Integral

Transcript

Capítulo 4 INTEGRAL A integral é uma operação baseada em limites cuja aplicação principal é o cálculo de áreas e volumes. Na Física, por exemplo, o trabalho realizado por uma força F que desloca um corpo de uma distância x é calculado por uma integral, ou seja, o trabalho realizado pode ser encontrado através de um cálculo de área. Ao longo deste capítulo, vamos mostrar que existe uma relação próxima entre a derivada e a integral de uma função. Portanto, um bom conhecimento de derivadas é pré-requisito para o estudo de cálculo integral. CONCEITO DE INTEGRAL Antes de formalizar a definição de integral, vamos começar com um exemplo numérico. EXEMPLO Encontrar a área sob a função f(x) no intervalo 0≤x≤1 sabendo-se que: f (x) = x SOLUÇÃO Primeiramente, vamos mostrar graficamente a situação: Podemos perceber que a figura formada é um triângulo, portanto, o valor exato dessa área é igual a: A= base ⋅ altura 1 ⋅ 1 1 = = unidades de área. 2 2 2 Ou melhor: A= 8 unidades de área. 16 Em seguida, tentaremos encontrar essa área por aproximações sucessivas usando apenas retângulos. Vamos dividir o intervalo em duas partes iguais assumindo que a área do triângulo é dada aproximadamente pela soma das áreas dos dois retângulos. Visualmente fica mais fácil perceber o nosso objetivo: A área total da figura é dada por: A = base1 ⋅ altura 1 + base 2 ⋅ altura 2 1 1 1 1 1  1 1 ⋅ + ⋅ 1 = ⋅  + 1 = ⋅  + 2 2 2 2 2  2 2 3 A = unidades de área. 4 A= 2  2 Ou melhor: A= 12 unidades de área. 16 A nossa aproximação sugere que a área do triângulo é aproximadamente o valor calculado. Note que, em relação à área exata do triângulo, esse valor ainda é impreciso. CAPÍTULO 4 – INTEGRAL Vamos agora dividir o intervalo em quatro partes iguais assumindo que a área do triângulo é dada aproximadamente pela soma das áreas dos quatro retângulos formados. O gráfico da situação ilustra melhor o problema: A área total da figura é dada por: 1 1 1 1 1 3 1 ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅1 4 4 4 2 4 4 4 1 1 1 3  A = ⋅  + + + 1 4 4 2 4  1 1 2 3 4 A = ⋅ + + +  4 4 4 4 4 10 unidades de área. A= 16 A= Perceba que um número maior de retângulos aumentou a precisão da nossa aproximação do valor exato da área do triângulo. Usando o mesmo artifício, se dividirmos o intervalo em oito partes iguais, a área total será igual a 9/16. Isso indica que, se continuarmos a incluir cada vez mais retângulos a tendência natural é que a área total da figura seja exatamente igual à área do triângulo. Chamando de ∆x a base de cada retângulo, podemos montar uma tabela com os valores da base e da área calculada: ∆x A 1 = 0,5 2 1 = 0,25 4 1 = 0,125 8 12 16 10 16 9 16 ... 0 ... 8 16 Note que o cálculo da área exata da função é um processo limite dado por: A = lim ∆x →0 Onde o símbolo n ∑ f (x i ) ⋅ ∆x i =1 n ∑ f (x i ) ⋅ ∆x significa a soma das áreas de todos os n retângulos envolvidos i =1 na aproximação. O limite dado pela equação anterior é chamado integral da função f(x) no intervalo 0≤x≤1. Representamos a integral estudada através da notação: 1 ∫ A = f ( x ) ⋅ dx 0 O símbolo é lido da seguinte maneira: “Integral de f(x) de 0 até 1”. A maneira que calculamos a integral é conhecida como método da exaustão e se baseia em encontrar a área sob uma função aumentando exaustivamente o número de retângulos, somando-se então as suas áreas. Por ser muito cansativo, o método da exaustão serve apenas para ilustrar a idéia fundamental da integral. PÁGINA 2 CAPÍTULO 4 – INTEGRAL A INTEGRAL E A DERIVADA Isaac Newton e Gottfried Leibniz pesquisando independentemente chegaram à conclusão de que existe uma relação próxima entre a derivada e a integral. A constatação deles foi marcante: “A derivada e a integral são operações inversas”. Isso quer dizer que a integral de f ′( x ) é a função f ( x ) que originou essa derivada. O esquema abaixo