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INTEGRAIS IMPRÓPRIAS
Definição 1: Se f(x) é contínua no intervalo (a, c], dizemos que a integral
imprópria de f(x) em
[a, c] converge e é igual a
se este limite existe (e é finito), caso contrário dizemos que a integral
de f(x) em [a, c] diverge.
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Observação: Se f(x) é contínua em [a,c] então a integral imprópria de f(x)
neste intervalo coincide
com a integral definida. Isto ocorre porque a função
Portanto faz sentido usarmos para integrais impróprias a mesma notação
usada para integrais definidas.
Notação:
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Exemplo1: Estude a convergência da integral
"A função " "
" " "
"não está definida em x = 1 (veja seu " "
"gráfico ao lado) " "
" " "
"Logo, " "
" " "
" " "
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Definição 2: De modo análogo, se f(x) é continua no intervalo [a, c),
dizemos que a integral imprópria
de f(x) em [a, c] converge e é igual a
caso este limite seja finito. Caso contrário dizemos que a integral
imprópria de f(x) em [a, c] diverge.
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Exemplo 2: Verifique se existe um número k R que represente a área da
região do plano limitada
pela curva y = 1/x , o eixo OY , o eixo OX e a reta x = -1.
A função
e não está definida em x = 0.
"Temos ao lado uma " "
"representação gráfica da " "
"área. " "
"O número k existe se, e " "
"somente se, a integral " "
"imprópria " "
" " "
"Temos, " "
" " "
" " "
" " "
"Portanto não existe k. " "
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Exemplo 3: Estude a convergência da integral
A função x.ln"x " não está definida em x = 0 e é contínua em [-1, 0).
Temos,
Usando integração por partes (na integral definida)
temos uma indeterminação do tipo " .0 " e em
temos uma indeterminação do tipo / .
Aplicando L´Hospital,
Portanto,
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Definição 3: Se f(x) é continua nos intervalos [a, c) e em (c, d] , dizemos
que a integral imprópria de
f(x) em [a, d] converge e é igual a soma das integrais impróprias
caso estas integrais sejam ambas convergentes . Caso contrário dizemos que
a integral imprópria de
f(x) em [a, d] diverge.
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Exemplo 4: Estude a convergência da integral
A função
não está definida em x = -1 e é contínua em [-2, -1) e em (-1, 0]
Tomemos as integrais impróprias
Temos
Com a mudança de variável (na integral definida)
,
x = -2 t = ln"-2 + 1" = ln(1) = 0
x = b t = ln" b + 1"
Como I1 diverge então I diverge
