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INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SÃO PAULO
DANIEL RONEI DE SÁ – 1575031 LEONARDO BAGGIO – 1572083 MATHEUS BATISTA – 1575058
LEIS DE KIRCHHOFF E TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO
Relatório técnico apresentado como requisitoparcial para obtenção de aprovação na disciplinaT3LE1 – Laboratório de Eletricidade 1, no Curso de Engenharia Eletrônica, no Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo. Prof. Me. Fulvio Bianco Prevot
SÃO PAULO 2° SEMESTRE 2016
1. OBJETIVO - Verificar experimentalmente as leis de Kirchhoff. - Verificar experimentalmente o teorema da Superposição. 2. INTRODUÇÃO TEÓRICA Um circuito elétrico pode ser composto por várias malhas, constituídas por elementos que geram ou absorvem energia elétrica. Para calcular as tensões e correntes nesses elementos, necessitamos utilizar as leis de Kirchhoff, devido à complexidade do circuito. Um circuito é composto por malhas, nós e ramos, definimos malha como sendo todo circuito fechado constituído por elementos elétricos. Denominamos nó um ponto de interligação de três ou mais componentes, e ramo, o trecho compreendido entre dois nós consecutivos.
Figura 1 – Circuito elétrico
Percebe-se que o circuito é composto por três malhas, ABEF, BCDE e ABCDEF, sendo esta última denominada malha externa. Os pontos B e E formam dois nós, em que se interligam geradores e resistores, constituindo três ramos distintos: o ramo à esquerda composto por E6, R1, E1 e E2, o ramo central composto por E3 e R2 e o ramo à direita, composto por R5, E5, R4, E4 e R3. Sabendo disso, podemos enunciar as leis de Kirchhoff. 1ª Lei: Em um nó, a soma algébrica das correntes é nula.
Figura 2 – Lei dos Nós
Para o nó A, consideraremos as correntes que chegam como positivas e as que saem como negativas, portanto podemos escrever: I1 + I2 – I3 + I4 – I5 – I6 = 0 ou I1 + I2 + I4 = I3 + I5 + I6
2ª Lei: Em uma malha, a soma algébrica das tensões é nula.
Figura 3 – Lei das Malhas
Para a malha ABCD, partindo do ponto A no sentindo horário adotado, podemos escrever: - VR1 + E2 – VR2 – VR3 + E1 = 0 ou E1 +E2 = VR1 + VR2 + VR3 Em que o sinal positivo representa um aumento de potencial e o sinal negativo uma perda de potencial, isto é, os resistores, ao serem percorridos pela corrente do circuito, imposta pelas baterias, apresentam queda de tensão contrária em relação ao sentido da corrente. Já o teorema da superposição enuncia que a corrente que circula por um ramo de um circuito com várias fontes é igual à soma algébrica das correntes, considerando uma fonte de cada vez, curto-circuitando as demais. Utilizando esta definição, podemos usar o teorema da superposição para calcular a corrente num ramo de um circuito qualquer, considerando os efeitos parciais produzidos por cada fonte nesse ramo. A vantagem mais evidente deste método é dispensar o uso de ferramentas matemáticas, como os determinantes, para calcular as tensões e correntes solicitadas. Em vez disso, o efeito de cada fonte é levado em conta separadamente e o valor da incógnita é obtido efetuando a soma algébrica desses efeitos individuais. O enunciado do teorema da superposição é o seguinte: A corrente através de um elemento, ou a tensão entre seus terminais, em um circuito linear bilateral é igual á soma algébrica das correntes ou das tensões produzidas independentemente por cada uma das fontes. Quando se aplica o teorema, é possível considerar
os efeitos de duas fontes ao mesmo tempo e reduzir o número de circuitos que têm de ser analisados. Para considerar os efeitos de cada fonte independentemente, é necessário que estas sejam removidas e substituídas sem afetar o resultado final. Para remover uma fonte de tensão quando aplicamos este teorema, a diferença de potencial entre os terminais da fonte de tensão tem de ser estabelecida em zero (curto-circuito); a remoção de uma fonte de corrente requer que os seus terminais sejam abertos (circuito aberto). Qualquer resistência ou condutância interna associada a essas fontes tem de ser mantida no circuito.
Figura 4 – Remoção dos efeitos de fontes ideais
Temos também que a corrente total em qualquer parte do circuito é igual à soma algébrica das correntes que seriam produzidas separadamente por cada uma das fontes. Ou seja, para um circuito com duas fontes, se a corrente produzida por uma fonte estiver num sentindo, enquanto a produzida pela outra fonte estiver sem sentido contrário no mesmo resistor, a intensidade da corrente resultante é dada pela diferença das correntes e seu sentido é o da corrente de maior intensidade. Se as correntes produzidas individualmente pelas duas fontes têm o mesmo sentido, a intensidade da corrente resultante é a soma da intensidade das duas correntes, sendo o sentido o mesmo das duas correntes. Essa regra também é válida para a tensão entre dois pontos de acordo com a polaridade e pode ser aplicada em circuitos com qualquer número de fontes. Por último, é importante salientar que o princípio da superposição não pode ser usado para calcular a potência dissipada em um circuito, já que a dissipação de potência em um resistor varia com o quadrado da corrente ou da tensão, sendo, portanto, um efeito não-linear.
3. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 3.1. Material Utilizado
01 Resistor 330Ω.
01 Resistor 470Ω.
01 Resistor 1kΩ.
Multímetro Digital.
Protoboard.
Fonte de Tensão CC Variável.
Cabos de Ligação.
3.2. Procedimentos Experimentais O experimento foi dividido em duas partes, sendo a primeira utilizada para verificar as leis de Kirchhoff e a segunda para verificar o teorema da Superposição. A primeira etapa do experimento deu-se com a medição da resistência dos resistores que seriam utilizados durante o experimento. Utilizando os códigos de cores do fabricante dos resistores, foi possível identificar o valor da resistência nominal de cada um dos componentes, ambos resistores com tolerância de 5%, o valor foi preenchido na Tabela 1, em seguida foi medido o valor experimental das resistências, para essa etapa foi utilizado o ohmímetro, atentando-se a escala do equipamento para uma maior precisão do valor que estava sendo medido, o valor experimental foi preenchido na Tabela 1. Tabela 1 – Valores Nominais e Medidos da resistência dos Resistores.
Resistores
𝐑𝟏
𝐑𝟐
𝐑𝟑
Nominal [Ω]
330
470
1000
Medido [Ω]
326,0
465,1
978,7
Com as medições realizadas, deu-se início a montagem do circuito que seria utilizado no experimento, vide figura 5, para a montagem foi utilizado duas fontes, sendo uma variável que foi ajustada para 10V com a ajuda de um voltímetro, e a outra de 6V montada a partir da ligação de 4 baterias de 1,5V em série.
R1
A
330Ω I1
R2 470Ω
R3 1kΩ
E1 6V
I2 E2 10V
I3
B Figura 5 – Circuito utilizado no experimento.
Com a montagem realizada, foi verificado se todas as conexões e então o circuito foi ligado as fontes e então foi medido a tensão (d.d.p.) em cada resistor, conforme Tabela 2. Para encontrar os valores teóricos foi utilizado leis de Kirchhoff: −6 + 330I1 + 1000I3 = 0 → 330I1 +
0I2
−10 + 470I2 + 1000I3 = 0 →
470I2 + 1000I3 = 10
I3 = I2 + I1
→
0I1 + 1I1 +
+ 1000I3 = 6
1I2 − 1I3
=0
Resolvendo o sistema através de matriz 3x3 temos: 330 0 1000 Δ= 0 470 1000 = −955100 1 1 −1 6 Δ1 = 10 0 330 Δ2 = 0 1 Δ3 =
330 0 1
0 1000 470 1000 = 1180 1 −1
I1 =
Δ1
6 1000 10 1000 = −7300 0 −1
I2 =
Δ2
0 6 470 10 = −6120 1 0
I3 =
Δ3
Δ
1180
= −955100 → I1 = −1,235mA −7300
= −955100 → I2 = 7,643mA
Δ
Δ
−6120
= −955100 → I3 =
6,408mA
O sinal negativo encontrado representa que o sentido real da corrente é oposto ao representado na figura 5. Com os valores das correntes encontrado, foi possível calcular os valores das tensões nos resistores e a potência no R 3 : VR1 = R1 x I1 = 330 x 1,235m → VR1 = 0,407V VR2 = R 2 x I2 = 470 x 7,643m → VR2 = 3,592V VR3 = R 3 x I3 = 1000 x 6,408m → VR3 = 6,408V PR3 = V3 x I3 = 6,408 x 6,408m → PR3 = 41,057mW
Todos os resultados podem ser vistos na Tabela 2. Tabela 2 – Valores teóricos e experimentais de d.d.p., corrente e potência nos Resistores.
Valor Prático Valor Teórico
𝐕𝐑𝟏 (V)
𝐕𝐑𝟐 (V)
𝐕𝐑𝟑 (V)
𝐈𝟏 (mA)
𝐈𝟐 (mA)
𝐈𝟑 (mA)
𝐏𝐑𝟑 (mW)
0,395
3,263
6,464
1,215
7,016
6,605
42,693
0,407
3,592
6,408
1,235
7,643
6,408
41,057
Para verificar o teorema da Superposição foi utilizado o mesmo circuito da figura 5, portanto os valores de encontrados para d.d.p, corrente e potência dissipada em R 3 são os mesmo da primeira parte do experimento, conforme Tabela 3 Tabela 3 – Valores teóricos e experimentais de d.d.p., corrente e potência no R 3 .
