Transcript
Caderno de Exerc´ıcios
Diego Oliveira - Vit´oria da Conquista/BA
Exerc´ıcios Resolvidos: Limite Simples Contato:
[email protected]
Atualizado em 06/03/2016 Como calcular? Se f (x) ´e uma fun¸c˜ ao polinomial ent˜ao: lim f (x) = f (a)
x→a
Com base na afirma¸c˜ ao acima e nas quatro propriedades a seguir podemos calcular com facilidade o limite de algumas fun¸c˜ oes mais complexas. Seja f (x) e g(x) fun¸c˜ oes polinomiais ent˜ao: P1: Se lim g(x) = L (com L ∈ R∗ ), ent˜ao: x→a
lim
x→a
f (x) g(x)
lim f (x)
=
x→a
lim g(x)
x→a
P2: lim [g(x) ± f (x)] = lim g(x) ± lim f (x) x→a
x→a
x→a
s f (x) f (x) n n > 0 ent˜ ao lim = P3: Se lim x→a x→a g(x) g(x) s s f (x) f (x) n n f (x) P4: Se = lim < 0 ent˜ ao lim somente para n impar. Caso x→a x→a g(x) g(x) g(x) contr´ ario o limite n˜ ao pode existir.
f (x) g(x)
s
Exemplo 1: Calcule lim (x2 + 5) x→2
Solu¸ c˜ ao lim (x2 + 5) = f (2)
x→2
= (2)2 + 5 = 9
1
Caderno de Exerc´ıcios
Diego Oliveira - Vit´oria da Conquista/BA
Exemplo 2: Calcule lim
x→1
x2 + x − 3 x+2
Solu¸ c˜ ao x2 + x − 3 quando x → 1 ´e diferente de x+2
Observe que o limite do denominador de f (x) = zero. Portanto, podemos aplicar P1.
lim
x→1
x2 + x − 3 x+2
lim (x2 + x − 3)
=
x→1
lim (x + 2)
x→1
O problema agora se reduz ao calculo de limites de fun¸c˜oes polinomiais. Que como vimos ´e bastante simples. lim (x2 + x − 3) = 12 + 1 − 3 = −1
x→1
lim (x + 2) = 1 + 2 = 3
x→1
portanto lim (x2 + x − 3)
x→1
=
lim (x + 2)
x→1
−1 1 =− 3 3
Concluindo que: lim
x→1
Exemplo 3: Calcule lim
x→4
x−1 √ x−1
x2 + x − 3 x+2
=−
1 3
Solu¸ c˜ ao x−1 quando x → 4 ´e diferente de zero. Observe que o limite do denominador de f (x) = √ x−1 Portanto, podemos aplicar P1. lim
x→4
x−1 √ x−1
=
lim (x − 1) √ lim ( x − 1) x→4
x→4
A fun¸c˜ ao do numerador ´e polinomial de modo que seu limite ´e simples de calcular lim (x − 1) = 4 − 1 = 3
x→4
2
Caderno de Exerc´ıcios
Diego Oliveira - Vit´oria da Conquista/BA
Assim: lim (x − 1) 3 √ √ = lim ( x − 1) lim ( x − 1) x→4
x→4
x→4
Usando P2 chega-se a: √ √ lim ( x − 1) = lim ( x) − lim (1) x→4
x→4
x→4
√ = lim ( x) − 1 x→4
Usando P3 q √ √ lim ( x) = lim (x) = 4 = 2 x→4
x→4
Assim 3 3 √ =3 = 2−1 lim x − 1
x→4
Exemplo 4: Calcule lim (x2 + 4x + 3)3 x→−2
Solu¸ c˜ ao lim (x2 + 4x + 3)3 = (−2)2 + 4(−2) + 3
3
x→−2
Exemplo 5: Calcule lim
x→−2
= (−1)3 = −1
p 3 x2 + 4x + 3
Solu¸ c˜ ao Observe que g(x) = x2 + 4x + 3 < 0 para x = −2 assim n˜ao podemos utilizar P3. Contudo, como a raiz ´e c´ ubica (e trˆes ´e numero impar), n˜ao existe restri¸c˜ao para utilizarmos P4.
lim
x→−2
p 3
r x2 + 4x + 3 = 3 lim
x→−2
p x2 + 4x + 3 = 3 (−2)2 + 4(−2) + 3 = −1
3
Caderno de Exerc´ıcios
Diego Oliveira - Vit´oria da Conquista/BA
Exemplo 6: Calcule lim
x→5
x+2 3x + 5 + √ 4 x8
Solu¸ c˜ ao Aplicando P2 x+2 x+2 lim 3x + 5 + √ = lim (3x) + lim (5) + lim √ 4 4 x→5 x→5 x→5 x→5 x8 x8 x+2 quando x → 5 ´e diferente de zero. Portanto, Observe que o limite do denominador de √ 4 x8 podemos aplicar P1. lim (3x) + lim (5) + lim
x→5
x→5
x→5
x+2 √ 4 x8
= lim (3x) + lim (5) + x→5
x→5
lim (x + 2) √ 4 lim ( x8 )
x→5
x→5
Aplicando P3 lim (x + 2) q = lim (3x) + lim (5) + x→5 x→5 x→5 4 lim (x8 ) x→5
Todos os limites agora s˜ ao de fun¸co˜es polinomiais e podem ser facilmente calculados. lim (x + 2) 7 507 5+2 q = 20 + = = lim (3x) + lim (5) + x→5 = 3(5) + 5 + √ 4 8 x→5 x→5 25 25 4 lim (x8 ) 5 x→5
Exemplo 7: Calcule lim (5x + 7)4 x→−2
Solu¸ c˜ ao Como consequˆencia de P3 e P4 4 4 lim (5x + 7) = lim (5x + 7) = (5(−2) + 7)4 = 81 x→−2
x→−2
r Exemplo 8: Calcule lim
x→4
3
x −7x + 1
4
Caderno de Exerc´ıcios
Diego Oliveira - Vit´oria da Conquista/BA
Solu¸ c˜ ao Usando P4 r s x x lim 3 = 3 lim x→4 x→4 −7x + 1 −7x + 1 x quando x → 4 ´e diferente de zero. Portanto, −7x + 1
Observe que o limite do denominador de podemos aplicar P1. s 3
lim
x→4
x −7x + 1
v u u 3 =t
lim (x)
r
x→4
=
lim (−7x + 1)
x→4
Exemplo 9: Calcule lim
x→2
x+2 x2 − 2
3
√ 3 4 4 =− −7(4) + 1 3
Solu¸ c˜ ao Observe que o limite do denominador de podemos aplicar P1. lim
x→2
x+2 x2 − 2
lim (x + 2)
x→2
=
lim (x2 − 2)
=
x+2 quando x → 2 ´e diferente de zero. Portanto, x2 − 2
4 2+2 = =2 22 − 2 4−2
x→2
Exemplo 10: Calcule lim
x→0
2x2 + 25 −x + 2
Solu¸ c˜ ao Observe que o limite do denominador de podemos aplicar P1. lim
x→0
2x2 + 25 −x + 2
lim (2x2 + 25)
=
x→0
lim (2 − x)
x→0
=
2x2 + 25 quando x → 1 ´e diferente de zero. Portanto, −x + 2
2(0)2 + 25 25 = 2−0 2
Se alguma passagem ficou obscura ou se algum erro foi cometido por favor escreva para
[email protected] para que possa ser feito a devida corre¸c˜ao. Para encontrar esse e outros exerc´ıcios resolvidos de matem´atica acesse: www.number.890m.com 5
