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INTEGRAL Introdução Historicamente, foi da necessidade de calcular áreas de figuras planas cujos contornos curvilíneos não são segmento de reta que brotou a noção de integral. Por exemplo, para calcularmos a área de um retângulo: w L Temos A= L.w é definida como o produto do comprimento e da largura. A área de um triângulo: h
b.h é definida pela metade da base vezes a altura. A área 2 de um polígono:
Temos A =
A1 A 2 A 3
A4
Temos A = A1 + A 2 + A 3 + A 4 é definida dividindo-os em triângulos e a seguir somando-se as áreas dos triângulos. Não é tão fácil, no entanto encontrar a área de uma região com lados curvos. A parte do problema da área é fazer uma definição exata da área. Há no cálculo de áreas da região, dois métodos básicos: Método de retângulo e da antiderivada. Método do retângulo:
• Dividi o intervalo [a, b] em n subintervalos iguais e em cada subintervalo construir um retângulo que se estende desde o eixo
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x até algum ponto sobre a curva y = f ( x ) , a qual está acima do subintervalo; • Para cada n, a área total dos retângulos pode ser vista como uma aproximação à área exata sob a curva no intervalo [a, b]. • Fica evidente que quando n cresce, a área dos retângulos tende a área exata sob a curva. Exemplificando: 1. Usar o método do retângulo para aproximar a área sob a curva y = x 2 no intervalo 0 até 1. (1,1)
y
Y=x² S 1
x
1. Sabemos que a área se S deve estar em algum lugar entre 0 e 1, pois S está contida em um quadrado com comprimento de lado 1. 2. para começar, vamos subdividir o intervalo [0,1] em n subintervalos iguais, onde temos em cada subintervalo um comprimento de 1; os extremos do subintervaloocorrem em 0,1,2 ,3 ... n −1,1 n n n n n
repetir o processo usando cada vez mais um nº maior de subdivisões. y
s4
Y= x²
s1
1 4
s2 1 2
s3 3 4
1
x
2
3. Como queremos construir retângulos em cada um desses intervalos cuja a altura seja o valor da função y = x 2 em qualquer ponto no intervalo.assim sendo a altura dos 1 2 2 2 3 2 2 retângulos serão , , ,...(1) então cada um n n n 1 dos retângulos tem largura e as alturas são 4 2 2 2 1 1 3 2 , , e 1 . 4 2 2 Se chamarmos R4 a soma das áreas desses retângulos, 2
2
2
1 1 1 1 1 3 1 obteremos: R4 = . + . + . + ... + .12 = T 4 4 4 2 4 2 4
Logo a área (A) é aproximadamente a soma das áreas dos retângulos. A ≅ f ( x1 )∆1 x + f ( x 2 )∆2 x + ... + f ( x i )∆i x + ... + f ( x n )∆n x n
A ≅ ∑ f ( xi )∆i x i =1
∑
notação somatória (notação sigma) para escrever somas de muitos termos de maneira mais compacta. n
∑ i =m
Isso nos diz para parar quando i = n Isso nos diz para somar Isso nos diz para começar com i = m
Método da Antidiferenciação: Antidiferenciação = é o processo inverso da diferenciação e nos permite determinar uma família de funções cuja derivada de cada uma é uma função dada. 3
Relembrando derivadas temos: S
f (x )
T
Logo,
2
∆y
f (x ) x
(ii)
=
2
-
1
=
∆x
1
(i)
∆x x x ∆y f ( x + ∆x ) − f ( x )
x
1
2
A diferencial dx da variável independente x é dx = ∆x A diferencial dy da variável dependente y é dy = f x dx = f x ∆x ou D y ´
( )
´
( )
( )∆x
Exemplos: 1-Seja
y = x2 + x +1
determinar:
a) ? b)dy c)Dy − dy d)o valorde 컴y − dy quando x=1 " = 0,001
Antiderivadas e Integração indefinida Definição: Seja F uma antidiferenciação de f, então f ( x ) = f ( x ) para todo x em um intervalo I. ´
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Exemplo: f ( x ) = x + 2 x + 1 como f `( x ) = f ( x ) temos que F´x = 1 x3 + c , mas existe varias famílias de funções 3
2
3
que tem como derivada esta mesma função. Ou seja precisamos procurar por uma função cuja derivada seja f’ (x). Isto é chamado de Antideferenciação ou Integração, pois tentamos encontrar f(x) desfazendo uma diferenciação.
