Transcript
Paulo Henrique Teixeira da Silva
Interpretações Contemporâneas da Equação de Abraham-Lorentz-Dirac
Fortaleza CE Agosto / 2010
Paulo Henrique Teixeira da Silva
Interpretações Contemporâneas da Equação de Abraham-Lorentz-Dirac Trabalho de conclusão de curso apresentado ao Curso de Licenciatura em Física do Instituto Federal de Eduacação, Ciência e Tecnologia do Ceará como parte dos requisitos para a obtenção do título de Graduação em Licenciatura em Física.
Orientador: Prof. Dr. Márcio André de Melo Gomes
licenciatura em Física Departamento de ensino médio e Licenciatura Instituto Federal de Eduacação, Ciência e Tecnologia do Ceará
Fortaleza CE Agosto/ 2010
Trabalho de conclusão de curso sob o título Interpretações Contemporâneas da equação
de Abraham-Lorentz-Dirac, defendida por PAULO HENRIQUE TEIXEIRA DA SILVA e aprovada em 19 de agosto de 2010, em Fortaleza, Ceará, pela banca examinadora constituída pelos doutores:
Prof. Dr. Márcio André de Melo Gomes Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Ceará-IFCE Orientador
Prof. Dr. Ricardo Renan Landim de Carvalho Departamento de Física - Universidade Federal do Ceará-UFC
Prof. Dr. Ewerton Wagner Santos Caetano Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Ceará-IFCE
Dedicatória
Para meu pai, Paulo Agostinho da Silva, Para minha mãe, Maria José Teixeira da Silva, Para minha avó, minhas irmãs Daniele, Leydiane e Leiliane e todos os meus amigos que sempre me apoiaram nessa jornada.
Agradecimentos - Agradeço aos professores da Licenciatura em Física do IFCE pelo aprendizado e laços de amizade construídos. Em especial José Airton, José C. Carneiro, Vanderley, Aluísio Cabral, Daniel Xavier, Tereza C. Fontenele, Roberto Senna, Aderaldo e Ewerton Wagner. - Agradeço ao meu orientador Prof. Dr. Márcio André de Melo Gomes. Feliz é aquele que o tem não só como professor ou orientador, mas principalmente como amigo. - Agradeço aos meus companheiros de turma. Em especial Anderson Márcio de Lima Batista e Will Robson M. Rocha, pelo apoio e amizade. - Agradeço aos meus companheiros do Projeto Seis de Março. Em especial George Frederick T. da Silva a quem tenho profunda admiração e eterna gratidão. - Agradeço aos meus amigos Adriano Braga e Cláudio Pascoal. Verdadeiros irmãos. - Agradeço a minha amiga Soraya Madeiro pela revisão ortográ ca deste trabalho.
Resumo Neste trabalho abordamos um dos mais clássicos problemas que a eletrodinâmica clássica apresenta, que é a reação da radiação. Apresentamos uma boa introdução ao problema e em seguida realizamos uma interpretação contemporânea da equação de AbrahamLorentz-Dirac, confrontando opiniões atuais desta equação e suas possíveis inconsistências teóricas.
Abstract This paper deals with one of the most classic problems that presents classical electrodynamics, which is the reaction of radiation. Present a good introduction to the problem and then performed a contemporary interpretation of the equation of Abraham-LorentzDirac, confronting current views of this equation and its possible theoretical inconsistencies.
Viemos ao mundo para sermos protagonistas e não coadjuvantes. Conversas de mesa de bar Silva, P. H. T
Sumário Lista de Figuras Lista de Tabelas 1
Introdução
p. 12
2
A física básica da reação da radiação
p. 14
3
4
2.1
Deduzindo a equação ALD a partir da conservação de energia
. . . . .
p. 15
2.2
Analisando as Runaway solutions
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 18
2.3
Cálculo da reação de radiação para um elétron.
. . . . . . . . . . . . .
p. 23
Noções de eletrodinâmica relativística
p. 31
3.1
As transformações de Lorentz
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 31
3.2
Intervalo invariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 32
3.3
Tensor métrico
p. 33
3.4
Formulação covariante da eletrodinâmica clássica
. . . . . . . . . . . .
p. 33
3.5
Dinâmica relativística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 36
3.6
A forma covariante da força de reação da radiação . . . . . . . . . . . .
p. 38
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Interpretações contemporâneas 4.1
4.2
As objeções de Fritz Rohrlich
p. 41 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 41
4.1.1
A equação correta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 42
4.1.2
Discussões I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 45
As objeções de R. F. O'Connell
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 46
4.2.1
5
Discussões II
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Conclusões
p. 47
p. 49
Apêndice A -- Expansões e aplicações de propiedades vetoriais
p. 51
Apêndice B -- Demonstrações das equações (2.24) e (2.25)
p. 54
Apêndice C -- Os sistemas de unidades SI e Gaussiano
p. 57
Referências
p. 60
Lista de Figuras 1
Comportamento da aceleração de uma partícula submetida a uma força constante
2
considerando os efeitos de reação da radiação. . . . . . . .
p. 21
Comportamento da velocidade de uma partícula submetida a uma força constante
3
F,
F,
considerando os efeitos de reação da radiação
. . . . . . .
p. 23
Modelo para demonstrar a interação eletromagnética entre dois elementos in nitesimais de carga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 24
Lista de Tabelas 1
Relações de transformações entre os sistemas SI e Gaussiano. . . . . . .
p. 58
12
1
Introdução
Após os estudos realizados por Wilhem Weber em 1846, a idéia de ação a distância veio à tona.
E ainda no século XIX, teríamos o nascimento da eletrodinâmica de
Maxwell-Faraday, na qual a idéia entre interações contínuas de cargas são intermediadas por campos.
Porém, somente depois de algum tempo, já após a descoberta do elétron
e o sucesso da teoria proposta por H. A. Lorentz [1], a qual descrever fenômenos de eletrodinâmica e óptica em termos do comportamento dos elétrons era a meta, é que a eletrodinâmica clássica obteve seu primeiro foco de relações entre campos e partículas [8]. Partindo dessa fantástica junção, diversos físicos trabalharam em cima do problema de tentar descrever, de forma mais aproximada possível da natureza, a dinâmica de uma partícula eletrodinâmica carregada, levando em conta todos os efeitos que modelam a natureza do problema. A teoria para essa dependência, por se tratar de um fenômeno de natureza eletromagnética, foi construída com base nas equações de Maxwell e na força de Lorentz, utilizando o conceito de massa eletromagnética, que discutiremos na seção 2.3. O elétron foi modelado inicialmente como uma pequena esfera rígida, carregada e com partes interagentes. Esse tipo de modelo foi criticado por Lorentz, que alertou sobre a necessidade de eles possuírem estruturas que se contraiam por efeitos de natureza relativística, e Poincaré [2], em 1906, observou que havia a necessidade de incluir uma forma de interação de origem não-eletromagnética para contrabalancear a repulsão coulombiana da estrutura, que cou conhecido como o problema da estabilidade, que de forma resumida é comentada na seção 2.3. Houve também um modelo proposto por Dirac em 1938 [4], baseado em efeitos relativísticos para o elétron sem considerar efeitos acarretados pelo seu spin. Era também baseado nas equações de Maxwell e nas leis de conservação de momento e energia, em que a equação de movimento (equação de Abraham-Lorentz-Dirac), protagonista no nosso trabalho, possui um termo correspondente à in uência do processo de irradiação sobre o movimento da partícula (reação da radiação).
Essa equação, no
limite para baixas velocidades, coincide com os resultados apontados por Max Abraham [3] e por Lorentz [1] no início do século XX.
1
Introdução
13
Antes e após estes personagens importantes atacarem o problema, houve muitas outras teorias e modelos de diversos outros pesquisadores que tiveram papel fundamental para o crescimento e aparecimentos de questionamentos sobre o assunto, elevando o problema a um nível fundamental para o entendimento do fenômeno. Após mais de um século, esse problema ainda é motivo de incentivo para vários trabalhos no âmbito da física clássica e quântica. Poderíamos citar aqui vários nomes importantes que contribuíram com a evolução deste problema, mas nosso interesse é demonstrar duas das várias propostas contemporâneas que temos para esse assunto, que ainda assombra as bases do eletromagnetismo. Portanto, iremos começar com uma pequena explanação acerca da física básica da reação da radiação e de suas inconsistências teóricas.
Depois mostraremos de forma
resumida uma noção de relatividade especial e notação covariante em conjunto com as ferramentas do eletromagnetismo. Finalizaremos nosso discurso com duas interpretações contemporâneas do fenômeno da reação da radiação e da famosa equação de AbrahamLorentez-Dirac.
14
2
A física básica da reação da radiação
Neste capítulo iremos apresentar uma abordagem básica do problema da reação da radiação. O problema citado está intimamente ligado ao estudo do movimento de uma partícula carregada submetida a uma mudança em seu estado natural de movimento, ou seja, submetida a uma aceleração.
Geralmente, estuda-se o movimento das partículas
carregadas em um campo externo, negligenciando a emissão de radiação. É evidente que esta forma de lidar com os problemas da eletrodinâmica clássica possui apenas validade aproximada.
Assim, iremos veri car de forma não tão profunda, o tratamento correto
que deve levar em conta os efeitos da reação da radiação sobre as fontes eletricamente carregadas. Na primeira seção deduziremos o famoso termo que incorpora a equação de AbrahamLorentz-Dirac, na sua forma clássica não-relativística, partindo de conceitos que são verdadeiros pilares para a física, entre eles, a conservação de energia e de momento linear, algo muito similar ao que foi feito em [5],[6] e [7]. Em seguida iremos analisar os resultados de nossas considerações heurísticas, seção 2.2, que trata das Runaway solutions, mostrando não ser possível evitar os problemas das soluções fugitivas e da pré-aceleração simultaneamente [7]. Na seção 2.3, nalizamos com uma reprodução da força de reação da radiação para um elétron, semelhante ao que foi feito por Lorentz. Embora seja apenas uma análise pouco profunda, será de extrema importância no nosso estudo do problema, que toca um dos aspectos mais fundamentais da física: natureza de uma partícula elementar [5].
a
2.1
15
Deduzindo a equação ALD a partir da conservação de energia
2.1
Deduzindo a equação ALD a partir da conservação de energia
Iremos determinar uma expressão para a reação da radiação baseada na aplicação de um dos princípios mais fundamentais e sólidos que a física possui, que é a conservação de energia. Vamos considerar uma situação em que uma partícula pontual carregada movese com velocidade não-relativística
(v << c).
Se a emissão de radiação é negligenciada,
uma partícula eletricamente carregada de massa
m
e carga elétrica
Q
com uma força
externa agindo, move-se de acordo com a equação que de ne a segunda lei de Newton do movimento:
F~ext = m~a.
(2.1)
Uma vez que esta partícula é submetida a uma aceleração, de acordo com a eletrodinâmica clássica, ela deve emitir radiação, que consequentemente carrega energia, momento linear e angular. Incluiremos, então, os efeitos de radiação. Para dar conta da emissão de radiação e seus efeitos sobre a dinâmica da partícula, na equação (2.1), deve ser adicionado um termo que represente a reação dessa radiação, ou seja,
m~a = F~ext + F~rad . Enquanto não econtramos a forma dessa reação de radiação, podemos facilmente veri car alguns requisitos que esse termo possivelmente deve satisfazer:
1. Desaparecer se a aceleração for nula, ou seja, se não houver radiação; 2. Ser proporcional ao quadrado da carga elétrica da partícula em questão, tendo em vista a dependência na potência irradiada do termo quadrático da carga elétrica da partícula e ainda, bem como não depender do sinal da carga da partícula; 3. Deve, também, envolver um termo característico da partícula relativo ao tempo.
