Licenciatura Em Matemática - Desenho Geométrico

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Alberto Luiz Fernandes Queiroga Claudio Barros Vitor Desenho Geométrico Manaus 2007 FICHA TÉCNICA Governador Eduardo Braga Vice-Governador Omar Aziz Reitor Lourenço dos Santos Pereira Braga Vice-Reitor Carlos Eduardo S. Gonçalves Pró-Reitor de Planejamento e Administração Antônio Dias Couto Pró-Reitor de Extensão e Assuntos Comunitários Ademar R. M. Teixeira Pró-Reitor de Ensino de Graduação Carlos Eduardo S. Gonçalves Pró-Reitor de Pós-Graduação e Pesquisa Walmir de Albuquerque Barbosa Coordenador Geral do Curso de Matemática (Sistema Presencial Mediado) Carlos Alberto Farias Jennings Coordenador Pedagógico Luciano Balbino dos Santos NUPROM Núcleo de Produção de Material Coordenador Geral João Batista Gomes Projeto Gráfico Mário Lima Editoração Eletrônica Helcio Ferreira Junior Revisão Técnico-gramatical João Batista Gomes Queiroga, Alberto Luiz Fernandes. Q3d Desenho geométrico. / Alberto Luiz Fernandes Queiroga, Cláudio Barros Vitor. - Manaus/AM : UEA, 2007. - (Licenciatura em Matemática. 2. Período) 113 p.: il. ; 29 cm. Inclui bibliografia e anexo. 1. Desenho geométrico. I. Vitor, Cláudio Barros. II. Série. III. Título. CDU (1997): 514.11 CDD (19.ed.): 604.2 SUMÁRIO Palavra do Reitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 07 UNIDADE I – Introdução ao desenho geométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 09 TEMA 01 – O material utilizado no desenho geométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TEMA 02 – Entes fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TEMA 03 – Operações com segmentos e ângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 17 22 UNIDADE II – Construções de ângulos e retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 TEMA 04 – Uso do esquadro, compasso e régua para construção de ângulos e retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 UNIDADE III – Divisão de segmentos e segmentos proporcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 TEMA TEMA TEMA TEMA Divisão de segmento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Divisão em partes proporcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Média proporcional ou geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Divisão harmônica e segmento áureo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 38 42 44 UNIDADE IV – Figuras da geometria plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 TEMA TEMA TEMA TEMA TEMA Divisão de circunferência em duas partes iguais (pelo ângulo central) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Triângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quadriláteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trapézio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lozangos e paralelogramos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 55 57 59 60 UNIDADE V – Polígonos e poliedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 TEMA 14 – Polígonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TEMA 15 – Poliedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 81 Anexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Respostas de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 05 06 07 08 09 10 11 12 13 – – – – – – – – – Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 PERFIL DOS AUTORES Alberto Luiz Fernandes Queiroga Bacharel em Desenho Industrial – UFPB Especialista em Design, Propaganda e Marketing – UFAM Cláudio Barros Vitor Licenciado em Matemática – UFAM Pós-graduado em Didática e Metodologia do Ensino Superior - UNESC PALAVRA DO REITOR A realidade amazônica, por si só, é um desafio à educação tradicional, aquela que teima em ficar arraigada à sala de aula, na dependência única dos métodos triviais de ensino. A Universidade do Estado do Amazonas já nasceu consciente de que o ensino presencial mediado é a única estratégia capaz de responder aos anseios de um público que, por estar disperso, tem de ser atendido por projetos escudados em dinamismo técnico−científico. Assim, a Licenciatura Plena em Matemática, ancorada no Sistema Presencial Mediado, nasceu para oferecer aos discentes as habilidades necessárias para que eles venham a construir seus próprios objetivos existenciais, estimulando−lhes a ousadia de aceitar o novo e de criar novas possibilidades de futuro, dando− lhes uma visão multifacetada das maneiras de educar. Os livros−textos em que o curso se apóia são produzidos com o rigor didático de quem sabe que a história da educação, no nosso Estado, está sendo reescrita. Os agentes desse processo têm visão crítica e apostam na formação de novos professores que saberão aliar inteligência e memória, não permitindo que o ensino em base tecnológica ganhe a conotação de “um distanciado do outro”. A autonomia de agir que cada um está aprendendo a conquistar virá, em breve, como resposta aos desafios que se impõem hoje. Lourenço dos Santos Pereira Braga Reitor da Universidade do Estado do Amazonas UNIDADE I Introdução ao desenho geométrico Desenho Geométrico – Introdução ao desenho geométrico Foram os gregos que deram um molde dedutivo à Matemática. A obra Elementos, de Euclides (?300 a.C.), é um marco de valor inestimável, na qual a Geometria é desenvolvida de modo bastante elaborado. É na Geometria grega que nasce o Desenho Geométrico que aqui vamos estudar. TEMA 01 MATERIAL UTILIZADO NO DESENHO GEOMÉTRICO Um breve histórico Na realidade, não havia entre os gregos uma diferenciação entre Desenho Geométrico e Geometria. O primeiro aparecia simplesmente na forma de problemas de construções geométricas, após a exposição de um item teórico dos textos de Geometria. Essa conduta euclidiana é seguida até hoje em países como a França, Suíça, Espanha, etc., mas, infelizmente, os problemas de construção foram há muito banidos dos nossos livros de Geometria. Como linguagem de comunicação e expressão, a arte do desenho antecede em muito a da escrita. O que é a escrita senão a combinação de pequenos símbolos desenhados? Por meio de gravuras traçadas nas paredes das cavernas, o homem pré-histórico registrou fatos relacionados ao seu cotidiano, deixando indicadores importantes para os pesquisadores modernos estudarem os ancestrais de nossa espécie. Enfim, a arte do desenho é algo inerente ao homem. Assim, pode-se dizer que o Desenho Geométrico é um capítulo da Geometria que, com o auxílio de dois instrumentos, a régua e o compasso, se propõe a resolver graficamente problemas de natureza teórica e prática. Material de desenho e seu uso O lápis Não se sabe quando, ou onde, alguém formulou pela primeira vez, em forma de desenho, um problema que pretendia resolver – talvez tivesse sido um “projeto” de moradia ou templo, ou algo semelhante. Mas esse passo representou um avanço fundamental na capacidade de raciocínio abstrato, pois esse desenho representava algo que ainda não existia, que ainda viria a se concretizar. Essa ferramenta, gradativamente aprimorada, foi muito importante para o desenvolvimento de civilizações, como a dos babilônios e a dos egípcios, as quais, como sabemos, realizaram verdadeiras façanhas arquitetônicas. Em desenho geométrico, utilizaremos o lápis com grafite HB para os traçados de letras, contornos e esboços. Para seu desenho ter as linhas bem definidas, mantenha a grafite sempre bem-apontada, em forma cônica, usando para isso um pedaço de lixa. A lapiseira Você pode também utilizar as práticas lapiseiras com grafites 0.5mm, pois elas têm grossura ideal para o desenho geométrico. Porém uma outra civilização, que não hesitava em absorver elementos de outras culturas, aprendeu depressa como passar à frente de seus predecessores; em tudo que tocavam, davam mais vida. Eram os gregos. Em todas as áreas do pensamento humano em que se propuseram a trabalhar, realizaram feitos que marcaram definitivamente a história da humanidade. A borracha Use borracha macia para não deixar marcas no papel. 11 UEA – Licenciatura em Matemática Para limpá-la, esfregue-a em um papel qualquer. A borracha não deve ser lavada. TEMA 02 A régua ENTES FUNDAMENTAIS Na construção de uma teoria geométrica, tomam-se, inicialmente, certos conceitos aos quais se acrescentam postulados e definições a fim de, então, deduzir teoremas e propriedades. Há réguas de vários comprimentos. Use uma de material acrílico transparente, graduada em centímetros e milímetros, que tenha um corte transversal chanfrado para facilitar a leitura. Tais conceitos podem ser primitivos ou convencionados. Os conceitos primitivos constituem-se num apelo à nossa intuição. Os esquadros Assim, são entes fundamentais da geometria: ponto, reta e plano. O ponto 0 A idéia de ponto é primitiva. Não se define. O ponto não tem dimensão e fica determinado pelo encontro de duas linhas retas ou curvas. Indicamos o ponto utilizando letras maiúsculas do alfabeto latino. 0 Esquadro de 45 e de 60 Devem ser de material acrílico e transparente. São utilizados para traçados de paralelas e de perpendiculares e para construção de ângulos. O transferidor A reta Da mesma forma que o ponto, não tem definição. A idéia de linha reta é a de um ponto que se move numa mesma direção. Indicamos a reta utilizando letras minúsculas do alfabeto latino. De material acrílico transparente, em forma de um semicírculo, graduado de 00 a 1800, é usado para medir e construir ângulos. O compasso A semi-reta Um ponto qualquer de uma reta divide-a em duas partes distintas chamadas semi-retas. Esse ponto recebe o nome de origem. É o instrumento usado para traçados de arcos de circunferência, transporte de medidas e construções de ângulos. O segmento de reta Segmento de reta é o conjunto formado por dois pontos tomados sobre uma reta e todos os pontos da reta compreendidos entre os dois. A reta à qual pertence o segmento chama-se reta suporte do segmento. 12 Desenho Geométrico – Introdução ao desenho geométrico TEMA 03 ⎯ AB: é o segmento de reta; OPERAÇÕES COM SEGMENTOS E ÂNGULOS A e B: são os extremos; r: é a reta suporte do segmento AB. Transporte de segmentos Segmentos que pertencem à mesma reta chamam-se colineares. O transporte gráfico de segmento consiste em construir um segmento congruente ao segmento dado. Segmentos que possuem uma extremidade em comum chamam-se consecutivos. ⎯ Assim, dado o segmento AB, para transportálo de modo a que tenha por extremidade M e esteja na reta r, faz-se ponta-seca do compas⎯ so em M e abertura AB, descrevendo-se um arco de circunferência, obtendo-se N. Assim, ⎯ obtém-se MN ≡ AB. O plano A noção intuitiva de plano apóia-se na idéia de superfícies como a de um quadro ou a de uma parede. O plano é uma figura ideal. A partir da idéia que dele fazemos, deve-se entendê-lo como formado por infinitos pontos. Ele é aberto e infinito. A identificação do plano é dada por letras minúsculas do alfabeto grego: α, β, δ, ϕ, ψ, etc. ⎯ ⎯ MN ≡ AB. Adição de segmentos A soma gráfica de segmentos é obtida pelo transporte sucessivo dos segmentos dados. ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ MN ≡ AB e NP ≡ CD ⎯ MP é o segmento-soma. Subtração de segmentos Transportam-se os segmentos dados para uma reta suporte r, com centro em P. ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ PQ ≡ AB e PR ≡ CD ⎯ QR é o segmento-diferença. 13 UEA – Licenciatura em Matemática Ângulos Os braços deveriam permanecer bem esticados para que a resposta fosse a mais fiel possível. A medida era diferente de uma medida comum, e esse modo foi o primeiro passo para medir um ângulo, objeto este que se tornou importantíssimo no contexto científico. Um breve histórico Algumas definições históricas Grécia antiga O conceito de ângulo aparece primeiramente em materiais gregos no estudo de relações envolvendo elementos de um círculo junto com o estudo de arcos e cordas. As propriedades das cordas, como medidas de ângulos centrais ou inscritas em círculos, eram conhecidas desde o tempo de Hipócrates. Talvez Eudoxo tenha usado razões e medidas de ângulos na determinação das dimensões do planeta Terra e no cálculo de distâncias relativas entre o Sol e a Terra. Eratóstenes de Cirene (276 a.C.