𝐕𝐑𝟑 (V)
𝐈𝟑 (mA)
𝐏𝐑𝟑 (mW)
Valor Prático
6,464
6,605
42,693
Valor Teórico
6,408
6,408
41,057
Com as 2 fontes.
Obtido os valores sobre R 3 com influência das duas fontes foi substituído a fonte E2 por um fio, conforme figura 6, de forma que possível obter os valores de d.d.p., corrente e potência sofrida apenas pela influência de E1 R1 330Ω E1 6V
R2 R3 1kΩ
470Ω
Figura 6 – Circuito utilizando apenas E1 .
Sabendo que R 2 e R 3 estão em paralelo, temos que: R 2 // R 3 = VR3 = R
1000 x 470 1000+470
R3 //R2
3 //R2 +R1
= 319,73Ω, logo para encontrar VR3 , basta calcular: 319,73
V = 319,73+330 6 VR3 = 2,952V, logo I3 =
PR3 = VR3 x I3 = 2,952 x 2,952m PR3 = 8,714mW
VR3 R3
=
2,952 1000
I3 = 2,952mA
Todos os resultados teóricos e práticos sem a influência de E2 podem ser vistos na Tabela 4. Tabela 4 – Valores teóricos e experimentais de d.d.p., corrente e potência no R 3 sem influência de E2 .
Somente com E1
𝐕𝐑𝟑 (V)
𝐈𝟑 (mA)
𝐏𝐑𝟑 (mW)
Valor Prático
2,957
2,957
8,743
Valor Teórico
2,952
2,952
8,714
Com a Tabela 4 preenchida, foi reconectado a fonte E2 e substituído a fonte E1 por um fio, conforme figura 7, de forma que possível obter os valores de d.d.p., corrente e potência sofrida apenas pela influência de E2 R1 330Ω
R2 R3 1kΩ
470Ω E2 10V
Figura 7 – Circuito utilizando apenas E2 .
Sabendo que R1 e R 3 estão em paralelo, temos que: R1 // R 3 = VR3 =
1000 x 330 1000+330
R3 //R1 R3 //R1 +R2
= 248,12Ω, logo para encontrar VR3 , basta calcular:
V=
248,12 248,12+470
10 VR3 = 3,455V, logo I3 =
VR3 R3
=
3,455 1000
I3 = 3,455mA
PR3 = VR3 x I3 = 3,455 x 3,455m PR3 = 11,937mW
Todos os resultados teóricos e práticos sem a influência de E2 podem ser vistos na Tabela 5. Tabela 5 – Valores teóricos e experimentais de d.d.p., corrente e potência no R 3 sem influência de E1 .
Somente com E2
𝐕𝐑𝟑 (V)
𝐈𝟑 (mA)
𝐏𝐑𝟑 (mW)
Valor Prático
3,488
3,488
12,166
Valor Teórico
3,455
3,455
11,937
4. RESULTADOS E CONCLUSÃO Observando os resultados calculados e medidos referente à tensão e corrente no resistor 𝑅3 , confirmamos que tanto as leis de Kirchhoff quanto o teorema da superposição são verdadeiros, pois, os valores teóricos utilizando as leis de Kirchhoff corresponderam aos valores medidos para tensão e corrente, assim como os valores teóricos utilizando o teorema da superposição corresponderam aos valores medidos. Somados os valores considerando somente a fonte 𝐸1 com os valores obtidos considerando somente a fonte 𝐸2 , obtemos os valores quando conectado ambas as fontes de tensão. É admissível afirmar que os valores obtidos teoricamente correspondem aos valores experimentais por conta da margem de erro nos valores da resistência, equipamento de medição, ajuste da fonte de tensão variável e desgaste das baterias utilizadas no experimento. O teorema da superposição não pode ser usado para calcular a potência dissipada em um circuito, pois a dissipação de potência em um resistor varia com o quadrado da corrente ou da tensão, sendo, portanto, um efeito não-linear. As leis de Kirchhoff e o teorema da superposição são dois métodos essenciais para a análise de circuitos elétricos, pois proporcionam a compreensão do funcionamento de um determinado circuito elétrico e como determinar se o circuito está funcionando corretamente.
5. BIBLIOGRAFIA ALBUQUERQUE, R. O. Análise de Circuitos em Corrente Contínua. 21.a Edição. São Paulo: Érica, 2009. CAPUANO, F.G; MARINO, M. A. A. Laboratório de Eletricidade e Eletrônica: Teoria e Prática. 17.a Edição. São Paulo: Érica, 2002. O’MALLEY, J. Análise de Circuitos. São Paulo: McGraw-Hill, 1983.
