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LISTA 3 – FRAÇÕES ALGÉBRICAS 2
5
16a b c 1) Simplifique a fração: 8a 3 b 2
35 5x 7y xy 5 y
2) Simplificar a fração:
3) (colégio naval/1958) Simplifique a fração:
4) Efetuar, simplificando o resultado:
5) Assinale a resposta certa.
a)
7 1− y
6) Efetuar:
b)
1 1 a 2 − ab ab − b 2
3 4 8 − 1 y 1− y 1 − y2 7 1 y
7 1 − y2
c)
d)
−7 y2 − 1
3a 2 b 3 10x 2 y 2 ⋅ 5a 4 x 6a 3 y
7) Efetuando e simplificando a expressão:
8) efetue a operação:
a)
x3 − 2x 2 − x 2 x2 − 1
2 b
2a − 2b a 2 − b2 ÷ 10 5a 5b
1 1 a2 − ⋅ 2 − 1 ab a−b b b)
−
2 b
c)
, obtemos o número:
e marque o resultado correto.
a
2
d)
9) (colégio naval/1971) Simplifique o máximo possível. 5 8 x 3⋅ x 2 − 4 [ 2 ] x 4x 4⋅ x 2 − 2x 4⋅4 − 2x
10) Reduzindo a expressão
a 2 ⋅b3 4 ⋅a 3 ⋅b2 3 a 4 ⋅b 5 2
a sua forma mais simples
encontraremos: a)
a 4 ⋅b 3 2
PROFESSOR: LIMA
b)
a 4 ⋅b 2 2
c)
a 3 ⋅b 4 2
d)
a 9 ⋅b 8
2 a
LISTA 3 – FRAÇÕES ALGÉBRICAS RESPOSTAS 1)
2b 3 c a
2)
x7
3)
x−2
4)
ab aba − b
5)
7 1 y
6)
b x y a5
7)
1
8)
−
9)
− 32
10)
a ⋅b
3
9
2
2 b
8
PROFESSOR: LIMA
LISTA 3 – FRAÇÕES ALGÉBRICAS RESOLUÇÃO 2
5
16a b c 1) Simplifique a fração: 3 2 8a b
16a 2 b5 c 8a 3 b2 =
16 a 2 b5 ⋅ ⋅ ⋅c 8 a 3 b2
=
1 2⋅ 1 ⋅b3 ⋅c a
=
2⋅1⋅b 3 ⋅ c a
=
2 ⋅a
=
2− 3
2b 3 c a
⋅b
5−2
→
⋅c
=
2 ⋅a
−1
3
⋅b ⋅c
16a 2 b 5 c 2b3 c = a 8a 3 b 2
OU Dividir os monômios dos termos da fração pelo seu m.d.c. Cálculo do m.d.c Lembrete: m.d.c → fatores comuns elevados aos menores expoentes
16a 2 b 5 c 3
8a b
2
=
2 4 ⋅a 2 ⋅b5 ⋅c
= 3
3
2 ⋅a ⋅b
2
m.d.c (
2 5 3 2 3 2 2 16a b c , 8a b ) = 2 a b
m.d.c (
16a 2 b 5 c
16a 2 b5 c 8a 3 b2
8a 3 b 2
,
→ Dividir
=
2 b3 c a
16a 2 b 5 c 2b3 c = a 8a 3 b 2
PROFESSOR: LIMA
8a 2 b 2
numerador e denominador por
16 /8⋅ a 2 / a 2 ⋅b5 /b 2 ⋅ c 8/8⋅ a 3 / a 2 ⋅b 2 /b 2 2⋅1⋅b 3 ⋅ c 1 ⋅a 1 ⋅1
)=
=
2⋅a 2 − 2 ⋅b 5 − 2 ⋅c 1 ⋅a 3 − 2 ⋅b2 −2
8a 2 b2 =
2⋅a 0 ⋅b 3 ⋅c 1 ⋅a 1 ⋅b0
=
=
LISTA 3 – FRAÇÕES ALGÉBRICAS 2) Simplificar a fração:
35 5x 7y xy 5 y
A simplificação só pode ser executada quando houver uma multiplicação e no caso em questão só temos adição, por este motivo temos que fatorar para transformar a adição em multiplicação.
35 5x 7y xy 5 y
→
O macete é observar que o denominador não admite fatoração e
portanto não deve ser mexido, assim sendo, devemos ao fatorar o numerador tentar encontrar fatores iguais ao denominador para que ocorra a simplificação. O numerador será fatorado colocando-se o termo comum em evidência, veja:
35 5x 7y xy = 57 x y 7 x 57 x y 7 x = 7 x⋅5 y
→ ainda da para
→ agora
fatorar
sim concluída a fatoração
35 5x 7y xy = 7 x⋅5 y A fração ficará assim:
35 5x 7y xy 5 y
=
7 x ⋅5 y 5 y
→ agora
temos uma
multiplicação e podemos efetuar a simplificação dividindo- se os temos (numerador e denominador) pelo fator comum 5 + y.
