Transcript
La integral definida
Partición de un intervalo cerrado:
Suma de Riemann:
La integral definida:
Teorema:
Área:
Ejercicios resueltos
" "
" "
" "
" "
" "
" "
" "
" "
" "
" "
" "
" "
" "
" "
" "
" "
S o l u c i o n e s
" " "
" " "
" " "
" " "
Propiedades de la integral definida
Ejercicios resueltos
" "
" "
" "
" "
" "
" "
" "
" "
" "
S o l u c i o n e s
ANUNCI
O
Teorema del valor medio para la integral definida
La siguiente propiedad de la integral definida sirve de base para
demostrar el Primer Teorema fundamental del cálculo.
Ejercicios resueltos
" "
"En los ejercicios 3 a 6, utilice le Teorema del valor medio para la "
"integral definida, PID11, para demostrar la desigualdad dada. "
" "
" "
" "
S o l u c i o n e s
Teoremas fundamentales del cálculo
Primer teorema fundamental del cálculo:
Segundo teorema fundamental del cálculo:
" Ejercicios resueltos "
" "
"En los ejercicios 1 a 14, evalúe la integral definida. "
"En los ejercicios 15 a 21, calcule la derivada. "
"Nota: para resolver los ejercicios es necesario conocer algunas "
"técnicas de integración, por el momento sólo es indispensable aprender"
"la integración directa y la integración por sustitución. "
" "
" "
" "
" "
" "
" "
" "
" "
" "
" "
S o l u c i o n e s
Integración numérica
Para calcular la integral definida, aplicando el Teorema Fundamental
del Cálculo, es preciso obtener previamente una integral indefinida. Aunque
se conocen diversos métodos para hallar la integral indefinida de una
cantidad considerable de funciones, existen funciones para las cuales estos
métodos no son aplicables. Este inconveniente se supera haciendo uso de la
integración numérica. La integración numérica permite evaluar la integral
definida de una función continua en un intervalo cerrado con la exactitud
deseada. En este apartado vamos a estudiar dos métodos de integración
numérica: la Regla del trapecio y la Regla de Simpson (debida a Thomas no a
Homero).
" Ejercicios resueltos "
" "
"En los ejercicios 1 a 3, use (a) la Regla del Trapecio y (b) la Regla "
"de Simpson, con el valor de n indicado para estimar las integrales "
"definidas. Aplique valores aproximados de f (xk) que tengan una "
"precisión de cuatro decimales y redondee las respuestas a dos "
"decimales. "
"Ninguna de las integrales definidas de los ejercicios 4 a 6 puede ser "
"evaluada exactamente en términos de funciones elementales. Utilice la "
"Regla de Simpson, con el valor de n que se indica, para determinar un "
"valor aproximado de la integral definida dada. Exprese el resultado con"
"tres cifras decimales. "
" " " "
" " " "
S o l u c i o n e s
ANUNCI
O
Área de una región en el plano
" Ejercicios resueltos "
" "
"En los ejercicios 1 a 14, encuentre el área de la región limitada "
"por las curvas dadas. En cada problema haga lo siguiente: (a) trace "
"una figura que muestre la región, así como un elemento rectangular "
"de área; (b) exprese el área de la región como el límite de una suma"
"de Riemann; (c) determine el límite de la parte (b) evaluando una "
"integral definida por el segundo teorema fundamental del cálculo: "
" "
" "
" "
" "
" "
S o l u c i o n e s
" " "
" " "
" " "
" " "
Longitud de arco de la gráfica de una función
Si la derivada de la función f, f ', es continua en el intervalo
[a, b], se dice que f es alisada en dicho intervalo.
" Ejercicios resueltos "
" "
" "
" "
" "
" "
" "
S o l u c i o n e s
" " "
" "
" " "
" " "
" " "
" " "
Longitud de arco de la gráfica de una función
Si la derivada de la función f, f ', es continua en el intervalo
[a, b], se dice que f es alisada en dicho intervalo.