–194 a.C.) já tratava de problemas relacionados com métodos sistemáticos de uso de ângulos e cordas. “Um ângulo é uma deflexão ou quebra em uma linha reta”. Euclides Desde os tempos mais antigos, os povos vêm olhando para o céu na tentativa de encontrar respostas para a vida na Terra e entender os corpos celestes que aparecem à nossa vista. Assim, a Astronomia talvez tenha sido a primeira ciência a incorporar o estudo de ângulos como uma aplicação da Matemática. “Um ângulo plano é a inclinação recíproca de duas retas que num plano têm um extremo comum e não estão em prolongamento”. H. Schotten Na determinação de um calendário ou de uma hora do dia, havia a necessidade de realizar contagens e medidas de distâncias. Freqüentemente, o Sol servia como referência, e a determinação da hora dependia da inclinação do Sol e da relativa sombra projetada sobre um certo indicador (relógio de sol). Em 1893, resumiu as definições de ângulo em três tipos: 1. A diferença de direção entre duas retas. 2. A medida de rotação necessária para trazer um lado de sua posição original para a posição do outro, permanecendo entrementes no outro lado do ângulo. Para obter a distância que a Lua estava acima do horizonte, dever-se-ia calcular uma distância que nunca poderia ser medida por um ser humano comum. Para resolver esse problema, esticava-se o braço e calculavam-se quantos dedos comportava o espaço entre a Lua e o horizonte, ou então, segurava-se um fio entre as mãos afastadas do corpo e media-se a distância. 3. A porção do plano contida entre as duas retas que definem o ângulo. P. Henrigone Em 1634, definiu ângulo como um conjunto de pontos, definição essa que tem sido usada com mais freqüência. Neste trabalho, aparece pela primeira vez o símbolo “<” para representar ângulo. 14 Desenho Geométrico – Introdução ao desenho geométrico O ângulo AÔC mede 70 graus. Na figura anterior, podemos ler diretamente as medidas dos seguintes ângulos: Ângulos Definição Ângulo é a figura plana formada por duas semi-retas de mesma origem. m(AÔB) = 27º m(AÔC)=70º m(EÔB)=153º m(EÔC)=110º A origem comum chama-se vértice, e as semiretas chamam-se lados. m(AÔD)=120º m(AÔE)=180º m(EÔD)=60º m(EÔA)=180º A medida usual ao ângulo é o grau, e o instrumento usado para medi-lo é o transferidor. Transporte gráfico de ângulos Ângulos de mesma medida dizem-se congruentes. 1. Faz-se o transporte de um arco, de raio qual- Passo a passo quer, com centro no vértice do ângulo dado Indica-se o ângulo ou utilizando-se letras do alfabeto grego ^ α, ^ β, ^ γ, ou por três letras minúsculas do alfabeto, ou por três letras maiúsculas do alfabeto latino, indicando a letra do meio o vértice do ângulo e as outras duas os lados. para a origem de uma semi-reta. 2. Ponta-seca do compasso em R e abertura ⎯ do arco igual a PQ, determinamos S e o α≡^ β. ângulo ^ Ângulo ^ β ou ângulo R^ OQ. Para obter a medida aproximada de um ângulo traçado em um papel, utilizamos um instrumento denominado transferidor, que contém um segmento de reta em sua base e um semicírculo na parte superior marcado com unidades de 0 a 180. Alguns transferidores possuem a escala de 0 a 180 marcada em ambos os sentidos do arco para a medida do ângulo sem muito esforço. Adição gráfica de ângulos Transportam-se os ângulos ^ αe^ β de modo que fiquem adjacentes. Ou seja, adicionam-se os α arcos de mesmo raio, qualquer, de medidas ^ e^ β. Para medir um ângulo, coloque o centro do transferidor (ponto 0) no vértice do ângulo, alinhe o segmento de reta OA (ou OE) com um dos lados do ângulo, e o outro lado do ângulo determinará a medida do ângulo, como mostra a figura. Subtração gráfica de ângulos αe^ β, transportamos para Dados os ângulos ^ uma semi-reta de origem P, determinando o ângulo-diferença. 15 UEA – Licenciatura em Matemática 3. Dados os segmentos de medidas a, b e c, obtenha os segmentos de medidas (b – a) + (c – b). 4. Sabendo que AB = 55mm, CD = 37mm e EF = 40mm, desenhe o segmento de medida 2AB – 10(EF – CD). 5. A partir de , dado graficamente abaixo, ^ OC, em cada caso: transporte A OB e A^ a) 1. Dados os segmentos de medidas a, b e c, obtenha o segmento de medida 2a + b + c. b) 2. Obtenha, sobre uma reta r, o segmento cuja medida corresponde ao perímetro das figuras dadas. a) b) 6. Tome um ângulo qualquer e transporte para uma outra semi-reta, usando o compasso, um ângulo congruente ao ângulo determinado. 7. Verifique, por transporte de ângulos, as relações de ângulos congruentes na figura dada. c) 16 Desenho Geométrico – Introdução ao desenho geométrico 8. Mostre, por transporte de ângulos, que a soma dos ângulos internos de um triângulo é um ângulo raso. 9. Dado o triângulo ABC, verifique se “o ângulo externo é a soma dos ângulos internos nãoadjacentes”. 10. Dado α e β, encontre o que se pede: a) α + β b) β – α c) 3α – β 17 UNIDADE II Construção de ângulos e retas Desenho Geométrico – Construção de ângulos e retas Bissetriz de um ângulo inacessível Determinar a bissetriz do ângulo formado pelas retas r e s. TEMA 04 USO DO ESQUADRO, COMPASSO E RÉGUA PARA CONSTRUÇÃO DE ÂNGULOS E RETAS. Bissetriz de um ângulo É a semi-reta que, partindo do vértice do ângulo, divide-o em dois ângulos congruentes. Determinar a bissetriz do ângulo dado Passo a passo 1. Traçamos um reta t qualquer determinando os pontos A e B. Passo a passo 1. Ponta-seca em O e abertura qualquer, descrevemos o arco AB. 2. Determinamos as bissetrizes dos ângulos formados, encontrando os pontos C e D. 2. Ponta-seca em A e depois em B e uma abertura maior do que a metade do arco AB, determinamos o ponto C. 3. A reta que passa por A e B é a bissetriz procurada. 3. A semi-reta OC é a bissetriz do ângulo AÔB. 21 UEA – Licenciatura em Matemática Construindo ângulos Ângulo de 600 Passo a passo 1. Determinamos uma semi-reta de origem O. 2. Traçamos a bissetriz de BÔC. 2. Ponta-seca em O e uma abertura qualquer, determinamos na semi-reta o ponto A. BÔD = 450, logo DÔA = 1350 (suplementares) Esquadros e construção de retas ⎯ 3. Ponta-seca em A e raio OA, encontramos B. Os esquadros são usados para traçar linhas paralelas e linhas perpendiculares. Para a determinação desses traços, utilizamos os esquadros em conjunto, ficando um sempre fixo, enquanto o outro se desloca, apoiado nele. AÔB = 600 Ângulo de 900 Passo a passo 1. Determinamos uma semi-reta de origem O. Retas paralelas 2. Prolongamos a semi-reta e traçamos um ângulo raso AÔB. Passo a passo 1. Faça a borda maior do esquadro de 450 coincidir com a reta dada. 3. Encontramos a bissetriz do ângulo AÔB. 2. Encoste a borda maior do esquadro de 600 no esquadro de 450 . AÔC = 900 Ângulo de 1350 Passo a passo 3. Segure o esquadro de 600, movimente o de 1. Utilizando o processo anterior, determinamos o ângulo reto AÔC. 450 e trace as linhas paralelas. 22 Desenho Geométrico – Construção de ângulos e retas Compasso e régua Perpendicular a uma reta Dada a reta r e um ponto P, onde P ∉ r. Retas perpendiculares Passo a passo Passo a passo 1. Faça a borda maior do esquadro de 450 coincidir com a reta dada. 1. Com a ponta-seca do compasso em P e uma abertura maior que a distância de P a r, traçamos um arco de circunferência que intercepta a reta r em A e B. 2. Encoste a borda maior do esquadro de 600 no esquadro de 450. 2. Agora, com a ponta-seca em A e uma abertura maior que a semi-distância AB, traçamos um arco e repetimos o processo, com a mesma abertura, em B, determinando o ponto Q. 3. Mude a posição do esquadro de 450, conforme a figura. 3. Traçamos a reta s, passando por P e Q, que é a reta perpendicular à reta r. 4. Segure o esquadro 600, movimente o de 450 até o ponto P e trace a perpendicular. Observação: a reta s é a mediatriz do segmento AB. Dada a reta r e um ponto P, onde P ∈ r. Passo a passo 1. Com a ponta-seca do compasso em P e uma abertura qualquer, traçamos uma semicircunferência que intercepta a reta r em A e B. 23 UEA – Licenciatura em Matemática 4. Temos ⊥ . 2. Agora, com a ponta-seca em A e uma abertura maior que a semi-distância AB, traçamos um arco e repetimos o processo, com a mesma abertura, em B. Determina-se, assim, o ponto Q. Paralela a uma reta Dada a reta r e um ponto P, onde P ∉ r, determina a reta s // r onde P ∈ s. 3. Traçamos a reta s, passando por P e Q, que é a reta perpendicular à r procurada. Passo a passo 1. Ponta-seca do compasso em P e uma abertura maior do que a distância a reta r, traçamos um arco, determinando em r o ponto O. Dada a semi-reta , determinar a perpendicular passando por O. Passo a passo O 1. Ponta-seca do compasso em O e uma abertura qualquer, traçamos uma semicircunferência. 2. Ponta-seca do compasso em O e a mesma abertura, traçamos um arco, passando por P, determinando em r o ponto Q. 2. Com a ponta-seca em P e a mesma abertura, determinamos sobre a semicircunferência o ponto Q. 3. Ponta-seca do compasso em O e abertura igual a PQ , traçamos um arco determinando ponto R. 3. Repetimos o processo em Q, determinando R, depois em R determinando S. 24 Desenho Geométrico – Construção de ângulos e retas 4. A reta que passa por P e R é a reta s paralela a reta dada. 5. Trace a reta a perpendicular a r e a reta b perpendicular a s, ambas passando por P. 1. Dada a reta r e o ponto P, tal que P ∉ r, determine as retas s (paralela) e t (perpendicular), passando por P. Utilize o jogo de esquadrados para traçar as retas s e t. 6. Prolongando os lados do triângulo ABC, determine a altura relativa a cada lado. B, do exercício an7. Faça o transporte do ângulo^ terior, para a semi-reta e encontre a reta s, passando por P, paralela a essa nova semi-reta. 2. Resolva o exercício anterior utilizando o compasso. 3. Trace m, pelo ponto A, tal que m ⊥ r. Trace n, pelo ponto B, tal que n ⊥ s. Chame {P} = m ∩ n. Pelo ponto P trace m’ // r e n’ // s. 8. Trace um ângulo de 300. 9. Trace um ângulo de 1500. 4. Trace a reta t, tangente à circunferência dada, tal que t // r. 10. Trace um ângulo de 22030’. 25 UNIDADE III Divisão de segmentos e segmentos proporcionais Desenho Geométrico – Divisão de segmentos e segmentos proporcionais Razão entre dois segmentos Consideremos os segmentos consecutivos da figura seguinte: TEMA 05 DIVISÃO DE SEGMENTO Temos: ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ AB = 1mm, AC = 2mm, AD = 3mm, AE = 4mm, etc. A razão entre dois segmentos é a razão entre as medidas desses segmentos em uma mesma unidade. Temos, na figura acima, por exemplo: Por volta do ano 600 a.C., o sábio grego Tales de Mileto fez uma viagem ao Egito. O faraó já conhecia sua fama de grande matemático. Ouvira dizer até que Tales era capaz de uma incrível façanha: podia calcular a altura de uma construção, por maior que fosse, sem precisar subir nela. 1. 2. ou 3. Segmentos proporcionais Sabemos que proporção é uma igualdade entre duas razões. Exemplo: Consideremos, agora, quatro segmentos, AB, CD, EF e GH, nessa ordem. Por ordem do monarca, alguns matemáticos egípcios foram ao encontro do visitante e pediram-lhe que calculasse a altura de uma das pirâmides. Tales ouviu-os com atenção e dispôs-se a atendê-los imediatamente. Já no deserto, próximo à pirâmide, o sábio fincou no chão uma vara, na vertical. Observando a posição da sombra, Tales deitou a vara no chão, a partir do ponto em que foi fincada, marcando na areia o tamanho do seu comprimento. Depois, voltou a vara à posição vertical. “Vamos esperar alguns instantes”, disse ele. “Daqui a pouco, poderei dar a resposta”. Ficaram todos ali, observando a sombra que a vara projetava. Num determinado momento, a sombra ficou exatamente do comprimento da vara. Tales disse então aos egípcios: “Vão depressa até a pirâmide, meçam sua sombra e acrescentem ao resultado a medida da metade do lado da base. Essa soma é a altura exata da pirâmide. Dizemos, então, que quatro segmentos, na ordem, são proporcionais quando a razão de suas medidas (mesma unidade) forma uma proporção. 