Integral - Gabarito Lista 2

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SALA: 214 Cálculo Diferencial e Integral B Sexta Feira SOLUÇÃO DA 2a LISTA DE EXERCÍCIOS a ser entregue na 6a aula, em 20.03.2009 Códigos: T1106 B / T6003 B / T9003 Turma: MEC108AN Prof. HANS-ULRICH PILCHOWSKI Versão: 1o Semestre de 2009 Prof. Hans-Ulrich Pilchowski Exercício Resolvidos Cálculo Diferencial e Integral B 1o Exercício: Resolver a integral indefinida s = ∫ 2 t cos 2 (t ) dt por partes. Solução: Pela integração por partes, tem-se ∫ udv = uv − ∫ vdu , e u=t   du = dt  2 s = ∫ 2 t cos (t ) dt ⇒  dv = cos 2 (t )dt  t 1 v = + sen (2t ) 2 4  pois ∫ cos 2 (ax )dt = x sen (2ax ) então, + 2 4a t 2 t t 1   s = 2  + sen (2t ) − ∫  + sen (2t ) dt  2 4   2 4 t 1 t t2 1 s = t 2 + sen (2t ) − ∫ t dt − ∫ sen (2t ) dt = t 2 + sen (2t ) − + cos (2t ) 2 2 2 2 4 s= 2t 2 − t 2 t 1 1 1  + sen (2t ) + cos (2t ) = t 2 + t sen (2t ) + cos (2t ) 2 2 4 2 2  Resposta: s= 1 2 1  t + t sen (2t ) + cos (2t ) + C  2 2  2o Exercício: Resolver a integral indefinida y = ∫ 13 l n (1 − x ) dx por partes. Solução: u = l n (x ) y = 5 ∫ x l n ( x )dx 2 ⇒ dv = x 2 dx ⇒ du = (1 x ) dx v = ∫ x 2 dx , ⇒ v = x3 3 como ∫ udv = uv − ∫ vdu , 1 Prof. Hans-Ulrich Pilchowski Exercício Resolvidos Cálculo Diferencial e Integral B tem-se [( ) y = 5 ∫ x l n ( x )dx = 5 x 3 l n ( x ) − ∫ 2 3  x 3 l n (x ) 1  x 3 x dx = 5  − ∫ x 2 dx  , 3 3   [( 3 ) ] ]  x 3 l n (x ) 1 x 3  5  3 x3  y = 5 − ⋅  =  x l n (x ) − +C , 3 3 3  3 3   Resposta: y = 5 3 x3  ( ) x l n x − +C , 3  3  Integrar as seguintes funções que envolvem um trinômio do tipo ax 2 + bx + c 3o Exercício: y = ∫ dx 3x − 2 x + 2 2 Solução: dx 1 = ∫ 3x − 2 x + 2 3 y=∫ y= 2 dx 1 dx = ∫ x 2 3 2 1  1 1 2 x2 − 2  + x − 2 x + − + 3 3 3  9 9 3 1 dx 1 dx = ∫ ∫ 2 2 2 3  1 1 6 3  1  5  x − − +     x −  +  3 9 9  3   3    1 5  x− − 1 dx 1 1 u −k  1 3 3 3 y= ∫ 2 =  ln  = ln 2  3 u +k 3  2k u + k  3 2 5 1 5 x− +  3 3  Resposta: y = 1 2 5 4o Exercício: y = ∫ 2  u = x − 3 ⇒ k= 5  3    = 1  3 ln 3 x − 1 − 5   3  2 5 3x − 1 + 5      3x − 1 − 5 +C 3x − 1 + 5 ln 2x − 1 dx 5x − x + 2 2 2 Prof. Hans-Ulrich Pilchowski Exercício Resolvidos Cálculo Diferencial e Integral B Solução: y=∫ 2x − 1 1 = ∫ 2 5x − x + 2 5 dx 1 dx = ∫ 1 2  x 2 5 2 1  1 x2 − 2  + x − 2 x + − +  10  5  10  100 100 5 1 1 dx dx y= ∫ = ∫ 2 2 2 5  1 1 40 5  1   39  + x −  −   x −  +  10  100 100  10   10   1  u = x − 10 ⇒  k = 39 10   1 39    x− − 1 dx 1 1 u − k  1  10 10 10 = y= ∫ 2 =  ln = ln 5 u + k 2 5  2k u + k  5  2 39 1 39  x− +   10 10   Resposta: y = 1 5 10 x − 1 − 39    ln  5  39 10 x − 1 + 39  1 10 x − 1 − 39 ln +C 39 10 x − 1 + 39 3