Para isso, basta utilizarmos a fórmula de Larmor
P = 1 Sir
µo Q2 a2 . 6πc
1
(2.2)
Joseph Larmor foi um físico e matemático irlandês. Fez inovações na compreensão da eletricidade, dinâmica, termodinâmica e da teoria eletrônica da matéria. A sua obra mais in uente foi Aether and Matter, um livro de física teórica, publicado em 1900.
2.1
Deduzindo a equação ALD a partir da conservação de energia
16
A equação acima descreve a potência média emitida pela partícula na forma de radiação eletromagnética. Ainda baseando-se na eletrodinâmica clássica, sabemos que a radiação eletromagnética carrega energia, momento linear e momento angular [13].
Com isso,
poderíamos considerar que essa taxa temporal com a qual a energia da partícula vai embora fosse causada pela força exercida pela radiação eletromagnética; ou seja, considerando que a partícula de carga
Q
tenha velocidade
~v ,
2 2
µo Q a F~rad · ~v = − . 6πc
(2.3)
Podemos veri car facilmente que a equação (2.3) não está completamente correta, pois teríamos que considerar, além dos campos de radiação, os campos de velocidade da partícula, os quais também têm uma energia associada. Porém, a energia dos campos de velocidade não é desligada da partícula carregada, como ocorre com a energia dos campos de radiação eletromagnética. Portanto, a energia dos campos de velocidade deveriam estar inclusas no somatório de energia contido no fenômeno de radiação eletromagnética. Mas se zermos uma consideração simplória em que a partícula execute um movimento cíclico qualquer, de modo que nos instantes
t1
e
t2
as con gurações dos campos de velocidade
e radiação eletromagnética sejam as mesmas, podemos a rmar que a energia associada aos campos de velocidade será a mesma nos dois casos, já que essa parcela de energia ca ligada à partícula e a diferença entre os valores de energias totais seja fruto apenas da parcela irradiada. Com isso, em termos médios, podemos considerar válida a equação (2.3). Isso nos possibilita escrever em termos médios que
Z
t2
t1
agora, como
~a =
d~v , dt
2
Z
µo Q F~rad · ~v dt = − 6πc
t2
a2 dt,
(2.4)
d~v d~v · dt. dt dt
(2.5)
t1
temos
Z
t2
t1
2
µo Q F~rad · ~v dt = − 6πc
Z
t2
t1
O segundo termo da equação (2.5) pode ser facilmente resolvido por uma integração por partes, fazendo as seguintes substituições:
~u = e
d~v dt
d~u d2~v = 2, dt dt
2.1
17
Deduzindo a equação ALD a partir da conservação de energia
d~s =
d~v · dt dt
e
~s = ~v . Assim,
Z
t2
t1
ou, como
~v
e
d~v dt
µo Q 2 F~rad · ~v dt = − 6πc
são iguais em
t2
t1
e
t2 ,
"
d~v · ~v dt
t1
Z
t2
ou ainda,
t1
(2.6)
t1
por conta do movimento cíclico, temos
µo Q2 F~rad · ~v dt = 6πc
Z
# t2 Z t2 2 d ~ v · ~v dt , − 2 t1 dt
Z
t2
t1
d2~v · ~v dt, dt2
(2.7)
µo Q2 d2~v ~ Frad − · ~v dt = 0. 6πc dt2
(2.8)
Uma das formas de satisfazer a equação (2.8) é considerar que
µo Q2 d2~v . F~rad = 6πc dt2
(2.9)
Esta expressão é conhecida como a equação para a reação de radiação eletromagnética no limite não-relativistico. Podemos veri car que a forma com que chegamos à equação (2.9) não leva em consideração todas as possibilidades de dedução.
É, então, a forma
mais simples, que leva em consideração o princípio da conservação de energia. É fácil ver que nada foi dito sobre a componente perpendicular de
F~rad
em relação à velocidade da
partícula carregada, por exemplo [7]. Lembrando que ela é válida apenas em média e isso se considerarmos um movimento cíclico da partícula. Assim, acrescentando o termo de reação da radiação camos com:
m~a = F~ext +
µ0 Q 2 ˙ ~a. 6πc
A expressão acima é conhecida como equação de Abraham-Lorentz-Dirac, no regime nãorelativístico.
2
Nas próximas seções vamos ampliar a validade da equação ALD . Mas
a priori, vamos analisar alguns aspectos interessantes e intrigantes relacionados a essa equação. Primeiro, consideraremos que não haja outras forças externas agindo na partícula
2 Para
Dirac.
maior agilidade, iremos sempre que possível, abreviar o nome da equação de Abraham-Lorentz-
2.2
18
Analisando as Runaway solutions
carregada além da exercida pela radiação. Nesse caso, utilizando a segunda lei de Newton, temos
µo Q2 d~a ~ Frad = = m~a, 6πc dt ou
d~a 6πmc = ~a, dt µo Q2 esta equação pode ser facilmente resolvida, basta reorganizarmos de forma que facilite a solução da equação diferencial. A solução é t
~a = ~a0 e τ , onde de nimos uma constante
τrad
por meio de
τrad = Esta constante
τ
(2.10)
µ0 Q2 . 6πmc
(2.11)
é chamada de tempo característico que é muito pequeno, em geral.
Para um elétron, por exemplo, ele vale
τ e rad ≈ 6, 24 × 10−24 s.
A equação (2.10) indica
que a aceleração da partícula aumenta exponencialmente com o tempo, na ausência de
3
forças externas aplicadas. Esse resultado absurdo, chamado de solução fugitiva , pode ser corrigido se zermos
~a0 = ~0.
Isso resolve parcialmente o problema quando
F~0 = ~0,
mas
outras implicações pertubadoras surgem quando existem forças externas agindo sobre a partícula carregada. Uma exclusão sistemática de tais soluções fugitivas tem uma consequência ainda mais desagradável. Se aplicarmos uma força externa, por exemplo, a partícula começa a responder antes mesmo da força agir. Essa pré-aceleração acausal é antecipada apenas em um pequeno tempo
τ , característico da partícula carregada eletricamente.
Na próxima
seção, veremos que não se pode resolver os dois problemas simultaneamente com uma ou mais simples modi cações nos parâmetros iniciais de movimento da partícula pontual.
2.2
Analisando as
Runaway solutions
Com a inclusão da força de reação da radiação, a segunda lei de Newton para a partícula carregada ca
a = τ a˙ + 3 Na
F , m
maioria das referências bibliográ cas é comumente chamada de Runaway
(2.12) solutions
.
2.2
19
Analisando as Runaway solutions
onde
F
representa a força externa agindo sobre a partícula.
partícula não carregada eletricamente
(a =
Em contraste com uma
F ), deve ser necessário que m
~a
(assim como,
posição e velocidade) seja uma função contínua no tempo, igualmente se a força mudar repentinamente. A partir da equação (2.12) vamos mostrar que ~ a é contínua para qualquer instante de tempo t. Para isso, vamos integrar a equação do movimento acima desde até
(t + ),
onde
(t−)
é um encremento na variação temporal da partícula. Após isso, vamos
tomar o limite em que
→ 0.
A equação (2.12) pode ser reescrita na forma
dv da F =τ + , dt dt m
(2.13)
onde iremos integrar termo a termo nos limites determinados. Assim, encontramos
[v (t + ) − v (t − )] = τ [a (t + ) − a (t − )] + onde
Fm
é a força média durante o intervalo de tempo. Mas
é uma função delta (no limite em que
→ 0),
v
2Fm , m
(2.14)
é contínua, e como
~a,
não
chegamos a
[a (t + ) − a (t − )] = 0. Portanto, concluimos que
F
(2.15)
também deve ser contínua. Uma outra análise a ser feita é
o comportamento da aceleração da partícula que está sujeita a uma força constante qual inicia sua atuação em um instante
t = 0 e naliza em um instante t = T .
F,
a
Dividiremos
esta análise em três períodos:
•
Em Se
t < 0:
F = 0,
na equação (2.12), temos:
1 da = dt. a τ Cuja solução geral é t
a(t) = Ae τ , onde
•
Em
A
é uma constante que depende das condições iniciais do problema.
0 < t < T:
Agora a equação (2.12) pode ser reescrita da seguinte forma:
τ
da F =a− , dt m
(2.16)
2.2
20
Analisando as Runaway solutions
ou ainda,
da 1 = dt. F τ (a − m ) Cuja solução é
a(t) = onde
•
E em
B
t F + Be τ , m
(2.17)
é outra constante.
t > T:
Assim como em
t < 0, t
a(t) = Ce τ , onde
C
(2.18)
é uma terceira constante.
Se nós impusermos a condição de continuidade para
~a
nos instantes
t=0
e
t = T,
poderemos mostrar que não é possível eliminar simultaneamente as soluções fugitivas e as pré-acelerações.
Para veri carmos essa consequência, basta analisarmos as
soluções encontradas nos intervalos de tempo de atuação da força
A= e para
F.
Para
t = 0,
F +B m
t = T, T T F + Be τ = Ce τ , m
ou
C=
T F + Be τ m
1 T
eτ
.
Assim,
C=
F m
e
−T τ
+ B.
Portanto:
a(t) =
h
F m
F m
h
F m
e
−T τ
t + B eτ ,
se
t≤0
,
se
0≤t≤T
i t + B eτ ,
se
t≥T
+ Be
t τ
i
Para eliminarmos a solução fugitiva, considerada não física, na terceira região necessário que
0),
B=−
é necessário que
F m
e
B=−
−T τ
. E para evitar uma pré-aceleração na primeira região
F m
(t > T ),
é
(t <
. Obviamente nós não podemos fazer essas considerações
2.2
21
Analisando as Runaway solutions
simultaneamente. Se optarmos por eliminar a solução fugitiva, poderemos veri car qual o comportamento da aceleração e da velocidade nessas condições. É claro que teremos que continuar assumindo o pré-requisito de continuidade para a aceleração nos intervalos analisados anteriormente. Uma outra consideração importante é a de que vamos assumir que a partícula tem originalmente para o repouso
(v(−∞) = 0).
A condição para se evitar
uma solução fugitiva é:
B=−
F m
e
−T τ
.
Assim,
a(t) =
F m
i t h −T τ eτ , 1−e
F m
h
1−e
(t−T ) τ
se
t≤0
,
se
0≤t≤T
0,
se
t≥T
i
Figura 1: Comportamento da aceleração de uma partícula submetida a uma força constante
F,
considerando os efeitos de reação da radiação.
A gura 1 mostra a diferença no comportamento da aceleração da partícula, considerando os efeitos de reação da radiação. Para encontrarmos
v(t),
temos que integrar a função
a(t)
três períodos:
• (i) i −T F h τ v(t) = 1−e m
Z
t
e τ dt.
em relação ao tempo nos
2.2
22
Analisando as Runaway solutions
Cuja solução é:
i t −T Fτ h 1 − e τ e τ + D, m determinada pela condição v(−∞) = 0, v(t) =
onde
D
é uma constante
ou seja,
D = 0.