29 UEA – Licenciatura em Matemática Teorema de Tales 4. Traçamos por 2 e 1 paralelas a B3, determi- ⎯ nando sobre AB três segmentos congruen- Um feixe de retas paralelas determina em duas retas transversais segmentos correspondentes proporcionais. tes. Dividir um segmento AB em sete partes de Na figura, temos: e medidas iguais. ⎯ ⎯ ⎯ , logo, PQ, QR, PS 1. Por uma das extremidades, traçamos uma ⎯ semi-reta qualquer. e ST, nessa ordem, são proporcionais. Aplicando o Teorema de Tales Dividir um segmento em n partes de medidas iguais Dividir um segmento AB em três partes de medidas iguais. 2. Ponta-seca em A e uma abertura qualquer, Passo a passo traçamos sete segmentos consecutivos e 1. Por uma das extremidades, traçamos uma semi-reta qualquer. congruentes sobre a semi-reta. 2. Ponta-seca em A e uma abertura qualquer, traçamos três segmentos consecutivos e congruentes sobre a semi-reta. 3) Unimos o ponto 7 à extremidade B, obtendo o segmento B7. 3. Unimos o ponto 3 à extremidade B, obtendo o segmento B3. 4. Traçamos por 6, 5, 4, 3, 2 e 1 paralelas a B7, ⎯ determinando sobreAB, sete segmentos congruentes. 30 Desenho Geométrico – Divisão de segmentos e segmentos proporcionais Assim . Dividir um segmento numa razão dada ⎯ Determinar M, sobre AB tal que ⎯ Determinar M sobre AB tal que . . Passo a passo 1. Por uma das extremidades, traçamos uma semi-reta qualquer. Passo a passo 1. Por uma das extremidades, traçamos uma semi-reta qualquer. 2. Ponta-seca em A e uma abertura qualquer, traçamos seis (1 + 5 da razão dada) segmentos consecutivos e congruentes sobre a semi-reta. 2. Ponta-seca em A e uma abertura qualquer, traçamos cinco (3 + 2 da razão dada) segmentos consecutivos e congruentes sobre a semi-reta. 3. Unimos o ponto 6 à extremidade B, obtendo o segmento B5. 3. Unimos o ponto 5 à extremidade B, obtendo o segmento B5. 4. Traçamos em 3, para obtermos a razão 4. Traçamos em 1, para obtermos a razão , , ⎯ ⎯ uma paralela a B6 determinando sobre AB o ponto M. uma paralela a B5, determinando sobre AB o ponto M. 31 UEA – Licenciatura em Matemática 7. Encontre os pontos M e N que dividem o seg- ⎯ mento AB nas razões e respectivamente. 8. Dado o segmento AB, determine dois segmenAssim tos AX e XB, de modo que: . . 9. Dado a, divida-o por 3 e, em seguida, destaque o segmento de medida 1. Divida o segmento dado em oito partes de medidas iguais. ⎯ 10. Dado o triângulo ABC com AB já dividido em ⎯ ⎯ 5 partes de medidas iguais, divida BC e AC também em 5 partes de medidas iguais. 2. Divida o segmento dado em treze partes de medidas iguais. ⎯ ⎯ 3. Dados os segmentos AB = 3cm, CD = 5cm e ⎯ EF = 2cm, trace a circunferência com centro em A e raio igual à sétima parte do segmento⎯ ⎯ ⎯ soma AB + CD + EF. 4. Divida o perímetro do triângulo ABC, em seis partes iguais. 5. Determine o quadrado de lado igual a do segmento AB. ⎯ 6. Trace um segmento PQ = 8,5 e determine o ⎯ ponto R que divide PQ na razão de . . 32 Desenho Geométrico – Divisão de segmentos e segmentos proporcionais M N TEMA 06 DIVISÃO EM PARTES PROPORCIONAIS Dividir um segmento em partes proporcionais a 2, 4 e 3 Passo a passo 1. Por uma das extremidades, traçamos uma semi-reta qualquer. Assim , etc. Dividir um segmento em partes proporcionais a 3, 5 e 7 Passo a passo 1. Por uma das extremidades, traçamos uma semi-reta qualquer. 2. Ponta-seca em A e uma abertura qualquer, traçamos nove (2 + 4 + 3) segmentos consecutivos e congruentes sobre a semi-reta. 2. Ponta-seca em A e uma abertura qualquer, traçamos quinze (3 + 5 +7) segmentos consecutivos e congruentes sobre a semi-reta. 3. Unimos o ponto 9 à extremidade B, obtendo o segmento B9. 3. Unimos o ponto 15 à extremidade B, obtendo o segmento B15. 4. Traçamos em 2 e depois em 5 uma paralela ⎯ a B9, determinando sobre AB os ponto M e N, dividindo o segmento dado em partes proporcionais a 2, 3 e 4. 4. Traçamos em 3 e depois em 8 uma paralela ⎯ a B15, determinando sobre AB os ponto M e N, dividindo o segmento dado em partes proporcionais a 3, 5 e 7. 33 UEA – Licenciatura em Matemática Terceira proporcional Dados dois segmentos de medidas a e b, denomina-se terceira proporcional desses segmentos um segmento de medida x, tal que: Determinar a terceira proporcional aos segmentos AB = a e BC = b. Assim , etc. Passo a passo 1. Sobre uma reta r marcamos os segmentos AB e BC. Quarta proporcional Dados três segmentos de medidas a, b e c, denomina-se quarta proporcional desses segmentos um segmento de medida x, tal que: 2. Por A, traçamos uma semi-reta s qualquer, ponta-seca do compasso em A e abertura ⎯ ⎯igual a AB, determinamos em s o segmento AD. Determinar a quarta proporcional aos segmentos AB = a, BC = b e AD = c, nessa ordem. Passo a passo 1. Sobre uma reta r marcamos os segmentos AB e BC. 3. Unimos os pontos B e D, obtendo o segmento BD. 2. Traçamos pela extremidade A uma semireta s e marcamos o segmento AD = c. ⎯ 4. Traçamos por C uma reta paralela a BD, determinando em s o ponto E. 3. Traçamos o segmento BD e por ele traçamos uma paralela passando por C, determinando na semi-reta o ponto X. O segmento DX é a quarta proporcional. O segmento DE é a terceira proporcional procurada. 34 Desenho Geométrico – Divisão de segmentos e segmentos proporcionais Outra forma de encontrar a média geométrica TEMA 07 MÉDIA PROPORCIONAL OU GEOMÉTRICA 1. Sobre uma reta r qualquer, marcamos o segmento AB. Dados dois segmentos de medidas a e b, denomina-se média geométrica ou proporcional desses segmentos um segmento de medida x, tal que: 2. A partir do ponto A e para direita, marcamos o segmento AC. Aplicação: 3. Determinamos em r, o ponto M (ponto médio do segmento AB). Determinar a média geométrica dos segmentos AB e BC dados. Passo a passo ⎯ 4. Ponta-seca em M e uma abertura AM, traçamos uma semicircunferência. 1. Sobre uma reta r qualquer, marcamos os dois segmentos. ⎯ 2. Determinamos M, ponto médio de AC. 5. Traçamos por C uma perpendicular a r, determinando na semicircunferência o ponto D. ⎯ D 3. Ponta-seca em M e medida AM, traçamos uma semicircunferência. O segmento AD é a média geométrica procurada. 4. Por B traçamos uma perpendicular à reta r, determinando na semicircunferência o ponto D. O segmento BD é a média geométrica dos segmentos dados. 35 UEA – Licenciatura em Matemática 7. Construa a quarta proporcional entre os segmentos m, n e p: 1. Marque os pontos M e N, no segmento AB dado, de modo que . 8. Determine, graficamente, a média geométrica dos segmentos que medem a = 4,0cm e b = 3,0cm. 2. Construa um triângulo ABC cujo perímetro seja igual a 10,5cm, e os seus lados sejam proporcionais aos segmentos que medem 2,5cm; 3,5cm e 5,0cm. 9. Dados os segmentos de medidas a e b, determine, graficamente, a média geométrica entre eles. 3. Construa a quarta proporcional entre os segmentos m, n e p dados. 10. Construa o quadrado de lado igual à média geométrica dos segmentos dados. 4. Dados três segmentos de medidas a, b e c, obtenha, nessa ordem, um segmento x, de modo que . 11. Construir o retângulo ABCD de lados de medidas x e y, sabendo que x é a quarta proporcional de a, b e c e que y é a média geométrica de b e c. 5. Dados dois segmentos de medidas a = 5,0cm e b = 3,5cm, obtenha um terceiro segmento de medida x, de modo que . (terceira proporcional) 12. Construa o triângulo ABC retângulo, sabendo que as projeções dos catetos sobre a hipotenusa medem 5,5cm e 3,5cm. 6. Construa a terceira proporcional entre os segmentos dados. 13. Construa o triângulo DEF retângulo, sabendo que a hipotenusa mede 8,0cm e a projeção de um dos catetos mede 2,5cm. 36 Desenho Geométrico – Divisão de segmentos e segmentos proporcionais interior ao segmento, as duas partes por ele determinadas chamam-se segmentos aditivos; quando o ponto é exterior, as duas partes denominam-se segmentos subtrativos. Em ambos os casos, o ponto estará à esquerda do ponto médio do segmento se a razão de seção for própria, isto é, menor que a unidade; o ponto estará à direita do ponto médio do segmento se a razão de seção for imprópria, isto é, maior que a unidade. TEMA 08 DIVISÃO HARMÔNICA E SEGMENTO ÁUREO Dado o segmento AB e seu ponto médio. Tomando os pontos M e N à esquerda do ponto médio, como indicado na figura, determinaremos as seguintes razões. Em Alexandria, durante o reinado de Diocleciano (284 – 305), viveu um grande matemático, seguidor das idéias de Eudoxo e Arquimedes, Papus de Alexandria, como ficou conhecido. Ele escreveu, por volta de 320, um livro muito importante com o título de Coleção (Synagoge). Deve-se a sua importância a vários fatores. Contém conteúdos inéditos para época, é uma rica fonte histórica da matemática grega e apresenta provas novas e lemas suplementares para as obras de Euclides, Arquimedes, Apolônio e Ptolomeu. No livro III, seção 2 da Coleção, Papus teve como preocupação o problema de colocar num mesmo semi-círculo as três médias: aritmética, geométrica e harmônica, mas inicia a seção com as definições pitagóricas dessas médias. Assim, dados dois números a e c (com c < a), seja b, com c < b < a, então a razão (a-b):(bc) deve ser proporcional a a:ac = c:c para a média aritmética, a a:b para a média geométrica e a a:c para a harmônica. Assim: (razões próprias) Tomando os pontos M e N à direita do ponto médio, como indicado na figura, determinaremos as seguintes razões. (razões impróprias) Dado um segmento AB, dividi-lo harmonicamente numa razão dada Na razão . Passo a passo Média aritmética: 1. Efetuamos a divisão do segmento na razão determinada. Média Geométrica: Média harmônica: Razão de seção Chama-se razão de seção de um ponto num segmento a razão das distâncias do ponto aos extremos do segmento. Quando o ponto é 37 UEA – Licenciatura em Matemática → 2. Por B traçamos uma paralela à semi-reta A5 ⎯ e com ponta-seca em B e raio A1, determinamos 6 e 7. → → 4. A interseção entre AB e 12 é o conjugado harmônico de M. → 3. A interseção entre AB e 37, o ponto Q, é o conjugado harmônico de P. Dados um segmento AB e o conjugado harmônico externo M obter o outro Passo a passo ⎯ 1. Ponta-seca em A e raio AN e ponta-seca em ⎯ B e raio BN, determinamos dois arcos. Os pontos A, P, B e Q formam uma divisão harmônica. Dados um segmento AB e o conjugado harmônico interno M obter o outro Passo a passo ⎯ 1. Ponta-seca em A e raio AM e ponta-seca ⎯ em B e raio BM, determinamos dois arcos. 2. Por A traçamos uma semi-reta que intercepta um dos semi-arcos em 1. 2. Por A traçamos uma semi-reta que intercepta um dos semi-arcos em 1. 3. Por B traçamos uma semi-reta paralela à → A1, encontrando 2. 3. Por B traçamos uma semi-reta paralela à → A1, encontrando 2. → → 4. A interseção entre AB e 12 é o conjugado harmônico de N. 38 Desenho Geométrico – Divisão de segmentos e segmentos proporcionais Segmento áureo ⎯ Sejam AB um segmento e P um ponto pertencente a reta-suporte desse segmento. P é interior P é exterior DIVISÃO ÁUREA Euclides de Alexandria (365 a.C. – 300 a.C.) Diz-se que um segmento está dividido por um ponto na razão áurea quando uma das partes por ele determinada é a média geométrica entre o segmento e a outra parte. ⎯2 ⎯ ⎯ AP = AB . PB ⎯ ⎯ O segmento AP é o chamado áureo de AB. Determinação algébrica do segmento áureo. ⎯ 1.o caso: P é interior a AB. Por definição temos: ⎯2 ⎯ ⎯ AP = AB . PB ⇒ x2 = a .(a – x) ⇒ Também teve grande importância para a história da geometria. Ele elaborou a teoria da proporção áurea, em que dois números (X e Y, por exemplo) estão em proporção áurea se a razão entre o menor deles sobre o maior for igual ao maior sobre a soma dos dois (ou seja, X/Y = Y/X+Y). Esta proporção estabelece um coeficiente áureo, onde se pode analisar que, basicamente, tudo que se encontra na natureza está inscrito nessa proporção, seja o corpo humano, uma colmeia de abelhas, uma estrela do mar, uma concha, etc. x2 + ax – a2 = 0, cujas raízes são: , descartamos a raiz negativa. ⎯ 2.o caso: P é exterior a AB. Por definição temos: ⎯2 ⎯ ⎯ AP = AB . PB ⇒ x2 = a .