ajuda a esclarecer a relação entre a derivada e a integral: Vamos mostrar como obter a integral a partir da derivada. Considere a função dada pelo seguinte gráfico: A(x) A(x+∆ ∆x) Podemos perceber pelas figuras anteriores que a área sob a função depende do ponto extremo x, logo vamos representá-la por A(x). Se deslocarmos o ponto x para um valor x+∆x então a área agora será dada por A(x+∆x). Partindo desse raciocínio, desejamos descobrir qual é a área entre x e x+∆x. Conforme o gráfico, essa área é dada pela diferença entre as áreas A(x+∆x) e A(x): Área que nos interessa Matematicamente, a área que nos interessa é aproximadamente igual à área do retângulo: A( x + ∆x ) − A( x ) ≈ f ( x ) ⋅ ∆x A( x + ∆x ) − A( x ) ≈ f (x) ∆x Tomando o limite dos dois lados: A( x + ∆x ) − A ( x ) = lim f ( x ) ∆x →0 ∆x →0 ∆x lim PÁGINA 3 CAPÍTULO 4 – INTEGRAL O que resulta em: dA( x ) = f (x) dx Sabendo-se que: ∫ A( x ) = f ( x ) ⋅ dx Ao substituirmos A(x) na expressão anterior teremos: d f ( x ) ⋅ dx = f ( x ) dx ∫ Essa expressão mostra que se integrarmos a função f(x) e em seguida derivarmos o resultado da integração obteremos mesma função f(x). Isso significa que a integral e a derivada são operações que se cancelam quando aplicadas simultaneamente. Trocando a ordem das operações na última equação: df ( x ) ⋅ dx = f ( x ) dx f ( x ) = f ′( x ) ⋅ dx ∫ ∫ Essa expressão mostra que a integral de f´(x) é a função f(x), ou seja, a integral de f´(x) é a função que originou essa derivada. PRIMITIVA A integral de f(x) é freqüentemente chamada de primitiva ou de integral indefinida e é representada por F(x). Conforme foi provado, ao derivarmos F(x) obteremos f(x), ou seja: ∫ F( x ) = f ( x ) ⋅ dx dF( x ) = f (x) dx Nosso objetivo daqui para frente será encontrar a expressão de F(x) cuja derivada é igual à função f(x) dada no problema – Esse é o fundamento do método conhecido como antidiferenciação. Para que o processo de antidiferenciação tenha valor é necessário que tenhamos um bom conhecimento de derivadas. EXEMPLO Calcular a integral de: f (x ) = 2x SOLUÇÃO A integral de f(x) é a função cuja derivada é igual a 2x, logo: ∫ F( x ) = 2x ⋅ dx = x 2 + C A princípio, você poderia pensar que x 2 é a única função cuja derivada é 2x , mas isso não é verdade. Por exemplo, as derivadas de x 2 + 1 , x 2 + 10 ou x 2 + 100 também são iguais a 2x . Portanto, devemos sempre colocar a constante C ao final da integral já que: dF( x ) d = ( x 2 + C) = 2 x = f ( x ) dx dx O valor de C representa todos os valores possíveis da constante que acompanha x 2 e a sua determinação depende de alguma condição dada no problema. A primitiva de f(x) é então dada por: F( x ) = x 2 + C PÁGINA 4 CAPÍTULO 4 – INTEGRAL PRIMITIVAS MAIS COMUNS O processo de integração pelo método da antidiferenciação depende da capacidade de imaginarmos a função F(x) cuja derivada é dada por f(x) que é conhecida. Isso nem sempre é tarefa fácil, portanto, começaremos a exercitar essa capacidade estabelecendo regras gerais para algumas primitivas mais comuns. • Função nula: A primitiva da função nula é igual à função F( x ) = C , já que a derivada de uma constante é igual a zero. EXEMPLO Encontrar a primitiva da função: f (x) = 0 SOLUÇÃO A primitiva F(x) é a função que, derivada uma vez, fornece f(x), então: F( x ) = C Já que: F′( x ) = 0 = f ( x ) Não importa qual seja o valor da constante C, a derivada será sempre igual a zero. Como você pode perceber, a função nula está presente em qualquer função. Dessa forma, será obrigatório aparecer a constante C em qualquer primitiva. Note nos casos a seguir que sempre acrescentaremos a constante C apenas no resultado final, evitando envolvê-la nos cálculos intermediários. • Função potência de x (para n positivo): Considere a seguinte função: f (x) = x n A sua primitiva é dada por: F( x ) = x n +1 +C n +1 Note que: F′( x ) = x n Então