" Ejercicios resueltos "
" "
" "
" "
" "
" "
" "
S o l u c i o n e s
" " "
" "
" " "
" " "
" " "
" " "
Técnicas de integración
Integración directa
Integración por sustitución
Integración por partes
Potencias de las funciones trigonométricas
Sustitución trigonométrica
Integración de funciones racionales, por fracciones parciales, cuando
el denominador sólo tiene factores lineales
Integración de funciones racionales, por fracciones parciales, cuando
el denominador contiene factores cuadráticos
Integrales en las que aparecen expresiones cuadráticas
Integrales que producen funciones trigonométricas inversas
Misceláneas de ejercicios
ANUNCI
O
Integración directa
De cada regla de derivación se puede deducir una regla correspondiente de
integración. La integración directa es aplicable cuando identificamos la
función primitiva de forma inmediata; esto es, cuando conocemos la regla de
derivación que al aplicarla nos permite hallar el integrando a partir de la
función primitiva.
Ejemplo:
" Propiedades fundamentales de la antidiferenciación "
" "
"Esta propiedad indica que podemos sacar un factor constante de la "
"integral. "
" "
" "
" " "
" "
" " "
" " "
" " "
" " "
" " "
" " "
" " "
" " "
" " "
" " "
" Ejercicios resueltos "
" Efectúe las operaciones de antidiferenciación que se indican,"
"aplicando las propiedades correspondientes en cada caso: "
" " " "
" " " "
" " " "
" " " "
S o l u c i o n e s
1. Solución:
2. Solución:
3. Solución:
4. Solución:
5. Solución:
6. Solución:
7. Solución:
Integración directa
De cada regla de derivación se puede deducir una regla correspondiente de
integración. La integración directa es aplicable cuando identificamos la
función primitiva de forma inmediata; esto es, cuando conocemos la regla de
derivación que al aplicarla nos permite hallar el integrando a partir de la
función primitiva.
Ejemplo:
" Propiedades fundamentales de la antidiferenciación "
" "
"Esta propiedad indica que podemos sacar un factor constante de la "
"integral. "
" "
" "
" " "
" "
" " "
" " "
" " "
" " "
" " "
" " "
" " "
" " "
" " "
" " "
" Ejercicios resueltos "
" Efectúe las operaciones de antidiferenciación que se indican,"
"aplicando las propiedades correspondientes en cada caso: "
" " " "
" " " "
" " " "
" " " "
S o l u c i o n e s
1. Solución:
2. Solución:
3. Solución:
4. Solución:
5. Solución:
6. Solución:
7. Solución:
ANUNCI
O
Integración por partes
La fórmula para la "integración por partes", se deduce a partir de la
regla de la derivada de un producto de funciones. Veamos:
" Ejercicios resueltos "
" En los ejercicios siguientes efectúe la integral "
"indefinida: "
" " " "
" " " "
" " " "
" " " "
S o l u c i o n e s
1. Solución:
2. Solución:
3. Solución:
4. Solución:
5. Solución:
6. Solución:
7. Solución:
8. Solución:
ANUNCI
O
Potencias de las funciones trigonométricas
En este apartado aprenderemos a integrar funciones que presentan
potencias trigonométricas, es decir, funciones con alguna de las siguientes
formas:
Para tal efecto es conveniente tener frescas en la memoria las siguientes
identidades trigonométricas:
" Identidades trigonométricas "
" " " " "
" " " "
" " "
Por lo regular, una vez concluimos con las transformaciones
trigonométricas adecuadas, el integrando queda expedito para aplicar la
integración por sustitución. En otros casos debemos recurrir a la
integración por partes.
" Ejercicios resueltos "
" "
" En los siguientes ejercicios evalúe la integral indefinida: "
" " " "
" " " "
" " " "
" " " "
" " " "
S o l u c i o n e s
1. Solución:
2. Solución:
3. Solución:
4. Solución:
5. Solución:
6. Solución:
7. Solución:
8. Solución:
9. Solución:
10. Solución:
11. Solución:
12. Solución:
13. Solución:
14. Solución:
ANUNCI
O
Sustitución trigonométrica
A menudo es posible hallar la antiderivada de una función cuando el
integrando presenta expresiones de la forma:
Se elimina el radical haciendo la sustitución trigonométrica pertinente; el
resultado es un integrando que contiene funciones trigonométricas cuya
integración nos es familiar. En la siguiente tabla se muestra cuál debe ser
la sustitución:
"Expresión en el "Sustitución "
"integrando "trigonométrica "
" " "
" " "
" " "
" Ejercicios resueltos "
" "
"En los siguientes ejercicios, obtenga la integral indefinida: "
" " " "
" " " "
" " " "
S o l u c i o n e s
" " "
Sustituyendo estos valores en (1), se obtiene:
" " "
" "(Fig.1) "
Sustituyendo estos valores en (1), se obtiene:
" " "
" " "
Integración de funciones racionales, por fracciones parciales, cuando el
denominador sólo tiene factores lineales
" Ejercicios resueltos "
" "
"En los siguientes ejercicios, obtenga la integral indefinida: "
" " " "
" " " "
" " " "
S o l u c i o n e s
ANUNCI
O
ANUNCI
O
ANUNCI
O
Integración de funciones racionales, por fracciones parciales, cuando el
denominador contiene factores cuadráticos
" Ejercicios resueltos "
" " " "
" " " "
S o l u c i o n e s
ANUNCI
O
Integrales en las que aparecen expresiones cuadráticas
De la descomposición de fracciones parciales a veces resultan integrandos
con expresiones cuadráticas ireductibles. De la integración de este tipo de
funciones nos ocuparemos en los siguientes ejercicios resueltos.