• (ii) v(t) = E
Onde
i (t−T ) F h t−e τ + E. m
é uma constante determinada pela condição de continuidade de
v
para
t = 0:
Fτ m
h
1−e
−T τ
i
=
F m
h i −T −τ e τ + E.
Assim,
E=
Fτ m
.
• (iii) Neste intervalo onde
v
é uma constante determinada por uma condição de continuidade
t = T:
v=
F m
T
Dessa forma, podemos escrever,
v(t) =
Fτ m
F m
h
i t h −T 1 − e τ eτ ,
t + τ − τe
(t−T ) τ
F m
se
t≤0
,
se
0≤t≤T
T,
se
t≥T
i
A gura 2 mostra a diferença no comportamento da velocidade da partícula, considerando os efeitos de reação da radiação. Assim, através de um acréscimo de uma força
F
constante, na equação do movimento
de uma partícula carregada, podemos veri car grandes di culdades no tratamento físico do problema. Uma interpretação mais detalhada encontra-se na seção seguinte.
2.3
23
Cálculo da reação de radiação para um elétron.
Figura 2: Comportamento da velocidade de uma partícula submetida a uma força constante
2.3
F,
considerando os efeitos de reação da radiação
Cálculo da reação de radiação para um elétron.
Nosso objetivo nessa seção será refazer o cálculo da reação da radiação considerando um modelo para um elétron proposto por Lorentz.
Para isso será necessário fazer as
seguintes considerações:
1. A partícula (o elétron) está instantaneamente em repouso no tempo atual, ou seja,
~v (t) = ~0.
(2.19)
Isto sempre pode ser conseguido fazendo-se uma mudança apropriada de referenciais. É importante notar que isso não signi ca que
~a,
ou outras derivadas de
~v
devam ser
nulas; 2. O movimento dos elementos in nitesimais de carga nos quais dividiremos o elétron é não-relativístico; 3. Os campos eletromagnéticos produzidos por um elemento de carga elemento
de0
de
em outro
4
são os campos de Liénard-Wiechert ;
4. A carga segue uma distribuição com simetria esférica; 5. Nossos resultados devem ser independentes das dimensões do elétron.
4 Alfred-Marie
Liénard (02 de abril de 1869 em Amiens, 29 de abril, 1958 em Paris) foi um físico e engenheiro francês. Emil Johann Wiechert (26 de dezembro de 1861 - 19 de Março de 1928) foi um geofísico alemão. Ambos realizaram brilhantes trabalhos no eletromagnetismo
2.3
24
Cálculo da reação de radiação para um elétron.
Figura 3: Modelo para demonstrar a interação eletromagnética entre dois elementos in nitesimais de carga.
Com as condições impostas acima, vamos iniciar os cálculos. A gura 3 mostra algumas grandezas importantes para os cálculos do nosso modelo. O campo elétrico produzido pela carga
de0
sobre a carga
de
é dado pela equação:
i h α ~ 2 ~ ~ ~ ~ ~ R − Rβ (1 − β ) R × R − Rβ × c de0 ~ E (~r, t) = + . h i3 h i3 4π0 ~ · β~ ~ · β~ R−R R−R É importante lembrar que o campo que o elemento de carga produzido pelas cargas
de0
em tempos retardados
tr = t −
tr
(2.20)
de sente no tempo atual t foi
dados por
R . c
(2.21)
Além disso, pelo item 2 das considerações acima, podemos expandir em série de Taylor grandezas no tempo retardado em termos do tempo atual. Essas expansões podem ser encontradas no apêndice A. Será necessário expandir tais grandezas para que possamos escrever a equação (2.20) em função dos termos necessários para determinarmos a equação da reação da radiação em um elétron. Após as devidas expansões e substituições na equação (2.20), chegamos à equação
0 ~ (~r, t) = de E 4π0 R3
(
3 ˙ ~− 2 R ~ · ~a R ~+ R R ~ · ~a˙ R ~ + R ~a R c2 2c3 c3 2
) .
(2.22)
2.3
25
Cálculo da reação de radiação para um elétron.
Podemos escrevê-la de uma forma mais interessante se usarmos uma notação tensorial [6].
i
Nesse caso, a componente
0 ~ i (~r, t) = de E 4π0
do campo elétrico ca
Ri 2 1 a˙i − 2 3 (Rj aj ) Ri + 3 2 (Rj a˙j ) Ri + 3 3 R cR 2c R 2c 5
onde devemos lembrar que, quando temos índices repetidos , como em verdade diante de uma soma sobre os valores possíveis de
j = 1, 2, 3.
j,
, Rj aj ,
(2.23)
estamos na
ou seja, em três dimensões,
Para continuarmos os cálculos, iremos precisar de duas propriedades referentes
à integração em torno de um elemento de ângulo sólido
dΩ,
que são
I ri dΩ = 0,
(2.24)
e
I ri rj dΩ = i
Onde
e
j
4π 2 r δij . 3
são índices referentes às componentes do vetor
(2.25)
~r
e
δij
é o famoso delta de
6
Kronecker . As equações (2.24) e (2.25) que determinam as propriedades úteis aos nossos cálculos, estão demonstradas no apêndice B.
Então, dando continuidade ao cálculo do
campo elétrico, de nido pela equação (2.20), e lembrando que a distribuição de carga é esférica (consideração 4), podemos escrever
de0 = ρ(r0 )dV = ρ(r0 )r02 dr0 dΩ, onde
ρ(r0 ) representa a densidade de carga volumétrica no elétron e a distribuição esférica
total para o elemento de carga corresponde a um ângulo sólido de Assim, a componente
4π
7
esterorradianos .
i do campo elétrico total numa dada posição ~r é obtida integrando-se
à equação (2.23), ou seja,
Ei onde
tot
Ei tot
1 = 4π0
Z Z
0
ρ (r ) r0
Ω
Ri 2 (Rj aj ) Ri (Rj a˙j ) Ri a˙i − + + 3 3 2 3 3 2 R cR 2c R 2c
continua sendo função de
~r
e
t.
r02 dr0 dΩ,
Usando as equações (2.24) e (2.25), referentes
às propriedades de integração em torno de um elemento in nitesimal de ângulo sólido, temos
Ei 5 Convenção
tot
1 = 4π0
2aj 4πR2 a˙j 4πR2 4π a˙i ρ (r ) r dr − δij + δij + , 3c2 R3 6c3 R2 2c3 r0
Z
0
02
0
(2.26)
de Einstein. Kronecker (Liegnitz, 7 de dezembro de 1823 e Berlim, 29 de dezembro de 1891) foi um matemático alemão. Uma de suas frases mais famosas é referente aos números inteiros : God made the integers; all else is the work of man (Bell 1986, p. 477) 7 O esterorradiano (sr) é o ângulo sólido que, tendo seu vértice no centro de uma esfera, intercepta sobre a superfície desta esfera um área igual à de um quadrado que tem por lado o raio da esfera. 6 Leopold
2.3
26
Cálculo da reação de radiação para um elétron.
ou
Ei
1 (~r, t) = 4π0
tot
2ai 2a˙i ρ (r ) 4πr dr − 2 + 3 . 3c R 3c r0
Z
0
02
0
Que pode ser escrita como
Ei
tot
ou ainda,
ai (~r, t) = − 6π0 c2
Z e0
de0 a˙i + R 6π0 c3
Z
de0 ,
e0
Z ai de0 eµ0 Ei (~r, t) = − + a˙i . 6π0 c2 e0 R 6πc total que a carga de sente é dada por tot
A componente
i
da força
(2.27)
Fi (~r, t) = deEi tot , ou, utilizando a equação(2.26),
Fi (~r, t) = de − Assim, a componente
i
ai 6π0 c2
Z e0
de0 eµ0 + a˙i . R 6πc
(2.28)
da força total é obtida integrando-se a equação (2.27) sobre todo
o elétron, ou seja,
Fi
Z
tot
(~r, t) =
de −
e
ai 6π0 c2
ou ainda
Fi
tot
ai (~r, t) = − 6π0 c2
Z Z e
e0
Z e0
de0 eµ0 + a˙i , R 6πc
dede0 eµ0 + a˙i R 6πc
Z de, e
que pode ser escrita como
Fi
tot
(~r, t) = −
Z Z 4 1 de0 e 2 µ0 de a ˙ + a˙i . i 3c2 2 e e0 4π0 R 6πc
Sabemos que a energia eletrostática gerada por um elemento de carga
de = ρdV
de0
sobre um outro
é dada por
1 U= 2
Z ρ (~r) V (~r) dv.
(2.29)
v
Portanto, se compararmos o termo entre colchetes na equação (2.28) com a equação (2.29), podemos escrever a força elétrica total em termos da energia potencial elétrica do sistema, e se considerarmos as três componentes da força,
4U0 e 2 µ0 ˙ F~ tot (~r, t) = − 2 ~a + ~a. 3c 6πc
(2.30)
2.3
27
Cálculo da reação de radiação para um elétron.
Note que aparece um termo com características de massa, dado por
M=
4 U0 . 3 c2
(2.31)
Esse termo é geralmente chamado de massa eletromagnética, pois resulta diretamente do efeito dos campos eletromagnéticos [6].
Se zermos uma relação desta massa com
a relação relativística entre massa e energia, veremos que temos um excesso de para satisfazer a equação
E = mc2 .
1 U0 3 c2
É comum no estudo deste problema encontrarmos
referências que tratem deste problema. Normalmente os autores chamam de problema dos
4 [11],[26]. A maioria dos enigmas que ele tem despertado são devidos à inércia da 3
pressão negativa que equilibra a repulsão eletrostática dentro da partícula, que no nosso caso é o elétron.
A contribuição da massa desta pressão para a massa observável deve
ser considerada. Segundo [11], a massa efetiva dessa pressão é
Ue − 3c 2,
onde
Ue
é a energia
eletrostática. Medina mostra que um bom comportamento mecânico exige que
m0 >
Ue . 3c2
Esta condição coloca um limite na massa nua e na carga elétrica que uma partícula pode ter. A violação desta condição é a razão pela qual a fórmula de ALD para a reação da radiação de uma carga pontual prevê movimentos não-físicos que fogem ou violam a causalidade [11]. Podemos sugerir uma possível relação entre a massa eletromagnética e a energia necessária para tornar o elétron estável, já que a tendência natural seria que as cargas constituintes, que são todas de mesmo sinal, não se mantivessem unidas. É importante observar, também, que a reação da radiação corresponde ao segundo termo do lado direito da equação (2.30), e portanto, temos novamente a equação de Abraham-Lorentz-Dirac. Basta que consideremos a segunda lei de Newton na forma
e 2 µ0 ˙ F~ tot (~r, t) = −M~a + ~a = m0~a. 6πc Então, temos
e, considerando que a massa
e 2 µ0 ˙ ~a = (m0 + M ) ~a, 6πc observável é a soma m0 + M , e 2 µ0 ˙ F~ tot (~r, t) = ~a = m~a. 6πc
temos
2.3
28
Cálculo da reação de radiação para um elétron.
Vamos considerar agora que uma força externa
f~ext
atue sobre uma partícula de carga
e.
