Integrais De Superficies

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2 Cardoso Daniel Constantino Henriques Dahabo Ibraimo Gulamo Filomena Jorge de Almeida Sérgio Muacuveia A. M. Pastola Sifa Daniel Motontone Tropical José Carlos Mahele Integrais de Superfícies Universidade pedagógica Nampula 2016 Cardoso Daniel Constantino Henriques Dahabo Ibraimo Gulamo Filomena Jorge de Almeida Sérgio Muacuveia A. M. Pastola Sifa Daniel Motontone Tropical José Carlos Mahele \ Integrais de Superfícies Trabalho de carácter avaliativo, referente a cadeira de Calculo Integral em Rn, curso de Licenciatura em Ensino de Matemática, leccionado pelo docente: Dr. Alberto Hermenegildo António Tépulo. Universidade pedagógica Nampula 2016 iiÍndice ii Introdução 3 Representação de Superfícies 4 Superfícies parametrizadas 5 Curvas coordenadas 7 Superfícies Suaves e Orientadas 8 Área de uma Superfície 9 Integrais de superfície de um campo escalar 11 Integrais de superfície de um campo vectorial 13 Aplicação de integrais na física 14 Centro de massa e momentos de inércia 14 Teorema de divergência. Fórmula de Ostrogradsky - Gauss 16 Teorema de Stokes 18 Exercícios propostos 21 Conclusão 23 Bibliografia 24 Introdução O presente trabalho de carácter avaliativo tem como tema: Integrais de Superfícies. Para percebermos melhor, temos que trabalhar com teorema de Ostrogradsky Gauss e teorema de Stokes, que facilitam as definições de superfícies de um campo escalar, integrais de superfície de um campo vectorial, também chamada de fluxo de campo através de superfícies. Para além desses dois campos, salientar que integrais de superfícies é um pouco vasto, porem ressaltamos sobre a representação de uma superfície, integrais parametrizadas, curvas coordenadas, integrais de superfícies suaves e orientadas, área de uma superfícies, centro de massa e momentos de inércia e, plano tangente a reta normal, o que corresponde a sua aplicação. Para melhor facilitar ao leitor, a compreender facilmente as abordagens deste trabalho, usei aqui a seguinte estrutura: Introdução; Desenvolvimento; Conclusão; e Bibliografia. O método usado para s compilação e realização deste trabalho, foi a de consultas bibliográficas, que constitui leitura e análise das informações de algumas obras que debruçam sobre o tema acima citado, cujos autores estão citadas na bibliografia. Integrais de superfície Como sabemos, que, superfície é uma extensão em duas dimensões, isto é, extensão de uma área limitada, portanto, para percebermos melhor este tema de integrais de superfície, iniciaremos em representações dessas superfícies e, sua respectiva parametrização. Representação de Superfícies Segundo GONCALVES & FLEMMING, 1999: 289, diz que uma superfície S em R3 pode ser descrita como um conjunto de pontos (x, y, z), que satisfazem uma equação de forma: f(x, y, z) = 0 onde f é uma função continua. A equação acima é chamada de uma representação implícita de S. se for possível de resolver a equação para uma das variáveis em função das outras, obteremos uma representação explicita S ou da área de S. Exemplo A equação x2 + y2 + z2 = a2é uma representação implícita da esfera de centro na origem e raio igual a a. - Se resolvermos esta equação para z em função se x e y, obteremos duas soluções: x2 + y2 + z2 = a2 z2 = a2- x2- y2 z= ±a2- x2- y2 z= -a2- x2- y2 e z= a2- x2- y2 Cada uma destas equações encontradas, constituem uma representação explícita da parte da esfera. A primeira equação (negativa), representa o hemisfério inferior e a segunda equação (positiva) representa o hemisfério superior. - Se resolvermos ainda a equação primeira, para x em função se y e z, obteremos duas soluções: x2 + y2 + z2 = a2 x2 = a2- y2- z2 x= ±a2- y2- z2 x= -a2- y2- z2 e x= a2- y2- z2 Cada uma destas equações encontradas, constituem uma outra representação explícita da parte da esfera. A primeira equação (negativa), representa o hemisfério de trás e, a segunda equação (positiva) representa o hemisfério de frente. - Analogamente, se resolvermos a equação principal para y em função se x e z, obteremos duas soluções: x2 + y2 + z2 = a2 y2 = a2- x2- z2 y= ±a2- x2- z2 