(a + x) ⇒ x2 – ax – a2 = 0, cujas raízes são: , descartamos a raiz negativa. 39 UEA – Licenciatura em Matemática A razão entre cada segmento áureo e o segmento a que ele se refere é um número de ouro. ⎯ e ⎯ ⎯ ⎯ AP = 0,618 . AB e AP’ = 1,618 . AB RETÂNGULO ÁUREO Resolução gráfica Dividir o segmento AB em média e extrema razão. Passo a passo ⎯ É o retângulo que tem os seus lados a e b na razão áurea a/b = f = 1,618034. Portanto o lado menor (b) é o segmento áureo do lado maior (a). 1. Por B traçamos uma perpendicular a AB. 2. Ponta-seca em B e raio O retângulo áureo exerceu grande influência na arquitetura grega. As proporções do Partenon prestam testemunho dessa influência. Construído em Atenas, no século V a.C., o Partenon é considerado uma das estruturas mais famosas do mundo. Quando seu frontão triangular ainda estava intacto, suas dimensões podiam ser encaixadas quase exatamente em um retângulo áureo. , encontramos na perpendicular o ponto O. 3. Traçamos a circunferência de centro O e ⎯ raio OB, e os pontos C e D (interseção da semi-reta AO com a circunferência). Construção do retângulo áureo Dado o quadrado ABCD ⎯ ⎯ 4. Ponta-seca em A e raio AC e depois AD, determinamos sobre o segmento AB os pontos P e P’. 40 Desenho Geométrico – Divisão de segmentos e segmentos proporcionais Passo a passo 3. Traçar uma reta p perpendicular à reta t ⎯ passando pelo ponto A. 1. Determinamos o ponto médio de AB. ⎯ 2. Ponta-seca em M e raio MC, determinamos na semi-reta AB o ponto E. 4. Determinar o ponto médio M do segmento AB e traçar a reta mediatriz m ao segmento AB. O 3. Passando por E, traçamos uma semi-reta → → vertical a AE, cuja interseção com DC é o ponto F. 5. Obter o ponto O que é a interseção entre a reta p e a mediatriz m. Ponta-seca no ponto O retângulo AEFD é um retângulo áureo. O e abertura OA, traçar o arco de circunferência localizado acima do segmento AB. Arco capaz Dado um segmento AB e um ângulo k, pergunta-se: qual é o lugar geométrico de todos os pontos do plano que contém os vértices dos ângulos cujos lados passam pelos pontos A e B sendo todos os ângulos congruentes ao ângulo k? Este lugar geométrico é um arco de circunferência denominado arco capaz. Construção do arco capaz O 1. Traçar um segmento de reta AB. 2. Pelo ponto A, trace uma reta t formando com o segmento AB um ângulo congruente a k. O arco que aparece acima no gráfico é o arco capaz. 41 UEA – Licenciatura em Matemática 9. São dados o segmento EF, a reta x e um ângulo de 400. Determine os pontos da reta x que vêem o segmento EF sob o mesmo ângulo. 1. Divida, harmonicamente, o segmento AB nas razões dadas. a) b) 10. Construa o arco capaz a um segmento de 5,0cm sob um ângulo de 450. c) 2. Dado o segmento, obtenha o conjugado harmônico externo de P. A língua é a expressão falada ou escrita do pensamento humano. A cada povo corresponde um idioma diferente variado, igualmente, por meio da evolução peculiar a cada um, sua representação gráfica. Essa representação, principalmente no mundo ocidental, é feita por meio do alfabeto de origem fenícia, que passou à Grécia e à Roma, e pela sua simplicidade constituiu-se no principal veículo de transmissão do conhecimento humano. Anteriormente, essa comunicação era feita por meio do desenho, às vezes bem rudimentar, do homem primitivo, por meio de hieróglifos como no Egito ou no México, gravados ou esculpidos nos monumentos, ou por meio dos caracteres cuneiformes das civilizações da Mesopotâmia, ou, ainda, por meio dos caracteres ideográficos sino-japoneses. Algumas tribos primitivas serviam-se de paus, pedras, fios tecidos, colares, e com eles faziam palavras, compondo frases e expressando idéias. 3. Dado o segmento, obtenha o conjugado harmônico interno de Q. 4. Divida o segmento AB em média e extrema razão (seção áurea). 5. Divida o segmento AB em média e extrema razão (seção áurea). 6. Construa o arco capaz de um ângulo de 300, conhecendo o segmento GH. É a escrita mnemônica. De origem americana, esta escrita transmite idéias ou fatos sem desenhá-los, isto é, não tem forma gráfica. 7. O segmento RS mede 3,8cm e α forma com ele um ângulo de 600. Trace o arco capaz correspondente. Os principais exemplos deste sistema são os “quipos” dos índios do Peru e os “wampus” dos índios irogueses. 8. Determine os pontos da reta r que vêem o segmento PQ sob um ângulo de 350. Em síntese, a evolução da escrita pode ser resumida em: 42 Desenho Geométrico – Divisão de segmentos e segmentos proporcionais Pictografia – Desenhos de figuras rudimentares – do latim “pictus” (pintado) e do grego “grafe” (descrição). Escrita figurada usada pelo homem primitivo para fixar, nas paredes das cavernas, seus principais feitos, cenas de caçadas, objetos de uso pessoal, etc. Restringia a linguagem gráfica, limitando-a ao registro de fatos e coisas materiais com o máximo de realidade possível. Se eles queriam exprimir a palavra “bisão”, desenhavam um ou vários bisões, e para a palavra “caça”, desenhavam homens com lanças ou arcos e animais. Fonetismo – Nesse sistema, as figuras lidas evocavam seu primitivo sentido acrescido da expressão sonora. Pássaro, ao invés de simbolizar apenas rapidez, adquiria o valor sonoro de ave. Isto é, equivaliam ao som, processo semelhante ao usado atualmente nas cartas enigmáticas, onde é comum o símbolo do sol mais o do dado, representar a palavra soldado. A linguagem gráfica e o mundo das formas na nossa vida “Disco de Faisto”, século XIV a. C. Ele encerra uma espiral de hieróglifos da antiga Creta, que até hoje não foram decifrados. Ideografia – Fixação das idéias por meio dos símbolos – sinais que, muitas vezes, não significavam acontecimentos vistos e palpáveis. São signos convencionais correspondentes a determinadas expressões por meio das quais surgem idéias. Cada desenho isolado tem um significado, por onde o abstrato pode ser representado. A lua e as estrelas simbolizavam o mês; um olho, a vigilância; o desenho do sol, por exemplo, já não designava somente o astro, e sim, o tempo de luz solar entre duas noites, isto é, o dia. Esses mosaicos matemáticos nem sempre 43 UEA – Licenciatura em Matemática são construídos pelo homem. O surpreendente é que podemos observá-los também na natureza, vejamos: Nos favos de mel das abelhas, encontramos um mosaico de hexágonos regulares. (Hexágonos são polígonos de seis lados) Um mosaico de hexágonos aparece também na casca do abacaxi. 44 UNIDADE IV Figuras da geometria plana Desenho Geométrico – Figuras da geometria plana TEMA 09 DIVISÃO DE CIRCUNFERÊNCIA EM DUAS PARTES IGUAIS (PELO ÂNGULO CENTRAL) 1 Divisão de circunferência em duas partes iguais. 3600 / 2 = 1800 6. Divisão de circunferência em sete partes iguais 3600 / 7 = 510 7. Divisão de circunferência em oito partes iguais 2. Divisão de circunferência em três partes iguais. 3600 / 3 = 1200 3600 / 8 = 450 8. Divisão de circunferência em nove partes 3. Divisão de circunferência em quatro partes iguais. 3600 / 4 = 900 iguais 3600 / 9 = 400 9. Divisão de circunferência em dez partes iguais 4. Divisão de circunferência em cinco partes iguais 3600 / 5 = 720 3600 / 10 = 360 10. Divisão de circunferência em doze partes iguais. 3600 / 12 = 180 5. Divisão de circunferência em seis partes iguais 3600 / 6 = 600 47 UEA – Licenciatura em Matemática 5. A aranha está encontrando dificuldades para armar sua teia, pois faltam fios importantes que saem do centro e passam pelas bordas dos polígonos. 1. Dividir a pizza em seis partes iguais. 2. No aro da bicicleta de Paulo, faltam alguns raios para que possa pedalar entregando pães. Complete os raios faltantes. 6. Complete o desenho da roda dentada de acordo com a sua metade pronta. 3. No visor do relógio de parede caíram os pontos indicadores das horas: 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10 e 11 horas. 7. As duas circunferências foram divididas em oito partes cada, e seus pontos não são colineares. Verifique que figura surgirá ao ligar os pontos das duas circunferências em seqüência. 4. Para ver o sol nascer belo e vigoroso divida-o em vinte partes iguais, projetando seus raios em forma de triângulos a partir da circunferência para fora. Seu centro coincide com a quina do muro. 48 Desenho Geométrico – Figuras da geometria plana 11. Dada a circunferência, divida-a em nove partes iguais e construa um polígono estrelado regular inscrito (eneágono estrelado) ligando os seus vértices em intervalos de dois em dois. 8. A partir dessa divisão de circunferência, usando todos os pontos como centros, a ligação dos números e a ligação das letras mostrarão duas figuras em sobreposição, de forma que o centro 1 ligará com um arco os pontos a e d, e assim por diante, pois o raio é constante. Os números darão origem à figura formada pelas letras, e as letras darão origem à figura formada pelos números. 12. Construa um polígono estrelado regular inscrito de nove pontas (eneágono estrelado), ligando seus vértices em intervalos de três em três. 9. A hélice do ventilado quebrou num desses dias de calor intenso, e, para piorar, o condicionador de ar não funciona. Coloque, então, uma nova hélice sabendo que o ângulo entre elas é de 600 (destacar as hélices). 13. Complete o pentágono estrelado regular inscrito dada uma de suas pontas. 10. Verifique se os ângulos α da divisão da circunferência têm ângulos medidos iguais. α β 49 UEA – Licenciatura em Matemática TEMA 10 TRIÂNGULOS BREVE HISTÓRICO Os triângulos são formas geométricas que apresentam rigidez e estabilidade pela agudez de suas quinas e orientam-se por uma base. São figuras de grande influencia nas culturas humanas, como egípcios, babilônios e Pitágoras, enfim, seja nas construções, seja nas artes, na matemática, etc. 2. Construir um triângulo eqüilátero de lado ⎯ AB = 3cm utilizando régua e compasso. a) 1.o passo: ⎯ Traçar o lado AB = 3cm A B O triângulo é o menor entre os polígonos. b) 2.o passo: Os polígonos regulares (expressão, harmonia e simetria) admitem uma circunferência inscrita e circunscrita. ⎯ Abrir o compasso com a distância AB e colocar sua ponta seca em A, traçando um arco a partir de B. Com a ponta seca em B e a mesma abertura, traçar um arco a partir de A, encontrando, assim, o ponto C, podendo, então, ligar os pontos e definir o triângulo desejado. 3. Construir um triângulo eqüilátero inscrito sendo dada a circunferência de raio = 1,25cm. a) 1.o passo: PROCESSOS DE CONSTRUÇÃO DE TRIÂNGULOS. Traçar a circunferência e o seu diâmetro. 1. Construir um triângulo eqüilátero de lado ⎯ AB = 3 cm, usando somente a régua e o par de esquadros. a) 1.o passo: ⎯ Traçar o lado AB = 3cm A b) 2.o passo: B Com a ponta-seca do compasso em uma das extremidades do diâmetro e abertura igual ao raio, traçar um arco cruzando a circunferência duas vezes definindo, assim, os dois pontos (vértices) que geram o triângulo. b) 2.o passo: Posicione os esquadros de forma a obter a partir de A e B ângulos de 600 cruzando-se e obtendo-se o ponto C (vértice oposto à ⎯ base AB). 50 Desenho Geométrico – Figuras da geometria plana 5. Construir um triângulo isósceles dado o lado ⎯ (base) AB = 3cm e um ângulo α = 700 adjacente à base. a) 1.o passo: Traçar a base AB. A c) 3.o passo: B b) 2.o passo: Traçar o ângulo α a partir de A, estendendo o traçado. Finalmente, ligam-se os pontos e define-se o triângulo. c) 3.o passo: Repetir a operação a partir de B obtendo-se o ponto C pelo encontro dos ângulos levantados, ligando os três pontos do triângulo. 4. Construir um triângulo isósceles dado o lado ⎯ ⎯ menor (base) AB = 2cm e sua altura MC = 3,2cm. a) 1.o passo: ⎯ Traçar o lado base AB = 2cm. A M b) 2.o passo: B C ⎯ Pelo ponto médio de AB, levantar uma per⎯ pendicular e nela marcar a altura MC. 6. Construir um triângulo retângulo isósceles inscrito à circunferência dada. a) 1.o passo: Traçar a circunferência. c) 3.o passo: Ligar os pontos ABC do triângulo isósceles. b) 2.o passo: Traçar pelo centro da circunferência o lado AB igual a diâmetro. 