Assim, podemos agora escrever a segunda lei de Newton como sendo
f~ext + F~ tot = m0~a, onde
F~ tot
é dada pela equação (2.30). Portanto, temos
4U0 e 2 µ0 ˙ f~ext − 2 ~a + ~a = m0~a, 3c 6πc ou usando a equação (2.31),
e2 µ0 ˙ f~ext + ~a = (m0 + M ) ~a 6πc que pode ser escrita como
e2 µ0 ˙ f~ext = m~a − ~a. 6πc
(2.32)
De acordo com a de nição de tempo característico, ou seja, equação (2.11), podemos escrever a equação (2.32) em termos de
τrad ,
resultando em
˙ ~ fext = m ~a − τrad~a , ou ainda,
f~ext = ~a − τrad~a˙ . m Para encontrarmos uma solução para esta equação, devemos apelar para um método bem conhecido nas resoluções de equações diferencias ordinárias lineares. Para começar vamos 0
multiplicar a equação pelo fator de integração
e
−τt
rad
, ou seja,
0 f~ext − τ t0 − t e rad = ~a − τrad~a˙ e τrad . m
(2.33)
Agora, observe que
0 d d~a − τ t0 1 − τ t0 −τt rad rad − ~ a e e e rad ~a, = dt0 dt0 τrad onde o termo
t0
é apenas para diferenciar do tempo
t nos limites de integração da equação
que determina a dinâmica da partícula. Podemos ainda escrever
0 0 1 d −τt −τt ˙ rad rad . ~ a e = τ ~ a − ~ a e rad dt0 τrad Agora, se compararmos as equações (2.33) e (2.32), veremos que podemos escrever
0 f~ext − τ t0 d −τt e rad = −τrad 0 ~ae rad , m dt
(2.34)
2.3
29
Cálculo da reação de radiação para um elétron.
ou
0 d f~ext − τ t0 −τt rad ~ a e = − e rad . dt0 mτrad
Integrando agora de um tempo
Z
t
t0 ou
t0
t,
até
temos
Z t ~ 0 fext − τ t0 0 d −τt 0 rad dt = − ~ a e e rad dt , dt0 t0 mτrad t Z t ~ t0 fext − τ t0 0 −τ rad ~ae e rad dt , =− t0 mτrad t0
que resulta em
~a (t) = ~a (t0 ) e
t−t0 τrad
−
Z
1 τrad
t
t0
f~ext (t0 ) − τt0 −t 0 e rad dt . m
(2.35)
Analisando o integrando da equação (2.35), podemos observar que aparece o termo indicando que o valor da aceleração no tempo t, ou seja, tempos
t0
maiores que
t.
~a (t), é calculado considerando-se
Dizendo de outra forma, a força nos intantes
dentro de um intervalo dado por
[t, t + τrad ]
eletricamente carregada no tempo
t,
t0 − t,
t0
posteriores a
t
é a responsável pela aceleração da partícula
fazendo com que a condição de causalidade seja
violada. A equação (2.32) é, na verdade, o limite não-relativístico da equação ALD, com a inclusão de uma força externa. Para analisarmos as di culdades na interpretação desta equação, que já foi discutida de forma parcial na seção (2.2), vamos considerar que a equação (2.35) se reduza para a forma
~a (t) = e onde assumimos que
f~ext (t0 )
t τrad
~b −
1 mτrad
Z
t
−τ t 0 0 ~ fext (t ) e rad dt ,
(2.36)
−∞
vai para zero em um passado in nito, considerando que a
integral seja bem comportada. O vetor ~ b constante não é restrito a priori. Esta é a terceira peça para determinar completamente o movimento da partícula, já que o problema envolve uma equação diferencial de terceira ordem na posição da partícula, não bastam apenas os dados iniciais de posição e velocidade em
t = 0.
E a informação dada pelo vetor
~b
é
su ciente para fornecer uma solução única. Para vermos como ~ b deve ser escolhido, vamos considerar um outro caso particular de força, diferente do escolhido na (2.2). A função que de ne a força será agora dada por
f~ext = f~0 θ (t) ,
(2.37)
2.3
30
Cálculo da reação de radiação para um elétron.
onde
f~0
é um vetor constante, e
θ (t) =
0,
se
t<0
1,
se
t≥0 8
é conhecida como função degral unitária de Heaviside . Neste caso, temos
~a (t) = e
t τrad
" # ~0 −t f ~b − 1 − e τrad θ (t) , m
t τrad ~ e vemos que, para escolhas arbritárias de b, ~ a∼e para (t 0).
Mesmo que a força
aplicada seja constante, a aceleração cresce exponencialmente com o tempo. Este, como já tínhamos mencionado na seção (2.2), é o problema das soluções fugitivas (ou divergentes), o que ocorre também no caso de uma solução geral [12].
Percebemos, no entanto, que
estas soluções não-físicas podem ser eliminadas se de nirmos ~ b
~a (t) =
=
1 ~ f . Então encontramos m 0
i t f~0 h θ (−t) e τrad + θ (t) . m
Apesar de uma condição cautelosa, a solução é agora bem comportada para que seu comportamento é um pouco estranho para
t < 0:
No entanto
t > 0,
∼ τrad
vemos
antes do
momento em que as opções de forças externas comecem a agir, a aceleração começa a aumentar com o passar do tempo, onde chegamos mais uma vez ao problema da préaceleração, discutido ainda na seção (2.2), que ocorre também no caso geral [12].
8 Oliver
Heaviside (Londres, 18 de maio de 1850 e Torquay, 3 de fevereiro de 1925), foi um matemático inglês. Aos 16 anos abandonou a escola para seguir o sonho de ser telegra sta. Nos tempos livres estudava electricidade, chegando a publicar alguns artigos inspirados pelo Tratado de Electricidade e Magnetismo de Maxwell. Para uma abordagem histórica, ver [26].
31
3
Noções de eletrodinâmica relativística
3.1
As transformações de Lorentz
Seja
K
relação a
K
um referencial inercial e
K0
v.
com velocidade constante
suponhamos que as origens
O
relativa seja paralela ao eixo Então, as coordenadas
x
e
O0
de
um outro referencial inercial que se move em Para evitarmos complicações desnecessárias,
coincidam nos instantes
t = t0 = 0
e que a velocidade
K.
(x, y, z, t)
e
(x0 , y 0 , z 0 , t0 ),
atribuidas ao mesmo evento por ob-
servadores xos nos respectivos referenciais, estão relacionadas da seguinte forma:
x − vt x0 = q 2 1 − vc2
(3.1)
y0 = y
(3.2)
z0 = z βx 0 t =γ t− , c
(3.3)
onde
γ=
v2 1− 2 c
(3.4)
− 12
e
v β= . c É fácil ver que se
c −→ ∞,
retornamos às famosas transformações de Galileu, caracterís-
tica fundamental da mecânica newtoniana.
3.2
3.2
Intervalo invariante
O intervalo e
32
Intervalo invariante
ds entre dois eventos in nitesimalmente próximos, com coordenadas (x, y, z, t)
(x + dx, y + dy, z + dz, t + dt),
respectivamente, é de nido por
ds2 = c2 t2 − dx2 − dy 2 − dz 2 .
(3.5)
Um comentário valioso sobre a equação (3.5), é o de que esta de nição não é universal. Muitos autores preferem escrever
ds2 = −c2 t2 + dx2 + dy 2 + dz 2 , de modo que é preciso atentar para as convenções utilizadas antes de comparar equações matemáticas de diferentes autores. Das transformações de Lorentz deduzimos que
e
dx0 = γ (dx − vdt)
(3.6)
vdx dt = γ dt − 2 . c
(3.7)
0
onde
dy 0 = dy
e
dz 0 = dz .
Através de um cálculo algébrico, bem conhecido, é simples
mostrar que
ds02 = ds2 .
(3.8)
Este é o primeiro resultado importante que encontramos: O intervalo entre dois eventos é um invariante sob transformações de Lorentz.
Diz-se, também, que
ds
é um escalar
de Lorentz. Normalmente, o mesmo procedimento é válido para um intervalo nito
∆s.
Se recordarmos um pouco das de nições de espaço tridimensional euclidiano, notamos uma possível analogia com
ds.
Porém, em relatividade especial não existe sentido separar
tempo de espaço, pois a invariância de
ds
depende da junção espacial e temporal. Essa
junção espaço-tempo é chamada de espaço de Minkowski. Vale a pena citarmos a célebre frase de Minkowski sobre essa novidade [24]: De ora em diante, espaço por si mesmo e tempo por si mesmo estão fadados a desvanecer-se em meras sombras, e apenas uma espécie de união dos dois preservará uma realidade independente.
3.3
33
Tensor métrico
3.3
Tensor métrico
O tensor métrico, ou simplismente métrica, é de nido por
ηµν
1 0 = 0 0
0
0
−1
0
0
−1
0
0
0
0 0 −1
(3.9)
permite escrever
ds2 ≡ ηµν dxµ dxν ,
(3.10)
nesta última equação há, conforme convencionado, uma soma dupla nos índices repetidos
µ
e
ν.
É interessante frizar que diversos autores preferem de nir os sinais de todos os
elementos da diagonal trocados.
Para não cometermos enganos utilizaremos a mesma
métrica utilizada pelos autores que iremos estudar no próximo capítulo.
3.4
Formulação covariante da eletrodinâmica clássica
O princípio da relatividade a rma que as leis da física têm a mesma forma em todos os referencias inerciais. A m de fazer valer este princípio fundamental, a expressão matemática das leis da física deve desenvolver somente quantidades com regras de transformações bem de nidas quando se passa de um referencial inercial para outro. Como já sabemos as equações de Maxwell já nasceram relativísticas, prevendo de forma magistral que a luz se propaga com velocidade nita e constante no vácuo.
No
sistema CGS (gaussiano) as equações de Maxwell no vácuo são escritas da forma
~ = 4πρ ∇·E
(3.11)
~ =0 ∇·B
(3.12)
~ ~ + 1 ∂B = 0 ∇×E c ∂t ~ ~ − 1 ∂ E = 4π J. ~ ∇×B c ∂t c
(3.13)
(3.14)
Mencionar que as equações de Maxwell estão de acordo com a relatividade especial signi ca que devem ser válidas em todos os referenciais inerciais, devendo ser possível reescrevê-las em forma manifestamente covariantes sem alterar seu conteúdo [24]. Por-
3.4
34
Formulação covariante da eletrodinâmica clássica
tanto, iremos apresentar, sem muitas demonstrações, o caráter covariante das equações de Maxwell, que será necessário para um bom entendimento do próximo capítulo. Começaremos pela equação da continuidade que está intimamente ligada ao estado conservativo da carga elétrica
∂ρ + ∇ · J~ = 0, ∂t
(3.15)
que pode ser deduzida das equações de Maxwell. O vetor densidade de corrente elétrica é um bom candidato para se escrever como um 4-vetor
J µ = (cρ, jx , jy , jz ) ≡ cρ, J~ ,
(3.16)
que permite escrevermos a equação (3.15) na forma
∂µ J µ = 0.
