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LIMITES E CONTINUIDADE Conceito do limite D.1. Dizemos que o limite de f (x) , quando x tende a a , é igual a L , ou seja,
lim f ( x) = L
x → a
Se os valores de f (x ) se aproximam de L , à medida que x se aproxima de
a (por ambos de lados de a ). D.2. Seja y = f (x) uma função definida em uma vizinhança do ponto a , exceto possivelmente no próprio a . Então
lim f ( x) = L
x → a
se para todo número ε > 0 houver um número correspondente δ > 0 , tal que
f ( x) − L < ε sempre que
0< x− a < δ Limites laterais
Chamamos limite de
f (x) quando x tende a a pela esquerda (ou limite
esquerdo de f (x) )
lim f ( x) = L
x → a−
se os valores de f (x) se aproximam de L à medida que x se aproxima de a , sendo x < a . Analogamente podemos introduzir o limite direito de f (x ) quando x tende a
a , sendo x < a .
lim f ( x) = L
x → a+
D.3. Limite esquerdo (direito):
lim f ( x) = L
x → a−
f ( x) = L ) ( xlim → a+
se para todo número ε > 0 houver um número correspondente δ > 0 , tal que
f ( x) − L < ε sempre que
a− δ < x< a
(a < x < a + δ )
f ( x) = L se e somente se Teorema 1. xlim → a lim f ( x) = L e
x → a−
lim f ( x) = L .
x → a+
Limites infinitos D.4. Seja y = f (x) uma função definida em uma vizinhança do ponto a , exceto possivelmente no próprio a . Então
lim f ( x) = ∞
x → a
significa que para todo número positivo M houver um número correspondente
δ > 0 , tal que f ( x) > M sempre que
0< x− a < δ
D.5. Seja y = f (x) uma função definida em uma vizinhança do ponto a , exceto possivelmente no próprio a . Então
lim f ( x) = − ∞
x → a
significa que para todo número negativo N houver um número correspondente
δ > 0 , tal que f ( x) < N sempre que
0< x− a < δ
D.6. A reta x = a é chamada assíntota vertical da curva y = f (x ) , se pelo menos uma das seguintes condições estiver satisfeita:
lim f ( x) = ∞ ,
x → a
lim f ( x) = − ∞ ,
x → a
lim f ( x) = ∞ ,
x → a−
lim f ( x) = − ∞ ,
x → a−
lim f ( x) = ∞ ,
x → a+
lim f ( x) = − ∞ .
x → a+
Propriedades de limites
f ( x) = M e lim g ( x) = N . Sejam xlim → a x → a Então:
[ f ( x) ± g ( x)] = lim f ( x) ± lim g ( x) = M ± N ; 1. xlim → a x → a x → a [cf ( x)] = c lim f ( x) = cM ; 2. xlim → a x → a [ f ( x) g ( x)] = lim f ( x) lim g ( x) = MN ; 3. xlim → a x → a x → a
lim f ( x) M f ( x) x → a = [ ]= 4. xlim , se N ≠ 0 → a g ( x) lim g ( x) N x → a
[ f ( x)]n = [ lim f ( x)]n = M n , onde n um inteiro positivo; 5. xlim → a x → a c = c; 6. xlim → a x = a. 7. xlim → a n f ( x) = 8. xlim → a
n
lim f ( x) , onde n um inteiro positivo.
x → a
9.
Ex. 8. Limite de um polinômio P (x) :
lim P ( x) = lim [ x n + bn− 1 x n− 1 + ... + b1 x + b0 ] = lim [ x]n + lim [bn− 1 x n− 1 ] +
x → a
x → a
x → a
x → a
[b1 x] + lim [b0 ] = a n + b a n− 1 + ... + b a + b = P (a) + ... + xlim n− 1 1 0 → a x → a O limite do polinômio pode ser encontrado através da substituição direta. T.2. Se f ( x ) ≤ g ( x) quando x está próximo de a (exceto possivelmente no próprio a ) e os limites de f (x ) e g (x) existem quando x tende a a , então
lim f ( x) ≤ lim g ( x) .
x → a
x → a
T.3 (de confronto) Se f ( x ) ≤ g ( x ) ≤ h( x) quando x está próximo de a (exceto possivelmente no próprio a ) e
lim f ( x) = lim h( x) = L , x → a
x → a
g ( x) = L . então xlim → a Este teorema também chama-se teorema de sanduíche.