51 UEA – Licenciatura em Matemática c) 3.o passo: b) 2.o passo: Pelo centro da circunferência, levantar uma perpendicular igual ao raio da circunferência. Abrir o compasso com a distância igual a AC e com a ponta seca em B traçando um arco. c) d) 4. passo: o 3.o passo: Abrir o compasso com a distância BC, colocando a ponta seca em A e traçando um arco que cruze o arco BC definindo o ponto C. Finalmente, ligar os pontos A e B com o ponto C. 7. Construir um triângulo retângulo dados os ⎯ ⎯ lados AB = 4,4cm e AC = 1,8cm. d) 4.o passo: Ligar os pontos dos vértices A, B e C. a) 1.o passo: Traçar o lado AB. A B b) 2.o passo: Traçar uma perpendicular à extremidade A. 9. Construir um triângulo escaleno dado o lado ⎯ base AB = 5cm e dois ângulos adjacentes a A e B com ângulos α = 450 e 600 respectivamente. a) 1.o passo: Traçar o lado (base) AB. c) 3. passo: o b) 2.o passo: Ligar os pontos A, B e C, definindo o triângulo pedido. ⎯ A partir de AB, levantar o ângulo de 450 pela extremidade A. 8. Construir um triângulo escaleno dados os ⎯ ⎯ ⎯ lados AB = 5cm, BC = 2,7cm e AC = 2cm. a) 1.o passo: ⎯ Traçar o lado base AB = 6cm. c) 3.o passo: Levantar o ângulo de 600 pela extremidade 52 Desenho Geométrico – Figuras da geometria plana ⎯ B, cruzando a reta do ângulo de 450 no ponto C. a abertura do compasso OM e inscrever o triângulo. Observe que, nesse caso, os lados do triângulo são tangentes à circunferência. 10. Construir um triângulo eqüilátero de lado = 3cm, circunscrevê-lo e inscrevê-lo. a) 1.o passo: Construir o triângulo por um dos processos já vistos. 1. Dado o triângulo retângulo isósceles circunscrevê-lo. b) 2.o passo: 2. Desenhar um triângulo escaleno, dados os ⎯ ⎯ ⎯ lados AB = 4cm, BC = 3cm e CA = 2cm. Traçar as três alturas que também são as bissetrizes do triângulo. O cruzamento dessas alturas determinará o centro inscritível e circunscritível do triângulo. ⎯ 3. Desenhar um triangulo dada a base AB = 4cm e dois ângulos adjacentes à base α = 450 e β = 600. 4. Desenhar um triangulo retângulo dado o lado ⎯ maior AB = 4cm, a hipotenusa = 4,5cm. 5. Dada a circunferência, circunscreva um triângulo retângulo sabendo que seu lado maior corresponde ao diâmetro. c) 3.o passo: 6. Desenhar um triângulo dada a base ⎯ ⎯ AB =5,5cm e AC = 3,5cm e um ângulo adjacente à base a partir de A igual α = 600. Com a ponta-seca do compasso no ponto O (centro) e abertura a qualquer um dos vértices, circunscrever o triângulo (por fora). 7. Dividir com um traço o triângulo retângulo isósceles abaixo para obter outros dois triângulos retângulos isósceles. d) 4.o passo: Ainda com a ponta-seca no centro, reduzir 53 UEA – Licenciatura em Matemática 12. Quantos triângulos eqüiláteros há nesta figura? 8. Complete o triângulo abaixo dado o seu lado ⎯ base AB e a sua altura. 13. Dado o módulo triangular, crie um módulo maior repetindo-se quatro vezes, orientadondo-se pelo eixo perpendicular. 9. Classifique os triângulos existentes na figura abaixo quanto à forma e quanto ao ângulo. 14. Dado o triângulo eqüilátero, divida-o para obter quatro triângulos eqüiláteros (basta usar três traços). 10. Complete a placa de sinalização “SIGA EM FRENTE” para que não haja transtornos no trânsito da rua. 15. A marca da Mercedes Bens (automóveis) é mundialmente conhecida apresentando geometria muito simples. Reproduza a marca abaixo com precisão, citando o nome do triângulo base da marca. 11. O triângulo incompleto abaixo oculta um outro triângulo idêntico. Defina este triângulo. 54 Desenho Geométrico – Figuras da geometria plana ⎯ 16. Dado o triângulo de base AB, reproduza um outro exatamente igual abaixo, usando a mesma base. TEMA 11 QUADRILÁTEROS Quadrados e retângulos BREVE HISTÓRICO Tanto entre os Sumérios quanto entre os egípcios, os campos primitivos tinham forma retangular. Também os edifícios possuíam plantas regulares, o que obrigava os arquitetos a construir muitos ângulos retos (de 90o). Embora de bagagem intelectual reduzida, aqueles homens já resolviam o problema como um desenhista de hoje. Por meio de duas estacas cravadas na terra, assinalavam um segmento de reta. Em seguia, prendiam e esticavam cordas que funcionava à maneira de compassos: dois arcos de circunferência se cortam e determinam dois pontos que, unidos, secionam perpendicularmente a outra reta, formando os ângulos retos. 17. Construir um triângulo eqüilátero circunscrito ⎯ de lado AB = 5cm. 18. Construir um triângulo retângulo isósceles dado ⎯ ⎯ o lado base AB = 3cm e sua altura MC = 5cm. 19. Construir um triângulo escaleno de lados ⎯ ⎯ ⎯ AB = 6cm, AC = 4cm e BC = 5cm. 20. Dado o triângulo retângulo isósceles, circunscreva-o. Definição São polígonos que possuem quatro lados, com formas que apresentam aspecto de rigidez, conservadorismo e estabilidade – no caso dos quadrados, retângulos e trapézios. São figuras poligonais fechadas, que limitam uma área do espaço. Podem ser côncavos ou convexos. Tem ângulo interno de 180º Todos os ângulos internos são menores que 180º a) Quadriláteros paralelogrâmicos Quadriláteros que possuem lados opostos paralelos entre si. Pertencem a este grupo: o quadrado, o retângulo, o losango e o paralelogramo. 55 UEA – Licenciatura em Matemática b) Trapézios c) 3.o passo: ⎯ Com centro em A e raio AB, corta-se a perpendicular que sobe de A no ponto D. Com o mesmo raio e com centro em B, corta-se a perpendicular que sobe de B no ponto C, ligando-se os pontos C e D, obtendo-se, assim, o quadrado pedido. Quadriláteros que possuem dois lados paralelos entre si chamados de bases (maior ou menor). Os lados não-paralelos são chamados de transversais. A distancia entre lados paralelos é chamado de altura (h). Podem ser divididas em: retângulo, isósceles e escaleno. 2. Construir um quadrado (regular), dadas suas diagonais. a) 1.o passo: Traçar as duas diagonais prolongadas, cruzando-as no ponto O (centro). c) Trapezóides Quadriláteros que não apresentam paralelismo entre os lados. b) 2.o passo: Com a ponta-seca do compasso em O e abertura qualquer, traça-se uma circunferência, determinando quatro pontos. CONSTRUÇÃO DE QUADRILÁTEROS 1. Construir um quadrado (regular) dado o lado AB = 2,7cm. a) 1.o passo: Traçar uma linha horizontal indefinida e nela marcar a distância AB. c) 3.o passo: Ligam-se os pontos na ordem A, B e C, que são os lados do quadrado. b) 2.o passo: Pelos pontos A e B, levantam-se duas perpendiculares. 56 Desenho Geométrico – Figuras da geometria plana 3. Construir um retângulo dados os lados ⎯ AB = 4,8cm e AD = 2cm. a) 1.o passo: Traçar uma linha suporte horizontal e, sobre ⎯ ela, traçar o lado AB = 4,8cm. A D c) 3.o passo: b) 2.o passo: c) 3.o passo: ⎯ Marcar, com a medida do raio AO, as dis⎯ ⎯ tâncias OC para cima e OD para baixo. Unindo-se os pontos A, B, C, e D, teremos o quadrado pedido. Pela extremidade A, levanta-se uma perpendicular, marcando sobre esta o lado ⎯ AD = 2cm. ⎯ Traçar uma paralela ao lado AB partindo por D. ⎯ 5. Construir um retângulo dado o lado AB = 6cm ⎯ e sua diagonal AC = 6,5cm. a) 1.o passo: Traçar uma linha suporte horizontal, marcando sobre ela a distância AB. d) 4.o passo: Levantar uma perpendicular a partir de B, obtendo o quarto vértice C e o retângulo pedido. b) 2.o passo: Levantar duas perpendiculares ao segmen⎯ to AB, pelas extremidades A e B. c) 3.o passo: Com centro em qualquer de suas extremidades, no caso A, e com raio igual ao com⎯ primento AC da diagonal, descreve-se um arco de círculo que cortará a outra perpendicular no ponto C. 4. Construir um quadrado conhecendo-se a sua ⎯ diagonal AB = 3,3cm. a) 1.o passo: Traçar uma linha suporte horizontal, mar⎯ cando o segmento retilíneo AB. A B b) 2.o passo: Traçar uma perpendicular cortando o seg⎯ mento AB ao meio (centro O). 57 UEA – Licenciatura em Matemática d) 4.o passo: 6. A construtora “JOÃO DE BARRO”, possui um terreno em área valorizada, mas totalmente fora de esquadro ou alinhamento, dificultando sua venda. Faça a divisão do terreno e veja quantos lotes de 1cm x 2cm (no desenho abaixo), podemos conseguir. Traçar uma paralela a AB passando pelo ponto C, determinado, assim, o quarto vértice D do retângulo pedido, ligando agora os vértices. QUADRILÁTEROS 1. Construir um quadrado circunscrito, conhecendo-se suas diagonais e seu raio = 3cm. 7. Dada o cubo abaixo, como é o desenho dele aberto (planificado), usando medidas reais do cubo: largura, altura e comprimento? 2. Utilizando quatro triângulos retângulos isósceles, construir dois quadrados: um externo e outro interno. 3. Dadas os pares de paralelas perpendiculares entre si, construa a cruz que simboliza a saúde no mundo inteiro. 8. A partir do retângulo ABCD e uma diagonal, desenhe dois outros retângulos, sendo que o retângulo interno tem lado menor igual a 1cm, e o maior tem diagonal igual a 7cm. 4. Que objeto surgirá a partir desta figura composta de retângulos? Escreva e/ou desenhe. 9. A figura abaixo contém diversas formas: planas e tridimensionais que se relacionam entre si. Cite quais formas podemos encontrar nessa figura. 5. Construir um retângulo, dado o triângulo ABC abaixo, sabendo que o ponto C é o cruzamento das diagonais do retângulo pedido. 58 Desenho Geométrico – Figuras da geometria plana 10. Construa dois quadrados sendo um interno e outro externo, utilizando quatro trapézios isósceles. TEMA 12 TRAPÉZIOS INTRODUÇÃO Os trapézios são triângulos truncados com formas que transmitem estabilidade e ascensão, projeção. a) A figura abaixo é um exemplo de ilusão de ótica. Olhando para ela, temos a impressão de ver pequenos quadrados ou manchas cinza nos cruzamentos das faixas brancas. Ao contrário dos Egípcios, as civilizações antigas da América Central não construíram seus monumentos com base na forma triangular, mas na forma de trapézios. Você sabe por que isso ocorre? R: Quando as faixas se cruzam, o contraste entre o branco e o preto fica menor e, assim, podemos ver essas manchas cinza claras. b) As diagonais AB e CD dos paralelogramos são iguais. R: Sim. Confira. c) A figura ABCD é um quadrado? CONSTRUÇÃO DE TRAPÉZIOS 1. Construir um trapézio isósceles conhecendo⎯ se o lado maior AB = 4cm, a base menor ⎯ CD = 2cm e sua altura = 3,3cm. A B a) 1.o passo: Traçar uma reta suporte e marcar a medida ⎯ ⎯ AB, e em seguida marcar a metade de AB (ponto médio). R: Sim. 59 UEA – Licenciatura em Matemática b) 2.o passo: Levantar uma perpendicular a partir de M. b) 2.o passo: Construir o ângulo α com origem em A e depois com origem em B. Os ângulos levantados cortarão a altura em C e D, definindo, assim, o lado menor e o trapézio (de lados A, B, C e D) pedido. c) 3.o passo: Marcar a altura do trapézio MM e traçar uma reta paralela a AB passando por M. 4. Construir um trapézio retângulo conhecendo-se ⎯ a base maior AB = 4,8cm, o lado CD = 3,5cm e sua altura = 2cm. a) 1.o passo: Traçar uma reta suporte e nela marcar a medida AB. b) 2.o passo: Traçar a altura a partir do ponto A da base maior, marcando-se a medida dada, obtendo-se, assim, o ponto C. d) 4.o passo: Marcar sobre esta reta paralela a AB a medida CD, sendo que a metade desta medida MC está para a esquerda e MD para a direita. Unindo-se os pontos A, B, C e D, obtémse o trapézio pedido. h c) 3.o passo: ⎯ Traçar uma reta paralela a AB passando pelo ponto C. d) 4.o passo: Medir, então, sobre a paralela traçada o ⎯ cumprimento da base menor CD. Unindose A, B, C e D respectivamente, teremos o trapézio pedido. 2. Construir um trapézio isósceles conhecendo-se ⎯ a base maior AB = 4,8cm, sua altura = 2,8cm e o ângulo adjacente à base maior é α = 600. a) 1.o passo: Traçar uma reta suporte e nela marcar a ⎯ medida AB. Em seguida, marque a altura, ⎯ traçando-se uma paralela a AB. 60 Desenho Geométrico – Figuras da geometria plana 4. Construir um trapézio escaleno sendo a base ⎯ ⎯ maior AB = 4,8cm, a base menor CD = 1,5cm, ⎯ o lado AC = 2,7cm e o ângulo adjacente à base AB a partir de A, sendo α = 70°. Traçar uma reta suporte e nela marcar a distância AB. b) 2.o passo: a) 1.o passo: b) 2.o passo: ⎯ Medir e traçar o ângulo sobre AB com centro em A. Traçar uma reta suporte e nela marcar a ⎯ medida AB. ⎯ Medir e traçar o ângulo α sobre a base AB com origem em A. c) 3.o passo: ⎯ Marcar a medida AC sobre o lado do ângulo levantado. c) 3.o passo: ⎯ Marcar e medir AC sobre o ângulo levantado e, pelo ponto C, traçar uma paralela a ⎯ AB. d) 4.o passo: ⎯ Com centro em C e abertura CD = 3cm (feita com compasso) faz-se um arco aleatório. d) 4.o passo: Medir então, sobre a paralela traçada o ⎯ comprimento da base menor CD. Unindose então A, B, C e D respectivamente, teremos o trapézio pedido. e) 4.o passo: Com centro em B e abertura do compasso ⎯ com a medida BD, faz-se outro arco cortando o arco anterior originando o ponto D. Une-se, então, os pontos A, B, C e D para obter o trapézio pedido. 