podemos concluir que: ∫ F( x ) = x n ⋅ dx = x n +1 +C n +1 EXEMPLO Encontrar a primitiva da função: f (x) = x 5 SOLUÇÃO Conforme a regra de integração: ∫ F( x ) = x 5 ⋅ dx = x 5+1 +C 5 +1 PÁGINA 5 CAPÍTULO 4 – INTEGRAL O resultado final é igual a: F( x ) = x6 +C 6 Confirme se a derivada de F(x) é igual a f(x). • Função raiz de x: Considere a seguinte função: q f (x) = x p A sua primitiva se enquadra na integral de potência de x e é dada por: p +1 q q x = x p +q p p+q +1 q q q p q F( x ) = ⋅ x ⋅x p+q F( x ) = Finalmente, acrescentando a constante C no final: F( x ) = q q ⋅ x ⋅ xp + C p+q Então podemos concluir que: F( x ) = ∫ q ∫ p q x ⋅ dx = x ⋅ dx = p q q ⋅ x ⋅ xp + C p+q EXEMPLO Encontrar a primitiva da função: 3 f (x) = x 2 SOLUÇÃO Conforme a regra de integração: F( x ) = ∫ 3 x ⋅ dx = 2 ∫ 2 x3 ⋅ dx = 3 3 ⋅ x ⋅ x2 + C 5 Confirme se a derivada de F(x) é igual a f(x). • Função potência negativa de x (para n diferente de 1): Considere a seguinte função: f (x) = 1 x n = x −n A sua primitiva também se enquadra na integral de potência de x e é dada por: F( x ) = x − n +1 − n +1 Colocando o sinal negativo em evidência no denominador e no expoente, teremos: F( x ) = 1 ⋅ x −( n −1) − (n − 1) F( x ) = − 1 1 ⋅ n −1 + C (n − 1) x Note que não é possível aplicar essa fórmula quando n é igual a 1 já que o denominador se tornaria igual a zero. PÁGINA 6 CAPÍTULO 4 – INTEGRAL EXEMPLO Encontrar a primitiva da função: f (x) = 1 x2 SOLUÇÃO Conforme a regra de integração: F( x ) = 1 ∫ x 2 ⋅ dx = ∫ x −2 ⋅ dx = − 1 1 1 ⋅ 2−1 + C = − + C 2 −1 x x PRIMITIVAS DE OUTRAS FUNÇÕES Usando a técnica de antidiferenciação, podemos encontrar as primitivas de outras funções que não sejam potências de x. Na tabela abaixo mostramos algumas primitivas: Função f (x) = 1 x Primitiva F( x ) = ln x + C f (x) = e x F( x ) = e x + C f (x ) = a x F( x ) = f ( x ) = sen ( x ) f ( x ) = cos( x ) ax +C ln a F( x ) = − cos( x ) + C F( x ) = sen ( x ) + C Existem livros que contém as integrais de vários tipos de função tabeladas e organizadas para consulta rápida. Com a evolução dos softwares matemáticos, os livros com as tabelas de primitivas tornaram-se obsoletos já que, com o comando apropriado, você poderá obter com facilidade praticamente qualquer primitiva. PROPRIEDADES DA INTEGRAL INDEFINIDA A integral indefinida de uma função apresenta as seguintes propriedades: (a) (b) (c) ∫ k ⋅ f (x) ⋅ dx = k ⋅ ∫ f (x) ⋅ dx ∫ [f (x) + g(x)] ⋅ dx = ∫ f (x) ⋅ dx + ∫ g(x) ⋅ dx ∫ f (x) ⋅ g ′(x) ⋅ dx = f (x) ⋅ g(x) − ∫ f ′(x) ⋅ g(x) ⋅ dx (integral por partes) Vamos provar a propriedade (c), chamada integral por partes. Primeiro, vamos lembrar da derivada do produto de duas funções f(x) e g(x): [f ( x ) ⋅ g( x )]′ = f ′( x ) ⋅ g( x ) + f ( x ) ⋅ g ′( x ) Integrando ambos os lados da igualdade: ∫ [f (x) ⋅ g(x)]′ ⋅ dx = ∫ [f ′( x) ⋅ g(x) + f (x) ⋅ g ′(x)] ⋅ dx Aplicando a propriedade (b) ao lado direito da igualdade: ∫ [f (x) ⋅ g(x)]′ ⋅ dx = ∫ f ′(x) ⋅ g(x) ⋅ dx + ∫ f (x) ⋅ g ′(x) ⋅ dx Lembrando que a integral e a derivada são operações inversas: ∫ [f (x) ⋅ g(x)]′ ⋅ dx = f (x) ⋅ g(x) PÁGINA 7 CAPÍTULO 4 – INTEGRAL Logo: ∫ ∫ ∫ f (x) ⋅ g ′(x) ⋅ dx = f (x) ⋅ g(x) − ∫ f ′(x) ⋅ g(x) ⋅ dx f ( x ) ⋅ g ( x ) = f ′( x ) ⋅ g ( x ) ⋅ dx + f ( x ) ⋅ g ′( x ) ⋅ dx EXEMPLO Calcular as integrais: a) ∫ 5 ⋅ x 2 ⋅ dx b) ∫ [ x 2 + x 3 ] ⋅ dx c) ∫ x ⋅ e x ⋅ dx SOLUÇÃO a) Aplicando a propriedade (a): ∫5⋅ x 2 5 ⋅ dx = 5 ⋅ x 2 ⋅ dx = x 3 + C 3 ∫ Note que acrescentamos a constante C apenas no resultado final, evitando envolvê-la nos cálculos intermediários. b) Aplicando a propriedade (b): ∫ ∫ ∫ [ x 2 + x 3 ] ⋅ dx = x 2 ⋅ dx + x 3 ⋅ dx = x3 x4 + +C 3 4 Aqui também acrescentamos a constante C apenas no resultado final, evitando envolvê-la nos cálculos intermediários. c) Primeiro, devemos identificar as funções f(x) e g´(x) dentro da integral: ∫x ⋅e x ⋅ dx Vamos então escolher: