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SALA: ___
Cálculo Diferencial e Integral B Sexta Feira
2a Aula
Introdução Integrais Indefinidas
Códigos: T1106 B / T6003 B / T9003 Turma: MEC108AN
Prof. HANS-ULRICH PILCHOWSKI
Versão: 1o Semestre de 2009
Prof. Hans-Ulrich Pilchowski
Notas de aula
Cálculo Diferencial e Integral B
Integral Indefinida Introdução Na matemática freqüentemente ocorre conhecer-se a derivada de uma função, e desejards se encontrar a função que a gerou. Por exemplo, conhecendo-se a velocidade v = dt de uma partícula e deseja encontrar-se sua posição em determinado instante "t " , isto é, s = f ( t ) . Para resolver esse problema é necessário “desfazer” a derivação (ou diferenciação), isto é, tem-se de antiderivar a função. Definição: Uma função F ( x ) é denominada uma antiderivada de f ( x ) sobre um intervalo I se d F (x ) = f ( x ) para todo x em I . dx
Por exemplo, seja a função f ( x ) = x . Não é difícil descobrir uma anti derivada de 1 f ( x ) caso se mantiver a regra da potência em mente. De fato se F ( x ) = x 2 , então 2 1 2 d F (x ) d G (x ) = x = f ( x ) . Mas, a função G ( x ) = x + 2 também satisfaz = x. 2 dx dx Conseqüentemente, ambas F ( x ) e G ( x ) são antiderivadas de f ( x ) . Assim, qualquer 1 função do tipo H ( x ) = x 2 + C , onde C é uma constante, é uma antiderivada de f ( x ) . 2
Porém, a questão é: Afora esta família de antiderivas existem outras ? Lembrando que o Teorema do Valor Médio prova que se duas funções possuem derivadas idênticas, em um intervalo, então elas diferem apenas por uma constante. Assim, se F ( x ) e G ( x ) são duas antiderivadas quaisquer de f ( x ) , então d F (x ) d G (x ) = f (x ) = dx dx
logo F ( x ) − G ( x ) = C , onde C é uma constante, ou seja, G ( x ) = F ( x ) + C . Assim, pode escrever-se:
Teorema: Se F ( x ) for uma antiderivada de f ( x ) em um intervalo I , então a antiderivada mais geral de f ( x ) em I é
F (x ) + C onde C é uma constante Arbitrária.
Exemplo: Tomando a função y = x 2 + 5 , sua derivada é obtida, multiplicando-se a variável x pelo expoente 2 e em seguida subtraindo uma unidade do expoente de x , ou seja d y = 2 x e a sua diferencial é dy = d y dx , isto é, dy = 2xdx. Finalmente, a operação dx
dx
inversa é definida pela soma de uma unidade ao expoente da variável x , dividindo-a 1
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Integrais indefinidas
por esse novo expoente e somando-se uma constante aleatória C à expressão obtida, que representa a constante 5 que desapareceu durante a derivação. Desta forma, a antiderivada (de 2 x ) = 2 x + C = x 2 + C . Note-se que a função recuperada contém 2 1+1
2 uma constante indeterminada, que se for derivada d (x + C ) = 2 x será a mesma derivada
dx
da qual foi iniciada a antiderivada.
Integral Indefinida de funções de uma variável Necessita-se de uma notação conveniente para as antiderivadas, que as torne fáceis de serem manipuladas. Assim, tradicionalmente adota-se para a antiderivada de antiderivada a denominação Integral Indefinida e cuja notação é ∫ f ( x ) dx .
Integral Indefinida de funções de uma variável do tipo x n Se a derivada de uma função é dy = xn , sua diferencial dy será dy = xndx e sua integral dx
(antiderivada)
∫ dy = y = ∫ x ∫
n
dx + C , que resultará em
x n +1 +C + n 1 x n dx + C = ln ( x ) + C
para n ≠ −1
(01) para n = −1
Observação: Note-se que a primeira expressão não é válida para n = −1 , pois ter-se-ia
∫
x − 1 dx =
x0 1 = = ∞ , isto é, a integral não seria definida e real. Para resolver-se este 0 0
problema foi necessário partir da função cuja derivada fosse igual a
1 , isto é, x
d [ln (x )] = 1 . dx x
Propriedade das integrais indefinidas: a)
∫ f ′( x ) dx + c = f (x ) + c
b)
∫ dx+ c = x + c
c)
∫ af ( x ) dx
= a ∫ f ( x ) d x sendo a uma constante.