35 5x 7y xy 5 y
=
por uma questão de elegância
7 x ⋅5 y 5 y
=
7 x ⋅5 y / 1 5 y /1
=7+x
x 7
35 5x 7y xy = x7 5y 3
3) (colégio naval/1958) Simplifique a fração:
2
x − 2x − x 2 x2 − 1
Já sabemos que a simplificação só pode ser executada quando houver uma multiplicação e no caso em questão só temos subtração, por este motivo temos que fatorar transformando a subtração em multiplicação.
PROFESSOR: LIMA
LISTA 3 – FRAÇÕES ALGÉBRICAS O macete é observar que o denominador admite uma fatoração mais fácil, vejamos: Lembrete:
a 2 − b 2 = a b⋅a−b
Fatoração do denominador 2 2 2 2 2 x − 1 = x −1 , logo: x −1 = x 1⋅ x − 1
Fatoração do numerador Devemos ao fatorar o numerador tentar encontrar fatores iguais ao denominador para que ocorra a simplificação. O
numerador
3
2
será
fatorado
colocando-se
o
termo
comum
em
evidência,
veja:
x − 2x − x 2 colocando - 1 em evidência → colocando
x
2
em evidência →
O numerador fatorado ficará, assim:
− 1⋅ x − 2
x 2 ⋅ x − 2 3
2
2
x − 2x − x 2 = x ⋅ x − 2− 1⋅ x − 2 colocando em evidência ( x – 2) →
Fatorando
2 2 2 2 2 x − 1 = x −1 , logo: x −1 = x 1⋅ x − 1
A fração fica assim:
3 2 x − 2x − x 2 x − 2⋅ x 1⋅x − 1 = x 1⋅ x − 1 x2 − 1
Dividindo pelos fatores comuns, obtemos a resposta:
x3 − 2x 2 − x 2 x − 2⋅ x 1⋅ x − 1 = =x−2 x 1⋅ x − 1 x2 − 1 x3 − 2x 2 − x 2 = x−2 x2 − 1 PROFESSOR: LIMA
2
x − 2⋅ x −1
LISTA 3 – FRAÇÕES ALGÉBRICAS 4) Efetuar, simplificando o resultado:
1 1 a − ab ab − b 2 2
Trata-se de uma adição de frações com denominadores diferentes, portanto temos que reduzir as frações ao mesmo denominador, para isso precisamos calcular o m.m.c. Cálculo do m.m.c
a 2 − ab = a⋅a−b m.m.c (
2 2 a − ab , ab − b ) = ab⋅a − b
ab − b2 = b⋅a − b Após o cálculo do m.m.c a fração dada será escrita assim:
1 1 1 1 = a 2 − ab ab − b 2 a⋅a−b b⋅a − b Resolvendo a soma encontraremos o seguinte resultado:
1 1 1 1 1⋅b 1⋅a = = 2 a⋅a−b/ b b⋅a − b/ a a⋅a −b b ⋅a − b a − ab ab − b 2
=
1⋅b 1⋅a ba ab = = ab⋅a−b ab⋅a − b ab⋅a−b ab⋅a−b
1 1 ab = 2 ab⋅ a−b a − ab ab − b 2
5) Assinale a resposta certa.
