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Instituto Superior de Transportes e Comunicações
Departamento de Ciências Básicas
“Leis de Kirchoff”
Licenciatura em Engenharia Civil e de Transportes
Disciplina: Física II Docente: Prof. Doutor A. Sacate Discente(s): Lauro Mota, Éden Abrantes. Turma: C11 1º Ano
Maputo, Setembro - 2016
Índice 1. INTRODUÇÃO E OBJECTIVOS ............................................................................................ 2 2. REVISÃO DA LITERATURA .................................................................................................. 3 2.1 CORRENTE ELÉTRICA .................................................................................................................. 3 2.2 RESISTÊNCIA E RESISTIVIDADE .............................................................................................. 4 2.3 RESISTORES EM SÉRIE E EM PARALELO ............................................................................ 6 2.3.1 RESISTORES EM SÉRIE ........................................................................................................................... 6 2.3.2 RESISTORES EM PARALELO ............................................................................................................... 9 2.4 LEIS DE KIRCHOFF ....................................................................................................................... 11 2.4.1 CONVENÇÃO DE SINAIS PARA A REGRA DE NÓS .............................................................. 12 2.5 SIMBOLOGIA ELÉTRICA ............................................................................................................ 13 3. METODOLOGIA EXPERIMENTAL .................................................................................. 14 3.1 Tipologia de estudo ............................................................................................................................ 14 3.2 Material Utilizado .............................................................................................................................. 14 3.3 Procedimento experimental ............................................................................................................. 14 3.4 Recolha de dados ................................................................................................................................ 15 3.5 Analise e dados e conclusão .............................................................................................................. 15 4. RESULTADOS ........................................................................................................................... 16 4.1 RESULTADOS EXPERIMENTAIS .............................................................................................. 16 4.2 RESULTADOS OBTIDOS TEORICAMENTE ......................................................................... 16 5. CONSIDERAÇÕES FINAIS E ANÁLISE DE RESULTADOS ..................................... 18 6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................................................. 19 7. APÊNDICE .................................................................................................................................. 20
1. INTRODUÇÃO E OBJECTIVOS Neste trabalho realizaram-se experiencias sobre as Leis de Kirchoff, as Leis de Kirchhoff foram criadas e desenvolvidas pelo físico alemão Gustav Robert Kirchhoff (1824 1887). A Lei de Kirchoff para Circuitos Elétricos foi criada para resolver problemas de circuitos elétricos mais complexos. Tais problemas podem ser encontrados em circuitos com mais de uma fonte de resistores estando tanto em série quanto paralelo. Para criar a Lei, Kirchoff introduziu o conceito de nó (ou junção) e malha, o que é extremamente importante para o entendimento das Leis, tais conceitos são enunciados como: Lei dos Nós de Kirchoff e Lei das Malhas de Kirchoff. Este estudo foi realizado no laboratório de física do Instituto Superior de Transportes e Comunicações a fim de comprovar qualitativamente o cumprimento das Leis de Kirchoff em um circuito elétrico, fazer comparações entre valores obtidos experimentalmente e valores obtidos através de cálculos usando as Leis de Kirchoff.
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2. REVISÃO DA LITERATURA 2.1 CORRENTE ELÉTRICA “Embora uma corrente eléctrica é um fluxo de cargas em movimento, nem todas as cargas em movimento constituem uma corrente eléctrica. Para haver corrente elétrica sobre uma dada superfície, tem de haver um fluxo total de carga através dessa superfície.” (Walker, Halliday & Resnick, 2014) Se uma carga !" passa através de um plano hipotético em tempo !#, em seguida, a corrente $ através do plano que é definida como:
$=
!" !#
[1]
Pode-se encontrar a carga que passa através do plano em um intervalo de tempo que se estende de 0 à # por integração em que a corrente $ pode variar com o tempo: (
"=
!" =
$ !#
[1.1]
)
Fig. 1: A corrente * através do condutor tem o mesmo valor em planos ++, , .., e //, .
