo 1 6 ELET0030 – Turma EB LISTA DE EXERCÍCIOS 5. Determine o trabalho realizado ao deslocar uma carga de 5C do ponto P(1,2,-4) até o ponto R(3,-5,6), na presença de → um campo elétrico dado por E = âx + z 2 ây + 2 yzâz V/m. 6. Uma carga pontual Q está na origem. Calcule a energia armazenada na região dada por r>a. Eletromagnetismo 1 7 ELET0030 – Turma EB LISTA DE EXERCÍCIOS CAPÍTULO IV - CAMPOS ELETROSTÁTICOS LISTA B → 1. Determine E em (5,0,0) devido à distribuição de carga referida por A na figura 1. Figura 1 2. Um disco circular de raio a está carregado com uma distribuição de carga dada por ρ S = 1 ρ C/m². Calcule o potencial em (0,0,h). 3. A linha x=3 e z=-1 está carregada com 20nC/m, enquanto o plano x=-2 está carregado com 4nC/m². Determine a força sobre uma carga pontual de -5mC localizada na origem. Eletromagnetismo 1 8 ELET0030 – Turma EB LISTA DE EXERCÍCIOS 4. Para uma distribuição esférica de cargas dada por ( ) ρ 0 a 2 − r 2 ; r < a ρv =  0 ; r>a → a. Determine E e V para r ≥ a . → b. Determine E e V para r ≤ a . c. Determine a carga total. → d. Demonstre que E é máximo quando r=0,74a. 5. No espaço livre, V = x 2 y (z + 3) V. Determine o vetor campo elétrico em (3,4,-6). 6. Se V = ρ 2 zsenφ , calcule a energia dentro da região definida por 1 < ρ < 4 , − 2 < z < 2 e 0 < φ < Eletromagnetismo 1 π 3 9 . ELET0030 – Turma EB LISTA DE EXERCÍCIOS CAPÍTULO V - CAMPOS ELETROSTÁTICOS EM MEIO MATERIAL LISTA A 1. A densidade de corrente em um condutor cilíndrico de raio a é de → J = 10e  ρ − 1−   a âz A/m². Determine a corrente através da seção reta do condutor. 2. Um condutor de 10m de comprimento consiste de núcleo de aço de 1,5cm de raio e de uma camada externa de cobre de 0,5cm de espessura. a. Determine a resistência do condutor. b. Se a corrente total no condutor é de 60A, qual a corrente que flui em cada metal? c. Determine a resistência de um condutor sólido de cobre, de comprimento e área de seção reta iguais às da camada externa. Considere as resistividades do cobre e do aço iguais a 1,77x10-8 e 11,8x10-8Ωm, respectivamente. 3. Uma esfera de raio a e constante dielétrica εr tem uma densidade uniforme de carga de ρo. a. No centro da esfera, demonstre que V= Eletromagnetismo 1 ρoa 2 (2ε r + 1) . 6ε oε r 10 ELET0030 – Turma EB LISTA DE EXERCÍCIOS b. Determine o potencial na superfície da esfera. → 1 r 4 4. Dado que J = 5e −10 t âr A/m², em t=0,1ms, determine: a. A corrente que passa através da superfície r=2m. b. A densidade de carga ρv nessa superfície. 5. A região 1 (z<0) contém um dielétrico para o qual εr=2,5, enquanto que a região 2 (z>0) é caracterizada por εr=4. Considere o vetor campo elétrico na região 1 igual a (-30,50,70)V/m e determine: a. O vetor densidade de fluxo elétrico na região 2. b. O vetor polarização na região 2. c. O ângulo entre o vetor campo elétrico na região 1 e a normal à superfície. 