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SALA: 214
Cálculo Diferencial e Integral B Sexta Feira
4a Aula
Integrais Indefinidas Integração por Partes
Códigos: T1106 B / T6003 B / T9003 Turma:
MEC108AN
Prof. HANS-ULRICH PILCHOWSKI
Versão: 1o Semestre de 2009
Prof. Hans-Ulrich Pilchowski
Notas de aula
Cálculo Diferencial e Integral B
Integração por Partes Sabendo-se que a diferencial do produto u ⋅ v , onde u = u ( x ) e v = v( x ) , é du d (uv ) dv d (uv ) = vdu + udv , pois d (uv ) = dx = v + u dx dx dx dx [ du dv d (uv ) = v dx + u dx = vdu + udv . dx dx
Então, pode escrever-se
d (uv ) = vdu + udv ⇒ d (uv ) − vdu = udv ⇒ udv = d (uv ) − vdu , e integrando esta última, obtém-se a fórmula usada para integrar por partes, isto é,
∫ u.dv = ∫ d (u.v ) − ∫ v.du
⇒
∫ u.dv
= d (u.v ) − ∫ v.du + C
, Exemplo: Integrar y = ∫ xe dx , usando agora o método da integração por partes. x
Solução:
∫ xe
x
u = x dx onde se escolhe x dv = e dx
u = x ⇒ du = dx assim, x x x , dv = e dx ⇒ v = ∫ e dx = e
obtém-se:
∫ xe
x
dx = xe x − ∫ e x dx = xe x − e x = e x ( x − 1) + C ,
porém, se a escolha de u e de dv for feita de maneira não conveniente, então, ao invés obter-se a solução obtém-se uma integral mais difícil de ser resolvida do que a original. O que será mostrado no seguinte contra exemplo, no mesmo exercício, isto é,
u = e x ⇒ du = e x dx x ∫ xe dx onde dv = xdx ⇒ v = xdx = x 2 , ∫ 2 assim
1
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x ∫ xe dx =
onde
x2 x x2 e − ∫ e x dx , 2 2
x2 x ∫ 2 e dx é mais difícil de ser resolvida do que
Exemplo:
Integração por partes
Integrar
∫ x sen x dx .
∫ xe
x
dx .
Escolhe-se como dv a parte integrável,
dv = sen ( x )dx ⇒ v = − cos( x ) u = x ⇒ du = dx . Substituindo na fórmula de integração por partes vem:
∫ x sen x dx = − x cos(x ) − ∫ − cos(x )dx = ∫ cos(x )dx − x cos(x ) = sen (x ) − x cos(x ) + c Exercícios resolvidos: 1) Integrar
∫ x sec
2
x dx . Escolhe-se como dv a parte integrável,
dv = sec 2 ( x )dx ⇒ v = tan ( x ) u = x ⇒ du = dx . Substituindo na fórmula de integração por partes vem:
∫ x sec 2)
2
x dx = x tan ( x ) − ∫ tan ( x )dx = x tan ( x ) + ln cos( x ) + c
∫ ln x dx
(Integrar por integração por partes).
u = ln( x ) ⇒ du =
1 dx x
dv = dx ⇒ v = x . Substituindo na fórmula de integração por partes vem: 1
∫ ln ( x ) dx = xl n (x ) − ∫ x x dx = xln ( x ) − ∫ dx = xl n (x ) − x + c = x[ln ( x ) − 1] + c 3)
∫
sen
( x ) cos ( x ) dx
u = sen ( x ) ⇒ du =
(Integrar por integração por partes). cos ( x ) 2 sen ( x )
dx
dv = cos ( x )dx ⇒ v = sen ( x ) . Substituindo na fórmula de integração por partes vem:
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Notas de aula
∫
sen ( x ) cos ( x ) dx = sen ( x ) sen ( x ) − ∫
∫
sen ( x ) cos ( x ) dx =
∫
sen ( x ) cos ( x ) dx +
sen 3 ( x ) −
4)
sen ( x ) cos ( x )dx =
∫x
3
sen ( x )cos ( x )dx 2 sen ( x )
1 sen ( x ) cos ( x )dx 2∫
1 sen ( x ) cos ( x )dx = 2∫
1 1 + ∫ sen ( x ) cos ( x )dx = 2
∫
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⇒
sen 3 ( x )
sen 3 ( x ) 3 sen ( x ) cos ( x )dx = 2∫
sen 3 ( x )
2 sen 3 ( x ) + C 3
( )
cos x 2 dx (Integrar por integração por partes).