a)
7 1− y
3 4 8 − 1 y 1− y 1 − y2 b)
7 1 y
c)
7 1 − y2
d)
−7 y2 − 1
Trata-se de uma operação de frações com denominadores diferentes, portanto temos que reduzir as frações ao mesmo denominador, para isso precisamos calcular o m.m.c. Cálculo do m.m.c
1 y=1 y 1− y=1− y PROFESSOR: LIMA
LISTA 3 – FRAÇÕES ALGÉBRICAS
1 − y 2 = 12 − y 2 = 1 y ⋅1− y m.m.c 1 y , 1 − y , 1 − y 2 = 1 y ⋅1 − y Reduzindo ao mesmo denominador
3 4 8 3 4 8 − = − = 2 1 y 1− y 1− y 1 y /1 − y 1 − y /1 y 1 − y 2 /1
=
3⋅1 − y − 4⋅1 y 8⋅1 3 − 3y − 4 4 y 8 = = 1 − y ⋅1 y 1 − y ⋅1 y
=
3 − 3y − 4 4 y 8 7 − 7y = 1 − y⋅1 y 1 − y ⋅1 y
Fração reduzida ao mesmo denominador:
3 4 8 7 − 7y − = 2 1 y 1− y 1 − y 1 − y ⋅1 y
Resolvendo a operação:
=
3 − 3y − 4 4 y 8 7 − 7y 7⋅1 − y = = = 1 − y⋅1 y 1 − y ⋅1 y 1 − y⋅1 y
=
7⋅1 − y 7⋅1 − y 7 = = 1 − y ⋅1 y 1 − y ⋅1 y 1 y
3 4 8 7 − = 2 1 y 1− y 1− y 1 y 6) Efetuar:
3a 2 b 3 10x 3 y 2 ⋅ 5a 4 x 6a 3 y
Antes de proceder a multiplicação temos que efetuar a simplificação, desta forma a operação será facilitada. Simplificando cada fração separadamente: PROFESSOR: LIMA
LISTA 3 – FRAÇÕES ALGÉBRICAS 2
3
3
2
2
3
3
3
3
3a b 10x y 3a b 10/5 x y y 3b 5x y ⋅ = ⋅ = ⋅ 4 3 2 2 3 2 5a x 6a y 5a a x 6/ 3a y 5 a x 3a 3 Agora simplificando cruzado:
3a 2 b3 10x 3 y 2 3b3 5x 3 y 3 b3 5 x2 x y b3 x2 y ⋅ = 3 ⋅ 3 = ⋅ = 2⋅ 3 = 5a 4 x 6a 3 y 5a x 3a y 5 a2 x 3 a3 a a b3 x2 y b3 x2 y b3 x 2 y b 3 x 2 y = 2 ⋅ 3 = 3 2 = 32 = a a a ⋅a a a5 3a 2 b3 10x 3 y 2 b 3 x 2 y ⋅ = 4 3 5a x 6a y a5 7) Efetuando e simplificando a expressão:
2a − 2b a 2 − b2 ÷ 10 5a 5b
, obtemos o número:
Primeiro temos que transformar a divisão numa multiplicação. Lembete: Repetimos a primeira fração invertemos o sinal da operação de divisão para multiplicação e em seguida invertemos a segunda fração.
2a − 2b a 2 − b2 2a − 2b 5a 5b ÷ = ⋅ 2 10 5a 5b 10 a − b2 Antes de proceder a multiplicação temos que efetuar a simplificação, desta forma a operação será facilitada. Para isto é preciso fatorar cada termo das frações. Fatorando:
2a − 2b = 2 a − b 5a 5b = 5a b 2
2
a − b = a b⋅a − b A expressão ficará assim:
2a − b 5a b 2a − 2b a 2 − b2 ÷ = ⋅ 10 5a 5b 10 a b⋅a − b
Simplificando cada fração separadamente
PROFESSOR: LIMA
LISTA 3 – FRAÇÕES ALGÉBRICAS
2a − b 5a b 2/1a − b 5a b a − b 5 ⋅ = ⋅ = ⋅ 10 a b⋅a − b 10 /5 a b⋅a − b 5 a − b Agora simplificando cruzado:
a − b 5 a − b 5 /1 ⋅ = ⋅ =1 5 a − b 5/1 o a − b 2a − 2b a 2 − b2 ÷ =1 10 5a 5b 2
1 1 a − ⋅ 2 − 1 ab a−b b
8) efetue a operação:
a)
2 b
b)
−
2 b
e marque o resultado correto.
