Transcript
FACULDADE DE ADMINISTRAÇÃO E NEGÓCIOS DE SERGIPE CURSO: ENGENHARIA DE PRODUÇÃO ASSUNTO: LIMITE E CONTINUIDADE
CÁLCULO I
PROFESSOR: MARCOS AGUIAR INTRODUÇÃO AO CONCEITO DE LIMITE 1.
CONTINUIDADE Intuitivamente, uma função contínua em um ponto p do seu domínio é uma função cujo gráfico não apresenta “ salto “ em p. Observe na figura (i) a função é contínua pois não apresenta salto em p, enquanto no figura (ii) não é contínua pois apresenta salto em p
fig. (i)
fig. (ii)
Exemplo 1: Consideremos as funções f e g dadas por 1 se x ≤ 1 f ( x) = x e g ( x) = 2 se x > 1
Vemos intuitivamente, que f é contínua em todo p de seu domínio. Por sua vez, g não é contínua em p = 1 , mas é contínua em todo p ≠ 1 .
1
2.
LIMITE
Intuitivamente, dizer que o limite de f ( x ) , quando x tende a p, é igual a L que, simbolicamente, se escreve lim f ( x ) = L , significa que quando x tende a p, f ( x ) x→ p
tende a L.
Exemplo 2: Consideremos a função f ( x ) =
x3 − 2 x2 3x − 6
Substituindo os valores de x indicados na tabela abaixo, observamos intuitivamente que os valores de f ( x ) se aproximam de 2 tanto pela direita como pela esquerda, porém não é 2, então dizemos que quando x tende a 2 lim f ( x ) = x→2
f ( x ) tende a
4 , onde usamos a notação 3
4 , generalizando lim f ( x ) = L x→a 3
Calculando o limite: f ( x) =
x3 − 2 x2 0 levantando a indeterminação temos: = 3x − 6 0
x2 ( x − 2) x3 − 2 x 2 x3 − 2 x 2 x2 4 lim = lim = lim = lim = x → 2 3x − 6 x → 2 3x − 6 x→2 3( x − 2) x→2 3 3
2
x
1,9 1,99 1,999 1,9999 1,99999 1,999999
f ( x)
x
f ( x)
1,20333333 1,32003333 1,33200033 1,33320000 2,33332000 1.33333200
2,1 2,01 2,001 2,0001 2,00001 2,000001
1,47000000 1,34670000 1,33466700 1,33346667 1,33334667 1,33333467
Exemplo 3: Utilizando a idéia intuitiva de limite, calcule lim x →1
Solução:
x2 −1 x −1
x2 −1 Seja f ( x ) = , x ≠ 1 ; f não está definida em x = 1 x −1
Para x ≠ 1
f ( x) =
x2 −1 = x + 1. x −1
lim x →1
x2 − 1 = lim ( x + 1) = 2 x − 1 x→1
Intuitivamente, é razoável esperar que se f estiver definida em p, então, lim f ( x ) = f ( p ) , e reciprocamente. Veremos que isto realmente acontece, isto é, se x→ p
f estiver definida em p.
f é contínua em p ⇔ lim f ( x ) = f ( p ) x→ p
3
Veremos, ainda, que se lim f ( x ) = L se f não for contínua em p, então L será x→ p
aquele valor que f deveria ter em p para ser contínua neste ponto.
f não está definida em p lim f ( x ) = L . x→ p
L é valor que f deveria ter em p para ser contínua em p
Exercícios:
I. Utilizando a idéia intuitiva de limite, calcule a) lim ( 3 x + 1)
b) lim
x →0
x →2
2
x −4 x →2 x − 2 x2 −1 g) lim x →−1 x + 1 c) lim
3.
x2 + x x+3
2
d) lim x →0
x +x x −1 x2 − 4x + 4 e) lim f) lim x →1 x − 1 x →2 x x−2
DEFINIÇÃO DE LIMITE
Consideremos as situações a seguir:
4
Na situação (a), f não está definida em p, mas existe L que satisfaz a propriedade
Para todo ∈> 0 dado, existe δ > 0 tal que, para todo x ∈ D f , p − δ < x < p + δ , x ≠ p ⇒ L − ε < f ( x) < L + ε
(i)
Na situação (b), f está definida em p, mas não é continua em p, entretanto existe L satisfazendo (i): observe que neste caso a restrição x ≠ p é essencial. Na situação (c), f é contínua em p, assim L = f ( p ) satisfaz (i). Na situação (d), não existe L satisfazendo (i) em p. A propriedade (i) é equivalente a
Para todo ε > 0 dado, existe δ > 0 tal que, para todo x ∈ D f , 0 < x − p < δ ⇒ f ( x) − L < ε
Definição. Sejam f uma função e p um ponto do domínio de f ou extremidade de um dos intervalos que compõem o domínio de f . Dizemos que f tem limite L, em p, se, para todo ε > 0 dado, existe um δ > 0 tal que, para todo x ∈ D f , 0 < x − p < δ ⇒ f ( x) − L < ε . Tal número L, quando existe é único, será indicado por lim f ( x ) . x→ p
Assim ∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que, para todo x ∈ D f lim f ( x ) = L ⇔ x→ p 0 < x − p < δ ⇒ f ( x ) − L < ε
4.