a) x + 2 x + 8 3
b) x + 2 x + 3 3
Ex:
2
2
c) x + 2 x + 100 3
2
d )etc... Assim se C é um nº real arbitrário, então x + 2 x + C é também uma antiderivada de f, pois Dx( x + 2 x + C ) = 3 x + 4 x = f ( x ). 3
3
2
2
2
Teorema: Se F é chamada de uma antiderivada de uma função f em um intervalo I se F’(x)= f(x) para todo x no intervalo. E seja G uma outra antiderivada de f em I, então F e G diferemse de uma constante. ∀x ∈ I Isto é, G(x) = F(x) + C Atenção: Não confunda derivadas com antiderivadas. A derivada de uma função f(x) = x2 iguala f' (x) = 2x , enquanto que F´x = 1 x3 + c são antiderivadas de f.
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Notação: 5
As antiderivadas são tradicionalmente escritas usando-se uma notação que tem umas vantagens da notação de Lebniz para derivadas. A compreensão de tal notação consiste em analisar dy como uma “porção infinitisimal” de y. Leibnz utilizou a letra S esticada , escrita assim ∫ para representar a soma de tais infinitisimais y = ∫ dy . Bernoulli contemporâneo de Leibnz passou a ser chamado de Integral Indefinida. O adjetivo “indefinida” que o processo de integração não produz uma função definida, mas em vez disso um conjunto de funções. Se F(x) é uma antiderivada de f. Segue que
f (x) = f (x) ´
se y = f ( x ) ⇒ dy = f `( x )dx se y = F ( x ) ⇒ dy = F `( x )dx se y = F ( x ) e dy = F `( x )dx então
y = ∫ dy = ∫ F ´( x )dx = ∫ f ( x )dx onde: ∫ f ( x )dx = F ( x ) + C Sendo C uma constante de integração
Observação: Na notação para antidiferenciais acima: f ( x ) é chamado de Integrando
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∫ f ( x )dx é chamado Integral indefinida ou integral f ou primitiva ∫ é dito símbolo de integração
Propriedade para antidiferenciais:
P Dx ∫ f ( x )dx = f ( x ) 1
P ∫ Dx( f ( x ))dx = f ( x ) + C 2
P ∫ Kf ( x )dx = K ∫ f ( x )dx 3
P 4
P 5
n
Se n é um nº real diferente de –1 então ∫ x dx = ∫
x n +1 n +1
[ f ( x ) ± g ( x )]dx = ∫ f ( x )dx ± ∫ g ( x )dx
Exemplos:
x5+1 x6 1 a ) ∫ x dx = +C = +C ou x +c 6 6 6 b) ∫ dx = x + C c) Sabemos que (sen x )`= cos x , então 5
6
∫ cosxdx = senx + C
d ) Como (− cosθ ) = sen θ ,então ∫ sen θdθ = − cosθ + C e)∫ e x dx = e x + C
pois
(e x )`= e x 7
2 3
f ) ∫ x dx =
x
5 3
5 3
5
3 3 +c = x +C 5 1 2
1
1
− dt t 2 g ) ∫ = ∫ t dt = 1 + C = 2t 2 + C ou = 2 t + C t 2
Às vezes é muito útil reescrever o integrando de forma diferente antes de efetuar a integração. Ex:
∫
cos x sen 2 x
∫(
= ∫ ( . )dx = )dx = − cos sec x + C 1 sen x
dx
cos x sen x
cos sec x cot gx
Aplicando as propriedades resolva: a)∫ x3 + cosx dx =
b)∫5x 3dx =
d)∫ 3senx + 4cosx dx = f)∫ 1 dx = x3
c)∫ 3x + 7 dx = e)∫ x2 −5x + 3 dx =
−2 h)∫ x 3 dx = j)∫ x2dx
5 i) ∫ x dx = l)∫ 1 dx x5 n)∫ x-1dx p) ∫ x + x2 dx
m) ∫ x dx o) ∫ 4cosx dx
q) ∫ 3x 6-2x 2 + 7x +1 dx
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