6. Uma esfera, no espaço livre, revestida de prata, de raio 5cm, está carregada com uma carga total de 12nC, uniformemente distribuída em sua superfície. Determine: a. O valor da densidade de fluxo elétrico sobre a superfície da esfera. b. O vetor densidade de fluxo elétrico externo à esfera. c. A energia total armazenada no campo. Eletromagnetismo 1 11 ELET0030 – Turma EB LISTA DE EXERCÍCIOS CAPÍTULO V - CAMPOS ELETROSTÁTICOS EM MEIO MATERIAL LISTA B 1. A uma determinada temperatura e pressão, o gás de hélio contém 5x1025 átomos/m³. Um campo de 10kV/m aplicado no gás provoca um deslocamento médio de10-18m na nuvem eletrônica. Determine a constante dielétrica do hélio. 2. Em uma placa de material dielétrico ε=2,4ε0 e V=300z²V, determine: a. O vetor densidade de fluxo elétrico e ρv. b. O vetor polarização e ρρv. 3. Uma esfera condutora de raio 10cm está centrada na origem e imersa em um material dielétrico com ε=2,5ε0. Se a esfera está carregada com uma densidade superficial de cargas de 4nC/m², determine o vetor campo elétrico em (-3,4,12)cm. 4. Para um meio anisotrópico  Dx  4 1 1  E x        D y  = 1 4 1  E y   D  1 1 4  E   z  z obtenha o vetor densidade de fluxo elétrico para: Eletromagnetismo 1 12 ELET0030 – Turma EB LISTA DE EXERCÍCIOS a. Vetor campo elétrico igual a (10,10,0) V/m. b. Vetor campo elétrico igual a (10,20,-30) V/m. 5. O excesso de cargas, em um determinado meio, decai a um terço de seu valor inicial em 20µs, a. Se a condutividade do meio é de 10-4S/m, qual é a constante dielétrica desse meio? b. Qual é o tempo de relaxação? c. Após 30µs, qual a fração de carga que ainda permanece? 6. Duas regiões dielétricas homogêneas 1 ( ρ ≤ 4 cm) e 2 ( ρ ≥ 4 cm) têm constantes dielétricas 3,5 e 1,5, → respectivamente. Se D2 = 12âρ − 6âφ + 9âz nC/m², calcule: → → a. E1 e D1 . → b. P2 e ρ ρv 2 . c. A densidade de energia em cada região. Eletromagnetismo 1 13 ELET0030 – Turma EB LISTA DE EXERCÍCIOS CAPÍTULO VI – PROBLEMAS DE VALOR DE FRONTEIRA EM ELETROSTÁTICA LISTA A → 1. No espaço livre, V = 6 xy 2 z + 8 . Determine E e ρ v , no ponto P(1,2,-5). 2. Seja V = ( A cos nx + Bsennx )(Ce ny + De − ny ) , onde A, B, C e D são constantes. Demonstre que V satisfaz a equação de Laplace. 3. Considere as placas condutoras mostradas na figura 1. Se → → V ( z = 0) = 0 e V ( z = 2mm ) = 50 V, determine V , E e D no interior do dielétrico (εr=1,5) entre as placas e ρ S sobre as placas. Figura 1 Eletromagnetismo 1 14 ELET0030 – Turma EB LISTA DE EXERCÍCIOS 4. Dois cilindros concêntricos, ρ=2cm e ρ=6cm, são mantidos → → a V=60V e V=-20V, respectivamente. Calcule V , E e D em ρ=4cm. 5. Duas placas condutoras estão posicionadas em z=-2cm e z=2cm e são, respectivamente, mantidas nos potenciais 0V e 200V. Assumindo que as placas estão separadas por uma camada de polipropileno (εr=2,25), calcule: a. O potencial em um ponto entre as placas e eqüidistante delas. b. As densidades superficiais em cada placa. 