PROPRIEDADES DO LIMITE
(i) lim c = c o limite de uma constante é a própria constante x→a
(ii) lim x = a x→a
Se
lim f ( x ) e lim g ( x ) existem ambos, então x→a
x→a
5
a) lim f ( x ) + g ( x ) = lim f ( x ) + lim g ( x ) x→a x→a x→a b) lim f ( x ) ⋅ g ( x ) = lim f ( x ) ⋅ lim g ( x ) x→a x →a x →a lim f ( x ) f ( x) x→a c) lim , desde que lim g ( x ) ≠ 0 = x→a g ( x ) x →a lim g ( x ) x→a
d) lim cf ( x ) = c lim f ( x ) x →a x→a e) lim f ( x ) − g ( x ) = lim f ( x ) − lim g ( x ) x→a x →a x →a f) lim n x = n a para a > 0 e n inteiro positivo; ou se a ≤ 0 e n é um inteiro positivo x→a
impar g) Se m e n são inteiros positivo, ou se a ≤ 0 e n é um inteiro positivo impar, então m
lim x→a
( x ) = ( lim x ) = ( a )
(
f ( x ) = n lim f ( x ) n inteiro positivo impar ou n inteiro positivo par e
h) lim x→a
n
n
m
n
n
m
x→a
)
x→a
lim f ( x ) > 0 x →a
5. TEOREMA DO SANDUÍCHE
Suponhamos f ( x ) ≤ h ( x ) ≤ g ( x ) para todo x em um intervalo aberto contendo a, exceto possivelmente para o próprio a Se lim f ( x ) = L = lim g ( x ) , então lim h ( x ) = L x→a
x→a
x→a
Exemplo: Use o teorema para provar que lim x 2 sen x →0
1 =0 x2
Como −1 ≤ sen ( t ) ≤ 1 para todo t, logo, 1 −1 ≤ sen 2 ≤ 1 para todo x ≠ 0 . Multiplicando por x 2 ( que é positivo se x ≠ 0 ), x 1 obtemos: − x 2 ≤ x 2 sen 2 ≤ x 2 , como lim − x 2 = 0 e lim x 2 = 0, concluímos x →0 x →0 x 1 que lim x 2 sen 2 = 0 x →0 x
(
Exercícios. Lista
6
)
( )
5. LIMITES LATERAIS
Seja f uma função. P um número real e suponhamos que exista b tal que definimos:
( b, p ) ⊂ D f
∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que lim+ f ( x ) = L ⇔ x→ p p < x < p + δ ⇒ f ( x ) − L < ε
O número L, quando existe, denomina-se limite lateral à direita de f em p
Suponhamos agora que exista um real a tal que
( a, p ) ⊂ D f
definimos:
∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que lim− f ( x ) = L ⇔ x→ p p − δ < x < p ⇒ f ( x ) − L < ε O número L, quando existe, denomina-se limite lateral à esquerda de f em p
Exemplo 1. Calcule lim+ f ( x ) e lim− f ( x ) x →1
x →1
`x 2 se x < 1 sendo f ( x ) = 2 x se x > 1
Solução: lim+ f ( x ) = lim 2 x = 2 e lim− f ( x ) = lim x 2 = 1 x →1
x →1
Exemplo 2. Calcule lim+ x →0
x →1
x →1
x x e lim− . x →0 x x
7
1 se x > 0 = x −1 se x < 0 x
Solução:
lim+
x →0
x x
= lim1=1 e lim− x →0
x →0
Teorema. Sejam f tais que ( a, p ) e ( p, b )
x x
= lim − 1 = −1 x →0
uma função, p um número real e suponhamos que existam a e b estejam contidos em D f . Então,
f admite limites laterais à direita e à esquerda em p lim f ( x ) = L ⇔ e lim f ( x ) = lim− f ( x ) = L x→ p x → p+ x→ p Exercícios. I.
Calcule, caso exista. Se não existir, justifique.
II. Calcule
8
III. Calcule
REFERENCIA BIBLIOGRAFICA:
SWOKOWSKI, Earl W. Cálculo com Geometria Analítica. v. 1.São Paulo: Makron Books do Brasil, 1994. ANTON HOWARD. Cálculo um novo horizonte volume I 6ª ed.- Porto Alegre Bookman 2000 GUIDORIZZI, HAMILTON LUIZ. Um curso de Cálculo. V. 1 5ª ed. Rio de Janeiro. LTC. Editora – 2003.
9