c)
a2
d)
2 a
Primeiro resolvemos as operações dentro dos parênteses e para isso temos que reduzir cada fator ao mesmo denominador: Está fácil de visualizar que: m.m.c ( a + b; a -b) = (a + b) . (a – b) e m.m.c (b2) = b2
1 1 a2 1 1 a2 1 − ⋅ 2 − 1 = − ⋅ 2 − = ab a−b a b /a − b a − b /a b b b 1 /b 2 =
1⋅a − b 1⋅ a b a 2 1⋅b 2 a − b a b a2 b2 − ⋅ 2 − 2 = − ⋅ 2 − 2 = a b a − b a ba − b a b a − b a ba − b b b b b 2
2
2
2
2
2
2
2
a − b−a − b a −b a − b− a − b a −b − b −b a −b = ⋅ = ⋅ = ⋅ = 2 2 2 a ba − b a ba − b a ba − b b b b − 2b a −b = ⋅ = 2 a ba − b b A expressão reduzida ao mesmo denominador ficará assim:
1 1 a2 − 2b a 2 − b2 − ⋅ 2 − 1 = ⋅ ab a−b a ba − b b b2 Resolvendo a operação: Lembrete:
2
2
a − b = a b⋅a−b
PROFESSOR: LIMA
LISTA 3 – FRAÇÕES ALGÉBRICAS 2
2
2
2
2
1 1 a − 2b a −b − 2b a −b − ⋅ 2 − 1 = ⋅ = 2 ⋅ = 2 2 ab a−b a ba − b b b a −b b2 Simplificando cruzado:
− 2b a2 − b2 2 = 2 ⋅ =− 2 2 b a −b b 1 1 a2 2 − ⋅ 2 − 1 = − ab a−b b b 9) (colégio naval/1971) Simplifique o máximo possível. −5 8 x 3⋅ x 2 − 4 [ 2 ] x 4x 4⋅ x 2 − 2x 4⋅4 − 2x
Lembrete: 2
2
a − b = a b⋅a−b a 3 b 3 = a − b⋅a 2 ab − b 2 a b2 = a 2 2ab b 2 Primeiro devemos simplificar o máximo possível e para isso precisaremos fatorar o que pudermos, logo:
8 x 3 = 23 x 3 = 2 x ⋅4 − 2x x 2 2
2
2
x − 4 = x − 2 = x2⋅ x−2 2
2
x 4x 4 = x 2⋅ x 2 = x2 4 − 2x = 22 − x Substituindo estes valores na expressão teremos: 3
[
2
−5
8 x ⋅ x − 4 ] 2 2 x 4x 4⋅ x − 2x 4⋅4 − 2x
2
=[
Vamos deixar a expressão mais elegante fazendo alguns ajustes:
PROFESSOR: LIMA
−5
2 x ⋅4 − 2x x ⋅ x2⋅ x−2 ] 2 x 2⋅ x 2⋅ x − 2x 4⋅ 22 − x
=
LISTA 3 – FRAÇÕES ALGÉBRICAS 2
−5
x 2⋅ x − 2x 4⋅x 2⋅ x−2 =[ ] x 2⋅ x 2⋅ x 2 − 2x 4⋅ 22 − x
=
Simplificando:
x 2⋅ x 2 − 2x 4⋅ x 2⋅ x−2 − 5 x−2 − 5 =[ ] =[ ] = 22 − x x 2⋅ x 2⋅ x 2 − 2x 4⋅22 − x Lembrete: x – 2 e 2 – x são simétricos, logo se multiplicarmos o numerador e a fração toda por – 1, não alteraremos o seu valor.
− x −2 − 5 − x 2 −5 = [− ] = [− ] = 22 − x 22 − x
Deixando o numerador mais elegante e
simplificando teremos: −5
2−x = [− ] 22 − x
a −2 b 2 = b a
Lembrete:
−5
1 = [− ] 2 [
−5
2 − x /1 = [− ] 22 − x
−5
1 = [− ] 2
=
→ invertermos os termos da fração e tornamos o expoente positivo.
5
2 = [− ] = [− 2] 5 = − 32 1
−5 8 x 3 ⋅ x 2 − 4 ] = − 32 x 2 4x 4⋅ x 2 − 2x 4⋅4 − 2x
10) Reduzindo a expressão
a 2 ⋅b3 4 ⋅a 3 ⋅b2 3 a 4 ⋅b 5 2
a sua forma mais simples encontraremos:
Lembrete:
a⋅b2 = a 2 ⋅b2
→ potência de um produto, elevamos cada fator da multiplicação ao
expoente.
a 2 3 = a 2⋅3
→ potência de potência, multiplicamos os expoentes.
PROFESSOR: LIMA
LISTA 3 – FRAÇÕES ALGÉBRICAS Aplicando as propriedades na expressão encontraremos:
a 2 ⋅b3 4 ⋅a 3 ⋅b2 3 a 2⋅4 ⋅b 3⋅4 ⋅a 3⋅3 ⋅b 2⋅3 a 8 ⋅b 12 ⋅a 9 ⋅b6 = = = a 4 ⋅b 5 2 a 4⋅2 ⋅b 5⋅2 a 8 ⋅b10 Lembrete:
a 3 ⋅a 2 = a 3 2 = a 5
→ multiplicação de potências de mesma base, repetimos a base e
somamos os expoentes.
a5 = a5 − 3 = a 2 3 a
→ divisão de potências de mesma base, repetimos a base e subtraímos os
expoentes.
a 8 9 ⋅b 12 6 a17 ⋅b18 17−8 18−10 9 8 = = 8 10 = a ⋅b = a ⋅b 8 10 a ⋅b a ⋅b a 2 ⋅b3 4 ⋅a 3 ⋅b2 3 = a9 ⋅ b8 4 5 2 a ⋅b
PROFESSOR: LIMA