u = x2
( )
( )
⇒ du = 2 xdx e dv = x cos x 2 dx ⇒ v = ∫ x cos x 2 dx .
dt 1 dt ⇒ v = ∫ x cos (t ) 2x 2 x 1 v = ∫ cos(t )dt ⇒ v = sen (t ) ⇒ v = sen x 2 2 1 Assim, dv = x cos x 2 dx ⇒ v = sen x 2 . Substituindo na fórmula de integração: 2
faz-se x 2 = t ⇒ 2 xdx = dt ∴ dx =
( )
( )
∫
( )
( )
2 x2 sen x 2 − 2 2
( )
( )
∫
x sen x 2 dx
faz-se novamente x 2 = t ⇒ 2 xdx = dt ∴
1 t cos (t )dt 2∫
x 3 cos x 2 dx =
∫x ∫
( )
sen x 2 dx =
1 2
( )
x 3 cos x 2 dx =
∫
x sen (t )
x2 sen 2
dt 1 1 = cos (t ) = cos x 2 , substituindo x 2 2
( )
(x ) − 2
1 1 cos x 2 = x 2 sen 2 2
( )
[
(x ) + 2
( )] + c
cos x 2
Porém, se a substituição de variável for feita antes de resolver-se por partes a solução fica bem mais simples:
∫x
3
( )
cos x 2 dx =
1 2
∫
( )
x 2 cos x 2 . ( 2 x dx )
1 t cos (t )dt 2∫ u = t ⇒ du = dt e dv = cos(t )dt ⇒ v = sen (t ) substituindo
faz-se x 2 = t ⇒ 2 xdx = dt ∴
1 1 1 1 1 t cos(t )dt = t sen(t ) − ∫ sen(t )dt = [t sen(t ) + cos(t )] + c = x 2 sen x 2 + cos x 2 + c ∫ 2 2 2 2 2
[
( )
( )]
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5)
∫ arcsen (x ) dx
Integração por partes
(Integrar por integração por partes).
u = arcsen ( x ) ⇒ du =
1 1− x2
dx
dv = dx ⇒ v = x . Substituindo na fórmula de integração por partes vem:
∫ arcsen (x ) dx = x arcsen (x ) − ∫
∫ arcsen (x ) dx = x arcsen (x ) − ∫
1
xdx 1− x2
xdx
⇒
1− x2
xdt
∫ arcsen (x ) dx = x arcsen (x ) + 2 ∫ x
t
2 t =1− x dt = − 2 xdx dt dx = − 2 x
= x arcsen ( x ) +
1 −1 2 t dt 2∫
1 xdt 1 t1 2 ∫ arcsen (x ) dx = x arcsen (x ) + 2 ∫ x t = x arcsen (x ) + 2 1 2
∫ arcsen (x ) dx = x arcsen (x ) +
1− x2 + C
Outros exercícios: Exercício: Resolver a integral indefinida por troca de variável
∫x
2
cos 2 ( x )dx por
1 (1 + cos (2 x )) 2 x3 x2 x 1 2 2 x cos ( x ) dx = − sen (2 x ) − cos (2 x ) + sen (2 x ) + C ∫ 6 4 4 8
partes, onde cos 2 ( x ) =
Exercício: Resolver a integral indefinida por troca de variável partes., onde e
∫ sec (x )dx 3
por
∫ sec (x )dx = tan (x ) , tan (x ) = sec (x ) − 1 2
2
2
d (sec (x )) = sec (x ) tan (x ) dx 1 3 ∫ sec (x )dx = 2 [sec (x ) tan (x ) + ln(sec (x ) + tan (x ))] + C 4
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Notas de aula
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Exercício: Resolver a integral indefinida por troca de variável
∫e
ax
cos (bx )dx por
partes. ax ∫ e cos (bx )dx =
e ax [a sen (x ) + b cos (x )] + C a2 + b2
Exercício: Resolver a integral indefinida por troca de variável
∫ x ln(x )dx n
por
partes. n ∫ x ln(x )dx =
x n +1 [ln (x ) + +1] + C n +1
Exercício: Resolver a integral indefinida por troca de variável v = ∫ tan (θ ) dθ por partes.
Exercício: Resolver a integral indefinida s = 2 ∫
tdt por partes. t +4 2
Exercício: Resolver a integral indefinida y = 5 ∫ x 2 l n ( x )dx por partes.
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