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NOME: Jonas Alves de Abreu TURMA: 3º período Matemática
360 a.C
Método de esgotamento Eudoxo de Cnidos (408 aC - 355 aC) -
Eudoxo foi o primeiro a empregar o método da exaustão em provas geométricas, um método que geômetras depois voltaria para uma e outra vez. A idéia básica é estruturado como uma prova indireta. Por exemplo, para mostrar que a região A tem a mesma área como região B pode-se proceder da seguinte forma: primeiro mostra que a hipótese de que uma área <Área B leva a uma contradição, ao lado uma mostra que a suposição de que uma área> Área B leva a uma contradição. Uma vez que nenhum deles é verdadeiro, fica-se com o facto de a única possibilidade que resta, a Área A = Área B, deve ser verdade.
Eudoxo (408 a.C - 355 a.C)
É o maior dos matemáticos antigos, superado apenas por Arquimedes.
Eudoxo nasceu em Cnidos, no Mar Negro.
Ele estudou matemática com Archytus em Tarento.
Ele estudou medicina com Philistium na Sicília.
Aos 23 anos ele foi para a Academia de Platão em Atenas para estudar filosofia e retórica.
Algum tempo depois ele foi para o Egito para aprender astronomia na Helopolis.
Ele fundou uma escola em Cyzicus sobre o mar de Mármara e tinha muitos alunos.
Em 365 aC voltou a Atenas com seus alunos. Tornou-se um colega de Platão.
Aos 53 anos de idade morreu em Cnidos, altamente honrado como um legislador.
Ele foi o matemático e astrônomo de sua época.
Entre as contribuições de Eudoxo é a matemática incluem:
A teoria das proporções, o que permitiu o estudo de irracionais (incomensuráveis).
O conceito de grandeza, como se não um número, mas representava, como segmentos de reta, ângulos, áreas, etc, e que pode variar de forma contínua. Magnitudes foram opostos aos números, o que poderia mudar de forma descontínua. Isso evitou dar valores numéricos para comprimentos, áreas, etc Consequentemente grandes avanços foram feitos em geometria.
O método da exaustão.
Estabelecimento de métodos rigorosos para encontrar áreas e volumes de figuras curvilíneas (por exemplo, cones e esferas).
A profunda influência na criação da organização dedutiva da prova com base em axiomas explícitos.
Sabe-se que Eudoxo de Cnidos viajou a Tarento, atualmente na Itália, para estudar com Arquitas, que foi um discípulo de Pitágoras.
Eudoxo também visitou a Sicília, onde estudou medicina com Filiston, antes de fazer sua primeira visita a Atenas na companhia do médico Teomedon. Eudoxo passou dois meses em Atenas, certamente participando de seminários sobre filosofia com Platão e outros acadêmicos.
Eudoxo fez importantes contribuições para a teoria da proporção, criando uma definição que permitia a comparação de comprimentos irracionais de maneira análoga à multiplicação em cruz hoje existente. Uma das grandes dificuldades da Matemática naquele tempo era o fato de que certos comprimentos não são comparáveis. O método de comparar dois comprimentos x e y procurando um comprimento t tal que x = m.t e y = n.t para m e n inteiros não funcionava para segmentos de comprimentos 1 e 2, como mostrado pelo Teorema de Pitágoras.
Eudoxo resolveu o problema de comprimentos irracionais no sentido de que agora poderiam ser comparados comprimentos de qualquer natureza, irracionais ou não.
Método de Exaustão
Tudo começou quando Eudoxo (408-355 a.C.), aluno de Platão, depois de ter estudado o conceito de proporção dos Pitagóricos, que associavam a razão entre dois segmentos de reta à razão entre números inteiros e que não podia ser aplicada no caso das grandezas incomensuráveis, propôs uma outra definição de proporção, de caráter mais geral, permitindo que os quatro termos da proporção fossem todos grandezas geométricas, evitando por completo qualquer extensão à idéia pitagórica de número.
Desse modo, Eudoxo constrói um instrumento útil que podia ser manuseado sem haver misturas entre números e grandezas geométricas, isto é, sem ferir o modo de pensar grego.
Assim, Eudoxo desenvolve o seu Método da Exaustão (nome dado por Grégorie de Saint-Vincent (1584-1667)), que se baseia num princípio que acabaria por ficar conhecido como Postulado de Arquimedes, embora Arquimedes o atribua a Eudoxo. O enunciado deste postulado diz:
"Dadas duas grandezas diferentes (ambas não nulas), se da maior subtrairmos uma grandeza maior que a sua metade, e do que restou subtrairmos uma grandeza maior que a sua metade, repetindo esse processo continuamente, restará uma grandeza que será menor que a menor grandeza dada."
A diferença entre o Método de Exaustão e o limite do Cálculo Diferencial e Integral reside apenas no fato de os Gregos não realizarem essa passagem ao infinito, pois não tinham noção de um continuo aritmético. Mas o tipo de argumentação é o mesmo, tanto no caso do atual limite quanto no Método da Exaustão geométrico. Pode-se dizer que a noção de limite foi vislumbrada pelos Gregos, como se pode deduzir através deste pequeno texto de Aristóteles (384-322 a. C.):
"Minha teoria não tira nada às considerações dos matemáticos, ao
suprimir o infinito que existiria segundo o acréscimo infinito, que não se
poderia recorrer: pois os matemáticos não necessitam realmente do infinito e
não o utilizam; só necessitam de uma magnitude finita que escolhem tão
grande quanto queiram."
O Cálculo Diferencial e Integral surgiu no século XVII devido, em parte, à tentativa de simplificar os métodos gregos, como o Método da Exaustão. Para avaliar até que ponto chegaram os gregos, basta verificar que Arquimedes realizou o cálculo da área sob a parábola antecipando-se, assim, em mais de dezessete séculos aos resultados do Cálculo Integral. Na sua obra O Método ele explica como o fez.
O Método encontra-se na forma de uma carta endereçada a Eratóstenes (276-194 a.C.) e é importante devido às informações que fornece sobre o método que Arquimedes usava para descobrir muitos dos seus teoremas. Arquimedes usava-o de maneira experimental para descobrir resultados que ele então tratava de colocar em termos rigorosos mediante o Método de Exaustão.
Alguns trabalhos de Eudoxo
A Teoria da Proporção - Magnitudes estão a ser dito na mesma proporção, do primeiro para o segundo e do terceiro para o quarto, quando, se for o caso equimultiples que quer que seja tido em conta o primeiro e o terceiro, e qualquer equimultiples independentemente da segunda e quarta, o ex-equimultiples iguais superior, são iguais ou parecidos ficam aquém de, respectivamente, este último equimultiples também na ordem correspondente.
O método da exaustão - Dadas duas grandezas diferentes (ambas não nulas), se da maior subtrairmos uma grandeza maior que a sua metade, e do que restou subtrairmos uma grandeza maior que a sua metade, repetindo esse processo continuamente, restará uma grandeza que será menor que a menor grandeza dada.
Proposição. O volume de cada pirâmide é um terço do prisma de sobre a mesma base e com a mesma altura.
Proposição. O volume de cada cone é um terço do cilindro sobre a mesma base e com a mesma altura.
