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SALA: 214
Cálculo Diferencial e Integral B Sexta Feira
10a Aula
Integrais definidas Área entre duas funções
Códigos: T1106 B / T6003 B / T9003 Turma:
MEC108AN
Prof. HANS-ULRICH PILCHOWSKI
Versão: 1o Semestre de 2009
Prof. Hans-Ulrich Pilchowski
Notas de aula
Cálculo Diferencial e Integral B
A integral definida para cálculo de áreas entre duas funções Teorema: A área entre duas funções quaisquer f ( x ) e g ( x ) em um intervalo [ a, b ], como mostra a figura a seguir, é dado por:
f (x )
Y A
g (x )
a A=∫
b a
b
X
f ( x ) − g ( x ) dx e é sempre positiva.
Exemplo: Achar a área entre as curvas y = x 3 e y = x . Y
f (x ) = x 3
g (x ) = x
A
a
b
X
Solução: Primeiro resolva o sistema y = x3 = x6 = x →
x(x5 – 1) = 0 →
x para achar os limites de integração.
x=0 e x=1
satisfazem a equação. 1
A=
∫
x − x 3 dx
pode integrar e depois tomar o módulo.
0 1
A = ∫ (x 0
1/ 2
)
1
− x 3 dx = 2 x − x = 2 - 1 = 8 − 3 = 5 4 0 3 4 12 12 3 3/ 2
4
Exemplo: Calcule a área entre os gráficos de y = x + 2 e y = x2. y y=x2
-1
y=x+2
0
2
x
1
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Área entre funções
Resolve-se o sistema de equações para achar P1 e P2. y = x2 = x + 2 x = -1
e
x2 – x – 2 = 0
→
x=2 2
b
A=
∫
f ( x) − g ( x) dx =
∫ (x + 2 − x ) dx 2
−1
a
x2 x3 A= + 2x − 2 3
2
= −1
4 8 1 +4- - −2+ 2 3 2
9 1 10 7 = + = unid.2 3 6 2 3
Exemplo: Achar a área da região limitada pelos gráficos x = y2 – 2y e y
x = 2y – 3.
(3,3)
(-1,1)
x P1 e P2 são obtidos pela solução do sistema x = y2 – 2y = 2y – 3 → y’ – 4y + 3 = 0 y1 = 1 e y2 = 3 e x1 = -1 e x2 = 3 A integração é feita em y, porque as funções estão resolvidas para x e não para y. 3
A=
∫
f ( y ) − g ( y ) dy
1
y3 = − 2 y + 3y 3
3
= 1
4 3
Exercícios Propostos Calcule a área da curva com o eixo x nos intervalos:
1) y =
1 entre x = 1 e x = 2,718 x
1
e
x
2
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Notas de aula
Cálculo Diferencial e Integral B
2) Calcular a área entre a reta y = 4 e y = x2 no intervalo de x = 0 a x = 2 y
f1(x) f2(x)
a
a
∫ f ( x) dx - ∫ f
A=
1
0
2
( x) dx
0
3) Achar a área entre as curvas y = x3 e y = x2 no intervalo x = 0 a x = 1. y
y = x3
A y = x2 x 1
a
A=
∫
f1 ( x) − f 2 ( x) dx
0
Resolver as integrais definidas:
• 1)
∫
b
2)
∫
4
3)
4)
a
1
π 2 0
∫
π 2 0
x 2 dx =
1 dx = ln(4) x sen 2 ( x)dx =
∫ [sen
•
b3 − a 3 3
2
π 4
]
( x) + cos 2 ( x) dx =
π 2
Obter as áreas relativas às seguintes funções:
3
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5)
f ( x ) = (2 x + 1)
6)
f ( x ) = e 2θ
7)
f (x ) =
em
3x x +4 2
2
em
[0 ,1 ]
[0 , π ] em
⇒
[0 , 2 ]
14 u.a. 3
⇒
A=
A=
1 2π e − 1 u.a. 2
⇒
A=
(
Área entre funções
)
3 3 ln u.a. 2 2
8) Encontre a área delimitada por y = sen ( x ) , o eixo X e as retas x =
π 4
e x=
3π . 4
9) Encontre a área delimitada por y = e x , y = e 2 x e a reta x = ln(2) .
10) Encontre a área delimitada por x =
1 , x = 0, y =1 e y = e . y
5a LISTA DE EXERCÍCIOS Exercícios a serem entregues na 11a aula: em 15.05.2009, no momento em que entrar na sala de aula Obter a área entre as funções:
1o Exercício: y 2 = 16 x e y = 4 x 2o Exercício: Encontre a área delimitada por y = cos(2 x ) , o eixo X e as retas x = x=
π 2
π 4
e
.
4