f ( x ) = x , cuja derivada é f ′( x ) = 1 . g ′( x ) = e x , cuja primitiva é g( x ) = e x . O resultado da integral é dado por: ∫ f (x) ⋅ g ′(x) ⋅ dx = f (x) ⋅ g(x) − ∫ f ′(x) ⋅ g( x) ⋅ dx x x x x x x ∫ x ⋅ e ⋅ dx = x ⋅ e − ∫ 1 ⋅ e ⋅ dx = x ⋅ e − e = e ⋅ (x − 1) + C A escolha das funções f(x) e g´(x) foi proposital. Note que, escolhendo f ( x ) = x , fica mais fácil calcular a integral presente no segundo termo do lado direito da propriedade (c). Uma boa prática consiste em escolher para f(x) a função cuja derivada se torna uma constante ou que torne a integral do primeiro membro igual à integral do segundo membro. EXEMPLO Calcular a integral: ∫e x ⋅ cos(x ) ⋅ dx SOLUÇÃO Vamos identificar as funções f(x) e g´(x) dentro da integral: f ( x ) = e x , cuja derivada é f ′( x ) = e x . g ′( x ) = cos( x ) , cuja primitiva é g( x ) = sen( x ) . PÁGINA 8 CAPÍTULO 4 – INTEGRAL O resultado da integral é dado por: ∫ f (x) ⋅ g ′(x) ⋅ dx = f (x) ⋅ g(x) − ∫ f ′(x) ⋅ g(x) ⋅ dx x x x ∫ e ⋅ cos(x) ⋅ dx = sen(x) ⋅ e − ∫ e ⋅ sen(x) ⋅ dx A integral que aparece circulada também deve ser calculada por partes: ∫ e ⋅ sen(x) ⋅ dx = − cos(x) ⋅ e − ∫ e ⋅ [− cos(x)] ⋅ dx x x x ∫ e ⋅ sen(x) ⋅ dx = − cos(x) ⋅ e + ∫ e ⋅ cos(x) ⋅ dx x x x Substituindo na integral circulada: ∫ e ⋅ cos(x) ⋅ dx = sen(x) ⋅ e − [− cos(x) ⋅ e + ∫ e ⋅ cos(x) ⋅ dx] x x x x ∫ e ⋅ cos(x) ⋅ dx = sen(x) ⋅ e + cos(x) ⋅ e − ∫ e ⋅ cos(x) ⋅ dx x x x x Note que existem duas integrais iguais. Nesse caso, passamos a integral do segundo membro somando à integral existente no primeiro membro: ∫ 2 ⋅ e x ⋅ cos(x ) ⋅ dx = sen(x ) ⋅ e x + cos(x ) ⋅ e x Finalmente: ∫ ∫ sen( x ) ⋅ e x + cos(x ) ⋅ e x 2 1 e x ⋅ cos(x ) ⋅ dx = ⋅ e x ⋅ [sen( x ) + cos(x )] + C 2 e x ⋅ cos(x ) ⋅ dx = Nesse exemplo, pudemos constatar que a escolha das funções f(x) e g´(x) depende de um pouco de visão e da experiência de quem está calculando a integral. TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO Existe uma técnica adequada a cada tipo de função a ser integrada. Vamos estudar algumas dessas técnicas. • Funções trigonométricas: Para esse tipo de função devem ser usadas relações trigonométricas que transformem produtos ou potências em somas de funções. EXEMPLO Calcular a integral: ∫ cos 2 ( x ) ⋅ dx SOLUÇÃO Para resolver esse problema, devemos encontrar uma relação trigonométrica que transforme a função elevada à potência dois em uma soma de funções. Podemos começar usando a fórmula do cosseno da soma: cos(a + b) = cos(a ) ⋅ cos(b) − sen (a ) ⋅ sen(b) cos(x + x ) = cos(x ) ⋅ cos(x ) − sen ( x ) ⋅ sen ( x ) cos(2 x ) = cos 2 ( x ) − sen 2 ( x ) Conforme a relação trigonométrica fundamental: sen 2 ( x ) = 1 − cos 2 ( x ) Substituindo na fórmula anterior: cos(2 x ) = 2 ⋅ cos 2 ( x ) − 1 PÁGINA 9 CAPÍTULO 4 – INTEGRAL Portanto: cos 2 ( x ) = 1 1 ⋅ cos(2x ) + 2 2 A partir das relações trigonométricas, podemos substituir a função mais complicada de ser integrada por duas funções mais simples de operar: ∫ cos 2 1 ( x ) ⋅ dx =  ⋅ cos( 2x ) + 2 ∫ 1 ⋅ dx 2  Aplicando as propriedades das integrais: ∫ cos 2 ( x ) ⋅ dx = 1 1 ⋅ cos(2x ) ⋅ dx + ⋅ dx 2 2 ∫ ∫ Sabemos que: 1 1 sen(2x ) 1 ⋅ cos(2x ) ⋅ dx = ⋅ = ⋅ sen(2x ) 2 2 2 4 1 1 ⋅ dx = ⋅ x 2 2 ∫ ∫ Finalmente, após acrescentar a constante C: ∫ cos 2 ( x ) ⋅ dx = 1 1 ⋅ sen(2 x ) + ⋅ x + C 4 2 Existem outros tipos de integrais cuja solução também depende do conhecimento das relações trigonométricas: • ∫ cos(ax ) ⋅ cos(bx ) ⋅ dx • • ∫ sen(ax) ⋅ sen(bx) ⋅ dx ∫ cos(ax) ⋅ sen(bx) ⋅ dx Para resolver essas integrais necessitamos das seguintes relações: cos(a + b) = cos(a ) ⋅ cos(b) − sen (a ) ⋅ sen(b) cos(a − b) = cos(a ) ⋅ cos(b) + sen (a ) ⋅ sen(b) sen(a + b) = sen(a ) ⋅ cos(b) + sen(b) ⋅ cos(a ) sen(a − b) = sen(a ) ⋅ cos(b) − sen(b) ⋅ cos(a ) Por exemplo, ao somarmos as fórmulas do cosseno da soma e da diferença teremos: cos(a ) ⋅ cos(b) = 1 ⋅ [cos(a + b) + cos(a − b)] 2 Então: cos(ax) ⋅ cos(bx ) = 1 ⋅ [cos(ax + bx ) + cos(ax − bx )] 2 Devemos substituir a expressão acima na integral e calcular o resultado. EXEMPLO Calcular a integral: ∫ cos(5x) ⋅ cos(3x) ⋅ dx SOLUÇÃO Primeiro, encontramos a relação trigonométrica que define a multiplicação de dois cossenos: 1 ⋅ [cos(ax + bx ) + cos(ax − bx )] 2 1 cos(5x ) ⋅ cos(3x ) = ⋅ [cos(8x ) + cos(2x )] 2 cos(ax) ⋅ cos(bx ) = PÁGINA 10 CAPÍTULO 4 – INTEGRAL Substituindo na integral: 1 ∫ cos(5x) ⋅ cos(3x) ⋅ dx = ∫ 2 ⋅ [cos(8x) + cos(2x)] ⋅ dx Aplicando as propriedades da integral: 1 1 ∫ cos(5x) ⋅ cos(3x) ⋅ dx = 2 ⋅ ∫ cos(8x) ⋅ dx + 2 ⋅ ∫ cos(2x) ⋅ dx Onde: sen(8x ) 8 sen(2 x ) cos(2x ) ⋅ dx = 2 ∫ cos(8x) ⋅ dx = ∫ O resultado final é igual a: 1 1 ∫ cos(5x) ⋅ cos(3x) ⋅ dx = 16 ⋅ sen(8x) + 4 ⋅ sen(2x) + C EXEMPLO Calcular a integral: ∫ sen(5x) ⋅ sen(3x) ⋅ dx SOLUÇÃO Ao subtrairmos as fórmulas do cosseno da diferença e da soma teremos: sen(a ) ⋅ sen(b) = 1 ⋅ [cos(a − b) − cos(a + b)] 2 Portanto: 1 ⋅ [cos(5x − 3x ) − cos(5x + 3x )] 2 1 sen(5x ) ⋅ sen (3x ) = ⋅ [cos(2x ) − cos(8x )] 2 sen(5x ) ⋅ sen(3x ) = Substituindo na integral: 1 ∫ sen(5x) ⋅ sen(3x) ⋅ dx = ∫ 2 ⋅ [cos(2x) − cos(8x)] ⋅ dx Aplicando as propriedades da integral: 1 1 ∫ sen(5x) ⋅ sen(3x) ⋅ dx = 2 ⋅ ∫ cos(2x) ⋅ dx − 2 ⋅ ∫ cos(8x) ⋅ dx Onde: sen(2 x ) 2 sen(8x ) cos(8x ) ⋅ dx = 8 ∫ cos(2x) ⋅ dx = ∫ O resultado final é igual a: 1 1 ∫ sen(5x) ⋅ sen(3x) ⋅ dx = 4 ⋅ sen(2x) − 16 ⋅ sen(8x) + C • Mudança de variável: Essa técnica consiste em transformar um problema aparentemente complicado em um problema mais simples apenas pela mudança de variável da integral. A mesma abordagem já foi utilizada quando estudamos a regra da cadeia nos problemas de derivada. PÁGINA 11 CAPÍTULO 4 – INTEGRAL A técnica de mudança de variável consiste em trocar a integral do tipo: ∫ f (g(x)) ⋅ g ′(x) ⋅ dx Por: ∫ f (u) ⋅ du Chamando: u = g(x ) du = g ′( x ) ⋅ dx EXEMPLO Calcular a integral: ∫e 2x ⋅ dx SOLUÇÃO Quando olhamos para dentro da integral, percebemos que é possível chamar: u = 2x du = 2 ⋅ dx ∴ dx = du 2 Isso tornará a integral igual a: ∫e u ⋅ du 1 = ⋅ e u ⋅ du 2 2 ∫ Cujo resultado final é dado por: ∫e 2x ⋅ dx = 1 u ⋅e + C 2 Voltando com o valor de u: ∫e 2x ⋅ dx = 1 2x ⋅e + C 2 EXEMPLO Calcular a integral: ∫ cos(5x) ⋅ dx SOLUÇÃO Primeiro devemos chamar: u = 5x du = 5 ⋅ dx ∴ dx = du 5 Isso tornará a integral igual a: ∫ cos(u) ⋅ du 1 = ⋅ cos(u ) ⋅ du 5 5 ∫ Cujo resultado final é dado por: 1 ∫ cos(5x) ⋅ dx = − 5 ⋅ sen(u) + C Voltando com o valor de u: 1 ∫ cos(5x) ⋅ dx = − 5 ⋅ sen(5x) + C PÁGINA 12 CAPÍTULO 4 – INTEGRAL EXEMPLO Calcular a integral: ∫ 2x ⋅ sen(x 2 ) ⋅ dx SOLUÇÃO Primeiro devemos chamar: u = x2 du = 2 x ⋅ dx Note que o valor da derivada de u aparece explicitamente dentro da integral. Essa mudança de variável faz com que: ∫ 2x ⋅ sen(x 2 ∫ ) ⋅ dx = sen (u ) ⋅ du = − cos(u ) + C Finalmente, voltando com o valor de u no resultado: ∫ 2x ⋅ sen( x 2 ) ⋅ dx = − cos(x 2 ) + C EXEMPLO Calcular a integral: 1 ∫ 3x + 2 ⋅ dx SOLUÇÃO Primeiramente, chamaremos: u = 3x + 2 du = 3 ⋅ dx ∴ dx = du 3 Substituindo na integral: 1 1 du 1 1 = ⋅ ⋅ du 3 3 u ∫ 3x + 2 ⋅ dx = ∫ u ⋅ ∫ Cujo resultado é igual a: 1 1 ∫ 3x + 2 ⋅ dx = 3 ⋅ ln u + C Voltando com o valor de u, teremos: 1 1 ∫ 3x + 2 ⋅ dx = 3 ⋅ ln 3x + 2 + C INTEGRAL DEFINIDA (TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO) A integral indefinida ou primitiva é uma função que fornece a área genérica sob f(x). Isso significa que precisamos definir dois extremos, o limite inferior “a” e o limite superior “b”, para que possamos calcular o valor numérico da área entre esses dois pontos. O que acabamos de descrever é o que se conhece como integral definida. A área em cinza no gráfico abaixo é a integral definida de f(x) no intervalo de “a” até “b”: PÁGINA 13 CAPÍTULO 4 – INTEGRAL Representamos a integral definida da seguinte