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Laborat´orio de F´ısica Experimental V • Experimento Realizado em 13/04/2016
Interferˆ encia e Polariza¸ c˜ ao de Micro-ondas Daniel Rocha Ferreira, Victtor Hudson A. Arantes Instituto de F´ısica, Universidade Federal de Goi´as Curso de F´ısica - Licenciatura Resumo
As micro-ondas, como todas ondas eletromagn´eticas, s˜ ao ondas transversais e tˆem, portanto dois graus de liberdade em rela¸c˜ ao ` a dire¸c˜ ao de propaga¸c˜ ao. Essa caracter´ıstica intr´ınseca das ondas faz com que seja poss´ıvel realizar numerosas experiˆencias, dentre as quais destaca-se a interferˆencia e polariza¸c˜ ao das micro-ondas. O trabalho que se segue est´ a dividido em trˆes partes: medir o comprimento de onda de micro-ondas refletidas por uma placa met´ alica, medir o comprimento de onda de micro-ondas por meio de um interferˆ ometro de Michelson e por u ´ltimo verificar o estado de polariza¸ca ˜o da micro-onda analisado nas duas primeiras partes.
1
Introdu¸c˜ ao
Este experimento possui a capacidade de observar v´arios aspectos da o´ptica geom´etrica da luz, nesse sentido investigou-se os fenˆomenos de polariza¸ca˜o e de interferˆencia. O espectro eletromagn´etico cobre uma ampla gama de frequˆencias. Sabendo que a luz vis´ıvel tem uma frequˆencia da ordem de 400 T Hz a 750 T Hz, e comprimentos de onda entre 400 e 700 nm (1nm = 10−9 m). Outras pe¸cas bem conhecidas do espectro incluem ondas de r´adio (com frequˆencias pr´oximas 3 kHz a 300 GHz) e micro-ondas (com frequˆencias de cerca de 0, 3 GHz a 300 GHz e comprimentos de onda de alguns cent´ımetros). As micro-ondas podem ser geradas facilmente e s˜ao particularmente adequadas para investiga¸co˜es de laborat´orio. As equa¸co˜es fundamentais dos campos eletromagn´eticos produzidos pelas densidades de carga-fonte e de corrente, s˜ao as conhecidas equa¸c˜oes de Maxwell. Elas representam as generaliza¸co˜es de observa¸c˜oes experimentais que s˜ao descritas pelas leis de Amp`ere, de Faraday, de Gauss e do fato de que monopolos magn´eticos nunca foram encontrados. Para o campo el´etrico temos duas equa¸c˜oes, que s˜ao suficientes para descreve-lo completamente, s˜ao elas: ∇· D = ρ
∇×E=−
∂B ∂t
(1)
(2)
Manipulando as equa¸co˜es pode-se obter a seguinte equa¸ca˜o de onda para o campo el´etrico em um meio n˜ao condutor, onde ω = kc: ∇2 E − εµ
∂ 2E =0 ∂ 2t
(3) 1
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ˆ i(kr−ωt) E = Ee
(4)
A equa¸c˜ao 3 admite superposi¸c˜ao linear de solu¸co˜es, considerando uma onda unidimensional que ´e refletida por um anteparo met´alico, tem-se superposi¸c˜ao da onda incidente com a mesma que foi refletida, o que resulta em uma onda estacion´aria que tem sua amplitude dependente do tempo, assim como mostra as equa¸co˜es abaixo: x x E(x, t) = A cos ω t − +A cos ω t + c c
(5)
ωx E(x, t) = 2A cos(ωt) cos c
(6)
2ωx | E(x, t) | = 2A cos (ωt) 1 + cos c
(7)
2
2
2
A equa¸ca˜o 7 fornece o comportamento do sinal que pode ser detectado por qualquer dispositivo eletrˆonico, pois esses detectam a intensidade I da radia¸c˜ao eletromagn´etica, e I ∝ | E(x, t) |2 . Analisando essa equa¸c˜ao, nota-se que o comprimento de onda da onda estacion´aria de intensidade (λI ) corresponde `a metade do comprimento de onda da micro-onda (λI ) , ou λI seja, λI = 2