y= -a2- x2- z2 e y= a2- x2- z2 Cada uma destas equações encontradas, constituem uma representação explícita de uma outra parte da esfera. Neste caso, a primeira equação (negativa) representa o hemisfério à esquerda e, a segunda equação (positiva) representa o hemisfério à direita. Superfícies parametrizadas Definição Uma superfície parametrizada de R3 é uma função Γ, definida num domínio U de R3, a valores em R3, que, a cada (u, v) ϵ U, associa o ponto de R3, Γ(u, v) = (xu, v, yu, v, zu, v) onde x=u, v, y=u, v e z=u, v são funções de classe de U em R. O vector r(u, v) = xu, v i+ yu, v j+ z(u, v) k é o vector posição do ponto Γu, v. (CARRARA & SALVITTI, 1996: 338) A imagem ou traço de superfície parametrizada Γ é o subconjunto S de R3 formado pelos pontos Γ(u, v) com (u, v) ϵ U. Usando também a notação Γ: x=x(u, v)y=y(u, v)z=z(u, v) Para uma superfície parametrizada de R3. As funções x=u, v, y=u, v e z=u, v são chamadas equações paramétricas de Γ, e o conjunto S é dito parametrizado por Γ. Representações paramétricas de algumas superfícies Veremos parametrizações de algumas superfícies como exemplares, pois existem varias superfícies. Parametrização de um cilindro Consideremos um cilindro vertical x2+y2=a2. Seja P(x, y, z) um ponto qualquer sobre o cilindro. Devemos introduzir dois parâmetros u e v e obter as coordenadas de P como funções de u e v. o parâmetro u é o mesmo que em coordenadas polares e v coincide com z. Podemos dizer que: x=a.cosu, y=a.sen u e z=v. Portanto, uma parametrização do cilindro é dada por ru, v=a.cos u i+ a.sen u j+ v k, onde 0 u 2π e- 0; O parabolóide z = x2. 2-Calcule os seguintes integrais de superfícies Sx2z dS, onde S é a superfície cilíndrica x2+y2=1 e 0 z 1. S(x2+y2) dS, onde S é a superfície esferica x2+y2+z2=1. SxdS, onde S é a parte da superfície do parabolóide x2+y2+ z=2 e situado acima do plano XOY. Syzdydz+xzdxdz+xydxdy , onde S é a face exterior da superfície do tetraedro limitado pelos planos x = 0, y = 0, z = 0 e x + y + z = 0. 3-Calcula, utilizando o teorema de divergência (formula de Ostrogradsky - Gauss), os seguintes integrais. Sxdydz+ydxdz+zdxdy, onde S é a parte exterior da esfera x2+y2+z2=1. Sx2dydz+y2dxdz+z2dxdy sendo S a face exterior do cubo 0 x 1, 0 y 1 e 0 z 1. 4-Utilizando o teorema de divergência prove que o fluxo de um vector f através de uma superfície fechada que limita um volume V é igual a três vezes esse volume. 5-Determinar o centro de massa do hemisfério z = 1-x2-y2 com densidade f(x, y, z) = 0,3 unidades de massa / unidades de área. 6-Calcule etilizando o teorema de Stokes, os seguintes integrais C2xy2zdx+2x2yzdy+(x2y2-2z)dz sendo C a curva x = cós t, y = sen t, z = sen t, e 0 t 2π Cy2dx+z2dy+x2dz sendo C o contorno do triangulo de vértice (2, 0, 0); (0, 2, 0) e (0, 0, 2). Cy-zdx+(y-x)dy+(x-y)dz sendo C a elipse x2+y2=1 e x + z = 1 7-Calcule SF n dS sendo S a superfície da região limitada por z=4-y2, x = 0, x = 3, e o plano XOY e F = x2-xi- xyj+3zk. 8-Prove que para qualquer que seja superfície fechada S é S( ×F) n dS = 0. 9-Prove que se n é o vector unitário normal exterior a qualquer superfície fechada S, então S n dS = 0. Conclusão Depois de uma investigação sobre integrais de superfícies, concluímos que as aplicações de integrais de superfícies aparecem em vários ramos da ciência e das engenharias. Por exemplo, ao integrarmos uma função densidade de massa sobre uma superfície, obteremos a massa aplicada sobre a superfície (como já vimos no desenvolvimento do trabalho). Em uma superfície orientável, a integral de superfície do produto interno de um campo vectorial pelo campo normal à superfície fornece o fluxo desse campo. Estes nos ajudam no cálculo de certas regiões. Bibliografia CARRARA, Bouchara & SALVITTI, Hellmeister. Calculo integral Avançado. Edição Edusp, São Paulo, Brasil, 1996. GONCALVES, Mirian Buss & FLEMMING, Diva Manilia. Calculo C – Funções Vectoriais, Integrais Curvilíneos, Integrais de Superfície. 3ª Edição, Setembro, 1999. BEIRAO, João Carlos. Analise Matemática – Calculo Integral em Rn, Serie de Funções, Integrais Impróprios, Series de Fourier, Maputo – Moçambique, 1992.