6. Uma esfera condutora de raio 2cm está circundada por uma esfera condutora concêntrica de raio 5cm. Se o espaço entre as esferas for preenchido com cloreto de sódio (εr=5,9), calcule a capacitância do sistema. Eletromagnetismo 1 15 ELET0030 – Turma EB LISTA DE EXERCÍCIOS CAPÍTULO VI – PROBLEMAS DE VALOR DE FRONTEIRA EM ELETROSTÁTICA LISTA B 1. A região entre x=0 e x=d tem ρ v = ρ 0 x−d . Se V (x = 0) = 0 e d V ( x = d ) = V0 , encontre: → a. V e E . b. A densidade superficial de cargas em x=0 e x=d. 2. Um certo material ocupa o espaço entre dois blocos condutores e está localizado em y = ±2 cm. Quando aquecido, o material emite elétrons de forma que essa região adquire uma carga dada por ρ v = 50(1 − y 2 )µC/m³. Se ambos os blocos forem mantidos a 30kV, encontre a distribuição de potencial entre eles. Considere ε=3ε0. 3. Resolva a equação de Laplace para o sistema eletrostático bidimensional da figura 1 e encontre o potencial V (x, y ) . Figura 1 Eletromagnetismo 1 16 ELET0030 – Turma EB LISTA DE EXERCÍCIOS 4. Um hemisfério condutor ôco, de raio a, está enterrado com sua face plana paralela à superfície da terra, servindo como um eletrodo de aterramento. Se a condutividade da terra é σ, demonstre que a condutância de perdas entre eletrodo e terra é 2πaσ. 5. Um capacitor esférico tem um raio interno a e um raio externo d. Concêntrica com os condutores esféricos e posicionada entre eles existe uma casca esférica de raio externo c e raio interno b. Se as regiões d2. Figura 2 6. O núcleo de um toróide tem 12 cm² de área de seção reta e é feito de um material com µ=200µo. Se o raio médio do toróide é 50 cm, calcule o número de espiras necessário para obter uma indutância de 2,5 H. Eletromagnetismo 1 31 ELET0030 – Turma EB LISTA DE EXERCÍCIOS 7. Considere o circuito magnético ilustrado na figura 3. Assumindo que o núcleo (µ=1000µo) tem uma seção reta uniforme de 4 cm², determine a densidade de fluxo no entreferro de ar. Figura 3 Eletromagnetismo 1 32 ELET0030 – Turma EB LISTA DE EXERCÍCIOS RESPOSTAS • CAPÍTULO I – ÁLGEBRA VETORIAL 1. ± (-0,87; -0,35; -0,35). 2. α=-3/2 e β=1/2. 3. -2,86; (-0,29; 0,86; -0,43); 114,09o. 4. 72,36 o; 59,66o; 143,91o. 5. 7,68; (0, -2, -5); 42,57 o; 11,03; 17,30. 6. 10,30; (-2,17; 1,63; -4,89); (-0,17; 0,63; -1,89). • CAPÍTULO II – SISTEMAS E TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS [ ( ] ) 1. V = ρz cos φ − ρ 2 senφ cos φ + ρzsenφ ; U = r 2 sen 2θ cos 2 φ + 2sen 2φ + 3 cos 2 θ .  4 ρ 2.  ,0, 2  ρ 2 + z2 ρ + z2   ρ3 ρ2z  ,0,  ρ 2 + z2 ρ 2 + z2   ;   4 4   2  sen θ + cos θ , senθ cosθ − senθ ,0  ; r r     ; r 2 sen 2θ ,0,0 .   ( )   xz yz 3.  , , yz 2  ;  x2 + y2 + z2  x2 + y2 + z2   [rsenθ cosθ (senθ + r 2 ) 0; ( )] cos 2 θsenφ , rsenθ cos θ cosθ − r 2 senθ cosθsenφ ,0 ; 0. 4. (1, -1, 7); 143,36o; -8,79. 5. (0, 3, 25); (15,61; 0; -10); (5,58; -3,65; 2,46); ± (-0,53; 0,21; -0,82).  2 cos 2 θsen 2φ 3 2 2 3 θ φ θ φ φ θ φ sen cos + cos 1 + sen − cos , c os cos + − senθ 1 − cos 2 φ  θ sen 6.  2 cos φsenφ cosθ  2 − senφ cos φ + senθ ( • ) ( CAPÍTULO III – CÁLCULO VETORIAL 1. 0,67. 2. (0,67; 0,67; -0,33). Eletromagnetismo 1 33 ELET0030 – Turma EB ),    LISTA DE EXERCÍCIOS RESPOSTAS ( ) 3. − 2 x 2 − z 2 . 4. 50,26. 5. 0. 6. 6; 1; 1; -6. • CAPÍTULO IV – CAMPOS ELETROSTÁTICOS – LISTA A 1. (-1,83; -0,52; 1,31) kN. 2. 24,97 nC; -11,64 nC. 3. (ε0xy; ε0x2; 0); ε0y. 4. 