(3.17)
Como a física experimental demonstra e indica a validade da lei da conservação da carga elétrica em todos os referenciais inerciais, conclui-se que Vamos agora, introduzir os potencias
e
φ
e
~ A
Jµ
é realmente um 4-vetor.
de forma que
~ = ∇ × A, ~ B
(3.18)
~ ~ = −∇φ − 1 ∂ A . E c ∂t
(3.19)
E, consideremos que o novo candidato a 4-vetor seja
~ . Aµ = φ, A
(3.20)
Olhando para a equação (3.18) temos que de nir um possível tensor de segunda ordem como o rotacional de
Aµ
[24], ou seja,
F µν = ∂ µ Aν − ∂ ν Aµ .
(3.21)
Como já foi dito, nosso interesse não é detalhar de forma matemática os conceitos mencionados neste capítulo. Por isso, escrevemos como é a cara de
F µν
0 E x = Ey Ez
F µν :
−Ex
−Ey
−Ez
0
−Bz
Bz
0
−By
Bx
By . −Bx 0
(3.22)
3.4
35
Formulação covariante da eletrodinâmica clássica
Como forma de segurança, iremos testar para
F 01 :
F 01 = ∂ 0 A1 − ∂ 1 A0 = ∂0 Ax + ∂x φ = −Ex . F µν
é chamado de tensor do campo eletromagnético. É fácil ver porque, basta observar
quem são suas componentes. Destacamos ainda que
F µν
é um tensor anti-simétrico, ou
seja,
F µν = −F νµ .
(3.23)
Com os argumentos e de nições expostos acima, podemos chegar ao resultado que pretendíamos, ou seja:
4π ν J , c + ∂ µ F νσ + ∂ ν F σµ = 0. ∂µ F µν =
∂ σ F µν
(3.24) (3.25)
Com cálculos cuidadosos, podemos veri car que a equação (3.24) corresponde às equações de Maxwell não-homogêneas, e a equação (3.25) satisfaz as homogêneas. Mas para uma maior segurança, iremos testar a validade destas a rmações. Tomemos como
ν=0
para
a equação (3.24):
∂µ F µ0 =
4π 0 J , c
ou de forma mais detalhada
∂0 F 00 + ∂1 F 10 + ∂2 F 20 + ∂3 F 30 =
4π 0 J c
que gera
∂ ∂ ∂ 4π Ex + Ey + Ez = (cρ) , ∂x ∂y ∂z c ou ainda
~ = 4πρ. ∇·E Analogamente, escolhemos
σ = 0, µ = 1
e
ν=2
para a equação (3.25), que resulta:
∂ 0 F 12 + ∂ 1 F 20 + ∂ 2 F 01 = 0, ou mesmo,
1∂ ∂Ey ∂ (−Ex ) (−Bz ) − − = 0, c ∂t ∂x ∂y resultando
~ ~ + 1 ∂B ∇×E c ∂t
! = 0. z
Como vimos nos exemplos acima, não é difícil fazermos veri cações para comprovarmos os resultados covariantes que nos levam à forma diferencial para as equações de Maxwell.
3.5
36
Dinâmica relativística
3.5
Dinâmica relativística
Agora vamos buscar uma forma de obter uma expressão relativística para a segunda lei de Newton. Para alcançarmos essa meta temos que de nir as grandezas 4-velocidade, 4-aceleração e o 4-momento. Poderíamos de forma equivocada achar que
dxµ = vµ dt é um escalar de Lorentz.
Porém, sabemos que a covariância temporal está em
seja, o intervalo temporal medido no refencial
K0
dτ ,
ou
é invariante sob uma transformação de
Lorentz. Isso implica que a forma correta para a 4-velocidade é
dxµ = vµ, dτ
(3.26)
ou ainda
v µ = γ (c, ~v ) . Analogamente, a 4-aceleração é um 4-vetor de nido por
αµ =
dv µ , dτ
(3.27)
cujas suas componentes são
µ
α =γ γ Utilizando
vµ
e
αµ
v 3~
· ~a 3 (~v · ~a) ,γ + γ~a . c c2
(3.28)
pode-se concluir que os mesmos são, de certo modo, ortogonais. Fi-
nalmente, de nimos o 4-momento,
pµ = m0 v µ peça chave para se chegar ao nosso propósito. Onde
(3.29)
m0
é um escalar chamado massa de
repouso. Com os 4-vetores acima de nidos, estamos aptos a encontrar uma versão covariante para a segunda lei de Newton, ou seja,
d µ (p ) = F µ , dτ onde
F µ é a 4-força, também chamada de força de Minkowski.
o 4-vetor força
Fµ
tem que ser ortogonal a
(3.30)
Por razões de consistências,
pµ .
A equação (3.30) é desprovida de conteúdo a menos que se saiba como relacionar com a força tridimensional
F~ .
Fµ
O procedimento mais simples possível consiste em fazer a
3.5
37
Dinâmica relativística
hipótese de que permanece válida a conexão newtoniana entre força e a taxa de variação temporal do momento linear:
d~p d m0~v ~ q = = F, 2 dt dt 1− v
(3.31)
c2
comparando esta equação com as componentes espaciais de (3.30) e utilizando
r 1−
dτ = encontra-se
F µ = F 0 , γ F~ .
v2 dt dt ≡ , 2 c γ
A componente temporal
F0
(3.32)
obtém-se facilmente de
F µ pµ = 0,
(3.33)
ou ainda,
γm0 cF 0 − γ 2 m0 F~ · ~v = 0, chegando a
γ~ F · ~v . c
F0 = Assim, a força de Minkowski
Fµ
(3.34)
é dada por
Fµ =
γ c
F~ · ~v , γ F~ .
(3.35)
Vamos testar a consistência de (3.34) para o eletromagnetismo. A força de Lorentz
~ v ~ + ×B ~ , F~ = e E c
(3.36)
depende linearmente do campo eletromagnético e da velocidade da partícula. Assim, a força de Minkowski
Fµ
deve ser um 4-vetor construido exclusivamente com
devendo ser linear nestas quantidades. A única forma possível para
Fµ
%
e
vµ,
é
F µ = %F µν vν , onde
F µν
(3.37)
deve ser um escalar de Lorentz. Agora a equação (3.34) toma a forma
m0 αµ = %F µν vν . No referencial de repouso instantâneo
(3.38)
K 0 a velocidade da partícula é zero, não há correções
relativísticas e a equação de movimento transforma-se no caso
m0
d2~r = F~ . dt2
(3.39)
3.6
38
A forma covariante da força de reação da radiação
Mas em
K0
temos
αµ = (0, a0 ), vµ = (c, 0, 0, 0),
da equação (3.38) à identidade sucessivamente
µ = 1, 2, 3,
0 = 0,
o que reduz a componente temporal
ao passo que a parte espacial, obtida fazendo
coincide com
~ 0. m0 a~0 = %cE Para identi carmos o comportamento do campo elétrico campos se transformam de forma relativística.
(3.40)
~0 E
temos que saber como os
Como nossa intenção neste capítulo é
somente fazermos uma explanação da formulação covariante do eletromagnetismo, não iremos demonstrar as transformações dos campos. E assim, utilizaremos somente o resultado
Ex0 = Ex Ey0 = γ (Ey − βBz )
(3.41)
Ez0 = γ (Ez + βBy ) ,
(3.42)
e
Bx0 = Bx By0 = γ (By + βEz )
(3.43)
Bz0 = γ (Bz − βEy ) .
(3.44)
Como a força de Lorentz no referencial de repouso instantâneo é
~ 0, F~ 0 = eE
o escalar
%
ca determinado:
e %= . c Portanto, a equação de movimento covariante de uma partícula carregada num campo eletromagnético externo é
3.6
dpµ e = F µν vν . dτ c
(3.45)
A forma covariante da força de reação da radiação
Agora, com os resultados fundamentais vistos nas seções anteriores, vamos encontrar a forma covariante para a força de reação da radiação. Baseando-se em argumentos relativísticos e em propriedades dos 4-vetores, pertencentes ao espaço de Minkowski, poderíamos erroneamente a rmar que a forma relativística para o termo correspondente aos efeitos
3.6
A forma covariante da força de reação da radiação
39
de radiação, representado no primeiro capítulo pela equação (2.9) fosse escrita na forma
µ Frad
µ0 q 2 dαµ = . 6πc dτ
(3.46)
Porém, sabemos que
v µ vµ = −c2 ,
(3.47)
e, portanto
d µ (v vµ ) = 0. dτ Logo
d µ (v vµ ) = αµ vµ + v µ αµ = 0, dτ ou seja,
2αµ vµ = 0 ou ainda,
αµ vµ = 0.
(3.48)
Analisando mais rigorosamente,
d µ d (p ) = (m0 v µ ) , dτ dτ
Fµ = ou seja,
F µ = m0 α µ . que se multiplicarmos por
vµ
mostramos que
F µ vµ = m0 αµ vµ = 0. Agora notamos que não é possível considerar válida a forma da equação (3.46). Só nos resta buscar, então, uma forma que possibilite compatibilizar a equação (3.46) com a restrição dada pela equação (3.48). Queremos encontrar um 4-vetor que deve ser adicionado no lado direito da equação (3.46) sem afetar o seu caráter relativístico, e que no limite em que
v << c,
retorne à forma da equação (2.9). Então, partimos de
dαµ µ + Γ vµ = 0. dτ
(3.49)
dαν vν v µ , dτ
(3.50)
Se escolhermos
µ
Γ =κ chegamos a
dαµ dαµ dαν µ + Γ vµ = vµ + κ vν (v µ vµ ) . dτ dτ dτ
3.6
40
A forma covariante da força de reação da radiação
Mas sabemos através das 4-quantidades que
v µ vµ = −c2 , desta forma
dαµ vµ dτ
2
−c κ
dαν vν dτ
que será zero se escolhermos
κ=
1 . c2
Essa escolha sugere que
µ Frad
1 dαν µ0 q 2 dαµ µ + 2 vν v . = 6πc dτ c dτ 1
Este resultado foi encontrado primeiramente por Von Laue
(3.51)
[16], e vale resaltar que sua
busca não foi baseada em argumentos heurísticos, como zemos acima. Uma análise mais minunciosa pode ser encontrada em [21]. É importante frizar que apesar de
v µ = γ (c, ~v ) , a componente espacial de
Γµ
desaparece no limite em que
v << c,
e portanto, ainda se
reduz a forma não-relativística. Como
d (αν vν ) = 0, dτ dvν ν dαν vν + α =0 dτ dτ e
dαν vν = −αν αν . dτ
É fácil ver que podemos chegar a
Γµ = −
1 ν (α αν ) v µ . c2
E substituindo esse resultado na equação (3.51), encontramos
µ Frad
µ0 e2 dαµ 1 ν µ = − 2 α αν v 6πc dτ c
(3.52)
que é a expressão para a força de reação da radiação na sua forma covariante. Resultado muito importante para o entendimento do próximo capítulo.
1 Max
Von Laue (Pfaendorf, perto de Koblenz, 9 de outubro de 1879 e faleceu em Berlim, 24 de abril de 1960) foi um físico alemão. Foi laureado com o Nobel de Física em 1914, pela descoberta da difração dos raios-X em cristais.
41
4
Interpretações contemporâneas
Neste capítulo iremos fazer jus ao título deste trabalho.
