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LISTA 4 - C´ alculo I (2011/1) Prof. Cassius f (p + h) − f (p) , determine f 0 (p) dados: h→0 h
1. Sendo f 0 (p) = lim
(a) f (x) = x2 + x e p = 1 (c) f (x) = cos(x) e p =
(e) f (x) = x +
9 x
π 2
e p=2
√
(b) f (x) =
x e p=3
(d) f (x) = 2x
(f ) f (x) =
1 x2
e p=1
e p = −2
2. Determine a equa¸ca˜o e esboce o gr´afico da reta tangente ao gr´afico da fun¸ca˜o f no ponto dado (p, f (p)) dado. (a) f (x) = x2 + 1 (2, f (2)) (b) f (x) = x2 + 2x + 1 (−3, f (−3)) (c) f (x) = x3
(e) f (x) =
√
(2, f (2))
x (1, f (1))
(d) f (x) =
√ x − 1 (5, f (5))
(f ) f (x) = x +
4 x
(4, f (4))
3. Dˆe exemplo, por meio de um gr´afico de uma fun¸c˜ao f , definida e deriv´avel em IR, tal que f 0 (1) = 0. 4. Dˆe exemplo, por meio de um gr´afico de uma fun¸ca˜o f definida e cont´ınua em IR tal que f 0 (1) n˜ao exista. 5. Dˆe exemplo, por meio de um gr´afico, de uma fun¸ca˜o f , definida e deriv´avel em IR, tal que f 0 (0) = 0 e f 0 (1) = 0. 6. Encontre uma reta tangente ao gr´afico da fun¸ca˜o f (x) = x3 e que seja paralela a` reta r : 3x − y + 1 = 0. 7. Sejam f , g e h fun¸co˜es deriv´aveis. Verifique que: [f (x)g(x)h(x)]0 = f 0 (x)g(x)h(x) + f (x)g 0 (x)h(x) + f (x)g(x)h0 (x) 8. Determine f 0 (x) sendo: (a) f (x) = xex cos(x)
(b) f (x) = x2 (1 + ln(x)) cos(x)
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9. Utilizando as regras de deriva¸c˜ao determine a derivada de cada uma das seguintes fun¸co˜es: (a) f (x) = x2 ex
(b) f (x) = 4 + 5x2 ln(x)
(c) f (x) =
ex x2 + 1
(e) f (x) =
3 (f ) f (x) = 3 cos(x) + 5sec(x) sin(x) + cos(x)
ln(x) x
(d) f (x) =
(g) y = 8
(h) f (x) = −2
(i) y = x6
(j) y =
(k) y =
√ 5 x
(m) y =
1 x7
(l) g(t) = −t2 + 3t − 6
π sen(θ) − cos(θ) 2
(n) h(t) = πcos(t)
1 (o) y = x2 − cos(x) 2
(p) y =
5 + 2cos(x) (2x)3
(q) g(x) = 2x
(r) y = π x
10. Utilizando a Regra da Cadeia determine a fun¸ca˜o derivada de cada uma das seguintes fun¸co˜es: (a) y = (2x − 7)3
(b) y = 3(4 − x2 )5 2
(c) h(x) = 3(4 − 9x)4 (d) y = (9t + 2) 3 (e) f (t) = (g) y =
(i) y =
√ 3
√
1−t
(f ) g(x) =
√
5 − 3x
√ (h) g(x) = −2 4 2 − 9x
9x2 + 4
1 x−2
(j) y = −
2
5 (t + 3)3
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11. Determine y 00 sendo: 3 1 (a) y = 1 + x 1 (b) y = cotg(3x − 1) 9 12. Suponha y = y(r) seja deriv´avel at´e segunda ordem. Verifique que: dy dy d2 y d 2 (r + r) = (2r + 1) + (r2 + r) 2 dr dr dr dr 13. Suponha que as fun¸c˜oes f e g e suas derivadas em rela¸ca˜o a x tenham os valores em x = 0 e x = 1 mostrados a seguir: g(x) f 0 (x)
g 0 (x)
x
f (x)
0
1
1
5
1 3
1
3
−4
− 13
− 83