0 (ρ<1); ( ) (1<ρ<2); 4 ρ 3 −1 28 ρ ρ (ρ>2). 5. 1050 J. 6. • Q2 8πε 0 a . CAPÍTULO IV – CAMPOS ELETROSTÁTICOS – LISTA B 1. (4,86; 0,27; 0) MV/m. 1  a 2 + h 2 a ln 2. V = −1+  . 2ε 0  h h  3. (-0,59; 0; -0,18). 2ρ 0 a 5 4. âr ; 15ε 0 r 2 ρ 0  r 2 a 2 r 4 a 4  8πρ 0 a 5 2ρ0 a 5 ρ0r 5 2  ; 5a − 3r âr ; − − − ; ; 15ε 0 r 15ε 0 ε 0  6 20 4  15 ( ) Demonstração. 5. (72; 27; -36). 6. 9,44 nJ. • CAPÍTULO V – CAMPOS ELETROSTÁTICOS EM MEIO MATERIAL – LISTA A 1. 23,11a² A. Eletromagnetismo 1 34 ELET0030 – Turma EB LISTA DE EXERCÍCIOS RESPOSTAS 2. 0,27 mΩ; 50,35 A e 9,65 A; 0,32 mΩ. 3. V = ρ0 2  1 a 1 + 3ε 0  2ε r  ρ  ; V = 0 a 2 . 3ε 0  4. 46,23A; 46 µC/m³. 5. (-1,06; 1,77; 1,55) nC/m²; (-0,80; 1,33; 1,16) nC/m²; 39,79o. 6. 12,95 µJ. • CAPÍTULO V – CAMPOS ELETROSTÁTICOS EM MEIO MATERIAL – LISTA B 1. 1,000184. 2. (0; 0; -12,74) nC/m²; -12,74 nC/m³; (0; 0; -7,43z) nC/m²; 7,43 nC/m³. 3. (-24,71; 32,95; 98,86). 4. ε0(50; 50; 20). ε0(30; 60; -90). 5. 205,70; 18,20µs; 0,1924ρvo. 6. (12, -14, 21) nC/m²; (387,41; -451,98; 677,97) V/m; (4; -2; 3) nC/m²; 0; 12,61 µJ/m²; 9,83 µJ/m². • CAPÍTULO VI – PROBLEMAS DE VALOR DE FRONTEIRA EM ELETROSTÁTICA – LISTA A 1. 5,31x10-10 C/m³; (120, 120, -24) V/m. 2. Demonstração. 3. 25000z V; -25000 V/m â z ; -331,88 nC/m² â z ; 331,88 nC/m². 4. 9,53 V; 1,82 kV/m â ρ ; 16,11 nC/m² â ρ . 5. 100V; 100 nC/m²; -100 nC/m². 6. 21,87 pF. Eletromagnetismo 1 35 ELET0030 – Turma EB LISTA DE EXERCÍCIOS RESPOSTAS • CAPÍTULO VI – PROBLEMAS DE VALOR DE FRONTEIRA EM ELETROSTÁTICA – LISTA B  ρ0  x2  V ρ d  − dx  − 0 + 0  â x ;   d 6ε 0  ε 0 d  2 ρ 0  x 3 dx 2   V0 ρ 0 d  x ;  − + − 1. − ε 0 d  6 2   d 6ε 0   V V ρ d ρ d − ε 0  − 0 + 0  ; − ε 0  0 + 0  .  d 6ε 0   d 3ε 0  ( ) 2. − 941,62 y 2 + 156,94 y 4 + 30,38 kV. 4V0  nπx    nπa   nπy   nπy  sen   tgh   cosh   − senh   . b  b   nπa   b    b    n =1  n ≠ par nπtgh   b  ∞ 3. ∑ 4. Demonstração. 5. 4πε 1ε 2ε 3 (b − a )(c − b )(d − c ) . ε 2ε 3 (b − a )(c − b ) + ε 1ε 2 (c − b )(d − c ) + ε 1ε 3 (b − a )(d − c ) 6. Demonstração. • CAPÍTULO VII – CAMPOS MAGNETOSTÁTICOS – LISTA A 1. 0,95âz H/m. 2. − 1,77 âx H/m. 3. a) 80âφ nT; b) 1,76 µWb. 4. Não pode ser nem campo eletrostático e nem magnetostático. 5. µId âφ . 2πρ (d − ρ ) 6. Demonstração. • CAPÍTULO VII – CAMPOS MAGNETOSTÁTICOS – LISTA B 1. a) 0,18âz ; b) − 0,20âx − 0,20â y . 2. Demonstração. 3. 31,83âφ . Eletromagnetismo 1 36 ELET0030 – Turma EB LISTA DE EXERCÍCIOS RESPOSTAS 4. Pode ser apenas um campo eletrostático para o caso de não haver densidade de cargas livres ( ρ v = 0 ). 5. I o ρµ o âφ . 2πa 2 6. − • 10 µo ρ 3 âz . CAPÍTULO VIII – FORÇAS, MATERIAIS E DISPOSITIVOS MAGNÉTICOS – LISTA A 1. (-44, 13, 6) kV/m. 2. (0, 0, 30) N. 3. -1,56 J. 4. 9,50 mJ/m³. 5. (3,63; -30,00; 15,43) A/m. 6. 22,36 µm. 7. 200 A-espiras; 19,083 kA/m. 8. a) 1151,23 kA-espiras/Wb; 920,98 A-espiras; 0,8 mWb. b) 23873,24 kA-espiras/Wb; 19098,59 A-espiras; 0,8 mWb. • CAPÍTULO VIII – FORÇAS, MATERIAIS E DISPOSITIVOS MAGNÉTICOS – LISTA B 1. . 2. . 3. . 4. . 5. . 6. . 7. . Eletromagnetismo 1 37 ELET0030 – Turma EB