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“Em condições de estado estacionário, a corrente é a mesma para os planos 00, , 11 , e 22 , (presentes na Figura 1) e para todos os planos que passam completamente através do condutor, não importa a sua localização ou orientação. Isto acontece porque a carga é conservada. Sob as condições de estado estacionário assumidos aqui, um electrão deve passar pelo plano 00, para cada electrão que passa pelo plano 22 , . Da mesma forma, tem-se um fluxo constante de água através de uma mangueira de jardim, uma gota de água deve deixar o bocal para cada gota entra em que a mangueira, na outra extremidade. A quantidade de água na mangueira é uma quantidade conservada.” (Walker et al., 2014)
A unidade SI da corrente é o coulomb por segundo (3/5), ou o ampere (6), que é uma base de unidade SI: 1 089:;: = 1 6 = 1 3<=><81 9<; 5:?=@!< = 1 3/5
[1.2]
2.2 RESISTÊNCIA E RESISTIVIDADE “Quando aplica-se a mesma diferença de potencial entre as extremidades de hastes geometricamente semelhantes de cobre e de vidro, correntes muito diferentes resultam. A característica do condutor que entra aqui é a sua resistência eléctrica. Determina-se a resistência entre quaisquer dois pontos de um condutor através da aplicação de uma diferença de potencial A entre os pontos de medição e a corrente $ que resulta.” (Walker et al., 2014) A resistência B é então dada por: B=
A $
[2]
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A unidade SI (Sistema Internacional) para a resistência que se segue a partir da equação 2 é o volt por ampere. Esta combinação ocorre com tanta frequência que dá-se o nome Ohm (símbolo Ω), isto é:
1 Dℎ8 = 1 Ω = 1 A<># 9<; 689:;: = 1 A/6
[2.1]
“Um condutor cuja função num circuito é o de proporcionar uma resistência especificado é chamado um resistor.” (Walker et al., 2014)
Pode-se reescrever a equação 2 como:
$=
A B
[2.2]
Observa-se que, para um determinado A, maior será a resistência, menor é a corrente. “A resistência de um condutor depende da maneira em que a diferença de potencial é aplicada a ele.” (Walker et al., 2014)
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2.3 RESISTORES EM SÉRIE E EM PARALELO 2.3.1 RESISTORES EM SÉRIE Supõe-se que existem três resistores com resistências BF , BG e BH . A Figura 2 mostra quatro formas diferentes em que estes podem ser conectados entre os pontos Fig. 3 (a: IJ , IK e IL em série.
0 e 1. Quando vários elementos de circuito, tais como baterias, resistências, e motores são ligados em sequência como na Fig. 2.(a, com apenas um único caminho atual entre os pontos, diz-se que estão conectados em série. As resistências na Fig. 2.b) estão ligadas em paralelo entre os pontos 0 e 1 . Cada
Fig. 2 b): IJ , IK e IL em paralelo.
resistência fornece um caminho alternativo entre os pontos. Para os elementos do circuito que são conectados em paralelo, a diferença de potencial é a mesma em cada elemento. Na Fig. 2.c), as resistências BG e BH estão em paralelo, e esta combinação é em série com BF . Na Fig. 2.d), BG e BH estão em série, e esta
Fig. 4 c): IJ em série com a combinação em paralelo de IK e IL .
combinação é, em paralelo com BF . “Para
qualquer
combinação
de
resistências pode-se sempre encontrar um único resistor que poderia substituir a combinação e resultam na mesma diferença atual e potencial total.” (Young, Freedman & Ford, 2012)
Fig. 5 d): IJ em paralelo com a combinação em série de IK e IL .
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Se qualquer um dos circuitos na Fig. 2 forem substituídos por sua resistência equivalente BMN , pode-se escrever:
AOP = Q ∙ BMN ou BMN =
STU V
[3]
Onde AOP é a diferença de potencial entre os terminais 0 e 1 do circuito e Q é a corrente no ponto 0 ou 1. Para calcular uma resistência equivalente, assume-se uma diferença de potencial AOP em todo circuito atual, calcula-se a corrente correspondente Q, e toma-se a relação
STU V
.