5. Construir um trapezóide dada a base maior ⎯ ⎯ AB = 4,85cm, sua base menor CD = 2cm, o ⎯ ⎯ lado AC = 3cm, o lado BD = 2,9cm e um ângulo = 70° adjacente a AB com origem em A. a) 1.o passo: 61 UEA – Licenciatura em Matemática TRAPÉZIOS 1. Construir um trapézio isósceles, dada a sua ⎯ base maior AB = 5cm , sua altura h = 4cm e ⎯ um ângulo de 80° adjacente à base AB. 9. Abaixo, temos um quadrado e uma de suas diagonais. Com apenas um traço, divida o quadrado em dois trapézios retângulos. 2. Dado o triângulo eqüilátero A B C, construir um ⎯ trapezóide, sendo o lado AD = 4cm e o lado ⎯ BE = 3cm. 3. Construir e identificar o trapézio conhecendo-se ⎯ ⎯ o lado AD = 4,5cm, suas diagonais AC = 6,8cm ⎯ e BD = 7,7 cm, com altura h = 4,4cm. 4. Construir um trapézio retângulo conhecendo⎯ se a base maior AB = 6cm, a base menor ⎯ ⎯ CD = 2cm e sua altura AD = 3cm. 10. Construir um trapézio isósceles, dada a base ⎯ ⎯ maior AB = 6cm, base menor CD = 4cm e sua altura = 4cm. 5. Construir um trapézio retângulo, dada a sua ⎯ base maior AB = 6cm e o ponto médio dessa ⎯ base (metade de AB). 11. Desenhar um trapézio isósceles circunscrito, ⎯ dada a base maior AB = 6cm, um ângulo adjacente à base α = 60°, em que a base maior é o diâmetro da circunferência. 6. Descreva as características de um trapézio quanto: Aos lados: ________________________________ 12. Complete o desenho da barra de ouro unindo os vértices das letras iguais. Aos ângulos: _____________________________ 7. Dada a circunferência abaixo, construir um trapézio isósceles, sabendo-se que sua base maior é o diâmetro da circunferência e seus quatro pontos (A, B, C e D) tocam essa circunferência. 13. Dado o trapézio, divida-o de forma a obter: a) Um trapézio retângulo. b) Um triângulo retângulo. 8. Determine o perímetro do trapézio dado sobre a linha abaixo. 62 Desenho Geométrico – Figuras da geometria plana 14. Construir um trapézio escaleno, dada a base ⎯ ⎯ maior AB =6cm, a base menor CD = 2.5cm, o ⎯ lado AC =3cm e dois ângulos adjacentes à base maior, α = 60° e β = 45°. 19. Vamos ligar os pontos na ordem alfabética e ver que figura vai surgir. 15. Complete, com um trapézio isósceles, o desenho da casa. 20. No futebol de rua, a garotada jogou a bola contra uma janela, estilhaçando a vidraça. Destaque as partes de vidro que formam trapézios. 16. Dado o quadrado, divida-o para obter quatro trapézios isósceles). 17. Dadas três figuras, monte um trapézio. 18. Decomponha a figura dada em: a) Dois trapézios retângulos. b) Um triângulo equilátero. c) Um trapézio isósceles. 63 UEA – Licenciatura em Matemática TEMA 13 b) 2.o passo: LOSANGOS E PARALELOGRAMOS ⎯ Marca-se o ângulo a partir do segmento AB, tendo como origem a extremidade A, prolongando-se o outro lado do ângulo. Diferenciam-se dos quadriláteros retangulares pela sua inclinação ou angulação, proporcionada pelas suas diagonais de tamanho, transmitindo sensação de desequilíbrio e, ao mesmo tempo, dinamismo, parecendo estar em movimento ou deslocamento. c) 3.o passo: ⎯ Com centro em A e abertura igual a AB, levanta-se um arco, cruzando o lado do ângulo levantado. d) 4.o passo: Sensação de movimento Traçar, a partir de B, um segmento paralelo ⎯ a AC (prolongado). Da mesma forma, traçar ⎯ uma reta paralela a AB passando por C e definindo o último ponto que é o D. Unindo os pontos A, B, C, D, e A teremos o losango desejado. O quadrado é estático. O losango tem movimento diagonal. Aplicações CONSTRUÇÃO DE PARALELOGRAMOS 2. Construir um losango, dadas as duas diago⎯ nais, sendo a diagonal maior AB = 4cm e a ⎯ diagonal menor CD = 2,5cm. ⎯ 1. Construir um losango dados um lado AB = 2,7cm e um ângulo α = 60°. a) 1.o passo: a) 1.o passo: Traçar uma reta suporte e, sobre esta, mar⎯ car o segmento retilíneo AB, que é o lado dado. Traçar as duas diagonais perpendiculares entre si (prolongadas) que se cruzam em seus meios (origem). 64 Desenho Geométrico – Figuras da geometria plana O b) 2.o passo: Marcar, a partir do cruzamento das diagonais (O), a metade da medida AB, sendo ⎯ ⎯ AO = 2cm e OB = 2cm (diagonal maior). d) 4.o passo: ⎯ Com centro em C e abertura (mesma) CB, ⎯ traça-se um arco cruzando o arco BA e definindo o ponto D. Unindo-se os pontos A, B, D e C, temos o losango desejado. O c) 3.o passo: Desta vez, marcar a partir de O a metade da ⎯ ⎯ ⎯ medida CD, sendo OC = 0,8cm e OD = 0,8cm a diagonal menor. Obtido os quatro pontos, liga-se e obtém-se o losango pedido. 4. Construir um paralelogramo dado o lado ⎯ ⎯ AB = 4,8cm, o lado AC = 2,2cm e o ângulo adjacente a AB, α = 45° a) 1.o passo: Traça-se uma reta suporte e marca-se a medida AB. 3. Construir um losango sabendo-se o seu lado ⎯ AB = 2,7cm. (usar compasso e régua). b) 2.o passo: a) 1. passo: o Constrói-se o ângulo α sobre o segmento ⎯ AB com origem em A. Traçar uma reta suporte e nela marcar o ⎯ segmento AB. b) 2.o passo: ⎯ Com centro em A e abertura AB, traça-se um arco acima de B. c) 3.o passo: Traça-se sobre o lado do ângulo α levanta⎯ ⎯ do a medida AC. c) 3.o passo: ⎯ Com centro em B e mesma abertura BC, traça-se um arco que cruzará o arco anterior definindo o ponto C. 65 UEA – Licenciatura em Matemática d) 4.o passo: ⎯ ⎯ Traça-se uma paralela ao lado AB passan⎯ ⎯ do por C e outra ao lado AC passando por B, definindo o ponto D. Unem-se os pontos com traço forte e obtém-se o paralelogramo pedido. ⎯ 1. Desenhar um losango, dado o lado AB = 4cm. 2. Desenhar um losango, dadas as diagonais ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ AC = 5cm e BD = 3cm. 5. Construir um paralelogramo, dados os lados ⎯ ⎯ AB = 4,8cm, um ângulo α = 45° adjacente ao ⎯ lado AB e sua altura = 1,4cm. 3. Desenhar um paralelogramo, dado o lado ⎯ ⎯ maior AB = 5,5cm e o lado menor AD = 2,5cm ⎯ ⎯ e o ângulo adjacente à AB α = 45°. a) 1.o passo: Traçar uma reta suporte e marcar a medida AB. 4. Construir um paralelogramo, dado o lado ⎯ maior AB = 5cm, um ângulo adjacente à base α = 60° e sua altura = 2cm. b) 2.o passo: Constrói-se o ângulo a partir do segmento ⎯ ⎯ AB com centro em A, alongando-se o lado do ângulo aberto. 5. Dada a circunferência e a sua divisão, construa três losangos para obter uma figura a saber. 6. Divida o hexágono regular com dois losangos para obter um cubo. c) 3.o passo: Repete-se a mesma operação para a construção do ângulo, tendo a extremidade B como centro. 7. Complete o desenho da casa com um losango. d) 4.o passo: Traça-se a altura perpendicular ao segmen⎯ to AB. Em seguida constrói-se uma paralela ⎯ ⎯ a AB cruzando os ângulos levantados nos pontos C e D, onde A, B, C e D formam o paralelogramo. 66 Desenho Geométrico – Figuras da geometria plana 12. O desenho tridimensional do parafuso está incompleto, restando duas faces em forma de losangos; finalize-o. 8. Dado o módulo abaixo, repita-o para formar um painel (composição por repetição). 9. Dado o retângulo, divida-o para obter um paralelogramo. 13. Observe a linha poligonal abaixo e reproduza este caminho, utilizando losangos. 10. Complete o desenho da bandeira do Brasil sabendo que os lados do retângulo são ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ AB = 7cm e BC = 4cm e o losango tem dia⎯ ⎯ gonais AC = 6cm e BD =3,5cm. 14. Construa um triângulo eqüilátero e divida-o para obter três losangos que, ao serem escurecidos, fará surgir a marca “MITSUBISHI”. 15. Monte pelo menos cinco combinações diferentes com os dois paralelogramos abaixo. 11. Dados os quadrados e uma linha poligonal, ligue as letras iguais para obter um objeto tridimensional com um furo. 67 UNIDADE V Polígonos e Poliedros Desenho Geométrico – Polígonos e Poliedros TEMA 14 POLÍGONOS Introdução É a região do plano limitada por uma linha poligonal fechada. b. Polígonos não-regulares – Possuem lados com tamanhos diferentes e ângulos internos e externos diferentes, sendo que a soma dos ângulos internos é também de 360°. Os polígonos estão presentes em quase todas as coisas que usamos ou vemos, enchendo o mundo que nos cerca, com suas variadas formas e composições. Basta observar coisas que você esta usando ou ao seu redor. 2. Polígonos inscritos e circunscritos. a. Polígonos inscritos – Os vértices do polígono estão sobre a circunferência. Ao longo do tempo, fomos aprendendo a observar, associar e aplicar as formas geométricas naturais ao nosso mundo próprio. b. Polígonos circunscritos – Os lados do polígono são tangentes à circunferência. 1. Classificando os polígonos (com mais de cinco lados) 1. Polígonos regulares e irregulares a. Polígonos regulares – São formas inscritas e circunscritas por circunferência. Possui ângulos externos também iguais, sendo que a soma dos ângulos internos é igual a 360°. 3. Polígonos convexos e côncavos. a. Polígonos convexos – São polígonos que não possuem vértices reentrantes, ou seja, todas as diagonais estão na região interna. 71 UEA – Licenciatura em Matemática 2.o passo: Com centro em B e mesmo raio, traça-se outra circunferência, cortando-se os pontos P e O, pelos quais passam uma linha prolongada. b. Polígonos côncavos – São polígonos que possuem ângulos reentrantes, ou seja, vértices em direção ao interior do polígono. 3.o passo: ⎯ Com centro em O e raio AB, traça-se a última ⎯ circunferência, que vai cortar o segmento OP no ponto G e as duas circunferências já traçadas nos pontos 1 e 2. Observação: P A tendência de um polígono, à medida que aumenta o seu número de lados, é de se aproximar da forma de uma circunferência. O 4. passo: o Une-se o ponto 1 ao ponto G e prolonga-se a linha assim obtida até a circunferência do centro A. Une-se depois o ponto 2 ao ponto G e prolonga-se também esta reta até que ela corte a circunferência do centro B. Construção de Polígonos Regulares em função do lado P 1. Construir um pentágono regular, conhecendo⎯ se o seu lado AB = 1,6cm. 1.o passo: ⎯ ⎯ Traçar o lado AB e com centro em A e raio AB, construir uma circunferência. 5.o passo: O As duas linhas traçadas determinarão, no encontro com as duas circunferências, os pontos 72 Desenho Geométrico – Polígonos e Poliedros C e D que, unidos respectivamente a A e a B, ⎯ ⎯ definindo mais dois lados sendo, AC e BD. P 3.o passo: ⎯ Com a distância AB e centro em B, marca-se sobre a circunferência o ponto C, utilizando-se o ponto seguinte como centro, até marcar o sexto ponto do hexágono, no caso F. 6.o passo: ⎯ Com centro em C e raio AB, traça-se um arco X e, em seguida, com o mesmo raio e centro em D, descreve-se o arco Y, cortando o arco X no ponto E. Unindo-se o ponto E ao ponto C e ⎯ ⎯ a D, teremos os dois lados restantes, EC e ED do pentágono pedido. 4.o passo: E P Finalmente, ligam-se os pontos A, B, C, D, E, F, A, nessa ordem, para obter o hexágono regular pedido. 2. Construir um hexágono regular conhecendo⎯ se o lado AB = 1,6cm. 1.o passo: 3. Construir um heptágono regular conhecendo⎯ se o seu lado AB = 2cm. ⎯ Traça-se o lado AB e com centro em A e raio AB, descreve-se o arco 2. Com o centro em B e mesmo raio, traça-se o arco 1 que cortará o primeiro arco em O. ⎯ 1.o passo: Marca-se sobre uma linha suporte horizontal a ⎯ distancia AB igual ao lado conhecido, e em ⎯ ⎯ seguida a distância BC igual a AB na mesma linha. 2.o passo: 2.o passo: ⎯ Admitindo-se o seguimento AC como base de um triângulo eqüilátero, constroe-se esta figura de vértices A, C e D. ⎯ Com centro em O e raio AB, traça-se uma circunferência. 