2
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∫ [af ( x ) + bg ( x )] dx
d)
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= a ∫ f ( x ) d x + b ∫ g ( x ) d x (distributiva).
A expressão 01 é uma das mais usadas no cálculo integral, pois muitas integrais podem ser resolvidas por esta fórmula, pois n pode assumir qualquer valor positivo ou negativo, inteiro ou fracionário.
Principais Fórmulas de Integrais
∫ ∫
1)
x n +1 + C para n ≠ − 1 n +1 dx x −1 dx = = l n (x ) + C x
x n dx =
∫
1
2)
∫ sen (ω x ) dx = − ω
3)
∫ cos (ω x ) dx = ω
4)
∫e
5)
∫ ln (ax )dx
1
ax
dx =
cos (ω x ) + C
sen (ω x ) + C
1 ax e +C a = x ln (ax ) − x + C
Exercícios: 1) I = ∫ x 5 dx =
x6 +C 6
2) y = ∫ n x m dx = 3) s = ∫ 5 r dr 4) z = ∫
5) I =
6)
t5 t t
∫
y=∫
2
=
dt =
n n+m
5r 6
5
n
x n+m + C
r +C
2 t t +C 3
kdx k = − 6 +C 7 s 6s
x 2 dx 3
x
=
3 23 2 x x +C 8
3
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1 2x e +C 2
7)
∫
e 2 x dx =
8)
∫
7 e 3 x dx =
9)
∫ sen (5 x ) dx = − 5 cos (5 x ) + C
10)
∫ cos (6 x ) dx = 6
11)
∫ 3 sen (4 x ) dx = − 4 cos (4 x ) + C
12)
∫ 9 cos (3 x ) dx = 3 sen (3 x ) + C
7 3x e +C 3 1
1
sen (6 x ) + C
3
Outros exercícios: 13)
∫ x (x
2
)
3
+ 2 dx =
1 2 x +2 8
(
)
4
+C
Problemas deste tipo podem ser resolvidos por substituição de variáveis. Assim, em
∫ (
)
s
x p x q + a dx substitui-se x q + a por uma variável u , isto é,
expressões do tipo
u = x q + a , determina-se a diferencial dessa nova variável, du = qx q −1 dx , para obter-se du dx em função dessa, ou seja, dx = e substitui-se estas na integral, como segue: qx q −1
∫x
p
du 1 = ∫ u s x p − q +1du q −1 q q.x
⋅u
⇒ para que a variável x desapareça da expressão,
p deve ser igual a 1 − q , isto é, p = q − 1 . Então, p − q + 1 = 0 e a integral, resulta em
(
)
s +1
1 0 s 1 s 1 u s +1 u s +1 xq + a x u du = u du = ⋅ = = +C q q q s + 1 q ⋅ (s + 1) q ⋅ (s + 1)
∫
∫
Note-se que o expoente “ s ” e a constante “ a ” são quaisquer. 14) ∫ t 3 ( t 4 + K
8
dt =
( )
15)
∫ 3x
16)
∫ x sen (4 x
2
)
1 4 t +K 36
(
)
9
+C
( )
cos x 3 dx = sen x 3 + c 2
)
+ 1 dx = −
1 cos 4 x 2 + 1 + c 8
(
)
4
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1a LISTA DE EXERCÍCIOS Exercícios a serem entregues na 3a aula: em 20.02.2009, no momento em que entrar na sala de aula 5 1o Exercício: Resolver a integral y ( x ) = ∫ 3 x 2 − + x dx x
1 2o Exercício: Resolver a integral s (t ) = ∫ 3t + 2 t 2 + 3 + 4 dt t o
3 Exercício: Resolver a integral y (s ) = ∫
8 s3 + 3 4s 5
ds
5
