Introdução à Matemática Discreta

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22/02/2010 Matemática Discreta Capítulo 0 Matemática Discreta Matemática Discreta Introdução à Matemática Discreta Introdução à Matemática Discreta • A Matemática não trata apenas da manipulação de símbolos, da realização de cálculos, etc. Introdução à Matemática Discreta Prof. Wanderley de Souza Alencar • A Matemática trata de idéias. Matemática Discreta Contínua • A força motriz da Matemática são os problemas – sejam eles práticos ou teóricos. Os objetos manipulados são discretos, ou seja, um determinado subconjunto finito de elementos. Prof. Wanderley de Souza Alencar Prof. Wanderley de Souza Alencar Matemática Discreta Matemática Discreta Matemática Discreta Introdução à Matemática Discreta Introdução à Matemática Discreta Introdução à Matemática Discreta • Exemplo 01 (Sun Tzu Suan-Ching – século IV d. C.) Discreto “Uma mulher estava a lavar pratos num rio quando um funcionário, cuja tarefa era observar as águas do rio, lhe perguntou: Formado por partes separadas; distinto - Por que é que estão tantos pratos aqui? 01 Formado por partes distintas, não ligadas Prof. Wanderley de Souza Alencar Prof. Wanderley de Souza Alencar - Porque houve um banquete na residência, respondeu ela, tendo o funcionário inquirido qual o número de convidados. Prof. Wanderley de Souza Alencar 1 22/02/2010 Matemática Discreta Matemática Discreta Matemática Discreta Introdução à Matemática Discreta Introdução à Matemática Discreta Introdução à Matemática Discreta - Não sei quantos convidados eram, retorquiu a mulher. Solução: Quantos eram os convidados ? Modelando o problema pode-se dizer que: - Mas cada dois utilizaram o mesmo prato para comer arroz, cada três o mesmo prato para sopa, cada quatro o mesmo prato para carne, e estão aqui, no total, sessenta e cinco pratos”. Prof. Wanderley de Souza Alencar • Prof. Wanderley de Souza Alencar Número de convidados: x Prof. Wanderley de Souza Alencar Matemática Discreta Matemática Discreta Matemática Discreta Introdução à Matemática Discreta Introdução à Matemática Discreta Introdução à Matemática Discreta Solução: Modelando o problema pode-se dizer que: • Número de pratos para arroz: x / 2 • Número de pratos para sopa: x / 3 • Número de pratos para carne: x / 4 Prof. Wanderley de Souza Alencar Solução: Sabe-se que no total foram utilizados 65 pratos... Número de pratos utilizados x x x --- + --- + --- = 65 2 3 4 Solução: Resolvendo-se a equação de 1º grau obtém-se que: x = 60 Logo, eram 60 os convidados da festa! Prof. Wanderley de Souza Alencar Prof. Wanderley de Souza Alencar 2 22/02/2010 Matemática Discreta Matemática Discreta Matemática Discreta Introdução à Matemática Discreta Introdução à Matemática Discreta Introdução à Matemática Discreta Abstração • A que altura foi quebrado o bambu ? Modelo Mundo Exemplo 02: Um bambu com altura de 10m é quebrado de modo que a ponta toque no solo a uma distância de 3m da base. 02 Interpretação Prof. Wanderley de Souza Alencar Prof. Wanderley de Souza Alencar Prof. Wanderley de Souza Alencar Matemática Discreta Matemática Discreta Matemática Discreta Introdução à Matemática Discreta Introdução à Matemática Discreta Introdução à Matemática Discreta Solução: Pode-se imaginar segmento de reta. o “bambu” Solução: como um Solução: x + y = 10 2 + 32 = y2 x + y = 10 2 + 32 = y2 {x {x y x O segmento foi “quebrado” em dois pedaços, formando um triângulo retângulo... y 3m Prof. Wanderley de Souza Alencar Prof. Wanderley de Souza Alencar x x = 4,55m e y = 5,45m 3m Prof. Wanderley de Souza Alencar 3 22/02/2010 Matemática Discreta Matemática Discreta Matemática Discreta Introdução à Matemática Discreta Introdução à Matemática Discreta Introdução à Matemática Discreta • Exemplo 03: Argumentação e Lógica Solução: O bambu foi quebrado a 5,45m do solo. Enunciado: 03 