73 UEA – Licenciatura em Matemática 6.o passo: ⎯ Marca-se a distância AB sobre a circunferência para obter os lados pelos pontos 1, 2, 3, 4, 5, 6, A, que unidos completarão o heptágono pedido. 3.o passo: Levanta-se uma ⎯perpendicular por B, que é o meio da base AC, e em seguida traça-se outra ⎯ perpendicular, desta ⎯vez pelo meio do lado CD, cortando a altura BD em O. 4. Construir um octógono conhecendo-se o seu lado AB = 1,5cm. 1.o passo: Traça-se uma reta suporte e sobre esta marcase a medida do lado, levantando-se em seguida duas perpendiculares a este lado a partir de A e de B. 4.o passo: ⎯ Com centro em O e raio OA, traça-se uma circunferência que circunscreverá o triângulo. ⎯ Aplique-se agora o lado AB. 2.o passo: Traçam-se as duas bissetrizes destes dois ângulos retos, uma com origem em A e outra com origem em B. 5.o passo: ⎯ Com centro em A e distância AB, marca-se sobre a circunferência no ponto 1, onde A1 é o primeiro lado da figura. 3.o passo: Marca-se sobre a reta do ângulo de origem A ⎯ medida AC, e sobre a reta do ângulo de ⎯ origem B a medida BD. 74 Desenho Geométrico – Polígonos e Poliedros 2.o passo: Os pontos B, C e D são os três lados do triângulo inscrito. 4.o passo: Levantam-se pelos pontos C e D duas perpen⎯ diculares à reta suporte de AB, nas quais mar⎯ ⎯ cam-se as distâncias CE e DF, respectivamente ⎯ iguais a AB. ⎯ 5.o passo: 2. Dividir a circunferência de raio OA = 1,7cm em quatro e oito partes iguais, ou então construir um quadrado e um octógono inscritos. ⎯ Com centro em E e raio AB, corta-se a perpendicular que passa por A no ponto G; com o mesmo raio e centro em F, corta-se agora a ⎯ perpendicular a AB que parte de B no ponto H. Ligando-se agora os pontos A, B, D, F, H, G, E, C e A teremos o octógono pedido. 1.o passo: ⎯ ⎯ Traçam-se, inicialmente, os diâmetros AB e CD perpendiculares, dividindo a circunferência em quatro partes iguais. O 2.o passo: Traça-se uma circunferência com centro em O ⎯ e abertura OA, que vai tocar os diâmetros nos pontos A, B, C, e D. 2. CONSTRUÇÃO DE POLÍGONOS INSCRITOS EM FUNÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA 1. Dividir a circunferência em três partes iguais e construir um triângulo eqüilátero circunscrito. 1.o passo: ⎯ Traça-se o diâmetro horizontal AB da circunferência e levanta-se uma perpendicular pelo ⎯ meio(M) do raio AO. Esta linha vai cortar a circunferência nos pontos C e D. 3.o passo: ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ A ligação dos pontos AD, DB, BC e CA determina o quadrado inscrito. 75 UEA – Licenciatura em Matemática 4.o passo: Traça-se uma perpendicular pelo meio dos ⎯ ⎯ lados AC e BD, cortando a circunferência nos pontos E e F, obtendo-se mais dois pontos da figura. 2.o passo: ⎯ Divide-se o raio OD ao meio, determinando o ⎯ ponto X. Com raio XA, descreve-se um arco que ⎯ vai cortar o diâmetro AB (horizontal) no ponto P. 5.o passo: Desta vez, traça-se uma perpendicular pelo ⎯ ⎯ meio dos lados AD e BC, obtendo-se sobre a circunferência os pontos G e H, que são os últimos pontos da figura circunscrita. 3.o passo: ⎯ Agora, com o centro em A e raio AP, traça-se outro arco, que vai determinar na circunferência o ponto E, que unido com A dará o lado do pentágono circunscrito. 6.o passo: E Ligando-se, respectivamente, os pontos A, G, D, F, B, H, C, E, A, teremos um octógono inscrito. 4.o passo: Finalmente, com centro em E e medida con⎯ stante AE, marcam-se sobre a circunferência os pontos E, F, G, H, A restantes que ligados definirão o pentágono regular inscrito. 3. Construir um pentágono circunscrito conhecendo-se a circunferência. H E 1.o passo: Traçam-se, em primeiro lugar, os dois diâmetros perpendiculares da circunferência, sendo ⎯ ⎯ estes AB e CD. F 76 G Desenho Geométrico – Polígonos e Poliedros 4. Construir um hexágono regular conhecendo⎯ se a circunferência de diâmetro AB = 3,4cm. 1.o passo: Traça-se uma reta suporte horizontal na qual ⎯ marca-se o diâmetro AB e seu meio O (centro). 2.o passo: ⎯ Com centro em A raio AO, traça-se um arco do círculo que cortará a circunferência nos pontos 1 e 3. 2.o passo: Traça-se a circunferência, e com centro em A e ⎯ raio AO, descreve-se arco de círculo que cortará a circunferência duas vezes, obtendo-se ⎯ ⎯ os pontos C e D, onde AC ou AD já é o lado do pentágono circunscrito. 3.o passo: ⎯ Unindo-se os pontos 13, teremos uma reta per⎯ pendicular que cortará o diâmetro AB no ponto ⎯ 2. O segmento 12 é o lado do heptágono. 3.o passo: ⎯ Agora, com centro em B e raio BO, descreve-se um outro arco de circulo que cortará a circunferência nos pontos E e F. Unindo-se os pontos A, C, E, B, F e D, obtem-se o hexágono regular inscrito. 4.o passo: ⎯ Com centro em 1 e medida 12, traça-se um arco que cortará a circunferência no ponto A, repetindo-se, então, ao longo da circunferência até o ponto 1. Unem-se os pontos 1, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 para obter o heptágono regular inscrito. 9 8 5. Construir um heptágono regular circunscrito, conhecendo-se o diâmetro da circunferência AB = 3,4cm. 5 7 6 6. Construir um noneágono regular circunscrito ⎯ conhecendo-se o diâmetro AB = 3,4cm da circunferência. 1.o passo: Traçar o diâmetro AB horizontal e sua circunferência pelo meio de AB. 77 UEA – Licenciatura em Matemática 1.o passo: 5.o passo: ⎯ Liga-se agora E a O. Essa linha corta a circunferência no ponto F, que ligado a G determina o segmento retilíneo que é o lado do eneágono. ⎯ Com abertura FG marcam-se sobre a circunferência os nove lados (F, G, H, I, A, J, L, M e N)do eneágono pedido. Traça-se o diâmetro AB e pelo seu meio O (centro) constrói-se a circunferência de raio AO. L M J N 2.o passo: ⎯ Levanta-se uma perpendicular ao raio OB pelo ponto C, cortando a circunferência no ponto G. I H POLÍGONOS 3.o passo: 1. Construir um pentágono regular de raio ⎯ OA = 3cm pela divisão da circunferência. ⎯ Com centro em C o raio OB, descreve-se um arco que cortará a perpendicular traçada no ponto D. 2. Construir um hexágono regular circunscrito, dado o triângulo abaixo. O B A 4.o passo: 3. Construir um octógono regular inscrito, dados a circunferência e os dois diâmetros abaixo. C ⎯ Com centro em D e mesmo raio OB, corta-se o arco que parte de D no ponto E. E A G 78 Desenho Geométrico – Polígonos e Poliedros 8. Construa a estrutura da roda gigante, saben⎯ do-se que ela possui lados iguais ao lado AB. 4. Construir um heptágono regular circunscrito, ⎯ sabendo-se que AB é o seu lado, e o ponto O é o centro da figura pedida. A B 9. Dado o eneágono regular circunscrito, ligar com cordas de circunferência os pontos de quatro em quatro para obter uma figura estrelada. 5. Construir um hexágono regular circunscrito, dada a figura abaixo. 10. O proprietário de um automóvel esportivo precisou trocar-lhe os pneus e aproveitou e trocou o jogo de aros dos pneus. Crie, então, um novo modelo de aro tendo como base um hexágono regular (há várias soluções). 6. Construir um decágono (10 lados) regular circunscrito, dado o pentágono regular. G E I A C 11. Complete o desenho do parafuso cuja cabeça tem forma de hexágono regular. 7. Construir um octógono regular circunscrito, dadas as retas paralelas abaixo. 79 UEA – Licenciatura em Matemática 12. Dado o pentágono regular circunscritível de raio = 2,4cm, traçar um semelhante de mesma origem e raio = 3cm. 16. O proprietário da mesa abaixo, sem condições de comprar uma nova, decidiu modificá-la para uma forma de um octógono irregular inscritível eliminando as quinas da mesa. Auxilie com o desenho para evitar problemas no corte das quinas da mesa. 13. Os lados do triângulo abaixo são lados de três polígonos regulares inscritos sendo: a) pentágono; b) hexágono; c) decágono. Identifique o lado do triângulo com o lado-base dos polígonos citados. 14. Uma pedra preciosa foi encontrada em sua forma bruta (dodecágono irregular). Lapide-a na forma de um pentágono irregular. 15. A figura seguinte é um polígono estrelado por quê? 80 Desenho Geométrico – Polígonos e Poliedros gonos planos. Os polígonos são colocados lado a lado, não-coplanares, definindo um trecho fechado no espaço. TEMA 15 POLIEDROS A palavra edro vem da palavra hedra, que em grego quer dizer “face”. Histórico de poliedros No espaço, o pequeno não é pouco, nem o grande é muito. É a forma, e não a dimensão que define o espaço; “Um jarro se faz com a massa palpável do envoltório externo; mas é o espaço vazio do seu interior que o faz útil”. As primeiras construções geométricas surgiram com problemas simples, como a medida e a divisão de terra, e a construção da roda. Neste estágio, a Geometria era um bando de receitas para cálculos de perímetros e áreas. Cedo o homem aprendeu que soluções retilíneas eram mais econômicas, aprendeu a trabalhar com figuras regulares e a fazer divisões que são fáceis de construir. As primeiras construções, as mais primitivas, já eram modelos de cones e cilindros, como, por exemplo, as cabanas de índios e os poços artesanais. Alguns sólidos regulares, como pirâmides e prismas, talvez por serem mais econômicos, foram sendo mais e mais usados. Já por volta de 1000 a.C., monumentos imensos, como pirâmides, já tinham sido erguidos. Já se conhecia como construir ângulos retos e como retificar a circunferência. O desejo de se sentir bem nos seus ambientes levou o homem a desenvolver a estética por meio da Arquitetura e da Decoração. A Geometria encontra-se presente na Arquitetura Egípcia, Assíria-Babilônica, Grega e Romana, como também na decoração por meio do reconhecimento e da repetição de módulo e suas simetrias, muito usado nas culturas Egípcia, Grego-Romana e Árabe. O movimento no espaço tem três liberdades: Em uma direção – A LINHA. Em duas direções – O PLANO. Em três direções – O VOLUME (tridimensional: assim é o espaço). Um poliedro ocupa três dimensões no espaço: largura, altura e comprimento. Veja, então, como é um poliedro. Onde: a) Vértice é o ponto onde três ou mais arestas se encontram. Os poliedros regulares fascinaram os antigos como símbolo de perfeição da natureza. Os Gregos, mais precisamente os Pitagóricos, já sabiam da existência de três dos cinco poliedros regulares: o cubo, o tetraedro e o dodecaedro. Cubos e tetraedros já eram conhecidos de Egípcios e Babilônios. Os Etruscos, por volta do ano 1000 a.C., construíram um dado em forma de um dodecaedro. Esses poliedros foram muito estudados pela Escola de Platão, que construiu uma teoria filosófica baseada neles, comparando-os com os cinco elementos da natureza. b) Aresta é a linha do encontro de duas faces do poliedro. Introdução Entre os antigos gregos, os poliedros foram chamados de corpos cósmicos ou sólidos c) Faces são figuras poligonais planas. Os poliedros podem ser classificados de acordo com a forma, com o número de lados e os ângulos formando faces, sendo: a) Poliedros regulares ou platônicos. b) Poliedros semi-regulares. c) Poliedros irregulares. d) Poliedros côncavos e convexos Poliedros Platônicos Diz-se poliedro todo sólido limitado por polí81 UEA – Licenciatura em Matemática platônicos, devido à maneira pela qual Platão os utilizou para explicar os fenômenos científicos relativos ao universo. Em 388 a.C., Platão foi à Sicília visitar o amigo Arquitas e provavelmente , por intermédio deste, tomou conhecimento dos cinco poliedros regulares. 4. Dodecaedro regular – É formado por doze pentágonos regulares, e sua forma se aproxima de uma esfera. 5. Icosaedro regular – É formado por vinte triângulos eqüiláteros e tem a forma de uma pedra lapidada. Durante muitos séculos, quatro desses poliedros foram associados aos quatro elementos que os gregos acreditavam formar o universo: terra, fogo, ar e água. Essa associação era representada por um esquema do tipo: a) Poliedros platônicos ou regulares – São os que possuem lados iguais, sendo estes: 1. Tetraedro regular – É o menor de todos os poliedros. É formado por quatro triângulos eqüiláteros que equivalem a uma pirâmide de base triangular. O quinto poliedro, o dodecaedro, foi considerado por Platão como símbolo do universo. No entanto foi Euclides, em sua principal obra, Os elementos, que deu um tratamento mais rigoroso ao estudo desses poliedros. 