" Ejercicios resueltos "
"En los siguientes ejercicios evalúe la integral indefinida "
" " " "
S o l u c i o n e s
ANUNCI
O
ANUNCI
O
Integrales que producen funciones trigonométricas inversas
Como ya se ha dicho antes, de cada fórmula de derivación se deduce una
fórmula correspondiente de integración. De las fórmulas para las derivadas
de las funciones trigonométricas inversas, obtenemos el siguiente teorema
que da algunas fórmulas de integrales indefinidas:
" Ejercicios resueltos "
"Evalúe la integral indefinida: "
" " " "
" " " "
S o l u c i o n e s
Misceláneas
"Miscelánea1 " "
"Miscelánea2 " "
"Miscelánea3 " "
"(Fórmulas de " "
"reducción) " "
" " "
Miscelánea1
" " "
" " " "
" " " "
" " " "
" " " "
" " " "
S o l u c i o n e s
1. Solución:
2. Solución:
3. Solución:
4. Solución:
5. Solución:
6. Solución:
7. Solución:
8. Solución:
Miscelánea2
" " " "
" " " "
" " " "
S o l u c i o n e s
ANUNCI
O
Miscelánea3
"En los siguientes ejercicios deduzaca las fórmulas de reducción "
"dadas: "
" "
" "
" "
" "
" "
S o l u c i o n e s
ANUNCI
O
Integrales impropias
Las denominadas integrales impropias son una clase especial de integrales
definidas (integrales de Riemann) en las que el intervalo de integración o
la función en el integrando o ambos presentan ciertas particularidades.
si los límites existen.
Cuando los límites, en las definiciones anteriores, existen, se dice que la
integral es convergente, en caso contrario, se dice que la integral es
divergente.
" Ejercicios resueltos "
" "
"En los ejercicios 1 a 14, si la integral es convergente, evalúela. "
" "
" "
" "
S o l u c i o n e s
ANUNCI
O
ANUNCI
O
ANUNCI
O
Tablas de integrales
" " "
" " "
" " "
" " "
" " "
" " "
" " "
" " "
" " "
" " "
" " "
" " "
" " "
" " "
" " "
" " "
" " "
" " "
" " "
" " "
" " "
" " "
" " "
" " "
" " "
" " "
" " "
" " "
" " "
" " "
" " "
" " "
" " "
" " "
" " "
" " "
" " "
" " "
" " "
" " "
" " "
" " "
" " "
" " "
" " "
" " "
" " "
" " "
" " "
" "
" "
" "
" "
" "
" "
" "
" "
" "
" "
" "
" "
" "
" "
" "
" "
" "
" "
" "
" "
" "
" "
" "
" "
" "
" "
" "
" "
" "
" "
" "
" "
" "
" "
" "
" "
" "
" "
" "
" "
" "
" "
" "
" "
" "
" "
" "
" "
" "
" "
Miscelánea de ejercicios de cálculo integral
" "
" "
" " " "
S o l u c i o n e s
1. Solución:
" " "
2. Solución:
"+ " "
3. Solución:
4. Solución:
A
NUNCIO
Ejercicios 6.1(a)
1. Obtenga la fórmula del volumen de una esfera de radio r con el método
de rebanado.
" " "
" "(fig.1) "
" " "
" " "
" "(fig.2) "
ANUNCI
O
ANUNCI
O