Abordaremos duas inter-
pretações, a de Fritz Rohrlich e a de F. R. O'Connell, [9] e [10] respectivamente, onde suas idéias serão expostas e comentadas. Após a exposição das idéias dos autores, vamos apontar quais as discordâncias e divergências nas opiniões de ambos, deixando bem claro que existem, além de [9] e [10], diversos trabalhos na literatura atual de fácil acesso e excelentes abordagens deste tema. Uma outra coisa que deixaremos clara é o sistema de unidades adotado neste capítulo, que para seguir de forma mais aproximada as idéias dos autores, iremos trabalhar com o mesmo sistema de unidades, ou seja, uma mesclagem entre sitema gaussiano e sistema natural (fazendo
4.1
c = 1,
quando necessário).
As ob jeções de Fritz Rohrlich
Segundo Fritz Rohrlich, a equação ALD não determina corretamente a dinâmica de uma partícula pontual eletricamente carregada. Ele aponta três inconsistências teóricas, que valem a pena serem comentadas, em especial o terceiro tópico, no qual é apresentado o argumento que o levou a buscar uma nova equação.
Vejamos quais são essas
inconsistências, e logo após comentaremos.
1. Ela não leva à lei da inércia unicamente; Esta a rmação re ete o fato de que há duplicidade na solução quando não há forças externas atuando sobre a partícula. Realmente, as soluções nas quais a velocidade aumenta exponencialmente com o tempo mesmo quando usamos a solução trivial, ou seja, um movimento uniforme, ainda há problemas nas interpretações das soluções, como vimos nas seções (2.1) e (2.2). 2. É uma equação diferencial de terceira ordem, e não de segunda; Isso é realmente algo de difícil compreensão, já que estamos habituados ao estudo da dinâmica de partículas, ou mesmo objetos extensos, representadas por equações
4.1
42
As objeções de Fritz Rohrlich
diferenciais de segunda ordem. Quando temos edo's de segunda ordem basta uma escolha adequada de condições iniciais para encontrarmos uma solução bem comportada. E como a equação ALD é de terceira ordem na posição, algo a mais deve ser incrementado nas condições inicias para que possamos solucionar o problema. 3. Permite que uma auto-interação exista mesmo na ausência de uma força externa; O modelo, ou argumento, proposto por Rohrlich para se chegar ao seu resultado, dito correto, é baseado em um argumento simples e objetivo: segundo a eletrodinâmica clássica uma partícula só poderá irradiar se e somente se for submetida a uma aceleração (ROHRLICH, 2001, p.276). Rohrlich apóia-se no fato de que mesmo na ausência de uma força externa o termo que representa a força de reação da radiação não desaparece, tendo em vista que a reação é fruto da interação partícula-campo, que por sua vez só virá a existir se a partícula estiver sendo submetida a uma mudança em seu estado natural de movimento.
O terceiro tópico é o mais importante para que possamos expor minuciosamente o artifício feito por Rohrlich. Como foi mencionada acima, a sua idéia consiste em fundamentos de eletrodinâmica clássica. A equação ALD, em um sistema de unidades escolhido pelo autor, ca na forma
2 µ m0 v˙ µ = Fext + e2 (¨ v µ − v˙ α v˙ α v µ ) , 3 onde
(4.1)
m0 é a massa de repouso observada da partícula e o termo entre parênteses representa
4-força de reação da radiação. Sabemos que uma mudança no estado natural da partícula induz um campo de radiação, isso se houver uma força externa aplicada. Porém, como é levantado por Rohrlich, mesmo se escolhermos
µ Fext = 0, a reação da radiação não desaparece, confrontanto a eletrodinâmica clássica. Vamos ver como Rohrlich, tenta contornar essa inconsistência teórica.
4.1.1
A equação correta
O título desta subseção é muito parecido com o da seção 2 de [9], com exceção das aspas, propositalmente. Tentaremos reproduzir os passos matemáticos de Rohrlich guiados por argumentos puramente físicos, diferente do que fez Spohn [17], que utilizando uma demonstração matemática de forma re nada, mostra que o uxo de soluções da equação ALD possui uma estrutura semelhante à dos uxos de grupo de renormalização. Antes de
4.1
43
As objeções de Fritz Rohrlich
partirmos para os cálculos, vale à pena mencionarmos o que Rohrlich diz sobre o resultado encontrado por outros autores, tais como [18], Ford e O'Connell [19]: mas estes autores obtiveram isto como uma aproximação para a equação ALD (ROHRLICH, 2001, p.277). Essa a rmação, entre outras, irá se enquadrar no foco de nosso trabalho. Seguiremos, então, com os cálculos. Segundo Rohrlich, a força de reação da radiação é sempre apenas uma pequena correção para a equação
µ m0 v˙ µ = Fext , sempre que a radiação é negligenciada.
(4.2)
Como a correção é sempre muito menor que a
força externa, podemos escrever em primeira aproximação que
v˙ µ =
µ Fext . m0
Portanto, baseando-se na aproximação feita acima e no artifício matemático da inclusão do tensor métrico temos,
d α µα µ α d (¨ v − v˙ v˙ α v ) = η v¨α − v (v˙ vα ) − v v˙ α , dτ dτ µ
α
α
ou ainda
(¨ v µ − v˙ α v˙ α v µ ) = [η µα + v α v µ ]
dv˙ α , dτ
cujo resultado será a nova equação
µ m0 αµ = Fext +
d 2 e2 µα (η + v α v µ ) Fαext . 3 m0 dτ
(4.3)
Como estamos reproduzindo os cálculos feitos no trabalho de Rohrlich, iremos utilizar a força de Lorentz como a força externa em questão.
Mas, assim como mencionado,
outra força poderia ter sido escolhida para darmos continuidade ao problema, como por exemplo, uma força gravitacional agindo sobre a carga. Existe um famoso problema da aceleração uniforme e o princípio da equivalência, muito bem comentado em [20]. Assim, nossa força externa terá a forma
Fαext = eF µα vα . Portanto, temos que encontar a derivada da força de Lorentz, ou seja,
d d µ (Fext )= (eF µα vα ) , dτ dτ
(4.4)
4.1
44
As objeções de Fritz Rohrlich
que resulta em
d dF µα µ µα dvα (F ) = e F + vα . dτ ext dτ dτ
(4.5)
Podemos ainda utilizar a aproximação feita para a equação (4.2), e o fato de que
ηµα m0 v˙ µ = ηµα Fβext , chegando a
m0 v˙ α = eFαβ v β ,
(4.6)
iremos guardar este resultado. Agora vamos mostrar que podemos escrever o outro termo da equação (4.5) na forma
vα
d µα F = v β ∂β , dτ
como
v β = (c, ~v ) e
∂β =
nós encontramos
1∂ ~ ,∇ , c ∂t
∂ dx ∂ dy ∂ dz ∂ v ∂β = γ + + + , ∂t dt ∂x dt ∂y dt ∂z β
(4.7)
ou seja, o termo do lado direito da equação acima é na verdade uma derivada total, multiplicada pelo fator
γ v β ∂β = γ
d d = . dt dτ
Portanto,
d e µα µα β β µα e (F vα ) = e F Fαβ v + v ∂β F vα . dτ m0
(4.8)
Agora podemos substituir o lado direito da expressão acima na equação (4.3), ou seja,
µ
m0 v˙ = eF
µα
2 e3 µα e µα µ α β β µα vα + (η + v v ) F Fαβ v + v ∂β F vα . 3 m0 m0
Que resulta certamente na equação,
2 e3 β e µα v ∂β F βα vα + F Fαβ v β + 3 m0 m0 e + v µ vα F αβ Fβσ v σ . m0
m0 v˙ µ = eF µα vα +
(4.9)
Esse resultado, segundo Fritz Rohrlich é exato, e descreve a dinâmica de partículas pontuais eletricamente carregadas submetidas a uma força externa, levando em conta os efeitos de reação da radiação. Assim, a partir da equação (4.2), Rohrlich utiliza sua aproximação
4.1
45
As objeções de Fritz Rohrlich
e compara com os resultados obtidos pela derivação feita por Dirac [4].
Realmente, as
considerações feitas por Rohrlich para seu resultado coincidem com a derivação de Dirac, em que ele faz o raio do tubo de mundo que a partícula descreve no espaço de Minkowski ir a zero. Isso faz com que os termos de ordem superior a dois na velocidade sejam desprezados.
E ainda, faz questão de mostrar que encontrou o mesmo resultado de [17].
Agora, podemos ver que a auto-força, assim como a sua derivada primeira, depende da força externa.
4.1.2
Discussões I
Podemos veri car que no limite não-relativístico, ou seja,
γ = 1, a equação (4.9) se reduz a
˙ m0~v˙ = F~ext + re F~ext , onde o ponto agora é a derivada temporal em relação ao tempo
(4.10)
t
e não a
τ,
e
re
é o raio
clássico do elétron, que no sistema natural é determinado por
re =
2 e2 . 3 m0
(4.11)
Analisando as equações (4.9) e (4.10), vemos que são equações diferencias de segunda ordem, respeitam o princípio da inércia e que a força de auto-interação (Frr ) deixa de existir sempre que a força externa e sua primeira derivada desaparecem. Para complementar as vantagens em se utilizar o seu resultado, ele menciona que o problema da pré-aceleração é uma acusação incorreta, e que para a aproximação de partículas pontuais podemos considerar com boa aproximação, termos de primeira potência para
δ = re exigindo que primeira.
δ << 1,
dFext /Fext , dτ
e a assim, negligenciando todas as potências de
δ
superiores à
Isso signi ca que forças que crescem ou decaem rapidamente com o tempo,
devem ser excluídas de nossa teoria. Por exemplo, uma função do tipo degrau vista com detalhes na seção (2.3).
Assim, os resultados de pré-acelerações não são consequências
diretas das equações de movimento das particulas carregadas eletricamente, equações (4.1) e (4.9), mas sim uma má escolha da força que interage com a partícula [21]. Em [22] existe uma observação similar mencionando que uma força externa que muda rapidamente com o tempo é a verdadeira causa do problema das pré-acelerações.
4.2
As objeções de R. F. O'Connell
46
Assim, a equação relativística do movimento, encontrada em [9], para a dinâmica de uma partícula pontual não é somente uma restrição da equação ALD, mas como diz Fritz Rohrlich:também satisfaz todas as necessidades físicas que não são cumpridas pela equação de Abraham-Lorentz-Dirac (ROHRLICH, 2001, p.278).