1.1
Polariza¸ c˜ ao
ˆ O estado de polariza¸ca˜o da onda eletromagn´etica ´e caracterizado pelo vetor complexo E, que pode ser descrito como a combina¸c˜ao linear de dois vetores p e s, assim como mostra a equa¸ca˜o 8. Esses vetores s˜ao escolhidos de forma que p, s e k sejam ortogonais entre si. A onda ´e dita linearmente polarizada quando os coeficientes complexos Eˆp e Eˆs , que acompanham os vetores p e s, tˆem defasagem nula, ou quando um deles ´e nulo. ˆ = Eˆp p + Eˆs s E
1.2
(8)
Interferˆ encia
Quando duas ondas separadas ocupam a mesma regi˜ao do espa¸co, elas combinam-se. De acordo com o princ´ıpio da sobreposi¸c˜ao, o deslocamento da onda resultante ´e igual a` soma dos deslocamentos individuais das ondas. Se as cristas das ondas individuais coincidem um com o outro, em seguida, a amplitude da onda resultante ´e um m´aximo, e as ondas s˜ao constru´ıdas por meio da interferˆencia construtiva. Por outro lado, se a crista de uma onda coincide com o vale de outra, em seguida, a amplitude da onda resultante ´e igual a zero em todos os seus pontos, essas ondas ent˜ao sofrem uma interferˆencia destrutiva. Assim, chega-se `a conclus˜ao de que ondas que interferem construtivamente ”somam-se suas amplitudes”e tem uma intensidade
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m´axima, enquanto que aqueles que interferem destrutivamente ”anulam-se mutuamente”e tˆem uma intensidade m´ınima. Segundo a teoria da interferˆencia, se uma onda ´e refletida por uma superf´ıcie perpendicular `a sua dire¸ca˜o de propaga¸c˜ao, ambas as ondas incidentes e refletidas se interferem, e esta interferˆencia pode ser descrita de acordo com a rela¸ca˜o: x x E = Asinω(t − ) − Asinω(t + ) c c
(9)
A onda resultante pode ent˜ao ser dada por: x E = 2Asin(ωt)sin(ω ) c
(10)
onde ω ´e a frequˆencia e c a velocidade da luz. Haver´a ent˜ao interferˆencia destrutiva se:
x=
nλ 2
(11)
onde n = 0, 1, 2, 3, ....
1.3
O interferˆ ometro de Michelson
O interferˆometro de Michelson ´e o tipo mais fundamental de interferˆometro de dois feixes. Ele pode ser utilizado para medir comprimentos de onda com grande precis˜ao. Este aparelho foi originalmente constru´ıdo por Albert Abraham Michelson em 1881 e visava comprovar a existˆencia do ´eter, o meio no qual se supunha na ´epoca deveria se propagar a luz. O experimento, como se sabe, n˜ao foi “bem sucedido” e anos mais tarde, em 1905, A. Einstein publicou o seu famoso trabalho intitulado “Sobre a eletrodinˆamica dos corpos em movimento” rejeitando definitivamente a existˆencia do ´eter.
2
Objetivos
O experimento realizado foi dividido em trˆes partes: as duas primeiras visando `a determina¸ca˜o do comprimento de onda da micro-onda, e a terceira tendo como prop´osito a determina¸ca˜o da polariza¸ca˜o da micro-onda.
3 3.1
Procedimento Experimental Medida do Comprimento de Onda com uma Placa Refletora
O aparato experimental usado nesta parte do experimento consiste de uma placa refletora, uma fonte de micro-ondas, um diodo detector, uma r´egua e um oscilosc´opio conforme a Figura 1.