forma: b ∫ f (x) ⋅ dx a Segundo o teorema fundamental do cálculo, essa integral pode ser calculada por: b ∫ f (x) ⋅ dx = F(b) − F(a ) a Alguns autores costumam a representar o cálculo da integral definida pela notação: b ∫ f (x) ⋅ dx = F(x) a = F(b) − F(a ) b a Nesse momento, é importante perceber que a constante C que aparece na primitiva deve desaparecer quando subtraímos F(b) de F(a). EXEMPLO Calcular a área da função: f (x) = x 2 Do ponto x=1 até o ponto x=2. SOLUÇÃO O objetivo do problema consiste em encontrar a integral definida: 2 ∫x 2 ⋅ dx 1 Nosso primeiro passo será encontrar a primitiva da função: F( x ) = x3 +C 3 Logo após, vamos aplicar o limite inferior e o superior na primitiva: 23 8 +C= +C 3 3 13 1 F(a ) = F(1) = + C = + C 3 3 F(b) = F(2) = Por fim, vamos subtrair esses valores: 8  1  7 F(b) − F(a ) =  + C  −  + C  = 3  3  3 Perceba que a constante é desnecessária no cálculo, pois sempre será eliminada na subtração. A partir de agora vamos desconsiderar a constante que aparece na primitiva quando estivermos calculando uma integral definida. A integral definida é então dada por: 2 ∫x 1 2 ⋅ dx = 7 3 O valor encontrado corresponde à área sob a função f ( x ) = x 2 do ponto x=1 até o ponto x=2. Algumas vezes a integral definida fornece um valor negativo, isso significa que a área está abaixo do eixo x. Contudo, o valor da área continua sendo positivo, já que não existe área negativa. PÁGINA 14 CAPÍTULO 4 – INTEGRAL EXEMPLO Calcular a integral da função: f ( x ) = sen( x ) Do ponto x=π até o ponto x=2π. SOLUÇÃO O objetivo do problema consiste em encontrar a integral definida: 2π ∫ sen(x) ⋅ dx π O resultado é a primitiva: F( x ) = − cos(x ) Note que desconsideramos a constante C por simplicidade. Logo após, vamos aplicar o limite inferior e o superior na primitiva: F(b) = F(2π) = − cos(2π) = −1 F(a ) = F(π) = − cos(π) = −(−1) = 1 Finalmente, vamos subtrair esses dois valores: F(b) − F(a ) = −1 − 1 = −2 2π ∫ sen(x) ⋅ dx = −2 π O valor negativo significa que a área está abaixo do eixo x. Nesse caso, o valor da área é igual a 2. A área cinza no gráfico abaixo corresponde à integral da função seno do ponto x=π até o ponto x=2π: PROPRIEDADES DA INTEGRAL DEFINIDA A integral definida de uma função apresenta as seguintes propriedades: a) b) b b a b a ∫ k ⋅ f (x) ⋅ dx = k ⋅ ∫ f (x) ⋅ dx a b c) b a c a b ∫ f (x) ⋅ dx = ∫ f (x) ⋅ dx + ∫ f (x) ⋅ dx para c entre a e b. a b d) b ∫ [f (x) + g(x)] ⋅ dx = ∫ f (x) ⋅ dx + ∫ g(x) ⋅ dx a c a ∫ f (x) ⋅ dx = −∫ f (x) ⋅ dx a b PÁGINA 15 CAPÍTULO 4 – INTEGRAL Vamos demonstrar a propriedade (d). Sabendo-se que: a b f ( x ) ⋅ dx = F(a ) − F(b) = −[F(b) − F(a )] = − f ( x ) ⋅ dx ∫ ∫ b a Portanto: b ∫ a ∫ f ( x ) ⋅ dx = − f ( x ) ⋅ dx a b EXEMPLO Calcular a integral da função: f (x) = x 2 Do ponto x=0 até o ponto x=2. SOLUÇÃO O objetivo do problema consiste em encontrar a integral definida: 2 ∫x 2 ⋅ dx 0 Conforme a propriedade (c), fazendo c=1, podemos separar essa integral em duas outras: 2 ∫ 1 2 ∫ ∫ 0 1 x 2 ⋅ dx = x 2 ⋅ dx + x 2 ⋅ dx 0 Onde: 1 ∫ 0 x3 x ⋅ dx = 3 2 ∫ 1 2 x 2 ⋅ dx = 1 0 3 2 x 3 = 13 0 3 1 − = 3 3 3 = 2 3 13 7 − = 3 3 3 1 O resultado é então dado por: 2 ∫x 0 2 ⋅ dx = 1 7 8 + = 3 3 3 MUDANÇA DE VARIÁVEL NA INTEGRAL DEFINIDA Quando mudamos a variável dentro da integral, o limite inferior e superior também devem mudar conforme a mudança de variável realizada. EXEMPLO Calcular a integral definida: π ∫ 2x ⋅ sen(x 2 ) ⋅ dx 0 SOLUÇÃO Primeiro devemos chamar: u = x2 du = 2 x ⋅ dx PÁGINA 16 CAPÍTULO 4 – INTEGRAL Conforme a variável u, os limites devem mudar para: Quando x = 0 , u = 0 . Quando x = π , u = π . Essa mudança de variável faz com que a integral se torne: π ∫ 2x ⋅ sen(x π 2 π ∫ ) ⋅ dx = sen(u ) ⋅ du = − cos(u ) 0 = [− cos(π)] − [− cos(0)] = 1 + 1 = 2 0 0 EXEMPLO Calcular a integral definida: 2 ∫ (x − 1) 2 ⋅ dx 1 SOLUÇÃO Primeiro devemos chamar: u = x −1 du = 1 ⋅ dx Usando a expressão da variável u, os limites devem mudar para: Quando x = 1 , u = 0 . Quando x = 2 , u = 1 . A mudança de variável faz com que a integral se torne: 2 ∫ 1 1 u3 ( x − 1) ⋅ dx = u ⋅ du = 3 2 ∫ 1 = 2 0 0 1 3 O CÁLCULO DE ÁREAS USANDO A INTEGRAL O cálculo de áreas através da integral definida pode nos levar a conclusões erradas se imaginarmos que o resultado sempre será a área total sob a função entre o limite inferior e o superior. EXEMPLO Calcular a integral da função abaixo no intervalo 0≤x≤2π: f ( x ) = sen ( x ) SOLUÇÃO O problema requer o cálculo da seguinte integral definida: 2π ∫ sen(x) ⋅ dx 0 O resultado é a primitiva: F( x ) = − cos(x ) Aplicando o limite inferior e o superior na primitiva: F(b) = F(2π) = − cos(2π) = −1 F(a ) = F(0) = − cos(0) = −1 Finalmente, vamos subtrair esses dois valores: F(b) − F(a ) = −1 − (−1) = 0 Então: 2π ∫ sen(x) ⋅ dx = 0 0 PÁGINA 17 CAPÍTULO 4 – INTEGRAL Se interpretarmos que essa é a área da função seno no intervalo de 0 a 2π então estaremos afirmando que o seu valor é igual a zero. Observando o gráfico da função, podemos constatar que a área não é realmente igual a zero: A área entre 0 a 2π é a soma dessas duas áreas cinza. Vamos analisar o problema aplicando a propriedade (c) da integral definida: 2π π 2π 0 0 π ∫ sen(x) ⋅ dx = ∫ sen(x) ⋅ dx + ∫ sen(x) ⋅ dx As duas integrais definidas são iguais a: π 2π 0 π ∫ sen(x) ⋅ dx = 2 e ∫ sen(x) ⋅ dx = −2 O resultado positivo na primeira integral significa que a área está acima do eixo x e tem valor igual a 2. O resultado negativo da segunda integral significa que a área está abaixo do eixo x e também tem valor igual a 2. Matematicamente, o que está acontecendo nesse caso é que as áreas estão se cancelando por causa do sinal que indica se estão acima ou abaixo do eixo x. Na realidade, o sinal que aparece no resultado da integral definida deve ser desconsiderado no cálculo da área. Dessa forma, a área sob a função seno no intervalo de 0 a 2π é igual a 4. Sob uma forma mais geral, a área da função num intervalo dado pode ser calculada pela seguinte integral definida: b ∫ A = f ( x ) ⋅ dx a O módulo da função f(x) faz com que a integral definida tenha sempre valor positivo já que as áreas sempre estarão acima do eixo x: Função f(x) Módulo da função f(x) PÁGINA 18 CAPÍTULO 4 – INTEGRAL A INTEGRAL E O CÁLCULO DE VOLUMES Além de áreas, podemos calcular volumes de sólidos de revolução através da integral. Os chamados sólidos de revolução são aqueles cuja rotação de uma figura plana em torno de um eixo produz um sólido tridimensional. O exemplo mais simples de um sólido de revolução é o cilindro: O cilindro pode ser construído a partir da rotação de um retângulo em relação a um dos seus lados. O seu volume é dado pela seguinte fórmula: V = A base ⋅ h = π ⋅ r 2 ⋅ h Onde r é o raio da base e h é a altura do cilindro. O cálculo de volumes por integral baseia-se na aproximação do volume de um sólido de revolução qualquer pela somatória dos volumes de cilindros. Por exemplo, considere a função f ( x ) = ax cujo gráfico no intervalo 0≤x≤h é mostrado abaixo: Ao girarmos o retângulo cinza em relação ao eixo x, o volume do cilindro formado será: Vcilindro = π ⋅ r 2 ⋅ h = π ⋅ [f ( x )] 2 ⋅ ∆x A somatória de todos os volumes dos n cilindros entre 0 e h é dada por: n ∑ π ⋅ [f (x i )]2 ⋅ ∆x i =1 Tomando o limite dessa soma quando ∆x → 0 teremos o volume exato da figura correspondente à rotação do triângulo cinza em torno do eixo x: V = lim ∆x →0 n ∑ π ⋅ [f (x i )]2 ⋅ ∆x i =1 PÁGINA 19 CAPÍTULO 4 – INTEGRAL Conforme a figura, a revolução do triângulo em relação ao eixo x produz um cone: O raio da base desse cone é dado por: r = f (h ) = a ⋅ h Dessa relação concluímos que: a= r h Sabemos que o volume dado pelo limite anterior representa a seguinte integral definida: h ∫ V = π ⋅ [f ( x )]2 ⋅ dx 0 