Encontre as derivadas em rela¸c˜ao a x das fun¸co˜es compostas a seguir usando os valores dados de x: (a) 5f (x) − g(x) x = 1 f (x) x=1 (b) g(x) + 1 (c) g(f (x)) x = 0 (d) f (x)g 3 (x)
x=0
14. Mostre que as retas tangentes a` curva y=
πsen(x) x
em x = π e x = −π se interceptam formando aˆngulo reto. 15. Em qual ponto do gr´afico da fun¸c˜ao y = 2t −3 a reta tangente em coeficiente angular igual a 21 ? 16. Para cada uma das fun¸c˜oes f abaixo, determine: • Os pontos cr´ıticos de f • Os intervalos de crescimento e decrescimento 3
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(a) f (x) = x2 − 4x − 1 (b) f (x) = 3x2 − 3x + 2 (c) f (x) = x3 − x2 − x (d) f (x) = x3 − 9x2 + 15x − 5 17. Estude a fun¸ca˜o dada com rela¸ca˜o a concavidade e pontos de inflex˜ao: (a) f (x) = x3 − 3x2 − 9x (b) f (x) = 2x3 − x2 − 4x + 1 (c) f (x) = xe−2x
(d) f (x) = x2 +
1 x
Para resolu¸ca˜o do exerc´ıcio (18), utilize o seguinte resultado: Teorema: Seja c um ponto cr´ıtico de uma fun¸ca˜o f , ou seja, f 0 (c) = 0 e suponhamos que f 0 exista para todos os valores de x em algum intervalo aberto contendo c. Se f 00 (c) existe e: (i) Se f 00 (c) < 0 ent˜ao f tem valor m´aximo relativo em c (ii) Se f 00 (c) > 0 ent˜ao f tem um valor m´ınimo relativo em c 18. Determine os pontos cr´ıticos da fun¸ca˜o dada e classifique-os (a classifica¸ca˜o refere-se a ponto de m´aximo, m´ınimo ou ponto de inflex˜ao): (a) f (x) =
x4 − x3 − 2x2 + 3 (b) f (x) = x3 − 3x2 + 3x − 1 4
(c) f (x) = x(x + 2)3
(d) f (x) = 7 − 6x − 3x2
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Prof. Cassius ˜ RESPOSTAS DE ALGUMAS QUESTOES
quest˜ ao (1): (a) f 0 (1) = 3 (e) f 0 (2) = − 45
(f ) f 0 (−2) =
(b) f 0 (3) =
(k) (p)
−3(cos(x)−sen(x)) (sen(x)+cos(x))2 1 √ (l) − 5 5 x4 −30 − 2sen(x) x4
2t + 3
−1 √ 2 1−t
(f )
quest˜ ao (11):
(b) 10xln(x) + 5x
(m)
(q) 2x ln(2)
√1 −6 5−3x (a) y 00 = x64
π cos(θ) 2 x
(c) y − 8 = 8(x − 2)
(f ) y − 5 = 34 (x − 4)
(f ) − 3sen(x) + 5sec(x)tg(x)
quest˜ ao (10): (a) 6(2x − 7)2 (e)
(b) y − 4 = −4(x + 3)
(e) y − 1 = 21 (x − 1)
quest˜ ao (9): (a) 2xex + x2 ex (e)
(d) f 0 (1) = 0
1 4
quest˜ ao (2): (a) y − 5 = 4(x − 2) (d) y − 2 = 14 (x − 5)
(c) f 0 ( π2 ) = −1
1 √ 2 3
+ sen(θ)
(c)
ex x2 +1
(g) 0
−
2xex (x2 +1)2
(h) 0
(n) − πsen(t)
(d)
(i) 6x5
1−ln(x) x2 (j) −7 x8
(o) 2x + 21 sen(x)
(r) π ln(π)
(b) − 30x(4 − x2 )4
(c) − 108(4 − 9x)3 ,
−2
−3
1
(d) 6(9t + 2)− 3
−1 15 (g) 6(9x2 + 4) 3 (h) 29 (2 − 9x) 4 (i) (x−2) (j) (t+3) 2 4 1 6 1 2 00 2 1 + x + x3 1 + x (b) y = 2cossec (3x − 1)cotg(3x − 1)
quest˜ ao (15): Aproximadamente no ponto (4.921, 27.297)
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