4.2
As ob jeções de R. F. O'Connell
O'Connell vê de forma diferenciada a interpretação feita por Rohrlich sobre a equação ALD e sua utilidade para o tratamento descritivo da dinâmica de uma partícula pontual, carregada eletricamente. Menciona ainda que o resultado encontrado em [9] já tinha sido demonstrado por Ford e O'Connell [19], porém, para um corpo carregado com estrutura. O'Connell menciona que apesar de a tentativa de descrever corretamente a dinâmica de uma partícula pontual clássica carregada eletricamente seja bem antiga na história do eletromagnetismo clássico, ultimamente esse assunto tem despertado bastante interesse, como pode ser visto no trabalho de [23]. O'Connell revisa a forma apresentada em [5] para se chegar à equação ALD. Algo parecido com o que foi feito no segundo capítulo deste trabalho. Levanta de forma bem sutil o fato de que apesar de a equação ALD apresentar aspectos insatisfatórios sicamente não signi ca necessariamente que as ferramentas utilizadas para se obtê-la sejam erradas e inconsistentes com os assuntos subordinados à sua derivação. Uma inconsistência aceita por O'Connell leva-nos a acreditar que a equação ALD possui di culdades no tratamento de uma partícula pontual. Essa informação é justi cada com os resultados encontrados por [15], que sugere uma possível saída para tentar resolver o problema, baseando-se em constantes cinemáticas complementares que surgem quando se estuda as trajetórias de objetos (EPM)
1
em um acelerador de partículas. Porém, basear-se nestes argumentos não
é uma boa idéia, tendo em vista que [15] e [14] não conseguiram de nir uma equação apropriada para atacar o problema fundamentado em uma partícula pontual, tendo restringido seus resultados para um objeto carregado eletricamente com estrutura de nida. O'Connell justi ca este fato, comparando os resultados obtidos por Ribaric [15] e Baylis e Huschilt [14] com os derivados da equação de Landau-Lifshitz no regime relativístico [18]. Além disso, é importante mencionar que as equações encontradas não são lineares no tensor campo eletromagnético, talvez isso tenha levado a apontar algumas incoerências, já que estamos habituados a resultados baseados em equações lineares.
1 Siglas
referentes à Electri ed Pointlike Mass.
4.2
47
As objeções de R. F. O'Connell
4.2.1
Discussões II
1. O resultado exato de Ford e O'Connell; Segundo Rohrlich, Ford e OConnell encontraram uma aproximação.
Mas como
mencionado em [10] esse resultado é exato e próprio para uma partícula com estrutura bem de nida, na qual no limite de uma partícula pontual encontra-se a equação ALD. O'Connell faz isso utilizando o universalmente aceito hamiltoniano da eletrodinâmica clássica não-relativística (QED) (O'CONNELL, 2003, p.3). Segundo O'Connell, o resultado
exato
clássico, tanto para um elétron com estrutura como
para um modelo pontual, pode ser obtido não só de limites clássicos, mas também de resultados quânticos.
Porém, nosso interesse aqui é somente confrontar idéias
de ambos os autores. Dessa forma o desenvolvimento matemático para os aspectos quânticos ca como uma das perspectivas deste trabalho. 2. O elétron clássico livre não-relativístico; O'Connell coloca como ponto de referência a equação clássica de Newton para uma partícula de massa
M
sob a ação de uma força externa
f (t)
M x¨ = f (t) ,
(4.12)
e a equação de Abraham-Lorentz-Dirac para um elétron de carga
e
é dada por
...
M x¨ − M τe x = f (t) .
(4.13)
A equação exata obtida por Ford e O'Connell [19] para um elétron com estrutura especí ca, ou seja, um dipolo interagindo com um campo eletromagnético, é
M x¨ = f (t) + τe f˙ (t) = fef (t) , onde o ponto signi ca derivadas em relação ao tempo
τe
t, fef (t)
(4.14)
uma força efetiva e
o tempo característico da partícula,
2 e2 τe = ≈ 6 × 10−24 s. 3 3 Mc
(4.15)
O'Connell a rma não haver con ito entre as equações (4.12) e (4.13) e enumera pelo menos quatro formas diferentes de se chegar a equação ALD. São elas:
(i) A derivação conhecida feita no livro do Jackson [5], na qual os resultados são baseados em conservação de energia e momento, semelhante ao que zemos no início do capítulo 2;
4.2
48
As objeções de R. F. O'Connell
(ii) O limite feito em [19] mencionados acima; (iii) O limite de um elétron pontual baseado em derivações a partir das soluções da equações de Maxwell apresentado em [27]; (iv) E por último, um tratamento estocástico para o campo eletromagnético clássico.
Continuando nossa discussão, mencionamos três pontos importantes para justi car as idéias de O'Connell:
(A) Se
τe
é muito pequeno, equação (4.15), as condições de reação da radiação nas
equações (4.13) e (4.14) são pequenas, se comparadas a termos de ordem superior; (B) Não podemos considerar a existência de con itos entre as equações (4.13) e (4.14), pois ambas descrevem situações diferentes; a primeira descreve uma carga pontual e a outra uma carga com estrutura bem de nida; (C) Se partirmos da equação (4.12) e considerarmos termos de ordem
τe ,
chegamos a
... M x = f˙ (t) .
(4.16)
Logo, podemos concluir que as equações (4.13) e (4.14) distinguem-se por conta de termos de ordem
τe2 .
Como o próprio O'Connell diz As equações de movimento de um elétron
pontual e um elétron com estrutura diferem apenas por termos de ordem superiores (O'CONNELL, 2003, p.5).
τe2
e ordens
49
5
Conclusões
Como pode ser visto na evolução dos anos, muitos físicos brilhantes contribuiram, para a busca por uma solução convincente do problema da reação da radiação.
A título de
1
ilustração, podemos citar Lorentz, Max Abraham, Poincaré, G. Mie , Von Laue, Feynman, Dirac e outros.
Contudo, todas essas mentes foram bem especí cas com respeito às
limitações de suas teorias. Porém, nenhum outro conhecido fez uma a rmação tão forte como fez Rohrlich [9]. Ele faz uma a rmação injusti cada, no sentido de que não se baseia em uma suposição mas se utiliza da palavra exata, deixando muitas portas abertas para discussões.
E mais, após utilizar a palavra exata, diz que sua equação pode ser
considerada como correta desde que a aproximação
δ = re Seja respeitada, com
δ << 1,
F˙ ext , Fext
(5.1)
onde o ponto é a derivada em relação ao tempo próprio.
Segundo [10], Rohrlich trabalha com termos aproximados de ordem ele utiliza termos da ordem de
τe 2
τe , mas na verdade
sem perceber que está mudando de um modelo dito
pontual para um com estrutura. Fica bem claro que há discordâncias entre os trabalhos de Fritz Rohrlich [9] e os de R. F. O'Connell [10]. Porém, se analisarmos com bastante precisão, podemos ver que não é algo trivial. Não é a toa que o problema da auto-interação ainda persegue os pilares da eletrodinâmica clássica. Contudo, ca evidente que a forma com que Rohrlich tenta corrigir a equação ALD é baseada em uma aproximação, apesar de que ele se refere à exatidão. Isso pode ser visto logo no título de seu trabalho [9]. É bem sabido que ao se trabalhar com física, temos sempre que tomar cuidado em deixar claras as limitações de nossas teorias.
Como, é o caso de O'Connell, que deixa
evidente que seu resultado é válido para um objeto eletricamente carregado com estrutura bem de nida e que nas suas limitações, assim como todas as outras mencionadas na subseção 4.2.1, é possível se chegar ao mesmo resultado da equação ALD no limite não-
1 Ver,
por exemplo, [29].
5
50
Conclusões
relativístico. Em outros trabalhos mencionados [25], por exemplo, ca claro que existem limitações para resultados ditos exatos.
Sabemos que a eletrodinâmica clássica está
limitada a grandezas tais como o raio clássico do elétron Compton
λCe .
re
e ao comprimento de onda
Estas grandezas são verdadeiros indícios de que existem fronteiras entre o
que é dito clássico e o que é quântico. Assim, ca uma boa lição: a dinâmica de cargas pontuais é um excelente exemplo da importância de obedecer os limites de validade de uma teoria física.
51
APÊNDICE A -- Expansões e aplicações de propiedades vetoriais
Vamos expandir em série de Taylor grandezas no tempo retardado em termos do tempo atual. A série de Taylor é de nida como:
f (x) =
∞ X f (n) (a) n=0
onde
f (n)
n!
(x − a)n ,
é a n-ésima derivada da função em questão. E
(A.1)
a
é o ponto em torno do qual
deseja-se expandir a função. Iremos iniciar com
d~v 1 d2~v 2 ~v (tr ) = ~v (t) + (tr − t) + (tr − t) + · · · , dt 2 dt2 t
t
ou, usando a equação (2.21), e lembrando-se da primeira condição de nida na seção (2.3), ou seja, considerando também a equação (2.19), encontramos:
~v (tr ) = −
~aR ~a˙ R2 + + ··· c 2 c2
(A.2)
Para a aceleração, temos
d~a 1 d2~a 2 ~a (tr ) = ~a (t) + (tr − t) + (tr − t) + · · · , dt 2 dt2 t
t
ou
R ~a (tr ) = ~a (t) − ~a˙ (t) + · · · c
(A.3)
Outro fator importante para a equação do campo elétrico é
h
~ · β~ R−R
i3
" = R3
~ · ~v (tr ) R 1− Rc
#3 ,
52
Apêndice A -- Expansões e aplicações de propiedades vetoriais
ou ainda,
" #3 h i3 ~ · ~a RR ~ · ~a˙ R 3 ~ · β~ = R 1 + R−R − + ··· , c2 2c3 que pode ser escrito na forma
h
~ · β~ R−R
i−3
" = R−3
~ · ~a RR ~ · ~a˙ R 1+ 2 − + ··· c 2c3
#−3 ,
de modo que expandindo em série de Taylor,
h
~ · β~ R−R
i−3
=R
−3
3 ~ 3R ~ ˙ 1 − 2 R · ~a + 3 R · ~a + · · · . c 2c
(A.4)
Agora, na equação (2.20), podemos, por conta da consideração do item 2 na seção (2.3), ou seja, de que os elementos in nitesimais de carga constituintes da carga total
e
se movem
de maneira não-relativística. Essa consideração consequentemente leva a
β 2 1. E assim,
0 ~ (~r, t) = de E 4π0
~ − Rβ~ + R ~× R
~ ~ − Rβ~ × α R c
h i−3 ~ · β~ R−R ,
ou
0 ~ (~r, t) = de E 4π0
i h i−3 R 1 ~ h ~ ~ ~ ~ · β~ R − ~v (tr ) + 2 R × R − Rβ × ~a (tr ) R−R . c c
E ainda, utilizando a identidade vetorial
~− A ~·B ~ C ~ ~× B ~ ×C ~ = A ~·C ~ B A
para o termo
~× R
h
i ~ − Rβ~ × ~a (tr ) . R
Portanto, a equação que de ne o campo elétrico ca
0
(
h i de R 1 R ~ (~r, t) = ~ − ~v (tr ) + ~ · ~a (tr ) R ~ − ~v (tr ) − E R R 4π0 c c2 c
Apêndice A -- Expansões e aplicações de propiedades vetoriais
53
) h i−3 R 1~ ~ · β~ − 2 R − R · ~v (tr ) ~a (tr ) R − R . c c O próximo passo será utilizarmos as equações que resultaram das expansões em série de Taylor, e substituindo essas equações na expressão para o campo elétrico, temos:
( ! 0 ˙ R2 ~ a R ~ a R de ~− ~ (~r, t) = − + R + ··· + E 4π0 c c 2 c2 !# " ˙ R2 ~ a R ~ a 1 ~ R R ~− − + + 2 R · ~a − ~a˙ + · · · R + ··· − c c c c 2 c2 " !# ) R 1~ ~aR ~a˙ R2 R − 2 R− R· − + × + ··· ~a − ~a˙ + · · · c c c 2 c2 c 3 ~ 3R ~ ˙ −3 1 − 2 R · ~a + 3 R · ~a + · · · , ×R c 2c que pode ser simpli cada de modo que
( R3 ~a˙ 0 ~ de R R3 ~a˙ ~ ~ ~ ~ E (~r, t) = R + 3 + 2 R · ~a + 5 R · ~a − 4π0 R3 c 2 c c 2 ) R ~ ˙ ~ R3 ~ ˙ 3 ~ 3R ~ ˙ − 3 R · ~a R − 5 R · ~a ~a + · · · 1 − 2 R · ~a + 3 R · ~a + · · · . c 2c c 2c Realizando as multiplicações necessárias, as operações vetoriais existentes e mantendo apenas os termos que sejam até a ordem de
R3 , chegamos a c3
) ( 0 3 ˙ de 2 R R ~ a ~ (~r, t) = ~− ~ · ~a R ~+ ~ · ~a˙ R ~+ E R R R , 4π0 R3 c2 2c3 c3 2 onde ca fácil chegarmos à equação (2.23).