Fazendo f ( x ) = ax , a integral se torna: h h x3 V = π ⋅ (ax ) ⋅ dx = a ⋅ π ⋅ x ⋅ dx = a ⋅ π ⋅ 3 ∫ 2 0 2 ∫ 2 0 h = a2 ⋅ π⋅ 2 0 h3 3 Substituindo o valor de a no resultado final da integral, teremos o volume do cone: 2 h3 1 r V =  ⋅π⋅ = ⋅ π⋅ r2 ⋅ h 3 3 h Essa é a famosa equação para o cálculo do volume de um cone que aprendemos no curso inicial de geometria plana e espacial. EXEMPLO A equação de meia circunferência de raio r é dada por: f (x) = r 2 − x 2 O gráfico dessa função é mostrado abaixo: Encontrar o volume do sólido de revolução dessa função em torno do eixo x. PÁGINA 20 CAPÍTULO 4 – INTEGRAL SOLUÇÃO Conforme o gráfico, a revolução da função f(x) em torno do eixo x produzirá uma esfera. O volume dessa figura geométrica é calculado pela seguinte integral: r ∫ V = π ⋅ [f ( x )]2 ⋅ dx −r Substituindo o valor da função na integral: r 2 V = π ⋅  r 2 − x 2  ⋅ dx   ∫ −r r ∫ V = π ⋅ (r 2 − x 2 ) ⋅ dx −r Aplicando as propriedades da integral: r r ∫ ∫ V = π ⋅ r ⋅ 1 ⋅ dx − π ⋅ x 2 ⋅ dx 2 −r r V = π ⋅ r 2 ⋅ x −r − π ⋅ −r 3 r x 3 −r  r 3 (−r ) 3  V = π ⋅ r 2 ⋅ [r − (−r )] − π ⋅  −  3   3 2 ⋅ π ⋅ r3 4 V = 2 ⋅ π ⋅ r3 − = ⋅ π ⋅ r3 3 3 Essa é a equação para o cálculo do volume de uma esfera que aprendemos no curso de geometria plana e espacial. APLICAÇÕES DO CONCEITO DE INTEGRAL No capítulo de derivadas, encontramos as seguintes relações entre a posição s(t), a velocidade v(t) e a aceleração de um objeto se movimentando em MUV: ds dt dv a(t) = dt v( t ) = Essas equações significam que basta conhecermos a expressão da posição do móvel em função do tempo para calcularmos a sua velocidade e aceleração através da derivada. PÁGINA 21 CAPÍTULO 4 – INTEGRAL Por outro lado, se conhecermos a expressão da aceleração do móvel em função do tempo então também podemos calcular a sua velocidade e posição através das integrais: ∫ s( t ) = ∫ v( t ) ⋅ dt v( t ) = a ( t ) ⋅ dt No MUV, por exemplo, a aceleração do móvel é constante, ou seja: a(t) = a Dessa forma, a velocidade do móvel é dada por: ∫ v( t ) = a ⋅ dt = a ⋅ t + C Quando t = 0 s, o valor de v(0) é chamado velocidade inicial e é representado por v0: v ( 0) = v 0 = a ⋅ 0 + C v0 = C Portanto: v( t ) = v 0 + a ⋅ t Sendo a velocidade instantânea dada pela expressão acima, então a posição do móvel é dada pelo seguinte cálculo: ∫ ∫ s( t ) = v( t ) ⋅ dt = ( v 0 + a ⋅ t ) ⋅ dt = v 0 ⋅ t + a ⋅ t2 +C 2 Quando t = 0 s, o valor de s(0) é chamado posição inicial e é representado por s0: s(0) = s 0 = v 0 ⋅ 0 + s0 = C a ⋅ 02 +C 2 Dessa forma, temos que: s( t ) = s 0 + v 0 ⋅ t + a ⋅ t2 2 INTEGRAIS NO MATHEMATICA Integrais podem ser facilmente calculadas no Mathematica através dos comandos: • Integrate[função, variável de integração]: esse comando calcula a integral indefinida da função dada dentro dos colchetes em relação à variável de integração. EXEMPLO Integrate[Sin[x],x] Integrate[a^2,a] Integrate[Exp[z]*Sin[z],z] • Integrate[função, {variável de integração, mín, máx}]: esse comando calcula a integral definida dada por: máx ∫ f (x) ⋅ dx , se a variável de integração for x. mín EXEMPLO Integrate[Sin[x],{x,-Pi,Pi}] Integrate[a^2,{a,0,1}] Integrate[Exp[z]*Sin[z],{z,0,1}] PÁGINA 22 CAPÍTULO 4 – INTEGRAL • Integrate[Abs[função], {variável de integração, mín, máx}]: esse comando calcula a área total sob a função dada pela integral: máx ∫ f (x) ⋅ dx , se a variável de integração for x. mín EXEMPLO Integrate[Abs[Sin[x]],{x,0,Pi}] Integrate[Abs[a^3],{a,-1,1}] Essa integral torna positivas as partes negativas da função f(x), evitando o cancelamento das áreas por causa do sinal. • Integrate[Pi*função^2, {variável de integração, mín, máx}]: esse comando calcula o volume do sólido de revolução, em torno do eixo x, dado pela integral: máx ∫ π ⋅ [f (x)] 2 ⋅ dx , se a variável de integração for x. mín EXEMPLO Integrate[Pi*(a*x)^2,{x,0,h}] Integrate[Pi*(Sqrt[r^2-x^2])^2,{x,-r,r}] PÁGINA 23