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Figura 1: Interferˆencia de micro-ondas utilizando uma placa refletora. Primeiramente posicionamos o diodo detector na altura da “boca” da fonte de micro-ondas, ligamos a fonte e o oscilosc´opio. Posteriormente colocamos a fonte e a placa refletora ao lado da r´egua (encostada nesta) e separadas por uns 60 cm, colocando a base do detector em cima da r´egua. Observando na tela do oscilosc´opio uma onda quadrada, ajustando os comandos do oscilosc´opio para que a onda ficasse parada. Movimentando o detector em cima da r´egua procuramos os m´aximos (1) e m´ınimos (zeros) da onda quadrada observada no oscilosc´opio, assim tomamos nota das posi¸co˜es em que eles ocorrem, fazendo cerca de 30 medidas.
3.2
Medida do Comprimento de Onda com o Arranjo de Michelson
O aparato experimental utilizado nesta parte do experimento consiste de duas placas refletoras, uma fonte de micro-ondas, um diodo detector, duas r´eguas e um oscilosc´opio, conforme esquematizado na Figura 2. O experimento foi montando conforme o esquema da figura 2, com a placa semitransparente P mantida numa posi¸ca˜o angular de 45o . Assim sendo, o detector foi colocado atr´as desta placa semitransparente e as outras duas P1 e P2 sobre as r´eguas. Aqui mantivemos fixos o detector e a placa refletora P2 , movimentamos a placa P1 procurando os m´aximos e os m´ınimos, anotando as posi¸c˜oes em que eles ocorreram.
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Figura 2: Arranjo de Michelson.
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Resultados e Discuss˜ oes
Com as medidas das posi¸co˜es dos m´aximos e m´ınimos da intensidade da micro-ondas calculou-se o comprimento de onda λ que separa as cristas (1) n˜ao-consecutivas e os vales (0) n˜ao-consecutivos, pois sabe-se que o comprimento de onda da micro-onda vale o dobro da onda de intensidade el´etrica. Nas tabelas 1 e 2 constam os resultados obtidos para o arranjo de placa refletora e para o arranjo de Michelson. Analisando a tabela 1, referente ao experimento com somente uma placa (placa refletora), nota-se que o comprimento de onda λ apresentou varia¸c˜ao durante as medidas, o que ´e evidente pelo valor calculado do desvio percentual σ% = (14, 77) e pelo desvio padr˜ao σp = (0, 8547)cm, com base no valor esperado de (3, 18 cm). O resultado encontrado para a primeira parte do experimento foi λ = (3, 65 ± 0, 85) cm. A representa¸ca˜o gr´afica do dados da tabela 1 s˜ao mostrados na figura 3. Essa diferen¸ca de 14, 77% deve-se principalmente a sensibilidade do experimento, pois a fixa¸ca˜o da placa refletora n˜ao oferecia total estabilidade durante a realiza¸c˜ao das medidas.
5
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Posi¸c˜ ao (cm)
λ (cm)
0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
22,5 23,3 24,0 24,8 25,7 26,0 28,8 29,8 30,6 31,2 32,5 33,0 33,7 34,5 35,2 35,9 36,8 37,5 38,6 40,0 41,8 42,1 42,6 43,5 44,4 45,3 46,1 47,6 48,6 49,2
3,2 2,7 4,8 5,0 4,9 5,2 3,7 3,2 3,1 3,3 2,7 2,9 3,1 3,0 3,4 4,1 5,0 4,6 4,0 3,5 2,6 3,2 3,5 2,1 4,2 3,9
Tabela 1: Medidas usando uma placa refletora.
Com rela¸c˜ao a tabela 2, referente ao experimento com o arranjo de Michelson, as medidas apresentaram valores pr´oximos daqueles do experimento anterior, por´em, houve menor flutua¸c˜ao, o que resultou no desvio percentual de σ% = (2, 20) e um desvio padr˜ao de σp = (0, 3982)cm, usando como referˆencia o valor de 3, 18 cm[1]. O valor do comprimento de onda da micro-ondas para esse caso foi de λ = (3, 25 ± 0, 39) cm. A representa¸c˜ao gr´afica do dados da tabela 2 s˜ao mostrados na figura 4. Como terceira parte do experimento usamos uma grade met´alica onde procuramos investigar o estado de polariza¸ca˜o da onda emitida pela fonte de micro-ondas, observamos que quando a grade era colocada horizontalmente na frente da fonte, a mesma n˜ao interferiu na intensidade do sinal gerado pelo diodo detector, e quando foi usado a grade na vertical, o sinal detector era nulo. Isso indica que o estado de polariza¸c˜ao da micro-onda era horizontal, pois quando a 6
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Configuração: Placa Refletora
U (V)
1
0.5
0
20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 x (cm)
Figura 3: Distribui¸c˜ao das intensidades na reflex˜ao de micro-ondas em fun¸c˜ao da distˆancia para o arranjo de uma placa refletora.