Prof. Wanderley de Souza Alencar Prof. Wanderley de Souza Alencar Se estou a dançar então estou feliz. Existe um rato em casa ou estou feliz. Estou triste. Logo, existe um rato em casa e não estou a dançar. Prof. Wanderley de Souza Alencar Matemática Discreta Matemática Discreta Matemática Discreta Introdução à Matemática Discreta Introdução à Matemática Discreta Introdução à Matemática Discreta Solução: 1) Dançar → Feliz 2) Rato em casa ou Feliz 3) ~Feliz Solução: { axiomas } 4) Rato 5) ~Dançar 6) Rato e ~Dançar Conclusão: Rato e ~Dançar 04 Sim, a conclusão é verdadeira! Prof. Wanderley de Souza Alencar Prof. Wanderley de Souza Alencar Prof. Wanderley de Souza Alencar 4 22/02/2010 Matemática Discreta Matemática Discreta Matemática Discreta Introdução à Matemática Discreta Introdução à Matemática Discreta Introdução à Matemática Discreta Solução: • Exemplo 04: Comissão de Curso e Combinatória Enunciado: Os n alunos de Matemática Discreta pretendem eleger a Comissão de Curso, composta por m elementos. De quantas maneiras o podem fazer isto? Prof. Wanderley de Souza Alencar A partir de conhecimentos de combinatória do Ensino Médio, pode-se dizer que trata-se de uma combinação sem repetição: com n,m ∈Ν e n ≥ m n! n = () m m!.(n-m)! Prof. Wanderley de Souza Alencar 05 Prof. Wanderley de Souza Alencar Matemática Discreta Matemática Discreta Matemática Discreta Introdução à Matemática Discreta Introdução à Matemática Discreta Introdução à Matemática Discreta Exemplo 05: Comissão de Curso e Combinatória Enunciado: Os n alunos de Matemática Discreta pretendem eleger a Comissão de Curso, composta por m elementos. De quantas maneiras o podem fazer isso se houver m cargos na comissão ? Prof. Wanderley de Souza Alencar Solução: A partir de conhecimentos de combinatória do Ensino Médio, pode-se dizer que trata-se de um arranjo sem repetição: n! A(n,m) = (n-m)! Prof. Wanderley de Souza Alencar com n,m ∈Ν e n ≥ m 06 Prof. Wanderley de Souza Alencar 5 22/02/2010 Matemática Discreta Matemática Discreta Matemática Discreta Introdução à Matemática Discreta Introdução à Matemática Discreta Introdução à Matemática Discreta • Exemplo 06: Caminho mais curto em grafos Solução: Enunciado: Qual o caminho mais curso entre duas cidades escolhidas no grafo a seguir ? 2 E 5 B 3 Aplicar o Algoritmo de Dijkstra para determinação do caminho mínimo em grafos. F A 1 6 07 2 7 6 C 1 4 G D Prof. Wanderley de Souza Alencar Prof. Wanderley de Souza Alencar Prof. Wanderley de Souza Alencar Matemática Discreta Matemática Discreta Matemática Discreta Introdução à Matemática Discreta Introdução à Matemática Discreta Introdução à Matemática Discreta • Exemplo 07: Álgebra Solução: Vamos criar as seguintes variáveis: Solução: Sabe-se que: Enunciado: O Ernesto tem o dobro da idade de Anabela. A soma das idades é igual a 66 • • Idade do Ernesto: x Idade da Anabela: y Qual a idade de cada um? Prof. Wanderley de Souza Alencar x = 2 . y { x + y = 66 Resolvendo o sistema: x = 44 e y = 22 Prof. Wanderley de Souza Alencar Prof. Wanderley de Souza Alencar 6 22/02/2010 Matemática Discreta Matemática Discreta Matemática Discreta Introdução à Matemática Discreta Introdução à Matemática Discreta Introdução à Matemática Discreta Solução: Resolvendo o sistema linear de equações, tem-se que: x = 44 e y = 22. Logo Ernesto tem 44 anos e Anabela 22 anos. Prof. Wanderley de Souza Alencar • Outras áreas de aplicação de Matemática Discreta são: • Outras áreas de aplicação de Matemática Discreta são: • Estruturas de dados • Teoria da Compilação • Algoritmos • Segurança em Computadores • Teoria de Bases de Dados • Sistemas Operacionais • Teoria de Autômatos Prof. Wanderley de Souza Alencar Prof. Wanderley de Souza Alencar Matemática Discreta Introdução à Matemática Discreta A persistência da memória – 1931, de Salvador Dali (1904-1989) Prof. Wanderley de Souza Alencar 7