2. Hexaedro regular (6 lados) – É formado por seis quadrados regulares e tem a forma de um cubo. b) Poliedro semi-regulares – São poliedros formados por dois diferentes tipos de polígonos. 3. Octaedro regular – É formado por oito triângulos eqüiláteros iguais e equivale a duas pirâmides coladas pela base ou a um balão junino. 82 Desenho Geométrico – Polígonos e Poliedros Quatro quadrados regulares; c) Poliedros irregulares – São os poliedros formados por diferentes polígonos. 4 x 90º = 360º Três heptágonos regulares ou qualquer outro polígono regular. d) Poliedros côncavos e convexos – Poliedros convexos compreendem as formas que não possuem ângulos entre os lados maior que 180°. Vejamos, então, como se forma um ângulo poliédrico. Observe que a posição dos lados vai determinar se os lados formaram um poliedro, ou seja, um corpo geométrico tridimensional. Poliedros côncavos possuem como particularidade a formação de lados internos ao poliedro, formando furos, rebaixos, etc. ÂNGULOS POLIÉDRICOS Os poliedros são corpos geométricos em que os ângulos são traçados de forma a permitir que os lados criem entre si um vértice em forma de bico. E para construir um bico, são necessários, no mínimo, três polígonos. Se traçarmos, numa folha de papel (plano), polígonos iguais formando num vértice comum um ângulo final de 360°, torna-se impossível que esses lados formem um bico, que é o ângulo poliédrico; vejamos: Veja também que a união dos lados do polígono origina arestas que vão fazer que os lados se fechem em torno de um vértice comum aos três lados, produzindo uma forma não plana. Seis triângulos eqüiláteros regulares; Vejamos algumas situações: 6 x 60 = 360º 83 UEA – Licenciatura em Matemática 2.o passo: Traçamos três quadrados regulares de lado 5cm. 3.o passo: Cortamos a figura pelo perímetro, sem dividir os quadrados. 4.o passo: Marcamos e dobramos as arestas HE e HC (tracejado). Vamos fazer? Agora, vamos aprender como surge um ângulo poliédrico. As propriedades dos poliedros regulares (platônicos) Para começar, vale lembrar que o ângulo poliédrico é formado pela união ou pelo encontro de pelo menos três lados. Os poliedros são classificados segundo suas propriedades, algumas delas sendo numéricas, como segue abaixo: 1.o passo: Uma folha de papel sem pautas. 84 Desenho Geométrico – Polígonos e Poliedros Observação – Não só os poliedros regulares possuem essa propriedade, mas todos os poliedros convexos! CONSTRUINDO UM POLIEDRO Inicialmente, é importante saber qual o tipo de poliedro que se quer construir. Para começar, serão necessários praticamente os mesmos instrumentos utilizados no traçado de figuras poligonais, acrescentando desta vez um marcador para dobras e cola ou adesivo transparente. c) Faça todas as marcações antes de cortar a figura planificada. É importantíssimo diferenciar as linhas de dobra das linhas de corte. Vejamos: O marcador pode ser a ponta da lapiseira, uma lâmina cega, a ponta de uma esferográfica seca, etc., que não corte ou separe os lados do poliedro. Marcador de dobras d) Antes de cortar a figura, vamos traçar “abas” para que, ao montar o poliedro, possamos fixá-lo com mais segurança e facilidade, melhorando sua aparência. Lembre-se, então, de que os lados com abas devem ser marcados para dobras e não para cortes. Linha marcada para a dobra, sem cortar a folha. POLIEDROS E SUAS FASES DE CONSTRUÇÃO RECOMENDAÇÕES E INSTRUÇÕES e) Finalmente, cortamos a figura pelo seu perímetro. a) Pegue uma folha de papel/cartolina, não muito flexível ou mole, que seja suficiente para planificar ou traçar o poliedro, pregando-a sobre uma mesa. f) Ao dobrar a figura e as abas, veja que os próprios lados vão-se deslocando para suas posições finais. O último lado fechará o poliedro por meio da aba. b) Faça o traçado do poliedro desejado. 85 UEA – Licenciatura em Matemática 3. O octaedro – oito triângulos eqüiláteros regulares. 4. O dodecaedro – dez pentágonos regulares. O traçado planificado 1. O tetraedro – quatro triângulos eqüiláteros regulares. 5. O icosaedro – vinte triângulos eqüiláteros regulares. 2. O hexágono – seis quadrados. 86 Desenho Geométrico – Polígonos e Poliedros INSCRIÇÃO – UMA PROPRIEDADE c) O Dodecaedro inscrito num icosaedro. INTERESSANTE A inscrição de figuras é bastante aplicada na engenharia, na arquitetura, nas oficinas mecânicas, na arte, etc. Essa propriedade permite que os cinco poliedros regulares sejam inscritos de acordo com suas características já conhecidas: número de E o dodecaedro circunscrito ao icosaedro. faces, número de vértices e número de arestas. O poliedro de dentro é denominado poliedro inscrito, e o de fora é o poliedro circunscrito. a) Um tetraedro regular, por sua vez, pode ser inscrito num tetraedro regular. A inscrição de uma figura em outra não é feita somente com poliedros regulares, mas também com corpos redondos, com figuras planas ou mesmo não-planas. Uma circunferência inscrita num quadrado b) Hexaedro (cubo) regular inscrito num octaedro. Cada vértice do cubo é o centro de uma face do octaedro. Uma esfera inscrita num cubo Octaedro inscrito num cubo. Cada vértice do octaedro é o centro da face do cubo Para Saber... Homem e o troncoctaedro Serve como uma orientação segura para prédimensionar os macro objetos a serem utilizados pelo homem, sejam armários, bancadas, escrivaninhas, poltronas odontológicas, máquinas-ferramentas, e etc. 87 UEA – Licenciatura em Matemática Prisma regular – O prisma é regular quando é reto e suas faces são polígonos regulares. Prisma irregular – O prisma é irregular quando as suas bases são polígonos irregulares. Pirâmide – Poliedro regular limitado por uma base e um vértice comum a todas as faces. Possui faces que são triângulos isósceles e variam de acordo com o número de lados da base (triangular, quadrada, pentagonal, etc.) PRISMAS E PIRÂMIDES Prismas – Poliedro irregular limitado por dois polígonos que são as bases do prisma. Suas faces, que são paralelogramos, variam de acordo com o número de lados que possuem as bases (triangular, quadrada, pentagonal, etc.). Pirâmide reta – A pirâmide é reta quando o eixo que une o seu vértice é perpendicular à base. Prisma reto – O prisma é reto quando as arestas são perpendiculares às bases. Pirâmide oblíqua – A pirâmide é oblíqua quando o eixo que une o vértice ao centro da base não é perpendicular à base. Prisma oblíquo – O prisma é oblíquo (inclinado) quando as arestas forem oblíquas às bases. 88 Desenho Geométrico – Polígonos e Poliedros Pirâmide regular – A pirâmide é regular quando a base é um polígono regular. POLIEDROS 1. Construir um poliedro regular (platônico) de lado igual a 5cm. 2. Construir um prisma regular de base hexagonal regular, de lado igual a 5cm. Pirâmide irregular – A pirâmide é irregular quando a base é um polígono irregular. 3. Construir uma pirâmide de base pentagonal regular de lado igual a 4cm e altura das faces igual a 8cm. Vejamos algumas aplicações de prismas no cotidiano. Construções e edificações Malhas de geométricas prismáticas usadas em preenchimento (reforço) de divisórias de ambientes 89 Anexos Desenho Geométrico – Anexos ANEXO 01 DIRETRIZES PARA O TRABALHO EM GRUPO 1. Todos os componentes do grupo (no máximo 5) devem: • • • • • Saber e compreender o que o grupo está fazendo. Fazer perguntas se não entenderem. Participar ativamente na realização das tarefas. Ajudar os outros. Respeitar os outros. 2. Só devem chamar o professor: Quando os componentes do grupo não estiverem conseguindo realizar a atividade, mesmo após utilizado vários argumentos. • Quando tiverem concluído a atividade. • 3. Ao final das atividades devem: • • • Elaborar um relatório conforme anexo 30. Ler o que foi escrito. Organizar a apresentação à turma. 93 UEA – Licenciatura em Matemática ANEXO 02 GUIA PARA A ELABORAÇÃO DO RELATÓRIO Na elaboração do relatório, devem ser considerados, entre outros, os seguintes aspectos: Identificação do grupo de alunos, indicando: 1. 2. 3. 4. NOME NÚMERO DE MATRÍCULA TURMA MUNICÍPIO Identificação do trabalho, indicando: 1. DATA DE REALIZAÇÃO 2. DISCIPLINA 3. TÍTULO Atividade n.º ______: 1. NOME 2. OBJETIVOS O que deseja alcançar com a realização das atividades? 3. MATERIAIS UTILIZADOS Devem ser discriminados os materiais para cada atividade. 4. DESCRIÇÃO DA ATIVIDADE: a. b. c. d. Relato de todos os passos de cada atividade. Explicação dos raciocínios. Identificação de tentativas realizadas e de dificuldades encontradas. Apresentação dos resultados obtidos. Conclusões Apreciação crítica do trabalho proposto. 94 Desenho Geométrico – Anexos ANEXO 03 TABELA DE AVALIAÇÃO DO RELATÓRIO 95 ANEXO 04 FICHA DE AVALIAÇÃO INDIVIDUAL DO ALUNO SIM Consegui distribuir as tarefas no grupo. Verifiquei o objetivo da atividade. Cooperei com os outros elementos do grupo. Permiti a intervenção dos outros elementos do grupo. Fui capaz de moderar a discussão no grupo. Contribuí com idéias para o grupo resolver o problema. Selecionei as estratégias apropriadas. Justifiquei as conjecturas. Utilizei os materiais. Registrei os resultados. Fui perseverante na resolução do problema. Obtive conclusões. Tive boa comunicação com a turma. A minha colaboração na elaboração do relatório foi: A minha colaboração na apresentação foi: O que aprendi com as atividades realizadas foi: As dificuldades que encontrei para realização do trabalho foram: Gostei de trabalhar em grupo? Por quê?: Nome:______________________________________________N.o:____Turma:____ NÃO Respostas dos Exercícios Desenho Geométrico – Respostas dos Exercícios UNIDADE I Introdução ao desenho geométrico TEMA 04 USO DO ESQUADRO, COMPASSO E RÉGUA PARA CONSTRUÇÃO DE ÂNGULOS E RETA TEMA 03 OPERAÇÕES COM SEGMENTOS E ÂNGULOS Pág. 25 Pág. 16 1. 1. 2. 2. a) b) c) 3. 4. 10. a) b) 3α – β 5. 99 UEA – Licenciatura em Matemática 3. 6. 4. 8. 5. UNIDADE III Divisão de segmentos e segmentos proporcionais 6. TEMA 05 DIVISÃO DE SEGMENTO Pág. 32 7. 1. 8. 9. 2. 100 Desenho Geométrico – Respostas dos Exercícios 9. 10. 10. TEMA 07 MÉDIA PROPORCIONAL OU GEOMÉTRICA Pág. 36 12. 1. 13. 3. TEMA 08 DIVISÃO HARMÔNICA E SEGMENTO-ÁUREO Pág. 42 5. 1. a) 8. 101 UEA – Licenciatura em Matemática b) 6. c) 8. 2. UNIDADE IV Figuras da geometria plana TEMA 09 3. DIVISÃO DE CIRCUNFERÊNCIA Pág. 48 4. 1. 5. 2. 102 Desenho Geométrico – Respostas dos Exercícios 3. 9. 4. 10. 5. 11. 6. 12. 7. 13. 8. 103 UEA – Licenciatura em Matemática TEMA 10 6. TRIÂNGULOS Pág. 53 7. 1. 8. 2. 3. 9. 4. 10. 5. 11. 104 Desenho Geométrico – Respostas dos Exercícios 12. 38 Triângulos 13. 18. 19. 14. 20. 15. TEMA 11 QUADRILÁTEROS Pág. 58 16. 1. 17. 2. 105 UEA – Licenciatura em Matemática 9. 3. 4. 10. 5. TEMA 12 TRAPÉZIOS 6. Pág. 62 1. 7. 2. 8. 106 Desenho Geométrico – Respostas dos Exercícios 9. 3. 10. 4. 5. 11. 6. Aos lados: Lados não paralelos e bases paralelas. Aos ângulos: Retângulo, isósceles, escaleno 12. 13. 7. 14. 8. 107 UEA – Licenciatura em Matemática TEMA 13 15. LOSANGOS Pág. 66 16. 1. 2. 17. 3. 18. 4. 19. 5. 20. aaaaaa aaaaaa aaaaaa aaaaaa aaaaaa a a a 6. 108 Desenho Geométrico – Respostas dos Exercícios 14. 7. 8. 15. 9. UNIDADE V Polígonos e Poliedros 10. TEMA 14 POLÍGONOS 11. Pág. 78 1. 12. 2. 13. 109 UEA – Licenciatura em Matemática 8. 3. 9. 4. 10. 5. 11. 6. 12. 7. 13. 110 Desenho Geométrico – Respostas dos Exercícios 14. 2. 15. 3. 16. TEMA 15 POLIEDROS Pág. 89 1. 111 REFERÊNCIAS CARVALHO, Benjamin de A. Desenho Geométrico. São Paulo: Ao livro Técnico, 1958. PINTO, Nilda Helena S. Corrêa. Desenho Geométrico. 1. ed – São Paulo: Editora Moderna, 1991. JORGE, Sonia. Desenho Geométrico – Idéias e imagens. 1. ed – São Paulo: Editora Saraiva, 1998. SCHATTSCHNEIDER, Doris e WALKER, Wallace. Caleidociclos de M. C. Escher. Alemanha, 1977. Tradução: Maria Odete Gonçalves Koller. MARCHESI JR, Isaias. Curso de desenho geométrico. Vol. 2. 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