“Pode-se derivar equações gerais para a resistência equivalente de uma série ou combinação paralela de resistores.” (Young et al., 2012)
Se as resistências estiverem em série, como na Fig. 2.(a, a corrente I deve ser a mesma em todas elas. Aplicando A = Q ∙ B para cada resistor, tem-se:
AOW = Q ∙ BF
AWX = Q ∙ BG
AXP = Q ∙ BH
[3.1]
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A diferença de potencial em cada resistor não necessita de ser a mesma (excepto para o caso especial em que todas as três resistências são iguais). A diferença de potencial AOP em toda a combinação é a soma destas diferenças potenciais individuais:
AOP = AOW + AWX + AXP = Q BF + BG + BH
[3.2]
Portanto: AOP = BF + BG + BH Q
[3.3]
A proporção AOP > Q é, por definição, a resistência equivalente BMN . Portanto:
BMN = BF + BG + BH
[3.4]
Tendo isto em conta pode-se generalizar a equação para qualquer número de resistores: BMN = BF + BG + BH + ⋯
[3.5]
“A resistência equivalente de qualquer número de resistores em série é igual à soma das suas resistências individuais.” (Young et al., 2012)
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2.3.2 RESISTORES EM PARALELO “A diferença de potencial entre dois pontos não depende do caminho tomado entre os pontos”. (Young et al., 2012) “Para qualquer número de resistores em paralelo, o recíproco da resistência equivalente é igual à soma dos recíprocos da sua individua.” (Young et al., 2012)
Se as resistências estão em paralelo, como na Fig. 2.b), a corrente através de cada um resistor não precisa de ser a mesma. Mas a diferença de potencial entre os terminais de cada resistor deve ser a mesma e igual à AOP . Sejam as correntes nos três resistores QF , QG , e QH . Tomando em conta que Q = A/B:
QF =
AOP AOP AOP QG = QH = BF BG BH
[3.6]
Em geral, a corrente é diferente através de cada resistor. Porque a carga não está acumular-se ou a escoar-se de um ponto, o total de corrente Q deve ser igual à soma das três correntes nas resistências:
Q = QF + QG + QH = AOP
1 1 1 + + BF BG BH
[3.7]
Ou
V STU
=
F \]
+
F \^
+
F \_
[3.8] 9
Pela definição da resistência equivalente BMN ,
V STU
=
F \`a
1 1 1 1 = + + BMN BF BG BH
, deste modo tem-se:
[3.9]
Tendo isto em conta pode-se generalizar a equação para qualquer número de resistores: 1 1 1 1 = + + +⋯ BMN BF BG BH
[4]
Para o caso especial de duas resistências em paralelo:
1 1 1 BF + BG = + = BMN BF BG BF ∙ BG
[4.1]
Então: BMN =
BF ∙ BG BF + BG
[4.2]
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2.4 LEIS DE KIRCHOFF “Vários circuitos tais como o circuito na Figura 6, não podem ser analisados por simplesmente substituir as combinações
de
resistências
por
uma
resistência
equivalente. As duas resistências BF e BG neste circuito aparentam estar paralelo, mas não estão em paralelo. A diferença de potencial não é a mesma em ambas resistências devido à presença da fonte de força electromotriz ℰG em série com BG . Nem são BF e BG estão em série, porque o fio de ligação deles tem um ramo de
Fig. 6 - Um exemplo de um circuito que não pode ser analisado através da substituição de diferentes resistências em série ou em paralelo com as suas resistências equivalentes. As diferenças de potenciais através de IJ e IK não são iguais devido a fonte de força electromotriz cK , deste modo, estas não são resistências em paralelo. As resistências não têm a mesma corrente, então não estão em série.
ponto eles não têm a mesma corrente devido à forma como eles estão conectados.” (Tipler & Mosca, 2012)
Duas regras, chamadas Leis de Kirchhoff, aplicamse a este circuito e para qualquer outro circuito:
1. Quando qualquer nó fechado é atravessado, a soma algébrica das diferenças de potencial em torno do circuito deve ser igual a zero.
Fig. 7 - Ilustração da regra junção de Kirchhoff. A corrente dJ em um ponto é igual à soma dK + dL das correntes de um ponto +.
A=0
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2. Em qualquer junção (ponto de ramificação), num circuito em que a corrente pode dividir, a soma das correntes para a junção deve ser igual à soma das correntes para fora da junção. Q=0
2.4.1 CONVENÇÃO DE SINAIS PARA A REGRA DE NÓS Em aplicação da regra dos nós, são necessárias algumas convenções de sinal.
Fig. 8 – Convenção de sinais
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2.5 SIMBOLOGIA ELÉTRICA Resistência
A
A
Amperímetro
V
V
Voltímetro
Fonte de Corrente Contínua (D.D.P)
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3. METODOLOGIA EXPERIMENTAL 3.1 Tipologia de estudo Tratou-se de uma pesquisa laboratorial pois nesta factos são observados, registados, analisados, classificados e interpretados, sem interferência do pesquisador utilizando técnicas uniformizadas de coleta de dados (questionário e observação sistemática). 3.2 Material Utilizado •
Fonte de diferença de potencial (configurada para corrente continua max. 5V);
•
Quatro resistências com os valores de resistência: 12Ω(duas), 120Ω (duas) (valores de resistência indicados pelo fabricante);
•
Cabos para fazer ligações;
•
Multímetro digital, funcionando como amperímetro;
3.3 Procedimento experimental A investigação foi realizada no laboratório de física do Instituto Superior de Transportes e Comunicações.