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dire¸ca˜o de oscila¸ca˜o do campo el´etrico coincide com a dire¸ca˜o da grade, s˜ao geradas correntes el´etricas no metal que dissipam parte da energia da onda por efeito Joule, e a outra parte ´e refletida, como sabe-se da teoria eletromagn´etica. O uso da grade met´alica mostrou que ´e poss´ıvel bloquear a micro-onda combinando a posi¸ca˜o da grade hora horizontal e hora vertical. M´ ax/M´ın
Posi¸c˜ ao (cm)
λ (cm)
0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
4,0 6,7 7,5 8,5 9,0 9,7 10,7 11,3 12,2 13,0 13,8 14,7 15,5 16,3 17,3 17,9 18,9 19,7 20,3 21,0 21,8 22,8 23,2 24,2 25,1 26,0 26,6 27,5 28,2 29,0
5,0 3,0 3,2 2,8 3,2 3,3 3,1 3,4 3,3 3,3 3,5 3,2 3,4 3,4 3,0 3,1 2,9 3,1 2,9 3,2 3,3 3,2 3,4 3,3 3,1 3,0
Tabela 2: Medidas usando o arranjo de Michelson.
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Configuração: Michelson
U (mV)
1
0.5
0
4
6
8
10
12
14
16 18 x (cm)
20
22
24
26
28
30
Figura 4: Distribui¸c˜ao das intensidades na reflex˜ao de micro-ondas em fun¸c˜ao da distˆancia para o arranjo de Michelson.
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Conclus˜ ao
Os dois experimentos realizados permitiram calcular o comprimento de onda da micro-ondas geradas pela fonte. De forma anal´ıtica, a precis˜ao dos resultados foi satisfat´oria em ambos os casos, apresentando desvios percentuais inferiores a 15, 00% embora a dificuldade de manter o arranjo experimental corretamente posicionado tenha interferido negativamente nas medidas do primeiro experimento (arranjo de placa refletora), foi ainda poss´ıvel verificar com facilidade a polariza¸ca˜o das ondas com uso das grades met´alicas. Tamb´em observamos perfeitamente como podemos relacionar o comprimento de onda com o n´ umero de m´aximos ou m´ınimos e a distˆancia entre os refletores utilizados nesse experimento. Por sua vez, vimos de forma pr´atica a caracteriza¸ca˜o de uma onda eletromagn´etica polarizada por meio da conserva¸ca˜o do vetor campo el´etrico no plano de polariza¸c˜ao (plano de oscila¸ca˜o) que evidenciou o comportamento das micro-ondas quando estas passam entre planos que n˜ao est˜ao na mesma dire¸ca˜o que do vetor campo el´etrico.
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Referˆ encias [1] Carvalho, J. F; Santana, R. C. F´ısica Experimental V (Experimentos de F´ısica Moderna). Goiˆania, 2016. (Apostila). [2] Griffiths, David J. ”Eletrodinˆamica; 3ª Edi¸ca˜o.”(2011). [3] J.R. Reitz, F.J. Milford, and R.W. Christy. Fundamentos da teoria eletromagn´etica. Editora Campus, 1982. [4] NUSSENZVEIG, HM, and Curso de F´ısica B´asica. ”Vol. 1, 2.”Editora Edgard Bl¨ ucher Ltda., S˜ao Paulo (2008). [5] SEARS, Francis Weston, Hugh D. YOUNG, and Mark W. ZENANSKY. ”F´ısica 2: mecˆanica dos fluidos, calor e movimento ondulat´orio.”Rio de Janeiro: Livros (1984).
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