54
APÊNDICE B -- Demonstrações das equações (2.24) e (2.25)
As equações (2.24) e (2.25) que determinam as propriedades úteis aos nossos cálculos para que possamos encontrar a equação que representa a força de reação da radiação para um elétron, são simples de demonstrar. Vamos começar por (2.24),
I ri dΩ = 0. Se zermos uma integração em torno de um elemento de ângulo sólido com relação à componente
x
do vetor
~r,
que em coordenadas esféricas é de nida por
x = r sin θ cos φ e o elemento in nitesimal de ângulo sólido é da forma,
dΩ = sin θdθdφ, podemos escrever a equação (2.24) da forma
I
π
Z
Z
ri dΩ = 0
2π
rsin2 θ cos φdθdφ,
0
que pode ser facilmente resolvida através de uma simples integração:
I
π
Z
Z
2
ri dΩ = r
sin θdθ 0
onde encontramos
I
2π
Z ri dΩ = r 0
π
cos φdφ, 0
2π sin2 θdθ [sin φ] = 0, 0
que pode ser facilmente repetido para as componentes Portanto, para qualquer componente do vetor
~r
y
e
z,
cujo resultado será idêntico.
vale a seguinte propriedade:
I ri dΩ = 0
55
Apêndice B -- Demonstrações das equações (2.24) e (2.25)
com
i = 1, 2, 3.
Onde o índice
i,
vale respectivamente para as coordenadas
E para a equação (2.25) começamos por
I
Z
π
2π
Z
r sin θ cos φr sin θ sin φ sin θdθdφ.
xydΩ = 0
0 Onde
x = r sin θ cos φ y = r sin θ sin φ dΩ = sin θdθdφ. Utilizando a identidade trigonométrica
sin 2ξ = 2 sin ξ cos ξ para o ângulo
φ,
chegamos a
I xydΩ = r
2
π
Z
Z
0 ou ainda
I
2π
sin3 θ
0
π
Z
Z
sin 2φ dφdθ 2 2π
sin 2φ dφ 2 0 0 2π I Z π cos 2φ xydΩ = −r2 sin3 θ dθ, 4 0 xydΩ = r
2
3
sin θdθ
0
que resulta em
I xydΩ = 0. Por outro lado, se zermos
I
π
Z
2
2π
Z
(r sin θ cos φ)2 sin θdθdφ
x dΩ = 0
0
ou ainda
I
2
x dΩ = r
2
Z
π
Z
3
2π
cos2 φdφ,
sin θdθ 0
0
e se utilizarmos uma outra propriedade trigonométrica,
cos2 ξ = para o ângulo
φ,
1 + cos 2ξ 2
chegamos a
I
2
x dΩ = r
2
Z
π 3
Z
sin θdθ 0
0
2π
1 + cos 2φ dφ, 2
x, y
e
z.
Apêndice B -- Demonstrações das equações (2.24) e (2.25)
ou
I
56
2π Z π 2 r sin 2φ sin3 θdθ x2 dΩ = φ− 2 2 0 0
ou ainda
I
2
x dΩ = πr
2
Z
π
sin3 θdθ
0 resultando em
I
x2 dΩ = 2πr2 −
2πr2 4πr2 = . 3 3
Seguindo o mesmo procedimento, é possível mostrar que, dadas duas componentes quaisquer de
~r,
temos
I ri rj dΩ = para
i
e
j
4π 2 r δij 3
variando de 1 até 3, e utilizando o Delta de Kronecker
δij =
1,
se
i=j
0,
se
i 6= j
Portanto, estão demonstradas as equações (2.24) e (2.25), que são fundamentais para o desenvolvimento dos cálculos para se escontrar a força de reação da radiação para um elétron na seção (2.3) do capítulo 2.
57
APÊNDICE C -- Os sistemas de unidades SI e Gaussiano
No sistema internacional de unidades escrevemos a lei de Coulomb na forma
F~ele =
1 q1 q2 rˆ, 4π0 r2
(C.1)
onde as quantidades mecânicas são medidas em metros, kilogramas, segundos e carga elétrica em coulomb. Já no sistema gaussiano, a constante da frente é absorvida pela unidade de carga elétrica, em que
q1 q2 F~ele = 2 rˆ. r
(C.2)
Quantidades mecânicas são medidas em centímetros, gramas, segundos e a carga elétrica em unidades eletrostáticas (ou esu ). evidentemente um
Para que isto seja possível, um esu deve possuir
1 2
(dyna) .centmetro.
Converter equações eletrostáticas, por exemplo, apartir do SI para unidades gaussianas não apresenta di culdades, basta estabelecer
0 −→
1 4π
Por exemplo, a energia armazenada em um campo elétrico, no SI é dada por
0 UE = 2
Z
1 UE = 8π
Z
E 2 dv,
(C.3)
E 2 dv.
(C.4)
que no sistema gaussiano ca
Vejamos algumas transformações demonstradas na tabela abaixo:
58
Apêndice C -- Os sistemas de unidades SI e Gaussiano
Sistema Internacional
~ = ρ ∇·E 0
~ = 4πρ ∇·E
~ ~ = − ∂B ∇×E ∂t
~ ~ = − 1 ∂B ∇×E c ∂t
~ =0 ∇·B
~ =0 ∇·B
~ = µ0 J~ + µ0 0 ∇×B
~ ∂E ∂t
~ + ~v × B ~ F~ = q E
1 U= 2
Sistema Gaussiano
Z 1 2 2 0 E + B dv µ0
1 ~ ~ ~ S= E×B µ0
P =
1 2 q 2 a2 4π0 3 c3
~ = ∇×B
~ 4π ~ 1 ∂ E J+ c c ∂t
~v ~ ~ ~ F =q E+ ×B c
1 U= 8π
Z
E 2 + B 2 dv
~= c E ~ ×B ~ S 4π
P =
2 q 2 a2 3 c3
Tabela 1: Relações de transformações entre os sistemas SI e Gaussiano.
59
Apêndice C -- Os sistemas de unidades SI e Gaussiano
Um outro exemplo é a lei de Biot-Savart que no SI é escrita
~ = µ0 I B 4π
Z
d~l × rˆ , r2
(C.5)
indo para o sistema Gaussiano,
~ =I B c
d~l × rˆ . r2
Z
(C.6)
Uma maior virtude do sistema Gaussiano é que campos elétricos e magnéticos assumem as mesmas dimensões (em princípio, uma medida de campo elétrico em Gauss também, embora use o termo dentro deste contexto). A força de Lorentz também é protagonista nessas transformações, que escrita no SI ca
~ ~ ~ F = q E + ~v × B , indicando que
(C.7)
E possui dimensões de velocidade, chegamos à sua forma em unidades B
gaussianas
~ v ~ + ×B ~ . F~ = q E c
(C.8)
Continuando nossos exemplos, a energia total armazenada em um campo eletromagnético pode ser apresentada por
1 Ut = 8π
Z
E 2 + B 2 dv
(C.9)
no sistema Gaussiano. Já no SI, pode assumir a forma
1 Ut = 2
Z
1 0 E + µ0 B 2 2
dv.
(C.10)
Para nalizarmos nossa comparação entre SI e Sistema Gaussiano para a eletrodinâmica, indicamos mais uma vez o livro do Jackson [5], o qual faz uma abordagem muito mais detalhada e precisa deste assunto.
60
Referências 1
H. A. Lorentz, The electron theory (Academic Press, New York and London, 1964).
2
H. Poincaré, Rend. del Circ. Mat. di Palermo,
3
M. Abraham, Ann. Phys.,
4
P. A. M. Dirac, Proc. Roy. Soc.
5
J. D. Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd ed. (Wiley, New York 1998) Cap. 16.
6
Machado, K. D. teoria do eletromagnetismo, 1rd, vol. 03, ed. (UEPG, 2006) Cap. 28.
7
D.J. Gri ths, Introduction to Electrodynamics, 3rd, ed. (Prentice Hall, NJ, 1999).
8
Mendes, T. S. Renormalização de Teorias Clássicas do Elétron Pontual
10,
21,
t. 29-175 (1906).
105 (1903).
A 167,
148 (1938).
(UFSC),Florianópolis-SC,2009. 9
F. Rohrlich, Phys. Lett. A
283
(2001) 276; ibid. A
313,
303
(2002) 307.
10
R. F. O'Connell, Phys. Lett. A
491 (2003).
11
Rodrigo Medina, J. Phys. A: Math. Gen. 39, 3801 (2006), arXiv:physics/0508031.
12
E. Poisson, An introduction to the Lorentz-Dirac equation (1999),
http://xxx.lanl.gov/abs/grqc/9912045.
314,
13
J. A. Heras, Phys. Lett. A
14
W. E. Baylis and J. Huschilt, Phys. Lett. A
15
M. Ribaric and L. Sustersic, Phys. Lett. A
16
M. Von Laue, Ann. Phys.
17
H. Spohn, Europhys. Lett. 50 (2000) 287.
18
L. Landau, E. Lifshitz, The Classical Theory of Fields, (Pergamon Press, New York,
28,
272 (2003).
301
295
(2002) 7.
(2002) 318.
436 (1909).
1975).
174
19
G.W. Ford, R.F. O'Connell, Phys. Lett. A
(1993) 182.
20
P. W. Milonni, The Quantum Vacuum: An Introduction to Quantum Electrodynamics,
(Academic, San Diego, 1994). 21
F. Rohrlich, Classical Charged Particles,(Addison-Wesley, Redwood City, 1965/1990).
22
A.D. Yaghjian, Relativistic Dynamics of a Charged Sphere, Springer, 1992.
61
Referências
7, n o
23
R. T. Hammond, EJTP,
23, (2010).
24
Lemos, Nivaldo A. Mecânica Analítica, 2 ed.(Editora Livraria da Física, São Paulo,
2007). 25
Kwang-Je K. and Andrew M. Sessler, The Equation of Motion of an Electron
26
R. A. Martins, Rev. Bras. Ensino de Física, v.27, n. 1, p. 11 (2005).
27
G. W. Ford, Electromagnetic Radiation, Encyclopedia of Applied Physics, Vol. 5
(VCH Publishers, Inc. 1993), Sec. 5. 28
Barut, A. O. Electrodynamics and Classical Theory of Fields and Particles (Dover,
New York, 1980). 29
Pedro Lilienfeld, Gustav Mie: the person, Appied Optics, Vol. 30, No. 33, 1991.