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3.4 Recolha de dados 1º – Foram feitas ligações de modo a obter um circuito similar ao circuito apresentado na figura 9 e utilizando um amperímetro foram medidas as intensidades QF , QG e QH . 2º – Foi determinada a diferença de potencial entre os nós + e . utilizando de um voltímetro. 3º –
Foi determinada a diferença de potencial entre os nós utilizando de um
voltímetro. 4º – Foram calculadas as intensidades teoricamente usando as Leis de Kirchoff.
Fig.9 – O circuito montado durante a experiencia.
3.5 Analise e dados e conclusão Com os dados em mão (após a recolha) os foi realizada a interpretação dos mesmos com recurso a cálculos envolvendo a matéria relativa às Leis de Kirchoff.
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4. RESULTADOS 4.1 RESULTADOS EXPERIMENTAIS QF = 20,6 86 QG = 18,7 86 QH = 1,7 86 A = 3,6 A 4.2 RESULTADOS OBTIDOS TEORICAMENTE Após escolha de sentido das correntes e das malhas o circuito apresenta-se do seguinte modo:
Fig. 10
Aplicando a Lei das correntes QF = QG + QH Aplicando a Lei das Voltagens Para a malha I: ℰF − QF BF − QG BG = 0 Para a malha II: QG BG − QH BH + QG + QH Bk = 0 16
Dados BF = 120 Ω BG = 12 Ω BH = 120 Ω Bk = 12 Ω A = 5A Solução QF − QG − QH = 0 QF − QG − QH = 0 ℰF − QF BF − QG BG = 0 5 − 120QF − 12QG = 0 ⇒ QG BG − QH BH + QG + QH Bk = 0 12QG − 120QH + QG + QH 12 = 0 QF = QG + QH 5 − 120 QG + QH − 120QG = 0 ⇒ 12QG − 120QH + QG + QH 12 = 0 QF ≈ 0,038 6 QG ≈ 0,031 6 QH ≈ 0,007 6
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5. CONSIDERAÇÕES FINAIS E ANÁLISE DE RESULTADOS As Leis de kirchhoff foram formuladas em 1845 e são utilizadas em uma associação de resistores para se adquirir um valor equivalente ao circuito resistivo. Como por exemplo, uma fonte de resistores podendo estar em paralelo ou em série. Quando você quiser encontrar as correntes elétricas de um circuito e não consegue simplifica-la, uma boa maneira é utilizar as Leis de Kirchhoff, que são duas: Primeira Lei de Kirchhoff ou Lei das correntes e a segunda Lei de Kirchhoff ou Lei das tensões. As leis de Kirchhoff permitem entender muitas situações em circuitos elétricos, desde como funcionam determinados componentes, até como resolver alguns problemas de falhas em um equipamento.
Foram obtidos como resultados experimentais as intensidades QF = 20,6 86 ,
QG = 18,7 86, QH = 1,7 86 e diferença de potencial A = 3,6 A. Foram obtidos como resultados teóricos as intensidades QF = 0,038 6 , QG = 0,031 6, QH = 0,007 6. Observa-se uma diferença em relação aos resultados obtidos experimentalmente e teoricamente que pode ser devido aos causados equipamentos utilizados.
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6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS Walker, J.; Halliday, D.; Resnick, R. (2014). Fundamentos de Física. 10ª Edição. E.U.A., John Wiley & Sons Inc Tipler, P.; Mosca, G. (2012). Física Para Cientistas e Engenheiros: Com Física Moderna. 6ª Edição. E.U.A., W. H. Freeman and Company Jewett, J. W. Jr.; Serway, R. A. (2008). Física Para Cientistas e Engenheiros. 7ª Edição. E.U.A., Cengage Learning Inc
Young, H. D.; Freedman, R. A.; Ford, L. A. (2012). Sears and Zemansky’s Física de Universidade: Com Física Moderna. 13ª Edição. E.U.A., Pearson Education Inc
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7. APÊNDICE À seguir apresentam-se as folhas preenchidas durante as experiencias.
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