Limites finitos no infinito
x2 − 1 Exemplo 1. Consideraremos a função f ( x ) = 2 . Do gráfico desta função x +1 podemos ver que quanto maior o x , mais próximos de 1 ficam os valores de
f (x) . Simbolicamente esta situação pode ser descrita como:
x2 − 1 lim =1 x → ∞ x2 + 1 Em geral, é usada a notação
lim f ( x) = L
x → ∞
D.1. Seja f (x ) uma função definida em algum intervalo (a, ∞ ) . Então
lim f ( x) = L
x → ∞
significa que os valores de f (x ) podem ficar arbitrariamente próximos de L tomando-se x suficientemente grande. Observação. O símbolo ∞ não representa um número. D.2. (Em termos de ε , δ ) Seja f (x) uma função definida em algum intervalo
(a, ∞ ) . Então lim f ( x) = L
x → ∞
Significa que para todo número ε > 0 existe um correspondente número N tal que
f ( x) − L < ε sempre que
x> N.
D.3. (Em termos de ε , δ ) Seja f (x) uma função definida em algum intervalo
(− ∞ , a) . Então lim f ( x) = L
x → −∞
Significa que para todo número ε > 0 existe um correspondente número N tal que
f ( x) − L < ε sempre que
x< N. A reta y = L é chamada assíntota horizontal da curva f (x ) . Exemplo 2. Calcular
x2 − x + 7 lim x → ∞ 7x2 − 2x + 4 Exemplo 3. Determine as assíntotas horizontal e vertical do gráfico da função
f ( x) =
3x 2 + x − 3 . 7x − 4
Exemplo 4. Calcular
lim ( 9 x 2 − 10 − 3 x) .
x → ∞
Exemplo 5. Calcular
lim cos x .
x → ∞
Limites infinitos no infinito A notação
lim f ( x) = ∞
x → ∞
é usada para indicar que os valores de f (x) tornam-se tão grandes quanto x . Significados análogos têm as seguintes expressões
lim f ( x) = ∞ , lim f ( x) = − ∞ , lim f ( x) = − ∞ . x → ∞ x → −∞
x → −∞
D.4. (Em termos de ε , δ ) Seja f (x) uma função definida em algum intervalo
(a, ∞ ) . Então lim f ( x) = ∞
x → ∞
significa que para todo número positivo M positivo N tal que
f ( x) > M sempre que
x> N. Exemplo 6. Calcular
x3 − 2x + 8 lim . x → ∞ 10 x 2 − x + 4
existe um correspondente número
Exercícios 2.3: 3-9, 11-30 e 39-44 de p.112 Exercícios 2.6: 13-34 e 37-42 de p. 147
Continuidade D1. Dizemos que a função f (x) é contínua no número a se e somente se as seguintes condições forem satisfeitas:
Se uma ou mais de uma dessas condições não forem verificadas em a , a função f (x) será descontínua em a .
D2. Uma função f (x) é contínua à direita de um número a se
lim f ( x) = f (a )
x → a+
e f (x ) é contínua à esquerda de um número a se
lim f ( x) = f ( a)
x → a−
Existem 3 tipos de descontinuidades:
x2 − x − 2 1) f ( x) = , esta função é descontínua no x = 2 , este tipo de x− 2 descontinuidade chama-se removível.
2) f ( x) =
1 , esta função é descontínua no x = 0 , este tipo de x2
descontinuidade chama-se descontinuidade infinita.
x< 0 − 1 se 3) f ( x) = 0 se 0 ≤ x < 1, descontinuidades deste tipo são chamadas 1 se 1≤ x pulos de descontinuidades. Diz-se que uma função é contínua em um intervalo aberto se somente se ela for contínua em todo número do intervalo aberto. Dizemos que uma função cujo domínio inclui o intervalo fechado [a, b] é contínua em [a, b] se e somente se ela for contínua no intervalo aberto (a, b) , e se também for contínua à direita em a e à esquerda em b . Teorema 1. Se f e g forem contínuas em a e se c for uma constante, então as seguintes funções são contínuas, também, em a :
1. f + g 4. f g
2. f − g 5.
3. cf
f se g (a ) ≠ 0 g
A função inversa de qualquer função contínua é também contínua. Teorema 2. Os seguintes tipos de funções são contínuas em todo o número de seus domínios: polinômio, funções racionais, funções raízes, funções trigonométricas, funções trigonométricas inversas, funções exponenciais e funções logarítmicas. Teorema 3. Se g for contínua em a e f em g (a ) , então a função composta
f g dada por ( f g ) ( x) = f ( g ( x)) é contínua em a . Teorema do Valor Intermediário. Suponha que f seja contínua em um intervalo fechado [ a, b] e seja N um número qualquer entre f (a ) e f (b) , onde f (a ) ≠ f (b) . Então existe um número c em (a, b) tal que f ( x ) = N .
Exercícios 10-28, 37-39, 47-50, p. 133-134.
