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Sendo a ação do campo gravitacional dada por: Sg =
Z
√ R −gd4 x,
onde : g = detgµν
Ω
e
R = g µν Rµν
E a densidade de Lagrangeana, será função de: L = L(gµν , ∂λ gµν ) Logo, temos que: Sg = δSg =
Z
Z
√ g µν Rµν −gd4 x
√ √ [δg µν Rµν −g + g µν δRµν δ −g]d4 x
E, calculando separadamente: √ 1 δ −g = δ[−g 1/2 ] = − √ δg 2 −g
(1)
Onde: g = g(gµν (xα )) Logo: δg =
!
∂g ∂gµν
δg =
∂gµν α δx ∂xα
∂g δgµν ∂gµν
Fazendo: g=
X
gµν C µν
(2)
ν
onde C µν é o cofator da matriz gµν . E, temos: g µν =
∂g ∂gµν
= C µν . E, sendo g µν a inversa de gµν ,
C νµ ⇒ C νµ = gg µν g
(3)
∂g = C µν = C νµ = gg µν ∂gµν E, voltando para (1), fica: δg = gg µν δgµν E, fazendo: g µν gνσ = δσµ 1
(4)
δg µν gνσ + g µν δgνσ = 0 g µν δgνσ = −gνσ δg µν
(5)
δg = −ggµν δg µν
(6)
Substituindo (6) em (1), fica: √ 1 δ −g = − √ . − ggµν δg µν 2 −g Logo: √ 1 √ δ −g = − gµν −gδg µν 2
(7)
Variando a ação:
δSg =
Z Ω
Z √ 1 µν √ 4 − gµν R δg −gd x + g µν δRµν −gd4 x 2 Ω
Rµν
Sendo: Rµν = ∂λ Γλµν − ∂λ Γλµλ + Γλµν Γσλσ − Γσµλ Γλνσ δRµν = ∂λ δΓλµν − ∂λ δΓλµλ + δΓλµν Γσλσ + Γλµν δΓσλσ − δΓσµλ Γλνσ − Γσµλ δΓλνσ Num sistema localmente inercial, Γαρσ = 0. (Princípio da equivalência). ∗ δRµν = ∂λ δΓλµν − ∂λ Γλµλ = δΓλµν;λ − δΓλµν;λ
(8)
E, lembrando que: 1 Γλµν = g λσ (∂µ gµσ + ∂ν gµσ − ∂σ gµν ) 2 1 1 δΓλµν = δg λσ (∂µ gµσ + ∂ν gµσ − ∂σ gµν ) + g λσ (∂µ δgµσ + ∂ν δgµσ − ∂σ δgµν ) 2 2 1 δΓλµν = −g λσ δgρσ Γσµν + (∂µ δgµσ + ∂ν δgµσ − ∂σ δgµν ) 2 No sistema localmente inercial: 1 λσ δΓλ∗ (9) µν = g (δgνσ;µ + δgσµ;ν − δgµν;σ ) 2 Pois Aµ;ν = ∂ν Aµ +Γ, e, num sistema localmente inercial a derivada covariante se resume à derivada ordinária. Logo δΓλµν e δRµν são tensores. E, se eles forem nulos num sistema inercial, serão nulos em todos os sistemas. 2
Z Ω
Z Z √ √ √ g µν δRµν −gd4 x = g µν δΓλµν;λ −gd4 x − g µν δΓλµλ;ν −gd4 x Ω
Ω
Como g;µν λ = 0, ⇒ g;µν ν = 0, então: Z Ω
Z Ω
µν
√
µν
√
Z
4
g δRµν −gd x = 4
Ω
g δRµν −gd x =
√ ( −gg µν δΓλµλ );λ d4 x
Z Ω
Aλ;λ d4 x
−
Z Ω
Aν;ν d4 x
Novamente, num sistema localmente inercial: Z Ω
Z Z √ g µν δRµν −gd4 x∗ = ∂λ Aλ d4 x − ∂ν Aν d4 x Ω
Ω
E, aplicando o teorema de Gauss: Z Ω
I I √ g µν δRµν −gd4 x∗ = Aλ dsλ − Aν dsν = 0
Pois, no contorno, a variação é nula. Então: √ 1 Rµν − gµν Rδg µν −gd4 x 2 Ω Sabemmos que a ação tem dimensão de energia vezes tempo. Então, fazendo a análise dimensional, precisamos inserir constantes fundamentais na equação acima para que esta condição seja satisfeita. Logo: Z
δSg =
√ 1 c3 Z Rµν − gµν Rδg µν −gd4 x δSg = 4πG Ω 2 µν 4 No vácuo, temos δg e d x arbitários. Logo: 1 Rµν − gµν R = 0 2 E, para o campo de matéria: SM =
Z Ω
√ LM −gd4 x,
LM = LM (gµν , ∂λ gµλ )
onde:
Então: δSM = δ δSM
1 = c
Z " Ω
Z Ω
Z √ √ LM −gd4 x = δLM −gd4 x Ω
#
√ √ ∂ ∂ (LM −g)δg µν + L −gδ(∂λ g µν ) d4 x M µν ∂gµν ∂(∂λ g ) 3
Sendo: "
∂λ
#
"
#
√ √ √ ∂ ∂ ∂ (LM −g)∂λ δg µν +∂λ (LM −g) δg µν (LM −g)δg µν = µν µν µν ∂λ g ∂(∂λ g ) ∂(∂λ g )
Usando o teorema de Gauss, o primeiro termo será zero. Logo: (
δSM
"
#)
√ √ ∂ ∂ 1Z (L (L −g) − ∂ −g) = M M λ c Ω ∂g µν ∂(∂λ g µν )
δg µν d4 x
E, daí, podemos definir o tensor momentum-energia, como: (
√ 2 −gTµν = ∂σ
"
#
)
√ √ √ ∂ ∂ (LM −g) − µν (LM −g) −g µν ∂(∂σ g ) ∂g
Logo: δSM = −
√ 2Z Tµν δg µν −gd4 x c Ω
Então, temos:
δSg + δSM =
c3 4πG
√ 1 8πG (Rµν − gµν R − 4 Tµν δg µν −gd4 x 2 c Ω
Z
E, usando o Princípio de Hamilton: δSg + δSM = 0 Rµν − 21 gµν R =
8πG Tµν c4
Ou seja, encontramos a equação de campo de Einstein, a partir do formalismo Lagrangeano. Estas equações também podem ser obtidas através do formalismo Hamiltoniano.
4
